Fragen zur Abschlussprüfung Mathematik I

Fragen zur Abschlussprüfung Mathematik I
Frage 1:
Welche Funktionen kennst Du? Skizziere kurz eine solche Funktion.
Frage 2:
Gib zu f: y = 620  1,032x + 32 Definitions- und Wertemenge an
Frage 3.1:
Für die Vermehrung einer Pilzkultur gilt folgende Wachstumsgleichung:
f: y = a  kx.
a ist dabei die bedeckte Fläche in mm² zu Versuchsbeginn,
k ist die Wachstumskonstante, nach x Tagen wird eine bedeckte Fläche
von y mm² gemessen.
Zu beginn einer Versuchsreihe bedeckt eine bestimmte Pilzkultur
60mm². Nach zwei Wochen wird eine bedeckte Fläche von 16,7cm²
gemessen. Bestimme die Wachstumskonstante.
Frage 3.2:
Nach wie vielen Tagen würde diese Pilzkultur eine Fläche von mehr als
4,2 cm² bedeckt?
Frage 4.1:
Eine Wärmflasche ist mit 90°C heißem Wasser gefüllt. Nach x Minuten
beträgt die Temperatur des Wassers y°C.
Die Funktion f1 mit y = 70  2-0,035x + 20 beschreibt den Abkühlvorgang
Gib die Definitionsmenge und die Wertemenge von f1 an.
Frage 4.2:
Nach welcher Zeit auf ganze Minuten, hat die Temperatur des Wassers
um 50° abgenommen?
Frage 4.3:
Für eine zweite Wärmflasche mit 65°C heißes Wasser wird er
Abkühlvorgang durch f2 mit y = 45  2-0,005x beschrieben. Nach wie viel
Minuten haben beide Wärmflaschen gleichwarmes Wasser?
Frage 5:
Die Punkte Mn( xM | -0,75 xM + 9) sind die Hypotenusenmittelpunkte von
Dreiecken ABnCn mit der Hypotenuse [ABn]. Auf welcher besonderen
Linie liegen die Punkte Cn?
Frage 6:
Bestimme den Trägergraphen der Punkte An(0,65x + 5,59 | 1,13x – 4,14)
Frage 7:
Bestimme den Trägergraphen der Punkte Cn ( 9 – 6cos  | 7 – 3 sin²
Frage 8:
Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 8 cm ist Grundfläche der
Pyramide ABCDS. Der Punkt E teilt die Strecke [AC] im Verhältnis 1 : 3
und ist Fußpunkt der Pyramidenhöhe [ES] mit ES = 6 cm.
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll [AC] auf der
Schrägbildachse liegen. q = ½  = 45°
Frage 9.1:
Im Schrägbild der Pyramide ABCDS gilt:
ABCD ist eine Raute mit AC = 12 cm, BD = 10 cm und S liegt senkrecht
über dem Diagonalenschnittpunkt M mit MS = 10 cm.
Berechne das Maß  des Winkels SCA.
Frage 9.2:
Wie kann man die Streckenlänge
berechnen?
CPn () in Abhängigkeit von 
Frage 10.1: Bei folgender Abbildung gilt:
Die Punkte Bn liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y = 0,375x - 2,
der Winkel BnACn hat jeweils das Maß 40° und ACn  1,22  ABn
Welche Koordinaten haben die Punkte Bn?
Frage 10.2: Durch welche Abbildung können die Punkte Bn auf die Punkte Cn
abgebildet werden? – Und was ist dabei besonders zu beachten?
Frage 11:
Das Quadrat ABCD mit a = 6cm ist Grundfläche der Pyramide ABCDS.
Der Punkt E teilt die Diagonale [AC] im Verhältnis 2:5 mit AE  EC und
ist Fußpunkt der Pyramidenhöhe [ES] mit h = 0,8dm.
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll [AC] auf der
Schrägbildachse liegen. q = ½ ,  = 30°.
Frage 12:
Bei folgender Abbildung gilt: A(4 | -2)
Die Punkte Mn (2 + 4cos² | 2 sin²) sind die Diagonalenschnittpunkte
der Rauten ABnCnDn und ACn : BnDn = 2 : 1
Durch welche Abbildungen können die Punkte A auf die Punkte Bn
abgebildet werden?
Frage 13.1: Das Quadrat ABCD mit AB = 6
cm ist die Grundfläche einer
Pyramide ABCDS. Die Spitze S
liegt
senkrecht
über
dem
Eckpunkt A. Der Winkel SCA
hat das Maß  = 50°
Der Punkt Q liegt auf der Kante
[AS] mit AQ = 6 cm. Die Punkt
Rn liegen auf der Kante [CS],
wobei die Winkel RnQS das Maß
 mit  > 0° haben.
Berechne das größtmögliche Winkelmaß .
Frage 13.2 Zeige, dass für die Streckenlängen QRn in Abhängigkeit von  gilt:
QRn () 
Frage 14.1
2,64
cm - (Man weiß: AS  10,11 cm )
sin(40  )
Ermittle die Gleichung des Trägergraphen der Punkte
Cn(2cos - 1 | sin² + 1)
Frage 14.2 Berechne den Wert von , sodass der Punkt C0 auf der y-Achse liegt –
und gib dann auch die Koordinaten von C0 an.
Fragen zur Abschlussprüfung Mathematik I
Frage:
Welche Funktionen kennst Du? Skizziere kurz eine solche Funktion.
Antwort:
Geraden, Potenzfunktionen (Sonderfall: Parabel), Wurzelfunktionen,
Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktion
Frage:
Gib zu f: y = 620  1,032x + 32 Definitions- und Wertemenge an
Antwort:
D=R
W = {y | > 32}
(Wortlaut: die Menge aller y für die gilt: y ist
größer als 32)
Frage:
Für die Vermehrung einer Pilzkultur gilt folgende Wachstumsgleichung:
f: y = a  kx.
a ist dabei die bedeckte Fläche in mm² zu Versuchsbeginn,
k ist die Wachstumskonstante, nach x Tagen wird eine bedeckte Fläche
von y mm² gemessen.
Zu beginn einer Versuchsreihe bedeckt eine bestimmte Pilzkultur
60mm². Nach zwei Wochen wird eine bedeckte Fläche von 16,7cm²
gemessen. Bestimme die Wachstumskonstante.
Antwort:
Die cm² in mm²
1670 = 60  k14
| : 60
27,83 = k14
| 14
1,27 = k
Frage:
Nach wie vielen Tagen würde diese Pilzkultur eine Fläche von mehr als
4,2 cm² bedeckt?
Antwort:
420 = 60  1,27x
| : 60
7 = 1,27x
| log
x = log
x=
1,27
7
lg 7
= 8,14
lg 1,27
(Wortlaut: der Logarithmus von 7 zur Basis 1,27)
Also nach 9 Tagen.
Frage:
Eine Wärmflasche ist mit 90°C heißem Wasser gefüllt. Nach x Minuten
beträgt die Temperatur des Wassers y°C.
Die Funktion f1 mit y = 70  2-0,035x + 20 beschreibt den Abkühlvorgang
Gib die Definitionsmenge und die Wertemenge von f1 an.
Antwort:
D=R
W = { y | y > 20 }
Frage:
Nach welcher Zeit auf ganze Minuten, hat die Temperatur des Wassers
um 50° abgenommen?
Antwort:
40 = 70  2-0,035x + 20
| - 20 | : 70
0,286 = 2-0,035x
| log
-0,035x = log2 0,286 = -1,806 | : (-0,035)
x = 51,6
Frage:
Also nach 52 Minuten.
Für eine zweite Wärmflasche mit 65°C heißes Wasser wird er
Abkühlvorgang durch f2 mit y = 45  2-0,005x beschrieben. Nach wie viel
Minuten haben beide Wärmflaschen gleichwarmes Wasser?
Antwort:
Gleichsetzen
70  2-0,035x + 20 = 45  2-0,005x
Frage:
Die Punkte Mn( xM | -0,75 xM + 9) sind die Hypotenusenmittelpunkte von
Dreiecken ABnCn mit der Hypotenuse [ABn]. Auf welcher besonderen
Linie liegen die Punkte Cn?
Antwort:
Da [ABn] eine Hypotenuse ist, hat der Winkel bei Cn 90°. Also liegt der
Punkt Cn auf einem Kreisbogen um Mn mit dem Radius [MnA] – einem
Thaleskreis.
Frage:
Bestimme den Trägergraphen der Punkte An(0,65x + 5,59 | 1,13x – 4,14)
Antwort:
xA = 0,65x + 5,59
x = 1,54 xA – 8,6
yA = 1,13 x - 4,14
_____________________
yA = 1,13 ( 1,54 xA – 8,6) - 4,14 = 1,74 xA - 13,86
Trägergraph: t: y = 1,74x – 13,86
Frage:
Bestimme den Trägergraphen der Punkte Cn ( 9 – 6cos  | 7 – 3 sin²
Antwort:
xC = 9 – 6 cos 
cos  = -0,167xC + 1,5
yC = 7 – 3 sin² = 7 – 3(1 – cos²)
________________________________
yC = 7 – 3 [ 1 – ( -0,167xC + 1,5)²]
yC = 7 – 3 [ 1 – (0,028xC² - 0,5xC + 2,25)]
yC = 7 – 3 + 0,084xC² - 1,5 xC + 6,75
yC = 0,084 xC² - 1,5 xC + 10,25
Binomische Formel!!
Frage:
Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 8 cm ist Grundfläche der
Pyramide ABCDS. Der Punkt E teilt die Strecke [AC] im Verhältnis 1 : 3
und ist Fußpunkt der Pyramidenhöhe [ES] mit ES = 6 cm.
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll [AC] auf der
Schrägbildachse liegen. q = ½  = 45°
Antwort:
Als erstes die Diagonale berechnen:
AC  8 2  11,3 cm .
Verhältnis 1 : 3, also 11,3 : 4 = 2,825, damit AE = 3  2,825 = 8,475 cm
und EC = 2,825 cm
Rest wie gehabt!
Frage:
Im Schrägbild der Pyramide ABCDS gilt:
ABCD ist eine Raute mit AC = 12 cm, BD = 10 cm und S liegt senkrecht
über dem Diagonalenschnittpunkt M mit MS = 10 cm.
Berechne das Maß  des Winkels SCA.
tan  
MS
10cm
 1,67
6cm
Antwort:
Im Dreieck MCS gilt:
Frage:
Wie kann man die Streckenlänge
MC


  59,04
CPn () in Abhängigkeit von 
berechnen?
Antwort:
Sinussatz im Dreieck ACPn
CPn
AC

sin  sin 
CPn 
  180     (  )  180   59,04  59,04    61,92  
12  sin 59,04
10,29
cm 
cm
sin(61,92  )
sin(118,08  )
Frage:
Bei folgender Abbildung gilt:
Die Punkte Bn liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y = 0,375x - 2,
der Winkel BnACn hat jeweils das Maß 40° und ACn  1,22  ABn
Frage:
Welche Koordinaten haben die Punkte Bn?
Antwort:
Bn(x | 0,375x – 2)
Frage:
Durch welche Abbildung können die Punkte Bn auf die Punkte Cn
abgebildet werden? – Und was ist dabei besonders zu beachten?
Antwort:
Bn durch Drehung um A mit einem Drehwinkel von 40° auf Bn*, wobei zu
beachten ist, dass A nicht im Ursprung liegt!!
Bn*
auf
Cn
durch
zentrische
Streckungsfaktor k = 1,22
Streckung
mit
Zentrum
A
und
Frage:
Das Quadrat ABCD mit a = 6cm ist Grundfläche der Pyramide ABCDS.
Der Punkt E teilt die Diagonale [AC] im Verhältnis 2:5 mit AE  EC und
ist Fußpunkt der Pyramidenhöhe [ES] mit h = 0,8dm.
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll [AC] auf der
Schrägbildachse liegen. q = ½ ,  = 30°.
Antwort:
Diagonale berechnen mit AC  6 2  8,5 cm
Verhältnis 2 : 5, also 7 Teile je 8,5 : 7 cm = 1,2 cm
Damit also AE = 2  1,2 cm = 2,4 cm und EC = 6,1 cm
ES
= 0,8 dm = 8 cm
Rest wie gehabt.
Frage:
Bei folgender Abbildung gilt: A(4 | -2)
Die Punkte Mn (2 + 4cos² | 2 sin²) sind die Diagonalenschnittpunkte
der Rauten ABnCnDn und ACn : BnDn = 2 : 1
Durch welche Abbildungen können die Punkte A auf die Punkte Bn
abgebildet werden?
Antwort:
Drehung um Mn um 90°, und dann verkürzen mit k = 0,5
 2  4 cos² 
 2  2 sin² 
 damit Mn A  

Also: Mn A  

 2  4 cos² 
  2  2 sin² 


 1  sin² 

Damit: MnBn  

1

2
cos
²



Also:
 2  4 cos²   1  sin²   2  4 cos²  1  1  cos²   4  3 cos² 

 
 

0Bn  
 1  2 cos²    2  2 cos²  1  2 cos²    3  4 cos² 
2
sin
²


 
 
 
