Eigenschaften von Winkelfunktionen

Eigenschaften von Winkelfunktionen
Satz 2.7.3: Für x, y ∈ R und n ∈ Z gelten stets:
i. cos x =
∞
X
(−1)j
x2 x4
x2j
=1−
+
∓ ···,
(2j)!
2!
4!
∞
X
(−1)j
x2j+1
x3 x5
= x−
+
∓ ···,
(2j + 1)!
3!
5!
j=0
ii. sin x =
j=0
iii. cos(−x) = cos x,
iv. sin(−x) = − sin x,
v. eiy = cos y + i sin y (Eulersche Formel),
vi. (cos x + i sin x) · (cos y + i sin y) = cos(x + y) + i sin(x + y) (Moivresche Formel),
vii. (cos x + i sin x) : (cos y + i sin y) = cos(x − y) + i sin(x − y) (Moivresche Formel),
viii. (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) (Moivresche Formel),
ix. cos 0 = 1, sin 0 = 0,
x. cos2 x + sin2 x = 1,
xi. sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y (Additionstheorem),
xii. cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y (Additionstheorem),
xiii. sin x cos y =
1
(sin(x + y) + sin(x − y)),
2
xiv. cos x cos y =
1
(cos(x + y) + cos(x − y)),
2
xv. sin x sin y =
−1
(cos(x + y) − cos(x − y)),
2
xvi. cos x − cos y = −2 sin
xvii. sin x − sin y = 2 cos
x+y
x−y
sin
,
2
2
x+y
x−y
sin
.
2
2
xviii. Ist zusätzlich 0 < x ≤ 2, so gelten auch 0 < x −
und 1 −
x2
x2 x4
< cos x < 1 −
+ .
2
2
24
x3
< sin x < x
6
3.4 Eigenschaften von Winkelfunktionen und trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen
Satz 3.4.1: Die Kosinusfunktion ist auf R stetig und hat eine kleinste positive Nullstelle welche
zwischen 1 und 2 liegt. Das Doppelte dieser Nullstelle wird mit π bezeichnet. Weiterhin haben
die Sinus- und Kosinusfunktion folgende Eigenschaften:
3π
π
3π
π
= −1, cos = cos
= sin 0 = sin π = 0.
i. cos 0 = sin = 1, cos π = sin
2
2
2
2
π
π
± x = cos x, cos
± x = ∓ sin x,
ii. Für x ∈ R und k ∈ Z gelten stets sin
2
2
sin (π + x) = − sin x, cos (π + x) = − cos x, sin (x + 2kπ) = sin x, cos (x + 2kπ) = cos x.
iii. Für k ∈ Z nimmt die Kosinusfunktion auf 2k − 21 π, 2k + 21 π positive und auf
2k + 21 π, 2k + 23 π negative Werte an. Die Sinusfunktion ist auf (2kπ, (2k + 1)π) positiv und auf ((2k − 1)π, 2kπ) negativ.
iv. Für k ∈ Z ist die Kosinusfunktion streng monoton wachsend auf [(2k −1)π, 2kπ] und streng
monoton fallend auf [2kπ, (2k + 1)π]. Die Sinusfunktion ist streng
monoton wachsend auf
[ 2k − 21 π, 2k + 12 π] und streng monoton fallend auf [ 2k + 21 π, 2k + 23 π].
Beweis: Die Stetigkeit wurde vorher bewiesen. Da für x ∈ (0, 2] gilt
1−
x2
< cos x <
2
x2 x4
1 − + , folgt cos x > 0 für x ∈ [0, 1] und cos 2 < 0. Nach Nullstellensatz ist die Menge M =
2 24 x ∈ (1, 2) cos x = 0 nichtleer. Da sie trivialerweise beschränkt
ist, hat sie ein Infimum ξ, welT
ches offensichtlich in [1, 2] liegt. Dann existieren xn ∈ M [ξ, ξ + 1/n) (weil ξ + 1/n keine untere
Schranke von M ist). Nach Folgenstetigkeit der Kosinusfunktion ist cos ξ = limn→∞ cos xn = 0.
Damit ist ξ ∈ M, ξ = min M und ξ ∈ (1, 2). Nach Definition ist π = 2ξ.
x3
< sin x < x, nimmt die Sinusfunktion auf (0, 2) nur positiver
Da für x ∈ (0, 2] gilt 0 < x −
6
p
Werte an. Somit ist sin π2 = + 1 − cos2 π2 = 1.
Die anderen Formeln in i und ii erhält man aus den Additionstheoremen:
π
π π π
π
π
sin
= cos = 0,
± x = sin cos x ± cos sin x = cos x, sin π = sin
+
2 2
2
2
2
2
π
π
π
π
± x = cos cos x ∓ sin sin x = ∓ sin x, cos π = − sin = −1,
cos
2
2
2
2
π π
π
3π
π
cos (π + x) = cos
+ + x = − sin
+ x = − cos x, cos
= − cos = 0,
2
2
2
2
2
π
π π
3π
π
+ + x = cos
+ x = − sin x, sin
= − sin = −1,
sin (π + x) = sin
2
2
2
2
2
sin (2π + x) = − sin (π + x) = sin x, cos (2π + x) = − cos (π + x) = cos x.
Die Kosinusfunktion hat auf [0, π2 ) keine Nullstelle und kann deshalb dort das Vorzeichen
nicht wechseln. Also ist die auf [0, π2 ) und damit als gerade Funktion sogar auf (− π2 , π2 ) positiv.
Deshalb ist sin x = cos π2 − x auf (0, π) positiv. Damit gilt für − π2 ≤ x < y ≤ π2 stets
sin x−y
= −2 cos x+y
sin y−x
< 0 (weil 0 < y−x
≤ π2 und − π2 < y+x
< π2
sin x − sin y = 2 cos x+y
2
2
2
2
2
2
π π
sind). Also ist sin x auf [− 2 , 2 ] streng monoton wachsend.
Für 0 ≤ x < y ≤ π ist cos x − cos y = −2 sin x+y
sin x−y
= 2 sin x+y
sin y−x
> 0, d. h., cos x
2
2
2
2
ist auf [0, π] streng monoton fallend.
Für die anderen Intervalle folgen Vorzeichen und strenge Monotonie dann aus den Formeln ii.
2
Definition: Die Kosinusfunktion (eingeschränkt auf [0, π]) ist eine streng monoton fallende bijektive Abbildung von [0, π] auf [−1, 1]. Die inverse Abbildung (oder Umkehrfunktion) ist die
Arkuskosinusfunktion arccos x.
3
2
1
-4
2
-2
4
-1
Die Arkuskosinusfunktion hat also den Definitionsbereich [−1, 1] und Wertemenge [0, π]. Sie
ist streng monoton fallend. Für x ∈ [−1, 1] ist y = arccos x die eindeutig bestimmte Lösung der
Gleichung cos y = x im Intervall [0, π]. Wegen cos(2kπ ± y) = cos y hat die Gleichung auch die
Lösungen 2kπ ± arccos x. Da in jedem Monotonieintervall nur eine Lösung der Gleichung liegen
kann, sind dies alle Lösungen.
Definition: Die Sinusfunktion (eingeschränkt auf [− π2 , π2 ]) ist eine streng monoton wachsende
bijektive Abbildung von [− π2 , π2 ] auf [−1, 1]. Die inverse Abbildung (oder Umkehrfunktion) ist
die Arkussinusfunktion arcsin x.
2.0
1.5
1.0
0.5
-4
2
-2
4
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Die Arkussinusfunktion hat also den Definitionsbereich [−1, 1] und Wertemenge [− π2 , π2 ]. Sie ist
streng monoton wachsend. Für x ∈ [−1, 1] ist y = arcsin x die eindeutig bestimmte Lösung der
Gleichung sin y = x im Intervall [− π2 , π2 ]. Es gilt arcsin x = π2 − arccos x und die Lösungsmenge
der Gleichung sin y = x ist gleich
n
o
2kπ + arcsin x, (2k + 1)π − arcsin x k ∈ Z .
3
Satz 3.4.2 (Parametrisierung der Einheitskreislinie): Durch
f (ϕ) = eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
wird eine 2π-periodische Abbildung f von R auf die komplexe Einheitskreislinie z ∈ C |z| = 1
gegeben. Für jedes a ∈ R ist die Einschränkung von f auf das Intervall [a, a + 2π) eine bijektive
Abbildung des Intervalls auf die komplexe Einheitskreislinie. Ferner gelten f (0) = 1, f ( π2 ) = i,
f (π) = −1, f ( 3π
) = −i und die Intervalle (0, π2 ), ( π2 , π), (π, 3π
) bzw. ( 3π
, 2π) werden in den 1.,
2
2
2
2., 3. bzw. 4. Quadranten abgebildet.
Beweis: Die speziellen Werte und die Behauptungen über die Lage der Bildpunkte folgen aus
den aus Satz 3.4.1 bekannten Werten und Vorzeichen von Sinus- und Kosinusfunktion. Aus
deren Monotonieverhalten folgt auch die Injektivität von f auf [0, 2π). Aus der Periodizität der
Winkelfunktionen folgt die Periodizität von f .
Die Injektivität auf [a, a + 2π) folgt dann daraus, dass für alle x ∈ R gilt f (a + x) = eia · f (x)
und dass die Multiplikation mit der Zahl eia eine Bijektion der komplexen Einheitskreislinie ist.
Dieselbe Überlegung erlaubt es, die Surjektivität auf den Fall a = 0 zurückzuführen.
Wir
p
zeigen abschließend die Surjektivität, indem wir für z = x + iy mit |z| = x2 + y 2 = 1 ein
ϕ ∈ [0, 2π) mit f (ϕ) = z bestimmen.
√
Ist y ≥ 0, so nehmen wir ϕ = arccos x ∈ [0, π]. Dann gelten x = cos ϕ und y = + 1 − x2 =
p
+ 1 − cos2 ϕ = sin ϕ (weil sin ϕ ≥ 0 ist). Ist y < 0, so nehmen wir ϕ = 2π − arccos x ∈ (π, 2π).
(Die Werte π und 2π √
werden in diesem
p Fall nicht angenommen, weil |x| < 1 ist). Es gelten dann
x = cos ϕ und y = − 1 − x2 = − 1 − cos2 ϕ = sin ϕ (weil jetzt sin ϕ < 0 ist).
Bemerkung: Wir haben fast nachgewiesen, dass die Definition der Winkelfunktionen durch
Reihen zur ihrer geometrischen Definition gleichwertig ist. Betrachtet man etwa im Fall cos ϕ > 0
und sin ϕ > 0 das rechtwinklige Dreieck mit Katheden der Längen a = cos ϕ und b = sin ϕ und
bezeichnet mit ϕ den Innenwinkel
zwischen der Kathede a und der Hypothenuse, die nach
p
2
Pythagoras ja die Länge c = cos ϕ + sin2 ϕ = 1 hat, so ist
cos ϕ =
a
b
und sin ϕ = .
c
c
Im Allgemeinen interpretiert man ϕ ∈ [0, 2π) als Maßzahl des in der Gaußschen Zahlenebene
liegenden orientierten Winkels zwischen der positiven reellen Achse und dem Strahl mit Anfangspunkt 0, der durch eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ geht.
Später wird bewiesen, dass dabei ϕ mit der Länge des Kreisbogens, der in der Gaußschen
Zahlenebene die Parametergestalt
n
o
eiψ 0 ≤ ψ ≤ ϕ
hat, übereinstimmt. Somit ist die Zahl ϕ das Bogenmaß des betrachteten Winkels. Der Zu180
·ϕ
sammenhang zwischen Bogenmaß ϕ und Gradmaß α◦ eines Winkels wird durch α =
π
gegeben.
4
Trigonometrische und Eulersche Darstellung
komplexer Zahlen (Selbststudium)
z Für z ∈ C mit z 6= 0 gilt | sign z| = = 1. Deshalb existiert ϕ ∈ [0, 2π) mit sign z = eiϕ .
|z|
Mit r = |z| erhält man die Darstellungen
z = r (cos ϕ + i sin ϕ)
z = r eiϕ
(trigonometrische Darstellung von z)
(Eulersche Darstellung von z)
In diesen Darstellungen kann man ϕ durch ψ = ϕ + 2kπ (k ∈ Z) ersetzen. Für z = r = 0 gelten
diese Darstellungen von z mit beliebigem ψ anstelle ϕ.
Der Winkel ϕ in der trigonometrischen Darstellung von z wird Argument der komlexen Zahl
z genannt, ϕ = arg z. Dabei ist es Vereinbarungssache, ϕ ∈ [0, 2π) zu nehmen. Eine andere
gebräuchliche (hier erstmal nicht verwendete) Konvention lautet ϕ ∈ [−π, π). Alle möglichen
Winkel in der trigonometrischen
oder Eulerschen
Darstellung einer komplexen Zahl z 6= 0 sind
die Elemente von Arg z = arg z + 2kπ k ∈ Z .
Aus dem Beweis von Satz 3.4.1 kennen wir bereits eine Formel zur Bestimmung von arg z. Die
Umwandlung einer in arithmetischer Gestalt z = x + iy 6= 0 gegebenen komplexen Zahl in ihre
trigonometrische Gestalt kann also nach den Formeln
p
r =  x2 + y 2

falls y ≥ 0
arccos √ x2 2
x +y
ϕ =
 2π − arccos √ x2 2 falls y < 0
x +y
erfolgen. Die umgekehrte Umwandlung erfolgt einfach durch Ausmultiplizieren, x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
Geometrische Interpretation der Multiplikation komplexer Zahlen (Selbststudium)
Sind komplexe Zahlen z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r eiϕ und w = ρ (cos ψ + i sin ψ) = ρ eiψ in
trigonometrischer oder Eulerscher Gestalt gegeben, so ist ihr Produkt gleich
z · w = r ρ (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) = r ρ ei (ϕ+ψ) .
Der Betrag des Produktes ist also gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren und das Argument des Produktes ist (eventuell bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π) gleich der Summe
der Faktoren der Argumente.
Die Abbildung
C ∋ w → eiϕ · w ∈ C
verändert wegen eiϕ · w1 − eiϕ · w2 = eiϕ · |w1 − w2 | = |w1 − w2 | keine Abstände. Ein Strahl
mit Anfangspunkt 0 durch (cos ψ + i sin ψ) = eiψ wird auf den Strahl mit Anfangspunkt 0
durch cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) = eiϕ+ψ abgebildet. Diese Abbildung ist also eine Drehung
der Gaußschen Zahlenebene mit Drehzentrum 0 um den Winkel ϕ im mathematisch positiven
Drehsinn (d. h. entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn).
Die Abbildung
C ∋ w → r eiϕ · w = z · w ∈ C
ist Komposition aus einer solchen Drehung und einer Streckung oder Stauchung mit Zentrum 0
um den Faktor r.
5
Anwendung: komplexe k-te Wurzeln (Selbststudium)
Für k ∈ N mit k ≥ 2 und z ∈ C sollen alle w ∈ C mit w k = z bestimmt werden. Das sind die
komplexen k-ten Wurzeln aus z.
Ist z = 0, so ist w = 0 die einzige komplexe Lösung der Gleichung w k = z. Wir setzen nunmehr voraus, dass z 6= 0 ist und die trigonometrische bzw. Eulersche Darstellung
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r eiϕ hat und suchen Lösungen der Gleichung w k = z in der Gestalt w = ρ (cos ψ + i sin ψ) = ρ eiψ . Dabei erhalten wir nacheinander folgende notwendigen
Bedingungen:
w k = ρk · eikψ = r · eiϕ ,
k
√
w = |w|k = ρk = |z| = r, ρ = k r,
ϕ 2lπ
kψ = ϕ + 2lπ mit l ∈ Z, ψ = +
k
k
√
2lπ
+
i( ϕ
k
w = r · e k k ).
Eine einfach durchzuführende Probe zeigt, dass diese w für jedes l ∈ Z tatsächlich die Gleichung
w k = z erfüllen. Für l ∈ {0, . . . .k − 1} erhält man k verschiedene Werte, die sich dann für andere
Werte von l wiederholen.
Speziell sind die Zahlen
2lπ
εl = ei( k ) (l ∈ {0, . . . .k − 1})
die komplexen k-ten Wurzeln aus 1. Sie werden komplexe k-te Einheitswurzeln genannt. Dabei
gelten die Gleichungen εl = (ε1 )l
Die komplexen k-ten Wurzeln aus z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r eiϕ haben die Darstellungen
√
ϕ
2lπ
wl = k r · ei( k + k )
√
ϕ 2lπ
ϕ 2lπ
k
+ i sin
+
+
r · cos
=
k
k
k
k
√
ϕ
= k r · ei( k ) · ε (l ∈ {0, . . . .k − 1}).
l
In der Gaußschen
Zahlenebene liegen die komplexen k-ten Wurzeln aus z auf einem Kreis mit
p
k
Radius ρ = |z| und bilden die Ecken eines regulären k-Ecks.
Bemerkung: Für einige k lassen sich die komplexen k-ten Einheitswurzeln durch reelle Quadratwurzeln ausdrücken. Z. B. gelten
für k = 2,
ε1 = −1
ε1 = cos 120◦ + i sin 120◦ = −
ε1 = i
ε1
für k = 4,
1√
1
3+ i
2
2
1
1 √
= cos 72 + i sin 72 =
5−1 +
4
4
◦
◦
für k = 3,
q
√
10 − 2 5 i
für k = 5.
Derartige Darstellungen gibt es dann und nur dann, wenn das reguläre k-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Die Konstruktion des regulären 5-Ecks war schon Euklid bekannt. C. F. Gauß
wies u. a. nach, dass sich die 17-ten Einheitswurzeln durch (merfache) Benutzung von Grundrechenarten und Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen ausdrücken lassen.
6