Theoretische Elektrotechnik 2

Skript zur Vorlesung Theoretische Elektrotechnik 2
Master-Studium der Elektrotechnik
Prof. Dr.-Ing. Dietmar Brück
Betreuer: Jannick Morsch M.Sc.
Marc Quirin M.Sc.
Version 1.1
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
9
2 Einleitung und Motivation
1
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
3
3.1
Vektoren und ihre Komponenten: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.2
Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.1
Vektoraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.2
Vektorsubtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.3
Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2.4
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2.5
Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2.6
Anwendungen der Produktregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.7
Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.8
Differentiation eines Vektors nach einem skalaren Parameter . . . 12
3.3
3.4
Skalar und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.1
Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.2
Die Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.3
Die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.4
Der Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.1
Weitere Integrationsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2
Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.3
Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.4
Greensche Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Die Maxwellsche Theorie
4.1
33
Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1
Die Integralform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2
Die Differentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.3
Eigenschaften der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.4
Die Quellen der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
HTW des Saarlandes
TET 2
3
Inhaltsverzeichnis
4.2
4.3
4.4
4.5
Die Materialbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1
Systemtheoretischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2
Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Übergangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.1
Kantenbedingung und Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung 49
4.3.2
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Einteilung der elektromagnetischen Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.1
Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.2
Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.3
Stationäre Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.4
Quasistationäre Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.5
Schnell veränderliche Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.6
Die Maxwellgleichungen bei harmonischer Zeitabhängigkeit . . 53
Erste Folgerungen aus den Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5.1
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5.2
Der Poyntingsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.3
Der komplexe Poynting Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Lösen der Maxwellgleichungen
61
5.1
Die direkte Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2
Die Klassische Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3
5.2.1
Beispiel an der Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.2
Hertzscher Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.3
Fitzgeraldscher Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Seperation nach Bromwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Die ebene Welle
87
6.1
Separation der skalaren Wellengleichung in kartesischen Koordinaten . 87
6.2
Die ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3
Harmonische ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7 Fresnelsche Reflexion
~ senkrecht zur Einfallsebene, linear polarisiert . . . . . .
7.1 1. Fall: E
~
7.1.1 Übergangsbedingung für E-Tangential
. . . . . . . . . . .
~
7.1.2 Übergangsbedingung für H-Tangential
. . . . . . . . . . .
~
7.2 2. Fall: H senkrecht zur Einfallsebene, linear polarisiert . . . . . .
7.3
4
97
. . . . 98
. . . . 101
. . . . 101
. . . . 102
Spezialfälle der Einfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3.1
1. Fall: Senkrechter Einfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3.2
2. Fall: Streifender Einfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
TET 2
HTW des Saarlandes
Inhaltsverzeichnis
7.4
7.5
7.6
Reflexion und Brechung an rein dielektrischen Medien . . . . . . . . . . 106
7.4.1
1. Fall: θd rein reell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4.2
Brewsterwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4.3
2. Fall θd kann komplex werden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.5.1
Nutzung der Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.5.2
Reflexion und Brechung an leitenden Medien . . . . . . . . . . . 114
7.5.3
Anwendung der Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8 Zylinderwellen
119
9 TEM-Wellen
125
9.1
Leiterstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2
TEM-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3
Verwendung der Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.4
Lösung der Telegraphengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10 Hohlleiter
135
10.1 Kreiszylindrische Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Wellen im Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.3 Rechteckhohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11 Stromverdrängung
157
12 Stromverdrängung
159
13 Hertzscher Dipol
167
Literaturverzeichnis
175
HTW des Saarlandes
TET 2
5
Abbildungsverzeichnis
3.1
~ in einem kartesischen Koordinatensystem (x, y, z) . . . . . .
Der Vektor A
4
3.2
Addition zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3
Vektorsubtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.4
Skalarprodukt (*Animation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.5
Definition des Vektorprodukts AxB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.6
Rechte-Hand-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.7
Bildung des Kreuzproduktes über die Determinante (*Animation) . . . . 10
3.8
Definition des Spatprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.9
Parameterabhängiger Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.10 Höhenlinien Schaumberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.11 Definition des Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.12 Div=0(*Animation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.13 Quelle und Senke(*Animation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.14 Langsame Geschwingigkeit(*Animation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.15 Schnelle Geschwingigkeit(*Animation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.16 Rotation eines Blattes in der (x,y)-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.17 Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.18 Orientierbare Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.19 Volumenintegral als Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1
Unstetigkeitstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2
Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3
Systemtheoretischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4
Faltung (*Animation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5
Übergangsbedingungen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6
B-Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.7
Übergangsbedingungen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.8
E-Tangential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.9
Elmsfeuer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.10 Kontenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.11 Maschenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1
Änderung der Feldstärke bei leitfähigem Material . . . . . . . . . . . . . 64
HTW des Saarlandes
TET 2
7
Abbildungsverzeichnis
5.2
Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3
Aufbau der Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4
Systemtheoretische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5
Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1
Die ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2
Ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3
Ebene Welle mit Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1
Brechung an einer Trennflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2
Lineare Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3
Zirkulare Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4
Streifender Einfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.5
Brechung zum Lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.6
Brechung vom Lot weg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.7
Inhomogene Welle im Fall der Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.8
Strahlversatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.9
RE für Reflexion am optisch dichteren Medium . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.10 RH für Reflexion am optisch dichteren Medium . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.11 RE bei Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.12 RH bei Totalrefelxion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.13 Inhomogene Welle im leitenden Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.14 Brechung an leitenden Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.15 Reflexion im Lichtwellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.16 Ausbreitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.17 Regensensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.1
Besselfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.1
Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2
Feldverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3
Ersatzschaltbild 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.4
Ersatzschaltbild 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5
Zweitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.1 Rechteckhohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.2 Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.3 Hohlleiter (*Animation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.1 Aufgeschnittene Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.2 Stromverteilung einer Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8
TET 2
HTW des Saarlandes
Abbildungsverzeichnis
13.1 Richtcharakteristik Hertzscher Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
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TET 2
9
Tabellenverzeichnis
4.1
Relaxationszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.1 Wert für amn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2 Wert für a0mn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.3 Grenzdaten der einfachsten Wellentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
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TET 2
11
1 Vorwort
Die Theoretische Elektrotechnik 2 greift auf die Theoretische Elektrotechnik 1- Vorlesung aus dem 3. Bachelor-Semester zurück. Sie nimmt die Diskussion der MaxwellTheorie wieder auf, vertieft diese und diskutiert die Lösung an den Anwendungsgebieten aus der Antennentheorie, Fresnel-Reflexion, Hohlleiter und TEM Wellenleitern.
Die allgemeine Lösung der Maxwell Gleichungen in unterschiedlichen Koordinatensysteme ist Basis für die Diskussion der Beispiele. Die Stromverdrängung wird dabei
abschließend allgemein betrachtet, auch wenn der Begriff der Skintiefe bereits im Kapitel über ebene Wellen diskutiert wurde.
Generell wird diese Mastervorlesung als mündliche Prüfung im Beisein eines fachkundigen Zweitprüfers abgenommen um die Fähigkeiten und Kompetenzen der Prüflinge
umfänglich abzuprüfen.
Auch hier gilt mein Dank den Mitarbeitern Jannick Morsch und Marc Quirin, die mich,
nicht nur in den Prüfungen, immer tatkräftig unterstützen.
HTW des Saarlandes
TET 2
13
2 Einleitung und Motivation
Dieses Skript soll lediglich den Einstieg in das Thema Theoretische Elektrotechnik
erleichtern. Es ist notwendig, die im Skript gestellten Aufgaben selbständig zu bearbeiten. In diesem Skript sind verschiedene Animationen vorhanden, die nur in der
elektronischen Form (Adobe Reader) wiedergegeben werden können. Diese sind mit
einem *Animation gekennzeichnet. Um die Animation zu starten, muss lediglich auf
das entsprechende Bild gedrückt werden.
In diesem Skript werden vier wesentliche Themen, die für die Klausur relevant sind,
behandelt:
• Maxwellgleichungen und die Entkopplungen
• Die Ebene Welle
• Brechung und Reflexion
• Hohlleiter
Die traditionellen Hilfsmittel zur Darstellung der Maxwellschen Theorie sind Vektorrechnung und Vektoranalysis. Deswegen werden zu Beginn die wichtigsten Formeln
und Sätze der Vektorrechnung und Vektoranalysis zusammengestellt, um die mathematischen Grundkenntnisse aufzufrischen.
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TET 2
1
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und
Vektoranalysis
3.1 Vektoren und ihre Komponenten:
Vektoren werden geometrisch definiert als gerichtete Strecken im Raum, dabei besitzen
diese einen Betrag und eine Richtung. Das geometrische Bild eines Vektors wird als
Pfeil dargestellt. Unter der Richtung eines Vektors versteht man die Lage des Pfeils
im Raum mit der durch die Pfeilspitze gegebenen Orientierung. Die Vektoren werden
durch einen mit einem Pfeil versehenen Buchstaben gekennzeichnet:
~ a, E,
~ B,
~
A,~
Beispiele für Vektoren sind z.B. Kraft, Beschleunigung, elektrische Feldstärke und magnetische Feldstärke, um nur einige beim Namen zu nennen. Ein räumlicher Vektor
~ besteht aus drei Richtungskomponenten, bezogen auf ein rechtwinkliges KoordinaA
tensystems (x, y, z), die als Ax , A y , Az bezeichnet werden.
~ = (Ax , A y , Az )
Ein Vektor wird somit beschrieben als: A
Koordinatensysteme:
Um einen Vektor in ein Koordinatensystem eintragen zu können, müssen erst wichtige
Voraussetzungen geklärt werden. Es gibt viele verschiedene Koordinatensysteme. In
diesem Skript werden allerdings nur die orthogonalen Koordinatensysteme behandelt
(Richtungen stehen senkrecht aufeinander). In der folgenden Auflistung sind einige
orthogonale Koordinatensysteme benannt.
• Kartesisches Koordinatensystem
• Zylinder Koordinatensystem
• Kugel Koordinatensystem
• Polar (Kugel als Zweidimensionales Koordinatensystem)
• Elliptisches Koordinatensystem
HTW des Saarlandes
TET 2
3
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
• Oblate Spheroid (Erde: Zusammengedrückter Wasserball)
• Prolate Spheroid (Zeppelin)
In Abb. 3.1 ist ein Vektor in einem Dreidimensionalen Raum dargestellt.
Abbildung 3.1: Der
~ in einem kartesischen Koordinatensystem (x, y, z)
Vektor A
Um die Länge (Betrag) zu bestimmen, müssen die einzelnen Richtungskomponenten
quadriert, addiert und danach die Wurzel gezogen werden.
~ =
|A|
q
Ax 2 + A y 2 + Az 2
Ein Vektor mit einem Betrag von eins heißt Einheitsvektor. Einheitsvektoren in der
Richtung der x, y- und z-Achse werden e~x , e~y , e~z genannt. Ein Einheitsvektor hat dabei
lediglich eine Komponente wie z.B.
 
1
 
e~x = 0
 
0
~ kann mit Hilfe der Einheitsvektoren e~x , e~y , e~z als Summe seiner KompoDer Vektor A
nenten dargestellt werden.
~ = (Ax · e~x , A y · e~y , Az · e~z )
A
4
TET 2
HTW des Saarlandes
3.2 Rechenoperationen
3.2 Rechenoperationen
3.2.1 Vektoraddition
~ + B)
~ ist gegeben durch die Addition der jeweiligen
Die Summe zweier Vektoren (A
Richtungskomponente miteinander.
~+B
~ = (Ax + Bx , A y + B y , Az + Bz )
A
In Abb. 3.2 wird eine Vektoraddition dargestellt.
Abbildung 3.2: Addition
zweier Vektoren
Für die Berechnung der Summe gelten das kommutative und das assoziative Gesetzt
~+B
~
~ =B
~ + A,
A
~ + (B
~ = (A
~ + B)
~
~ + C)
~ +C
A
3.2.2 Vektorsubtraktion
~ ist ein Vektor mit dem gleichen Betrag wie A
~ lediglich die Richtung ist umgedreht.
−A
~ ist erklärt als Summe von B,
~ (s. Abb. 3.3):
~ − A)
~ und −A
Die Differenz (B
~=C
~
~ −A
B
~ = (Bx − Ax , B y − A y , Bz − Az )
~ −A
B
~−A
~ = ~0 = (0, 0, 0), wird dieses
Bildet man die Differenz eines Vektors mit sich selbst A
Ergebnis Nullvektor genannt.
HTW des Saarlandes
TET 2
5
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
Abbildung 3.3: Vektorsubtraktion
3.2.3 Multiplikation
~ mit einem skalaren Faktor λ multipliziert, wird jede einzelne KomWird ein Vektor A
ponente des Vektors mit diesem Faktor multipliziert:
~ = (λ · A
~x , λ · A
~ y, λ · A
~z )
λ·A
Diese Rechenoperation ist:
kommutativ:
~=A
~·λ
λ·A
assoziativ:
~ = µ · (λ · A)
~ = λ∗A
~·µ
λ · (µ · A)
distrubutiv:
~ = λ·A
~+µ·A
~
(λ + µ) · A
~ + B)
~+λ·B
~ = λ·A
~
λ · (A
6
TET 2
HTW des Saarlandes
3.2 Rechenoperationen
3.2.4 Skalarprodukt
Geometrische Definition
Das skalare oder innere Produkt von zwei Vektoren wird als Produkt aus dem Betrag
des einen Vektors und der Projektion des zweiten Vektors in die Richtung des ersten
Vektors bezeichnet. (Abb. 3.4) zeigt diesen Zusammenhang:
~·B
~ · |B|
~ = |A|
~ · cos α
A
(3.1)
Ein einfaches Beispiel soll etwas Licht in diese Aussage bringen. In den nachfolgenden
~ = 4 und |B|
~ = 5. Das SkalarBeispielen gelten für die Vektoren folgende Werte |A|
produkt der beiden Vektoren wird hier durch verschiedene Kosinuswerte (a) cos 0◦ =
1, b) cos 45◦ = 0, 7, c) cos 90◦ = 0) bestimmt.
~·B
~ · |B|
~ = |A|
~ · cos 0◦ = 20
a) A
~·B
~ · |B|
~ = |A|
~ · cos 45◦ = 14
b) A
~·B
~ · |B|
~ = |A|
~ · cos 90◦ = 0
c) A
Abbildung 3.4: Skalarprodukt
HTW des Saarlandes
TET 2
(*Animation)
7
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
~·B
~ ist stets ein Skalar. Es gelten das kommutative,
Das Ergebnis des skalaren Produkts A
das distributive und auch das assoziative Gesetzt.
~·B
~
~ =B
~ · A,
A
~ + B)
~=A
~·C
~ +B
~
~ ·C
~ · C,
(A
~ ·B
~ · B),
~ = λ(A
~
(λ · A)
λ = Skalar
In kartesischen Koordinaten
In der Koordinatenschreibweise berechnet man das Skalarprodukt aus der Summe der
Multiplikationen der einzelnen Komponenten zueinander. Es werden zwei Vektor in
einem dreidimensionalen Raum betrachtet:
 
Ax 
 
~
A = A y 
 
Az
 
Bx 
 
~
B = B y 
 
Bz
Das Skalarprodukt dieser Vektoren sieht folgendermaßen aus:
   
Ax  Bx 
   
A  · B  = (A · B + A · B + A · B )
x
x
y
y
z
z
 y   y 
   
Az Bz
8
TET 2
(3.2)
HTW des Saarlandes
3.2 Rechenoperationen
3.2.5 Kreuzprodukt
Geometrische Definition
~ und B,
~ auch Kreuzprodukt genannt, ergibt ein neuDas Vektorprodukt zweier Vektoren A
~ Dieser steht senkrecht auf der von den Vektoren A
~ und B
~ aufgespannten
en Vektor C.
~ ist gleich der Fläche des aufgespannten ParalEbene. Der Betrag des neuen Vektors C
~ und B
~ errechnet sich nach
~ (s. Abb. 3.5). Der Betrag von C
lelogramms der Vektoren A
der Vorschrift:
~ = |Ax
~ B|
~ · |B|
~ = |A|
~ · sin α,
|C|
Abbildung 3.5: Definition
0≤α≤π
(3.3)
des Vektorprodukts AxB
~ ist durch die „Rechte-Hand-Regel“ festgelegt (s.
Der Orientierungssinn des Vektors C
Abb. 3.6), da die Vektoren ein Rechtssystem bilden, was bedeutet, dass die Vektoren
~ B,
~ sich wie Daumen, Zeigefinger und abgespreizter Mittelfinger verhalten.
~ C
A,
Abbildung 3.6: Rechte-Hand-Regel
HTW des Saarlandes
TET 2
9
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
Das Vektorprodukt ist NICHT kommutativ, da ein Vertauschen der Faktoren den Richtungssinn umkehrt.
~ B
~
~ = −Bx
~ A
Ax
~ + B)x
~ = Ax
~ C
~ + Bx
~
~ C
~ C
(A
~ C
~ = λ · (Ax
~ C)
~
(λ · A)x
Komponentenweise Berechnung
In rechtshändigen kartesischen Koordinaten gilt für das Kreuzprodukt:
    

Ax  Bx   A y · Bz − Az · B y 
    

~ B
~ = A y  x B y  =  Az · Bx − Ax · Bz 
Ax
    

    

Az
Bz
Ax · B y − A y · Bx
(3.4)
Eine Merkregel, die für die Bildung des Kreuzproduktes verwendet werden kann, ist
die symbolische Darstellung über die Determinante (s. Abb. 3.7).
Abbildung 3.7: Bildung
des Kreuzproduktes über die Determinante (*Animation)
3.2.6 Anwendungen der Produktregeln
~ ist durch |A|
~ =
Der Betrag eines Vektors A
p
~·A
~ darstellbar. Aus den nachfolgenden
A
Berechnung lassen sich bestimmte Aussagen treffen:
~·B
~ =0
1. A
10
TET 2
HTW des Saarlandes
3.2 Rechenoperationen
~ B
~ =0
2. Ax
~ = 0 oder der Vektor
Um die in 1 gezeigte Behauptung zu erhalten, ist der Vektor A
~ steht orthogonal zu B.
~ = 0 oder der Vektor A
~
B
~=0
Das gleiche gilt für die Behauptung 2 in den beiden ersten Punkten: Der Vektor A
~ verläuft parallel zu B.
~ A
~ = 0.
~ = 0 oder der Vektor A
~ Daher gilt Ax
oder der Vektor B
3.2.7 Spatprodukt
~ und B
~ mit einem dritten Vektor
Das Produkt aus dem Skalarprodukt zweier Vektoren A
~
C
~ · B)
~=D
~ C
~
(A
~ dar. Die Reihenfolge der Multiplikation darf dabei
stellt einen Vektor in die Richtung C
nicht verändert werden. Drei Vektoren, die nicht in einer Ebene liegen, spannen ein
~ B
~ wiederum einen Vektor darstellt, kann
Volumen (Spat) auf. Da das Vektorprodukt Ax
~ multipliziert werden. Das
dieser Vektor zunächst skalar mit einem dritten Vektor C
dadurch entstandene Produkt:
~ B)
~
~ ·C
V = (Ax
(3.5)
wird Spatprodukt genannt. Das Spatprodukt ist ein Skalar, dessen Wert dem aufgespannten Volumen der drei Vektoren gleich ist (s. Abb. 3.8).
Abbildung 3.8: Definition
HTW des Saarlandes
TET 2
des Spatprodukts
11
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
~ B,
~ ein Rechtssystem bilden und negativ,
~ C
Das Produkt ist positiv, falls die Vektoren A,
wenn ein Linkssystem gebildet wird. Wenn zwei Vektoren gleicher Richtung, enthalten
sind, ist das Produkt gleich Null ⇒ Die Vektoren spannen kein Volumen auf.
3.2.8 Differentiation eines Vektors nach einem skalaren Parameter
~ = (Ax , A y , Az ) kann von einem skalaren Parameter, z.B. von der Zeit t,
Ein Vektor A
abhängen. Dies bedeutet, dass seine Komponenten alle Funktionen der Zeit sind:
Ax = Ax (t),
A y = A y (t),
Az = Az (t)
~ ausgehend von einem festen Punkt, z.B. einem KoStellen wir uns einen Vektor A(t)
ordinatenursprung, vor (s. Abb. 3.9).
Abbildung 3.9: Parameterabhängiger
Vektor
~
Bei zunehmendem Wert t beschreibt der Endpunkt des zeitabhängigen Vektors A(t)
→
→
~ für die
eine Kurve Γ. Dabei bestimmen die Wege 0P1 und 0P2 die Lage des Vektors A
→
jeweiligen Parameterwerte t und t + ∆t. Die Verbindung P1 P2 entspricht der Differenz
~ + ∆t) − A(t)
~ und der dazugehörige Quotient
A(t
~ + ∆t) − A(t)
~
A(t
δt
(3.6)
→
liefert einen Vektor parallel zu P1 P2 . Um die Ableitung eines abhängigen Vektors zu
12
TET 2
HTW des Saarlandes
3.2 Rechenoperationen
bestimmen, gelten folgende Regeln:
~ + ∆t) − A(t)
~
A(t
d ~
A(t) := lim
∆t→0
dt
δt
(3.7)
Diese Ableitung ist ein Vektor, der die Richtung der Tangente an die Kurve Γ im Punkt
~ = ~r ein
P1 hat. Dieser Vektor hängt auch von t ab und stellt, wenn t die Zeit ist und A
Ortsvektor darstellt, die Geschwindigkeit dar, mit der sich der Endpunkt von ~r auf der
Kurve bewegt.
HTW des Saarlandes
TET 2
13
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
3.3 Skalar und Vektorfelder
Physikalische Vorgänge sind im Allgemeinen von mehr als einer Veränderlichen abhängig. Sie bilden also Funktionen mehrerer Variablen. Es sei zunächst angenommen,
dass die zu betrachtende physikalische Größe ϕ eine skalare Funktion des Ortes ist.
Dann definiert die Ortsfunktion ϕ = ϕ(x, y, z) ein räumliches Skalarfeld. Sie ordnet jedem Raumpunkt x,y,z eine skalare Größe ϕ(x, y, z) zu. Ein Beispiel hierfür wäre ein
Temperaturfeld. Wenn die vektoriellen Größen in jedem Punkt des Raumes einem
~ y, z) = Ax (x, y, z), A y (x, y, z), Az (x, y, z) zugeordnet sind, so sprechen wir von
Vektor A(x,
einem Vektorfeld. Diese Komponenten sind nunmehr Ortsfunktionen. Sie können aber
dennoch Funktionen der Zeit sein. Ein Beispiel dafür wäre ein Geschwindigkeitsfeld.
~ = A(x,
~ y, z) schreiben wir auch A
~ = A(~
~ r), wobei ~r = x, y, z der allgemeine Ortsvektor
Für A
ist. Durch Differentiation nach den Koordinaten x,y,z entstehen aus ϕ(x, y, z) bzw.
~ y, z) neue Skalar- und Vektorfelder.
A(x,
14
TET 2
HTW des Saarlandes
3.3 Skalar und Vektorfelder
3.3.1 Der Gradient
Der Gradient ist ein mathematischer Differentialoperator, der auf ein Skalarfeld angewandt werden kann und in diesem Fall ein Vektorfeld liefert. Der Gradient zeigt dabei
an jedem Punkt des Raumes in die Richtung des stärksten Anstieges, sein Betrag gibt
dabei die Steigung in diese Richtung an (s. Abb. 3.10).
Abbildung 3.10: Höhenlinien
Schaumberg
Gradient eines Skalar-Feldes
Alle Punkte ~r, für die eine skalare Funktion ϕ(~r) einen festen Wert c annimmt, bilden
eine Fläche: ϕ(~r) = c. Geben wir c verschiedene konstante Werte c1, c2, ..., so entsteht
eine Flächenschar, die Schar der sogenannten Niveauflächen (Äquipotentialflächen falls, ϕ
ein Potential ist). Im Zweidimensionalen entsprechen den Niveauflächen Niveaulinien
(man denke an die geodätischen Höhenlinien s. Abb. 3.11).
Beim Fortschreiten von einem Aufpunkt P zu einem benachbarten Punkt P’ der gleichen Niveaufläche ist die Änderung der Feldfunktion ϕ(~r) gleich Null. Um eine Änderung δϕ zu erreichen, müssen wir auf eine benachbarte Niveaufläche übergehen.
Die Änderung ist dabei am größten, wenn wir senkrecht zu den Niveauflächen nach
P” fortschreiten. Der zugehörige Einheitsvektor, der ein Normalvektor darstellt und
dabei in die Richtung wachsender ϕ-Werte zeigt, wird hier mit ~n gekennzeichnet und
das dazugehörige Linienelement mit dn. Bewegen wir uns dann zu einem Punkt P”’
in einer Richtung d~r vor, die mit ~n den Winkel ϑ bildet, so benötigen wir dazu den
Weg |d~r| und es gilt:
HTW des Saarlandes
TET 2
15
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
Abbildung 3.11: Definition
des Gradienten
dn = |d~r| · cos ϑ,
|d~r| =
dn
cos(ϑ)
Für die auf |d~r| bezogene Änderung von ϕ gilt somit:
dϕ
|d~r|
⇒
= cos(ϑ) ·
dϕ = |d~r| ·
dϕ
,
dn
dϕ
· cos(ϑ)
dn
(3.8)
Dies können wir, in Erinnerung an das Skalarprodukt zweier Vektoren, in eine vektorielle Form kleiden, wenn wir als Gradient von ϕ(~r) den Vektor:
gradϕ(~r) := ~n ·
dϕ
dn
(3.9)
definieren. Durch Einsetzen der Formel 3.9 in 3.8 und mit der Berücksichtigung, dass
cos(ϑ) =
d~r · ~n
|d~r| · ~n
|{z}
1
ergibt sich folgender Zusammenhang:
16
TET 2
HTW des Saarlandes
3.3 Skalar und Vektorfelder
dϕ = d~r · gradϕ(~r)
(3.10)
Durch den Vektor grad ϕ(~r) wird die differentielle Änderung von ϕ(~r) in einer Umgebung des Aufpunktes ~r beschrieben. Sein Betrag gibt je nach Größe die Stärke des
Anstiegs an und seine Orientierung zeigt die Richtung an, in der die maximale Zunahme erfolgt.
In karthesischen Koordinaten gilt:
 δϕ 
 δx 
 δϕ 
gradϕ(x, y, z) =  δy 
 δϕ 
 
(3.11)
δz
3.3.2 Die Divergenz
Die Divergenz ist eine skalare Größe, die als „Quellergiebigkeit“ beschrieben werden
kann. Diese gibt Aussagen darüber, ob und wie stark sich in einem Raumgebiet eines
!
~ ändert. Um es einfacher auszudrücken, prüft
~ r) der Fluss
~ r) · dA
Vektorfeldes B(~
B(~
A
die Divergenz, was in einem Volumen rein und raus geht von der zu bestimmenden
Vektorgröße. Wenn der Fluss sich verstärkt, muss eine Quelle vorhanden sein (s. Abb.
3.13), wird hingegen der Fluss verringert, ist eine Senke vorhanden (s. Abb. 3.13).
Wird der Fluss weder verstärkt noch geschwächt, so ist das Ergebnis der Berechnung
~ = 0, was bedeutet, dass weder Quellen noch Senken vorhanden sind.
divB
Die Divergenz berechnet sich aus der Differenz des Vektorflusses der, aus dem betrachteten Raumgebiet austritt, im Vergleich zu demjenigen, der eintritt.
Um diesen Begriff eine mathematische Form zu geben, wird in unserem Fall ein rechtwinkliges Volumenelement betrachtet (dV= dx, dy, dz) und daraus wird die Differenz
zwischen einem eintretenden und austretenden Vektorfluss eines Vektorfeldes berechnet (s. Abb. 3.12).
~ y, z) = (Bx (x, y, z), B y (x, y, z), Bz (x, y, z))T
B(x,
Betrachten wir den durch die Fläche dA = dydz in positive x-Richtung eintretenden
~ der durch folgende Beziehung gegeben ist
Vektorfluss B,
Bx (x, y, z)dydz
HTW des Saarlandes
TET 2
17
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
Abbildung 3.12: Div=0(*Animation)
während in der Entfernung dx durch die gleiche Fläche der Fluss
Bx (x + dx, y, z)dydz
austritt. Durch die Taylorreihenentwicklung, die nach dem ersten Glied abgebrochen
wird (da wir von kleinen Probevolumen ausgehen), erhalten wir die gesuchte Differenz
des austretenden Vektorflusses gegenüber des eintretenden.
Bx (x + dx, y, z)dydz − Bx (x, y, z)dydz
(3.12)
Mit der Taylorreihe
Bx (x + dx, y, z) = Bx (x, y, z) +
δBx(x, y, z)
· δx.....
δx
(3.13)
ergibt sich durch Einsetzten der Formel 3.13 in 3.12:
δ
· Bx (x, y, z)dxdydz
δx
⇒
(3.14)
Analog dazu können auch die B y und Bz Komponente berechnet werden:
B y (x, y + dy, z)dxdz − B y (x, y, z)dxdz
⇒
18
δ
· B y (x, y, z)dxdydz
δy
TET 2
HTW des Saarlandes
3.3 Skalar und Vektorfelder
und:
Bz (x, y, z + dz)dxdy − Bz (x, y, z)dxdy
⇒
δ
· Bz (x, y, z)dxdydz
δz
Um die Divergenz des gesamten Volumen bestimmen zu können, werden die jeweiligen partiellen Richtungskomponenten miteinander addiert (dV = dxdydz). Somit
ergibt sich folgende Gesamtformel:
~ dV = [
divB
δ
δ
δ
· Bx +
· B y + · Bz ] · dxdydz
δx
δy
δz
|
{z
}
(3.15)
~
divB
Abbildung 3.13: Quelle
HTW des Saarlandes
und Senke(*Animation)
TET 2
19
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
3.3.3 Die Rotation
Bei der Divergenz und dem Gradienten haben wir die Eigenschaften eines Vektorfeldes
erfasst, die sich auf Änderungen zurückführen lassen, die im Feldlinienbild Linienzüge
erfahren, die nicht geschlossen sind, d.h. Anfänge und Enden besitzen. Zu den Feldlinien können auch geschlossene Linienzüge, sogenannte Wirbel, auftreten. Z.B. stellt man
sich ein Blatt auf der Saar vor, das mit einer Geschwindigkeit v fließt. Die Oberfläche
~ der Strömungsgedes Blattes liegt in der (x,y)-Ebene. Liegt dabei jetzt der Vektor V
schwindigkeit des Wassers an dessen Oberfläche vollständig in der x-Richtung und
~ nur von x ab, so wird das Blatt keiner Drehbewegung unterworfen. Wenn jetzt
hängt V
~ auch eine Komponente in y-Richtung
Wirbel vorhanden sind, was bedeutet, dass V
besitzt und somit von x und y abhängt, wird zu der Translationsbewegung noch eine
~ die Geschwindigkeit
Rotationsbewegung dazukommen. Dabei gibt der Betrag des V
der Drehbewegung an (s. Abb. 3.14 und Abb. 3.15).
Abbildung 3.14: Langsame
Abbildung 3.15: Schnelle
20
Geschwingigkeit(*Animation)
Geschwingigkeit(*Animation)
TET 2
HTW des Saarlandes
3.3 Skalar und Vektorfelder
Satz von Stokes
Der Satz von Stokes gibt die Umwandlung eines Oberflächenintegral in ein Linienintegral an (3.16)
"
~=
~ · dA
·rotV
I
~ · d~s
·V
(3.16)
Γ
A
Wenn wir den Stokesschen Satz auf ein kleines ebenes Flächenstück der Fläche δA
~ norm zu dieser Fläche mit der Form:
anwenden, erhalten wir die Komponente von rotV
1
∆A→0 ∆A
~ norm = lim
(rotV)
I
~ · d~s,
V
(3.17)
Γ
~ als Zirkulation der Flächeneinheit (Wirbeldichte) auffassen.
Wir können demnach rotV
~ Dazu bestimmen wir
Aus (3.17) erhalten wir die Koordinatendarstellung von rotV.
die Zirkulation für die einzelnen Teilkomponenten (x,y,z), indem wir z.B. für die zKomponente den Umlauf um das infinitesimale Flächenelement dxdy bestimmen (s.
Abb. 3.16).
Abbildung 3.16: Rotation
HTW des Saarlandes
eines Blattes in der (x,y)-Ebene
TET 2
21
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
Das geschlossene Umlaufintegral
I
~ · d~s
·V
Γ
kann jetzt für die einzelnen Komponenten bestimmt werden. Als Beispiel soll die
Berechnung in Vz Richtung genügen, da die Berechnung der anderen Komponenten
ebenso erfolgt:
I
~ · d~s = −V y · δy + Vx · δx + (V y (x + δx)) · d y − (Vx (y + δy)) · δx
·V
Γ
Mit Verwendung der bereits bekannten Taylorreihe ergibt sich folgende Gleichung:
−V y · δy + Vx · δx + (V y +
δV y
δx
· δx) · δy − (Vx +
δVx
· δy) · δx
δy
Nach dem Ausmultiplizieren ergibt sich:
δV y
δVx
δ
δ
· δxδy −
· δyδx = [ V y − Vx ] · δyδx = [
δx
δy
δx
δy
I
~ · d~s]n
V
(3.18)
Γ
~ dividiert werden, was der Fläche δx · δy
Als letzter Schritt muss jetzt noch durch dA
entspricht. Somit ergibt sich für die Rotation in z-Komponente folgende Endgleichung
rotVz =
δV y
δx
−
δVx
δy
(3.19)
und analog dazu durch entsprechendes zyklisches Vertauschen:
rotVx =
δVz δV y
−
δy
δz
(3.20)
rotV y =
δVx δVz
−
δz
δx
(3.21)
Eine entsprechende Merkregel ist gegeben durch die Formel 3.22:
~ex ~e y ~ez δ
δ ~ = δ
rotV
δx δy δz Vx V y Vz 22
TET 2
(3.22)
HTW des Saarlandes
3.3 Skalar und Vektorfelder
3.3.4 Der Nabla-Operator
~ (Nabla)
Definition eines Differentialoperators ∇:
Die Form des Nabla-Operator ist gegeben durch;
δ
 δx 
 
~ :=  δ 
∇
 δy

δ 
(3.23)
δz
~ lassen sich Gradient, Divergenz und
Durch die Einführung des Nabla-Operator ∇
Rotation einfach definieren. Es gilt:
 δϕ 
 δx 
 
~ =  δϕ  ,
gradϕ(x, y, z) = ∇ϕ
 δy 
 δϕ 
δz
~ y, z) =
divB(x,
~ ·B
~ x (x, y, z) + δ · B
~ y (x, y, z) + δ · B
~ z (x, y, z),
~ = δ ·B
∇
δx
δy
δz
~ex ~e y ~ez δ
δ ~ V
~ y, z) = ∇x
~ = δ
rotV(x,
δx
δy
δz
Vx V y Vz Rechenregeln für Differentialoperatoren
Durch Ausrechnen, z.B. in kartesischen Koordinaten, lassen sich folgende Beziehun~ y, z) aufstellen:
gen für f(x,y,z) , g(x,y,z) und A(x,
grad( f g) = f grad g + g grad f,
rot grad f = ~0,
~ = 0,
div rot A
~ = f div A
~+A
~ grad f
div( f A)
~ B)
~−A
~ · rot B
~ =B
~ · rot A
~
div(Ax
~ = f rot A
~ + grad f xA.
~
rot( f A)
~ = grad div A
~−∆ A
~ //wobei ∆ := Delta Operator ∇2
rot rot A
~ ·∇
~ f = δ22 δ22 δ22 f
div grad f = ∆ f = ∇
δx
δy
δz
HTW des Saarlandes
TET 2
23
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
Aufgaben
Um die gelernten Inhalte besser nachvollziehen zu können, sollten Sie folgende Aufgaben versuchen zu lösen. ~r stellt dabei den Ortsvektor dar mit ~r = (x, y, z) und |~r| = r:
1. grad~r = ~rr
2. div~r = 3
3. rot~r = ~0
4. grad(~a ·~r) = ~a
5. rot(~ax~r) = 2~a
6. div(~ax~r) = 0
24
TET 2
HTW des Saarlandes
3.4 Integration von Vektoren
3.4 Integration von Vektoren
~ = (Bx (t), B y (t), Bz (t)) eine Vektorfunktion mit einer skalaren VariaEs ist ein Vektor B(t)
~ stetig sind.
blen t gegeben. Es wird vorausgesetzt, dass die x,y,z-Komponente des B
~ dann gilt:
Bildet man jetzt das unbestimmte Integral über B,
Z
~
B(t)dt
= ~ex ·
Z
Z
Z
Bx (t)dt +~e y ·
B y (t)dt +~ez ·
Bz (t)dt
(3.24)
~ dann
~ darstellen könnte als die Ableitung nach der Zeit eines Vektors S,
Wenn man B(t)
gilt:
Z
~
B(t)dt
=
Z
d~
~ +~c
S(t)dt = S(t)
dt
⇒ Der Vektor ~c ist dabei die Integrationkonstante
(3.25)
Möchte man diese Funktion jetzt als bestimmtes Integral zwischen den Grenzen a und
b bestimmen, dann gilt:
b
Z
~ − S(a)
~
~
B(t)dt
= S(b)
(3.26)
a
In diesen Beispielen ist derzeit nur bezüglich der Zeit integriert worden. Es besteht
aber auch die Möglichkeit, bezüglich des Ortes zu integrieren. Wir definieren:
Z
P2
~ · d~r =
B
Z
P1
Γ
~ · d~r
B
(3.27)
Eine Kurve Γ, die die Punkte P1 und P2 verbindet, die durch t = t1 und t = t2 festgelegt
sind, wird über den Ortsvektor ~r = ~r(t) beschrieben (s. Abb. 3.17).
~ r) entlang dieses Weges integrieren,
Man stelle sich jetzt vor, man müsste irgendein B(~
dann wäre d~r die Tangente an der Kurve, die in Richtung des Weges zeigt. Zu bilden
~ r) · d~r:
ist jetzt das Skalarprodukt über B(~
Z
Γ
~ · d~r =
B
Z
Γ
(Bx dx + B y dy + Bz dz)
(3.28)
~ eine Kraft ist, die über einen bestimmten Weg
Wenn man sich jetzt vorstellt, dass B
integriert wird, erhält man die verrichtete Arbeit. Das bedeutet, es ist eine physikalische
Analogie vorhanden. Es wird mehr Arbeit verrichtet, wenn man einen Wagen einen
HTW des Saarlandes
TET 2
25
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
Abbildung 3.17: Linienintegral
Berg hochzieht im Vergleich zu einen geraden Ebene.
3.4.1 Weitere Integrationsmöglichkeiten
Man stelle sich eine zweidimensionale Fläche in einem dreidimensionalen Koordinatensystem vor (s. Abb. 3.18). Bezüglich dieser Fläche gibt es ein kleines Flächenelement
~ Das Flächenelement kann dargestellt werden durch:
dA.
~ = ~ndA
δA
(3.29)
und das dazugehörige Flächenintegral
"
~
~ · dA
B
(3.30)
A
Durch Einsetzten der Formel (3.29 in 3.30) kann das Integral umgeschrieben werden
zu:
"
⇒
~ · ~ndA
B
(3.31)
A
~ das irgendwie gerichtet ist, jetzt in
~ · ~n sorgt dafür, dass das Vektorfeld B,
Dieses B
die Orientierung senkrecht durch die Fläche umgerechnet wird (also welcher Anteil
geht senkrecht durch die Fläche). Dieses Flächenintegral entspricht dem Fluss des
~ durch die Fläche A. Man kann jetzt festhalten, dass das Flächenintegral
Vektorfeldes B
26
TET 2
HTW des Saarlandes
3.4 Integration von Vektoren
~ · dA besagt, wieviel des B-Feldes
~
B
genau durch diese Fläche geht.
Abbildung 3.18: Orientierbare
Fläche
3.4.2 Volumenintegral
Man stelle sich einen dreidimensionalen Körper, z.B. einen Würfel, vor, in dem ein
~
~
B-Feld
vorhanden ist. Im nächsten Schritt wird überprüft, wie das B-Feld
in jedem
einzelnen kleinen Würfel vorhanden ist und summiert die einzelnen kleinen Würfel
auf. Um dies zu realisieren, wird nach x,y,z integriert (s. Abb. 3.19). Es erstreckt sich
also die Integration über ein Volumen, wie hier z.B. in:
$
~
BdV
(3.32)
V
Abbildung 3.19: Volumenintegral
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TET 2
als Würfel
27
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
3.4.3 Integralsätze
Es werden in diesem Abschnitt einige Integralsätze aufgezählt, die für die Maxwellsche Theorie äußerst wichtig sind. Die Herleitung zu den Sätzen wird jedoch nicht
behandelt und ist in entsprechenden Literaturen nachzuschlagen.
Erster Integralsatz von Gauß
Der erste Satz von Gauß beschreibt, dass im Skalarfeld ϕ = ϕ(x, y, z) das Flächenintegral über die geschlossene Fläche A durch ein Volumenintegral ersetzt werden kann,
welches zu ϕ gehörenden Gradientenfeldes grad ϕ über den von A eingeschlossenen
räumlichen Bereich V (s. Formel 3.33).
~=
ϕdA
$
grad ϕdV
(3.33)
V
A
Zweiter Integralsatz von Gauß
~ = B(x,
~ y, z) das skalare Flächenintegral über
Dieser besagt, dass in einem Vektorfeld B
eine geschlossene Fläche A gleich dem Volumenintegral des zugeordneten Skalarfeldes
~ über das von A eingeschlossene Volumen V ist (s. Formel 3.34).
divB
~=
~ · dA
B
$
~
div BdV
(3.34)
V
A
Dritter Integralsatz von Gauß
~ über das von A eingeschlossene
Das negative Volumenintegral des Rotationsfeldes rotB
~ = B(x,
~ y, z)
Volumen V ist gleich dem vektoriellen Flächenintegral des Vektorfeldes B
über eine geschlossene Fläche A (s. Formel 3.35).
~=−
~ A
Bxd
$
~
rot BdV
(3.35)
V
A
Erster Integralsatz von Stokes
Das Kurvenintegral der Feldfunktion ϕ = ϕ(x, y, z) längs der Kurve Γ ist gleich dem
negativen vektoriellen Flächenintegral des zugehörigen Gradientenfeldes grad ϕ über
eine beliebige in Γ eingespannte Fläche A (s. Formel 3.36).
"
I
Γ
28
ϕd~r = −
~
grad ϕxdA
(3.36)
A
TET 2
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3.4 Integration von Vektoren
Zweiter Integralsatz von Stokes
~ = B(x,
~ y, z) längs einer geschlossenen Kurve
Das Kurvenintegral des Vektorfeldes B
~ über eine in Γ eingespannte
Γ entspricht dem Flächenintegral des Vektorfeldes rot B
Fläche A (s. Formel 3.37).
I
Γ
~ · d~r =
B
"
~
~ · dA
rot B
(3.37)
A
Die Gaußschen Sätze stellen die Integralbeziehungen zwischen einem Volumen und
einem Flächenintegral dar. Die Stokeschen Sätze hingegen vermitteln einen Zusammenhang zwischen Flächen und Kurvenintegralen.
In der Maxwell-Theorie nehmen vor allem einige Folgerungen aus dem zweiten Gaußschen Integralsatz eine zentrale Stellung ein. Diese Folgerungen ergeben sich ebenfalls
in Form von Integralsätzen, die unter dem Namen „Greensche Integralsätze“ zusammengefasst sind.
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TET 2
29
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
3.4.4 Greensche Integralsätze
In diesem Abschnitt werden die Greenschen Integralsätze erklärt. Diese wurden in der
Vorlesung nicht behandelt und dienen hier nur als Ergänzung.
Zur Herleitung der Greenschen Integralsätze gehen wir von zwei skalaren Funktionen
ϕ(~r) und ψ(~r) aus. Diese besitzen die nötigen Stetigkeitseigenschaften (Existenz der
zweiten, Stetigkeit der ersten partiellen Ableitung) und werden in (3.34), dem zweiten
Integralsatz von Gauß, eingesetzt:
~ = ϕ gradψ − ψ gardϕ
B
(3.38)
Es wird als Nächstes noch folgender Zusammenhang benötigt:
div(ϕ gradψ) = (gradϕ · gradψ) + ϕ div gradψ = (gradϕ · gradψ) + ϕ∆ψ
div(ψ gradϕ) = (gradϕ · gradψ) + ψ div gradϕ = (gradϕ · gradψ) + ψ∆ϕ
(3.39)
Wenn wir diese beiden Gleichungen 3.39 auf die Gleichung 3.38 anwenden, erhalten
wir:
~ = ϕ∆ψ − ψ∆ϕ
divB
(3.40)
~ = ~n · dA und ~n · grad =
Damit geht der zweite Gaußsche Satz 3.34 mit dA
δ
δn
in folgende
Gleichung über:
~=
~ · dA
B
~
[ϕ gradψ − ψ gardϕ] · dA
A
A
⇒
⇒
dψ
dϕ
~ =
=
[ϕ
−ψ
] · dA
dn
dn
A
$
=
[ϕ∆ψ − ψ∆ϕ] · dV
$
~ · dV
divB
(3.41)
V
V
Somit ergibt sich die erste Form des Greenschen Satzes:
dψ
dϕ
~ =
[ϕ
−ψ
] · dA
dn
dn
$
[ϕ∆ψ − ψ∆ϕ] · dV
(3.42)
V
A
Diese gilt für zwei beliebige Funktionen ϕ(~r) und ψ(~r) und für jede beliebige Begrenzung A des Raumgebietes V. Es ist zu beachten, dass die Normale ~n wie im Gaußschen
Satz positiv nach außen gerechnet wird.
30
TET 2
HTW des Saarlandes
3.4 Integration von Vektoren
Wir haben bisher vorausgesetzt, dass V nach außen hin durch eine einzige Fläche A
begrenzt ist. Handelt es sich um einen Hohlkörper, so tritt zu der äußeren eine innere
Begrenzung hinzu. Auf der linken Seite von 3.42 ist dann über beide Begrenzungsflächen zu integrieren. Das ist auch dann der Fall, wenn es im Innern von V Stellen gibt,
an deren eine der Funktionen ϕ oder ψ singulär wird. Dann sind diese Stellen von der
Integration durch innere Begrenzungsflächen Ai auszusondern und das Integral über
diese auf der linken Seite von 3.42 hinzuzufügen.
Die zweite Form des Greenschen Satzes erhalten wir, wenn wir im Gaußschen Satz 3.34
~ = ϕ gradψ
B
(3.43)
ersetzten. Dann ergibt sich:
$
~ dV =
divB
V
$
div(ϕ gradψ) dV
V
$
⇒
=
[(gradϕ · gradψ) + ϕ∆ψ] dV
V
⇒
=
~ =
~ · dA
B
A
ϕ
(3.44)
dψ
dA.
dn
A
Wird jetzt speziell ϕ = ψ gesetzt, ergibt sich aus der Gleichung 3.44
$
$
(gradϕ) +
V
ϕ∆ϕ dV =
2
V
ϕ
dψ
dA.
dn
(3.45)
A
Aus dieser Gleichung lassen sich nun Rückschlüsse auf die Potentialtheorie (Theorie
der Differentialgleichung δϕ = 0) ziehen, deren Lösungen „Potentiale“ heißen. Aus
der Gleichung 3.45 lesen wir z.B. unmittelbar den Satz ab:
Satz: Ein Potential, das auf einer geschlossenen Fläche A verschwindet und im Inneren
derselben überall regulär ist, verschwindet im ganzen Inneren von V.
Zum Beweis betrachten wir (3.45), woraus unter den getroffenen Voraussetzungen
$
(gradϕ)2 dV = 0
V
folgt. Da aber (gradϕ)2 niemals negativ sein kann, muss gradϕ = 0 in allen Punkten
von V gelten. Dann muss aber ϕ = const. sein und, da ϕ = 0 auf A, auch ϕ = 0 in V sein.
Da wir später eine Verallgemeinerung des Greenschen Satzes auf Vektorfunktionen
HTW des Saarlandes
TET 2
31
3 Grundlagen zur Vektorrechnung und Vektoranalysis
~ r) und N(~
~ r) zwei in
benötigen, soll diese noch kurz hergeleitet werden: Es seien M(~
einem Gebiet V zweimal stetig differenzierbare Vektorfelder. Dann gilt nach der Formel
~ B)
~ −A
~·B
~ = B
~ · rotA
~ und dem Satz von Gauß 3.34
div(Ax
$
V
$
⇒ =
~ r) x rotM(~
~ r)] dV
div[N(~
~ r) · rotN(~
~ r) − N(~
~ r) · rot rotM(~
~ r)]dV
[rotM(~
(3.46)
V
⇒
~
~ r) x rotM(~
~ r)] · dA,
[N(~
=
A
~ = ~n dA das ins Äußere weisende Flächenelement der Randfläche A des
wobei dA
~ r) und M(~
~ r) in 3.46 und nachfolgender
Gebietes V ist. Durch Vertauschung von N(~
Subtraktion der entsprechenden Gleichungen erhalten wir:
$
V
⇒
=
~ r) · rot rotM(~
~ r) − M(~
~ r) · rot rotN(~
~ r)] dV
[N(~
~
~ r) x rotN(~
~ r) − N(~
~ r) x rotM(~
~ r)] · dA,
[M(~
(3.47)
A
eine Verallgemeinerung des Greenschen Satzes auf Vektorfunktionen.
32
TET 2
HTW des Saarlandes
4 Die Maxwellsche Theorie
4.1 Die Maxwell-Gleichungen
Die sogenannten Maxwell-Gleichungen, die von dem Physiker James Clerk Maxwell
entwickelt wurden, beschreiben die Phänomene des Elektromagnetismus. Diese Gleichungen beschreiben sowohl den Zusammenhang zwischen den elektrischen und
magnetischen Feldern zueinander , als auch wie der elektrischer Strom und die elektrischer Ladung unter bestimmten Randbedingungen zusammenhängen. Zusammen
mit der Lorentz- und Coulomb-Kraft erklären sie alle Phänomene der klassischen Elektrodynamik.
Da die elektromagnetischen Felder nicht unmittelbar gegeben sind, sondern nur durch
ihre Wirkungen auf geladene Körper, hat 1962 Dr. Fritz Arnold Bopp vorgeschlagen,
von den unmittelbar messbaren Ladungen und von den Kräften, wie Lorentz- und
Coulomb-Kraft, auszugehen, die auch messbar sind. Zusammen mit dem Erhaltungssatz für die elektrische Ladung können daraus die Maxwellschen Gleichungen beschrieben werden. Die daraus entstandenen Gleichungen sind ein spezielles System
von gekoppelten partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.
Die Maxwellschen Gleichungen können in Integralform und in Differentialform angegeben werden. In der Integralform lauten sie:
4.1.1 Die Integralform
δ
δt
"
A
"
~=−
~ r, t) · dA
B(~
~=0
~ r, t) · dA
B(~
(4.1)
(4.2)
A
~=
~J ges (~r, t) · dA
I
~ r, t) · d~s
H(~
(4.3)
ρ(~r, t)dV
(4.4)
Γ
~=
~ r, t) · dA
D(~
$
V
A
HTW des Saarlandes
~ r, t) · d~s
E(~
Γ
A
I
TET 2
33
4 Die Maxwellsche Theorie
In der Differentialform lauten sie:
4.1.2 Die Differentialform
~ r, t) = −
rotE(~
δ~
B(~r, t)
δt
(4.5)
~ r, t) = 0
divB(~
(4.6)
~ r, t) = ~J ges (~r, t)
rotH(~
(4.7)
~ r, t) = ρ(~r, t)
divD(~
(4.8)
4.1.3 Eigenschaften der Gleichungen
Als Erstes stellt sich die Frage, welche dieser zwei Formen die allgemeinste Form
darstellt. Um diese Frage beantworten zu können, wird ein Beispiel zu Rate gezogen.
In Abb. 4.1 ist eine Funktion über die Zeit aufgetragen.
Abbildung 4.1: Unstetigkeitstellen
Diese Funktion wird als unstetig bezeichnet (es treten Sprünge auf) und diese Funktion
ist nur schwer zu differenzieren, da Unstetigkeitsstellen vorhanden sind. Es ist jedoch
einfach, diese Funktion an jedem Ort zu integrieren. Dies bedeutet, dass die Integralform die allgemeinste Form darstellt.
Überlegen wir uns jetzt eine Unstetigkeitsstelle im Bezug auf das elektromagnetische
Feld, dies würde jetzt einem Übergang von einem Medium 1 zu einem anderen Medium 2 bedeuten (Luft zu Wasser). Um diese Übergängen zu berechnen, müssen die
34
TET 2
HTW des Saarlandes
4.1 Die Maxwell-Gleichungen
Integralformeln zu Hilfe gezogen werden, damit Regeln für die sogenannten Übergangsbedingungen von verschiedenen Medien hergeleitet werden können.
Zum Schluss ist noch zu erwähnen, dass das Rechnen mit der Differentialform im Vergleich zur Integralform einfacher ist, da die Differentialgleichungen meist einfacher
zu lösen sind. Für die Integralgleichungen benötigt man hingegen schon numerische
Lösungsmöglichkeiten, um damit gut umgehen zu können. Nichtsdestotrotz werden
die Integralgleichungen immer dann angewandt, wenn die Differentialform an Grenzen stößt. Um die Gleichungen von einer Form in die andere umzuwandeln, werden
die Sätze von Gauß und Stokes verwendet
Betrachtet man jetzt die Gleichungen, sind verschiedene Komponenten vorhanden,
~ r, t) ein orts- und zeitabhängiger Vektor der magnetischen Induktion. E
~ ist
dabei ist B(~
~ die elektrische Verschiebung, H
~ die magnetische Feldstärke, ρ
die elektrische Feldstärke, D
~ ein
die elektrische Raumladungsdichte und J die elektrische Stromdichte . Auch stellt dA
orientiertes Flächenelement und d~s ein gerichtetes Linienelement da.
Es muss jetzt festgelegt werden, welche Größen bestimmt werden, diese sind das
elektrische und magnetische Feld, die elektrische Verschiebung und die magnetische
Induktion. Diese vier Größen sind dabei Vektoren und stellen dadurch 12 Unbekannte
dar. Um diese Unbekannten lösen zu können, benötigen wir 12 oder mehr Gleichungen,
oder wir reduzieren die Unbekannten. Aus der Differential- und Integralform erhalten
wir allerdings nur acht Gleichungen, die sich so zusammensetzten:
~ ⇒ skalar ⇒ eine Gleichung
div B
~ ⇒ Vektor ⇒ drei Gleichungen
rot E
~ ⇒ skalar ⇒ eine Gleichung
div D
~ ⇒ Vektor ⇒ drei Gleichungen
rot H
Nur mit diesen acht Gleichungen ist das System nicht lösbar, also werden weitere Informationen benötigt. Um das Problem zu lösen, müssen die Gleichungen entkoppelt
werden, dadurch ergibt sich wiederum eine Differentialgleichung, diese kann aber
einfacher gelöst werden.
HTW des Saarlandes
TET 2
35
4 Die Maxwellsche Theorie
4.1.4 Die Quellen der Gleichungen
In den Maxwellgleichungen sind mehrere Quellen vorhanden. Eine Quelle des elektromagnetischen Feldes ist die Raumladungsdichte ρ. Diese kommt zum Tragen an
Stellen, wo Ladungen vorhanden sind, z.B. bei einem Plattenkondensator (Ladungen,
die sich verändern s. Abb. 4.2).
Abbildung 4.2: Plattenkondensator
Auf der linken und rechten Seite sind Ladungen vorhanden und zwischen diesen Ladungen existieren D-Feldlinien. Das bedeutet, wenn Ladungen vorhanden sind, gehen
davon D-Feldlinien aus. Diese Linien können auch auf Ladungen enden, dies hängt
von der Polarität ab. Wenn man jetzt die Divergenz über einen Plattenkondensator
legen würde, sollte als Ergebnis Null herauskommen. Als Ergebnis kann man Zusammenfassen, dass von Raumladungen D-Feldlinien ausgehen.
Die zweite Quelle ist in der elektrischen Gesamtstromdichte 4.9 vorhanden:
~J ges (~r, t) := ~J(~r, t) + δ D(~
~ r, t)
δt
(4.9)
Diese setzt sich aus der elektrischen Stromdichte ~J(~r, t) und der Verschiebungsstromdichte
δ ~
D(~r, t) zusammen. Dabei beinhaltet die elektrische Stromdichte drei weitere Komδt
ponenten:
• ~Jl : Leitungsstromdichte
• ~Jk : Konvektionsstromdichte
• ~Je : eingeprägte Stromdichte
Dadurch ergibt sich folgender Zusammenhang:
36
TET 2
HTW des Saarlandes
4.1 Die Maxwell-Gleichungen
~J(~r, t) := ~Jl (~r, t) + ~Jk (~r, t) + ~Je (~r, t).
(4.10)
Die Leitungsstromdichte ~Jl beinhaltet alle Ströme, die durch Felder erzeugt werden,
wenn sie auf leitendes Material treffen. Dies bedeutet, wenn eine Leitfähigkeit vorhanden ist und das elektrische Feld trifft darauf, wird ein ~Jl vorhanden sein. Die
entsprechende Formel zur Berechnung der Leitungsstromdichte lautet:
~Jl (~r, t) = κ · E
~
⇒ [Kappa ist die Leit f ähigkeit (
1
)]
spez.Widerstand
(4.11)
Die Konvektionsstromdichte ~Jk wird betrachtet, wenn freie Ladungsträger vorhanden
sind. Ein Beispiel für das Vorhandensein ist die Ionosphäre. Auf Grund von energiereicher Strahlung trennen sich dort die Atome in sogenannte Ionen auf. Ein weiteres
Beispiel ist dort, wo große Hitze vorhanden ist (Plasma). Freie Ladungen sind an sich
noch keine Stromdichte, dies geschieht erst durch die Bewegung. Um diese Ladungen
zu bewegen, wird eine Kraft benötigt,
~ r, t) = q E(~
~ r, t)
F(~
|
{z
}
~ r, t) = q(~
~ r, t))
F(~
v(~r, t) x B(~
|
{z
}
Coulombkra f t
Lorentzkra f t
(4.12)
die diese Ladungen q beschleunigt. Nach den Formeln 4.12 ergibt sich der Zusammen~ als auch von B
~ abhängt.
hang, dass ~Jk sowohl von E
Zum Schluss bleibt nur noch die eingeprägte elektrische Stromdichte übrig. Diese soll von
allen Feldkräften unabhängige, äußerlich erzwungene Bewegung von Ladungen sein.
Diese ist in den Maxwell-Gleichungen ein inhomogenes Glied und bildet somit die
zweite Quelle des elektromagnetischen Feldes.
Abschließend lässt sich zusammenfassen:
~
• ~J ges (~r, t) besagt, dass hier ein Strom fließt, der ein H-Feld
erzeugt.
• Wenn wir von einem NICHT-leitendem Material ausgehen, kann ~Jl vernachlässigt werden.
• Wenn wir von einem Ort ausgehen, an dem keine freien Ladungen vorhanden
sind, kann ~Jk vernachlässigt werden.
• Die Quellen der Maxwell-Gleichungen sind ρ und ~Je .
HTW des Saarlandes
TET 2
37
4 Die Maxwellsche Theorie
4.2 Die Materialbeziehungen
Die Maxwell-Gleichungen sind durch die Materialgleichungen zu ergänzen, die Zu~ magnetischer Induktion B
~ und
sammenhänge zwischen elektrischer Verschiebung D,
~ und H
~ herstellen.
den beiden Feldstärken E
Unter den einfachsten Bedingungen, die in der Realität nicht vorliegen, nehmen wir
einen linearen Zusammenhang an. Dadurch ergeben sich folgende multiplikative Beziehungen.
A
Vm
~ = ·E
~ [] = As
D
Vm
~ = µ·H
~ [µ] = Vs
B
Am
~JL = κ · E
~
[κ] =
(4.13)
Aus den Gleichungen ist die Leitfähigkeit κ, die Dielektrizitätskonstante und Permeabilität µ zu entnehmen. Diese Größen werden meist als skalare Größen angesehen,
können aber auch orts-, frequenz-, raum- oder zeitabhängig sein.
Um auf zwei weitere Größen schließen zu können, soll erst der Unterschied zwischen
elektromagnetischen- und Ultraschallwellen geklärt werden. Eine Ultraschallwelle benötigt ein Medium, um sich auszubreiten (Luft), was im Vakuum nicht der Fall ist.
Elektromagnetischen Wellen ist es möglich, sich im Vakuum auszubreiten, da die elektrische und magnetische Feldkonstante 0 und µ0 dort vorhanden sind, sonst wäre z.B.
eine Kommunikation mit der Raumstation (ISS) nicht möglich.
As
Vm
0 = 8, 854 · 10−12
µ0 = 4π · 10−7
Vs
Am
⇒ elektrische Feldkonstante
⇒ magnetische Feldkonstante
Aus diesen Größen lassen sich wiederum zwei Gleichungen herleiten, die zum einen
die Lichtgeschwindigkeit darstellen und zum anderen den Wellenwiderstand des freien Raumes (s. Formel 4.14).
√
1
= 2, 998 · 108
m
⇒= C0
s
0 · µ0
r
µ0
V
= 377 ⇒= Z0
0
A
(4.14)
Aus diesen Zusammenhängen, die die Formeln (s. Formel 4.13) darstellen, können wir
~ und D
~ über die
die Unbekannten von zwölf auf sechs reduzieren, da die Größen B
38
TET 2
HTW des Saarlandes
4.2 Die Materialbeziehungen
~ und H
~ gekoppelt sind. Nach diesem Zusammenhang haben
Materialbeziehungen mit E
wir noch sechs Unbekannte bei acht Gleichungen, dies ist eine Grundvoraussetzung,
der Berechnung.
4.2.1 Systemtheoretischer Ansatz
Um einen kleinen Einblick in die Systemtheorie zu erhalten, fassen wir kurz zusam~ und E
~ können von der Zeit t und vom Ort ~r abhängen und sind
men: Die Vektoren D
mit der Größe verknüpft. Aber wie hängen diese beiden Größen systemtheoretisch
zusammen.
Abbildung 4.3: Systemtheoretischer
Ansatz
In Abb. 4.3 wird der Zusammenhang dargestellt. Wie kann man ein solches System
beschreiben?
⇒
Ein solches System kann über einen Impuls beschrieben werden. Dieser ist eine ganz
kurze zeitliche Anregung, die im Frequenzbereich sehr breitbandig ist, dadurch beinhaltet er alle Eigenfrequenzen. Wenn man ein System extrem breitbandig anregt, wird
das System mit allen Eigenfrequenzen antworten. Ein einfaches Beispiel dazu ist eine
Glocke, regt man diese an, antwortet diese mit vielen verschiedenen Frequenzen.
Wenn das jetzt auch eine Abhängigkeit von (r, t) oder (r, ω) besitzt, muss genau darauf
geachtet werden, in welchem Bereich man sich befindet. Der multiplikative Zusammenhang gilt nur, wenn eine Konstante ist. Aber auch, wenn das = (~r, ω) ist, gilt
allgemein ein multiplikativer Zusammenhang im Bildbereich der Fouriertransformation, da jetzt ein ω vorhanden ist. Dort ist man jetzt bei einer einzigen Frequenz oder
bei vielen in der Überlagerung. Die Fouriertransformation sagt aus, dass jedes System
HTW des Saarlandes
TET 2
39
4 Die Maxwellsche Theorie
aus Überlagerungen von Sinus- und Kosinus dargestellt werden kann.
Hat man die Impulsantwort eines Systems und bildet die Laplace-Transformation,
erhält man die Übertragungsfunktion, bildet man die Fourier-Transformation, erhält
man den Frequenzgang. Wenn man jetzt die Formel 4.16 in den Zeitbereich rücktransformiert, ergibt sich die Formel 4.15.
~ r, t) = (~r, t) ∗ E(~
~ r, t)
D(~
|(~r, t) ist dabei die Impulsantwort
(4.15)
~ r, ω) = (~r, ω) E(~
~ r, ω)
D(~
|(~r, ω) ist dabei der Frequenzgang
(4.16)
|(~r, s) ist dabei die Übertragungsfunktion
(4.17)
~ r, s) = (~r, s) E(~
~ r, s)
D(~
~
Nach der Rücktransformation ist kein multiplikativer Zusammenhang zwischen und E
gegeben, sondern eine Faltung, da das eine Abhängigkeit von ω besitzt. Wenn
= (ω) ist, dann ist das System bzw. das Material dispersiv. Das bedeutet, dass die
Ausbreitungsgeschwindigkeit eine Funktion der Frequenz ist. Wenn ich ein dispersives Material (Medium) habe, dann gilt die Materialbeziehung als multiplikativer
Zusammenhang nur im Bildbereich der Fouriertransformation. Im Zeitbereich ist es
eine Faltung. Ein Beispiel für ein dispersives Medium ist Wasser.
4.2.2 Faltung
Die Faltung (Konvolution=Zusammenrollen) ist eine mathematische Operation, die
für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion f ∗ g liefert. In Formel 4.18 ist die
Definition der Faltung zweier Funktionen dargestellt.
~ r, t) =
(~r, t) ∗ E(~
Z
+∞
~ r, t − τ)dτ
(~r, τ)E(~
(4.18)
−∞
~ r, t − τ) oder (~r, t − τ)E(~
~ r, t) schreibt ist dabei egal, da dies im
Ob man jetzt (~r, τ)E(~
Frequenzbereich eine Multiplikation darstellt.Da diese kommutativ ist, ist auch die
Faltung kommutativ. Um sich dies bildlich vorstellen zu können, ist in (Abb.4.4) eine
Animation dargestellt.
Neben den dispersiven Medien gibt es noch weitere Eigenschaften bezüglich der Homogenität und der Isotropie. Ist = (~r), spricht man von einem inhomogenen Medium
(Medium das vom Ort abhängig ist). Ein Beispiel hierfür wäre die Erde als geschichtetes Medium. Die ersten 20 m sind z.B. identisch und können stückweise als konstant
angenommen werden, danach hängt das vom Ort ab. Ein weiteres Phänomen ist die
40
TET 2
HTW des Saarlandes
4.2 Die Materialbeziehungen
Abbildung 4.4: Faltung
(*Animation)
Wüste mit ihren Luftspieglungen (in Bodennähe), wenn die Temperatur entsprechend
heiß ist.
→
Als Letztes muss noch die Eigenschaft der Isotropie geklärt werden. Ist = ←
,
ist das Material anisotrop. Es bezeichnet dabei die Richtungsabhängigkeit in jede
Raumkomponente. Die Materialeigenschaften eines Kristalls sind z.B. abhängig von
~ − Feld durch diesen hindurchlegen, würde
der Raumrichtung. Würde man jetzt ein E
~ − Feld Komponente erhalten. Die Formel
man eine x, y und z Abhängigkeit für jede D
4.19 und 4.20 zeigen dieses Beispiel für die Dx Komponente.
HTW des Saarlandes


11 12 13 


~
~ = 21 22 23  · E
D



31 32 33
(4.19)
Dx = 11 Ex + 12 Ey + 13 Ez
(4.20)
TET 2
41
4 Die Maxwellsche Theorie
4.2.3 Zusammenfassung
• Es gibt verschiedene Materialgleichungen, die die Zusammenhänge der Felder
~ B,
~ E
~ und H
~ herstellen.
D,
• Diese Materialgleichungen werden über die Materialkonstanten µ, und κ beschrieben.
• Diese Konstanten können ort-, zeit-, frequenz- und raumabhängig sein.
• Es ist auf den multiplikativen Zusammenhang oder die Faltung zu achten (abhängig von t, ω).
• Die Faltung ist kommutativ.
→
• Das komplizierteste Beispiel wäre: inhomogen, anisotrop und dispersiv: ←
(~r, ω)
• Eine einfaches Beispiel wäre: homogen, isotrop, nicht dispersiv: Die hier gemachten Aussagen wurden nur beispielhaft an erklärt, gelten auch für µ
und κ. Abschließend stellt sich noch die Frage, wo die Materialbeziehungen angewandt
werden. Diese kommen zum Tragen z.B. bei Schichtungen, in denen Grenzen von
Übergängen und Randbedingungen entstehen.
42
TET 2
HTW des Saarlandes
4.3 Übergangs- und Randbedingungen
4.3 Übergangs- und Randbedingungen
Übergangs- und Randbedingungen werden immer dann betrachtet, wenn verschiedene Medien hintereinander geschaltet werden und beobachtet wird, was den elektromagnetischen Feldern an so einem Übergang, von einem Material zum anderen,
passiert. Die Konsequenz aus diesen Bedingungen besagt, dass durch geschickte Anwendung der gesamten elektromagnetischen Theorie, der Lösung der Maxwellgleichungen, speziell die für die Ebenen-Wellen, und der Einfall auf spezielle Trennfläche,
auf die Brechungs- und Reflexionsgesetze zurückschließt. Diese werden erst in der
Aufbauveranstaltung Theoretische Elektrotechnik 2 vorgestellt.
An der Oberfläche eines Körpers oder auch an der begrenzenden Fläche eines Mediums können abrupte Änderungen der Materialgrößen , µ und κ auftreten. Bei einer
makroskopischen Betrachtung können diese abrupten Änderungen als Unstetigkeiten
angesehen werden. Demnach muss erwartet werden, dass auch bei den Feldgrößen
entsprechende Unstetigkeiten auftreten. Dadurch sind die allgemeingültigen Integralgleichungen hier zu verwenden.
Abbildung 4.5: Übergangsbedingungen
1
Stellen wir uns zwei Medien vor, die durch eine dünne Probefläche (Zylinder) in
der Grenzfläche miteinander verbunden sind (s. Abb. 4.5). Dabei hat der Zylinder die
Dicke ∆l und die Boden- und Deckelfläche eine Fläche ∆A. Die Normalvektoren ~n1 und
~n2 stehen senkrecht auf der Boden- und Deckelfläche und die verschiedenen Medien
haben jeweils ein anderes , µ und κ. Boden und Deckel des Zylinders sind die Dicke ∆l
HTW des Saarlandes
TET 2
43
4 Die Maxwellsche Theorie
der Übergangszone voneinander entfernt. Der Zylinder wird als Integrationsvolumen
und seine Oberfläche als Integrationsflächen verwendet (Deckel, Boden, Rand). Als
Ausgangsgleichung wird die Gleichung (s. 4.2) angenommen:
~=0
~ r, t)dA
B(~
(4.21)
s
Wird jetzt die Gleichung 4.21 aufgespalten, also in Boden, Deckel und Rand aufgeteilt,
ergibt sich folgende Gleichung unter der Voraussetzung, dass der Zylinder sehr klein
ist:
s
Zylinderdeckel
z }| {
~
~ r2 , t) · ~n2 ) · ∆A + „Beitrag Zylindermantel“ (4.22)
~
~
B(~r, t)dA = 0 = (B(~r1 , t) · ~n1 + B(~
| {z }
|
{z
}
Zylinderboden
(∝∆l)
~ folgendermaßen:
Dabei gilt dA




~n1 · ∆A für Boden
~
∆A = 

~n · ∆A für Deckel

2
~ − Feld vorhanden ist, wird offensichtlich nur der Anteil genommen,
Wenn jetzt ein B
der durch den Deckel und die Bodenfläche geht bzw. senkrecht durch den Zylindermantel. Dieser ist gerade proportional zu ∆l.
Wird der Übergang so verkleinert, dass der Boden und der Deckel ganz nah zusammen
rücken, also bis ∆l nur noch ganz klein ist, und auf das Ergebnis den lim angewandt,
kann der Beitrag des Zylindermantels vernachlässigt werden.
∆l→0
~ 1 und für B(~
~ r2 , t) = B
~ 2 und ist der Einheitsvektor ~n in die Richtung
~ r1 , t) = B
Gilt für B(~
des Mediums 2 festgelegt, so gilt ~n1 = −~n und ~n2 = ~n und man erhält mit der Gleichung
4.22 folgenden Zusammenhang:
~2 − B
~ 1 ) · ~n = 0
(B
(4.23)
Die Gleichung 4.23 besagt dabei, dass die Normalkomponente der magnetischen
Induktion stetig durch die Trennfläche geht. Um sich dies besser vorstellen zu können,
ist in Abb.4.6 ein Beispiel gezeigt.
44
TET 2
HTW des Saarlandes
4.3 Übergangs- und Randbedingungen
Abbildung 4.6: B-Normal
~ − Feld auf die Trennfläche trifft, wird dieses in die Normal- und TangenWenn das B
tialkomponente aufgetrennt. Dabei wird die Normalkomponente unverändert in das
zweite Medium übergehen. Über die Tangentialkomponente kann keine Aussage getroffen werden, lediglich nur, dass diese auf der Normalkomponente liegt. Dadurch
~ − Feld im Medium zwei geschlossen werden.
kann nicht auf das B
~−
Analog zu dieser Vorgehensweise können wir die Übergangsbedingung für das D
Feld berechnen mit der Gleichung 4.4:
~=
~ r, t)dA
D(~
$
ρ(~r, t)dV = Q = ρ · ∆l · ∆A
(4.24)
V
A
Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang:
~ r1 , t) · ~n1 + D(~
~ r2 , t) · ~n2 ) · ∆A + „Beitrag Zylindermantel“ = ρ · ∆l · ∆A
(D(~
|
{z
}
(4.25)
(∝∆l)
Läuft nun noch ∆l ⇒ 0, mit lim , resultiert daraus:
∆l→0
~2 − D
~ 1 ) · ~n · ∆A = ρ · ∆l · ∆A
(D
Diese Gleichung lässt sich weiter vereinfachen durch Ersetzen des Terms ρ · ∆l durch η
(Oberflächenladungsdichte). Das ist eine Flächenladungsdichte, die in der Trennfläche
vorhanden sein könnte. Wenn dies der Fall ist, kann diese singulär sein, d.h. sie muss
HTW des Saarlandes
TET 2
45
4 Die Maxwellsche Theorie
nicht unbedingt mit ∆l ⇒ 0 verschwinden, da Unendlichkeitsstellen vorhanden sein
könnten. Deswegen gibt es hier die Besonderheit, dass die Fläche ∆A gekürzt werden
kann, aber η bestehen bleibt.
~2 − D
~ 1 ) · ~n = η
(D
⇒
(4.26)
~ − Feldes stetig durch
Die Gleichung 4.26 gibt an, dass die Normalkomponente des D
die Trennfläche geht, wenn keine Ladungen in den Trennflächen vorhanden sind. Sind
~ − Feldlinien entspringen oder enden.
Ladungen vorhanden, können an diesen D
Tangentialkomponente
Um das Verhalten der Tangentialkomponente zu ermitteln, wird die in Abb. 4.7 gezeigte Zeichnung mit dem definierten Integrationsweg Γ betrachtet. Dazu wird die
Gleichung 4.1 benötigt.
Abbildung 4.7: Übergangsbedingungen
I
Γ
~ r, t)d~s + δ
E(~
δt
"
~=0
~ r, t)dA
B(~
2
(4.27)
s
Dabei stellt d~s folgenden Zusammenhang dar:




~τ1 · ∆s
d~s = 


~τ · ∆s
2
für Medium1
für Medium2
Der Vorgang erfolgt analog zum Vorgehen mit der Normalkomponente. Die einzelnen
46
TET 2
HTW des Saarlandes
4.3 Übergangs- und Randbedingungen
Bestandteile werden aufgesplittet und ergeben:
~ r1 , t) ·~τ1 + E(~
~ r2 , t) ·~τ2 ] · ∆s + „Beitrag der Enden“ = − δ B(~
~ r0 , t) · ~n0 · ∆l · ∆s
[E(~
δt
| {z }
|
{z
}
(4.28)
~
dA
(∝∆l)
~ durch ~n0 · ∆l · ∆s ersetzt, da dA
~ ein Vektor ist,
In der Gleichung 4.28 wurde jetzt dA
der senkrecht auf der Fläche steht, welcher die Fläche repräsentiert. Der Vektor ~n0
steht ebenfalls senkrecht auf der Fläche und ergibt mit mit ∆l · ∆s genau diese Fläche.
Weiter gilt, dass der Einheitsvektoren ~τ senkrecht auf ~n0 und ~n steht, dadurch ergibt
sich ~τ = ~n0 x~n.
Da das Spatprodukt vertauscht werden kann (s. am Beispiel 4.29)
~ = ~n0 · (~nxE)
~
(~n0 x~n) · E
(4.29)
kann die Gleichung weiter vereinfacht werden und ergibt, nachdem ~τ1 = −~τ und ~τ2 = ~τ
angenommen und ~τ = ~n0 x~n gesetzt wird:
~2 − E
~ 1 ) + lim (
~n0 · [~nx(E
∆l→0
⇒
~
δB
∆l)] = 0
δt
~2 − E
~ 1 ) = − lim (
~nx(E
∆l→0
~
δB
∆l)
δt
(4.30)
(4.31)
Da bei den Feldgrößen keine Singularitäten vorhanden sind, aber Strom und Ladungen Singularitäten aufweisen können, sollten die Feldgrößen beschränkt sein und der
rechte Teil der Gleichung mit ∆l verschwinden. Aus dieser Berechnung resultiert die
~ (s. Gl. 4.32).
Übergangsbedingung für E
~2 − E
~ 1 ) = ~0
~nx(E
(4.32)
~ − Feldes stetig durch die TrennfläDiese besagt, dass die Tangentialkomponente des E
che von Materialien hindurchgeht. Zur Veranschaulichung soll (Abb. 4.8) dienen.
~ − Feld auf die Trennfläche trifft, wird dieses in die Normal- und TangentiWenn das E
alkomponente aufgetrennt. Dabei wird die Tangentialkomponente unverändert in das
zweite Medium übergehen, über die Normalkomponente kann keine Aussage getroffen werden, nur dass diese senkrecht auf der Tangentialkomponente liegt. Dadurch
~ − Feld im Medium zwei schließen.
kann man nicht auf das E
HTW des Saarlandes
TET 2
47
4 Die Maxwellsche Theorie
Abbildung 4.8: E-Tangential
~−
Analog zu dieser Berechnung ist die Berechnung der Tangentialkomponente des H
Feldes, mit der etwas veränderten Gleichung 4.3, in der vorausgesetzt wird, dass ~Jk und
~Je ≡ 0 sind.
I
Γ
~ r, t)d~s −
H(~
"
d~
~=
D(~r, t) · dA
dt
A
"
~
~Jl (~r, t)dA
(4.33)
A
~
Entsprechend der Gleichung 4.31 ergibt sich für H:
~
~2 −H
~ 1 ) = lim ( δD + ~Jl )∆l
~nx(H
∆l→0 δt
Da
(4.34)
~
δD
δt
durch die oben erwähnte Voraussetzung und seine Ableitung beschränkt sein
soll, wird dieser Term mit ∆l → 0 verschwinden. Ist die Leitungsstromdichte ~Jl endlich,
so wird auch dieser Term verschwinden. Es besteht jedoch die Möglichkeit, dass eine
~ in der Grenzfläche fließen kann, dadurch würde der zweite Term
Flächenstromdichte (K)
~ − Feld.
nicht verschwinden und ergibt somit die Übergangsbedingung für das H
~2 −H
~ 1) = K
~
~nx(H
(4.35)
~ − Feldes stetig
Die Gleichung 4.35 besagt also, dass die Tangentialkomponente des H
durch die Trennfläche geht, wenn keine Flächenstromdichte vorhanden ist. Existiert
eine Flächenstromdichte, muss diese berücksichtigt werden. Wenn ein Strom in der
~ − Felder entstehen.
Grenzfläche fließt, können dort H
48
TET 2
HTW des Saarlandes
4.3 Übergangs- und Randbedingungen
4.3.1 Kantenbedingung und Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung
Um die Maxwellgleichungen jetzt explizit lösen zu können, gibt es zwei weitere Bedingungen.
1. Kantenbedingung
2. Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung
Die Kantenbedingung besagt, dass es in der Nähe einer Kante zu Feldüberhöhungen
kommen kann. Wenn diese Kante nicht gespeist wird, wird das Feld, dass dort entsteht, nicht größer sein als das umgebene Feld.
Diese Phänomen kennt man z.B. als Elmsfeuer (s.Abb. 4.9). Auf Grund eines elektromagnetischen Feldes, dass in einem Gewitter entsteht, beginnen die Mastspitzen auf
dem Meer zu leuchten.
Abbildung 4.9: Elmsfeuer
Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung ist die letzte Bedingung, um die Maxwellgleichungen explizit zu lösen. Diese schränkt die späteren Lösungen der Maxwellgleichungen ein. Dies bedeutet, wenn wir die Gleichungen entkoppeln, wird dies zu
einer Differentialgleichung zweiter Ordnung führen und diese hat zwei unabhängige
Lösungen. Diese werden interpretiert als hin- und rücklaufende Welle.
HTW des Saarlandes
TET 2
49
4 Die Maxwellsche Theorie
Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung besagt dabei, dass für ein Quellgebiet,
welches komplett im Endlichen liegt, sich die Welle im Unendlichen wie eine auslaufende Kugelwelle (ebene Welle) verhält. Wenn man weit genug von der Quelle entfernt
ist, kommt die Welle auf einen zu und läuft nicht von einem weg. Dies hilft uns später
dabei, die eindeutige Lösung zu bestimmen.
4.3.2 Zusammenfassung
Im Folgenden werden die erzielten Ergebnisse zusammengefasst. Diese zeigen, dass
die Maxwellgleichungen durch vier Bedingungen für das Verhalten des elektromagnetischen Feldes an Grenzflächen zu ergänzen sind:
~2 − D
~ 1) = η ,
~n · (D
~2 − B
~ 1) = 0 ,
~n · (B
~2 − E
~ 1 ) = ~0
~nx(E
~2 −H
~ 1) = K
~
~nx(H
(4.36)
Außerdem gilt:
• Zur Herleitung der Übergangsbedingungen wird die Integralform der Maxwellgleichungen verwendet, da diese allgemeingültig ist.
~ − Feld darauf zu achten, ob sich eine
• Es ist bei der Übergangsbedingung für das D
Oberflächenladung in den Grenzflächen befindet.
~ − Feld darauf zu achten, ob sich eine
• Es ist bei der Übergangsbedingung für das H
Flächenladung in den Grenzflächen befindet.
• Wir benötigen die Kanten- und Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung, um
die explizite Lösung der Maxwellgleichungen zu bestimmen.
50
TET 2
HTW des Saarlandes
4.4 Einteilung der elektromagnetischen Felder
4.4 Einteilung der elektromagnetischen Felder
Es werden bei der Suche nach den Lösungen der Maxwellgleichungen fünf Feldtypen
unterschieden, für die teilweise vereinfachte Grundgleichungen gelten. Diese Aufteilung ist gleichzeitig eine Unterteilung der Probleme, um diese in mehreren Schritten
von einfach bis hin zu kompliziert zu lösen. Dies ermöglicht eine Vertiefung und Anwendung des Stoffes aus den Grundlagen der Elektrotechnik bis zu der allgemeinen
Maxwellschen Theorie.
4.4.1 Elektrostatik
Bei der Elektrostatik sind rein elektrische Felder vorhanden, in denen keine zeitliche
Veränderungen ( δtδ = 0) und keine magnetischen Größen vorhanden sind. Für diese
gilt:
I
~ r) · d~s = 0
E(~
←→
|{z}
~ r) = ~0
rotE(~
Satz von Stokes
~=
~ r) · dA
D(~
X
Qi
i
←→
|{z}
~ r) = ρ(~r)
divD(~
Satz von Gauß
mit den Übergangsbedingungen:
~2 − E
~ 1 ) = ~0,
~nx(E
|
{z
}
~2 − D
~ 1) = η
~n · (D
|
{z
}
E−Tangential
D−Normal
4.4.2 Magnetostatik
Bei der Magnetostatik sind rein magnetische Felder vorhanden, in denen keine zeitliche
Veränderungen ( δtδ = 0) und keine elektrischen Größen vorhanden sind. Für diese gilt:
I
~ r) · d~s = 0
H(~
←→
|{z}
~ r) = ~0
rotH(~
Satz von Stokes
~=0
~ r) · dA
B(~
←→
|{z}
~ r) = 0
divB(~
Satz von Gauß
mit den Übergangsbedingungen:
HTW des Saarlandes
~2 − B
~ 1 ) = 0,
~n · (B
|
{z
}
~2 − H
~ 1 ) = ~0
~nx(H
|
{z
}
B−Normal
H−Tangential
TET 2
51
4 Die Maxwellsche Theorie
Normalerweise würde ein Strom fließen, da wir aber die Magnetostatik betrachten,
~ =0).
fließt kein Strom ⇒ (K
ˆ
4.4.3 Stationäre Felder
In den stationären Feldern (zeitlich konstante Felder) fließt ein konstanter Strom bei
nur einer Frequenz (Gleichströme). Es gibt keine Verschiebungsströme und auch die
~ r) = 0 und δ B(~
~ r) = 0). Für
zeitliche Ableitung der magnetischen Induktion ist 0 ( δ D(~
δt
δt
diese gilt:
I
~ r) · d~s =
H(~
Γ
"
~
~J(~r) · dA
A
I
Satz von Stokes
~ r) · d~s = 0
E(~
Γ
~ r) = ~0
rotE(~
←→
|{z}
Satz von Stokes
~=
~ r) · dA
D(~
~ r) = ~J(~r)
rotH(~
←→
|{z}
X
Qi
i
←→
|{z}
~ r) = ρ(~r)
divD(~
Satz von Gauß
~=0
~ r) · dA
B(~
←→
|{z}
~ r) = 0
divB(~
Satz von Gauß
mit den Übergangsbedingungen:
~2 − B
~ 1 ) = 0,
~n · (B
|
{z
}
~2 − H
~ 1) = K
~
~nx(H
|
{z
}
B−Normal
H−Tangential
~2 − E
~ 1 ) = ~0,
~nx(E
|
{z
}
~ 1) = η
~2 − D
~n · (D
|
{z
}
E−Tangential
D−Normal
4.4.4 Quasistationäre Felder
~ r, t) in die Betrachtungen mit
Bei diesem Feldtyp wird die magnetische Induktion B(~
~ r) = 0) wird hingegen vernachlässigt. Damit
einbezogen, der Verschiebungsstrom ( δ D(~
δt
52
TET 2
HTW des Saarlandes
4.4 Einteilung der elektromagnetischen Felder
folgt:
I
~ r, t) · d~s =
H(~
Γ
I
Γ
~
~J(~r, t) · dA
A
~ r, t) · d~s = − δ
E(~
δt
"
~=
~ r, t) · dA
D(~
←→
|{z}
~ r, t) = ~J(~r, t)
rotH(~
Satz von Stokes
"
~
~ r, t) · dA
B(~
A
←→
|{z}
~ r, t) = −
rotE(~
δ~
B(~r, t)
δt
Satz von Stokes
~=0
~ r, t) · dA
B(~
←→
|{z}
~ r, t) = 0
divB(~
Satz von Gauß
$
ρ(~r, t) · dV
V
←→
|{z}
~ r, t) = ρ(~r, t)
divD(~
Satz von Gauß
Die Übergangsbedingungen sind dieselben wie die der stationären Felder.
4.4.5 Schnell veränderliche Felder
Bei diesem Feldtyp wird alles zugelassen. Das bedeutet, dass die vollständigen Maxwellgleichungen (4.1 bis 4.4, sowie 4.5 bis 4.8) mit den Übergangsbedingungen (4.36)
hier zu verwenden sind.
4.4.6 Die Maxwellgleichungen bei harmonischer Zeitabhängigkeit
In vielen Untersuchungen sind Strom und Spannung zeitabhängige Größen. Dabei
wird der zeitliche Verlauf der elektromagnetischen Größen im einfachsten Fall als
harmonisch angenommen, das bedeutet, man setzt z.B.
~ r, t) = E
~ 0 (~r) · cos(ωt + ϕ)
E(~
(4.37)
Die dazugehörige realen zeitabhängigen Größen ergeben sich als:
n
o
~ r) · e jωt
= Re E(~
mit der Euler´schen Formel:
1
cos(ωt) = (e jωt + e−jωt )
2
1
sin(ωt) = (e jωt − e−jωt )
2j
Diese ist zum einen eine verkürzte Schreibweise und zum anderen vereinfacht sie
die Rechnung. Ein großer Vorteil dabei ist, dass komplexe Differentialgleichungen
HTW des Saarlandes
TET 2
53
4 Die Maxwellsche Theorie
durch Integraltransformation in algebraische Gleichungen umgewandelt werden, die
einfacher zu lösen sind. Das Wesentliche an der Integraltransformation ist, dass sie
ein Hilfsmittel ist, um die komplexe Rechnung zu vereinfachen. Durch diese geht eine
Differentiation in eine Multiplikation mit −jω (bei Fourier) oder mit s (bei Laplace) über,
wie Gleichung (4.38) zeigt. Der einzige Nachteil ist die spätere Rücktransformation,
für die es aber auch schon fertige Tabellen gibt.
δ −jωt
e
=
ˆ − jω · e−jωt
δt
(4.38)
Die harmonische Zeitabhängigkeit ist nichts anderes als die Fourier-Transformation,
angewandt auf die Maxwellgleichungen. Dabei betrachten wir nicht jede beliebige
Zusammensetzung von Frequenzen, sondern nur noch eine. Wenn man dann noch
weiß, wie sich die Signale aus den einzelnen Frequenzen zusammensetzen, kann
man diese mit den entsprechenden Gewichtungsfaktoren gewichten und gemäß der
Fourier-Zerlegung wieder zusammensetzen (Superposition). Als Ergebnis erhält man
die allgemeine Lösung. Zusammengefasst kann man festhalten:
• Die harmonische Zeitabhängigkeit dient der Vereinfachung.
• Jede zeitliche Ableitung geht in eine Multiplikation mit −jω über (bei Fourier).
• Es wird nur eine Frequenz betrachtet.
• Fourier macht aus einer reellen Funktion einer reellen Variablen, eine komplexe
Funktion einer reellen Variablen.
• Laplace macht aus einer reellen Funktion einer reellen Variablen, eine komplexe
Funktion einer komplexen Variablen.
4.5 Erste Folgerungen aus den Maxwellgleichungen
4.5.1 Kontinuitätsgleichung
In leitenden Medien gilt (4.6) und (4.8). Dabei setzten wir ~Jk (~r, t) = ~0, da keine freie
Ladungen vorhanden sind, und auch ~Je (~r, t) = ~0, da kein Strom eingebracht wird. So
folgt aus der Gleichung (4.7) mit Divergenzbildung die Kontinuitätsgleichung:
div|
⇒
*0
*0 δ
~ r, t) = ~Jl (~r, t) + ~Jk (~
~Je (~
~ r, t)
rotH(~
r
,
t)
+
r
,
t)
+
D(~
δt
~ r, t) = div(~Jl (~r, t) + δ D(~
~ r, t))
div rotH(~
δt
| {z }
(4.39)
div rotH=∇·(∇xH)=0
⇒
54
div
δ ~
D(~r, t) + div ~Jl (~r, t) = 0
δt
TET 2
HTW des Saarlandes
4.5 Erste Folgerungen aus den Maxwellgleichungen
Einschub: Kirchhoffsche Regeln
1. Knotenregel
~ r) =
Betrachten wir jetzt einmal nur die stationären und quasistationäre Felder mit (=
ˆ δtδ D(~
0), erhalten wir aus der obigen Gleichung (4.39):
div ~Jl (~r, t) = 0
Diese Gleichung gibt Aufschluss über die Kirchhoffsche Knotenregel. Diese besagt,
dass in einem Knoten eines Netzwerkes die Summe aller zufließender Ströme gleich
der Summe der wegfließenden Ströme ist (s. Abb 4.10). Diese Regel gilt nur in stationären und quasistationären Feldern.
Abbildung 4.10: Kontenregel
HTW des Saarlandes
TET 2
55
4 Die Maxwellsche Theorie
Wir haben irgendein Volumen, in dem Leitungen rein und raus laufen. Über dieses
Volumen wird im Nachfolgenden integriert:
$
div~Jl (~r, t)dV = 0
⇔
|{z}
~=
~Jl · dA
ˆ
X
I = 0
Um f ormen mit Gauß
Wenn man diese Gleichung mittels Satz von Gauß umformt, erhält man das Hüllen~ welches sich nur noch auf die roten Teilflächen (ein- und auslaufende
integral ~Jl · dA,
Leitungen) der Leitungen bezieht. Wenn man jetzt über diese Teilflächen die Stromdichte berechnet, erhält man an diesem Knoten die Summe aller Teilströme, diese ist
gleich Null.
2. Maschenregel
Gehen wir jetzt noch einen Schritt weiter und betrachten nur die stationären Felder,
kommen wir auf die Kirchhoffsche Maschenregel. Diese besagt, dass alle Teilspannungen einer Masche in einem Netzwerk zusammen addiert gleich Null sind (s. Abb.
4.11).
Abbildung 4.11: Maschenregel
I
Betrachten wir jetzt die Maschen in der obigen Abbildung, kann man mittels
~ · d~s = 0
E
Γ
|
{z
}
Stellt die Spannung dar
die einzelnen Teilspannungen aufsummieren, in dem man einen ganzen Umlauf der
Masche durchführt. Das resultierende Ergebnis ist gleich Null.
Es ist zu beachten, dass die Berechnungen, die wir die ganze Zeit durchführen, für
56
TET 2
HTW des Saarlandes
4.5 Erste Folgerungen aus den Maxwellgleichungen
Strom und Spannung nur in den stationären bzw. quasistationären Feldern möglich
ist. Diese Möglichkeit der Berechnung sind in den Maxwellgleichungen enthalten
(Knoten- Maschenregel).
Ende Einschub
Betrachten wir jetzt noch einmal die Kontinuitätsgleichung (4.39) die, wir zu Beginn
hergeleitet haben, und ersetzen diese mit Hilfe des Ohmschen Gesetztes (4.11) und
legen fest, dass κ inhomogen ist, dadurch erhalten wir:
div
δ ~
~ r, t)] = 0
D(~r, t) + div [κ(~r)E(~
δt
Man kann die Zeit und Ortsableitung vertauschen, sofern das Medium nicht von der
~ r, t) = δ divD(~
~ r, t)). Dadurch erhält man:
Zeit abhängt (div δ D(~
δt
δt
δ
~ r, t)] = 0
ρ(~r, t) + div [κ(~r)E(~
δt
(4.40)
Dabei kann man die Gleichung weiter umschreiben mit:
~ r, t) + E(~
~ r, t) · grad(~r)
~ r, t) = div((~r)E(~
~ r, t)) = (~r) divE(~
ρ(~r, t) = divD(~
(4.41)
Nach dieser Festlegung kann man die Gleichung (4.40) ausmultiplizieren und in Gleichung (4.41) einsetzen.
⇒
⇒
δ
~ r, t) + E(~
~ r, t) · gradκ(~r) = 0
ρ(~r, t) + κ(~r)divE(~
δt
κ(~r)
δ
~ r, t) · grad(~r)) + E(~
~ r, t) · gradκ(~r) = 0
ρ(~r, t) +
(ρ(~r, t) − E(~
δt
(~r)
δ
~ r, t)[κ(~r)grad(~r) − (~r)gradκ(~r)]
(~r) ρ(~r, t) + κ(~r)ρ(~r, t) = E(~
δt
Das Ergebnis dieser Gleichung stellt die Kontinuitätsgleichung bei inhomogenen Medien dar. Diese ist nur mit numerischen Operationen zu lösen. Bei homogenen Medien,
d.h. und κ sind ortsunabhängig, würde die rechte Seite dieser Gleichung verschwinden (gradκ = 0, grad = 0) und man würde eine einfache Differentialgleichung erhalten,
die sich sofort integrieren lässt. Wir erhalten:
⇒
HTW des Saarlandes
δ
κ
ρ(~r, t) + ρ(~r, t) = 0
δt
δ
κ
ρ(~r, t) = − ρ(~r, t)
δt
TET 2
(4.42)
57
4 Die Maxwellsche Theorie
Nach Integration der Gleichung (4.42) ergibt sich:
κ
ρ(~r, t) = ρ0 (~r) · e− t
t
ρ0 (~r) · e− τ
⇒
τ =
κ
|Relaxationszeit
(4.43)
Die Gleichung (4.43) besagt, dass unabhängig vom elektromagnetischen Feld eine
eingebrachte Raumladungsdichte ρ0 (~r) exponentiell nach einer bestimmten Zeit verschwindet. In der nachfolgenden Tabelle (4.1) sind die Zeiten für ausgewählte Medien
angegeben.
Medium
Zeit
Metall
τMetall = 10−13 s
Wasser
τWasser = 10−6 s
Isolator
τIsolator = Xs
Schwefel
τSchwe f el = Xd
Tabelle 4.1: Relaxationszeit
4.5.2 Der Poyntingsche Satz
In der Elektrostatik und Magnetostatik sind die Schwankungen der elektrischen und
magnetischen Energie, die durch kleine Änderungen des Feldes bedingt sind, durch
δ
We =
δt
δ
Wm =
δt
$
V
$
V
~ r, t) · δ D(~
~ r, t)dV
E(~
δt
~
[E
δ~
VA
D] = 3
δt
m
~ r, t) · δ B(~
~ r, t)dV
H(~
δt
~ δ B]
~ = AV
[H
δt
m3
(4.44)
gegeben. Dabei ist ( δtδ We ) die Änderung der elektrischen und ( δtδ Wm ) die Änderung
der magnetischen Energie des jeweiligen Feldes.
Eine Zugehörigkeit zwischen der Änderung der in einem Feld gespeicherten Energie
und dem Fluss kann mittels den allgemeinen Maxwellgleichungen hergeleitet werden.
δ~
B(~r, t) = ~0,
δt
~ r, t) − δ D(~
~ r, t) = ~J(~r, t),
rotH(~
δt
~ r, t) = 0,
divB(~
~ r, t) +
rotE(~
~
|·H
~
|·E
(4.45)
~ r, t) = ρ(~r, t)
divD(~
58
TET 2
HTW des Saarlandes
4.5 Erste Folgerungen aus den Maxwellgleichungen
~ erweitert und die zweite Gleichung mit E,
~ um
Die erste Gleichung von (4.45) wird mit H
~ δ D]
~ δ B]
~ = VA3 , [H
~ = AV3 ).
auf die in Gleichung (4.44) bestimmten Größen zu kommen ([E
δt
δt
m
m
~ r, t) · rotE(~
~ r, t) + H(~
~ r, t) · δ B(~
~ r, t) = 0
H(~
|Kein Null Vektor mehr!
δt
~ r, t) = E(~
~ r, t) · ~J(~r, t)
~ r, t) · rotH(~
~ r, t) − E(~
~ r, t) · δ D(~
E(~
δt
Diese beide Gleichungen können im nächsten Schritt voneinander subtrahiert werden.
~ r, t) · rotE(~
~ r, t) + H(~
~ r, t) · δ B(~
~ r, t) − E(~
~ r, t) · rotH(~
~ r, t) + E(~
~ r, t) · δ D(~
~ r, t) = −E(~
~ r, t) · ~J(~r, t)
H(~
δt
δt
~ r, t) · rotE(~
~ r, t) − E(~
~ r, t) · rotH(~
~ r, t)] als
Um die Gleichung weiter zu vereinfachen, kann [H(~
~ r, t)xH(~
~ r, t))]umgeschrieben werden, man erhält:
[div(E(~
~ r, t)xH(~
~ r, t)) + E(~
~ r, t) · ~J(~r, t) = −E(~
~ r, t) · δ D(~
~ r, t) − H(~
~ r, t) · δ B(~
~ r, t)
div(E(~
δt
δt
(4.46)
Die rechte Seite der Gleichung (4.46) haben wir schon einmal betrachtet (4.44), sie stellt
die Veränderung der gesamten elektrischen und magnetischen Energie dar. Wenn wir
jetzt die Gleichung mit einem Volumenintegral über dV erweitern, erhalten wir diese
Gleichung und hätten auf der rechten Seite eine interpretationsfähig Aussage. Aus
#
der linken Seite würde nach der Erweiterung
divdV stehen, was mit dem Satz von
Gauß in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden kann.
~ +
~ r, t)xH(~
~ r, t))dA
(E(~
$
V
A
|
~ r, t) · ~J(~r, t)dV = −
E(~
{z
}
|
$
V
{z
}
|
~ r, t) ·
[E(~
δ~
~ r, t) · δ B(~
~ r, t)]dV
D(~r, t) + H(~
δt
δt
{z
}
Fluss von Energie durch
Wärmeverluste (κ , 0)
Änderung der im Volumen V gespeicherten
die Ober f läche des
Kra f t gegen
elektrischen und magnetischen Energie
Volumens
eingeprägte Stromdichte
(4.47)
Durch die Gleichung (4.47) erhalten wir den Poyntingschen Satz, der besagt:
Eine Verminderung der im Volumen V gespeicherten elektrischen und magnetischen
Energie geschieht teilweise durch Joulesche Wärmeverluste (wenn κ , 0 ist) oder auch
teilweise durch die Kraft gegen die eingeprägte Stromdichten (alles was im Inneren
an Verlusten entsteht) und der Rest geht durch die Hüllflächen verloren. Es bleibt also
noch ein Fluss von Energie, der durch die Oberfläche von V durch das Integral:
HTW des Saarlandes
TET 2
59
4 Die Maxwellsche Theorie
~ r, t)xH(~
~ r, t)]dA =
[E(~
A
~ r, t) · dA
S(~
(4.48)
A
~ r, t), der durch
dargestellt wird. Der Poyntingsche Vektor S(~
~ r, t) = E(~
~ r, t)xH(~
~ r, t)
S(~
~ r, t)] =
|[S(~
W
m2
(4.49)
definiert ist, gibt unter anderem an, mit welcher Energie sich eine elektromagnetische
Transversalwelle ausbreitet.
4.5.3 Der komplexe Poynting Vektor
Wir nehmen an, dass der Poyntinsche Vektor physikalisch sinnvoll gegeben ist durch:
n
o
n
o
~ r, t) = Re E(~
~ r, t) · e−jωt xRe H(~
~ r, t) · e−jωt
S(~
(4.50)
Die Gleichung (4.50) beschreibt dabei noch den Poynting Vektor. Wir suchen jetzt
allerdings den zeitlich gemittelten Fluss. Um dies zu erreichen, muss die Änderung
des Energieflusses während einer zeitlichen Periode ( 2π
ω ) berechnet werden und dann
durch diese Periode dividiert werden. Wir erhalten demnach:
ω
2π
Z
0
⇒
n
o n
o
Re f (~r) · e−jωt Re g(~r) · e−jωt dt
2π
ω
(4.51)
1 1 Re f (~r)g ∗ (~r) = Re f ∗ (~r)g(~r)
2
2
Wenden wir jetzt die Gleichung (4.51) auf den Poynting Vektor (4.50) an, so erhalten
~
wir den zeitlich gemittelten Energiefluss S.
~k (~r) = 1 [E(~
~ r, t)xH(~
~ r, t)]
S
2
(4.52)
• Der Poynting Vektor stellt den Fluss des Feldes in Ausstrahlungsrichtung dar.
• Der komplexe Poynting Vektor stellt den zeitlich gemittelten Energiefluss dar
(sein Realteil ist gleich dem zeitliche Mittel des Energieflusses)
60
TET 2
HTW des Saarlandes
5 Lösen der Maxwellgleichungen
5.1 Die direkte Entkopplung
Die Maxwellgleichungen stellen ein System von gekoppelten partiellen Differentialgleichungen dar, dessen direkte Entkopplung nur in speziellen Fällen möglich ist. Als
Erstes wird festgelegt, dass wir uns nicht im Plasma oder in der Ionosphäre befinden
und somit ~Jk = 0 setzen können. Weiter ist gesagt, dass das Medium als homogen,
isotrop und nicht-dispersiv betrachtet wird. Dies bedeutet, dass die Materialkonstanten nicht von Ort, Richtung und Frequenz abhängen. Daraus ergeben sich folgende
Gleichungen und Materialbeziehungen:
Gleichungen:
~ r, t) = −
rotE(~
δ~
B(~r, t)
δt
~ r, t) = ~Je (~r, t) + ~Jl (~r, t) + δ D(~
~ r, t)
rotH(~
δt
~ r, t) = 0
divB(~
(5.1)
~ r, t) = ρ(~r, t)
divD(~
Materialbeziehungen:
~ r, t) = · E(~
~ r, t)
D(~
~ r, t) = µ · H(~
~ r, t)
B(~
(5.2)
~JL (~r, t) = κ · E(~
~ r, t)
Durch Einbinden der Materialbeziehungen (5.2) in die zweite Gleichung (5.1) erhält
man:
~ r, t) = ~Je (~r, t) + κ · E(~
~ r, t) + rotH(~
δ ~
E(~r, t)
δt
(5.3)
~ sowie von
In der Gleichung (5.3) befindet sich jetzt nur noch eine Abhängigkeit von H
~ Um diese entkoppeln zu können, müsste man wie mit algebraischen Gleichungen
E.
vorgehen können, man versucht eine Gleichung in eine andere einzusetzen. Um dies
~ deshalb wird die Gleichung (5.3) mit rot
zu realisieren, benötigt man allerdings rotE,
erweitert und man erhält:
HTW des Saarlandes
TET 2
61
5 Lösen der Maxwellgleichungen
~ r, t) = rot~Je (~r, t) + κ · rotE(~
~ r, t) + δ rotE(~
~ r, t)
rot rotH(~
δt
⇒
(5.4)
~ Term aus der Gleichung (5.4) kann jetzt weiter ersetzt werden durch die erste
Der rotE
Gleichung (5.1) und die zweite Gleichung der Materialbeziehungen (5.2).
⇒
⇒
δ
~ r, t) − δ δ µ · H(~
~ r, t)
µ · H(~
δt
δt δt
~ r, t))
~ r, t) = rot~Je (~r, t) + (κ + δ ) · (− δ µ · H(~
rot rotH(~
δt
δt
~ r, t) = rot~Je (~r, t) − κ ·
rot rotH(~
~ umgeformt werden zu grad divH
~ −∆H,
~ dies ergibt sich aus
Als Nächstes kann rot rotH
| {z }
=0
~ = 0 ⇒ divH
~ = 0.
der Beziehung divB
⇒
2
~ r, t) = rot~Je (~r, t) − (κµ δ + µ δ ) · H(~
~ r, t)
−∆H(~
δt
δt2
(5.5)
Wenn wir die Gleichung (5.5) ein letztes Mal umformen, erhalten wir:
⇒
~ r, t) − µ
(∆H(~
δ2 ~
δ ~
H(~r, t) − κµ H(~
r, t)) = −rot~Je (~r, t)
δt
δt2
| {z }
⇒ Wellengleichung (5.6)
Quelle
Der Gleichungstyp (5.6), den wir erhalten haben, wird immer in so einer Form vorhanden sein, wenn wir die Maxwellgleichungen entkoppeln. Es wird immer eine zweifache und eine einfache Ableitung vorhanden sein und auf der rechten Seite die Quelle.
~
Dieser Typ stellt die Wellengleichung für das H-Feld
dar. Auf die gleiche Weise kann man
~
diese für das E-Feld
bestimmen. Lösen der Wellengleichung in kartesischen Koordinaten
Ausgangspunkt ist die vorher bestimmte Wellengleichung (5.6):
 
Hx 
δ2
δ  
[∆ − µ 2 − κµ ] H y  = −rot~Je (~r, t)
δt  
δt
Hz
Jetzt wird folgender Ansatz gewählt:
• Quelle ist weit entfernt.
• Es wird die Lösung außerhalb des Quellgebietes gesucht.
~ durch ein skalares
Wenn dies der Fall ist, kann ~Je = 0 gesetzt werden. Jetzt kann auch H
Potential U ersetzt werden, daraus ergibt sich:
62
TET 2
HTW des Saarlandes
5.1 Die direkte Entkopplung
δ
δ2
[∆ − µ 2 − κµ ] U(x, y, z) = 0
δt
δt
|
{z
}
:D0 Alemberscher−Operator
Um die Differentialgleichungen umzuwandeln, wird jetzt eine harmonische Zeitabhängigkeit gewählt mit e−jwt =
ˆ (Fourier Transformation bezgl. t).
[∆ + ω2 µ + jωκµ]U(x, y, z) = 0
| {z }
| k2 : ω2 µ + jωκµ =
ˆ Quadrat der Wellenzahl, k
k2
| [k] =
⇒
1
|
m
Wieviele Wellen kommen pro Meter
[∆ + k2 ]U(x, y, z) = 0
|
{z
}
(5.7)
Schwingungsgleichung
Lösung der Schwingungsgleichung
Um die Schwingungsgleichung lösen zu können, muss zuerst ein Separationsansatz
gewählt werden U(x, y, z) = U1 (x) · U2 (y) · U3 (z):
U2 U3
δ2
δ2
δ2
U
+
U
U
U
+
U
U
U3 + k2 U1 U2 U3 = 0
2
1
1 3
1 2
δx2
δy2
δz2
⇒
1 δ2
1 δ2
1 δ2
U
+
U
+
U3 + k2 = 0
2
1
U1 δx2
U2 δy2
U3 δz2
⇒
1 δ2
U1 + kx 2 = 0
U1 δx2
|:U
|k2 = kx 2 + k y 2 + kz 2
⇒ U1 = e±jkx ·x
|2 Lösungen
⇒ U2 = e±jky ·y
|2 Lösungen
⇒ U3 = e±jkz ·z
|2 Lösungen
Es sind drei unabhängige Teile vorhanden, wovon nur einer gelöst werden muss. Wenn
man eine der drei Gleichungen löst, bekommt man eine Differentialgleichung zweiter
Ordnung mit zwei Lösungen. Es gibt keine geschlossene Lösung, nur wenn man die
drei Gleichungen separat lösen würde.
HTW des Saarlandes
TET 2
63
5 Lösen der Maxwellgleichungen
Über die Gleichung (5.7) finden wir über einen Produktansatz U = U1 (x) · U2 (y) · U3 (z)
als Lösung:
U(x, y, z, t) = e±j(kx x+ky y+kz z) · e−jωt
⇒
(5.8)
~
e±jk·~r · e−jωt
In der Gleichung (5.8) ist das Skalarprodukt des Vektors ~k mit dem Ortsvektor ~r gegeben. Im allgemeinen Fall ist dies eine harmonische ebene Welle, die in Richtung
~k (Wellenzahlvektor) läuft. Diese Gleichung hat, wie oben schon erwähnt, zwei Lösungen, die eine einlaufende und eine auslaufende Welle darstellen. Dabei wurde
definiert:
Lösung :
~
e+jk~r · e−jwt
−j~k~r
e
· e−jwt
| Auslau f ende Welle von der Quelle weg
| Einlau f ende Welle zu der Quelle hin
Dabei gibt es nur eine physikalisch richtige Lösung, die auslaufende Welle von der
Quelle weg. Dies besagt unter anderem die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung,
die in Kapitel 3.3 erklärt wurde.
Betrachten wir jetzt mal einen Spezialfall:
Wenn wir uns eine ebene Welle vorstellen mit einer Ausbreitung in X-Richtung, dann
liegt die Wellenfront in der Y-Z-Ebene. Der daraus resultierende ~k -Vektor hat dabei
nur eine Komponente in Ausbreitungsrichtung (X-Richtung, (kx , 0, 0)). In Abb. 5.1 ist
eine Welle dargestellt, die in ein leitfähiges Material eindringt.
Abbildung 5.1: Änderung
64
der Feldstärke bei leitfähigem Material
TET 2
HTW des Saarlandes
5.1 Die direkte Entkopplung
Wenn die Welle das leitende Material erreicht, wird κ , 0. Das hat direkte Auswirkungen auf den Wellenzahlvektor k. Wenn wir uns nochmal vor Augen führen, was der
Wellenzahlvektor beinhaltet, so steht fest:
q
k = ω2 µ + jωκµ
|Besteht aus Real − und Imaginärteil
Wird κ als sehr groß angenommen, spielt nur noch der hintere Teil der Wurzel eine
Rolle.
k≈
p
p
jωκµ =
j·
√
ωκµ
Jetzt stellt sich noch die Frage, was die Wurzel von j ist.
⇒
p
1+ j
j= √
2
Einschub:
Abbildung 5.2: Einheitskreis
Um zu bestimmen, dass
p
j=
1+j
√ ,
2
kann der Einheitskreis (s. Abb. 5.2) zur Hilfe ge-
nommen werden.
p
1
j = (j) 2
π
1
⇒
(e j 2 ) 2
⇒
e j 4 ≈ 45◦
π
Nimmt man jetzt diese Bedingung und setzt diese in Gleichung (5.8) ein, erhält man
die Ausbreitung und die Dämpfung einer ebenen Welle in einem leitenden Material:
HTW des Saarlandes
TET 2
65
5 Lösen der Maxwellgleichungen
j(
⇒
√
1+ j
√ )·( ωκµ)x
U(x, y, z, t) = e 2
√ ωκµ
√ ωκµ
e j 2 x · e− 2 x
| {z } | {z }
(5.9)
Ausbreitung Dämp f ung
Wie groß ist x, wenn die Amplitude auf e−1 abgefallen ist:
ωκµ
x=1
2
s
2
x=
ωκµ
r
⇒
(5.10)
Die in Gleichung (5.10) hergeleitete Formel ist die Skintiefe, diese gibt an, wie tief eine
Welle in ein leitfähiges Material eindringt. Aus dieser Beziehung kann man festhalten, dass eine elektromagnetische Welle nicht sehr tief in Materialien eindringen kann,
wenn κ oder die Frequenz sehr groß sind. Wir haben diese Gleichung erhalten, da wir
nach der direkten Entkopplung eine Betrachtung weit weg von der Quelle gewählt
haben, wodurch eine ebene Welle vorhanden ist. Daraus haben wir anschließend die
Eindringtiefe festgestellt.
Diese Eindringtiefe muss in speziellen Fällen beachtet werden, wie z.B. bei U-Booten
(diese kommunizieren nur mit Langwellen, da das Meerwasser sehr leitend ist). Ein
weiteres Beispiel ist ein stromdurchflossener Leiter in der Energietechnik (Stromverdrängung). Bei einer hohen Frequenz wird nur noch Strom in der äußeren Hülle des
Leiters fließen.
66
TET 2
HTW des Saarlandes
5.2 Die Klassische Entkopplung
5.2 Die Klassische Entkopplung
Im Vergleich zu der direkten Entkopplung, beruht die klassische Entkopplung darauf,
dass man elektromagnetische Potentiale einführt.
Durch diese Potentiale, kann die klassische Entkopplung mit vier Größen beschrieben
werden. Hierzu werden eingeführt:
1. Ein Vektorpotential (drei Komponenten (x,y,z))
2. Ein skalares Potential (eine Komponente)
Wollen wir jetzt ein Potential einführen, müssen wir uns zuerst eine Gleichung suchen
mit der weitergearbeitet werden kann.
Dabei ist die einfachste Gleichung:
~ r, t) = 0
divB(~
(5.11)
Dies bedeutet, dass das Magnetfeld ein quellenfreies Feld ist. Diese Gleichung kann
umgeschrieben werden, wenn diese Bedingung immer erfüllt ist.
Das bedeutet, man muss wissen wann die Divergenz immer gleich NULL ist.
Man stellt jetzt die Behauptung auf das die Gleichung (5.12) gilt.
~ r, t)
~ r, t) = rotA(~
B(~
(5.12)
~ das Vektorpotential dar. Diese Behauptung kann auf zweierlei
Dabei stellt der Vektor A
Wege begründet werden.
1. Mathematisch
2. Physikalisch
Zu 1.: Erweitern wir die Gleichung (5.12) mit dem Differentialoperator (div) so erhalten
wir:
~ r, t)
~ r, t) = div rotA(~
divB(~
~ : Vektorpotential
A
(5.13)
Die Gleichung (5.13) kann auch umgeschrieben werden zu:
~ r, t)
~ r, t) = ∇ · ∇x A(~
divB(~
HTW des Saarlandes
TET 2
(5.14)
67
5 Lösen der Maxwellgleichungen
Der rechte Teil beschreibt dabei das Spatprodukt zweier Vektoren. Wenn dabei die
beiden Vektoren dieselben sind, ist das Spatprodukt immer Null.
Zu Punkt 2: Physikalisch gesehen muss ein Wirbelfeld stets quellenfrei sein. Dies wird
ebenfalls durch die Gleichung (5.13) beschrieben.
Also gilt:
~ r, t) = 0
~ r, t) = div rotA(~
divB(~
(5.15)
Als nächstes wird eine weitere Gleichung benötigt, in die die Potentiale eingesetzt
werden können.
~ r, t) = −
rotE(~
δ~
B(~r, t)
δt
(5.16)
In Gleichung (5.16) kann die Gleichung (5.12) eingesetzt werden:
~ r, t) = −
rotE(~
δ
~ r, t)
rotA(~
δt
(5.17)
Wird jetzt alles auf eine Seite gebracht, kann der Rotationsoperator (rot) ausgeklammert
werden:
~ r, t)) = ~0
~ r, t) + δ A(~
rot(E(~
δt
|
{z
}
(5.18)
−gradV(~r,t)
Durch die Gleichung (5.18) kann jetzt ein skalares Potential V(~r, t) (Höhenlinien) eingeführt werden.
Wenn die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet, kann diese als Gradient einer
skalaren Funktion dargestellt werden. Es folgt die Gleichung (5.19):
~ r, t)
~ r, t) = −gradV(~r, t) − δ A(~
E(~
δt
(5.19)
Das skalare Potential V(~r, t) ist zunächst eine willkürliche Funktion des Ortes und der
Zeit. Durch die Gleichungen (5.12) und (5.19) sind jetzt die gesuchten Potentiale gegeben, die über die restlichen Gleichungen gelöst werden können.
Als nächsten Schritt wird die Gleichung (4.7) betrachtet, dabei wird die Konvektionsstromdichte zu null angenommen.
68
TET 2
HTW des Saarlandes
5.2 Die Klassische Entkopplung
~ r, t) = ~Jl (~r, t) + ~Jk (~r, t) + ~Je (~r, t) + δ D(~
~ r, t)
rotH(~
δt |{z}
|{z} |{z}
=0
~ r,t)
κ·E(~
~ r, t) mit
Wird H(~
~
B
µ
(5.20)
~ r,t)
·E(~
~ durch die Gleichung (5.12)
aus der Gleichung (5.20) ersetzt, kann B
ersetzt werden. Dadurch ergibt sich:
~ r, t) =µ(~Je (~r, t) + κ[−gradV(~r, t) − δ A(~
~ r, t)]
rot rotA(~
δt
δ ~
δ
r, t)])
+ [−gradV(~r, t) − A(~
δt
δt
(5.21)
~ =grad
~ − ∆A,
~ erhält man die
Durch den mathematischen Zusammenhang, rot rotA
ˆ
div A
Gleichung (5.22):
~ r, t) − ∆A(~
~ r, t) =µ~Je (~r, t) − µκgradV(~r, t)
grad div A(~
− µκ
δ ~
δ
δ2 ~
A(~r, t) − µ gradV(~r, t) − µ 2 A(~
r, t)
δt
δt
δt
(5.22)
Nach weiterem Umstellen:
~ r, t) − µκ
[∆A(~
δ ~
δ2 ~
~ r, t) + µκgradV(~r, t)
A(~r, t) − µ 2 A(~
r, t)] =gard div A(~
δt
δt
δ
+ µ gradV(~r, t) − µ~Je (~r, t)
δt
(5.23)
Führen wir jetzt den D’Alemertschen Operator
=∆
ˆ − µ
δ2
δ
− µκ
2
δt
δt
(5.24)
ein, lautet die letzte Gleichung:
~ r, t) − grad [divA(~
~ r, t) + µκV(~r, t) + µ δ V(~r, t)] = −µ~Je (~r, t)
A(~
δt
(5.25)
Jetzt bleibt nur noch Gleichung (4.8), die mit (5.19) zu:
div gradV(~r, t) +
δ
~ r, t) = − ρ(~r, t)
divA(~
δt
(5.26)
zusammengefasst werden kann. Die obige Gleichung kann durch den Zusammenhang,
div grad =∆,
ˆ noch einmal umgeschrieben werden, zu:
∆V(~r, t) = −
δ
~ r, t) − ρ(~r, t)
divA(~
δt
(5.27)
Die Gleichung ist allerdings noch nicht die Wellengleichung, um diese zu erhalten
muss sie noch um zwei Terme auf beiden Seiten erweitert werden.
HTW des Saarlandes
TET 2
69
5 Lösen der Maxwellgleichungen
∆V(~r, t) − µ
2
δ2
δ
δ
~ r, t) − ρ(~r, t) − µ δ V(~r, t) − κµ δ V(~r, t)
V(~
r
,
t)
−
κµ
V(~
r
,
t)
=
−
div
A(~
δt
δt
δt
δt2
δt2
(5.28)
weiter umgestellt:
(∆V(~r, t) − µ
ρ(~r, t) δ
δ2
δ
~ r, t) + µ δ V(~r, t) + κµV(~r, t)]
− [divA(~
V(~r, t) − κµ V(~r, t)) = −
2
δt
δt
δt
δt
(5.29)
Die Felder (5.12) und (5.19) sind Lösungen des Systems. Man hat jetzt zwei Wellengleichungen (5.25) und (5.28), die zum einen das Vektorpotential und zum anderen
das skalare Potential bestimmen. Diese sind allerdings noch gekoppelt. Um diese zu
entkoppeln, wird als Nebenbedingung die Lorenz-Bedingung benötigt. Diese besagt
durch:
~ r, t) + µ
divA(~
δ
V(~r, t) + κµV(~r, t)=0
ˆ
δt
(5.30)
dass der hintere Term in der Gleichung (5.28) entfallen muss.
~ = 0 sein soll. Ist dies nicht erfüllt,
Das bedeutet, dass die Divergenz des Vektorfeldes A
muss eine Lorenz-Eichung durchgeführt werden. Hierzu wird die Eichfunktion Ψ
eingeführt.
~˜ = A
~ + gradΨ(~r, t)
A
Ṽ = V −
(5.31)
δ
Ψ(~r, t)
δt
Um die Bestimmungsgleichung für Ψ zu erhalten, wird die Gleichung (5.31) in Gleichung (5.30) eingesetzt.
~˜ r, t)) + µ δ Ṽ(~r, t) + κµṼ(~r, t)=0
div(A(~
ˆ
δt
2
~ r, t) + div gradΨ(~r, t) + µ δ V(~r, t) − µ δ Ψ(~r, t) + κµV(~r, t) − κµ δ Ψ(~r, t)=0
divA(~
ˆ
δt
δt
δt2
δ2
δ
~ r, t) + µ δ V(~r, t) + κµV(~r, t)] +
[divA(~
∆Ψ(~r, t) − µ 2 Ψ(~r, t) − κµ Ψ(~r, t)
=0
ˆ
δt
δt
δt
|
{z
}
|
{z
}
=0
ˆ
Bestimmungsgleichung für Ψ =
ˆ homogene Wellengleichung
(5.32)
Ist die Lorenz-Bedingung erfüllt, ist der vordere Term gleich Null und der hintere stellt
die Bestimmungsgleichung für Ψ dar. Damit können wir zusammenfassen:
70
TET 2
HTW des Saarlandes
5.2 Die Klassische Entkopplung
Wir können die Lorenz-Bedingung, wenn diese nicht bereits erfüllt ist, einfach durch
die Lorenz-Eichung zur Erfüllung bringen. Das dabei eingeführte Eichpotential Ψ ist
dabei die homogene Lösung der Wellengleichung. Man muss also eine homogene Lösung dazu addieren, um die Lorenz-Bedingung zu erfüllen. Letztendlich hat man jetzt
noch zwei Wellengleichungen zu lösen, nämlich für das skalare Potential V und für
~
das Vektorpotential A.
In einigen Büchern wird noch ein Fall angenommen, bei dem J1 wegfällt, durch die
Annahme dass keine Leitfähigkeit vorliegt. Dadurch würde der Dämpfungsterm (κ)
aus der Gleichung fallen. Die Lorenz-Bedingung würde eine andere werden, bliebe
aber wie bekannt bestehen, wodurch sich die Eichung eine homogene Lösung ohne
Dämpfungsterm ergibt.
5.2.1 Beispiel an der Antenne
Als Praktisches Beispiel soll eine Antenne dienen, dessen Vektorpotenzial berechnet
werden soll.
Gegeben ist eine Antenne, die in Z-Richtung ausgerichtet ist s. Abb. (5.3).
Abbildung 5.3: Aufbau
der Antenne
Diese hat eine gegebene Länge und ist unendlich dünn. In dieser Antenne soll jetzt ein
HTW des Saarlandes
TET 2
71
5 Lösen der Maxwellgleichungen
Strom I fließen. Daraus ergibt sich:
(∆ − µ
δ2
δ ~
− κµ )A
= −µ~JE
2
δt
δt
(5.33)
Die Gleichung (5.33) soll nicht im Zeitbereich gelöst werden, sondern über eine FourierTransformation bzgl. der Zeit t im Frequenzbereich. Dadurch wird nicht den Einschaltvorgang, sondern der eingeschwungenen Zustand betrachtet. Wenn ein Einschaltvorgang betrachten werden soll, muss die Laplace-Transformation verwendet werden,
da diese bei der Ableitung die Anfangswerte mitberücksichtigt. Nach Anwenden der
Fourier-Transformation folgt:
~ r, t) = −µ~JE
(∆ − k2 )A(~
(5.34)
Da die harmonische Zeitabhängigkeit und die Fourier-Transformation dasselbe ist,
besteht nur noch eine Abhängigkeit von ~r. Um dies vor einem systemtheoretischen
Hintergrund berechnen zu können, wird die Impulsantwort des Systems benötigt.
Abbildung 5.4: Systemtheoretische
Betrachtung
~ = Impulsantwort ∗(−µ~JE ) ist.
In Abb. (5.4) ist zu erkennen, das A
|
{z
}
Kugelwelle
Ein Impuls in einem freien dreidimensionalen Raum entspricht dabei einer Kugelwelle.
Das bedeutet, die Impulsantwort muss bekannt sein um sie mit der Anregungsfunktion falten zu können, damit das Ausgangssignal berechnet werden kann.
Eine Kugelwelle ist zu beschreiben als:
e jkR
4πR
72
TET 2
(5.35)
HTW des Saarlandes
5.2 Die Klassische Entkopplung
Dabei ist R der Abstand von Quellpunk zu Aufpunkt, also der Abstand von Ausgangspunkt der Quelle bis zu der Position in der sie sich zum Zeitpunkt der Berechnung
befindet. Wenn die Quelle im Nullpunkt stand, ist es klein r. Wenn die Quelle wo
anders liegt ist es r − r0 s. Abb. (5.3).
~ r) = − µ
A(~
π
$
jk|r−r0 |
~J(~r) · e
dV 0
|r − r0 |
(5.36)
V0
Als nächstes muss noch die Überlegung angestellt werden, wie die Stromdichte ~J~r
aussieht. Diese kann nur eine z-Komponente besitzen, da die Stromdichte nur in der
Antenne fließt, und neben dieser kein Stromfluss mehr statt findet.
~J(~r) = Jz0 · δ(x) · δ(y) ·~ez
(5.37)
Daraus folgt die Gleichung:
~z (~r) = − µ
A
π
Z
√
jk x1 +y2 +(z−z0 )2
e
J(z0 ) · p
dz0
−∞
x2 + y2 + (z − z0 )2
∞
(5.38)
Da diese Berechnung, durch die Erzeugung eines Nah-, übergangs- und Fernfeldes
durch die Antenne, sehr kompliziert wird, kann sie durch die Annahme J(z0 ) = I(z0 )
für |z0 | ≤
l
2
vereinfacht werden.
Fernfeldbetrachtung
Die Fernfeldbetrachtung erfolgt in großer Entfernung zur Antenne. Dadurch kann in
erster Näherung angenommen werden, dass |~r −~r0 | ungefähr |~r| ist (Für den Nenner). Im
Zähler wird noch ein Stückchen abgezogen und somit ist |~r −~r0 | ungefähr |~r| + z0 · cos θ.
Dadurch ergibt sich eine neue Gleichung:
~z ( f ern) = − µ
A
π
Z
l
2
e jk|~r|−z ·cos θ 0
I(z ) ·
dz
|~r|
− 2l
0
0
(5.39)
Da nur auf z’ integriert wird, kann ~r vorgezogen werden:
~z ( f ern) = − µ · e
A
·
π |~r|
jk|~r|2
l
2
Z
− 2l
|
I(z0 ) · e jkz ·cos θ dz0
0
{z
(5.40)
}
Fourier Integral
Interpretation der Gleichung
Wenn ein Vektorpotential A (z-Komponente) von irgendeiner Antenne vorliegt, ergibt
sich ein Vorfaktor multipliziert mit einer Kugelwelle. Dieses Ergebnis mit der Richt-
HTW des Saarlandes
TET 2
73
5 Lösen der Maxwellgleichungen
charakteristik multipliziert ergibt das Endergebnis, aus dem geschlossen werden kann,
dass im Fernfeld die Richtcharakteristik einer Antenne die Fourier Transformierte der
Strombelegung ist.
Durch diese Definition, müssen lediglich vier Größen bestimmt werden, um das ganze
Feld zu bestimmen.
74
TET 2
HTW des Saarlandes
5.2 Die Klassische Entkopplung
5.2.2 Hertzscher Vektor
Wir konnten feststellen, dass die Berechnung der Maxwell-Gleichungen durch die
~ r, t)
Bestimmung eines skalaren Potentials V oder φ(~r, t) und des Vektorpotentials A(~
zurückgeführt werden kann. Da zwischen Vektorpotential, welches aus drei skalare
Funktionen, und durch das skalare Potential, dass aus einer skalare Funktion besteht,
der Zusammenhang der Lorentz-Konvention besteht, liegt es nahe zu vermuten, dass
nur drei skalare Funktionen ausreichen, um das elektromagnetische Feld zu bestimmen, was 1889 von H. Hertz gezeigt wurde. Das den Maxwell-Gleichungen genügende
elektromagnetische Feld, kann durch die Differentiation aus einer einzigen Vektorfunktion gewonnen werden.
~ e (~r, t) existiert, und die Eigenschaft:
Als erstes zeigen wir, dass ein Vektorfeld P
δ~
Pe (~r, t) = ~Je (~r, t)
δt
~ e (~r, t) = −ρ(~r, t)
div P
(5.41)
besitzt. Bevor wir daraus etwas erkennen können müssen wir noch die Kontinuitätsgleichung betrachten.
div ~Je (~r, t) +
δ
ρ(~r, t) = 0
δt
Erweitern wir die Gleichungen (5.41) mit div und
δ
δt
(5.42)
und setzten diese dann in die
Gleichung (5.42) ein, erhalten wir:
div
δ~
δ
~ e (~r, t) = 0
Pe (~r, t) − divP
δt
δt
(5.43)
Daraus kann man schließen, dass die Gleichungen (5.41) die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Damit kann man aus der klassischen Entkopplung die rechte Seite der Gleichung
(5.23) und (5.26) verbinden und erhält, wenn die Lorentz-Bedingung erfüllt ist:
~ r, t) = −µ ~Je (~r, t) = −µ δ P
~ e (~r, t)
A(~
δt
1
1
~ e (~r, t)
V(~r, t) = − ρ(~r, t) = div P
(5.44)
~ e haben, dass zeitlich differenziert der StromWir sagen also, dass wir ein Vektorfeld P
dichte entsprechen soll. Wenn wir auf dieses Vektorfeld die Divergenz anwenden,
ergibt sich die Raumladungsdichte. Anschließend können wir sagen, dass diese Annahme der Kontinuitätsgleichung entspricht, da diese die Gleichung erfüllt.
HTW des Saarlandes
TET 2
75
5 Lösen der Maxwellgleichungen
Als nächstes wird ein Schritt zurück zur klassischen Entkopplung gemacht und durch
die Annahme des Vektorfeldes die Gleichungen (5.44) verbunden. Das bedeutet, wir
können beide Bestimmungsgleichungen, die wir in der klassischen Entkopplung hat~ e als unbekannte Größe bestimten darauf zurückführen, dass wir letztlich nur noch P
men müssen.
Macht man jetzt noch einen weiteren Ansatz und sagt, dass:
~ r, t) = µ δ Π(~
~ r, t)
A(~
δt
~ r, t)
V(~r, t) = −divΠ(~
~ Hertzscher Vektor
|Π
(5.45)
~
ist, erhalten wir folgende Bestimmungsgleichungen für A:
δ~
δ~
Π(~r, t)) = −µ P
r, t)
e (~
δt
δt
~ e (~r, t)
~ r, t) = − 1 P
Π(~
(5.46)
~ e (~r, t)
~ r, t)) = + 1 divP
(−divΠ(~
~ e (~r, t)
~ r, t) = − 1 P
Π(~
(5.47)
(µ
und für V:
Diese zwei unterschiedlichen Gleichungen ergeben die selbe Bestimmungsgleichung
~ Damit kann jetzt das gesuchte elektromagnetische Feld
für den Hertzschen Vektor Π.
nur mit Hilfe des Hertzschen Vektor bestimmt werden. Für die zugehörigen Differentiationsvorschriften erhalten wir aus den Gleichungen (5.47, 5.45, 5.12 und 5.19):
2
~ r, t) = graddivΠ(~
~ r, t)
~ r, t) − µ δ Π(~
E(~
δt2
2
~ r, t) + ∆Π(~
~ r, t) − µ δ Π(~
~ r, t)
= rotrotΠ(~
δt2
~ e (~r, t)
~ r, t) − 1 P
= rotrotΠ(~
(5.48)
~ e (~r, t) = 0. Dort ergibt sich dann:
Außerhalb des Quellgebietes ist P
~ r, t) = rotrotΠ(~
~ r, t)
E(~
(5.49)
~ r, t) = µrot δ Π(~
~ r, t)
B(~
δt
(5.50)
~
und für B:
Wir haben diesen Vektor eingeführt, da wir gesehen haben, dass man bei der klassi-
76
TET 2
HTW des Saarlandes
5.2 Die Klassische Entkopplung
schen vier Größen bestimmt und bei der direkten Entkopplung drei. Es musste also
möglich sein, die klassische Entkopplung auf drei Größen zu reduzieren. Das Gan~ e eingeführt wird, dass mit
ze kann man erreichen, wenn ein zusätzliches Potential P
der Kontinuitätsgleichung konform geht. Wenn man dieses geschickt einsetzt und aus
~ und dem skalaren Potential V einen Hertzschen Vektor definiert, dann
dem Vektor A
sind die beiden Gleichungen die wir zuvor bestimmt hatten zu einer einzigen Gleichung zusammengefasst, die nur noch aus drei Größen besteht, die zu bestimmen sind.
5.2.3 Fitzgeraldscher Vektor
Analog zu dieser Vorgehensweise, gibt es einen weiteren Vektor, den sog. Fitzgeraldschen Vekor. Dieser behandelt die Kontinuitätsgleichung für die fiktiven magnetischen
Stromdichten ~Jme und ρm .
Daraus folgt:
div ~Jme (~r, t) +
δ
ρm (~r, t) = 0
δt
(5.51)
~ m eingeführt:
Als nächstes wird das Vektorpotential P
δ~
Pm (~r, t) = ~Jme (~r, t)
δt
~ m (~r, t) = −ρm (~r, t)
div P
(5.52)
Jetzt folgt der gleiche Ansatz wie zuvor, der einzige Unterschied ist, dass nun der
~ eingeführt wird:
Fitzgeraldsche Vektor M
~ r, t) = − 1 P
~ m (~r, t)
M(~
µ
(5.53)
Nach den entsprechenden Schritten analog zur vorherigen Herleitung, bekommt man
~ und H:
~
die Bestimmungsgleichungen für D
~ r, t) = − µ rot δ M(~
~ r, t)
D(~
δt
~ r, t) = rot rotM(~
~ r, t)
H(~
(5.54)
die gelöst werden kann.
HTW des Saarlandes
TET 2
77
5 Lösen der Maxwellgleichungen
5.3 Seperation nach Bromwich
Wir haben jetzt gesehen, dass wir durch die direkte Entkopplung nur noch drei Größen bestimmen müssen und über die klassische Entkopplung vier. Jetzt stellt sich die
Frage, ob es mit noch weniger Größen möglich ist. Wenn wir uns die Gleichung (4.6)
anschauen, können wir feststellen, dass zwei skalare Größen genügen.
Wenn wir die Entkopplung der Maxwell-Gleichungen für inhomogene und anisotrope
Medien durchführen wollen, so können wir das nur noch unter Bezug auf spezielle
Koordinatensysteme tun. Ferner betrachten wir nur Gebiete, die außerhalb des Quellgebietes liegen, was bedeutet, dass ~Je = 0 und ρ = 0 sind. Des Weiteren sind auch
spezielle Annahmen für die Materialbeziehungen notwendig. Sowie die Betrachtung
in allgemeinen krummlinigen orthogonalen Koordinaten.
Betrachten wir zuerst, welche Koordinatensysteme es gibt und welche Variablen diese
besitzen:
1. Kartesisch: x, y, z
2. Zylinder: r, φ, z
3. Kugel: r, φ, θ
4. Elliptische Zylinderkoordinaten: η, ξ, z
Nun stellt sich die Frage, welches sind allgemeine krummlinige Koordinaten?
1. Zylinderkoordinaten
2. Kugelkoordinaten
Es wäre natürlich einfacher immer nur kartesische Koordinatensysteme zu nehmen,
da die Nutzung nahezu alltäglich ist, jedoch ist die Anwendung in diesem Fall nicht so
trivial. Das Erfüllen der Übergangsbedingungen in anderen Koordinatensystemen ist
meist einfacher zu rechnen. Andere Koordinatensysteme werden immer dann benötigt, wenn man Übergangsbedingungen sinnvoll erfüllen möchte und sich nicht durch
schwierige Rechenoperationen aufhalten will. Es ist jedoch auch möglich mit Hilfe von
einfachen Koordinatensystemen wie dem kartesischen Koordinatensystem zu rechnen,
allerdings muss die Fläche dann genau definiert und mittels Finiter-Element-Methode
zugeschnitten werden (dicker numerischer Hammer). Auf dem Papier ist es besser ein
78
TET 2
HTW des Saarlandes
5.3 Seperation nach Bromwich
anderes Koordinatensystem zu wählen.
Ein einfaches Bespiele wäre ein Block aus Eisen, indem eine Bohrung (Luft) eingebracht
ist. Lässt man eine Ultraschallwelle durch das Material laufen, müssen die Übergangsbedingungen zum Berechnen erfüllt werden. Benutzt man ein einfaches kartesisches
Koordinatensystem müssen für alle x und y Punkte die Übergänge berechnet werden,
die die Oberfläche angeben. Das Zylinderkoordinatensystem vereinfacht das Ganze,
da einfach r = ra angenommen wird.
Betrachten wir uns mal ein Koordinatensystem (Kugel aus Kartesisch)
Abbildung 5.5: Koordinatensystem
Möchte man jetzt ein Koordinatensystem in ein anderes überführen, hier kartesisch zu
Kugelkoordinaten, geht dies folgendermaßen:
x = r · sin θ · cos φ
y = r · sin θ · sin φ
(5.55)
z = r · cos θ
Um die Formfaktoren zur Umrechnung eines Koordinatensystem in ein anderes zu
bestimmen, gilt:
δsi
=
δxi
r
(
δy
δx 2
δz
) + ( )2 + ( )2 = gi
δxi
δxi
δxi
(5.56)
Möchte man jetzt g1 bestimmen, muss die Gleichung (5.55) in die Gleichung (5.56)
eingesetzt werden. Diese muss für x1 = r nach r abgeleitet werden:
HTW des Saarlandes
TET 2
79
5 Lösen der Maxwellgleichungen
δsi
g1 =
=
δr
r
=
q
(sin θ · cos φ)2 + (sin θ · sin φ)2 + (cos θ)2
=
q
sin θ2 · cos φ2 + sin θ2 · sin φ2 + cos θ2
=
q
sin θ2 · (cos φ2 + sin φ2 ) + cos θ2
(
δ
δ
δ
r · sin θ · cos φ)2 + ( r · sin θ · sin φ)2 + ( r · cos θ)2
δr
δr
δr
(5.57)
=1
Dies muss für die Formfaktoren g2 und g3 analog gemacht werden:
δsi
g2 =
=
δθ
r
=
q
=
q
(
δ
δ
δ
r · sin θ · cos φ)2 + ( r · sin θ · sin φ)2 + ( r · cos θ)2
δθ
δθ
δθ
(r · cos θ · cos φ)2 + (r · cos θ · sin φ)2 + (−r · sin θ)2
(5.58)
(r · cos θ)2 + (cos φ2 + sin φ2 ) + (−r · sin θ)2
=r
und
δsi
g3 =
=
δφ
s
(
δ
δ
δ
r · sin θ · cos φ)2 + ( r · sin θ · sin φ)2 + ( r · cos θ)2
δφ
δφ
δθ
q
(−r · sin θ · sin φ)2 + (r · sin θ · cos φ)2
q
= r2 · sin θ2 · sin φ2 + r2 · sin θ2 · cos φ2
q
= r2 · (sin θ2 · sin φ2 + sin θ2 · cos φ2 )
q
= r2 · (sin θ2 · (sin φ2 + cos φ2 ))
=
(5.59)
= r · sin θ
Jetzt haben wir die Maßstabsfaktoren bestimmt und können zu der eigentlichen Seperation nach Bromwich zurückkehren.
Als erstes betrachten wir erneut die Maxwell-Gleichungen für den Fall anisotrop, inhomogen, nicht dispersiv, harmonische Zeitabhängigkeit, außerhalb des Quellgebietes
und ~Jk = 0 (=
ˆ keine freien Ladungen).
80
TET 2
HTW des Saarlandes
5.3 Seperation nach Bromwich
~ r) = 0
divB(~
~ r) = 0
divD(~
~ r) = jωµ(~r)H(~
~ r)
rotE(~
→
→
→
~ r) = ←
~ r) − jω←
~ r) = ←
~ r)
~ r) = ~Jl (~r) + δ D(~
κ (~r)E(~
(~r)E(~
α (~r)E(~
rotH(~
δt
←
→
α i (~r) = κi (~r) − jωi (~r)
(5.60)
→
Der ←
α Tensor, beschreibt dabei eine Matrix, die hauptachsentransformiert ist, da
~
~
sonst die x-, y- und z-Komponenten des E-Feldes
die x-Komponente des H-Feldes
beeinflussen würden, was wir vermeiden wollen.


α1 0 0 



←
→
α =  0 α2 0 


0 0 α3
(5.61)
Als nächsten Schritt, brauchen wir die Rotation in kartesischen Koordinaten, um die
beiden unteren Gleichungen (5.60) darstellen zu können.
~ gezeigt:
Als Herleitung wird einmal die Rotation des Vektors α

~
 g1 e1
1  δ

∇x~
α=
g1 g2 g3  δx1
g1 α1
~
g2 e2
δ
δx2
g2 α2

~
g3 e3


δ 
δx3 


g3 α3
(5.62)
Wendet man dieses jetzt auf die beiden unteren Gleichungen (5.60) an, erhält man die
Gleichungen in den allgemeinen Koordinaten (x1 , x2 , x3 ):
[1]
[2]
[3]
1
δ
δ
[
(g3 H3 ) −
(g2 H2 )] = α1 E1
g2 g3 δx2
δx3
1
δ
δ
[
(g1 H1 ) −
(g3 H3 )] = α2 E2
g1 g3 δx3
δx1
1
δ
δ
[
(g2 H2 ) −
(g1 H1 )] = α3 E3
g1 g2 δx1
δx2
(5.63)
1
δ
δ
[
(g3 E3 ) −
(g2 E2 )] = jωµH1
g2 g3 δx2
δx3
1
δ
δ
[
(g1 E1 ) −
(g3 E3 )] = jωµH2
g1 g3 δx3
δx1
1
δ
δ
[
(g2 E2 ) −
(g1 E1 )] = jωµH3
g1 g2 δx1
δx2
(5.64)
und
[4]
[5]
[6]
HTW des Saarlandes
TET 2
81
5 Lösen der Maxwellgleichungen
Die Gleichungen aus (5.63) und (5.64) sind jetzt in allgemeinen krummlinigen Koordinaten dargestellt. Diese Gleichungen enthalten die Maßstabsfaktoren, die durch die
Umrechnung bedingt sind. Dadurch ist die Gleichung etwas komplizierter geworden.
Wir erkennen jedoch, dass sich die Komponente E1 aus den Komponenten H2 und H3
eindeutig bestimmen lässt und ebenso auf der anderen Seite H1 durch die Komponenten E2 und E3 . Das bedeutet, dass wir jedes E-Feld oder H-Feld, durch Überlagerung
zweier Felder berechnen können.
Um dies zu realisieren, müssen wir die Felder in zwei unterschiedliche Fälle gliedern,
in einen TE-(Transversal Elektrisch) und einem TM-(Transversal Magnetisch) Fall.
Für den ersten Fall (TE) würde das bedeuten, dass E1 = 0 ist und für den TM-Fall
H1 = 0. Wenn man nach der Berechnung der beiden Fälle diese überlagert und addiert,
erhält man den allgemeinen Fall. Das bedeutet wiederum, dass die E1 Komponente
nur aus dem TM-Fall und die H1 Komponente nur aus dem TE-Fall kommt.
TE-Fall
Durch die erste Schlussfolgerung, dass E1 = 0 ist, erhalten wir durch die Gleichung ([1]
5.63):
δ
δ
(g3 H3 ) −
(g2 H2 ) = 0
δx2
δx3
(5.65)
Um diese Gleichung lösen zu können, muss man den folgenden Ansatz wählen:
1 δ
ϕ
g2 δx2
1 δ
H3 =
ϕ
g3 δx3
H2 =
(5.66)
Dieser Ansatz, erfüllt die Gleichung (5.65), wenn man diesen einsetzten würde. Dadurch hätten wir schon einmal H2 und H3 bestimmt. Als nächsten Schritt können wir
die Gleichung ([6] aus 5.64) betrachten, da E1 = 0 ist und H2 und H3 bekannt sind.
1
δ
1 δ
[
(g2 E2 )] = jωµ
ϕ
g1 g2 δx1
g3 δx3
(5.67)
Wenn wir jetzt noch das ϕ umschreiben zu:
ϕ=
82
δ
U
δx1
TET 2
(5.68)
HTW des Saarlandes
5.3 Seperation nach Bromwich
ergibt sich aus der Gleichung (5.67):
1
δ
1 δ δ
[
(g2 E2 )] = jωµ
U
g1 g2 δx1
g3 δx3 δx1
(5.69)
Führen wir jetzt eine weitere Bromwich-Bedingung ein, die das mögliche Koordinatensystem auf kartesisch, kugel und zylinder Koordinatensystem beschränken:
g1 = 1
und
δ g2
=0
δx1 g3
(5.70)
ergibt sich für die Gleichung (5.69):
E2 =
jωµ δ
U
g3 δx3
(5.71)
Als weitere Größe, kann dann E3 bestimmt werden mit der Gleichung ([5] 5.64):
1 δ
1 δ δ
(g3 E3 ) = jωµ
U
g3 δx1
g2 δx2 δx1
jωµ δ
E3 = −
U
g2 δx2
(5.72)
Um H1 zu bestimmen, wird die Gleichung ([4] 5.64) verwendet:
jωµ δ
jωµ δ
1
δ
δ
[
(g3 (−
U) −
(g2
U)] = jωµH1
g2 g3 δx2
g2 δx2
δx3
g3 δx3
δ g3 δ
δ g2 δ
1
(
(
)+
(
))U
H1 = −
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
(5.73)
Damit lassen sich jetzt alle Komponenten des TE-Falles durch Differentiation aus
dem Potential U bestimmen. Die verbleibenden Gleichungen [2] und [3] liefern jetzt
einschränkende Bedingungen für die Wahl von U:
jωµα2 δ
1 δ
δ δ δ
[
H1 −
U] =
U
g3 δx3
δx1 δx3 δx1
g3 δx3
(5.74)
jωµα3 δ
1 δ δ δ
δ
[
U−
H1 ] =
U
g2 δx1 δx2 δx1
δx2
g2 δx2
(5.75)
und
Werden weitere Bromwich-Bedingungen eingeführt, die die anisotropie einschränken,
δα2
= 0,
δx3
δα3
= 0,
δx2
α2 = α3 = α2,/3 (x1 )
(5.76)
können die Gleichungen (5.74) und (5.75) umgeschrieben werden zu:
HTW des Saarlandes
TET 2
83
5 Lösen der Maxwellgleichungen
δ
δ2
[H1 − 2 U − jωµα2 U] = 0
δx3
δx
1
(5.77)
und
δ2
δ
[H1 − 2 U − jωµα3 U] = 0
δx2
δx
1
Diese beiden Gleichungen sind jedoch die gleichen, wenn wir jetzt noch H1 einsetzten,
aus der Gleichung (5.73), erhalten wir:
1
δ g3 δ
δ g2 δ
δ2
[
(
)+
(
)]U + 2 U + jωµα2/3 · U = 0
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
δx
(5.78)
1
Wenn wir diese Gleichung noch geschickt umformen, erhalten wir die Bestimmungsgleichung für das Potential U mit dem δ-Operator:
δ g3 g2 δ
δ g1 g3 δ
δ g1 g2 δ
1
[
(
)+
(
)+
(
)]U = δi
g1 g2 g3 δx1 g1 δx1
δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
[δ −
1 δ
δ
δ2
(g3 g2
) + 2 + jωµα2/3 ]U = 0
g2 g3 δx1
δx1
δx
(5.79)
1
Die Gleichung, die dort bestimmt wurde, ist nichts anderes als eine Schwingungsgleichung für das Potential U.
Daraus ergibt sich für den ersten Fall TE:


δ2

E1 = 0
H1 = [ δx
2 + jωµα2/3 ]U 


1


2
jωµ

δ
1
δ
 E2 =
U
H
=
U

2
g3 δx3
g2 δx1 δx2



jωµ δ

1
δ2
E3 = − g2 δx2 U
H3 = g3 δx1 δx3 U
(5.80)
mit den Bromwich-Bedingungen:
g1 = 1,
δ g2
( ) = 0,
δx1 g3
α2 = α3 = α2/3 (x1 )
(5.81)
Durch die Betrachtung der Bedingungen (5.81) lässt sich noch eine abkürzende Schreibweise für E und H finden:
E(x1 , x2 , x3 ) = jωµrot[e1 U(x1 , x2 , x3 )],
H(x1 , x2 , x3 ) = rotrot[e1 U(x1 , x2 , x3 )].
(5.82)
Der erste Fall wäre damit berechnet. Der zweite Fall, dass berechnen des TM-Falles
geht analog dazu, mit dem Unterschied, dass hier die Komponente H1 = 0 ist. Zuerst
84
TET 2
HTW des Saarlandes
5.3 Seperation nach Bromwich
beginnt man mit der Gleichung [4] und bestimmt E2 und E3 . Danach kann man diese
in die Gleichung [2] einsetzten um H3 zu bestimmen. Dann wird mit der Gleichung
[3] weiter gerechnet um H2 zu erhalten. Als letztes noch die Gleichung [1] um E1 zu
bekommen. Danach erhält man eine Bestimmungsgleichung für ein Potential V aus
den Gleichungen [5] und [6] und mit der Abkürzung Ẽi = αi · Ei . Die nachfolgenden
Berechnungen sind ohne großartige Erklärung eingeführt.


g
g
 E˜1 = − g21g3 [ δxδ1 ( g23 δxδ2 ) + ( δxδ3 ( g23 δxδ3 )]V

H1 = 0


2


E˜2 = g12 δxδ1 δx2 V
H2 = g13 δxδ3 V 



2

E˜3 = g13 δxδ1 δx3 V
H3 = − g12 δxδ2 V 
(5.83)
Dadurch sind alle Komponenten des TM-Falles durch Differentiation aus dem Potential
V zu gewinnen, wodurch wir die Bestimmungsgleichung für V:
[
1
δ
δ
δ
1 δ
1
δ−
(g3 g2
)+
(
) + jωµ]V = 0
α1
α1 g2 g3 δx1
δx1
δx1 α2/3 δx1
(5.84)
erhalten. Was zu erkennen ist, ist das die Gleichung (5.84) wesentlich komplizierter
ist, als die entsprechende Bestimmungsgleichung für U des TE-Falles. Des Weiteren
tritt hierbei noch α1 auf, das bei der Gleichung (5.79) nicht der Fall ist. Das ist mit ein
Grund warum bei Ausbreitungsproblemen in inhomogenen Medien meist der TE-Fall
behandelt wird.
Die Differentiationsvorschriften lassen sich ebenfalls vektoriell angeben als:
←
→
~
α (x1, x2, x3) · E(x1,
x2, x3) = rotrot[e1 V(x1, x2, x3)]
~
H(x1,
x2, x3) = rot[e1 V(x1, x2, x3)]
(5.85)
Damit haben wir die Gleichungen auf die Bestimmung zweier skalarer Potentiale U
und V zurückgeführt. Durch diese Ergebnisse, lassen sich alle klassischen Ausbreitungsprobleme ausrechnen (Kartesisch, Kugel, Zylinder).
Zusammenfassung:
Zusammenfassend kann man sagen, dass wir als Ausgangspunkt, die Maxwell-Gleichungen
in allgemeinen krummlinigen Koordinaten mit den entsprechenden Maßstabsfaktoren
bestimmt haben (sechs Gleichungen). Wir haben also drei Gleichungen des E-Feldes
und drei Gleichungen des H-Feldes, die miteinander gekoppelt sind vorliegen.
Als nächsten Schritt, erfolgt eine Unterteilung in zwei verschiedene Fälle (TE und
TM). Die Bezeichnung, transversal elektrisch im ersten Fall bedeutete dabei, dass das
HTW des Saarlandes
TET 2
85
5 Lösen der Maxwellgleichungen
E-Feld keine E1 -Komponente besitzt. Dies führt zur ersten Gleichung, bei der ein Ansatz gewählt werden muss, hier ϕ. Daraufhin hat man zwei Gleichungen H2 und H3 ,
die nach dem Einsetzungsprinzip in die anderen Gleichungen eingesetzt werden, um
die restlichen Komponenten zu bestimmen. Des Weiteren wird ein Ansatz gemacht,
in dem ϕ mehrfach zu differenzieren ist und somit das Potential U bzw. V eingeführt
wird. Danach konnten wir alle sechs Komponenten bestimmen und es fehlte nur noch
die Bestimmung der Potentiale U bzw. V.
Nach diesem Kapitel haben wir alle wichtigen Entkopplungsarten behandelt und können nun alle Ausbreitungsphänomene im freien Raum, unter der Bedingung, dass dort
die zuvor benannten Koordinatensysteme anwendbar sind und keine starke anisotrope herrscht, berechnen.
Als nächsten Schritt, müssen wir uns mit verschiedenen Wellentypen auseinandersetzten, die aus diesen Separationen hervorgehen.
86
TET 2
HTW des Saarlandes
6 Die ebene Welle
6.1 Separation der skalaren Wellengleichung in
kartesischen Koordinaten
Wie kann man sich eine ebene Welle vorstellen? Ein einfaches Beispiel wäre, dass Licht
der Sonne, das auf die Erde trifft, also ausgehend von einer Quelle die sehr weit entfernt ist. Dieses breitet sich im Unendlichen wie eine zweidimensionale Welle aus, eine
sogenannte auslaufende Kugelwelle.
Die ebene Welle stellt die einfachste Lösung der Maxwellschen-Gleichungen dar. Bevor
wir uns mit ihr beschäftigen, betrachten wir kurz die Separation der skalaren Schwingungsgleichung in kartesischen Koordinaten, da das Ergebnis dieses Verfahrens als
ebene Welle interpretiert werden kann.
Das bedeutet, wir müssen die Wellengleichung, die wir aus den Entkopplungen erhalten haben, lösen. Wenn man jetzt ein skalares Potential in kartesischen Koordinaten
annimmt, was schon bei der direkten Entkopplung gemacht wurde, mit dem Unterschied, dass wir hier keine Leitfähigkeit annehmen und die Quelle weit weg ist,
erhalten wir:
[∆ − µ
δ2
]U(x, y, z) = 0
δt2
(6.1)
Um die Differentialgleichungen umzuwandeln, wird jetzt eine harmonische Zeitabhängigkeit gewählt mit e−jwtb
= (Fourier Transformation bezgl. t).
[∆ + ω2 µ ]U(x, y, z) = 0
|{z}
| k2 : ω2 µ b
= Quadrat der Wellenzahl k
(6.2)
k2
| [k] =
1
m
Anzahl der Wellen pro Meter
umgeschrieben:
⇒
[∆ + k2 ]U(x, y, z) = 0
|
{z
}
(6.3)
Schwingungsgleichung
HTW des Saarlandes
TET 2
87
6 Die ebene Welle
Die Wellenzahl k, kann bei vorhandener Leitfähigkeit, komplex werden. Wodurch sich
ihre Gestalt verändert.
Als nächstes stellt sich die Frage, wie der ∆-Operator in kartesischen Koordinaten
aussieht:
(
δ2
δ2
δ2
+
+
+ k2 )U(x, y, z) = 0
δx2 δy2 δz2
(6.4)
Dabei kann die Gleichung (6.4) durch einen Produktansatz (Seperationsansatz) gelöst
werden:
U(x, y, z) = U1 (x) · U2 (y) · U3 (z)
(6.5)
Hat man diesen Ansatz gewählt, kann man mit der Lösung der Gleichung beginnen:
U2 (y)U3 (z)
δ2
δ2
δ2
U
(x)
+
U
(x)U
(z)
U
(y)
+
U
(x)U
(y)
U3 (z) + k2 · U1 (x) · U2 (y) · U3 (z) = 0
3
2
2
1
1
1
δx2
δy2
δz2
| : (U1 U2 U3 )
1 δ2
1 δ2
1 δ2
U
(x)
+
U
(y)
+
U3 (z) + k2 = 0
2
1
U1 (x) δx2
U2 (y) δx2
U3 (z) δx2
|k2 = kx2 + k2y + kz2
(6.6)
Haben wir den Wellenzahlvektor aufgespalten, ergeben sich daraus drei neue Gleichungen:
1 δ2
U1 (x) + kx2 = 0
U1 (x) δx2
1 δ2
U2 (y) + k2y = 0
U2 (y) δx2
1 δ2
U3 (z) + kz2 = 0
U3 (z) δx2
(6.7)
Als Lösung dieser Gleichung ergibt sich:
δ2
U1 (x) + kx2 · U1 (x) = 0
δx2
U1 (x) = e±jkx X
(6.8)
Dieser Ansatz wird gewählt, da die zweifache Ableitung der Funktion e±jkx X = −kx2 ist
und somit die Gleichung erfüllt ist.
Als letzter Schritt muss entschieden werden, ob e−jkx X oder e+jkx X die richtige Lösung ist.
Diese Fragestellung wird durch die Sommerfeld Bedingung beantwortet. Diese besagt,
dass die Welle eine auslaufende Welle sein muss. Durch die Wahl der harmonischen
88
TET 2
HTW des Saarlandes
6.2 Die ebene Welle
Zeitabhängigkeit von e−jωt muss die Lösung also e+jkx X sein. Wenn das Vorzeichen der
Zeitabhängigkeit gedreht werden würde, ergäbe sich eine andere Lösung. Da hier aber
von e−jkx X als Zeitabhängigkeit ausgegangen wird, ergibt sich als Lösung für U(x,y,z):
U(x, y, z) = e+j(kx ·x+ky ·y+kz ·z)
~
= e jk~r · e jk(αx +βy +γz )
(6.9)
Die Gleichung (6.9) wurde noch durch den Vektor ~r ersetzt, da r = (x, y, z) und die Richtungskosinusse eingeführt wurden, die die Richtung des Vektors angeben. Der Wellenzahlvektor k2 zeigt dabei in Ausbreitungsrichtung der Welle und steht senkrecht
zur Wellenfront. Für den harmonischer Fall ist damit die Berechnung abgeschlossen.
6.2 Die ebene Welle
Welche Eigenschaften hat so eine Welle, wenn sie aus den Maxwellgleichungen bestimmt wird? Dazu werden zunächst die Maxwellgleichungen zu den gegebenen Bedingungen (quellenfrei und ohne Leitfähigkeit) betrachtet:
δ ~
H(~r, t) = ~0
δt
~ r, t) − δ E(~
~ r, t) = ~0
rotH(~
δt
~ r, t) = 0
divB(~
~ r, t) + µ
rotE(~
(6.10)
~ r, t) = 0
divD(~
Abbildung 6.1: Die
HTW des Saarlandes
ebene Welle
TET 2
89
6 Die ebene Welle
Wenn von den oben genannten Bedingungen, mit dem Koordinatensystem und der
ebenen Welle laut Abb. (6.1) ausgegangen wird, dann müssen die folgenden Annahmen getroffen werden:
δ
Hx (x, t) = 0
δt
δ
Ex (x, t) = 0
δt
δ
Hx (x, t) = 0
δx
δ
Ex (x, t) = 0
δx
=⇒ Ex = 0, Hx = 0
(6.11)
Entlang der Wellenfront, die sich in der y,z-Ebene in x-Richtung ausbreitet, verschwin~ und H
~ konstant
den die partiellen Ableitungen nach y und z, da bei jedem festen t E
sein sollen, wodurch sich die Gleichungen (6.11) ergeben.
Wenn die x-Komponente der ersten Gleichung (6.10) betrachtet wird,
δ

δ
 δy Ez − δz
E y 


~ =  δ Ex − δ Ez 
rotE
 δz

δx
 δ

δ
δx E y − δy Ex
sind dort die partiellen Ableitungen nach y und z vorhanden, die jedoch NULL
sein sollen, da die Wellenfront als konstant angenommen wird. Dadurch fällt die
x-Komponente weg. Die Folgerung aus den vier Gleichungen ist also, dass Ex = Hx = 0
ist. Weiterhin wird angenommen, dass in der Wellenfront das E- und H-Feld konstant
sind, und sich somit nicht mit y und z ändert.
Die aus (6.10) resultierenden Gleichungen lauten:
δ
δ
Hz (x, t) − E y (x, t) = 0
δx
δt
δ
δ
[2] E y (x, t) + µ Hz (x, t) = 0
δx
δt
δ
δ
[3] H y (x, t) − Ez (x, t) = 0
δx
δt
δ
δ
[4] − Ez (x, t) + µ H y (x, t) = 0
δx
δt
[1] −
(6.12)
Durch diese Gleichungen werden die Komponenten E y und Hz und die Komponenten Ez und H y miteinander verknüpft. Durch das Einsetzungsverfahren ergibt sich
entweder eine Lösung für E y oder Hz als:
90
TET 2
HTW des Saarlandes
6.2 Die ebene Welle


δ2
δ2  E y (x, t) 
[ 2 − µ 2 ] · 
=0
δx
δt
Hz (x, t)
(6.13)
Es ist zu erkennen, dass dies zurückzuführen ist auf das Lösen einer DGL die folgendes
Aussehen hat:
[
1 δ2
δ2
−
] f (x, t) = 0
δx2 c2 δt2
(6.14)
Zur Lösung der speziellen Wellengleichung (6.14) führen wir eine Transformation
durch:
ξ = x − ct
η = x + ct
(6.15)
Dadurch lautet die Gleichung:
δf
δ
δ
=
f (ξ, η) +
f (ξ, η)
δx δξ
δη
δ2
δ2
δ2
δ2
[1] 2 f (x, t) = 2 f (ξ, η) + 2
f (ξ, η) + 2 f (ξ, η)
δξη
δx
δξ
δη
(6.16)
Wenn wir uns jetzt aber noch die Differentiation nach t anschauen, erhalten wir:
δf
δη
δ
δξ δ
=
f (ξ, η) ·
+
f (ξ, η) ·
δt δξ
δt δη
δt
δη
δξ
mit
= −c
und
= +c
δt
δt
δf
δ
δ
(b)
=
f (ξ, η) · (−c) +
f (ξ, η) · c
δt δξ
δη
(a)
(6.17)
Soll die Gleichung (6.17) (b) in die Gleichung (a) eingesetzt werden, muss Gleichung
(a) mit
δ
δt
erweitert werden:
δη
δ δ
δξ δ δ
δ δf
( ) = ( f (x, t)) ·
+ ( f (x, t)) ·
δt δt
δξ δt
δt δη δt
δt
δ2
δ
δ2
δ2
f (ξ, η) + 2 f (ξ, η)]c2
[2] 2 f (x, t) = [ 2 f (ξ, η) − 2
δξη
δt
δξ
δη
(6.18)
Es fällt jetzt auf, das die Gleichung (6.16) [1] und (6.18) [2] nahezu gleich sind. Diese können durch einsetzten in die Gleichung (6.14) voneinander subtrahiert werden
können:
[1] − [2]
4
δ2
f (ξ, η) = 0
δξη
(6.19)
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch:
HTW des Saarlandes
TET 2
91
6 Die ebene Welle
f (ξ, η) = F(ξ) + G(η)
(6.20)
: Sommer f eld
=⇒ f (x, t) = F(x − ct) +
G(x
+ ct)
Zusammenfassung:
Zur Lösung von Gleichung (6.14) haben wir zunächst eine Transformation durchgeführt, da diese so einfach nicht gelöst werden kann.
a Als nächstes wird eine Koordinatentransformation bezüglich
δ2
δx2
und
δ2
δt2
durchge-
führt. Danach ergibt sich, dass diese sich, bis auf die gemischten Terme, aufheben. Die
DGL die danach vorhanden ist, ist eine die sich wesentlich leichter lösen lässt.
Das Ergebnis besteht wieder aus zwei verschiedenen Anteilen, wie bei dem harmonischen Ansatz (auslaufende und einlaufen Welle), und es muss mit Hilfe der Sommerfeldschen Ausstrahlungsbedingung entschieden werden, welches das Richtige ist.
Wird vom elektrischen Feldanteil aus gegangen, so lautet dann der in beiden Teilfelder
erhaltende Lösungsansatz:




Ex (x, t) = 0
Hx (x, t) = 0


E (x, t) = F (x − ct) H (x, t) = −c F (x − ct) = 0

 y
y
0 2
1


Ez (x, t) = F2 (x − ct) Hz (x, t) = c0 F1 (x − ct)
(6.21)
Die x-Komponente des E-Feldes ist 0, da es keine Komponente in diese Richtung gibt,
was die Grundvoraussetzung war.
Entwicklung der Eigenschaften:
~ und H
~ durchführen, würde
Würde man eine Skalarmultiplikation der beiden Felder E
das Ergebnis lauten:
~ ·H
~ =0
E
(6.22)
~
~
Das bedeutet, das der E-Vektor
senkrecht auf dem H-Vektor
steht. Des Weiteren ergibt
sich durch (6.21), dass diese auch senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, hier x-Richtung,
~
ist. Dadurch kann der H-Vektor
dargestellt werden als:
~ t) = · c(~ex xE(x,
~ t)) = 1 [~ex xE]
~
H(x,
Z0
(6.23)
mit
r
Z=
92
µ
TET 2
(6.24)
HTW des Saarlandes
6.3 Harmonische ebene Welle
wobei Z als Wellenwiderstand bezeichnet wird. Im Vakuum ist dabei:
= 0 = 8, 8541878 · 10−12 F/m
µ = µ0 = 4 · Π · 10−7 H/m = 1, 256637 · 10−6 H/m
(6.25)
wodurch sich:
r
Z0 =
µ0
= 120πΩ
0
(6.26)
ergibt. Dieser Wellenwiderstand kann auch komplex sein, wenn eine Leitfähigkeit vorhanden wäre. Im freien Raum ist dieser jedoch nicht komplex. Der Wellenwiderstand
~ und H
~ für eine, in eine Richtung laufenden
Z ist der Proportionalitätsfaktor zwischen E
ebenen Welle.
~ t) =
H(x,
~k ~
xE
|~k|
(6.27)
Z
Dadurch wird auch klar, dass keine akustischen oder elastischen Wellen zum Mond
gesendet werden können, da diese an ein Medium gebunden sind. Die elektromagnetische Welle hingegen hat, auch im Vakuum, Materialkonstanten mit denen sie sich
ausbreiten kann.
Alles noch einmal zusammengefasst, bedeutet das:
1. Man kann eine Wellenfront definieren (z.B y,z-Ebene) und mit dieser Front breitet
sich die Welle in Ausbreitungsrichtung aus (x-Richtung).
~ und H
~ stehen senkrecht aufeinander.
2. Die Vektoren E
~ steht senkrecht auf
3. Der Vektor E
~k
,
|~k|
~
genauso wie H.
4. Der Vektor ~k ist der Wellenzahlvektor [ m1 ], dieser zeigt in die Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle.
√
5. Der Betrag von ~k gibt die Anzahl an Schwingungen pro Meter an (k = ω µ).
Werden zwei verschiedene Medien, z.B Wasser und Luft betrachtet, ist die Ausbreitungsrichtung unterschiedlich! Diese kann berechnet werden. In Wasser ist die Ausbreitung beispielsweise schneller als in Luft.
6.3 Harmonische ebene Welle
Ausgangspunkt für die Wellenzahl k war die Wellengleichung mit harmonischer Zeitabhängigkeit.
HTW des Saarlandes
TET 2
93
6 Die ebene Welle
(∆ + ω2 µ + jωκµ)U(x, y, z, k) = 0
| {z }
(6.28)
k2
Wenn keine Leitfähigkeit angenommen wir, fällt der hintere Term von (6.28) weg. Die
Lösung für das Potential U(x,y,z,k) war damals gegeben als:
~
U(x, y, z, k) = e jk·~r · e−jωt
(6.29)
Es soll nun drei verschiedene Fälle für ein unterschiedliches κ betrachet werden.
1. Fall κ =0
~
Dadurch ergibt sich, dass bei e jk~r der Betrag von k rein reell ist. Durch diese Vereinfachung, ergibt sich eine einfache, ebene Welle die sich in Ausbreitungsrichtung bewegt
(siehe Abb. (6.2)).
Abbildung 6.2: Ebene
Welle
Dadurch bleibt nur noch U(x, y, z) = e jk·x übrig. Der ~k-Vektor besteht also nur noch aus
der x-Komponente.
2. Fall κ , 0 aber sehr klein
Hierfür ergibt sich für k ≈ k’ + jk”. Wodurch der Imaginärteil des Vektors nicht verschwindet und somit noch einen Dämpfungsterm erhält. Die Wellenzahl wird dadurch
komplex.
0
00
U(x, y, z) = e jk ·x ·
e−k ·x
|{z}
(6.30)
Dämpfung der Welle
94
TET 2
HTW des Saarlandes
6.3 Harmonische ebene Welle
3. Fall κ , 0 und sehr groß
Für diesen Fall kann angenommen werden, dass der Realteil keine Rolle mehr spielt
und die Wellenzahl nur noch vom Imaginärteil abhängt. Dadurch kann man die Wellenzahl schreiben als
p √
jωκµ = j · ωκµ
r
r
ωκµ
ωκµ
k≈
+j
2
2
k≈
p
(6.31)
Daraus ergibt sich für das Potential U(x,y,z):
U(x, y, z, ) = e j
√ ωκµ
2
·x
√ ωκµ
e− 2 ·x
| {z }
·
(6.32)
Dämpfung der Welle
Um zu verdeutlichen, was mit der ebenen Welle passiert, dient die Abb. (6.3).
Abbildung 6.3: Ebene
Welle mit Dämpfung
Wird von einer ebene Welle ausgegangen, die entlang der x-Achse durch ein Material läuft und ab einem Punkt x = x0 durch eine Trennfläche in ein anderes Material
übergeht, ergeben sich unterschiedliche Leitfähigkeiten. Vor der Trennfläche ist das
κ1 = 0 und dahinter ist κ >> κ1 (gute Leitfähigkeit). Wenn jetzt eine ebene Welle auf die
Trennfläche trifft und in das zweite Material eintritt, wird diese exponentiell gedämpft.
Die Entfernung x = δ nach der die Welle auf e−1 des Randwertes abgefallen ist, wird
als Skin-Tiefe bezeichnet. Diese wird berechnet als,
e−1 = e−
HTW des Saarlandes
√ ωκµ
TET 2
2
·δ
(6.33)
95
6 Die ebene Welle
dadurch ergibt sich für δ, damit diese Gleichung erfüllt werden kann,
s
δ=
2
ωκµ
| {z }
(6.34)
Skin−Tie f e
Diese Größe gibt Aufschluss darüber, wie Tief eine Welle in ein Material eindringen
kann. Zu erkennen ist, dass diese Skin-Tiefe frequenzabhängig ist. Die gleiche Formel
würde sich ergeben, für die Betrachtung von Leitungen. Der Strom fließt nur im äußeren Bereich eines Leiters, wenn die Frequenz oder die Leitfähigkeit sehr hoch sind.
Diese Stromverdrängung findet z.B. Anwendung im Bereich des Militärs (Sonar im
Wasser).
Diese Skin-Tiefe kann man aufgrund des k sehr schnell plausibel gemacht werden, da
der Imaginärteil immer den Dämpfungsteil beinhaltet. Die ebenen Welle kann noch
außerdem durch die Formel


 ~k


~
~
H(~r, t) = · c  xE(~r, t)
|~k|
(6.35)
beschrieben werden. Dadurch ergibt sich jetzt eine Formel, die sowohl die ebene Welle
beschreibt, als auch beschreibt wie groß k ist (ob es reell oder komplex ist), außerdem
~ bzw. H-Feld
~
beschreibt sie in welche Richtung k zeigt und wie das Everläuft.
Zur Herleitung aus den Maxwell-Gleichungen, muss aus einer Leitung eine kleine Ecke
~ und H-Feld
~
ausgeschnitten werden, das Eeingezeichnet und mit Zylinderkoordinaten ausgerechnet werden. Die Lösung dieser DGL wären dann die Zylinderfunktionen.
Zu den Zylinderfunktionen gehören die Bessel-, Hankel- und Neumann-Funktionen.
Die Lösungen die sich ergeben können, wären zum einen die Besselschen-Funktionen
und zum anderen die Neumann-Funktionen.
Die Neumann-Funktionen kann man jedoch, wegen Unendlichkeitsstellen, ausschließen, was aber in einem späteren Kapitel nochmal genauer erklärt.
96
TET 2
HTW des Saarlandes
7 Fresnelsche Reflexion
Abbildung 7.1: Brechung
an einer Trennflächen
Folgende Problemstellung liegt vor: Zwei Medien spannen eine Ebene auf in Abb. (7.1)
ist diese Ebene die x,y-Ebene (Trennfläche). Des Weiteren fällt auf diese Trennfläche
eine ebene Welle unter einem Winkel θe in die Einfallsebene (x,z-Ebene) im Medium 1
ein. Diese Welle trifft unter dem Einfallswinkel auf die Trennfläche, und wird zum Teil
unter dem Winkel θr reflektiert und zum anderen Teil durch die Trennfläche durchgelassen, dies geschieht unter dem Winkel θd .
Dieses Phänomen ist der Grund, weshalb nun das Problem der Reflexion ebener Wellen an Trennflächen zweier verschiedenen Medien betrachtet wird. Es soll untersucht
werden, wie das Feld der durchgehenden und der reflektierten Welle aussieht. Im
allgemeinen Fall wird die einfallende Welle elliptisch polarisiert sein. Um dies zu
überprüfen wird sie aber zuerst in zwei Teilfälle zerlegt, so dass in dem einen Fall nur
die Eey -Komponente und in dem anderen Fall nur die Hey vorhanden ist.
Die ebene Welle ist eine transversalelektromagnetische Welle (TEM-Welle), bei der die
HTW des Saarlandes
TET 2
97
7 Fresnelsche Reflexion
~ und H)
~ senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen, wodurch sie
Feldkomponenten (E
keine Komponente in Ausbreitungsrichtung besitzen. In diesem Beispiel wäre das die
x,z-Ebene.
In diesem Zusammenhang zeigt der Wellenzahlvektor ~k, der sich auf der Wellenfront
der einfallenden Welle unter dem Winkel θe zum Lot befindet, in die Richtung der
ausbreitenden Welle. Der Pointingvektor, als weiterer Richtungsvektor, zeigt in Richtung der Ausbreitung der Wellenenergie, die hier der Ausbreitungssichtung entspricht.
~ senkrecht zur Einfallsebene, linear polarisiert
7.1 1. Fall: E
Es gibt verschiedene Arten von Polarisationen, die angeben, welchen Weg die Spitze
des E-Feld Vektors mit der Zeit zurücklegt. Es gibt verschiedene Arten von Polarisationen:
• linear
• zirkular
• elliptisch
Abbildung 7.2: Lineare
Polarisation
Wenn z. B. nur eine Schwingungsrichtung vorhanden ist, ist das eine lineare Polarisation (s. Abb(7.2).
Bei der zirkularen Polarisation rotiert die Schwingungsrichtung mit gleichbleibender
Geschwindigkeit (s. Abb 7.3) und die elliptische ist ein Mischfall der beiden ersten.
Diese Polarisationsarten werden in verschiedenen Anwendungsbereichen angewandt,
z.B. in Sonnenbrillen, 3D-Brillen bei verschiedenen Filtern oder bei der Bildverarbeitung. In früheren Anwendungen hat man verschiedene Kamerasysteme mit Filtern
98
TET 2
HTW des Saarlandes
~ senkrecht zur Einfallsebene, linear polarisiert
7.1 1. Fall: E
Abbildung 7.3: Zirkulare
Polarisation
versehen um Streulicht zu entfernen, das waren die sogenannten Polfilter oder auch
Polarisationsfilter.
In unserem Beispiel haben wir jetzt eine lineare Polarisation, da der E-Feldvektor
senkrecht zur Einfallsebene steht (senkrecht auf x und z). Was sich wie folgt darstellt:


0




~

~
j
k
r
jk
(x
sin
θ
+z
cos
θ
)
~ e = Eey = e 1 = e 1
e
e 

E




0
(7.1)
⇒ k1 , da wir uns im Medium 1 befinden.
Das dazu verlaufende H-Feld ist:
 
Hex 
 
~ e =  0 
H
 
 
Hez
(7.2)
Als nächstes muss noch der Wellenzahlvektor ~k definiert werden:


 sin θe 


~k1 =  0 




cos θe
(7.3)
 
x
 
~r =  y
 
z
(7.4)
TET 2
99
mit
HTW des Saarlandes
7 Fresnelsche Reflexion
Daraus ergibt sich durch die Berechnung der Formel (6.27), für die H-Feldkomponenten
des einfallenden Winkels θe :


 
θe
·
E
 ex

ey
ez  Hex = − cos
ey
Z
1

 
1 



~



He =
Hey = 0
sin θe 0 cos θe  = 

Z1 

 
sin θe
Hez = Z1 · Eey
0
Eey
0
(7.5)
~ und H:
~
Für den reflektierten Winkel θr ergibt sich somit für E




Erx = 0



~ r =  Ery = RE · e jk1 (x sin θr −z cos θr ) 
E



Erz = 0
(7.6)


θr
·
E

 Hrx = cos
ry
Z
1




~ r = 
H
H
=
0

ry


sin θr
Hrz = Z1 · Ery
(7.7)
und
Zu erkennen ist, dass sich das Ee -Feld nur durch einen Reflexionsfaktor und das
Vorzeichen vom Er -Feld unterscheidet. Der Reflexionsfaktor RE bedeutet dabei, dass
E senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Als letztes müssen wir noch das Feld für
den Durchgangswinkel θd bestimmen:




Edx = 0




jk
(x
sin
θ
+z
cos
θ
)
~
2
d
d
Ed = Edy = DE · e



Edz = 0
(7.8)
~ senkrecht zur Einfallsebene polaDE bedeutet: Durchgangsfaktor für den Fall, dass E
risiert ist


− cos θ
Hdx = Z2 d · Edy 



~ d = 
H
H
=
0

dy



sin θd
Hdz = Z2 · Edy
(7.9)
Jetzt sind alle Komponenten für jeden der drei Winkel beschrieben und es kann der
erste Fall berechnet werden.
Vor Beginn der Berechnung stellt sich noch die Frage was alles bekannt sein muss,
damit weiter gerechnet werden kann?
• Die Materialkonstanten der beiden Medien.
• Sind in der Ebene Ladungsträger bzw. Ströme enthalten?
100
TET 2
HTW des Saarlandes
~ senkrecht zur Einfallsebene, linear polarisiert
7.1 1. Fall: E
• Den Einfallswinkel θe .
~
7.1.1 Übergangsbedingung für E-Tangential
Da ein Übergang von einem Medium zu einem anderen Medium vorliegt, müssen die
~
Übergangsbedingungen erfüllt werden. Für die Tangentialkomponente des E-Feldes
lauten diese dass sie stetig durch die Trennfläche geht, wobei die Trennfläche durch
~
Z=0 definiert ist. Das bedeutet, dass das gesamte E-Feld,
das unterhalb und oberhalb
der Trennfläche für Z=0 ist, identisch ist. Dadurch ergibt sich folgende Gleichung:
Eey |z=0 + Ery |z=0 = Edy |z=0
e jk1 (x sin θe ) + RE · e jk1 (x sin θr ) = DE · e jk2 (x sin θd )
(7.10)
Diese Gleichung kann nur dann für alle x erfüllt werden, wenn:
k1 · sin θe = k1 · sin θr = k2 · sin θd
|
{z
}
(7.11)
gilt für beliebiges x
Durch dieses Zusammenhang, kann festgestellt werden, dass θe = θr ist, was als Reflexionsgesetz bezeichnet wird. Weiterhin ist k1 · sin θe = k2 · sin θd , was das Brechungsgesetz der elektromagnetischen Wellen darstellt.
θe = θr
| {z }
Reflexionsgesetz
k1 · sin θe = k2 · sin θd
|
{z
}
(7.12)
Brechungsgesetz
Durch Umformen der Gleichung (7.10) können noch die Gleichung für den Reflexionsund Durchgangsfaktor erhalten werden.
1 + RE = DE
(7.13)
Das bedeutet was unterhalb der Trennfläche gilt, muss auch oberhalb für die Tangen~
tialkomponente des E-Feldes
gelten. Es wurden also die beiden Gesetze bestimmt und
eine Bestimmungsgleichung für RE und DE erhalten.
~
7.1.2 Übergangsbedingung für H-Tangential
~
Für das H-Feld
gilt das gleiche wie zuvor, die Übergangsbedingungen müssen erfüllt
~
werden, d.h. die Tangentialkomponente des H-Feldes
muss stetig durch die Trennflä~
che gehen. Da die Trennfläche die x,y-Ebene ist und das H-Feld
keine y-Komponente
besitzt spielt nur die x-Komponente eine Rolle.
HTW des Saarlandes
TET 2
101
7 Fresnelsche Reflexion
Hex |z=0 + Hrx |z=0 = Hdx |z=0
− cos θd
− cos θe jk1 (x sin θe ) cos θr
DE · e jk2 (x sin θd )
e
+
RE · e jk1 (x sin θr ) =
Z1
Z1
Z2
(7.14)
Durch Umformen der Gleichung (7.14) ergibt sich die zweite Bestimmungsgleichung
für den Reflexions- und den Durchgangsfaktor:
− cos θe cos θr
− cos θd
DE
+
RE =
Z1
Z1
Z2
(7.15)
Durch Einsetzten der Gleichung (7.13) in Gleichung (7.15) und Umstellen auf RE , folgt:
RE =
Z2 cos θe − Z1 cos θd
Z2 cos θe + Z1 cos θd
(7.16)
Durch Ersetzen von Z1 und Z2 durch die Materialkonstanten ergibt sich:
q
n1
2
µ2 k1 cos θe − µ1 k2 cos θd µ2 n1 cos θe − µ1 n2 1 − ( n2 sin θe )
RE =
=
q
µ2 k1 cos θe + µ1 k2 cos θd
µ2 n1 cos θe + µ1 n2 1 − ( nn12 sin θe )2
(7.17)
Anschließend muss noch der Durchgangsfaktor bestimmt werden:
2µ2 k1 cos θe
2Z2 cos θe
=
Z2 cos θe + Z1 cos θd µ2 k1 cos θe + µ1 k2 cos θd
2µ2 n1 cos θe
=
q
µ2 n1 cos θe + µ1 n2 1 − ( nn12 sin θe )2
DE =
(7.18)
Die Faktoren RE und DE hängen also von den Materialkonstanten und den jeweiligen
Winkeln ab.
Zusammenfassung 1.Fall:
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (Bestimmungsgleichungen), wurden ineinander eingesetzt und umgeformt um den Reflexions- und den Durchgangsfaktor
bestimmen zu können. Als Koordinatensystem wurde das kartesische Koordinatensystem eingeführt, da Kugelkoordinaten hierfür kontraproduktiv gewesen wären. Andere
Koordinatensystem werden dann ein geführt, wenn andere Übergangs- und Randbedingungen vorliegen und sie durch diese besser zu erfüllen sind.
~ senkrecht zur Einfallsebene, linear polarisiert
7.2 2. Fall: H
Um allgemeine Lösungen zu erhalten, muss das H-Feld senkrecht zur Einfallsebene
berechnet und zu Fall 1 hinzu addiert werden. Dadurch ergeben sich wieder für die
jeweiligen Felder die entsprechenden Größen (durchgehendes, reflektiertes und einfal-
102
TET 2
HTW des Saarlandes
~ senkrecht zur Einfallsebene, linear polarisiert
7.2 2. Fall: H
~
lendes Feld). Der Unterschied zu Fall 1 ist der, dass nur das H-Feld
eine y-Komponente
besitzt und die x,z-Komponenten gleich Null sind. Somit lautet die Gleichungen für
~
das H-Feld:
Hex = 0
Hrx = 0
Hdx = 0
Hey = e jk1 (z cos θe +x sin θe )
Hry = RH e jk1 (x sin θe −z cos θe )
Hdy = DH e jk1 (z cos θd +x sin θd )
Hez = 0
Hrz = 0
Hdz = 0
(7.19)
~
Und für das E-Feld:
Eex = cos θe Z1 Hey
Erx = − cos θe Z1 Hry
Edx = cos θd Z2 Hdy
Eey = 0
Ery = 0
Edy = 0
Eez = − sin θe Z1 Hey
Erz = − sin θe Z1 Hry
Edz = − sin θd Z2 Hdy
(7.20)
~ senkrecht zur Einfallsebene,
Die weitere Vorgehensweise ist identisch mit der bei E
d.h. es müssen die Übergangsbedingungen erfüllt werden. Am Ende ergibt sich wieder
zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aus denen die Bestimmungsgleichungen für
DH und RH folgen.
1 + RH = DH
(7.21)
und
Eex |z=0 + Erx |z=0 = Edx |z=0
cos θe Z1 − cos θr Z1 RH = cos θd Z2 DH
(7.22)
Diese müssen noch bestimmt werden, indem sie ineinander eingesetzt werden.
Z1 cos θe − Z2 cos θd
Z1 cos θe + Z2 cos θd
µ1 k2 cos θe − µ2 k1 cos θd
=
µ1 k2 cos θe + µ2 k1 cos θd
p
µ1 n2 2 cos θe − µ2 n1 n2 2 − n1 2 sin θe 2
=
p
µ1 n2 2 cos θe + µ2 n1 n2 2 − n2 2 (sin θe )2
RH =
2Z1 cos θe
Z1 cos θe + Z2 cos θd
2µ1 k2 cos θe
=
µ1 k2 cos θe + µ2 k1 cos θd
(7.23)
DH =
=
HTW des Saarlandes
(7.24)
2µ1 n2 2 cos θe
p
µ1 n2 2 cos θe + µ2 n1 n2 2 − n1 2 (sin θe )2
TET 2
103
7 Fresnelsche Reflexion
Das Brechungsgesetz und das Reflexionsgesetz gelten hier analog.
Was war jetzt Sinn und Zweck dieser Geschichte? Es wurde hergeleitet wie sich Wellen
an einem Übergang zweier Medien verhalten, wenn die Materialeigenschaften und die
Winkel bekannt sind. Dies wird z.B. bei der zerstörungsfreien Prüfung (Ultraschallprüfung) angewandt, um in einem Metall Fehlstellen durch die Brechung einer Welle
an einer Ungänze zu finden..
7.3 Spezialfälle der Einfallswinkel
Als nächstes werden verschiedene Fälle für den Einfallswinkel θe betrachtet und untersucht was sich für diese Fälle ergibt.
7.3.1 1. Fall: Senkrechter Einfall
~
Beim senkrechten Einfall wird θe = 0, dadurch lassen sich die verschiedenen Fälle, E
~ senkrecht zur Einfallsebene, nicht mehr unterscheiden. Deswegen, müssen wir
und H
die Größen R und D beachten, die definiert sind als:
RE =
Z2 − Z1
,
Z2 + Z1
RH =
Z1 − Z2
Z1 + Z2
(7.25)
das bedeutet,
RE = −RH
(7.26)
und für D:
DE =
2Z2
,
Z2 + Z1
DH =
2Z1
Z1 + Z2
.
(7.27)
Der senkrechte Einfall wird z.B. zur Dickenbestimmung und zur Bestimmung der Art
des Materials bei geschichteten Materialien verwendet in dem der Laufzeitunterschied
der Welle betrachtet wird.
7.3.2 2. Fall: Streifender Einfall
Viel interessanter hingegen ist der zweite Sonderfall, bei dem der Einfallswinkel θe =
90◦ =
π
2
ist. Dadurch ergibt sich, durch die Formeln (7.17) und (7.23):
RE = RH = −1
,
(7.28)
sowie durch die Formel (7.23) und (7.24)
104
TET 2
HTW des Saarlandes
7.3 Spezialfälle der Einfallswinkel
DE = DH = 0
.
(7.29)
Die Durchgangswinkel DE und DH sind in diesem Fall NULL, das bedeutet, dass
bei diesem streifendem Einfall keine Welle in das zweite Medium eindringt. Es ist
nicht möglich, dass im oberen Medium eine Welle mit einer Geschwindigkeit v und
im unteren Medium eine Welle mit Geschwindigkeit v’ läuft. Des Weiteren besagt
RE = RH = −1, dass entlang der Grenzfläche z=0 die Amplituden der reflektierten
gleich der Amplitude der einfallenden Welle sind. Lediglich die Phase der reflektierten Welle ist um 180◦ Phasenverschoben.
Es soll eine Antenne, die eine Welle aussendet, die mit streifendem Einfall auftrifft (s.
Abb. 7.4) betrachtet werden.
Abbildung 7.4: Streifender
Einfall
Diese Antenne sendet eine ebene Welle in die x-Richtung aus. Die einfallende Welle
läuft also in gleicher Richtung wie die reflektierte Welle, nur um 180◦ verschoben.
Durch diese Phasenverschiebung kommt es zu einer Auslöschung der Welle (destruktive Interferenz) und somit zu einem feldfreien Raum an der Erdoberfläche. Das Gesamtfeld ist dort also gleich Null.
Aus dieser Tatsache ergibt sich, dass Flugzeuge die in einer gewissen Mindesthöhe
fliegen, nicht vom Radar erkannt werden können. Eine Lösung des Problems, wäre
einen Einfallswinkel von θe = 0◦ , was durch sogenannte Awacs-Flugzeuge realisierbar
ist. Diese haben einen pilzköpfig aufgebauten Radar auf der Oberseite montiert, welcher mit verschiedenen Frequenzen und Sendewinkeln arbeitet und somit von „oben
nach unten“ sendet.
HTW des Saarlandes
TET 2
105
7 Fresnelsche Reflexion
Eine Möglichkeit eine Reflexion zu verhindern wäre, dass ein speziellen Lack oder
einen anderen Anstrich an einem Flugzeug vorgenommen wir, der das Flugzeug für die
Frequenz unsichtbar macht. Dies ist jedoch nur für genau eine Frequenz möglich. Eine
weitere Möglichkeit wäre, den Rückstreuquerschnitt sehr klein zu machen, wodurch
die Welle versucht in alle Richtungen zu streuen nur nicht dort hin, wo sie her kommt.
7.4 Reflexion und Brechung an rein dielektrischen Medien
7.4.1 1. Fall: θd rein reell
Folgende Annahme wird getroffen:
µ1 = µ2 = µ
(7.30)
κ1 = κ2 = 0
Daraus folgt:
r
k1 n1
=
=
k2 n2
1
2
(7.31)
wodurch das Brechungsgesetz dann zu:
√
wird. Wenn
√
1 sin θe ≤
√
1 sin θe =
√
2 sin θd
(7.32)
2 wäre, würde θd rein reell bleiben und es würde kein
negativer Winkel existieren.
Handelt es sich hierbei nun um eine Betrachtung einer Brechung von einem optisch
dünneren zu einem optisch dichteren Material oder anders herum? In diesem Beispiel,
wäre es eine Brechung von einem optisch dünneren (Luft) zu einem optisch dichteren
Material (Wasser) θd < θe . Die Brechung erfolgt zum Lot hin s. Abb. (7.5).
Dadurch können wir Bestimmungsgleichungen der Faktoren RE , RH , DE und DH mit
Hilfe der trigonometrischen Relation umgeschrieben werden zu:
sin (α ± β) cos (α ± β) = sin (α) cos (α) ± sin (β) cos (β)
RE =
106
sin θd − θe
,
sin θd + θe
RH =
TET 2
tan θe − θd
tan θe + θd
(7.33)
(7.34)
HTW des Saarlandes
7.4 Reflexion und Brechung an rein dielektrischen Medien
Abbildung 7.5: Brechung
DE =
2 cos θe sin θd
,
sin θd + θe
DH =
zum Lot
2 cos θe sin θd
sin θe + θd cos θe − θd
(7.35)
Das bedeutet, dass die Faktoren DE und DH positiv und reell sind, wodurch die
einfallende und durchlaufende Welle in Phase sind.
7.4.2 Brewsterwinkel
Der nächste Fall, der betrachtet werden soll ist der Fall bei dem θe + θd = π2 ergeben,
~ senkrecht zur Einfallsebene) verschwindet.
wodurch der Reflexionsfaktor RH (für H
Dieser Winkel wird als Brewsterwinkel bezeichnet und es gilt θe = θd , da jetzt von einer
beliebig polarisierten einfallenden ebenen-Welle im reflektierten Feld nur noch eine
RE -Komponente übrig bleibt. Das bedeutet, dass hier das reflektierte Feld unter dem
~ entspricht. Dieser
benannten Winkel dem reflektierten, senkrecht polarisierten Feld E
Winkel ist der sogenannte Polarisationswinkel, da das reflektierte Feld nur noch einen
~ Anteil hat und das senkrecht polarisierte H
~ Feld wird zu
senkrecht polarisierten E
NULL.
7.4.3 2. Fall θd kann komplex werden
Die nächste Annahme die getroffen wird ist das
√
1 sin θe ≥
√
2 sein soll. Dies würde
die Brechung von einem optisch dichter Material zu einem optisch dünneren Material
bedeuten (z.B. Wasser zu Luft) s. Abb (7.6).
Durchgangswinkel θd > θe
Das Brechungsgesetz ist hier immer noch gültig:
HTW des Saarlandes
TET 2
107
7 Fresnelsche Reflexion
Abbildung 7.6: Brechung
√
1 sin θe =
√
vom Lot weg
2 sin θd
Damit die Gültigkeit weiter besteht, muss sin θd > 1 sein, was jedoch nur möglich ist,
wenn für den Winkel θd auch komplexe Werte zugelassen werden.
sin2 θd + cos2 θd = 1
s
√
q
1
2
cos θd = 1 − sin θd = 1 − ( √ sin θe )2
2
r
1
cos θd = ±j
sin2 θe − 1
2
(7.36)
Das Vorzeichen der in der Gleichung (7.36) ist so zu wählen, dass die Amplitude der
durchgehenden Welle für z gegen unendlich verschwindet. In diesem Fall bedeutet
das die Wahl eines ein positiven Vorzeichens.
Durch einsetzen von cos θd in die Gleichung des durchgehenden Feldes ergibt sich:
Edy = DE · e jk2 (x sin θd +z cos θd )
Edy = DE · e jk2 x sin θd +jk2 cos θd
Edy = DE · e
jk2 x sin θd
·
−k2 z
e
|
q
1
2
(7.37)
sin2 θe −1
{z
}
Dämpfung der durchgehenden Welle
in z-Richtung
Der hintere Teil der Gleichung (7.37) stellt dabei eine Dämpfung der Welle in zRichtung dar.
108
TET 2
HTW des Saarlandes
7.5 Totalreflexion
Wie bereits bekannt kann, unter gewissen Bedingungen, θd komplex werden und zwar
dann, wenn der Winkel θe immer größer wird. Daraus folgt:
θd =
π
± jβ
2
(7.38)
Wird der Winkel θe danach noch größer, wird der Winkel θd komplex, denn θd =
π
2
ist
der größte, rein reelle Wert den θd erreichen kann. Somit entsteht eine Dämpfung, die
verhindert, dass eine durchgehende Welle in das zweite Medium eintritt und es zur
sogenannten Totalreflexion kommt.
7.5 Totalreflexion
Da (7.37) für ein wachsendes z nicht anwachsen darf, muss für (7.38) −jβ gewählt
werden, wodurch auch mit wachsendem z eine Dämpfung eintritt.
Dies ergibt sich, indem die trigonometrischen Funktionen betrachtet werden:
cos (α + jβ) = cos (α) cosh (β) − j sin (α) sinh (β)
sin (α + jβ) = sin (α cosh (β + j cos (α sinh (β)
wenn α =
π
2
(7.39)
ist erhält man:
π
± jβ) = − j sinh (±β)
2
π
sin ( ± jβ) = cosh (±β)
2
cos (
|rein imaginär
(7.40)
|rein reell
Wird (7.40) in (7.8) und (7.9) eingesetzt, folgt daraus:
Edy = DE · e jk2 (x sin θd +z cos θd ) ,
− cos θd
· Edy ,
Z2
sin θd
Hdz =
· Edy ,
Z2
Hdx =
=⇒Edy = DE · ek2 z sinh ±β+jk2 x cosh ±β ,
(7.41)
sinh ±β
Edy ,
Z2
cosh ±β
Hdz =
Edy
Z2
Hdx = j
Anhand der Gleichung (7.41) kann erkannt werden, dass das Vorzeichen für β negativ gewählt werden muss, da Edy für positive z nicht exponentiell anwachsen darf.
HTW des Saarlandes
TET 2
109
7 Fresnelsche Reflexion
Dadurch gilt für das durchgehende Feld bei der Totalreflexion:
Edy = DE · e−k2 z sinh β+jk2 x cosh β ,
sinh β
Edy ,
Z2
cosh β
Hdz =
Edy
Z2
Hdx = −j
(7.42)
und damit ergibt sich für Medium 2:
1. Flächen gleicher Amplitude des Feldes in Medium 2.
2. Flächen gleicher Phase des Feldes in Medium 2.
(1)Re−k2 z sinh β + jk2 x cosh β = const = −k2 z sinh β
(2)Im−k2 z sinh β + jk2 x cosh β = const = k2 x cosh β
(7.43)
Daraus wird ersichtlich, dass die Flächen gleicher Phase senkrecht zu den Flächen
gleicher Amplituden stehen. Hieraus folgt, dass in Medium 2 eine inhomogene Welle existiert. Generell gilt, wenn die Flächen gleicher Phase und die Flächen gleicher
Amplitude nicht mehr zusammenfallen, wird von inhomogenen Wellen gesprochen.
Das bedeutet, die Welle in Medium 2 ist in z-Richtung exponentiell gedämpft und
die Flächen gleicher Phase stehen in x-Richtung. Weiterhin sind in z-Richtung Flächen
gleicher Amplituden, die senkrecht aufeinander stehen. Das heißt, dass parallel zur
Trennfläche Flächen gleicher Amplitude und senkrecht zur Trennfläche, Flächen gleicher Phasen verlaufen.
Abbildung 7.7: Inhomogene
Welle im Fall der Totalreflexion
Als nächstes wir der mittleren Energiefluss des Mediums 2 berechnet, dazu wird der
komplexe Poyntingvektor benötigt:
110
TET 2
HTW des Saarlandes
7.5 Totalreflexion
~k ]z = 1 Re[E(x,
~ z)xH
~ ∗ (x, z)]z
Re[S
2 "
#
sinh β ∗ −k2 z sinh β−jk2 x cosh β
1
−k2 z sinh β+jk2 x cosh β
= Re DE e
· (−j) 2 DE · e
2
z
(7.44)
=0
Diese Gleichung besagt, dass es im Fall der Totalreflexion keinen Energietransport,
senkrecht zur Trennfläche, ins Medium 2 gibt. Dagegen finden wir, dass im Medium
2 parallel zur Trennfläche, bei z=0, einen minimalen Energietransport in x-Richtung
existiert.
~k ]x = 1 Re[E(x,
~ z)xH
~ ∗ (x, z)]x
Re[S
2 "
#
1
−k2 z sinh β+jk2 x cosh β cosh β ∗
−k2 z sinh β−jk2 x cosh β
= Re DE e
·
DE · e
2
z2
(7.45)
,0
Aus dieser Berechnung kann nicht gesagt werde woher dieser Energietransport parallel zur Trennfläche herkommt. Das Problem kommt daher, da wir zur Berechnung
die ebene Welle verwendet haben. Eine ebene Welle ist praktisch nur näherungsweise
realisierbar. Die einfallende Welle hat im vorliegende Fall eine endliche Ausdehnung
die auch irgendwann einmal “eingeschaltet“ werden muss. Dieser Effekt wird im
nachfolgenden Beispiel verdeutlicht.
7.5.1 Nutzung der Totalreflexion
Aus Gleichung (7.45) ist erkennbar, dass sobald es an einer bestimmten Stelle zur
Totalreflexion kommt, es einen einfallenden Strahl auf eine Trennfläche, jedoch keine
durchgehende Welle gibt. Es wird lediglich ein minimaler Energietransport parallel
zur Trennfläche verlaufen, der aber exponentiell gedämpft ist, wodurch es zum sogenannten Strahlversatz kommt.
Die Welle dringt kurz in das Medium 2 ein, wird dabei exponentiell gedämpft und
läuft nach einer Zeit t wieder aus dem Medium raus.
Als nächstes sollen die Reflexionsfaktoren RE und RH bezüglich ihres Verhaltens bei
Totalreflexion und bei normaler Reflexion als Ortskurven betrachtet werden. Für den
Fall das keine Totalreflexion vorliegt sehen die Ortskurven wie folgt aus:
und für RH :
Für den Fall der Totalreflexion sehen die Ortskurven wie folgt aus:
und:
HTW des Saarlandes
TET 2
111
7 Fresnelsche Reflexion
Abbildung 7.8: Strahlversatz
Abbildung 7.9: RE
Abbildung 7.10: RH
112
für Reflexion am optisch dichteren Medium
für Reflexion am optisch dichteren Medium
TET 2
HTW des Saarlandes
7.5 Totalreflexion
HTW des Saarlandes
Abbildung 7.11: RE
bei Totalreflexion
Abbildung 7.12: RH
bei Totalrefelxion
TET 2
113
7 Fresnelsche Reflexion
7.5.2 Reflexion und Brechung an leitenden Medien
Zu Beginn der Fresnellschen Reflexion wurde alles auf den allgemeinen Fall reduziert
und bereits einige Spezialfälle betrachtet. Als letzten Spezialfall, fehlt noch die Reflexion und Brechung an leitenden Medien.
Medium 2 wird als leitend angenommen weshalb die Wellenzahl k2 bzw. der Wellenwiderstand Z2 komplex wird.
q
k2 = ω2 µ + jωκµ
(7.46)
k1 sin θe = k2 sin θd
Da k2 komplex wird, muss auch θd komplex werden, damit das Produkt aus k2 und
sin θd rein reell sein kann.
Durch die gewählte Zeitabhängigkeit von e jωt hat k2 einen positiven Imaginärteil. Dadurch muss sin θd einen negativen Imaginärteil besitzen. Wenn dies der Fall ist, wird
die ebene Welle, die im zweiten Medium läuft phasen- und amplituden Anteile besitzen, die aber nicht mehr Notgedrungen senkrecht aufeinander stehen. Wir wollen
dadurch untersuchen, welche Strukturen durch diese Umstände im Medium 2 hervorgerufen werden.
~
e jk2~r = e j(k21 +jk22 )[z·(a+jb)+x sin θd ]
(7.47)
Dadurch existiert im Medium 2 eine inhomogene Welle. Des Weiteren gibt es wiederum im Medium 2 eine exponentielle Dämpfung in z-Richtung, die bereits durch die
ebene Welle als die Skintiefe bekannt ist. Diese besagt, dass eine Welle beim Auftreffen
auf ein leitendes Medium gedämpft wird.
Abbildung 7.13: Inhomogene
114
Welle im leitenden Medium
TET 2
HTW des Saarlandes
7.5 Totalreflexion
Die Abb. (7.13) zeigt die inhomogene Welle im Medium 2.
Der letzte Betrachtungsaspekt ist die Betrachtung von Medium 2 als unendlich guter
Leiter (κ 7→ ∞).
Abbildung 7.14: Brechung
an leitenden Medien
~ ⊥ zur Einfallsebene,
Durch diese Annahme ergibt sich für den reflektierten Faktor E,
RE = −1 und RH = 1.
Ein einfaches Beispiel wäre das Werfen eines Flummis gegen eine Wand, die Welle die
der Flummi erzeugt kann nicht in Medium 2 eintreten.
Für das einfallende und reflektierte Feld gilt:
Eey = e jk1 (z cos θe +x sin θe )
Ery = −e jk1 (−z cos θe +x sin θe )
(7.48)
Das Gesamtfeld wäre die Addition der beiden Komponenten.
E y = Eey + Ery
E y = 2je jk1 x sin θe · sin k1 z cos θe
(7.49)
Dadurch wird erkennbar, dass das Gesamtfeld an verschiedenen Punkten bei sin k1 z cos θe =
0 verschwindet und einen maximalen Wert bei sin k1 z cos θe = ±1 hat. Es entstehen also
Interferenzstreifen im unteren Medium.
Demnach sind die Nullstellen des Gesamtfeldes zu finden für:
HTW des Saarlandes
TET 2
115
7 Fresnelsche Reflexion
z=
mπ
;
k1 cos θe
m = 0, 1, 2....
(7.50)
Bezeichnen wir den Abstand zweier aufeinanderfolgenden Nullstellen als Streifenbreite B, die gegeben ist durch:
B=
π
k1 cos θe
(7.51)
7.5.3 Anwendung der Totalreflexion
Beispiele für die Totalreflexion findet sich sowohl im Alltag als auch in der Industrie::
1. Glasfaserkabel
2. Regensensoren
3. Diamanten
Abbildung 7.15: Reflexion
im Lichtwellenleiter
Zu (1): Zu sehen in (Abb. 7.15) ist eine Glasfaserkabel dielektrischer Wellenleiter
(optisches Kabel). Das Licht breitet sich in x-Richtung aus und wird jeweils beim
Übergang vom Kern zum Mantel, totalreflektiert. Es gibt verschiedene Arten von
Wellenleitern,
• Monomode Faser-Wellenleiter
• Multimode Faser-Wellenleiter
• Gradientenindex-Wellenleiter
Diese verschiedenen Typen, haben gewisse Eigenschaften, die die Ausbreitung der
Welle in dem jeweiligen Kabel betreffen (s. Abb. 7.16)
116
TET 2
HTW des Saarlandes
7.5 Totalreflexion
Abbildung 7.16: Ausbreitungen
Glasfaser ist ein vielseitiges Medium, da es eine hohe Bandbreite aufweist mit einer
geringen Dämpfung und absolut unempfindlich ist gegen elektromagnetische Störungen. Es kann jedoch auch zu verschiedenen Problemen kommen, zum einen eine
Moden- und zum anderen eine Frequenzdispersion.
Zur Modendispersion kommt es, wenn das Licht eingekoppelt und immer wieder
beim Übergang reflektiert wird, dabei kann es passieren, das sich noch eine weitere
Mode unterschiedlicher Laufzeit ausbreitet. Diese Moden würden dann auseinander
laufen, da unterschiedliche Laufwege unterschiedliche Zeiten benötigen, wodurch es
am Ausgang nicht mehr zum gewünschten Ergebnis kommt. Dies kann jedoch durch
eine Monomodfaser behoben werden, deren Kern sehr klein gemacht wird und sich
so nur noch eine Mode ausbreiten kann.
Bei der Frequenzdispersion passiert es, dass jede Frequenz des eingekoppelten Lichtes
unterschiedlich schnell transportiert wird. Wenn man eine normale LED verwenden
würde, hätte diese viele Frequenzen, die sich unterschiedlich ausbreiten. Dies kann
durch Einkoppeln von nur einer Frequenz durch z.B. eine Laser LED vermieden werden.
Zu (2): Ein weiteres Beispiel ist der Regensensor bei einem Auto (s. Abb. 7.17)
Man benötigt einen Sender und einen Empfänger, die auf der Glasscheibe angebracht
sind. Der Sender sendet ein Signal, dass am Übergang von Glas zu Luft totalreflek-
HTW des Saarlandes
TET 2
117
7 Fresnelsche Reflexion
Abbildung 7.17: Regensensor
tiert wird und so vom Empfänger empfangen werden kann. Wenn es jetzt zu regnen
beginnt und sich Regentropfen auf der Frontscheibe befinden, wird der Strahl nicht
mehr reflektiert, sonder geht in den Regentropfen und wird erst bei dessen Übergang
zu Luft reflektiert. Dadurch erhält der Empfänger kein Signal mehr und meldet dies
der Steuerung. Dieses Prinzip funktioniert auch nur, da Wasser und Glas, wenn es um
das sichtbare Licht geht, die gleichen Eingenschaften besitzen (z.B. Taucherbrille, Glas
im Boden eines Bootes). Es kann berechnet werden, welcher Einfallswinkel benötigt
würde, damit das Signal an dem Übergang Glas zu Luft totalreflektiert wird. Das wären θe = 48◦ bei Wasser = 1, 77 und Lu f t = 1.
Zu (3): Die Totalreflexion kann auch bei Diamanten erkannt werden, da durch die
Schliffform im Normalfall das Licht an 58 Flächen totalreflektiert wird um anschließend wieder aus dem Diamanten heraus zu treten. Ein Diamant wird erst zu einem
Brillanten, wenn er diesen Schliff hat.
7.6 Zusammenfassung
Es wurde gezeigt, dass es bei rein dielektrische Medien, wie Wasser und Luft bzw. Glas
und Luft, zur Totalreflexion kommen kann. Liegt dies vor, entsteht im zweiten Medium
eine inhomogene Welle und es kommt zu keinem Energietransport in das Medium,
die gesamte Energie bleibt in ersten Medium. Weiterhin wurde messtechnische und
technische Anwendungen betrachtet.
118
TET 2
HTW des Saarlandes
8 Zylinderwellen
Bisher wurde die ebene Welle als Lösung der Schwingungsgleichung in kartesischen
Koordinaten kennengelernt, die als Lösung eine Exponentialfunktion hat. Als nächstes soll die Lösung der Schwingungsgleichung in Zylinderkoordinaten aufgebaut und
untersucht werden.
Die erste Annahme ist, dass die Schwingungsgleichung auf zwei Variablen (x,y) definiert ist (homogene Schwingungsgleichung):
"
#
δ2
δ2
2
+
+ k u(x, y) = 0
δx2 δy2
(8.1)
Dadurch ist sie von z Unabhängig. Dies ist besonders sinnvoll, da bei Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) die z-Koordinate keine Änderung gegenüber der Behandlung in
kartesischen Koordinaten bringt.
Typischerweise erfolgt bei Betrachtungen der Feldverteilung im Koaxialkabel, die Betrachtung in der transversalitäts Ebene. Der Transport der Welle findet in Richtung
der z-Achse statt. Für den Fall z=const. wird in Folgenden die Verteilung im Kabel
betrachtet und berechnet.
Nach Lösung der Gleichung (8.1), gibt es zwei linear unabhängige Lösungen:
u1 (x, y) = Ae j(ax+by)
u2 (x, y) = Be−j(ax+by)
(8.2)
Dies kann berechnet werden als:
a = k cos α
b = k sin α
(8.3)
a 2 + b2 = k 2
Dadurch ergibt sich zusätzlich die Richtungen von k im Bezug auf x und y.Zur Einführung der Zylinderkoordinaten, gilt:
HTW des Saarlandes
TET 2
119
8 Zylinderwellen
a = r cos ϕ
(8.4)
b = r sin ϕ
Folglich ändert sich die Gleichung (8.2) durch einsetzten von a, b, x und y:
u1 (r, ϕ) = Ae jkr (cos α cos ϕ+sin α sin ϕ)
u1 (r, ϕ) = Ae jkr ·cos ϕ−α
(8.5)
u2 (r, ϕ) = Be−jkr ·cos ϕ−α
Die nächste Betrachtung wäre die direkte Verwendung der Zylinderkoordinaten, die
sich von der DGL, die mit kartesischen Koordinaten bestimmt wurde, unterscheidet.
Die Umrechnung erfolgt auf die selbe Art, wie es bei der Bromwich-Separation erfolgte.
Mit dieser Betrachtungshilfe folgt für die Schwingungsgleichung:
δ2 U 1 δU 1 δ2 U
+
+ 2
+ k2 U = 0
2
r
δr
δϕ
δr
r
(8.6)
Die obige Gleichung ist die Schwingungsgleichung in Zylinderkoordinaten mit zwei
Abhängigkeiten (r und ϕ). Als nächster Schritt wird die Koordinatentransformation
durch geführt bzw. eine Variable substituiert und angenommen, dass ρ = k · r ist. Daraus ergibt sich -nach Erweitern und Ausklammern- für die einzelnen Ausdrücke der
Gleichung:
δU
δU δU δρ
=
·
= k·
δr
δρ δr
δρ
2
2
δ U δρ δU δ
2 δ U
=
·
·
=
k
·
δr δr δρ
δρ
δr2
Werden diese Ausdrücke jetzt eingesetzt, erhält die Schwingungsgleichung folgende
Form:
k
2
!
1
δ2
1 δ
δ2
+ U(ρ, ϕ) · 2 U(ρ, ϕ) + U(ρ, ϕ) = 0
U(ρ, ϕ) + ·
ρ δρ ρ2
δρ2
δϕ
(8.7)
Durch k2 dividieren und U(r, ϕ)ausklammern:
!
δ2
1 δ2
1 δ
+ ·
+ ·
+ 1 U(ρ, ϕ) = 0
δρ2 ρ δρ ρ2 δϕ2
(8.8)
Diese Gleichung hat schon annähernd die Form der Bessel-DGL. Um diese jedoch
vollständig zu erreichen, wird nun der folgende Seperationsansatz verwendet:
120
TET 2
HTW des Saarlandes
U(r, ϕ) = Zn (ρ)e jnϕ
(8.9)
Dieser wird mit Hilfe des Produktansatzes erreicht, der bereits von der ebenen Welle
bekannt ist und hier analog gilt. Da es eine Periodizität geben muss, sobald das Feld
im Inneren eines Hohleiters oder einer Koaxialleitung betrachtet wird, ergibt sich, dass
nach einem Umlauf von 2π wieder die gleiche Stelle erreicht ist wodurch, die Periodizität gegeben ist (hier durch e jnϕ ).
Das Zweite stellt die Strecke von Mittelpunkt des Hohlleiters zur Außenwand dar,
entspricht also dem Radius dieses Hohlleiters ρ), der normiert ist. Das Feld kann
jetzt nur noch im Mittelpunkt anders aussehen als Außen. Es hat dort jedoch keine
Rotationsabhängigkeit, so dass es nur eine Radiusabhängigkeit besitzt. Wenn die neu
getroffene Annahmen in Gleichung (8.8) eingesetzt wird, folgt:
0=
1 δ 1 δ2 δ2 jnϕ
jnϕ
Z
(ρ)e
+
Z
(ρ)e
+ 2 2 Zn (ρ)e jnϕ + Zn (ρ)e jnϕ
n
n
2
ρ δρ
δρ
ρ δϕ
0 =
e jnϕ
δ2
1 δ Z (ρ) + 1 Z (ρ)(jn)2 + Z (ρ)
Zn (ρ) + e jnϕ
e jnϕ
e jnϕ
n
n
n
2
ρ δρ
δρ
ρ2
Zn (ρ) ausklammern:
1 δ
δ2
n2
+
0=
+
1
−
ρ
δρ2 ρ δρ
!!
Zn (ρ)
(8.10)
Die Variable Zn (ρ) steht hierbei für die Zylinderfunktionen, die eine mögliche Lösung
der späteren Bessel-DGL sind. Die allgemeine Lösung der Bessel-DGL ist eine Linearkombination von zwei verschiedenen linear unabhängigen Lösungsfunktionen. Diese
werden als Zylinderfunktionen bezeichnet und stellen mögliche Teillösungen dar:




 stehende Welle

Nn : Neumannfunktion 

(1)

Hn : Hankel 1. Art = Jn + jNn 

 (1) auslaufende und (2) einlaufende Welle
(2)

Hn : Hankel 2. Art = Jn − jNn 
Jn : Bessel-Funktion
Die Bessel-Funktion stellt sich dar als:
HTW des Saarlandes
TET 2
121
8 Zylinderwellen
Jv (z) =
1
2π
Z
π
e jzcosw e jv(w− 2 ) dw,
(8.11)
W0
wobei über W0 von − π2 bis +j∞ und von
3π
2
bis +j∞ integriert wird. Für reale Argu-
mente z = ρ und ganzzahlige v = n ∈ Z vereinfacht sich das Integral zu:
1
Jn (ρ) =
π
da hier nur noch von − π2 bis
3π
2
π
Z
cos(ρsinβ − nβ)dβ,
(8.12)
0
integriert werden muss, was bedingt durch die Peri-
odizität durch −π bis π ersetzt werden kann. Weiterhin fällt der Imaginärteil weg und
es gilt β = w − π2 .
Ein Bespiel, wie die Bessel-Funktion für n = 1 aussieht ist in Abbildung (8.1) zu sehen.
Die Funktion erster Ordnung wird z. B. verwendet, zur Berechnung des Schallfeldes
von Kolbenschwingern.
Abbildung 8.1: Besselfunktionen
Die zweite mögliche Lösung sind die Bessel-Funktionen zweiter Art, auch NeumannFunktionen genannt. Sie sind definiert als:
Nn (x) = lim
v→n
122
Jv (x)cos(vπ) − J−v (x)
sin(vπ)
TET 2
(8.13)
HTW des Saarlandes
Die dritte und vierte Lösungen sind die Hankel-Funktionen erster und zweiter Art. Sie
lassen sich aus den ersten beiden Lösungen zusammensetzen und beschreiben einmal
eine einlaufende und einmal eine auslaufende Welle.
Jetzt ergibt sich für den Fall, dass wir Zylinderkoordinaten einführen müssen, eine
Schwingungsgleichung die in die Besselsche DGL übergeht. Zur Berechnung einer
Hohlleiters wird sich dieser im Prinzip kreisrund vor gestellt, um eine Kreissymmetrie
annehmen zu können. In diesem Hohleiter gibt es eine Feldverteilung, diese kann und
darf jedoch an keiner Stelle unendlich werden.
Also wenn der Radius eines Hohleiters aufgetragen wird, müssen am Rand die Randbedingungen erfüllt sein und die Funktion Nullstellen aufweisen.
Eine realistische Möglichkeit für einen Hohleiter die Bessel-Funktionen rotieren zu
lassen, wäre die Sombrerofunktion. Bei einem Koaxialkabel gibt es noch einen Innenleiter, bei dem aber nicht von Interesse ist was bei dem Wert r0 passiert.
Zusammenfassung
Warum wurden Zylinderkoordinaten eingeführt? Um mit rotationssymmetrischen Gebilden (z.B. Koaxialkabel) einfacher rechnen zu können. Bei einem solchen Kabel liegen
drei verschiedene Medien vor. In der Mitte der Innenleiter, anschließend folgt Luft und
als letztes der Außenleiter, bei dem die Randbedingungen angewandt werden müssen.
Da κ = ∞ (bsp. Flummi) ist, stellt sich die Frage, wie die Randbedingungen lauten.
~
Für r = ri und r = ra , ist bekannt, dass dort das E-Feld
verschwinden muss, also die
~
Tangentialkomponente. Dadurch steht das E-Feld
nur noch senkrecht drauf, weshalb
andere Koordinatensysteme zur Berechnung genutzt werden müssen. Die Auswahl
des Koordinatensystems ist abhängig davon welche Übergangs- oder Randprobleme
erfüllt werden müssen. Nach der Auswahl des passenden Koordinatensystems, können diese Bedingungen leichter beschrieben werden.
Die Koordinatensystemen haben allerdings spezielle Lösungen. Das gilt nicht nur
für die eben aufgeführten Bessel, Hankel und Neumann Funktionen als Lösung der
Zylinderfunktionen bei der Berechnung mit Zylinderfunktionen, sondern für alle Koordinatensysteme. Bei den elliptische Koordinaten kommen z.B. Mathew-Funktionen
raus. Bei proleten- oder oblaten-Spheroiden liegen verschiedene Polynome als Lösungen vor.
HTW des Saarlandes
TET 2
123
9 TEM-Wellen
Die ersten Betrachtungen für ebene Wellen hatten ein homogenes Medium zur Grundlage. Nun sollen die Felder und die Wellen längs der Leitungen untersucht werden. Die
dabei einfachste Art der elektromagnetischen Welle ist die transversal-elektromagnetische
Welle (TEM-Welle).
9.1 Leiterstrukturen
Die Leiterstrukturen, die für TEM-Wellen verwendet werden, bestehen im einzelnen
aus einer Anordnung von zwei oder mehreren ideal leitenden Zylindern, Drähten oder
Platten, die parallel zur z-Richtung sind (s. Abb. 9.1 z.B Koaxialkabel).
Abbildung 9.1: Koaxialkabel
9.2 TEM-Felder
Betrachtet werden zeitlich veränderliche, elektromagnetische Felder, die sich von Ort
zu Ort in den drei Koordinatenrichtungen ändern können. Diese unterliegen der Einschränkung, dass sie in einer Richtung (z.B. z-Richtung), die elektromagnetischen
~ noch eine H~ KomSignale oder Leistungen übertragen sollen und dort weder eine Eponente besitzen. Das bedeutet, dass speziell eine allgemeine zeitliche veränderliche
Lösung der Feldrichtung, die durch die Einschränkung
HTW des Saarlandes
TET 2
125
9 TEM-Wellen
Ez = 0,
Hz = 0
gegeben ist gesucht wird. Dies sind nun Felder, die zur Ausbreitungsrichtung z be~ T und H
~ T bezeichnet werden können (die Transversalebene
schränkt sind und die mit E
steht senkrecht zur z-Richtung). Als Weitere Annahme wird davon ausgegangen, dass
die Parameter , κ, µ konstant sind, also homogen, isotrop und nicht dispersiv.
9.3 Verwendung der Maxwellgleichungen
Werden die Maxwellgleichungen mit den konstanten Parameter und mit der Annahme,
dass Ez = 0 und HZ = 0 sind betrachtet, lauten diese:
δ ~
HT
δt
~ T = κE
~T + δ E
~T
rotH
δt
~ T = −µ
rotE
(9.1)
~ kann in zwei Teile aufgeteilt werden. Zum einen bezüglich
Der Nabla-Operator rot = ∇
den (x,y)-Koordinaten und zum anderen bezüglich der z-Koordinate.
~ = (~ex δ +~e y δ ) +~ez δ
∇
δx
δy
δz
δ
~ T + ~ez
∇
δz
⇒
(9.2)
Durch Einsetzen der Bedingung (9.2) in die Gleichungen (9.1) folgt:
~ T +~ez δ xE
~ T xE
~T = ∇
~ T + δ (~ez xE
~ T ) = −µ δ H
~T
∇
δz
δz
δt
~ T +~ez δ xH
~ T xH
~T = ∇
~ T + δ (~ez xH
~ T ) = κE
~T + δ E
~T
∇
δz
δz
δt
(9.3)
~ T xE
~ T xH
~ T und ∇
~ T Vektoren sind und in die gleiche Richtung zeigen
Da die Terme ∇
(z-Richtung), da sie nur Komponenten in (x,y)-Ebene besetzen, gilt:
~ T xE
~T = 0
∇
δ
~ T ) = −µ δ H
~T
(~ez xE
δz
δt
⇒
(9.4)
~ T:
und für H
~ T xH
~T = 0
∇
⇒
δ
~ T ) = κE
~T + δ E
~T
(~ez xH
δz
δt
(9.5)
Die Gleichungen (9.4) werden im späteren Verlauf noch einmal aufgegriffen. Zunächst
soll aber wiederholt werden, dass:
126
TET 2
HTW des Saarlandes
9.3 Verwendung der Maxwellgleichungen
~ ·B
~T = ∇
~T = 0
divB
~ in B
~ kann festgestellt werden, dass
ist. Mit Einsetzen von µ · H
~ ·H
~T = ∇
~T = 0
divH
(9.6)
~ T in der (x,y)-Ebene
ist. Die Gleichungen (9.6) und (9.5) zeigen, dass das Vektorfeld H
die Bedingungen der Magnetostatik in der zweidimensionalen Transversalebene für
~ T kann eine entsprechende Lösung
alle Werte von z und t erfüllt. Für das Vektorfeld E
gefunden werden:
0
~ T = divE
~ T = ρ
divD
Wenn weiterhin die Annahme getroffen wird, dass sich der Betrachtungspunkt weit
weg von der Quelle befindet folgt daraus, dass ρ = 0 angenommen werden darf und
es ergibt sich:
~ ·E
~T = ∇
~T = 0
divE
(9.7)
~ T in der
Durch die Gleichungen (9.7) und (9.4) wird gezeigt, dass das Vektorfeld E
(x,y)-Ebene ebenfalls die statischen Gesetze (Elektrostatik) erfüllt.
Einbeziehung Spannung und Strom
Betrachtet wird nun ein Koaxialkabel (s.Abb.9.2).
Abbildung 9.2: Feldverteilung
Wird jetzt über den Innen- und Außenleiter (1-2-3-4-1) das Umlaufintegral
H
~ s=
Ed~
Γ
HTW des Saarlandes
TET 2
127
9 TEM-Wellen
− δtδ
!
A
~ (gilt nur bei TEM-Wellen) gebildet ergibt sich folgende Gleichung:
~ · dA
B
|{z}
~=
~ A
B⊥d
ˆ 0
Z
2
Z
3
~ s=−
Ed~
Z
0
0
Z 1 >
> Z 4
~ s + Ed~
~ s +
~ s + Ed~
~ s = 0
Ed~
Ed~
4
2
1
3
2
Z
⇒
1
4
(9.8)
~ s=
Ed~
ˆ U1,2
3
Der zweite und vierte Term kann zu Null gesetzt werden, da es sich bei dieser Integration um die gleichen Äquipotentialflächen handelt oder gesagt werden kann, dass
~ ⊥ d~s steht. Aus den letzten zwei Termen, die übrigbleiben,
mathematisch gesehen, E
kann gefolgert werden, dass von Punkt eins zu Punkt zwei der Spannungsunterschied
U1,2 herrscht. Diese Aussage gilt an jeder beliebigen Stelle z. Wird jetzt das Umlaufin~ s betrachtet und im dem stromdurchflossenen Leiter integriert, ergibt sich
tegral Hd~
die Stromdichte als Ergebnis (dadurch kann Strom eingeführt werden).
Durch diese Zusammenhänge lässt sich Folgendes definieren:
V
|V = [ ]
m
A
|I = [ ]
m
~ T (x, y, z, t) = ~eT (x, y) · V(z, t)
E
~ T (x, y, z, t) = ~hT (x, y) · i(z, t)
H
(9.9)
Es wird jeweils ein normiertes~eT -und ~hT -Feld eingeführt, die tangential (x,y) darstellen.
~ und in
Werden diese normierten Felder betrachtet und in das Einfachintegral von E~ eingesetzt, ergibt sich:
das Umlaufintegral von H
2
Z
~eT (x, y) · d~s = 1
1
I
~hT (x, y) · d~l = 1
Γ
Dadurch wurden normierte elektromagnetische Felder eingeführt. Werden die Ausgangsgleichungen (9.4) und (9.5) durch [~ez x] erweitert, ergibt sich ein ein kleiner
Einschub:
Einschub
~ T ) = (~ez · E
~ T ) ~ez − E
~ T (~ez ·~ez ) ⇒ −E
~T
~ez x(~ez xE
| {z }
| {z }
=0
=1
~ T ) = −H
~T
~ez x(~ez xH
128
TET 2
HTW des Saarlandes
9.3 Verwendung der Maxwellgleichungen
Durch Verwenden dieser Operationen folgen dann die Gleichungen:
⇒
Und ⇒
δ
~ T ) = −µ δ H
~T
(~ez xE
| ·~ez x
δz
δt
δ
~ T ) = κE
~T + δ E
~T
(~ez xH
| ·~ez x
δz
δt
δ
δ~
~ T)
ET = µ (~ez xH
δz
δt
δ ~
~ T ) − δ (~ez xE
~T)
HT = −κ(~ez xE
δz
δt
(9.10)
Durch weiteres Einsetzen der Gleichungen (9.9) (Definition der Spannung und des
Stroms) in die Gleichungen (9.10) erhält man:
δ
δ
1) (~eT (x, y) · V(z, t)) = µ (~ez x~hT (x, y) · i(z, t)) |
δz
δt
2
Z
1
Und
δ
δ
2) ⇒ (~hT (x, y) · i(z, t)) = −κ[~ez x(~eT (x, y) · V(z, t))] − [~ez x(~eT (x, y) · V(z, t))] |
δz
δt
Durch weiteres Integrieren der ersten Gleichung von (9.11) nach
R2
1
I
(9.11)
und durch An-
wendung des Umlaufintegrals auf die zweite Gleichung (9.11) ergibt sich:
R2
δ
δ
V(z, t) = [µ 1 (~ez X~hT (x, y)) · d~s] i(z, t)
δz
δt
|
{z
}
−L0
H
δ
δ
i(z, t) = −[κ (~ez X~eT (x, y)) · d~l] v(z, t) −[ (~ez X~eT (x, y))d~l] v(z, t)
δz
δt
Γ
|
{z
}
|
{z
}
−G0
H
(9.12)
−C0
Wenn diese Gleichungen (9.12) durch -L’ -G’ und -C’ ersetzt werden, folgt folgende
vereinfachte Gleichung:
δ
δ
V(z, t) = −L0 i(z, t)
δz
δt
δ
δ
i(z, t) = −G0 v(z, t) − C v(z, t)
δz
δt
(9.13)
Die Gleichungen (9.13) stellen die sogenannten Telegraphengleichungen dar.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass nur noch Gleichungen für Strom und
Spannung gelöst werden müssen. Der eigentliche Ansatz war, dass Leiterstrukturen
betrachtet werden, die nur TEM-Wellen übertragen können (Koaxialkabel). Danach
wurden alle Bestimmungen die aus den Maxwellgleichungen folgen eingesetzt, sodass
HTW des Saarlandes
TET 2
129
9 TEM-Wellen
ein TEM-Feld vorliegt und Strom und Spannung definiert werden können. Der nächste
~
Schritt war, dass das Zurückführen auf die Transversalitätsebene, in der normierte EFelder eingeführt wurden. Abschließend wurde die Telegraphengleichungen (9.13)
betrachtet, die jetzt nur noch für die skalaren Größen von v und i gelöst werden
müssen.
9.4 Lösung der Telegraphengleichungen
In dem vorherigen Abschnitt wurden die Telegraphengleichungen bestimmt (siehe
Formel (9.13)). Es wird nun versucht, diese Schritt für Schritt zu lösen, damit im
späteren Verlauf ein Ersatzschaltbild entwickelt werden kann, um die Vierpoltheorie
verständlicher zu machen.
Die ersten Gleichungen, die bestimmt wurde, sagen nichts anderes aus, als dass die
δ
Ortsableitung der Spannung ( δz
V(z, t)) von der Zeitableitung des Stromes ( δtδ i(z, t))
abhängt. Genauer betrachtet, ist das im Allgemeinen nichts anderes als eine Vereinfachung der verwendeten Maxwellgleichungen. So steht z. B. in einer Gleichung auf der
~ mit der Einheit [ V ], wobei rotE
~ als Ortsableitung des elektrischen Feleinen Seite rotE,
m
A
~ mit B
~ = µ·H
~ und [H]=[
~
des gilt und auf der anderen Seite eine Zeitableitung (− δtδ B)
m ].
Die Telegraphengleichungen sind also eine Simplifizierung der Maxwellgleichungen,
da diese auch ein System gekoppelter partieller Differentialgleichungen erster Ordnung sind.
Um die Gleichungen symmetrisch darzustellen, müsste noch ein −R0 i(z, t)-Glied hinzugefügt werden, das normalerweise nicht vorhanden ist, da in den Maxwellgleichungen
kein Leiterwiderstand vorhanden ist. Wenn ein Widerstand R vorhanden wäre, käme
es durch diesen zu einem Spannungsabfall, wodurch auch in Längsrichtung ein E-Feld
entsteht, welches dem TEM Gedanken widerspricht. Der Widerstand wird nur angenommen, da davon ausgegangen wird, dass die Leitung nicht ganz ideal sein kann.
Ein ESB aus beiden Gleichungen würde wie folgt aussehen:
In Abb. (9.3) ist eine Längsinduktivität L’ (Induktivitäsbelag =
ˆ Induktivität pro Meter) ein Querleitwert G’ und eine Querkapazität C’ vorhanden. Durch das Betrachten
einens kleinen Stücks der Leitung besteht die Möglichkeit, den Rest daraus auszurechnen.
Als erste Lösungsmöglichkeit könnten die Knoten und Maschenregel auf die Leitung
angewendet und V(z + dz) nach der Taylor-Reihe entwickelt werden. nach erhalten der
Lösung kann festgestellt werden, dass die obigen Gleichungen (9.13) mit dem Ersatzschaltbild übereinstimmen.
130
TET 2
HTW des Saarlandes
9.4 Lösung der Telegraphengleichungen
Abbildung 9.3: Ersatzschaltbild
1
Zweite Lösungsmöglichkeit: Um diese Gleichungen zu lösen, muss zunächst ein harmonischer Zeitansatz gewählt werden:
v(z, t) = v(z) · e±jωt
i(z, t) = i(z) · e±jωt
Das bedeutet:
δ c s
± jω
δt
δ
v(z) · e−jωt
= −jωL0 i(z)
e−jωt
− R0 i(z)
e−jωt
δz
δ
δ
|
(1)
v(z) = −(R0 + jωL0 )i(z)
δz
δz
δ
(2)
i(z) = −(G0 + jωC0 )v(z)
δz
δ
Um Gleichung (2) in Gleichung (1) einzusetzen, muss Gleichung (1) mit ( δz
) erweitert
werden, dadurch ergibt sich:
γ2
(
δ2
δz2
z
}|
{
δ2
0
0
0
0
v(z)
=
(R
+
jωL
)(G
+
jωC
) v(z)
δz2
(9.14)
− γ2 )v(z) = 0 ⇒ v(z) = e±γz
Das Ergebnis in Gleichung (9.14) ist noch nicht die vollständige Lösung, sondern
nur ein Teil. Da es gekoppelte Gleichungen waren, muss das Ergebnis von v(z) in
die Gleichung für i(z) eingesetzt und der Strom berechnet werden. Natürlich kann
grundsätzlich auch erst i(z) berechnet werden, aber es muss aufgrund der Kopplung
HTW des Saarlandes
TET 2
131
9 TEM-Wellen
der Größen dann das Ergebnis in die Gleichung für v(z) eingesetzt werden. Als weiterer
Schritt kann festgehalten werden, dass v(z) = v1 · eγt + v2 · e−γt ist, dies gilt analog für
i(z). Um die gesamte Lösung zu bestimmen, müssen v1 und v2 wie auch i1 und i2
durch die Anfangswerte von v(z = 0) = v0 und i(z = 0) = i0 bestimmt werden. Wenn
die Anfangswerte bekannt sind (wie Strom und Spannung am Anfang einer Leitung
definiert sind), kann mit ihnen berechnet werden, wie sich der Strom und die Spannung
an jedem beliebigen Punkt auf der Leitung verhalten. Strom und Spannung müssen
nur einmal am Leitungsanfang gemessen werden und ermöglichen dann, dass sie
über die gesamte Leitung ausgerechnet werden können. Dies ist letztendlich die Basis,
wie ein Energietechniker bei Strom- und Spannungsübertragung ausrechnen kann, an
welcher Stelle der Kurzschluss sitzt.
132
TET 2
HTW des Saarlandes
9.4 Lösung der Telegraphengleichungen
Überleitung zur Vierpoltheorie:
Aus den Telegraphengleichungen ergibt sich ein Ersatzschaltbild (s. Abb. 9.3), welches
verallgemeinert (R wird mitgenommen und es wird nicht mehr der Belag L’, sondern
die eigentlichen Größen L, C, R, G angenommen), folgendes ergibt (s. Abb. 9.4).
Abbildung 9.4: Ersatzschaltbild
2
Dies kann auch als Black-Box (Vierpol) dargestellt werden (s. Abb. 9.5). Wird davon
ausgegangen, dass das System nur bei einer Frequenz betrachtet wird (harmonische
Zeitabhängigkeit), kann dieser Vierpol entsprechend beschrieben werden.
Abbildung 9.5: Zweitor
Aus den Maxwellgleichungen werden Vierpole hergeleitet, welche jetzt in irgendeiner
Form beschrieben werden müssen. Dies kann nur durch die Kenntnis der Anfangsbedingungen erfolgen, da nur so die Berechnung der Ausgangsgrößen an jeder beliebigen
Stelle möglich ist. Zusätzlich kann bei bekanntem Strom und bekannter Spannung am
Anfang und am Ende auf das Innenleben des Vierpols zurückschließen.
HTW des Saarlandes
TET 2
133
10 Hohlleiter
In den nächsten Kapiteln, wird es um das Thema Hohlleiter und dessen verschiedenen
Formen gehen.
Ein Hohleiter ist ein häufig eingesetztes Medium, um Wellen im Frequenzbereich
zwischen 2 GHz und 200 GHz zu übertragen. Dadurch sind verschiedene Einsätze
denkbar wie z.B. in Antennen, im Radar, in der Mikrowellentechnik der Messtechnik
und vielen weiteren Gebieten.
Im Kapitel Stromverdrängung wird hergeleitet, das bei der Übertragung mittels Koaxialleitung bei hohen Frequenzen die Dämpfung für das zu übertragene Signal zu
groß wird. Die Hohlleitertechnik bietet dort Abhilfe ist jedoch sehr aufwendig und
teuer. Es werden Standard-Rechteckhohlleiter (s. Abb (10.1)) und für Spezialanwendungen Rundhohlleiter verwendet.
Abbildung 10.1: Rechteckhohlleiter
Hohlleiter dienen als Bandpass-Übertragungssysteme, das bedeutet, das die Leitung
erst ab einer gewissen unteren Grenzfrequenz überträgt, die von den Abmessungen des
Hohlleiters abhängen. Des Weiteren gibt es auch eine Grenze für den oberen Bereich, da
ab einer bestimmten oberen Grenzfrequenz zu den ausbreitungsfähigen Grundwellentyp weitere Wellentypen angeregt werden können, die eine genaue Signalübertragung
verhindern würden. Bisher wurden Leitungen (Zweidraht, Koaxialleitung) betrachtet,
HTW des Saarlandes
TET 2
135
10 Hohlleiter
die für den Energietransport in Form von TEM-Wellen, für den Frequenzbereich bis
2 GHz geeignet waren. Diese Wellenformen sind in Hohlleitern nicht mehr ausbreitungsfähig.
Hier gibt es jedoch auch einfache Grundwellen, die nach verschiedenen Bedingun~
gen einzeln oder auch gemischt angeregt werden können. Wellen, bei denen die EFeldkomponente transversal zur Ausbreitungsrichtung verlaufen, die aber in Aus~
breitungsrichtung H-Feldkomponenten
besitzen, werden TE- Wellen genannt. Wellen,
~ Feldkomponenten transversal zur Ausbreitungsrichtung verlaufen,
bei denen die H~
die aber in Ausbreitungsrichtung E-Feldkomponenten
besitzen, werden TM- Welle
genannt.
Die Dämpfung der Wellen erfolgt über Wandstromverluste. Meist sind die Hohlleiterwände aus poliertem Messing gefertigt. Die Innenwände können auch versilbert oder
vergoldet (ab 40 GHz) sein.
Dieser Hohlleiter kann vereinfacht auch als einfaches Wasserrohr betrachtet werden,
sofern es sich um einen runden Hohleiter handelt. Er besteht immer nur aus einem einzigen Leiter, der es unmöglich macht Gleichspannung zu übertragen. Um deutlich zu
machen, wie dort eine Welle übertragen werden kann, wird im nachfolgenden Theorie
dazu betrachtet.
Die Welle muss in irgendeiner Art und Weise in diesen Leiter passen und dabei die
Randbedingungen erfüllen. Es können jedoch nicht alle Wellen übertragen werden,
sondern nur die, die die Randbedingungen erfüllen. Die Welle soll sich ja in dem Leiter weiter Ausbreiten und darf keine Unendlichkeitsstellen beinhalten. Es wird also im
Wesentlichen darum gehen, für spezielle Funktionen die Nullstellen herauszufinden,
da alles andere nicht übertragen wird.
Von welchem Ausgangspunkt kann der Hohlleiter nun betrachtet werden?
Ausgangspunkt für die theoretische Betrachtung:
Es wird angenommen, dass das Medium homogen, isotrop und nicht dispersiv ist. In
der Mitte des Leiters ist ein Füllstoff, der nicht leitend ist oder Luft. Der Rand sollte
ideal leitend sein (κ 7→ ∞).
Als Koordinatensysteme werden Kartesische- oder Zylinderkoordinaten bei solchen
Leitern angewandt. Kugelkoordinaten und elliptische Koordinaten können hier ausgeschlossen werden, da die Bromwich Bedingungen besagt, dass g1 = 1 ist, das ist bei
136
TET 2
HTW des Saarlandes
elliptische Koordinaten nicht der Fall.
Als letztes wird noch die harmonischen Zeitabhängigkeit e−jωt vorausgesetzt. Durch
die Separation nach Bromwich, konnten, über den TE und den TM Fall, zwei skalare
Potentiale bestimmt werden. Diese lauten nochmal:
Für den TE -Fall:
E1 = 0
jωµ δU
g3 δx3
jωµ δU
E3 = −
g2 δx2
E2 =
(10.1)
und
#
−δ2
2
H1 =
+k ·U
δx1 2
"
H2 =
1 δ2 U
g2 δx1 δx2
H3 =
1 δ2 U
g3 δx1 δx3
(10.2)
die daraus resultierende Lösung für U ist (isotrop, nicht dispersiv und homogen):
(
"
!
!#
)
δ g2 δ
δ2
1
δ g3 δ
2
+
+
+ k U(x1 , x2 , x3 ) = 0
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
δx1 2
(10.3)
Für den zweiten Fall (TM ) sieht das so ähnlich aus:
"
!
!#
1
δ g3 δ
δ g2 δ
(κ − jω)E1 = −
+
Ṽ
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
(κ − jω)E2 =
1 δ2
Ṽ
g2 δx1 δx2
(κ − jω)E3 =
1 δ2
Ṽ
g3 δx1 δx3
(10.4)
und
H1 = 0
1 δṼ
g3 δx3
1 δṼ
H3 = −
g2 δx2
H2 =
(10.5)
die daraus resultierende Lösung für V ist:
HTW des Saarlandes
TET 2
137
10 Hohlleiter
(
"
!
!#
)
1
δ g3 δ
δ g2 δ
δ2
2
+
+
+ k Ṽ = 0
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
δx1 2
(10.6)
Dies soll jetzt gelöst werden. Das eigentliche, das berechnet werden soll sind die elektromagnetischen Wellen im Inneren des Hohlleiters. Dadurch muss im Inneren des
Hohleiters angenommen werden, das bei einem Rund- oder Rechteckhohleiter κ = 0
und x1 = z ist. Dies wird festgelegt, da bei Rund- und Rechteckhohlleitern zylindrische
und kartesische Koordinatensysteme verwendet werden.
Es wurden hier allgemeine orthogonale Koordinaten festgelegt, diese werden jetzt als
speziell angenommen, was bedeutet, dass x1 der z-Richtung entspricht und somit die
beiden Bromwich-Bedingungen dadurch erfüllt sind. Diese lauten:
δ
δx1
g1 = 1
!
g3
=0
g2
(10.7)
Des Weiteren liegt im Normalfall nicht Ṽ sonder V vor.
Ṽ = −jωv
(10.8)
Um das Ganze noch zu vereinfachen wird κ = 0 angenommen, da somit auf der linke
Seite der Term wegfällt (Es muss allerdings beim Umrechnen beachtet werden). Wenn
die Zylinderkoordinaten betrachten werden, liegen r, z und ϕ vor. Wenn statt z, r als
x1 angenommen wird, würde g1 = 1 nicht gelten. Das Koordinatensystem müsste also
solange gedreht werden, bis z in x1 Richtung vorliegt, nur dann ist auch die Bedingung
g1 = 1 erfüllt. Bei den kartesischen Koordinaten wäre es im Prinzip egal, aber damit
die Ausbreitungsrichtung gilt, wird hier ebenso x1 = z angenommen.
Das bedeutet, dass sich die Vorgänge für den TM - und TE -Fall bzw.die Gleichungen
etwas vereinfachen:
Für den TE -Fall:
Ez = 0
jωµ δU
g3 δx3
jωµ δU
E3 = −
g2 δx2
E2 =
(10.9)
und
138
TET 2
HTW des Saarlandes
#
−δ2
2
Hz =
+k ·U
δz2
"
H2 =
1 δ2 U
g2 δzδx2
H3 =
1 δ2 U
g3 δzδx3
(10.10)
die daraus resultierende Lösung für U ist (isotrop, nicht dispersiv und homogen):
(
"
!
!#
)
δ g3 δ
δ g2 δ
δ2
1
2
+
+ 2 + k U(z, x2 , x3 ) = 0
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
δz
(10.11)
Für den zweiten Fall (TM ):
"
!
!#
1
δ g3 δ
δ g2 δ
Ez = −
+
V
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
E2 =
1 δ2
V
g2 δzδx2
E3 =
1 δ2
V
g3 δzδx3
(10.12)
und
Hz = 0
1 δV
g3 δx3
1 δV
H3 = −
g2 δx2
H2 =
(10.13)
die daraus resultierende Lösung für V ist:
(
"
!
!#
)
δ g3 δ
1
δ g2 δ
δ2
2
+
+ 2 + k V(z, x2 , x3 ) = 0
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
δz
(10.14)
Da die Ausbreitungsrichtung der z-Achse bestimmt werden soll, wird für die beiden
Potentiale U und V ein Produktansatz mit einem Ausbreitungsterm verwendet:
U(x2 , x3 , z) · e−jωt = U(x2 , x3 ) ·
e−jωt · e jβz
| {z }
(10.15)
Ausbreitungsterm
und
V(x2 , x3 , z) · e−jωt = V(x2 , x3 ) ·
e−jωt · e jβz
| {z }
(10.16)
Ausbreitungsterm
Mit diesem Ansatz kann wieder auf unsere Gleichungen (10.9) bis (10.14) eingegangen
HTW des Saarlandes
TET 2
139
10 Hohlleiter
werden. Daraus ergibt sich für den TE -Fall:
Ez = 0
jωµ δU(x2 , x3 ) jβz
·e
g3
δx3
jωµ δU(x2 , x3 ) jβz
E3 = −
·e
g2
δx2
E2 =
(10.17)
und
h
i
Hz = k2 − β2 · U(x2 , x3 ) · e jβz
jβ δU(x2 , x3 ) jβz
·e
g2
δx2
jβ δU(x2 , x3 ) jβz
H3 =
·e
g3
δx3
H2 =
(10.18)
Die Gleichung die zu lösen ist, ist für U:
(
"
!
!#
)
1
δ g3 δ
δ g2 δ
2
2
+
+ k − β U(x2 , x3 ) = 0
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
(10.19)
Für TM :
h
i
Ez = k2 − β2 · V(x2 , x3 ) · e jβz
jωµ δV(x2 , x3 ) jβz
·e
g2
δx2
jωµ δV(x2 , x3 ) jβz
E3 = −
·e
g3
δx3
E2 =
(10.20)
und
Hz = 0
jω δV(x2 , x3 ) jβz
·e
g3
δx3
jω δV(x2 , x3 ) jβz
H3 =
·e
g2
δx2
H2 = −
(10.21)
Die Gleichung die zu lösen ist, ist für V ist:
(
"
!
!#
)
1
δ g3 δ
δ g2 δ
2
2
+
+ k − β V(x2 , x3 ) = 0
g2 g3 δx2 g2 δx2
δx3 g3 δx3
(10.22)
Die erhaltenen Gleichungen die hier heraus gekommen sind, können in den folgenden
Kapiteln für Kreiszylindrische- oder Rechteck-Hohlleiter bearbeitet werden.
140
TET 2
HTW des Saarlandes
10.1 Kreiszylindrische Hohlleiter
10.1 Kreiszylindrische Hohlleiter
Im letzten Kapitel, wurde die Gleichungen für den Hohlleiter im TE und TM Fall
hergeleitet. Dies konnte durchgeführt werden, da keine Beschränkung der Allgemeinheit vorliegt. Außerdem können die allgemeinen elektromagnetischen Felder noch
bestimmt werden, indem das Superpositionsprinzip angewandt wird.
Als nächstes müssen die Verallgemeinerung für den kreiszylindrischen Hohlleiter
durchgeführt werden. Aus dem Kapitel davor gilt noch immer x1 = z. Weiterhin gilt:
x1 = z, x2 = r, x3 = ϕ, g1 = 1, g2 = 1, g3 = r
(10.23)
x1 , x2 , x3 sind die Koordinaten und g1 , g2 , g3 die Maßstabsfaktoren der Bromwich Bedingungen.
In die Gleichungen 10.19 und 10.22 eingesetzt, ergibt sich:
( " !#
)
1 δ δ
δ 1 δ
2
2
r
+
+ k − β u(r, ϕ) = 0
r δr δr
δϕ r δϕ
(10.24)
Durch weiteres Vereinfachen folgt:

)
( 

1 δ δ
1 δ2 2
u(r, ϕ)
r
+ 2 2 + k − β2 


r δr δr
r δϕ
v(r, ϕ)
=0
(10.25)
Als nächstes wird kr2 = k2 − β2 angenommen. β ist dabei die Ausbreitungskonstante in
z-Richtung. Durch die Betrachtung der Welle in Polarkoordinaten mit r, ϕ, z und der
Bedingung, dass die Ausbreitung in z-Richtung erfolgt ergibt sich e jβz .
Dabei ist k die Wellenzahl. Das weitere Vorgehen erfolgt analog zum Ansatz aus dem
Kapitel der Zylinderwellen.
u(r, ϕ) = û · e jmϕ
(10.26)
v(r, ϕ) = v̂ · e jmϕ
Für eine allgemeine ϕ-Abhängigkeit ist eine Fourier-Reihe einzusetzen. Die Funktionen û(r) und v̂(r) haben dann die Besselsche Differentialgleichung zu erfüllen, die
bereits bei den Zylinderfunktionen vorgestellt wurde.
"

#
û(r)

1 δ δ

r − 2 + kr2 


r δr δr r
v̂(r)
m2
=0
(10.27)
Die Lösungen der DGL können die:
HTW des Saarlandes
TET 2
141
10 Hohlleiter
• Hankel 1• Hankel 2• Neumann• BesselFunktion sein.
Dabei stellt die Hankel 1 und 2 eine ein- bzw. auslaufende Welle dar. Da hier jedoch
der Radius eine stehende Welle bzw. eine Schwingung betrachtet wird, können diese
nicht die Lösung sein. Die Neumannfunktion hat als wesentliche Charakteristik Unstetigkeitsstellen (für r → 0), die hier ebenfalls nicht vorliegen, wodurch nur noch eine
Funktion übrig bleibt, die die Lösung darstellen muss:
u(r, ϕ) = A · Jm (kr r) · e jmϕ
(10.28)
v(r, ϕ) = B · Jm (kr r) · e jmϕ
Durch diese Ergebnisse, kann jetzt der TE - bzw. TM -Fall bestimmt werden.
Für den TE -Fall:
Ez = 0
jωµ jβz δu jωµ jβz
Aωµ
·e
=
· e · A · Jm (kr r) · e jmϕ = −
Jm (kr r) · e j(mϕ+βz)
r
δϕ
r
r
δu
0
E( ϕ) = −jωµ · e jβz
= −A jωµJm
(kr r)e j(mϕ+βz)
δr
Er =
(10.29)
und
Hz = Akr2 · e j(mϕ+βz) · Jm (kr r)
0
Hr = A jβ · e j(mϕ+βz) · Jm
(kr r)
(10.30)
Amβ j(mϕ+βz)
·e
Jm (kr r)
Hϕ = −
r
mit
0
Jm
(kr r) =
δ
Jm (kr r)
δr
(10.31)
Für den TM -Fall:
Ez = Bkr2 · e j(mϕ+βz) · Jm (kr r)
0
Er = B jβ · e j(mϕ+βz) · Jm
(kr r)
E( ϕ) = −
142
(10.32)
Bmβ j(mϕ+βz)
·e
Jm (kr r)
r
TET 2
HTW des Saarlandes
10.1 Kreiszylindrische Hohlleiter
und
Hz = 0
Bmω
Jm (kr r) · e j(mϕ+βz)
r
0
Hϕ = B jωJm
(kr r)e j(mϕ+βz)
Hr =
(10.33)
Damit ist nun das gesamte Feld bestimmt. Als nächsten Schritt, müssen noch die
Randbedingungen erfüllt werden, die in einem kreisrunden Hohlleiter gelten:
~ tan = ~0
E
für r = r0
(10.34)
~
Die Tangentialkomponente des E-Feldes
muss NULL sein für r = r0 , weswegen die
Betrachtung in Zylinderkoordinaten gewählt wurde.
0 (k r) ist. Im T -Fall
Im TE -Fall ist die Tangentialkomponente Eϕ , die proportional zu Jm
r
M
sind Ez und Eϕ die Tangentialkomponenten, wobei Ez proportional zu Jm (kr r) und Eϕ
zu Jm (kr r) ist.
0 (k r ) = 0 und J (k r ) = 0 werden. Dies
Des Weiteren muss betrachtet werden, wann Jm
r 0
m r 0
ist erfüllt, wenn kr · r0 = a0m,n gegeben ist. Das ist die n-te Nullstelle der Ableitung der
Bessel-Funktion m-ter Ordnung. Für die TM -Welle muss kr · r0 = am,n gelten, dies ist die
n-te Nullstelle der Bessel-Funktion m-ter Ordnung
m
0
1
2
1
2,405
3,832
5,135
n
2
5,520
7,016
8,417
Tabelle 10.1: Wert
m
0
1
2
1
3,832
1,841
3,054
n
2
7,010
5,331
6,706
Tabelle 10.2: Wert
3
8,654
10,173
11,620
für amn
3
10,137
8,536
9,969
für a0mn
Durch die Tabellen 10.1 und 10.2 fällt auf, dass nicht jede beliebige Kombination von
HTW des Saarlandes
TET 2
143
10 Hohlleiter
m und n in diesen Hohlleiter passt. Die Bessel-Funktion die entsteht muss genau der
gewählten Ordnung und den dazugehörigen Nullstellen entsprechen, damit die Besselfunktion genau auf dem Rand liegen. Auch ist zu erkennen, das bei Ableitung der
Bessel-Funktion 1-Ordnung die Bessel-Funktion 0-Ordnung als Ergebnis folgt.
Kurze Zusammenfassung:
Die wesentliche Anwendung von Bromwich (beim zylindrischen Hohlleiter) ist, die
Aufspaltung in zwei Felder (TE und TM ), die nur durch die Bromwichbedingungen, die
das Koordinatensystem hergeben, möglich ist. Im Fall des Zylindrischen Hohlleiters
wird das Zylinderkoordinatensystem angewandt, da das Rechnen für die Randbedingungen so erleichtert wird.
Danach mussten noch die Maßstabsfaktoren in zylindrischen Koordinaten angegeben
und damit weiter gerechnet werden. Danach stellte sich noch die Frage, wie β hergeleitet werden kann. β ist die Ausbreitungskonstante in z-Richtung unter Zuhilfenahme
des Ansatzes:
u(z, r, ϕ) = u(r, ϕ) · e jβz) · e−jωt
(10.35)
Anschließend wird das bisher hergeleitete in Bromwich eingesetzt und Gleichung
(10.25) erhalten. Danach wurde ein weiterer Ansatz mit e jmϕ , gewählt durch den die
Besselfunktion als Lösung folgten. Danach mussten noch die Randbedingungen erfüllt
werden um somit die Tabellen (10.1) und (10.2) zu erhalten. Diese Tabellen geben an,
welche Moden überhaupt ausbreitungsfähig sind. Das sind nur diejenigen, die sowohl
mit ihrer Ordnung als auch ihrer Nullstelle in den Hohlleiter reinpassen.
Als nächstes muss noch die in z-Richtung messbare Wellenlänge berechnet werden,
die auch als Hohlleiterwellenlänge bezeichnet wird. Außerdem gilt weiterhin:
kr2 = k2 − β2 = ω2 µ − β
(10.36)
Im Inneren ist keine Leitfähigkeit, deswegen ist nur ωµ vorhanden. Des Weiteren
muss β die gleiche Dimension wie k haben, da kr dimensionslos ist.
Einschub: Analogie zur Wellenzahl [ m1 ]
Die einfachste Definition von k war, wieviele Wellen pro Meter eintreffen.
k=
2π
Λ
|{z}
(10.37)
Wellenlänge
144
TET 2
HTW des Saarlandes
10.1 Kreiszylindrische Hohlleiter
Dadurch kann β als
2π
Λ
ausgerechnet werden, wobei Λ die Wellenlänge in z-Richtung
ist. Zuvor wird kr · r0 = am,n angenommen, daraus folgt:
r
ω2 µ − (
r0 ·
2π 2
) = am,n
Λ
(10.38)
2
woraus sich mit ω2 µ = ( 2π
λ ) r µr für die Hohlleiterwellenlänge im TM -Fall
r
2π
2π 2
) r µr − ( )2 = am,n
λ
Λ
λ
1
Λ= q
· √
am,n λ
r µr
1 − ( 2πr0 √r µr )2
r0 ·
(
(10.39)
ergibt. Für den TE -Fall würde nur am,n zu a0m,n . An der Gleichung (10.39) ist zu erkennen,
dass sobald der Term unter der Wurzel NULL oder kleiner wird, wird die Wellenlänge unendlich oder komplex und dadurch auch β. Dadurch tritt in z-Richtung eine
Dämpfung auf. Es gibt somit eine Grenzwellenlänge bis zu der nichts passiert und
bei erreichen dieser Grenze gibt es keine Ausbreitungsmöglichkeit mehr. Die Grenzwellenlänge λ g , die für Λ = ∞ gegeben ist, bestimmt sich aus der Gleichung (10.39)
zu:
!2
am,n λ
1−
=0
2πr0
√
2π
λg =
· r0 r µr
am,n
(10.40)
!2
am,n λ
1−
=0
2πr0
√
2π
λ g = 0 · r0 r µr
am,n
(10.41)
und im TE -Fall:
Wenn die Grenzwellenlänge noch größer wird und somit die Frequenz kleiner, passt
die Welle nicht mehr in den Hohlleiter. Dafür gibt es noch ganz spezielle Moden die
Ausbreitungsfähig sind.
Wellentyp
Grenzwellenlänge λ g
TM01
√
2, 61 · r0 r µr
Tabelle 10.3: Grenzdaten
HTW des Saarlandes
TM11
√
1, 64 · r0 r µr
TE01
√
1, 64 · r0 r µr
TE11
√
3, 41 · r0 r µr
der einfachsten Wellentypen
TET 2
145
10 Hohlleiter
Zusammenfassung:
Die Tabelle (10.3) legt die Moden fest die Ausbreitungsfähig sind.Es gibt nicht beliebig viele, sondern nur ganz spezielle für die dies gilt. Ansonsten folgt jenseits dieser
Grenzwellenlänge in dem Gebiet in dem die Frequenz nicht hoch genug ist, dass die
Wellen nicht rein fließen können und sich eine Dämpfung von
2π
λ
ergibt. Da hierdurch
ein j entsteht, folgt generell das Problem das es nicht Ausbreitungsfähig ist.
Wird ein Hohlleiter betrachtet, in den eine Welle eingekoppelt wird, ist es von großer
Bedeutung wie sich diese Welle innerhalb des Hohlleiters in z-Richtung ausbreitet. Zur
Berechnung bildet Bromwich den Ausgangspunkt. Dort wurde festgelegt, das dies nur
im zeitharmonischen Fall d.h. bzgl. e−jωt funktionieren kann. Weshalb das Verhalten
im Frequenzbereich bei einer festen Frequenz betrachtet und analysiert wird.
Weiterhin wurde die Ausbreitung in z-Richtung mit der Wellenlänge des Hohlleiters
(Λ) berechnet, in der auch die Ausbreitungskonstante β enthalten ist, die somit auch
Frequenzabhängig ist.
Dadurch ergibt sich, dass die Welle Energie über den Hohlleiter in z-Richtung trans~ und H−
~ Feldes in der
portiert. Jedoch ist nicht bekannt, wie die Feldverteilung des E−
Querschnittsebene an einem beliebigen Punkt z ist.
Danach wird zurück gerechnet auf die Ebene (r, und ϕ) und es ergeben sich zwei
Lösungen, die als Produktansatz ein û · e jmϕ ergeben. Wird das weiter berechnet ergibt
sich die Besselsche DGL wobei nur die Besselfunktionen als Lösung infrage kommen.
Über die Besselfunktionen kann das Feld berechnet werden. Dadurch könnte alles
sukzessive zusammengebaut und u in die Differensationsforschrift von Bromwich
eingesetzt werden. Hieraus folgt dann die Feldgrößen an jeder Stelle in z, r und
ϕ. Diese müssen zusammengebaut und in jedem Punkt als Feldvektoren dargestellt
werden. Somit gibt es Frequenzen die sich übertragen lassen und welche die sich nicht
übertragen lassen.
146
TET 2
HTW des Saarlandes
10.2 Wellen im Koaxialkabel
10.2 Wellen im Koaxialkabel
Bei Koaxialkabeln wird vorausgesetzt, das in der Transversalebene statische Verhältnisse gelten. Das kann jetzt auch zylinderförmig beschrieben werden:
Abbildung 10.2: Koaxialkabel
Bromwich gilt, genauso wie bei Hohlleiter, nur mit der Ausnahme, dass der zweite
Leiter im Inneren beschrieben wird durch r < ri . Solange r < ri ist, wird ein zweiter
Leiter eines leitfähigen Materials betrachtet, in dem κ auch unendlich ist, daraus folgt:
~
• Die Tangentialkomponente des E-Feldes
verschwindet für EZ und Eϕ bei r = ri
und r = ra .
Beim Hohlleiter gab es Randbedingungen, die beachtet werden mussten. Diese treten
hier bei r = ri und r = ra ebenfalls auf. Das muss für alle ϕ von [0-2 π] und für alle z von
[-∞ , ∞] gelten. Dadurch erhält man die Lösung, mit der gleichen Vorgehensweise wie
zuvor.
Beim Hohlleiter wurde dadurch die Besselsche DGL mit der Besselfunktion als Lösung
bestimmt, da die anderen Lösungen nicht funktioniert hätten (stehende Welle, Unendlichkeitsstellen). Hier kommen allerdings die Bessel- und Neumann-Funktionen als
Lösung vor.
u(kr · r) = A · Jm (kr · r) + B · Nm (kr · r)
(10.42)
Wenn nochmal die ursprüngliche Gleichung aus dem TM -Feld (10.43):
HTW des Saarlandes
TET 2
147
10 Hohlleiter
Ez = [kr2 · −β2 ] · e jβz · u(kr · r)
Er = jβ · e jβz)
E( ϕ) =
δu
δϕ
(10.43)
jβ jβz) δu
·e
r
δϕ
betrachtet wird, kann erkannt werden, dass zusammen mit der Gleichung (10.42) die
Bedingungen,
A · Jm (kr · ri ) + B · Nm (kr · ri ) = 0
(10.44)
A · Jm (kr · ra ) + B · Nm (kr · ra ) = 0
gelten. Damit eine Lösung möglich ist, müssen A und B , 0 sein. So ein Gleichungssystem hat nur eine Lösung, die ungleich 0 ist, wenn die Determinante verschwindet.
Jm (kr · ri ) · Nm (kr · ra ) = Jm (kr · ra ) · Nm (kr · ri ) = 0
(10.45)
Wenn das Ganze noch für den TE -Fall durchgeführt wird, bei dem der Unterschied bei
Eϕ lag, folgt:
Eϕ = −jωµ · e jβz ·
δu
δr
|Eϕ ∝ u0 (kr · r)
(10.46)
Es ergeben sich also zwei weitere Lösungen, mit anderen Koeffizienten:
0
0
(kr · ri ) + D · Nm
(kr · ri ) = 0
C · Jm
(10.47)
0
0
C · Jm
(kr · ra ) + D · Nm
(kr · ra ) = 0
Die Konsequenz ist dabei wieder die gleiche: die Determinante muss verschwinden:
0
0
0
0
Jm
(kr · ri ) · Nm
(kr · ra ) = Jm
(kr · ra ) · Nm
(kr · ri ) = 0
(10.48)
Diese Gleichung kann dabei nicht allgemein gelöst werden, sondern nur graphisch
oder numerisch.
Um dennoch eine Lösung bestimmen zu können, wird die einfachste Form angenommen. Dadurch ergibt sich eine axialsymmetrische Lösung als einfachste Form:
kr2 = 0
kr2 = ω2 µ − β2 = 0
(10.49)
β = ω µ
2
2
Dadurch ist β festgelegt und es ergibt sich, dass die Differentialgleichung (10.27) nicht
mehr von ϕ abhängig ist:
148
TET 2
HTW des Saarlandes
10.2 Wellen im Koaxialkabel
"
#
1 δ δ m2
2
r −
+ kr u(r) = 0
r δr δr r2
(10.50)
Nach der Bestimmung wird diese DGL, wenn keine Abhängigkeit von ϕ vorliegt und
der einfachste Wert für m angenommen wird, (m=0) übergehen zu:
1 δ δ
r u(r) = 0
r δr δr
(10.51)
|·r
Wird die Gleichung (10.51) mit r erweitert folgt:
δ δ
r u(r) = 0
δr δr
(10.52)
Das bedeutet die Gleichung geht in die Laplace-Gleichung im zylindersymmetrischen
Fall über. Durch Integration:
r
δ
u(r) = const
δr
δ
c1
u(r) =
δr
r
u(r) = c1 · ln r + c2
(10.53)
ergibt sich als Gesamtlösung:
√
U(r, z) · e−jωt = (c1 · ln r + c2 ) · e jβz · e−jωt = (c1 · ln r + c2 ) · e j
ω2 µz
· e−jωt
(10.54)
Als letztes werden noch die Differentiationvorschriften für den TE - und TM -Fall benötigt: Für den TE -Fall:
Ez = 0
jωµ jβz δu
·e =
r
δϕ
δu
Eϕ = −jωµ · e jβz =
δr
Er =
(10.55)
und
#
δ2
2
Hz =
+k u
δz1
δ2 u
Hr =
δzδr
1 δ2
Hϕ =
u
r δzδϕ
"
(10.56)
Für den TM -Fall:
HTW des Saarlandes
TET 2
149
10 Hohlleiter
Ez = kr2 · e(jβz) u
δu
δr
jβ (jβz) δv
Eϕ = · e
r
δϕ
Er = jβ · e(jβz)
(10.57)
und
Hz = 0
jω (jβz) δv
·e
r
δϕ
δu
Hϕ = jωe( jβz)
δr
Hr = −
(10.58)
Durch die Vereinfachungen mit Hilfe der Annahme, dass kr2 = 0 und
δ
δϕ
= 0 ist folgt:
Für den TE -Fall:
Ez = 0
Er = 0
(10.59)
Eϕ = −jωµ · e−j(ωt−ωz
√
µ) c1
·
r
und
Hz = 0
Hr = jβ · e−j(ωt−ωz
√
µ)
·
c1
r
(10.60)
µ)
·
c1
r
(10.61)
Hϕ = 0
Für den TM -Fall:
Ez = 0
Er = jβ · e−j(ωt−ωz
√
Eϕ = 0
und
Hz = 0
Hr = 0
(10.62)
Hϕ = jω · e−j(ωt−ωz
150
TET 2
√
µ) c1
·
r
HTW des Saarlandes
10.2 Wellen im Koaxialkabel
Zusammenfassung
Es wurde erneut betrachtet unter der Vorgabe, dass weiterhin ein Zylinderkoordinatensystem vorliegt, mit der Ausnahme, dass ein Hohlleiter mit Innenleiter betrachtet
wird. Somit sind zwei Leiter vorhanden ein Innen- und ein Außenleiter und es muss
noch das Feld zwischen den beiden Leitern berechnet werden.
Dann wurde festgestellt, dass sobald die Gesamtbetrachtung berechnet werden soll
der nummerische Hammer ausgepackt werden muss. Denn es kommen Bessel- und
Neumanfunktionen in einer Kombination raus, da das Gebiet bei r=0 nicht mehr zu
dem Gebiet gehört, welche wir nicht mehr betrachten können. Die Erfüllung der Randbedingungen ist aber dann nur durch Anwendung der Numerik möglich. Da dies hier
nicht gewünscht war, musste zunächst eine Näherung überlegt werden, mit deren
Hilfe der simpelste aller Fälle betrachtet werden kann. Dies ist möglich, wenn keine
Abhängigkeit von ϕ besteht. Dadurch ändert sich aber die DGL und β wird zu k. Mit
Hilfe dieser Annahme konnte die Gleichung (10.54) hergeleitet werden.
Dadurch ergibt sich für den TE -Fall, das Ez = 0 und Er = 0 sowie Hz = 0 und Hϕ = 0
sind und für den TM -Fall, dass ein Er und ein Hϕ existiert.
Die Idee die beim Koaxialkabel genutzt wurde, damit die Vierpole eingeführt werden
konnten, war die Annahme, dass sie Leiterstrukturen für TEM-Wellen sind. Das war
zunächst nur eine Annahme, die durch die Berechnung bestätigt wurde. Es wurde also
gezeigt, dass sich TEM-Wellen in Koaxialkabel ausbreiten. Dieser Umstand gilt eben~ und H-Feld
~
falls für den Hohlleiter. Weiterhin stehen für beide Fälle das Esenkrecht
aufeinander und haben keine Komponente in Ausbreitungsrichtung.
HTW des Saarlandes
TET 2
151
10 Hohlleiter
10.3 Rechteckhohlleiter
Im nächsten Schritt soll der Rechteckhohleiter (10.1) betrachtet werden, da hier das
rechnerisch einfachste Koordinatensystem ((x,y,z)-Kartesisch) vorhanden ist. Der Ausgangspunkt ist auch hier Bromwich. Es wird jedoch für das Koordinatensystem (z,x,y),
gewählt, aufgrund der vorangegangenen Berechnung der Zylinderfunktionen.
Dadurch ergeben sich die folgenden Bestimmungsgleichung für die jeweiligen BromwichPotentiale:
!
δ2
δ2
δ2
2
TE :
+
+
+ k u(z, x, y) = 0
δx2 δy2 δz2
!
δ2
δ2
δ2
2
+
+
+ k V(z, x, y) = 0
TM :
δx2 δy2 δz2
Da die zweifache Ableitung von
δ2
δz2
(10.63)
= −β2 ist, kann dieser Term ersetzt werden und es
folgt:




 2

2
 δ

δ
2
2


 δx2 + δy2 + −β + k  u(x, y) = 0

| {z }


2
(10.64)
kr
Diese Gleichung kann durch einen Produktansatz gelöst werden:
u(x, y) = X(x) · Y(y)
2
2
|kr2 = krx
+ kry
(10.65)
und ergibt:
!
δ2
δ2
2
+
+ kr X(x) · Y(y) = 0
δx2 δy2
δ2
δ2
·
X(x)
·
Y(y)
+
· X(x) · Y(y) + kr2 · X(x) · Y(y) = 0
δx2
δy2
Y(y) ·
(10.66)
δ2
δ2
·
X(x)
+
X(x)
·
· Y(y) + kr2 · X(x) · Y(y) = 0
δx2
δy2
Als nächsten Schritt wird die Gleichung (10.66) durch u(x,y) dividiert:
1
δ2
1
δ2
2
2
· 2 · X(x) +
· 2 · Y(y) + krx
+ kry
=0
X(x) δx
Y(y) δy
(10.67)
Danach kann die Gleichung jeweils für x und y aufgespalten werden:
δ2
1
2
· 2 · X(x) = −krx
X(x) δx
δ2
1
2
=0
· 2 · Y(y) = −kry
Y(y) δy
152
TET 2
(10.68)
HTW des Saarlandes
10.3 Rechteckhohlleiter
Für die Bromwich-Potentiale ergeben sich folgende Ausdrücke:
u(x, y) = (A0 sin (krx X) + B0 cos (krx X)) C0 sin (kry Y) + D0 cos (kry Y)
(10.69)
Dabei gelten folgende Randbedingungen: Ez = 0 für x = 0, 0 ≤ y ≤ b und 0 ≤ x ≤ a, y = 0.
Somit ergibt sich durch Einsetzten der Bromwich-Potentiale in die Differentiationsvorschriften (TM -Fall):
Ez = (k2 − β2 ) · e jβz · u(x, y) = (k2 − β2 ) · e jβz (A0 sin (krx X) + B0 cos (krx X)) C0 sin (kry Y) + D0 cos (kry Y)
(10.70)
Dabei sind die Randbedingungen nur zu erfüllen, wenn die Cosinusterme wegfallen.
Es muss sich also
u(x, y)TM = A sin (krx X) · sin (kry Y)
(10.71)
ergeben. Die zugehörigen Feldgrößen ergeben sich aus den Differentationsvorschriften
Ez = (kr 2 ) · e jβz · A sin (krx X) sin (kry Y) kr 2 = k2 − β2
Ex = A jβ · e jβz krx cos (krx X) sin (kry Y)
(10.72)
E y = A jβ · e jβz kry sin (krx X) cos (kry Y)
und
Hz = 0
Hx = −jωkry · e jβz · A sin (krx X) cos (kry Y)
H y = jωkrx · e
jβz
(10.73)
· A cos (krx X) sin (kry Y)
Das wären jetzt die Größen, die sich für den TM-Fall ergeben haben. Als nächstes muss
noch A bestimmt werden bei denen die anderen Randbedingungen auch erfüllt sind.
Hierzu muss noch der TE-Fall betrachtet werden:
Hz = (k2 − β2 ) · e jβz · v(x, y) = (k2 − β2 ) · e jβz (A0 sin (krx X) + B0 cos (krx X)) C0 sin (kry Y) + D0 cos (kry Y)
(10.74)
δ
~ tang = ~0 entspricht die abgeleitete Randbedingung Ez = 0, Hz = 0
Die Randbedingung E
auf dem Rand. Die Ableitung
δ
δn
ist aber entweder
δ
δx
oder
δ
δy ,
δn
d.h. hier müssen jetzt
die Sinusglieder verschwinden.
u(x, y)TE = A cos (krx X) · cos (kry Y)
(10.75)
Die zugehörigen Differentiationsvorschriften lauten:
HTW des Saarlandes
TET 2
153
10 Hohlleiter
Ez = 0
Ex = −A jωµkry · e jβz cos (krx X) sin (kry Y)
(10.76)
E y = A jωµkrx · e jβz sin (krx X) cos (kry Y)
und
Hz = A(kr 2 ) · e jβz cos (krx X) cos (kry Y)
Hx = −A jβkrx · e jβz sin (krx X) cos (kry Y)
(10.77)
H y = −A jβkry · e jβz cos (krx X) sin (kry Y)
Für die TM-Welle lauten die vollständigen Randbedingungen:
Ez = 0, E y = 0 für x = 0 und x = a
Ez = 0, Ex = 0 für y = 0 und y = b
(10.78)
und alle z ∈ (−∞, ∞)
Das würde bedeuten, mit der Lösungen im TM-Fall (10.72) folgt:
sin (krx a) = 0
(10.79)
sin (kry b) = 0
Um diese Forderung zu erfüllen sind krx =
m·π
a
und kry =
n·π
b
zu wählen (Eingenwerte).
Aus dieser Beziehung folgt durch:
m·π 2 n·π 2
2π
2π
2π √
) +(
) = ω2 µ − ( )2 = (
· r µ r )2 − ( )2
a
b
Λ
λ
Λ
die Hohlleiterwellenlänge im TM-Fall:
2
2
+ kry
=(
kr2 = krx
Λ= √
154
λ
1
· q
2
2
2
r µr
1 − 4λr µr ( ma2 + nb2 )
TET 2
(10.80)
(10.81)
HTW des Saarlandes
10.3 Rechteckhohlleiter
Diese beschreibt die Dämpfung, dabei wird Λ imaginär, wenn die Wurzel negativ wird.
Jetzt wurde der TM-Fall komplett gelöst und der TE-Fall kann abschließend berechnet
werden.
√
√
2 r µ r
2ab r µr
λg = q
= p
m2
n2
(mb)2 + (na)2
+ b2
a2
(10.82)
Als Ergebnis ergibt sich also, dass dass elektrische Feld immer senkrecht in das Bild
tritt (hier vom Hohlleiter) s. Abb (10.3).
Abbildung 10.3: Hohlleiter
HTW des Saarlandes
TET 2
(*Animation)
155
11 Stromverdrängung
HTW des Saarlandes
TET 2
157
12 Stromverdrängung
Der Ausgangspunkt bei der die Stromverdrängung bereits erwähnt wurde, war die
Analogie zur Ebenen-Welle s. Abb. (6.3). In der Abb. ist die Wellenfront zu erkennen,
die auf eine Fläche trifft in der κ , 0 ist, wodurch die Welle in dem Material gedämpft
wird. Die Welle hat die Gleichung:
~=
H
~k ~
|k| xE
Z0
q
k = ω2 µ + jκµω
(12.1)
κ soll nun viel größer als werden (κ >> ), damit eine Näherung für k gemacht
werden kann, aus der folgt, dass:
k≈
p
jκµω
1+ j √
= √ · κµω
2
(12.2)
Durch diese Annahme konnte auf die Skintiefe δ geschlossen werden. Als nächstes
soll diese Betrachtung vertieft werden, in dem neben der Wellen zusätzlich ein Leiter
betrachtet wird.
Abbildung 12.1: Aufgeschnittene
HTW des Saarlandes
TET 2
Leitung
159
12 Stromverdrängung
Was in Abb. (12.1) zu sehen ist, ist dass ein kleiner Bereich aus der Leitung geschnitten
~
ist. Dort fließt ein Strom von Punkt 1 zu 2 zu 3 und zu 4, wodurch sich dann ein E-Feld
~
sowie ein B-Feld
einstellt.
Um dies berechnen zu können, werden die Maxwellgleichungen mit den Umlaufinte~ s und Ed~
~ s benötigt:
gralen Hd~
I
~ r, t) · d~s =
H(~
"
~
~J ges (~r, t) · dA
(12.3)
A
Außerdem wird angenommen, dass keine Verschiebungsstromdichte sowie Konvektionsstromdichte vorhanden ist und das die Betrachtung in Zylinderkoordinaten erfolgt.
(2π) Z r
Z
0
~J(~r, ϕ) · dϕrdr
(12.4)
0
Dabei ist der Umlauf von 0 bis 2π und im Bezug auf r von 0 bis r. Dadurch ergibt
sich die Umwandlung der Fläche in Zylinderkoordinaten. Unter bestimmten Vorraussetzungen wird der Strom rotationssymmetrisch, wodurch keine Abhängigkeit von ϕ
mehr vorhanden ist.
(2π)
I
r
Z
~ r, ϕ)| · rdϕ
~=
|H(~
0
!
~
| J(~r)| · rd~r 2π
(12.5)
0
Wird in die Leitung ein Winkelunabhängiger Strom eingespeist, ergibt sich:
~ r) =
2πrH(~
r
Z
2πr|~J(~r)| · d~r
(12.6)
0
An der Gleichung (12.6) stören zur Betrachtung noch die Integrale. Zur Beseitigung
dieser, muss
δ
δr
auf die Gleichung angewandt und durch 2π dividiert werden.
~ r)
δH(~
= 2πr~J(~r)
δr
~ r) 1
δH(~
~ r) = ~J(~r)
+ H(~
δr
r
~ r) + 2πr
2πH(~
(12.7)
Dabei steht ~J(~r) immernoch für die Stromdichte. Um später weiter rechnen zu können,
muss die Gleichung (12.8) noch mit
δ
δt
erweitert werden:
~ r) 1 δ
δ2 H(~
~ r) = δ ~J(~r)
+
H(~
δrδt
r δt
δt
(12.8)
~ s berechnet werden:
Hierzu soll zunächst das zweite Integral mit dem Vektor Ed~
I
160
~ r, t) · d~s = − δ
E(~
δt
"
TET 2
~
~ r, t) · dA
B(~
(12.9)
HTW des Saarlandes
Danach wird das Umlaufintegral auf die einzelnen Wege aufgespaltet:
Z
2
~ r, t) · d~s +
E(~
3
Z
1
~ r, t) · d~s +
E(~
2
|
Z
4
~ r, t) · d~s +
E(~
3
{z
1
Z
4
}
|
~ s
=0E⊥d~
~ r, t) · d~s = − δ
E(~
δt
{z }
r
Z
0
~ · dr = −µl δ
l · |B|
δt
r
Z
0
=0
(12.10)
Durch weiteres Umformen folgt:
Z r
δ
δ
~
~
~
−|E(r)| · l + |E(0)| · l = −µl
|H|dr
|
δt 0
δr
~
δ ~
δE
~ = ~J
=µ H
|Materialbeziehung:κ · E
⇒
δr
δt
δ~J
δ ~
⇒
= µκ H
δr
δt
mit der Erweiterung
(12.11)
δ
δr :
δ2~J
δ2 ~
=
µκ
H
δtδr
δr2
(12.12)
Mit diesen vier hergeleiteten Gleichungen kann jetzt weiter gerechnet werden. Durch
das Einsetzen der Gleichung (12.12) in (12.8) und der Gleichung (12.11) in (12.8)folgt
für die Differentialgleichung der Stromverteilung in einem runden Kabel:
1 δ2~J 1 1 δ ~ δ ~
+
J= J
| · κµ
κµ δr r κµ δr
δt
δ2~J 1 δ ~
δ
+
J = κµ · ~J
2
r δr
δt
δr
(12.13)
Mit dem Ziel, die Stromverteilung in einem runden Kabel aus den Maxwellgleichungen zu bestimmen, ergibt sich die Differentialgleichung (12.13), die jetzt gelöst werden
kann.
Als erstes wird hierzu ein harmonischer Zeitansatz gewählt, da eine partielle DGL
betrachtet wird, die nach Ort und Zeit abgeleitet wird. Es wird der Ansatz e−jk~r · e jωt
gewählt, da die auslaufende Welle betrachtet werden soll:
~J(r, t) = ~J(r) · e jωt
(12.14)
Dadurch hängt ~J nur noch von r ab:
δ2~J(r) 1 δ ~
+
J(r) = jωκµ · ~J(r)
r δr
δr2
HTW des Saarlandes
TET 2
(12.15)
161
~
|H|dr
12 Stromverdrängung
durch Einführung der Abkürzung k2 vereinfacht sich noch einmal die Gleichung
(12.16):
δ2~J(r) 1 δ ~
+
J(r) = −jk2~J
2
r
δr
δr
(12.16)
Einschub
Laut Abramowitz sieht die Bessel-DGL folgendermaßen aus:
z2
δ2
δ
ω + z ω + (z2 − v2 )ω = 0
2
δz
δz
(12.17)
Die Gleichung (12.17) ist die Definition der Besselschen DGL die als Lösungen die Besselfunktion, Neumannfunktion und Hankelfunktion 1. und 2. Art als Lösung besitzt.
Diese Gleichung ist hier allerdings in dieser Form noch nicht gegeben, um diese zu
erhalten, muss eine Variablentransformation durchgeführt werden.
x = kr
p
j
1
1p
j
=k
r
x
1
δr = p δx
k j
(12.18)
und
(δr)2 =
1
(δx)2
jk2
Werden diese vier Transformationen in die Gleichung (12.16) ein gesetzt ergibt sich:
1 p p δ~
δ2 ~ 2
)
+
k
J(
jk
· j jk J = jk2~J
2
x
δx
δx
2
δ ~ 1 δ~ ~
J+
J+J = 0
| · x2
x δx
δx2
δ
δ2
x2 2 ~J + x ~J + (x2 − 0)~J = 0
δx
δx
(12.19)
Hierbei handelt es sich um die DGL für die Stromverteilung im Leiter. Eine Konfusion
könnte hierbei entstehen, da die Stromdiche J(r) , der Besselfunktion nter-Ordnung
Jn (z) ist. In den Maxwellgleichungen wird die Stromdichte mit J bezeichnet, wodurch
jetzt ein Problem entsteht, da die Besselfunktion auch mit J bezeichnet wird. Aufgrund
dessen wird die Stromdichte mit G(r) benannt. Da keine laufende Welle, sondern eine
stehende Welle gesucht wird, sind die Lösungen der Hankelfunktionen hier nicht
denkbar. Dadurch ergibt sich:
G(r) = A · J0 (x) + B · N0 (x)
162
TET 2
(12.20)
HTW des Saarlandes
Da die Stromdichte im gesamten Kabel endlich sein muss, muss für B = 0 gelten, da die
Neumannfunktion bei r=0 gegen ∞ geht. Dadurch folgt die Gleichung G(x) = A · J0 (x).
J0 kann noch mit Hilfe der Reihenentwicklung (12.21) angegeben werden als:
J0 (x) = 1 −
1 x 2 1 x 4 1 x 6
( ) + 2 ( ) − 2 ( ) ....
1!2 2
2! 2
3! 2
(12.21)
Dadurch liegt nun eine grobe Lösung vor und es fehlt nur noch die Berechnung des
Koeffizienten A und die Bestimmung von G. Die Harmonische Zeitabhängigkeit wurde bereits eingeführt ( δH
δt = jωH)
Hierfür wird erneut die dritte Gleichung (12.11) mit den jeweiligen eingeführten Bestimmungen betrachtet:
δG
δ
= µκ H
δr
δt
mit:
k2 = −ωκµ
p
x = k·r j
1
δr = p δx
k j
(12.22)
wird zu:
δG
δr
p
p
δG k · j δG Ak j δ
H=
·
=
=
J0 (x)
δx jωµκ δx
jωµκ δx
jωµκH =
Für J0 kann noch:
δJ0 (x)
= −J1 (x)
δx
(12.23)
geschrieben werden. Somit folgt für H die Gleichung:
H=−
Ak
p
j
jωµκ
− J1 (x)
(12.24)
Wenn das Durchflutungsgesetzt über den gesamten Umfang des zylindrischen Leiters
angegeben wird, ergibt sich:
p
p
Ak j
I
H(r0 ) =
=−
− J1 (k jr0 )
2πr0
jωµκ
(12.25)
Dies ist Vergleichbar mit dem Prinzip der Stromzange. Der Strom der durch ein Kabel
fließt, wird gemessen indem das H-Feld gemessen wird. Diese Gleichung kann nun
HTW des Saarlandes
TET 2
163
12 Stromverdrängung
verwendet werden um die Konstante A zu bestimmen:
A=−
I jωµκ
p
p
2πr0 k jJ1 (k jr0 )
I jk2
p
p
2πr0 k jJ1 (k jr0 )
p
jkI
=
p
2πr0 J1 (k jr0 )
=
(12.26)
Dadurch kann jetzt die Bestimmung von G erfolgen mit der Gleichung (12.26):
p
jkI · J0 (k jr
G=
p
2πr0 J1 (k jr0 )
p
(12.27)
Damit ergibt sich auch das E-Feld:
p
p
jkI · J0 (k jr)
1
E = ·G =
p
κ
2πκr0 J1 (k jr0 )
(12.28)
Wenn jetzt ein Grenzfall bei dem das Argument J0 als sehr klein angenommen wird
oder die Frequenz sehr gleich ist, betrachtet wird, ergibt sich eine gleiche Stromverteilung auf dem Kabel. Dadurch ergibt sich für J0 und J1 :
J0 (k
J1 (k
p
p
jr) ≈ 1
jr0 ) ≈
k
p
jr0
(12.29)
2
Das Gleiche kommt bei der Reihenentwicklungen raus. Wenn die obigen Vorraussetzungen angenommen wird kommt folgendes für G raus:
G=
I
πr20
(12.30)
Das würde bedeuten, dass für ganz dünne Leiter die Stromdichte konstant bleibt.
2. Fall: Im zweiten Fall werden große Argumente der Besselfunktion betrachtet. Das
bedeutet r oder die Frequenz ω wird größer:
Hierfür wird eine Näherung für J0 und J1 betrachtet:
164
TET 2
HTW des Saarlandes
√z
π
z
π
e 2
z
J0 (z ±J) ≈ √
[cos √ − ± j sin √ − ]
2πz
2 8
2 8
√z
p
e 2
z
π
z
π
J1 (z ±J) ≈ √
[sin √ − ± j cos √ − ]
2πz
2 8
2 8
√z
p
p
e 2
⇒ |J0 (z ±j)| ≈ |J1 (z ±j)| ≈ √
2πz
p
(12.31)
Das bedeutet, für große Argumente gilt, dass die Beträge ungefähr gleich sind und
√z
p
p
e 2
√
entsprechen. Mit dieser Annahme ist das Argument von J0 (kr0 j) und J1 (kr j),
2πz
d.h. der Betrag muss durch das Argument ersetzte werden und z wird ersetzt:
√ ωµκ
p
er 2
√
|J0 (kr j)| = |J0 ( ωµκr j)| = q
√
2πr κωµ
√ ωµκ
p
p
er0 2
√
|J1 (kr0 j)| = |J1 ( ωµκr0 j)| = q
√
2πr0 κωµ
p
(12.32)
Eingesetzt in die Gleichung für G folgt:
I
√
· κµω ·
G(r) =
2πr0
r
r0 − √ ωµκ (r0 −r)
2
·e
r
(12.33)
Dieses Ergebnis beweist erneut die Berechnung der Skin-Tiefe bei der Ebenen-Welle.
Abbildung 12.2: Stromverteilung
HTW des Saarlandes
TET 2
einer Leitung
165
12 Stromverdrängung
Aus der Abb. (12.2) ist die Stromdichte zu erkennen, welche Innen niedrig und Außen sehr hoch ist. Dies kann Physikalisch durch die Wirbelströme begründet werden.
Wenn ein Kabel in dem Strom fließt betrachtet, gibt es ein E- und ein H-Feld. Das
dabei entstandene H-Feld verläuft um den Leiter herum. Begründet durch die Maxwellgleichungen wird ebenfalls ein E-Feld erzeugt. Dieses erzeugt wiederum Ströme,
die dem Strom entgegenwirken und an den Rand drücken. Diese Stromverdrängung
kommt in verschiedenen Bereichen vor z.B. bei Überlandleitungen. Diesem Problem
kann entgegenwirkt werden indem, statt einem dicken, einadrige Kabel viele kleine
Kabelbündel verwendet werden die sich für eine gleichmäßige Stromverteilung besser
eignen.
Es wurde gezeigt, dass sobald nur die Skintiefe hergeleitet werden soll, es deutlich
einfacher mit Hilfe der Ebenen-Welle ist (Das Eindringen einer Ebenen-Welle in ein
leitendes Material). Aber wenn die absolute Form gewünscht ist, muss dies mit dem
vorherigem Beispiel erfolgen, dass mit dem Rundleiter und den Quotienten von J0
und J1 arbeitet. Dadurch ergibt sich die allgemeine Lösung, wodurch die Form von
Außen nach Innen nachvollzogen werden kann.
166
TET 2
HTW des Saarlandes
13 Hertzscher Dipol
Als abschließendes Kapitel wird der Hertzsche Dipol erklärt. Mit diesem wird der
Kreis zu der Richtcharakteristik geschlossen, die schon einmal (Antenne) mit wenig
Aufwand berechnet wurde. Im folgenden soll zusätzlich eine Zeitabhängigkeit berücksichtigt werden.
Als erstes stellt sich die Frage was der Hertzsche Dipol darstellt? Dieser ist im Prinzip
der kleinste Elementarstrahler. Das bedeutet, dass pulsierende Ladungen in einem
minimalen Abstand zueinander immer ihr Vorzeichen wechseln.
Es wird zur Berechnung auf den Hertzschen Vektor, der bei der klassischen Entkopplung verwand wurde, zurückgegriffen. In diesem Kapitel wurde bereits eine Bestimmungsgleichung entwickelt (5.47). Da ein Elementarstrahler betrachtet wird, wird die
Leitfähigkeit weggelassen. Daraus folgt:
"
#
δ2 ~
1~
∆ − µ 2 Π(~r, t) = − P
r, t)
e (~
δt
(13.1)
~e:
Mit den Randbedingungen für den Vektor P
~ e (~r, t) = −ρ(~r, t),
divP
δ~
Pe (~r, t) = ~Je (~r, t)
δt
(13.2)
Der Zusammenhang zwischen ~Je und ρ war dabei die Kontinuitätsgleichung. Wird
~ angegeben werden, wenn die Impuldies so angesetzt, kann sofort die Lösung für Π
santwort des Systems (hier die Greensche Funktion) bekannt ist. Das bedeutet es muss
die Greensche Funktion bestimmt werden:
~ e (~r, t) ∗ GF GF = Greensche Funktion
~ r, t) = − 1 P
(13.3)
Π(~
Dadurch stellt sich die Frage, wie die Greensche Funktion definiert ist. Diese muss
die Gleichung (13.4) als Impulsantwort erfüllen, die als Anregung einen Impuls in Ort
und Zeit besitzt.
(∆ − µ
δ2
)GF (~r, t) = δ(~r, t − t0 )
δt2
(13.4)
Wenn eine Funktion mit einer Deltafunktion gefaltet wird, kommt die Funktion an der
HTW des Saarlandes
TET 2
167
13 Hertzscher Dipol
Stelle der Deltafunktion heraus.
Das Ganze wurde schon einmal monochromatisch gelöst, indem die Zeit nicht mitberücksichtigt wurde sondern es nur für eine einzige Frequenz betrachtet wurde. Hier
war das Ergebnis auch keine Wellengleichung, sondern eine Schwingungsgleichung.
In diesem Kapitel wird die Zeitfunktion nun mit beachtet. Dadurch ergibt sich für die
Greensche Funktion:
z}|{
1
δ(~r, t −
|~r −~r0 |
v
(13.5)
Lau f zeit
GF (~r, t) =
4π|~r −~r0 |
Es wird an einen Punkt r0 ganz kurz eine Quelle angeschaltet, von dieser läuft eine Welle mit gleichmäßiger Geschwindigkeit v in alle Richtungen (Kugelwelle). Der Abstand
ist dabei zu berechnen mit dem aktuellen Punkt r zum Quellpunkt r0 . Es soll nicht
nur das Fernfeld, sondern auch das Nah- und Übergangsfeld des Elementarstrahlers
bestimmt werden. Dabei wird erwartet, das die Richtcharakteristik herauskommt.
~ gegeben als:
Wenn die Greensche Funktion so aussieht ist Π
~ r, t) = 1
Π(~
4π
$ ~
Pe (~r, t − v1 |~r −~r0 |)
|~r −~r0 |
V0
dV 0
(13.6)
~ e durchgeführt, indem die Orientierung
Als weiteres wird eine Annahme bezüglich P
in z-Richtung gewählt wird. Dadurch folgt:
~ e (~r, t) = f (t)δ(~r)~ez
P
(13.7)
Dadurch hat der Hertzsche Vektor ebenfalls nur eine z-Komponente:
~ r, t) = (0, 0, Π
~ z (~r, t))
Π(~
(13.8)
und es ergibt sich mit der Gleichung (13.6):
f (t − 1v R
~ z (~r, t) = 1
)
Π
4π
R
mit
(13.9)
R = |~r −~r0 |
Nun wurde das Ganze simpel runter gebrochen, ohne viel Mathematik verwendet zu
haben. Durch die δ-Funktion wurde das Dreifachintegral zu einem Einfachintegral am
Punkt r wodurch nur noch r wichtig ist. Als nächstes wurde R noch eingeführt das
168
TET 2
HTW des Saarlandes
den Abstand von Quellpunkt zu Aufpunkt darstellt. Noch einfacher würde es werden,
wenn die Quelle in den Ursprung gelegt werden würden.
~ z vorhanden ist, ist auch die Orientierung des Dipols in z-Richtung
Wenn nur noch ein Π
gewählt, dadurch wird festgestellt, das der zu einer Punktquelle im Ursprung gehörige
Vektor kugelsymmetrisch ist. Dadurch liegt es nun nahe aufgrund der Symmetrie
Kugelkoordinaten einzuführen.
~ R,θ,ϕ =
Π
ΠR = Πx sin (θ) cos (ϕ) + Π y sin (θ) sin (ϕ) + Πz cos (θ) = Πz cos (θ)
Πθ = Πx cos (θ) cos (ϕ) + Π y cos (θ) sin (ϕ) − Πz sin (θ) = −Πz sin (θ)
(13.10)
Πϕ = −Πx sin (ϕ) + Π y cos (ϕ) = 0
~ außerhalb des Quellgebietes,
Für die Berechnung des elektromagnetischen Feldes Π
dienen die bereits bestimmten Gleichungen aus der klassischen Entkopplung (5.49)
und (5.50).
~ r, t) = rotrotΠ(~
~ r, t)
E(~
(13.11)
~ r, t) = 1 rot δ Π(~
~ r, t)
H(~
vZ δt
~ bestimmt werden:
Als nächstes soll einmal die Rotation des Vektors Π
~
rotΠ(R,
θ, ϕ) =
"
#)
δ
δ 1
+~eR
sin (θ)Πϕ −
Πθ
R sin (θ) δθ
δϕ
(
)
1
δ
1 δ +~eθ
ΠR −
RΠϕ
R sin (θ) δϕ
R δR
1 δ
1 δ
(RΠθ ) −
+~eϕ
ΠR
R δR
R δθ
(
(13.12)
Diese Gleichungen (13.12) sind auch im Abramowitz-Stegun unter Rotation von Kugelkoordinaten zu finden. Durch einsetzten der Gleichungen mit (13.10) fällt der erste
Term ~eR weg, da:





 

























1
δ
δ














~eR 
Π
sin
(θ)
Π
−

ϕ 


θ








R
sin
(θ)
δθ
δϕ






|{z}














|{z}






=0
ist.
(13.13)
=0
Der zweite Term ~eθ wird ebenfalls 0 da:
HTW des Saarlandes
TET 2
169
13 Hertzscher Dipol



















δ
1 δ 
1


R Πϕ 
~eθ 
ΠR −






R sin (θ) δϕ
R δR  |{z}








| {z }




=0
ist.
(13.14)
=0
Somit ist nur noch ein Term für ~eϕ vorhanden:
1 δ
1 δ
~
[R sin θΠz (R, t)] −
[cos θΠz (R, t)]
rotΠ = ~eϕ −
R δR
R δθ
δ
= ~eϕ − sin θ Πz (R, t)
δθ
(13.15)
nach nochmaliger Anwendung der Rotation auf (13.15) ergibt sich:
~ = ~eR − 2 cos θ δ Πz (R, t)
rotrotΠ
R
δR
sin θ δ
δ
+~eθ
R Πz (R, t)
R δR δR
+~eϕ {0}
(13.16)
Als nächstes wird nach (13.9) Πz betrachtet, welches die Form:
1
1 f (t − v R
~
)
Πz (~r, t) =
4π
R
(13.17)
hat und führen die Vereinfachung
δ f (t − Rv
δ(t −
R
v)
= f 0 (t −
R
)
v
(13.18)
ein. Dann gilt nach (13.11), (13.15) und (13.16):



Übergangsfeld
Nah f eld







z }| {

z }| {












R
R
0


 f (t− v )

f
(t−
)



v


~
2
cos
θ
+
+0
4Π · E = ~eR 


3
2
 R


vR

































R
R


0




R
00


 f (t − v ) f (t − v )
f (t− v ) 





+~eθ 
sin
θ
+
+



2

v
R


3
2


 R

vR






|
{z
}









(13.19)
Fern f eld
+~eϕ {0}
~
sowie für H:
170
TET 2
HTW des Saarlandes
~ = ~eR {0}
4ΠZ · H
+~eθ {0}



00 (t − R ) 
0 (t − R )


f
f





v
v 
+
+~eϕ 
sin θ 0 +


2
2


vR
v R 
(13.20)
Aus dieser Berechnung lassen sich folgende Konsequenzen ziehen: Es ist zu erkennen,
dass je größer der Abstand wird, r umso größer wird. Als erstes wird r als relativ klein
betrachtet, wodurch sich das Nahfeld mit
ist das Übergangsfeld mit
1
R2
1
R3
ergibt. Wird der Abstand etwas größer
gegeben. Wird der Abstand noch größer ist das Fernfeld
erreicht. Das bedeutet, wenn r relativ groß wird ist immer noch ein Anteil der Felder
vorhanden, wobei der Rest schon verschwunden sind.
Zu erkennen ist, das im Nahfeld, ganz dicht vor der Antenne, nur ein elektrisches Feld
~
~ und ein H-Feld
~
vorhanden ist kein H-Feld.
Im Übergangsfeld ist ein Evorhanden, je~ Feld hat
doch kein TEM-Feld, keins das transversal Elektromagnetisch ist, denn das E~
eine (r, θ)-Komponenten und da H-Feld
eine ϕ-Komponenten. Erst wenn noch weiter
~
weg geschaut wird, ist nur noch eine Komponente des E-Feldes
vorhanden und zwar
~
θ und bei dem H-Feld
eine ϕ-Komponente. Das besagt, dass hier ein reines TEM-Feld,
welches kugelförmig nach außen verläuft, vorhanden ist.
Bei beiden Feldern ist ein sin (θ) gegeben, das jetzt einmal für den Elementarstrahler
betrachtet wird.
Fernfeldbetrachtung


00 (t − R ) 



f
v 
~ = ~eθ 
sin θ
E



2


v R 





f 00 (t − Rv ) 


~ = ~eϕ sin θ
H


2


v R 
(13.21)
Wenn diese Richtcharakteristik einmal graphisch dargestellt werden soll, ergibt sich
folgende Abbildung (s. Abb. (13.1):
HTW des Saarlandes
TET 2
171
13 Hertzscher Dipol
Abbildung 13.1: Richtcharakteristik
Hertzscher Dipol
Die Abb. (13.1) ergibt sich, wenn unter jedem Winkel der passenden sin θ aufgetragen
wird. Dadurch ergibt sich die Richtcharakteristik des Hertzschen Dipols.
Wird jetzt die Länge einer Antenne betrachtet, kann diese berechnet werden als:
Z
∞
Z
Rechteckfunktion · e
−j2π f t
dt =
−∞
l
2
− 2l
·e−j2π f t dt
(13.22)
Dadurch ergibt sich die entsprechende Spaltfunktion:
=
Das
l
2
e−j2π f t 2l
| dt
−j2π f − 2l
(13.23)
würde dafür sorgen, dass in einer gewissen Entfernung die Spaltfunktionen
rauskommt. Diese Nullstellen hängen natürlich von l ab und bei dem Dipol ist l so
klein, dass diese Nullstellen von + bis - unendlich laufen.
Dadurch wurde die Analogie zur Antenne, die schon einmal gerechnet wurde, hergestellt. Dort wurde gezeigt, dass die Fouriertransformierte der Strombelegung die
Richtcharakteristik ist. Das passt hier noch immer, nur ist hier die Länge l der Antenne
so klein, dass die Nullstellen von - bis + unendlich laufen.
Dadurch ergibt sich ein innerer Bogen s. Abb. (13.1). Wenn jetzt die Antenne mit einer endlichen Länge berechnet wird, kommen noch mehr Nullstellen hinzu, wodurch
sich eine Hauptkeule aber auch Nebenkeulen ergeben. Damit wurde dieser Kreis auch
wieder geschlossen.
172
TET 2
HTW des Saarlandes
Die Richtcharakteristik kann aber nur im Fernfeld definiert werden, da das Nahfeld
und das Übergangsfeld keine Richtcharakteristik im klassischen Sinne besitzen.
Jetzt sollte auch klar sein, dass nur der Sinus heraus kommen kann und nicht irgendetwas anderes. Das liegt daran, dass die Länge des Hertzschen Dipols ganz ganz klein ist,
da er ein Elementarstrahler ist. Würde diese immer weiter entfernt betrachtet, würden
im Verhältnis zur Frequenz nur noch Nebenkeulen erscheinen.
HTW des Saarlandes
TET 2
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