Der Betrag komplexer Zahlen ” funktioniert“ bzgl. der vier

Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Folge: Bei Gegen-Uhrzeiger-Drehung um 0 und Winkel t 2 [0, ⇡] wandert
Punkt von (1,0) an Ort (cos t, sin t).
Der Betrag komplexer Zahlen funktioniert“ bzgl. der vier
”
Grundrechenarten wie bei den reellen Zahlen:
Das ist ein allgemeines Prinzip für alle t 0. Es bleibt auch für t < 0
richtig, wenn man im Uhrzeigersinn“ dreht. Damit
”
Definition und Satz 6.13 (Parametrisierung von S 1 )
Satz 6.12
Seien z, w 2 C.
1. |z|
0
Es ist S 1 := {(a, b) 2 R2 | |(a, b)| = 1}
um 0 (vgl. Definition 1.10).
( und Gleichheit genau falls z = 0),
2. |z + w |  |z| + |w |
3. |z · w | = |z| · |w |
( -Ungleichung),
und
|z/w | = |z|/|w |
die Einheitskreislinie in R2
1. Zu jedem (a, b) 2 S 1 gibt es genau ein t 2 ]
(falls w 6= 0).
a = cos t
und
⇡, ⇡] mit
b = sin t.
Beweis: Zu 1: Klar per Def.
Zu 2.: Das ist die Dreiecksungleichung in R2 , vgl. Satz 4.8,
p
Zu 3.: Aus |z| = zz mittels Satz 6.10 (3)
2
2. Für t 0 (bzw. t < 0) ist (a, b) = (cos t, sin t) der Ort, der erreicht
wird, wenn ein Punkt von (1, 0) um den Winkel |t| und Drehpunkt
(0,0) gegen den (bzw. im) Uhrzeigersinn gedreht wird.
Bew. Existenz in 1) bzw. Deutung 2) vgl. obige Erläuterungen. Bei der Wahl t 2 ]
(wobei
G. Skoruppa (TU Dortmund)
Mathematik für Chemiestudierende I
WS 2016/2017
161 / 289
G. Skoruppa (TU Dortmund)
Komplexe Zahlen
cos t =
Daher rührt die bekannte Deutung im ersten
Quadranten des Einheitskreises (die
eigentliche Definition!). Sie gilt weiter im
zweiten Quadranten, wenn man t als Winkel
zwischen Dreiecksschenkel mit Länge 1 und
(1, 0) (pos. x-Achse) sieht. Animation
Mathematik für Chemiestudierende I
163 / 289
Definition und Satz 6.14
⇡, ⇡] mit
z = cos t + i sin t.
Gegenkathete
Hypothenuse
Andere t entstehen durch Addition Vielfacher von 2⇡. Für t 2 R sei
t
e it := cos t + i sin t
Ankathete
(Eulersche Relation)
Zunächst ist hier e it nur ein Symbol. Wir werden später sehen, dass es
wirklich mit der Exponentialfunktion zu tun hat.
y
(cos t,sin t)
1
Beispiele:
I
t
(1,0)
x
I
I
G. Skoruppa (TU Dortmund)
WS 2016/2017
Wegen der Identifikation von a + bi 2 C mit (a, b) 2 R2 folgt
Ist z 2 C mit |z| = 1, dann existiert genau ein t 2 ]
Bekanntlich beschreiben sin und cos
Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck:
Gegenkathete
Hypothenuse
Ankathete
.
Hypothenuse
Mathematik für Chemiestudierende I
Komplexe Zahlen
Die kartesische Form a + bi eignet sich gut zum Addieren weniger gut
zum Multiplizieren und noch weniger zum Potenzieren oder Wurzelziehen
bei komplexen Zahlen. Hierfür ist eine andere Darstellung von Vorteil.
sin t =
⇡, ⇡]
⇡ ausgenommen ist!) ist der Drehwinkel zu jedem Punkt auch eindeutig.
WS 2016/2017
162 / 289
e i·0 = cos 0 + i sin 0 = 1 =pe 0 ,
p
p
⇡
e i 4 = cos ⇡
+ i sin ⇡
=1
2+i1
2= 1
2(1 + i),
4
4
2
2
2
i ⇡2
⇡
⇡
e = cos 2 + i sin 2 = 0 + i · 1 = i,
G. Skoruppa (TU Dortmund)
Mathematik für Chemiestudierende I
WS 2016/2017
164 / 289
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Satz 6.15
Für alle t, s 2 R gilt:
1.
2.
|e it |
Beispiele:
=1
e i(t+s)
=
e it
·
e is
(Additionstheorem)
I
aber nach 1. Binom
3.
=e
= 1it
e
4. e int = (e it )n , n 2 Z
it
e it
(cos t + i sin t)2 = cos2 t + 2i sin t cos t
cos 2t = cos2 t
Zu 1)
I
=
cos2 (t)
2
+ sin (t) = 1.
=
cos(t + s) + i sin(t + s)
= (cos t cos s
RS
sin t sin s) + i(sin t cos s + cos t sin s)
= cos 3t + i sin 3t,
(vgl. später)
cos 3t = cos3 t
(Def.)
3 cos t sin2 t
Mathematik für Chemiestudierende I
WS 2016/2017
165 / 289
G. Skoruppa (TU Dortmund)
Komplexe Zahlen
Zu 3) Wegen cos(t) = cos( t) und
it
1
e it
Def.
=
=
sin 2t = 2 sin t cos t.
und
sin 3t = 3 cos2 t sin t
sin3 t.
sin t sin s) + i(sin t cos s + cos t sin s)
G. Skoruppa (TU Dortmund)
e
und
(cos t + i sin t)3 = cos3 t + 3 cos2 t · i sin t + 3 cos t(i sin t)2 + (i sin t)3
= (cos3 t 3 cos t sin2 t) + i(3 cos2 t sin t sin3 t).
Also durch Vergleich:
(Def.)
= (cos t + i sin t) · (cos s + i sin s)
= (cos t cos s
(cos t + i
sin t)3
sin2 t
aber mit dem binomischen Lehrsatz (Pascalsches Dreieck!)
Zu 2)
LS
sin2 t.
Also durch Vergleich:
Beweis:
|e it |2
(cos t + i sin t)2 = cos 2t + i sin 2t,
e it
e it e it
=
WS 2016/2017
167 / 289
Komplexe Zahlen
sin(t) = sin( t) (vgl. später) folgt
cos( t) + i sin( t) = cos t
it
Mathematik für Chemiestudierende I
e
=e
|e it |2
it
Satz 6.17 (Polardarstellung)
Jedes z 2 C kann in der Form
i sin t = e it
z = r · e it
.
2
Zu 4) Mehrfaches Anwenden von 2. für t = s
mit
r 2 [0, 1[,
t2R
dargestellt werden. Dabei ist durch z
I
Satz 6.16 (Moivre-Formel)
I
Für alle t 2 R, n 2 Z gilt:
I
r = |z| eindeutig bestimmt,
bei z 6= 0: t eindeutig in ] ⇡, ⇡] bzw. ganz allg. eindeutig bis auf
Addition ganzer Vielfacher von 2⇡ bestimmt,
bei z = 0:
t beliebig.
(cos t + i sin t)n = cos nt + i sin nt .
Beweis: Bei z = 0 klar: 0 = 0 · e it , t 2 R.
Bei z 6= 0: Betrachte zunächst das auf 1 normierte
Beweis: Eulersche Relation und Satz 6.15 (4)
Bemerkung: Ausrechnen der LS für n > 0 nach dem binomischen
Lehrsatz (der auch in C gilt) liefert Darstellungen für cos nt, sin nt mittels
algebraischen Ausdrücken in cos t, sin t.
G. Skoruppa (TU Dortmund)
Mathematik für Chemiestudierende I
WS 2016/2017
166 / 289
|z/|z|| = |z|/|z| = 1). Nach Satz 6.14 Darstellung
findbar. Daraus folgt z =
G. Skoruppa (TU Dortmund)
|z|e it .
Mathematik für Chemiestudierende I
z
(denn
|z|
z = e it , t 2]
|z|
WS 2016/2017
⇡, ⇡]
2
168 / 289