Formelsammlung Physik II

Formelsammlung Physik II
Andrea Katharina Fuchs
9. September 2007
1
1.1
Quantenphysik
Ps =
Teilchenimpuls:
pϕ = m · c = hν
c =
h
λ
hν
c2
= ~k
Wellenzahl:
k = 2π
λ
Energie eines Photons:
E = h · ν = ~ · ω = Ekin + Φ = e · UB + h · νgr
Austrittsarbeit um Elektron aus Metall zu befreien:
Φ = Φa e
Φa ...Austrittspotential
1.4
Materiewellen
de Broglie-Wellenlänge:
λ=
Kinetische Energie:
Ekin = eUB
Bei Kompensation des Stromes zu Null ist die kinetische Energie der Elektronen in Elektronenvolt gleich der Spannung UB
- die Elektronen werden durch das Feld der Spannung UB gerade soweit abgebremst, dass sie die Auffangelektrode nicht
erreichen können.
h
p
p...Teilchenimpuls
Frequenz:
ν=E
h
E...gesamte Teilchenenergie
Aus der kinetischen Energie:
Ekin = eUB = 21 mv 2 = 12 mc2 =
Plancksches Wirkungsquantum:
h
~ = 2·π
h = 6.626 · 10−34 Js
2
1p
2 m
Impuls
√ der Elektronen:
√
p = 2mEkin = 2meUB
Intensität (Energie Stromdichte):
I = jφ hν = jϕ ~ · ω
jφ ...Photonenstromdichte
somit wird die Wellenlänge λ =
√
h
2mEkin
=
√
h
2meUB
Gruppengeschwindigkeit von Photonen:
pc
~ω
νg = dω
dk = ~k = c = c
h
e (ν
Bremsspannung: UB =
− νgr )
νgr ...Grenzfrequenz (materialspezifisch)
Gruppengeschwindigkeit von Materieteilchen:
p
dE
νg = dω
dk = dp = m = ν
Röntgenbremsstrahlung
Einsteinsche Energiebilanz:
Ekin + Φ = hνmax
1.4.1
Der Tunneleffekt
Transmissonsrate:
T ≈ e−2kL
q
2
0 −E)
k = 8π m(U
h2
Maximale Frequenz:
νmax = he UA
Minimale Wellenlänge:
a
λmin = νc = hc
e UA
1.3
= jϕ hν
c = jϕ pϕ
Aus E = mc2 = hν folgt m =
Der Photoeffekt
Frequenz eines Photons:
ω
ν = λc = 2π
λ...Wellenlänge des Photons
1.2
I
c
L ... Breite der Schicht
E ... Kinetische Energie vor dem Eintritt
U0 ... Spannungs-Höhe der Schranke
Der Photonenimpuls
Nach de Brouglie kann einem Teilchen eine Welle mit Wellenlänge λ zugeordnet werden.
T +R=1
R ... Reflektionsrate
Strahlungsdruck:
1
1.5
2
Heisenbergsche Unschärferelationen
Die Physik der Atome
Zwei Messgrössen eines Teilchens (z.B. Ort und Impuls) können
nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden.
2.1
∆px ∆x ≈ h
∆px ...Impulskomponente in x-Richtung
Ladung eines Elektrons: e = −1.602 · 10−19 C
Masse eines Elektrons: me = 9.11 · 10−31 kg
Radius einen Elektrons: r0 = 2.8 · 10−15 m
Spin eines Elektrons: s = ~2 = 5.3 · 10−24 N ms
∆E∆t ≈ h
Zwischen den beiden Nullstellen ±α0 muss das Photon ankommen. Aus Interferenzbedingung:
∆x sin α0 = mλ
1.6
2.2
Der Kern
Der Kern eines Atoms besteht aus Protonen und Neutronen,
die unabhängig von ihrer Ladung durch die starken Kernkräfte aneinander gebunden sind.
Wellenfunktion und Wellengleichung
Radien: rP = rN ≈ 1.2 · 10−15 m
Masse eines Protons: mP = 1.673 · 10−27 kg
Masse eines Neutrons: mN = 1 − 675 · 10−27 kg
Wellenfunktion:
E
Das Elektron
p
Ψ = Ψ0 ei[− ~ t+ ~ z]
2
Wahrscheinlichkeitsdichte: |Ψ| = ΨΨ∗
2
Aufenthaltswahrschlichkeit: |Ψ| ∆V
2
2
Für eine ebene Welle gilt: |Ψ| = |Ψ0 | = konstant
2.3
Spektren und Energieniveaus
Experimentelles
Wasserstoffspektrum:
1
1
hν = hR n2 − n2 n1 und n2 = 1,2,3...
Allgemeine Form der Schrödinger Gleichung:
2
~
− 2m
∆Ψ + Ep Ψ = − ~i ∂Ψ
∂t
1
2
Rydbergfrequenz: R = 3.29 · 1015 Hz
Schrödinger Gleichung:
~2
∆Ψ
2m
Fixierte Energiezustände:
En = − hR
n2
+ (E − Ep )Ψ = 0
Schrödinger Gleichung für ebene Wellen:
~ ∂ Ψ
= − ~i ∂Ψ
− 2m
∂z 2
∂t
Bohrsches Atommodell:
Einlaufende Welle: Ψa = a · eik1 x für (x<0)
Reflektierte Welle: Ψa = r · e−ik1 x für (x<0)
Transmittierte Welle: Ψt = a · eik2 x für (x>0)
Bahndrehimpuls eines umlaufenden Elektrons:
LB = me r2 ω = n~
2
2
bei x=0: Ψa = Ψt − Ψr und
dΨa
dx
=
dΨt
dx
−
Radien der stabilen Bohrschen Bahnen:
rn = 4π0 me~e2 n2
(quantisiert, n numeriert die Bahn)
dΨr
dx
Elektronengeschwindigkeit:
1 e2 1
νn = 4π
0 ~ n
Energie des n-ten stationären Zustandes:
4
En = Epot + Ekin = − (4π10 )2 m2~e e2 n12 = − 13.6eV
n2
Potentielle Energie eines Wasserstoffatoms:
1 e2
Epot = − 4π
0 r
2
3
Schwingungen
Diskussion der Lösungen
Harmonische Schwingung:
q = q0 cos(ωt − ϕ)
• δ = 0 ungedämpfte Schwingung
x(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t)
In komplexer Schreibweise: (nur Realteil) q = q0 ei(ωt−ϕ)
• δ < ω0 gedämpfte Schwingung, zeitlich abnehmende
Amplitude. Für δ << ω0 :
x(t) ≈ A cos(ω0 t)
q0 ...Amplitude
ω = 2πν ...Kreisfrequenz
ν = 1/T ...Frequenz
ϕ ...Phase
• δ = ω0 aperiodischer Grenzfall, das System schwingt
gerade nicht mehr.
x(t) = Ae−δt (1 + δt)
mit Dämpfung:
• δ > ω0 Kriechfall, überkritische Dämpfung, Frequenz
wird p
imaginär.
p
ω = ω02 − δ 2 = i δ 2 − ω02 = iδ 0
0
0
x(t) = Ae−(δ+δ )t + Be−(δ−δ )t
q = q0 e−δt cos(ωt) = q0 e−t/τ cos(ωt)
δ...Dämpfungskonstante
τ ...charakteristische Abklingzeit
Reibungskraft einer Kugel:
FR = 6πηrẋ
3.3
Gekoppelte Schwingungen
Periodische Anregung von aussen
mα
~¨ + Rα
~˙ + D~
α = M0 eiωe t
3.1
Beispiele für ungedämpfte Schwingung
Lösung der Bewegungsgleichung
Federpendel
¨ + R~x˙ + D~x = 0
m~x
m...Masse
R...Reibung
D...Federkonstante
• Das Pendel schwingt mit der Erregerfrequenz ωe und
nicht mit seiner Eigenfrequenz.
• Das Pendel schwingt gegenüber dem Erreger mit einer Phasenverschiebung, die von der Erregerfrequenz ωe
abhängt. ϕ = ϕ(ωe )
Elektrischer Schwingkreis
LQ̈ + RQ̇ + Q
C =0
L...Selbstinduktivität der Spule
R...Widerstand
C...Kapazität
• Die Amplitude der Schwingung hängt ebenfalls stark
von der Erregerfrequenz ab. α0 = α0 (ωe )
Lösungsansatz:
α(t) = α0 ei(ωe t−ϕ)
α0 = √ 2 M20 2
(ω0 −ωe ) +4δ 2 ωe2
e
= ω2δω
2
2
0 −ωe
m
3.2
Lösung der Bewegungsgleichung
tan(ϕ)
ungedämpft: R=0
¨ + D~x = 0
m~x
δ=
R
2m
Diskussion der Lösung:
Ansatz: x(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t)
iω0 t
oder komplex:
q x(t) = x0 e
• ωe = 0, ωe << ω0 : α0 klein aber nicht 0!, ϕ ∼ 0
Pendel und Erreger bewegen sich gleichphasig.
D
mit ω0 = m
Konstanten A und B durch AB und RB bestimmbar.
M0
• ωe ∼ ω0 : α0 = 2δmω
mit δ gegen 0 wird die Amplitude
0
sehr gross, ϕ = π/2 (Resonanz)
gedämpft: R6=0
¨ + R~x˙ + D~x = 0
m~x
M0
• ωe >> ω0 : α0 = mω
Amplitude geht gegen 0, da ωe
e
gegen unendlich, ϕ = π
Ansatz: x(t) = e−δt ξ(t)
R
mit δ = 2m
3.4
Schwingungen gekoppelter Systeme
Bei zwei aneinander gekoppelten Feder-Masse Schwingern (ohne Dämpfung) lauten die Bewegungsgleichungen:
mx¨1 + D1 x1 + D2 (x1 − x2 ) = 0
mx¨2 + D1 x2 + D2 (x2 − x1 ) = 0
ξ¨ + ω 2 ξ =
q0
p
D
mit ω = m
− δ 2 = ω02 − δ 2
ω ...Frequenz des gedämpften Systems
ω0 ...Frequenz des ungedämpften Systems
mit q1 = x1 + x2 und q2 = x1 − x2 und Addition/Subtraktion:
mq¨1 + D1 q1 = 0
mq¨2 + (D1 − 2D2 )q2 = 0
x(t) = e−δt [A cos(ωt) + B sin(ωt)]
3
mit ω0 =
q
D1
m
und ω2 = ω0
q
1+
.
2D2
D1
Allgemeine Lösung:
q1 (t) = x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(ω0 t) + A2 sin(ω0 t)
q2 (t) = x1 (t) − x2 (t) = B1 cos(ω2 t) + B2 sin(ω2 t)
Anfangsbedingungen:
• x1 = x2 = x0 und x˙1 = x˙2 = 0
x1 (t) = x0 cos(ω0 t)
x2 (t) = x0 cos(ω0 t)
Erste Fundamentalschwingung des Systems: Die beiden
Körper schwingen gleichsinnig mit der Frequenz ω0 .
• x1 = −x0 , x2 = x0 und x˙1 = x˙2 = 0
x1 (t) = −x0 cos(ω2 t)
x2 (t) = x0 cos(ω2 t)
Zweite Fundamentalschwingung des Systems: Die beiden Körper schwingen gegensinnig mit der Frequenz ω2 .
• x1 = x0 , x2 = 0 und x˙1 = x˙2 = 0
x1 (t) = x20 (cos ω0 t + cos ω2 t)
x2 (t) = x20 (cos ω0 t − cos ω2 t)
Als Lösungen ergeben sich symmetrische und antisymmetrische Linearkombinationen der beiden Fundamentalschwingungen.
3.5
Pendel
Kreisfrequenz eines Pendels:
ω=
pg
L
(unabhängig von der Masse!)
3.5.1
Zwei Gekoppelte Pendel
α̇ · L = ẋ
Momentengleichgewicht:
θ · α̈1 = m1 · L21 · α̈1 = −m1 · L1 · g · α1 + f · a2 (α2 − α1 )
θ · α̈2 = m1 · L22 · α̈2 = −m2 · L2 · g · α2 − f · a2 (α2 − α1 )
Li ... Längen der Pendel
a ... Ort wo Feder angemacht ist (von oben her)
fi ... Federkonstanten
4
4
Wellen
4.1
4.4.1
Die Gruppengeschwindigkeit
Bei der Überlagerung von zwei Wellen mit unterschiedlicher
Frequenz und Wellenlänge entsteht eine Schwebungsgruppe.
Wellenfunktion und Wellengleichung
Wellenfunktion an beliebiger Stelle z:
Ψ = A · cos(ω · t − k · z)
Ψ = A cos(ω1 t − k1 z) + A cos(ω2 t − k2 z)
Wellenzahl:
k = 2π
λ
Ψ = 2A
λ ...Wellenlänge
ω ...Kreisfrequenz
dz
dt
=
ω
k
=
2πυ
k
ω1 + ω2
k1 − k2
k1 + k2
ω1 − ω2
cos(
t−
z
t−
z)
cos
2
2
2
2
{z
}
{z
}
|
|
langsam veränderliche Amplitude
ebene Welle
Schwebungsdauer: Zeitdauer zwischen zwei Stillständen.
Phasengeschwindigkeit:
νph =
Schwebung
Schwebungswinkelgeschwindigkeit: ω1 − ω2
= λυ
Schwebungsfrequenz: f1 − f2
Allgemeine Wellengleichung:
2
∂ 2 Ψ(z,t)
2 ∂ Ψ(z,t)
= νph
∂t2
∂z 2
2
=
Schwebungsperiode: T = 21 T 0 = 12 2π ω1 −ω
2
longitudinale Welle: Bewegung in Fortbewegungsrichtung
Resultierende Frequenz (schnelle):
transversale Welle: Senkrecht zur Fortbewegungsrtg (üblicher)
2π
ω1 −ω2
ω1 +ω2
2
Scheitelwert: maximal mögliche Auslenkung der Amlitude.
4.2
Musikalische Töne
Verfolgt man eine Gruppe mit konstanter Gruppenphase
2
2
t − k1 −k
φgr = ω1 −ω
2
2 z = konst.
wird die Gruppengeschwindigkeit:
dω
νgr = dz
dt = dt
Wellenlänge eines an beiden Enden offenen Rohres:
λ = 2L
n für n=1,2,3...
dazugehörige Frequenz:
nv
f = λv = 2L
Dispersionsrelation:
Beziehung zwischen ω und k
Wellenlänge eines an einem Ende offenen Rohres:
λ = 4L
n für n=1,3,5...
dazugehörige Frequenz:
nv
f = λv = 4L
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit einer Welle sind nur
dann gleich, wenn ω(k) linear ist.
n ... auch Modenzahl genannt
4.3
4.4.2
Stehende Wellen
Stehende Wellen erhält man durch Überlagerung zweier sich
gegeneinander laufende ebene Wellen mit gleicher Amplitude.
(Masse bleibt, Energie wird transportiert)
Intensität einer Welle
Kinetische entspricht der potentiellen Energieänderung!
∆Ekin = ∆Epot
Rechtswelle:
Ψre = Ψ0 cos(ωt − kz)
Intensität der Welle:
dE
P
I = kj~E k = A·dt
=P
A = 4πr 2
P ... Leistung der Quelle
A = 4πr2 ... Fläche bei Kugelwelle
Linkswelle:
Ψli = Ψ0 cos(ωt + kz)
Energiedichte:
kin
ρE = ∆E
∆V
∆V ...Volumen des Massenelementes
Superposition:
Ψtot = Ψre + Ψli = 2Ψ0 cos(kz) cos(ωt)
j~E = ρE ν~ph
Die Punkte, bei denen sich die Teilchen nicht bewegen nennt
man Wellenknoten. Zwischen den Wellenknoten liegen Wellenbäuche.
Die Intensität einer Welle ist dem Quadrat ihrer Amplitude proportional:
I ≈ Ψ20
I = 12 ρvω 2 Ψ2
4.4.3
4.4
Interferenz von Wellen
Interferenz wird bei der Superposition von Wellen mit gleicher
Frequenz und Wellenlänge, jedoch sind mit einer Phasenverschiebung, beobachtet.
Superposition von Wellen
Überlagerung von Wellen
Ψ1 = A1 cos(ωt − kz + ϕ1 )
5
Ψ2 = A2 cos(ωt − kz + ϕ2 )
Phasengeschwindigkeit
der transversalen elastischen Welle:
q
G
tr
νph =
ρ
Superposition:
Ψtot = p
Ψ1 + Ψ2 :
Ψtot = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) · cos(ωt − kz − )
4.8
...Phasenverschiebung der resultierenden Welle
cos φ ... auch bei Sinuswelle!
tan =
Resonanzfrequenz:
v
für n = 1, 2, 3...
f = λv = n 2L
A1 ·sin ϕ1 +A2 ·sin ϕ2
A1 ·cos ϕ1 +A2 ·cos ϕ2
Destruktive Interferenz:
Die Wellen löschen sich gegenseitig aus.
Konstruktive Interferenz:
Verstärkung der Amplitude.
Phasenverschiebung: ϕ = k · ∆z
4.5
Wellen auf Pendelketten
ms̈n = D(sn+1 − sn ) − D(sn − sn−1 )
Ansatz: Harmonische Welle s = s0 ei(ωt−kna)
dadurch wird:
1
ka)2 = 2ω02 sin( 12 ka)
ω 2 = 4D
m sin(
q 2
mit ω0 = 2D
m
4.6
Seilwellen
Vorspannkraft: F = D∆z
Seilspannung:
σ=F
A
Seilwellengleichung:
∂2s
σ ∂2s
∂t2 = ρ ∂z 2
Phasengeschwindigkeit:
q
νph = ωk = σρ
q
ω = σρ k
Seilwellen zeigen keine Dispersion, d.h. ωk ist linear. Somit
sind die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit gleich.
4.7
Resonanz
Elastische Wellen in festen Körpern
Elastische Wellen sind Schallwellen, welche in einem Stab erzeugt und dargestellt werden.
Normalspannung nach Hookeschem Gesetz:
ds
E
σ = −E = − dz
...relative Längenänderung
Wellengleichung:
∂2s
E ∂2s
∂t2 = ρ ∂z 2
Phasengeschwindigkeit
der longitudinal elastischen Welle:
q
E
l
νph =
ρ
6
5
5.1
Wellenoptik
5.4.1
Brechungsgesetz
Wellengeschwindigkeit im Medium:
cm = cn0
c1 · n1 = c2 · n2
n ... Brechungsindex
c0 ... Vakuumlichtgeschwindigkeit
Das Prinzip der ungestörten
Superposition
Treffen in einem Raum zwei oder mehrere Wellen aufeinander, überlagern sie sich einfach zu einer resultierenden Welle.
Ψres = Ψ1 + Ψ2 + ...
Snelluissches Brechungsgesetz:
n1 sin α1 = n2 sin α2
5.2
Das Huygens-Fresnelsches Prinzip der
Elementarwellen
nW asser = 1.33
nLuf t = 1
Wenn eine Welle auf ein Hindernis stösst, wird von dort eine
Sekundärwelle erzeugt. Jeder Punkt des Raumes, der von ei- 5.4.2 Totalreflektion
ner Primärwelle getroffen wird, ist Ausgangspunkt fŸr einer
Elementarwelle. Die daraus resultierende Welle ist die Super- Wenn die Welle von einem optisch dichterem in ein optisch
dünneres Medium verläuft, ergibt sich nur dann eine durchposition aller Elementarwellen.
gehende Welle, wenn der Einfallswinkel kleiner ist als ein gewisser Grenzwinkel αT . Ansonsten tritt innere Totalreflexion
auf.
5.3 Polarisiertes Licht
α1 > αT : Bleibt die Welle im optisch dichterem Medium.
Zwei hintereinander in einem Strahlengang aufgebaute Pola- α1 = αT : ist α2 = 90.
risatoren bilden einen Polarisationsapparat. Der zweite Pola- α1 < αT : Wird die Welle ”normal”mit Winkel α2 gebrochen.
risator wird auch häufig Analysator genannt. Wenn der Po- sin αT = nn21 (für α2 = 90)
larisator und der Analysator zu einander in einem Winkel ϕ
stehen, wird die Komponente EA des elektrischen Lichtvek5.5 Reflexionsverögen
tors EP durchgelassen:
2
2
r = IIre = nn11 −n
+n
2
EA = Ep cos(ϕ)
Ie ... Einfallende Intensität
Ir ... reflekierte Intensität
Bei mehreren Polarisatoren: Winkel zueinander beachten!
Beziehung zwischen Intensitäten:
I(ϕ) = Ik cos2 (ϕ)
Hier wird ein Grenzfall beachtet, wo die einfallende Welle
nahezu senkrecht ins Material eintritt.
Bei ϕ = 0 stehen Polarisator und Analysator parallel: I(0) =
Ik Bei ϕ = 90(= π/2) lässt der Analysator kein Licht passieren.
5.3.1
Polarisation durch Reflexion
Wenn ein unpolarisierter Lichtstrahl unter dem bestimmten
Brewster-Winkel auf eine Oberfläche fällt, sind reflektierter
und gebrochener Strahl senkrecht zueinander polarisiert. (reflektierter: senkrecht, gebrochener: parallel)
Brewster-Winkel:
αB = arctan nn21
αB + αR = 90Grad
αB ... Reflektionswinkel
αR ... Brechungswinkel
5.4
Reflexion und Brechung
Reflexionsgesetz:
α = α0
(Winkel der eintreffenden Welle ist gleich dem der reflektierten)
7
6
Interferenz
6.1
λ ... neue Wellenlänge
z ... neue Anzahl Interferenzmaxima
Der Pohlsche Interferenzversuch
Änderung der Anzahl Streifen im Interferenz-Muster bei Einschiebung eines dünnen transparenten Materials mit Dicke L
und Brechungsindex n:
2L
2L
Nm − NL = 2Ln
λ − λ = λ (n − 1)
Maximum bei (hell) :
∆ = mλ (m = 1, 2, 3, ...)
Minimum bei (dunkel):
∆ = (2m + 1) λ2 (m = 0, 1, 2, ...)
6.2
Dünne Filme
Bei dünnen Schichten entstehen bei einfallendem weissen Licht
Farbeffekte auf der Oberfläche, da die einzelnen Anteile des
Lichtes durch die verschieden interferierten Winkel verschieden lange Wege zurücklegen und daher in unterschiedlichen
Phasen austreten.
Die Phasendifferenz zwischen zwei Wellen kann sich ändern,
wenn mindestens eine von ihnen reflektiert wird.
Bei nahezu senkrechtem Einfall der Welle von einem Material
ins andere:
Maximum:
2L = (m + 12 ) nλ2 (m = 0, 1, 2, 3, ...)
Minimum:
2L = m nλ2 (m = 1, 2, 3, ...)
n2 ... Brechungsindex der Schicht
L ... Dicke der Schicht
λ ... Wellenlänge des Lichts in Luft
Fällt Licht aus einem Medium mit niedrigerem Brechungsindex auf eine Grenzfläche zu einem Medium mit höherem
Index, so verursacht die Reflexion eine Phasenverschiebung
von π rad in der reflektierten Welle. In allen andere Fällen
der Reflexion tritt keine Phasenverschiebung auf.
6.3
Phasendifferenz
Die Phasendifferenz zwischen zwei Lichtwellen kann sich ändern,
wenn sich die Wellen durch Medien mit verschiedenen Brechungsindizes ausbreiten.
ϕ
2π
= N2 − N1 =
6.4
Ln2
λ
−
Ln1
λ
=
L
λ (n2
− n1 )
Das Michelson Interferometer
Im Michelson-Interferometer wird ein Lichtstrahl in zwei Teilstrahlen aufgespalten, welche unterschiedlich lange Wege durchlaufen und sich anschliessen wieder treffen. Im Treffpunkt
kommt es zur Interferenz und ein Streifenmuster ist zu beobachten. Durch Veränderung der Weglänge kann man ganz
genaue Längenmessungen vornehmen.
Bei Veränderung einer Weglänge :
∆d = λ2 z
∆d ... Änderung der Weglänge
8
7
Beugung
7.1
7.4
Spektrales Auflösungsvermögen
Spektrales Auflösungsvermögen eines Gitters:
λ
A = δλ
= mp
m... Ordnung
p... Strichzahl
Beugung am Spalt
• Bei sehr grosser Spaltbreite (d λ) ist das Spaltbild
auf dem Schirm S überhaupt nicht scharf, sondern wird
von vielen Interferenzstreifen berandet.
• Bei Verringerung der Spaltbreite werden die Interferenzstreifen breiter und verschieben sich nach aussen.
7.5
• Bei sehr kleiner Spaltbreite (d= λ) ist der Schirm
gleichmässig ”hell”.
2D:
a sin αm = mλ
b sin βn = nλ
Minimum (dunkel):
d sin α = mλ (m = 1, 2, 3....)
a...Gitterkonstante in x-Rtg
b...Gitterkonstante in y-Rtg
Maximum (hell):
d sin α ≈ (2m − 1) λ2 (m = 0, 1, 2, 3....)
3D:
a(sin α − sin α0 ) = eλ
b(sin β − sin β0 ) = f λ
c(sin γ − sin γ0 ) = gλ
Intensität:
2
I = sinξ ξ
ξ=
7.2
πd
λ
e,f,g = 0,1,2,3...
a,b,c...Gitterkonstanten
α0 , β0 , γ0 ...Einf allswinkel
α, β, γ...Beugungswinkel
sin α
Beugung am Doppelspalt
Breite d des Spaltes sei so klein, dass man jeweils nur eine
Elementarwelle erwartet.
7.6
Beugung an einer kreisrunden Öffnung
sin αR = 1.22 λd ≈ αR
Maxima:
D sin α = mλ (m = 1, 2, 3....)
d ... Durchmesser der Öffnung
für kleine Winkel und α in Bogenmass
Minima:
D sin α = (2m + 1) λ2 (m = 0, 1, 2, 3....)
D... Spaltabstand
d ... Spaltbreite
hier: D>> d
Intensität:
2
I = sinξ ξ cos Φ2
ξ = πd
λ sin α
Φ = 2πD
λ sin α
7.3
Beugung in 2 und 3 Dimensionen
Beugung am Strichgitter
• Je grösser die Zahl p der Gitterstriche ist, desto schärfer
werden die Interferenzmaxima.
• Je grösser die Dichte der Gitterstriche (je kleiner die
Gitterkonstante D), desto weiter werden die scharfen
Interferenzmaxima voneinander getrennt.
Maximum bei:
D sin α = mλ (m = 0, 1, 2...)
Mit Einfallswinkel α:
D(sin α + sin β) = mλ (m = 1, 2...)
9
8
Bauelemente der geometr. Optik
8.4
Das Prisma
Zweimal Brechungsgesetz:
Reelle Bilder:
Existieren unabhängig vom Beabachter und können auf einer sin α1 = n sin β1 und sin α2 = n sin β2
Fläche aufgefangen werden.
Strahlablenkung:
δ = (α1 + α2 ) − (β1 + β2 )
Virtuelle Bilder:
Existieren nur im visuellen System des Beobachters.
8.1
Winkel zwischen Grenzflächenlot:
γ = β1 + β2
Prinzip von Fermat
Für kleine Winkel:
αi ∼
= nβi
Ein Lichtstrahl sucht sich stets den kürzesten Weg.
Optischer Weg:
∆ := ns
Strahlablenkung wird unabhängig vom Einfallswinkel:
δ∼
= (n − 1)γ
n...Brechungsindex
s... geometrischer Weg
Bei minimimaler Strahlungsablenkung:
Ablenkung δ wird minimal, wenn der Strahl das Prisma symmetrisch durchgeht.
Totalreflexion:
sin α1 = sin α2 und damit α1 = α2
α1 = α2 = αmin und β1 = β2 =
Snelliussches Brechungsgesetz:
n1 sin α1 = n2 sin α2
sin αmin = n sin( γ2 )
8.5
8.2
γ
2
Spärische Spiegel
1
g
+
Dünne Linsen
1
b
=
1
f
= (n − 1)
1
r1
+
1
r2
F...Brennpunkt
f ... Brennweite (Abstand des Brennpunktes zur Linse)
(n-1) ... optische Eigenschaften des Linsenmaterials
n ... Brechungsindex des Linsenmaterials
ri ... Krümmungsradien der Linse
Krümmungsradius des Parabolspiegels:
r = 2f
f...Brennweite
Abbildungsgesetz:
G
B
g
b
=
G...Gegenstand
B...abbgebildetes Bild
g...Abstand vom Gegenstand zum Spiegel
b...Abstand vom Bild zum Spiegel
Abbildungsgleichung:
1
g
1
b
+
=
1
f
Beim konkavem Spiegel wird das Bild vergrössert.
Beim konvexem Spiegel wird das Bild verkleinert.
8.2.1
1
g
+
1
b
Kugelspiegel
=
1
f
=
2
r
r ...Krümmungsradius des Spiegels
8.3
n1
g
+
Sphärisch brechende Fläche
n2
b
=
n2 −n1
r
10
9
Spezielle Relativität
9.1
9.3.1
Lorentz Transformation
Nicht-relativistischer Dopplereffekt
für Schall
Gleichung der Wellenfront:
x2 + y 2 + z 2 = c2 t2 und x02 + y 02 + z 2 = c2 t02
Ruhende Schallquelle, bewegter Empfänger:
Empfänger bewegt
sich zum Sender:
ν 0 = ν0 1 + vc
S’ ... bewegtes System
S ... ruhendes System
Empfänger entfernt
sich vom Sender weg:
ν 0 = ν0 1 − vc
Lorentz-Transormation:
x0 = qx−vtv2
c ... Schallgeschwindigkeit
ν0 ... Frequenz des ruhenden Senders
y0 = y
z0 = z v
t− x
t0 = q c2v2
Bewegte Schallquelle, ruhender Empfänger:
Schallquelle bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v in xRichtung.
Inverse Transformation:
x0 +vt0
x= q
v2
Sender bewegt sich auf den Empfänger zu:
ν0
ν 0 = λc0 = 1−
v
1− c2
1− c2
1− c2
c
y = y0
z = z00 v 0
t+ x
t = q c2v2
Sender entfernt sich vom Empfänger weg:
ν0
ν 0 = 1+
v
c
1− c2
9.3.2
9.2
Konsequenzen der Lorentz Trafo
Teilchen mit der Geschwindigkeit (U,V,W):
U 0 +v
U = 1+
v
U0
U0 =
Der Sender ruht und der Empfänger (’) bewegt sich.
c2
Schwingungsdauer:
q v
1+
T 0 = T 1− vc
U −v
1− cv2 U
q
v2
0 1− c2
V =V
W =W
Longitudinaler Dopplereffekt
des Lichtes im Vakuum
c
1+ vc U 0
q
v2
0 1− c2
Empfänger
q ventfernt sich vom Sender weg:
1−
0
ν = ν 1+ vc
1+ vc U 0
c
Lorentz
q Kontraktion:
Empfänger
q vnähert sich dem Sender:
2
1+
L = L0 1 − vc
ν 0 = ν 1− vc
c
Ein sich in seiner Längsrichtung mit v bewegender Stab scheint
kürzer.
L0 ... Ruhelänge
10
Zeitdilatation:
∆t0 = q ∆t v2
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
1− c2
Objekt bewegt sich relativ zum Beobachter mit der Geschwindigkeit v (Zeit wird länger).
Relativistische Energie:
Relativistischer Impuls: p = γ · mv
2
E = qm0 cv2 = γ · mc2
Allgemeines
deci
centi
mili
mikro
nano
piko
f emto
d
c
m
µ
n
p
f
Ekin = E − mc2 = γ · mc2 − mc2 = mc2 (γ − 1)
Dichte von Luft:
kg
1.21 m
3
9.3
Sichtbares Spektrum:
380 nm (UV) - 700 nm (IR)
1− c2
Der Doppler Effekt
Allgemeiner Doppler Effekt:
E
f 0 = f v±v
v±vS
101
102
103
106
109
1012
1015
deka
hekto
kilo
mega
giga
tera
peta
Lichtjahr:
1ly = c · 3600s · 24 · 365 = 9.461 · 1015 m
s
vE ... Geschwindigkeit vom Empfänger
vS ... Geschwindigkeit vom Sender
11
da
h
k
M
G
T
P