Schrödingergleichung

Fortbildung Quantenphysik OSA Stuttgart
Philipp 12/2002
Schrödingergleichung
Inhaltsverzeichnis
Schrödingergleichung................................................................................................................. 1
1. Vorbemerkungen zur Behandlung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.............. 1
2. Skizze meines Unterrichtsgangs......................................................................................... 2
2.1 Plausibelmachen der Schrödingergleichung ................................................................ 2
2.2 Schrödingergleichung für einen linearen Potentialtopf endlicher Höhe ...................... 5
2.2.1 Innerhalb des Potentialtopfs ...................................................................................... 5
2.2.2 Außerhalb des Potentialtopfs .................................................................................... 6
2.2.3 Die Elektronen sollen innerhalb des Potentialtopfs bleiben..................................... 7
2.2.4 Arbeitsblätter zum qualitativen Lösen der Schrödingergleichung ........................... 7
2.2.5 Hilfestellungen zum qualitativen Lösen der Schrödingergleichung ....................... 10
2.2.6 Einsatz eines Computers zum Lösen der Schrödingergleichung ............................ 11
3. Computerprogramme zur Lösung einer Schrödingergleichung ....................................... 13
3.1 Alea (Klett-Verlag 1998) ........................................................................................... 13
3.2 Rund um .... Dorn-Bader Physik 12/13 .................................................................... 14
3.3 Schrödingers Schlange (Küblbeck)............................................................................ 15
3.4 Pakma 2000 ................................................................................................................ 16
3.5 Schrödingers Wippe (Küblbeck)................................................................................ 16
4. Klassenarbeitsaufgabe...................................................................................................... 17
1. Vorbemerkungen zur Behandlung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
Methodische Vorbemerkung:
Da wir die Schrödinger Gleichung nicht herleiten können – wie Schrödinger übrigens auch
nicht – , müssen wir den Gleichungsansatz sinnvoll und plausibel „erraten“ (oder einfach
mitteilen).
Diese Vorgehensweise, die in der Wissenschaft üblich ist, sollte auch in der Schulphysik
immer wieder angewandt werden. Die Schüler, an die in Mathematik und Physik übliche
deduktive Herleitung gewöhnt (die häufig genug die Lehrkraft auch nur aus Büchern kennt),
haben bei dieser Vorgehensweise immer wieder Akzeptanzprobleme.
Ich habe im LK Physik 2001/2002 nach dem schriftlichen Abitur einen Unterrichtsgang zur
Schrödingergleichung in Anlehnung an Dorn-Bader Physik 12/13 ausprobiert. Ich habe dabei
versucht, den Unterricht unter Beachtung des gültigen Lehrplans von 1994 in Richtung auf
den Lehrplan 2002 für die Kursstufe zu öffnen.
Die angegebenen Seitenzahlen beziehen sich auf den Dorn-Bader.
Zunächst wird der lineare Potentialtopf behandelt (S. 268f).
Ein stationärer Elektronenzustand im Potentialtopf wird durch Superposition aller
Möglichkeiten des Elektrons erreicht (analog wie beim Doppelspalt für ein Photon): nach
links und rechts laufende Ψ-Welle werden überlagert.
Diese Überlagerung von nach rechts und links laufender Ψ-Welle stieß bei den Schülern auf
Widerspruch (wie auch schon bei früheren Leistungskursen).
2
Dieser Widerspruch kann entkräftet werden, wenn man betont, dass das Vorgehen beim
Potentialtopf analog zum Vorgehen beim Doppelspaltversuch ist. Beim Doppelspalt müssen
alle „Rechenpfade“ (Möglichkeiten) des Photons superponiert werden. D.h. Superposition
von Rechenpfad Spalt 1 und Spalt 2. Genauso müssen beim Potentialtopf die beiden
möglichen „Rechenpfade“ für ein Elektron superponiert werden, d.h. nach links und nach
rechts laufende Materiewelle für ein Elektron.
Nach Aufstellen der zeitunabhängigen, eindimensionalen Schrödingergleichung (S. 274) wird
als erstes Beispiel einer Potentialfunktion der lineare Potentialtopf nochmals aufgegriffen (S.
275). Das ist aus Sicht von kritischen Schülern ein nicht ganz einsichtiger Umweg.
Es gibt auch andere Vorschläge zur Stoffreihenfolge:
Als erstes die Schrödingergleichung behandeln und dann als eine Anwendung lineare
Potentialtöpfe (z.B. Hirlinger: auf CD-ROM LEU Ph 33).
2. Skizze meines Unterrichtsgangs
In diesem zweiten Abschnitt wird eine Skizze (Heft-/Tafelaufschrieb) meines
Unterrichtsgangs zur Schrödingergleichung dargestellt.
Inhaltliche Voraussetzung für Behandlung der Schrödingergleichung im Unterricht
2001/2002:
• Differentialgleichung harmonischer Oszillator
• Linearer Potentialtopf
2.1 Plausibelmachen der Schrödingergleichung
Lehrermitteilung:
Schrödinger stellt eine Gleichung auf, die sich bei der Beschreibung von stationären,
zeitunabhängigen Elektronenzuständen in Potentialtöpfen, Atomen,.... bewährt hat.
Da diese Zustände unendlich lang bestehen (∆t → ∞), haben sie nach der UBR eine scharf
bestimmte Gesamtenergie W (∆W ≈ h/∆t → 0). Schließlich sind Atome ja „stabil“.
Wir haben im bisherigen Unterricht erlebt, dass Differentialgleichungen in der Physik eine
brauchbare mathematische Methode sind, um Sachverhalte beschreiben zu können. Beim
harmonischen Oszillator verwendeten wir eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung.
Auch im jetzt betrachteten Fall suchen wir eine solche DGl.
Von den Überlegungen beim linearen Potentialtopf angeregt, betrachtet man Sinus- und
Kosinusfunktionen, die mit der deBroglie-Wellenlänge λB = h/p periodisch sind.
Ψ1(x) = Ψ0 sin(2πx/λB)
Ψ2(x) = Ψ0 cos(2πx/λB) , wobei x Ort.
Für jede dieser Funktionen gilt :
Ψ1'' ( x) = −(
2π
λB
) 2 Ψ 0 sin(
2π x
λB
)
3
Ψ1'' ( x) = −(
2π
λB
) 2 Ψ1 ( x )
Ψ1'' ( x) = −C Ψ1 ( x)
Für die Konstante C gilt:
C =(
2π
λB
mit Wkin
)2 =
(0)
4π 2 p 2
h2
p2
=
folgt
2me
8π 2 m
C=
Wkin
h2
(1)
Für die gesamte Energie W eines Elektrons gilt:
W = Wkin + Wpot(x)
Dabei ist die Potentialfunktion Wpot(x) durch das Kraftfeld bestimmt, in dem sich die
Elektronen befinden (Z.B. Potentialtopf).
Damit folgt für die kinetische Energie eines Elektrons:
Wkin = W – Wpot(x)
(2)
Zum Beispiel Dorn-Bader S.274 B1
4
(2) in (1):
C ( x) =
8π 2 m
(W − W pot ( x))
h2
(3)
(3) in (0):
eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung (SGl)
Ψ '' ( x) = −
8π 2 m
(W − W pot ( x)) ⋅ Ψ ( x)
h2
Ψ '' ( x) = −C ( x,W ) ⋅ Ψ ( x) .
Dabei hängt der Faktor C ( x,W ) =
•
•
8π 2 m
(W − W pot ( x)) ab
h2
vom Ort x
von der Gesamtenergie W, die wir noch nicht kennen.
Vgl. Differentialgleichung der harmonischen Schwingung: x(t ) = −kx(t ) .
Unterschiede zwischen DGl harmonischer Oszillator und Schrödingergleichung:
Harmonischer Oszillator
Schrödingergleichung
Variable : Zeit t
Variable : Ort x
5
Faktor k = konst.
Faktor k > 0
Faktor C(x,W) ist nicht konstant sondern
hängt von x und W ab.
Faktor C(x,W) kann Vorzeichen wechseln
Die Funktion x(t) beschreibt eine
physikalisch messbare Größe.
Die Funktion Ψ(x) beschreibt keine
Observable.
Diese Unterschiede werden bei der SG zu mathematisch anderen Lösungen der DGL führen
als beim harmonischen Oszillator.
(Für Lehrer: Diese Hinweise sind im Sinne des kumulativen Lernens wichtig!)
2.2 Schrödingergleichung für einen linearen Potentialtopf endlicher Höhe
Gegeben ein linearer Potentialtopf der Höhe 4 eV und der Breite L = 1,5 nm (L liegt in der
Größenordnung von Atomdurchmessern).
Hierfür lautet die Potentialfunktion Wpot(x)
4 eV für x ≥ L/2 und x ≤ -L/2 (am Rand und außerhalb des Potentialtopfs)
Wpot(x) =
0 für –L/2 < x < L/2 (im Inneren des Potentialtopfs)
(Für Lehrer: Lernpsychologische Anmerkung:
Die nachfolgende qualitative Diskussion der möglichen Lösungen der zugehörigen
Schrödingergleichung ist für Schüler mathematisch interessant, weil Kenntnis zur
Kurvendiskussion aus der Analysis in einem neuen Kontext benötigt und verwendet werden.
Im Sinne des kumulativen Lernens und der Vernetzung von Wissen ein äußerst wichtiger
Vorgang. Dies sollte an dieser Stelle den Schülern auch explizit verbal verdeutlicht werden! )
2.2.1 Innerhalb des Potentialtopfs
Für –L/2 < x < L/2 gilt: W – Wpot(x) = W > 0
Damit
Ψ '' ( x) = −C ⋅ Ψ ( x) mit C > 0 .
Die Vorkenntnisse aus der Analysis liefern:
Falls Ψ(x) > 0, ist Ψ '' ( x) < 0 , damit Kurve Ψ(x) rechts gekrümmt (Rechtskurve).
Falls Ψ(x) < 0, ist Ψ '' ( x) > 0 , damit Kurve Ψ(x) links gekrümmt (Linkskurve).
Verhalten der Kurve Ψ(x) , Dorn-Bader S. 274 B2
6
Ψ '' ( x) < 0
Ψ '' ( x) > 0
Die Kurve „wellt“, daher auch der Name Wellenmechanik.
Man kann weiterhin erkennen, dass ein Zusammenhang zwischen der Größe von W und der
Zahl der Nullstellen der Ψ-Funktion besteht. Je kleiner die Energie W im Potentialtopf ist,
desto kleiner wird C(x,W) > 0. Desto kleiner wird auch der Betrag der Krümmung Ψ’’(x) .
Unter der Annahme gleicher Amplitude von Ψ(x), erhält man den kleinsten Betrag der
Krümmung Ψ’’(x) , wenn Ψ(x) keine Nullstelle für –L/2 < x < L/2 hat. Nimmt die Energie
W zu und damit der Betrag der Krümmung, so wird Ψ(x) eine Nullstelle erhalten, usw. .
2.2.2 Außerhalb des Potentialtopfs
Für x ≥ L/2 und x ≤ -L/2 gilt: W – Wpot(x) < 0
Damit
Ψ '' ( x) = −C ⋅ Ψ ( x) mit C < 0 .
Die Vorkenntnisse aus der Analysis liefern:
Falls Ψ(x) > 0, ist Ψ '' ( x) > 0 , damit Kurve Ψ(x) links gekrümmt (Linkskurve).
Falls Ψ(x) < 0, ist Ψ '' ( x) < 0 , damit Kurve Ψ(x) rechts gekrümmt (Rechtskurve).
7
2.2.3 Die Elektronen sollen innerhalb des Potentialtopfs bleiben
Das heißt mathematisch, dass außerhalb des Potentialtopfs die Antreffwahrscheinlichkeit für
große x gegen null gehen soll.
Da die Funktion Ψ(x) stetig und differenzierbar sein soll, müssen folgende Randbedingungen
gelten:
• Ψ(x) → 0 für x → ± ∞
• Ψ ' ( x) → 0 für x → ± ∞ (horizontale Asymptote).
8π 2 m
(W − W pot ( x)) in der SGl von der Gesamtenergie W abhängt,
h2
werden auch Lösungen der SGl von der Energie W abhängen.
Da der Faktor C ( x,W ) =
2.2.4 Arbeitsblätter zum qualitativen Lösen der Schrödingergleichung
Anschließend wurden von den Schülern zwei Arbeitsblätter zu qualitativen Lösungen der
Schrödingergleichung für Potentialtöpfe mit gutem Erfolg bearbeitet (Originale von J.
Küblbeck Ludwigsburg und R. Müller München) . Dieses Thema war auch Gegenstand der in
der Klassenarbeit (siehe S.12/13).
8
9
Aufgabe 8:
Gegeben sind zwei Potentialfunktionen Wpot (x). Die Potentialwände sind unendlich hoch.
Für beide Potentiale sind jeweils zwei Energien W1 bzw. W2 in den Schaubildern gegeben.
Auftrag:
a) Suchen Sie für jedes Potential und jede der Energien eine Wellenfunktion Ψ(x), welche die
Schrödingergleichung Ψ’’(x) = -k(W - Wpot(x))· Ψ(x) qualitativ richtig löst.
b) Zeichnen Sie den qualitativen Verlauf der Schaubilder Ψ1(x) bzw. Ψ2(x) zu den Energien W1 bzw.
W2 in untenstehende Diagramme ein.
c) Skizzieren Sie anschließend qualitativ den Verlauf der jeweiligen Antreffwahrscheinlichkeitsdichte
Pi(x) = Ψi (x)2.
Wpot(x)
Wpot(x)
x
x
W1
W1
W2
W2
Ψ1(x)
Ψ1(x)
x
x
P1(x)
P1(x)
x
Ψ2(x)
x
Ψ2(x)
x
P2(x)
x
P2(x)
x
x
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2.2.5 Hilfestellungen zum qualitativen Lösen der Schrödingergleichung
Hilfestellungen
1. Ist der Potentialtopf unendlich hoch, so ist an den Wänden Ψ ( x) = 0.
2. Ermittle die Bereiche von x, in denen (W - Wpot(x)) > 0.
3. Ermittle die Bereiche von x, in denen (W - Wpot(x)) < 0.
4. An Orten x, an denen (W - Wpot(x)) = 0, ist Ψ '' ( x) = 0, d.h. Wendestelle.
5. An Orten x, an denen Ψ ( x) = 0, ist Ψ '' ( x) = 0, d.h. Wendestelle.
6.
Wird W − W pot ( x) größer, so wird Ψ '' ( x) größer und damit die Krümmung stärker.
Man erhält mit wachsendem W − W pot ( x) immer mehr Nullstellen von Ψ ( x) .
7. Wird W − W pot ( x) größer, so wird λ kleiner (Krümmung stärker).
Diese Hilfestellungen könnten auf Hilfekärtchen mit steigendem Hilfegrad geschrieben
werden.
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2.2.6 Einsatz eines Computers zum Lösen der Schrödingergleichung
Vorbemerkung: Nach den qualitativen Überlegungen zur Struktur von Lösungen der
Schrödingergleichung, ist es sinnvoll, mit einem für die Schüler durchschaubaren
Modellbildungssystem die Schrödingergleichung für einfache Potentiale zu lösen.
Erst dann macht der Einsatz fertiger Simulationsprogramme einen richtigen Sinn. Würde man
stattdessen sofort Simulationsprogramme verwenden, so läge für manche Schüler die Frage
nahe, wozu dann anschließend überhaupt noch ein Modellbildungssystem einsetzen.
Hinweis: Im neuen Lehrplan Physik Kursstufe 12/13 wird ausdrücklich der Einsatz von
Modellbildungssystemen verlangt.
Hierfür sind verschiedene Modellbildungsprogramme (Excel, Möbius, ...) geeignet.
Beispielhaft sei Möbius angeführt (Version 3.0, Hoche 2002, http://www.mintext.de ).
Programmschritte zum Lösen der Schrödingergleichung mit Möbius siehe CD-ROM
Quantenphysik , LEU Physik 33: Modelle und cas\ Hirlinger.
Ein Computerprogramm zur Modellbildung kann nun solche Eigenwertfunktionen Ψ(x) zur
jeweiligen Gesamtenergie W suchen, die obige Randbedingungen erfüllen und damit die
Schrödingergleichung lösen.
Dorn-Bader S. 274 B3
Dabei wird im Computerprogramm die Energie Wn in kleinen Schritten von 2,8 eV bis 3,4 eV
erhöht.
Man sieht, dass die meisten Funktionen Ψ(x) die Randbedingungen nicht erfüllen, weil für
x → ± ∞ Ψ(x) → ± ∞ geht.
Definition: Erfüllt eine Lösung der Schrödingergleichung obige Randbedingungen, so wird
sie Eigenfunktion Ψ(x) genannt. Der zugehörige Energiewert W wird Energie-Eigenwert
genannt.
Ergebnis: Für W = 3,11 eV erhält man eine Eigenfunktion der SGl.
Die Art der Berechnung der Eigenfunktionen Ψ(x) samt den Energieeigenwerten findet man
im Dorn-Bader 12/13 S. 275.
12
Um die Eigenfunktionen der SGl für verschiedene Energien unterscheiden zu können, führt
man einen Index n ein und bezeichnet die zur Gesamtenergie Wn gehörende Eigenfunktion
mit Ψn(x).
Dorn-Bader S. 275 B4
Potentialtopf der Höhe 4 eV.
Fünf Eigenfunktionen Ψn(x )
(n = 5) zu
den Energie-Eigenwerten Wn
0,13 eV
0,52 eV
1,16 eV
2,02 eV
3,11 eV.
13
3. Computerprogramme zur Lösung einer Schrödingergleichung
In diesem Abschnitt werden einige fertige Simulationsprogramme zur Schrödingergleichung
durch entsprechende Screenshots vorgestellt.
3.1 Alea (Klett-Verlag 1998)
Dieses Programm befindet sich auch auf der CD-ROM von Impulse Physik
Quantenmechanik (Klett – Verlag 2002, 772 861 )
Problem:
• Die Länge des Potentialtopfs ist nicht einstellbar. Damit ist kein Vergleich mit den
experimentellen Resultaten bei Farbstoffmolekülen möglich.
• Der Potentialtopf ist nicht symmetrisch zu x = 0 wählbar.
14
3.2 Rund um .... Dorn-Bader Physik 12/13
CD-ROM (Schroedel -Verlag 2002 , 10725)
Interaktive Simulationen
→ Quantenmechanik
→ 7 Schrödingergleichung an linearen Potentialtöpfen
→ e) Potentialtopf symmetrisch nieder
Hierbei kann
die Topfhöhe zwischen 1 und 8,6 eV und
die Topfbreite zwischen 0,5 und 2,2 nm eingestellt werden.
Bei dem Ablauf der Simulationen sieht man, wie das Computerprogramm durch Verändern
der Energie die Wellenfunktion solange anpasst, bis diese den geforderten Randbedingungen
genügt (d.h. eine Energie-Eigenfunktion ist).
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3.3 Schrödingers Schlange (Küblbeck)
Schrödingers Schlange Version 1.0, Küblbeck 2000
Mit diesem Simulationsprogramm kann man für ein Elektron in einem wählbaren Potential
die Wellenfunktion in Abhängigkeit von den Energiewerten des Elektrons berechnen.
Dabei sind drei verschiedene Potentialtypen wählbar (Coulombpotential , harmonisches
Potential, Topf endlicher Tiefe). Die Tiefe des Potentialtopfs kann in ganzen Schritten
zwischen 1 und 99 eV gewählt werden.
Interessant bei diesem Programm ist, dass die Schüler durch sukzessives Ändern der
Energiewerte (mit den Schiebereglern) diejenigen Energie-Eigenwerte selbst finden können,
die zu Energie- Eigenfunktionen gehören (Wellenfunktion geht für große x gegen null,
Normierbarkeit der Wellenfunktion).
Hierbei ist Teamarbeit denkbar und sinnvoll: jedes Team sucht nach Eigenfunktionen in
einem anderen – zuvor abgesprochenen- Energiebereich.
16
3.4 Pakma 2000
Schroedel Verlag
Physik 12/13 → Physik des 20. Jahrhunderts → Der lineare Potentialtopf
Bei diesem Simulationsprogramm ist die Breite und die Tiefe des Potentialtopfs einstellbar
(auf Zehntelwerte und genauer) unter „Eingaben“ dann „Startwerte“.
3.5 Schrödingers Wippe (Küblbeck)
Schrödingers Wippe Version 1.0, Küblbeck 2000
In diesem Simulationsprogramm kann der Boden des Potentialtopfs schräg gestellt werden
(vgl. Aufgabe 8 auf dem zweiten Arbeitsblatt).
Es können die Lösungen der zugehörigen Schrödingergleichung der drei Energieniveaus
gezeichnet werden.
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4. Klassenarbeitsaufgabe
a) Gib die (zeitunabhängige) Schrödingergleichung an. Erläutere die Bedeutung der darin
vorkommenden Größen.
b) Welche Bedeutung hat die Schrödingergleichung für die Atomphysik?
c) Skizziere für den unten skizzierten Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden qualitativ den
Verlauf der Wellenfunktion ψ1(x) bzw. ψ2(x ) für die Energien W1 bzw. W2, die die zugehörige
Schrödingergleichung lösen.
Ausführliche mathematische Begründung für den Kurvenverlauf anhand der
Schrödingergleichung!
Bemerkung:
Diese Aufgabe war Bestandteil der zweiten Klassenarbeit in 13/2 nach der schriftlichen
Abiturprüfung. Sie ergab 10 von 36 erreichbaren Verrechnungspunkten.
Die anderen Aufgaben bezogen sich auf den Franck-Hertz-Versuch, den linearen Potentialtopf und
die Unbestimmtheitsrelation.
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Wpot(x)
x
W1
W2
.
ψ1(x)
x
ψ2(x)
x
d) Skizziere zusätzlich das Schaubild für ψ 1 ( x)
2
.
Gib die physikalischen Aussagen an (mit Begründung), die diesem Schaubild entnommen werden
können.
ψ 1 ( x)
2
x