1 Anwendungsaufgaben

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1 Anwendungsaufgaben
Geh bei Anwendungsaufgaben zu Körperberechnungen
folgendermaßen vor:
1. Überlege, ob die gegebenen Körper mit einem geometrischen Grund­
körper übereinstimmen.
2. Findest du keine Übereinstimmung, kann der gegebene Körper oft in
geometrische Grundkörper zerlegt oder sinnvoll zu einem Grundkörper
ergänzt werden. Während bei Zerlegungen die Teilkörper addiert wer­
den, muss bei Ergänzungen natürlich subtrahiert werden.
Die Wahl zwischen Ergänzung und Zerlegung hängt auch oft davon ab,
welche Maße zur Verfügung stehen.
Das Pantheon in Rom besteht aus einem Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Der besonders harmonische Raumeindruck wird unter anderem
dadurch erzeugt, dass Durchmesser und Höhe dieses zusammengesetzten Körpers gleich groß (nämlich 43,2 m) sind. Welches Volumen hat das
Gebäude?
V = VZ + 0,5 · VK = p · (21,6 m)2 · 21,6 m + _23 p · (21,6 m)3
= _53 · p · (21,6 m)3 ≈ 52 766,7 m3
Der Rauminhalt des Pantheons umfasst etwa 5,3 · 104 m3.
1.
Welches Volumen und welche Oberfläche hat
der Rotationskörper, der durch die Rotation der
abgebildeten Figur um die gestrichelte Achse
erzeugt wird?
7 cm
3 cm
6 cm
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33
2. Ein Regenwasserbehälter besteht aus einem Kreiskegel mit aufgesetz­
tem oben offenem Zylinder. Der Zylinder hat eine Höhe von 1,4 m, die
Gesamthöhe des Gefäßes beträgt 2,5 m. Die Mantellinie (der Umfang)
des Gefäßes ist 4,4 m lang. Die Wanddicke des Gefäßes kann für die
Rechnung vernachlässigt werden.
a) Wie hoch steht das Wasser in diesem Gefäß, wenn 600 Liter darin enthalten
b)
c)
d)
sind?
Die Innenflächen müssen einen wasserdichten Anstrich erhalten. Mit
welchen Kosten muss man rechnen, wenn eine Dose mit 500 ml Farbe 25 €
kostet und für 4 m2 ausreicht?
Der randvolle Behälter wird durch eine Pumpe entleert, die je Minute 150
Liter fördert. Wie lange dauert es, bis der Behälter zu 90 % geleert ist?
Welchen Radius müsste ein kugelförmiger Behälter mit gleichem
Fassungsvermögen haben?
3. Wie viel Prozent des ursprünglichen
Holzzylinders sind nach der Herstel­
lung des abgebildeten Körpers noch
vorhanden?
d
0,1 h
h=d
4. Ein zylindrischer Messbecher mit
einem (Innen-) Durchmesser von 10 cm ist zur Hälfte mit Wasser
gefüllt. Taucht man 5 gleich große Kugeln in das Wasser, so steigt der
Wasserspiegel um 6 cm. Wie groß ist der Kugeldurchmesser?
5.
Welchen Rauminhalt
hat das ­abgebildete
Zelt?
1,5 cm
0,4 cm
0,4 cm
1,8 cm
3205_BUCH.indb 33
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15 Winkelberechnung im rechtwinkligen
Dreieck
Gegenkathete
C
α
zu
te u β
he z
at te
nk the
ge ka
Ge An
=
In einem rechtwinkligen
Dreieck legt das Verhält­
nis der Seitenlängen die
Größe der Winkel fest. Man kann daher
die Winkel über diese Seitenverhältnisse
berechnen. Dafür verwendet man trigonometrische Winkelfunktionen.
Für jedes rechtwinklige Dreieck
ist definiert:
uα uβ
e z te z
t
e
th he
ka kat
a
b
An gen
e
G
=
c
β
α
Hypotenuse
A
Für ein Dreieck mit γ = 90°
erhält man daher
Sinus: sin(ϕ) = }} Hypotenuse
sin(a) = a} ; sin (b) = b} c
c
Ankathete
Kosinus: cos(ϕ) = } Hypotenuse
cos(a) = b} ; cos (b) = a} c
c
Gegenkathete
Tangens: tan(ϕ) = }} Ankathete
B
a
tan(a) = } ; tan (b) = b} a
b
Die Gegenkathete liegt dabei dem betrachteten Winkel gegenüber, die
Ankathete liegt an dem betrachteten Winkel an.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seitenlängen a = 5 cm, b = 4 cm und
c = 3 cm. Bestimme alle Winkel dieses Dreiecks.
Die längste Seite des Dreiecks und damit die Hypotenuse ist a, der rechte
Winkel liegt ihr gegenüber, also ist a = 90°.
Ferner gilt: sin(b) = b} = 4} = 0,8.
a 5
Den zugehörigen Winkel berechnest du mit dem Taschenrechner meistens
mit der Tastenkombination „inv+sin 0.8“ oder „shift+sin 0.8“.
Du erhältst: b = 53,13°.
γ kannst du nun mit der Winkelsumme errechnen oder mit
cos (γ) = b} = 0,8.
a
Der Taschenrechner berechnet damit γ = 36,87°.
3205_BUCH.indb 34
1.
Berechne alle Winkel folgender rechtwinkliger Dreiecke.
a)
b)
c)
a = 10 dm; b = 7,5 dm; c = 12,5 dm
a = 10 cm; b = 8 cm; c = 6 cm
a = 4,8 m; c = 14 dm; b = 90°
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35
2.
Im rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel bei C) sind gegeben:
hc = 3,90 cm und q = 6,13 cm. Berechne die Größen a, b, a, b, c, p.
3.
Vor einem in Not geratenen Flugzeug erscheint eine Insel, die von
Ufer zu Ufer vollständig eben und als Notlandebahn geeignet ist. Das
Flugzeug hat eine Höhe von 1200 m über dem Boden, die beiden Ufer
der Insel erscheinen in Flugrichtung unter einem Tiefenwinkel von
a = 17,8° und b = 25,2°. Diese Daten verwertet der Bordcomputer in
Bruchteilen von Sekunden
zu einer Berechnung der
β
α
Länge der Landebahn.
Reicht die Länge aus,
wenn das Flugzeug bei
günstigen Bedingungen
Landebahn
aus dieser Position 1200 m
Rollweg braucht?
4.
Ein Graben soll mit Platten abgedeckt werden. Bei einer Tiefe von
1,7 m hat der Graben die in
b
der Skizze vorgegebenen
33°
Maße. Berechne die notwen­
4,20 m
dige Breite (b) der Platten.
25°
5.
Die Cheopspyramide hat bei einer quadratischen Grundfläche mit der
Seitenlänge 227 m eine Höhe h von 136 m. Unter welchem Winkel a
steigen die Kanten und unter welchem Winkel b die Seitenflächen an?
6.
Zeichne in ein Koordinatensystem die Gerade mit der Gleichung y = 3 x.
a) Welche Steigungswinkel hat diese Gerade gegenüber der x-Achse?
b) Gib allgemein eine Formel für den Steigungswinkel a bei gegebener
c)
7.
Steigung m an.
Unter welchem Winkel steigt eine Straße mit der Steigung 15 %?
Ein Beobachter sieht eine Kirch­
turm­kugel mit 4 m Durchmesser
unter einem Sehwinkel von
a = 4,5°. Welche Entfernung x hat
er zur Kugel?
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x
4,5°
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93
Halbkugel:
Summe:
2.
Volumen: VHK = 2} ​ ​ · π · (6 cm)3 ≈ 452,39 cm3
3
Oberfläche: OHK = 2 · π · (6 cm)2 ≈ 226,19 cm2
Vges = 263,89 cm3 + 339,29 cm3 + 452,39 cm3 = 1055,57 cm3
Oges = 173,78 cm2 + 113,10 cm2 + 226,19 cm2 = 513,07 cm2
zu den
Seiten
32 / 33
a)Zunächst muss aus dem Umfang (Mantellinie) der Radius berechnet wer4,4 m
U
den: r = ​ } ​= } ​ 2 � ​ ≈ 0,7 m
2 �
� · (0,7 m)2 · 1,1 m
VKegel = = }} ​
​≈ 0,56 m3 = 560 dm3 = 560 ℓ
3
In dem aufgesetzten Zylinder sind also noch 40 ℓ Wasser enthalten.
Für die Füllhöhe ergibt sich:
h = } ​ V 2​= } ​ 40 2​≈ 0,26 dm = 2,6 cm
� · r
� (7 dm)
}}}
}}}}}}}}
s = Ï​ r2 + h2 ​ = Ï​ (0,7 m)2 + (1,1 m)2 ​ ≈ 1,3 m
2
Kegelmantel: MKe = π · 0,7 m · 1,3 m ≈ 2,86 m
Zylindermantel: MZ = 2 · π · 0,7 m · 1,4 m ≈ 6,16 m2
Gesamtfläche: MKe + MZ = 9,02 m2
Man benötigt 3 Dosen Farbe und muss mit 75 € Kosten rechnen.
c) Zylindervolumen: VZ = (7 dm)2 · π · 14 dm ≈ 2155,13 dm3
Füllvolumen
0,9 · (VZ + VK) = 0,9 · 2715,1 dm3 ≈ 2443,6 Liter
Die Pumpe benötigt 2443,6 : 150 = 16,3 Minuten für die Leerung von
90 % des Gesamtvolumens. }}}}}
3
3 · 2715,1 dm3
d) 2715,1 dm3 = 4} ​ ​ · p · r3 ⇒ r = ​ ​} ​ ​ ≈ 13,73 dm ≈ 1,37 m
4 · �
3
b) Mantellinie s:
Ï
3. Zylindervolumen:
VZ = 1​​ 1} ​2​ · d 2​​ ​ · π · d = } ​ � ​ · d3
4
2
Halbkugelvolumen:
VHK = 2} ​ ​ · π · ​​1 1} ​2​ · d 2​​ ​= } ​ � ​ d3
3
6
Kegelvolumen: 2
� · ​​1 1} ​ ​ · d 2​​ ​ · ​2} ​ d
VKe = } ​ 2 3 5 ​ = } ​ � ​ d3
30
Restvolumen: Restanteil: 2
�
VRest = 1​ } ​ 4� ​– } ​ 6� ​– } ​ 30
​ 2​ d3 = } ​ � ​ d3
15
VRest : VZ = 4 : 15 = 0,5333… = 26 ​2} ​ %
3
4. Volumen des verdrängten Wassers:
5.
Volumen einer Kugel: π · (5 cm)2 · 6 cm ≈ 471,24 cm3
471,24 cm3 : 5 ≈ 94,25 cm3
Radius einer Kugel: r = ​ } ​ 4 · � ​ ​ ≈ 2,82 cm
Kugeldurchmesser: d = 5,64 cm
}}}}}3
3 · 94,25 cm
Ï
3
� · (0,4)2 · 1,5 m
Kegelvolumen: VKe = }} ​
​ ≈ 0,25 m3
3
Prismenvolumen: VP = 0,5 · g · hD · hP = 0,5 · 0,8 m · 1,5 m · 1,8 m = 1,08 m3
Gesamtvolumen: VKe + VP = 1,33 m3
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18.12.2007 11:24:56
zu den
Seiten
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94
15 Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck
1.
a) c ist die Hypotenuse, also g = 90°
sin a = a : c = 10 : 12,5 = 0,8 ⇒ a = 53,13°
b = 180° − 90° − 53,13° = 36,87°
b) a ist die Hypotenuse, also a = 90°
sin g = c : a = 6 : 10 = 0,6 ⇒ g = 36,87°
b = 180° − 90° − 36,87° = 53,13°
}}}}
}}}}}
= Ï​ ​48​2​+ ​14​2​ ​ = 50 dm
c) b ist die Hypotenuse, also b = ​Ï ​a2​ ​+ ​b2​ ​ ​ sin a = a : b = 48 : 50 = 0,96 ⇒ a = 73,74°
g = 180° − 90° − 73,74° = 16,26°
2.
C
a
b
A
α
h
q
p β
c
B
tan a = h : q = 3,9 : 6,13 = 0,64 ⇒ a = 32,47°
b = 180° − 90° − 32,47° = 57,53°
sin b = h : a ⇒ a = h : sin b = 3,9 : sin (57,53°) = 4,62 cm
cos b = p : a ⇒ p = a · cos b = 4,62 cm · cos (57,53°) = 2,48 cm
c = p + q = 8,61 cm
}}}}}}
b2 = h2 + q2 ⇒ b = Ï​ ​3,9​2​+ ​6,13​2​ ​ = 7,27 cm
3.Die gesuchte Länge der Landebahn ist hier
3205_BUCH.indb 94
y
mit x bezeichnet. Die Figur wird durch Ein2
zeichnen der Höhe zu zwei recht­winkligen
1 γ
βα
Dreiecken ergänzt. In dem Dreieck mit der
x
h
blauen Hypotenuse ist
x
y
–1
2
3
4
1
g1 = 90° − b = 64,8°.
–1
Damit lässt sich y berechnen:
tan g1 = y : h ⇒ y = h · tan a = 1200 m · tan (64,8°) = 2550,13 m
Für das Dreieck mit der roten Hypotenuse ergibt sich: g2 = 90° − a = 72,2°
Damit lässt sich x + y berechnen: tan g2 = (x + y) : h ⇒ x + y = h · tan g2
⇒ x + y = 3737,56 m ⇒ x = 3737,56 m − 2550,13 m = 1187,43 m
Die Landebahn ist etwa 13 m zu kurz. Das kann man wohl noch riskieren …
18.12.2007 11:24:57
95
b
4.Zweimaliges Einzeichnen
33° x
y
zu den
Seiten
34 / 35
z
der Tiefe h liefert die Aufh
h α
25°
teilung der Breite b in die
4,20 m
Teile x, y und z sowie zwei
rechtwinklige Dreiecke.
In diesen gilt:
tan 33° = h : x ⇒ x = 1,7 m : tan 33° = 2,62 m; a = 90° − 25° = 65°
tan a = z : h ⇒ z = h · tan a = 3,65 m; b = 2,62 m + 4,2 m + 3,65 m = 10,47 m
Die notwendige Breite der Platten beträgt ca. 10,50 m.
5.
}
Diagonalenlänge des Quadrats: d = Ï​ 2 ​ · 227 m = 321,03 m
tan a = h : ​1} ​ d = 136 : 160,51 = 0,847 ⇒ a = 40,27°
2
tan b = h : ​1} ​ a = 136 : 113,5 = 1,198 ⇒ b = 50,15°
2
6.
a)Einzeichnen eines Steigungsdreiecks mit
5
1 Längeneinheit als horizontaler Strecke
liefert ein rechtwinkliges Dreieck mit dem
Steigungswinkel a.
Darin gilt: tan a = 3 : 1 = 3 ⇒ a = 71,57°
b) Allgemein gilt mit dieser Methode:
tan a = m
c) tan a = 15 : 100 = 0,15 ⇒ a = 8,53°
y
y = 3x
4
3
2
1
x
α
–1
–1
1
2
3
4
7.Die Radiuslinie steht senkrecht zur Tangente. Verlängert man die Abstands­
linie x um r, so erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke. Es gilt:
a
tan ​a} ​= r : (r + x) ⇒ r + x = r : tan ​1 ​} ​ 2​ ⇒ x = 2 m : tan (2,25°) − 2 m = 48,9 m
2
2
Der Beobachter steht knapp 49 m von der Kirchturmkugel entfernt.
36 / 37
16 Sinus und Kosinus am Einheitskreis
1.
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a
sin (a)
cos (a)
a
sin (a)
cos (a)
40°
0,64
0,77
200°
− 0,34
− 0,94
90°
1
0
270°
− 1
0
150°
0,5
− 0,87
310°
− 0,77
0,64
18.12.2007 11:24:58