Übung 2 (Taylor-Reihen und Extremwertaufgaben) (zum

HTW
MT Mathematik 3
Prof.Dr. B.Grabowski
E-Post: [email protected]
Übungsblatt 2
(Anwendungen der Differentialrechnung)
Aufgabe 1
Entwickeln Sie ln(1+x) in eine Mc-Laurin-Reihe !
Aufgabe 2
a) Entwicklen Sie die Funktionen sin(x), cos(x) und ex jeweils in eine Mac Laurin-Reihe
!
b) Weisen Sie die Eulersche Formel nach: e jϕ = cos(ϕ ) + j sin(ϕ )
Hinweis: Setzen Sie dazu in die McLaurin-Reie für ex x=jϕ ein und stellen Sie die entstehende
(komplexe) Reihe in Normalform dar!
Aufgabe 3
a) Wie groß ist der Fehler im Bereich |x| ≤ 1, wenn man sin(x) um xo=0 durch ein
Taylor-Polynom 5. Ordnung anpasst?
Geben Sie eine möglichst kleine obere Schranke für diesen Fehler an!
(Restglied von Lagrange verwenden!).
b) Welche Ordnung muss ein Taylor-Polynom TP(x) für sin(x) haben, damit der Fehler
|sin(x) – TP(x)| im Bereich |x| ≤ 2 höchstens 10 –4 beträgt?
Aufgabe 4
a) Approximieren Sie e schrittweise ein Taylor-Polynom der Ordnung n=0,1,2,3,4,5,6
und vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem Wert des Taschenrechners!
b) Schätzen Sie den Fehler möglichst gut nach oben ab, den man macht, wenn man ex für
|x|≤ 1 durch ein Taylorpolynom 4. Ordnung um xo=0 herum approximiert!
(Hinweis: Verwenden Sie die Monotonie der e-Funktion und die Abschätzung
e ≤ 2,72).
Aufgabe 5
Ein Schlosser soll aus einem rechteckigen Blech der Breite 3a eine Regenrinne biegen, die als
Querschnitt die Form eines gleichschenkligen Trapezes mit Schenkellänge a hat. Wie muss
der Schlosser den Winkel ϕ (siehe Zeichnung) wählen, damit die Rinne ein möglichst großes
Fassungsvermögen aufweist?
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Hinweis: Das Fassungsvermögen ist maximal, wenn der Flächeninhalt A(a,ϕ) der
gezeichneten Querschnittsfläche der Regenrinne maximal ist. Berechnen Sie also
die Fläche A(a,ϕ) und betrachten sie sie als Funktion F(ϕ) von ϕ. Bestimmen Sie dann das
Maximumvon F(ϕ), bzw. den Winkel ϕ, für den F(ϕ) maximal ist.
Aufgabe 6
Von einem Dreieck seien die Summe s = c + b = 3 m der Seiten b und c und der Winkel
α = 30° gegeben. Wie groß müssen b und damit c=3-b sein, damit die Dreiecksfläche ein
Maximum wird?
(Flächeninhalt eines Dr. = 0.5*grundseite*höhe)
Hinweis: Stellen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks als Funktion von b dar!
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