Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus
Kreisfunktionen (2π -periodisch, Bogenmaÿ)
(sin t, cos t)
Koordinaten des um den Winkel t gedrehten Punktes (1, 0)
± Verhältnisse Katheten/Hypothenuse
Identitäten
• cos t = sin(t + π/2)
• cos(−t) = cos t, sin(−t) = − sin t
• cos2 t + sin2 t = 1
spezielle Werte
0 π/6 π/4 π/3 1
√
√
cos 1
3/2 √2/2 √1/2 0
sin 0 1/2
2/2
3/2 1
Formel von Euler-Moivre
cos t + i sin t = exp(it)
Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen mit Betrag 1
1 it
e + e−it
2
1 it
e − e−it
=
2i
cos t = Re eit =
sin t = Im eit
Additionstheoreme
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α
speziell
cos(2α) = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 t
sin(2α) = 2 sin α cos α
Tangens und Cotangens
tan t =
sin t
,
cos t
cot t =
cos t
sin t
± Kathetenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
spezielle Werte
0 π/6 π/4 π/3 1
√
√
tan 0 1/√ 3 1
√3 ∞
cot ∞
3
1 1/ 3 0
Arkusfunktionen
Denitionsbereich Wertebereich
arccos
arcsin
arctan
arccot
[−1, 1]
[−1, 1]
R
R
[0, π]
[−π/2, π/2]
[−π/2, π/2]
[−π/2, π/2]
Harmonische Schwingung
x(t) = c cos(ωt − δ)
Amplitude c, Phasenverschiebung δ ,
Frequenz ω bzw. Periode T = 2π/ω
äquivalente Darstellungen
Re c exp(i(ωt − δ)) = a cos(ωt) + b sin(ωt)
Umrechnung (Polarkoordinaten):
• a = c cos δ , b = c sin δ
√
• c = a2 + b2 , δ = arctan(b/a) + σπ
(σ = ±1 für a < 0)
Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz
2
X
ck cos(ωt − δk ) = c cos(ωt − δ)
k=1
Amplitude
c=
q
c21 + 2 cos(δ1 − δ2 )c1 c2 + c22
alternative Darstellung ak cos(ωt) + bk sin(ωt)
c=
p
(a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2
Modulierte Schwingung
2
X
k=1
ck eiωk t = c1 ei∆ωt + c2 e−i∆ωt eiω̄t
|
{z
}
c(t)
mit ∆ω = (ω1 − ω2 )/2, ω̄ = (ω1 + ω2 )/2
• periodische Überlagerung: ω1 /ω2 rational
• aperiodische Überlagerung: ω1 /ω2 irrational