1 Umfang und Flächeninhalt des Kreises

Ingo Blechschmidt, 10C
1 UMFANG UND FLÄCHENINHALT DES KREISES
1
Abbildung 1: Zentrische Streckung bei Kreien
1 Umfang und Flächeninhalt des Kreises
Wir beschreiben einem Kreis ein reguläres Vieleck mit 2n Ecken ein (n =
∩ [−3; ∞]).
Der Flächeninhalt des regulären 2n-Ecks ist dann
A2n = n ·
1
s (r
2
− r0 ) + 12 sr0 = 2r ns = 2r Un
Ist n genügend groß, dann unterscheidet sich Un beliebig wenig vom Kreisumfang, der Inhalt des regulären 2n-Ecks beliebig wenig vom Kreisinhalt.
Daraus folgt:
Ak = r2 Uk
Aus der zentrischen Streckung (Abbildung auf dieser Seite) ergibt sich:
U kr = r · U k1 =
r2
U
2 k1
Wir schreiben:
Uk1 = 2π (π reel)
Daraus folgt:
Ukr = 2πr und Akr = πr2
Es bleibt nur noch die Aufgabe, π zu bestimmen.
Ingo Blechschmidt, 10C
2 KREISBOGEN UND KREISSEKTOR
2
Grundfläche
r
Mantelfläche
h
Mantellinie
Zylinderachse
r
Grundfläche
Abbildung 2: Entstehung eines geraden Kreiszylinders
2 Kreisbogen und Kreissektor
Bogenlänge zum Mittelpunktswinkel α:
α
360◦
=
b
2π·r
=⇒ b =
α
360◦
Flächeninhalt des Kreissektors zum Mittelpunktswinkel α: A =
· 2π · r
α
360◦
· π · r2
Ein Kreis vom Radius r ist ein Quadrat einbeschrieben. Wie viel Prozent
AQ
2r 2
2
der Kreisfläche werden vom Quadrat bedeckt? =⇒ AK
= π·r
2 = π
3 Raumgeometrie
3.1 Der gerade Kreiszylinder
Ein gerader Kreiszylinder ist (siehe Abbildung auf dieser Seite) ein Rotationskörper.
Er entsteht durch Rotation eines Rechtecks um eine seiner Seiten.
Rauminhalt:
V = πr2 · h
Ingo Blechschmidt, 10C
3 RAUMGEOMETRIE
3
S
Spitze
h
Kegelmantel
(Mantelfläche M)
Kegel−
linie
m
r
Grundkreis
Kegelachse
Abbildung 3: Ein gerader Kreiskegel
Mantelfläche:
M = 2πr · h
3.2 Der gerade Kreiskegel
Wir können einen Kegel (siehe Abbildung auf dieser Seite) durch einbeschriebene Pyramiden immer weiter annähern.
Da für alle einbeschriebenen Pyramiden
V = 31 Gh
gilt, muss das gleiche für das Kegelvolumen gelten:
V =
1
3
· πr2 · h
Die Mantelfläche lässt sich ebenso beliebig genau durch die Mantelflächen
einbeschriebener Pyramiden annähern:
M =π·r·m
Die Abwicklung des Kegelmantels gibt einen Kreissektor (siehe Abbildung auf der nächsten Seite). Der Mittelpunktswinkel α des abgewickelten Kegelmantels ergibt sich aus
Ingo Blechschmidt, 10C
3 RAUMGEOMETRIE
4
m
S
Abgewickelter
Kegelmantel
= Kreissektor M
m
2r
Abbildung 4: Abwicklung eines Kegelmantels
α
360◦
· πm2
α
= πrm
= mr · 360◦
3.3 Die Kugel
Eine Kugel entsteht durch Rotation eines Kreises um einen seiner Durchmesser (siehe Abbildung auf dieser Seite).
Prinzip von Cavalieri: Zwei Körper sind Volumengleich, wenn sie mit flächengleichen Grundflächen auf einer gemeinsamen Ebene gestellt von je-
P
r
M
Abbildung 5: Die Kugel als Rotationskörper
Ingo Blechschmidt, 10C
4 SINUS UND KOSINUS
5
der Parallelebene zur Grundebene in inhaltsgleiche Flächen geschnitten
werden können.
A
r’
d
d
d
r
2r
M
r
Kugel mit Radius r: A = π · r02 = πr2 − πd2
Zylinder mit Radius r, aus dem ein Doppelkegel herausgeschnitten ist:
A = πr2 − πd2
Cavalieri =⇒
VK = VZ − VDK = πr2 · 2r − 2 · 13 πr2 · r = 34 πr3
3.3.1
Kugeloberfläche
Wir betrachten eine Kugel mit Wanddicke d und Außenradius r.
Volumen der Wand: V = 43 πr3− r4 π (r − d)3 =⇒ V = d· 4πr2 − 4πrd + 43 πd2
=⇒
O = 4πr2
4 Sinus und Kosinus
Die y-(x-)Koordinate des Punktes P (x; y) der zum Winkel α gehört heißt
der Sinus (Cosinus) von α (siehe Abbildung auf der nächsten Seite).
Also: Einheitskreis: α → P (a) = P (x; y)
y = sin α; x = cos α;
Ingo Blechschmidt, 10C
4 SINUS UND KOSINUS
6
y
1
P(x; y)
y
1
−1
x
1 x
−1
Abbildung 6: P (x; y) auf dem Einheitskreis
1
30°
1
0,5
1
1
45°
1
Abbildung 7: Weiter Winkel am Einheitskreis
α
sin
cos
0◦
0
1
90◦
1
0
Quadrant
sin
cos
I
+
+
180◦
0
−1
II
+
−
270◦
−1
0
III
−
−
360◦
0
1
IV
−
+
Außerdem folgt aus der Abbildung auf dieser Seite:
α
30◦
45◦ 60√◦
1
√1
sin 12
3
2
2
√
1
1
1
cos 2 3 √2 2
4.1 Winkel größer als 90◦
• II. Quadrant: sin(180◦ − α) = sin(α); cos(180◦ − α) = − cos(α);
• III. Quadrant: sin(180◦ + α) = − sin(α); cos(180◦ + α) = − cos(α);
Ingo Blechschmidt, 10C
4 SINUS UND KOSINUS
7
• IV. Quadrant: sin(360◦ − α) = − sin(α); cos(360◦ − α) = cos(α);
(Private Ergänzung:
• II: α → 180◦ − α (+/-)
• III: α → α − 180◦ (-/-)
• IV: α → 360◦ − α (-/+)
)
4.2 Negative Winkel
sin(−α) = − sin(α); cos(−α) = cos(α);
4.3 Winkel größer als 360◦
sin(α + k · 360◦ ) = sin(α); cos(α + k · 360◦ ) = cos(α);
Sinus und Kosinus haben die Periode 360◦ .
4.4 Zusammenhang zwischen dem Sinus und dem Kosinus gleicher Winkel
sin2 α + cos2 α = 1
Beispiel: α ∈ [180◦ ; 360◦ ] und sin α = −0, 6 Berechne cos α (ohne α auszurechnen).
sin2 α + cos2 α
(−0, 6)2 + cos2 α
cos2 α
cos α
=⇒
= {−0, 8; 0, 8}
=
=
=
=
1
1
0, 84
±0, 8
Ingo Blechschmidt, 10C
5 TANGENS
8
4.5 Komplementärwinkel
sin (90◦ − α) = cos α; cos (90◦ − α) = sin α; 0◦ ≤ α ≤ 90◦
4.6 Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
sin α =
a
b
=
Gegenkathete
;
Hypothenuse
cos α =
c
b
=
Ankathete
;
Hypothenuse
5 Tangens
Definition: tan α =
α
tan α
0◦
0
α
tan α
30√◦
1
3
3
Quadrant
tan α
90◦
n.def.
45◦
1
I
+
180◦
0
sin α
,
cos α
wobei a 6= 90◦ + k · 180◦ , k ∈
270◦
n. def.
360◦
0
◦
60
√
3
II
−
III
+
IV
−
• tan (180◦ − α) = − tan α
• tan (180◦ + α) = tan α
• tan (360◦ − α) = − tan α
• tan (α + k · 360◦ ) = tan α
• tan (−α) = − tan α
5.1 Tangens im rechtwinkligen Dreieck
tan α =
sin α
cos α
=
a
b
c
b
=
a
c
=⇒
tan α =
Gegenkathete
Ankathete
Ingo Blechschmidt, 10C
6 DAS BOGENMASS
9
5.2 Umrechung des Sinus, Kosinus und Tangens
sin α
cos α
tan α
√ cos α
1−cos2 α
√ tan α
1+tan2 α
√ 1
1+tan2 α
sin α
cos α
tan α
p
1 − sin2 α
√ sin α
1−sin2
√
α
1−cos2 α
cos α
6 Das Bogenmaß
Jedem Mittelpunktswinkel α am Einheitskreis ist in eindeutiger Weise einer Bogenlänge zugeordnet und umgekehrt.
a↔b
Anstatt einen Winkel im Gradmaß anzugeben, können wir ihn daher durch
die Länge des zum Winkel gehörenden Bogens angeben (Bogenmaß des
Winkels α)
Grad
Bogenmaß
0◦
0
Grad
Bogenmaß
30◦
45◦
60◦
π
6
π
4
π
3
90◦
π
2
180◦
π
270◦
3
π
2
360◦
2π
Das Bogenmaß eines Winkels ist eine Zahl!
6.1 Umrechnung Bogenmaß-Gradmaß
• Grad =
Bogen
2π
• Bogen =
Grad
360◦
· 360◦
· 2π
7 Die Sinus- und Cosinusfunktion
3 x 7→ sin x ∈ [−1; 1]
f (x) = y = sin x
Sinusfunktion
Ingo Blechschmidt, 10C
7 DIE SINUS- UND COSINUSFUNKTION
10
1
sin(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−pi
−pi/2
0
pi/2
pi
3/2pi
2pi
5/2pi
Ingo Blechschmidt, 10C
8 DIE TANGENSFUNKTION UND IHR GRAPH
11
7.1 Lage- und Formänderung des Sinus- und Cosinusgraphen
1
sin(x)
sin(x+pi/2.)
sin(x−pi/2.)
0.5
0
−0.5
−1
−pi/2
0
• y = sin x +
pi/2
pi
3/2pi
: Verschiebung des Sinusgraphen um
• y = sin x − π2 : Verschiebung des Sinusgraphen um
π
2
2pi
π
2
nach links
π
2
nach rechts
• y = sin 2x: Stauchung des Sinusgraphen auf die Periode π
• y = sin x2 : Dehnung des Sinusgraphen auf die Periode 4π
• y = 2 sin x: Verdopplung der Funktionswerte (doppelte Amplitude)
8 Die Tangensfunktion und ihr Graph
tan x =
sin x
cos x
Eigenschaften:
•
= x|x 6=
π
2
+ kπ, x ∈
,k ∈
5/2pi
Ingo Blechschmidt, 10C
9 POLARKOORDINATEN
12
• Periode: π
• Punktsymmetrie zum Ursprung, da tan −x = − tan x
• Nullstellen bei kπ, k ∈
• y∈
=
tan(x)
4
2
0
−2
−4
−pi
−pi/2
0
pi/2
pi
3/2pi
2pi
5/2pi
9 Polarkoordinaten
Auf dem Einheitskreis liegt P (x; y) = P (cos ϕ; sin ϕ). Durch S (0; λ = r)
wird P (x; y) auf P 0 (x0 ; y 0) = P 0 (r · cos ϕ; r · sin ϕ) abgebildet, d.h. jeder
Punkt wird bereits durch die Angaben von r und ϕ, seinen Polarkoordinaten, eindeutig festgelegt.
10 Der Sinussatz
Bei einem Dreieck liegen der größten (kleinsten) Seite der größte (kleinste)
Winkel gegenüber.
Ingo Blechschmidt, 10C
11 DER COSINUSSATZ
ha
α
β
γ
sin β =
sin γ =
ha
c
ha
b
hb
sin α =
hb
c
sin γ =
hb
a
13
hc
sin α =
sin β =
=⇒
a
sin α
=
hc
b
hc
a
b
sin β
=
c
sin γ
11 Der Cosinussatz
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α;
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos β;
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ;
11.1 Übungsaufgabe
• Geg.: a; b; β;
• Gs.: c;
• b2 = a2 + c2 − 2ac · cos β =⇒ c1;2 = a · cos β ±
12 Additionstheoreme
• sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
• cos (α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
• tan (α + β) =
tan α+tan β
1−tan α· tan β
p
−a2 · sin2 β + b2;
Ingo Blechschmidt, 10C
13 DIE ELLIPSE
14
13 Die Ellipse
Vorläufige Definition: Eine Ellipse ist die Form des Schattens einer Kugel
im Sonnenlicht auf einer Ebene.
Der Schattenbereich im Sonnenlicht unter einer Kugel hat die Form eines
Zylinders (ca.).
Geometrische Definition: Eine Ellipse ist die geschlossene Linie, die beim
Schnitt eines Zylindermantels mit einer Ebene gebildet wird (Schnittebene
nicht parallel zur Zylinderachse).
Jeder Kreis ist eine Ellipse, aber nicht jede Ellipse ist ein Kreis.
Zwei Parallen, die die Ellipse berühren, haben als kleinsten Abstand den
Durchmesser des Schnittylinders.
13.1 Symmetrien beim Schnitt einer Drehzylinderfläche
Kreis:
• Alle Achsen durch den Mittelpunkt sind Symmetrieachsen.
• Der Mittelpunkt ist Symmetriezentrum.
Kreiszylinder (Z):
• Drehsymmetrie bezüglich Zylinderachse.
• Spiegelsymmetrie bezüglich aller Ebenen, die in der Zylinderachse
liegen.
• Drehzylinder und Scnittebene E besitzen mindestens eine gemeinsame Symmetrieebene.
Mittelpunkt (M ):
• Schnittebene von Ebene E mit der Zylinderachse.
• Punktsymmetriezentrum von Z und E.
• Die gemeinsame Symmetrieeigenschaft die Punktmengen Z und E
gilt auch für Z ∩ E ≡ Ellipse.
Ingo Blechschmidt, 10C
13 DIE ELLIPSE
15
Direkte Folgerung: Die Ellipse ist punktsymmetrisch bezüglich M und besitzt mindestens eine Symmetrieachse.
Nur in der Schnittebene gilt: Punktspiegelung: Verkettung von zwei Achsenspiegelungen a1senkrecht zu a2 =⇒ a1 ∩ a2 = M .
Jede Ellipse, die kein Kreis ist, besitzt genau zwei Symmetrieachsen. Der
Schnittpunkt dieser Achsen ist Punktsymmetriezentrum.
13.2 Kreis- und Ellipsengleichung
Die Kreisgleichung (der Mittelpunkt liegt auf dem Ursprung):
x2 + y 2 = r 2 ;
Die Ellipsengleichung:
x2
a2
+
y2
b2
= 1;
Der Zylinder Z wird von der Ellipsenebene E ∗ und von E geschnitten: E
ist senkrecht zur Zylinderachse. Der Ellipsenpunkt P ∗ und der Kreispunkt
P liegen auf einer Manttellinie des Zylinders.
13.3 Hauptkreiskonstruktion
Parameterdarstellung von P :
xp = a · cos α; yp = b · sin α;
Ingo Blechschmidt, 10C
13 DIE ELLIPSE
16
13.4 Die Brennpunkte der Ellipse
F1 und F2 sind die Punkte, an denen die Ellipse, die den Kreiszylinder
berührt, auf den Kugeln aufliegt. Auch die Kugeln berühren den Zylindermantel (sog. Drandalinsche Kugeln).
F1 und F2 sind Brennpunkte der Ellipse.
13.5 Gärtnerkonstruktion
Ortseigenschaft der Ellipse: Alle Punkte der Ell., und nur diese, haben die
Eigenschaft, dass die Summe ihrer Entfernungen zu den Brennpunkten,
konstant gleich der doppelten Länge der großen Halbache a ist.
P F1 + P F2 = 2a
13.6 Exzentrizitäten
Definition: Die Entfernung e der Brennpunkte F1, F2 vom Mittelpunkt M
heißt lin. Exzentrizität e.
Nach Pythagoras gilt: e2 = a2 − b2
Numerische Exzentrizität ε: ε =
e
a
13.7 Bestimmung der Brennpunkte einer Ellipse (vgl. Gärtnerkonstruktion)
Für die Nebenscheitel B1 und B2 gilt:
B 1 F1 = B 1 F2 = a
D.h. F1 und F2 liegen auf dem
• Kreis um B1 mit Radius a und
• den großen Halbachsen a.
Ingo Blechschmidt, 10C
14 1. HAUSAUFGABE
17
13.8 Herleitung der Ellipsengleichung
aus P F1 = r1 + P F2 = r2 = 2a:
r1 + r2 = 2a; =⇒ r1 = 2a − r2 ;
r12 = (e + x)2 + y 2 ; r22 = (e − x)2 + y 2;
r1 = 2a − r2 ; =⇒ r12 = 4a2 − 4ar2 + r22 ; =⇒ ar2 = a2 − ex; =⇒ a2 y 2 + b2x2 =
a2b2; =⇒
y2
x2
+
= 1;
2
a
b2
13.9 Der geschlossene Kegelschnitt
a) P F1 = P B1 ; P F2 = P B2 ;
b) Diese Tangentenabschnitte sind gleich lang;
c) P F1 + P F2 = P B1 + P B2 = B1 B2 = const.; Vgl. Gärtnerkonstruktion:
P F1 + P F2 = 2a; Alle möglichen Punkte liegen auf der Ellipse als
Ortskurve;
13.10 Brennpunkte und Tangente
• P F1 + P F2 = 2a;
• [F1F2∗ = 2a;
• P F2 = P F2∗;
• Q1, Q2 6= P ;
• 2a = F1 F2∗ < F1Q2 + F2∗Q2;
• 2a = F1 P + F2∗P , d.h. Winkelhalbierende durch Ellipsenpunkt ist
Ellipsentangente.
14 1. Hausaufgabe
Nährere Pi durch einen praktischen Versuch an!
r = 5cm =⇒ Gemessener Umfang: U = 31, 3cm =⇒ π = U · (2 · r)−1 =⇒
π ≈ 3, 13
Ingo Blechschmidt, 10C
15 2. HAUSAUFGABE
18
Abbildung 8: Drei Kreise berühren sich gegenseitig
15 2. Hausaufgabe
15.1 Aufgabe 5 des Materials Ge161
Drei Kreise mit gleichem Radius r und den Mittelpunkten A, B und C
berühren sich gegenseitig (siehe Abbildung auf dieser Seite). Ihnen ist ein
Kreis mit Radius R umschrieben.
a) Berechnen Sie den Inhalt des zwischen den drei kleinen Kreisen liegenden schraffierten Flächenstücks in Abhängigkeit von r.
√
60◦
2
=⇒ FS = FD − 3 ∗ FK =⇒ FD = 21 · 2r · 3 · r; FK = 3 · 360
◦ · π · r ; =⇒
√ 2 1 2
√
FS = 3r − 2 πr = r2 3 − 12 π
√ b) Zeigen Sie: R = r · 1 + 2 3 3
√
=⇒ n ist die Höhe des Dreiecks 4ABC. n = 3 · r
=⇒ o ist die Länge der Strecke vom Mittelpunkt des großen Kreises
zum Mittelpunkt eines kleinen Kreises. o = 23 · n
√
√ =⇒ R = r + o = r + 2 33·r = r · 1 + 2 3 3
c) Vom großen Kreis (Radius R) werden die drei sichelförmigen Monde abgeschnitten, so dass man die drei kleinen Kreise zusammen mit
Ingo Blechschmidt, 10C
16 3. HAUSAUFGABE
19
Abbildung 9: Einem Kreis ist ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben
dem schraffierten Mittelstück erhält. Berechnen Sie die Länge der
Schnittlinie, wenn R = 100cm gilt.
=⇒ US = 3 ·
=⇒ US =
360◦ −60◦
360◦
· 2π · r; r =
R√
1+ 2 3 3
;
15πR
√
2 3+3
=⇒ US ≈ 729cm
16 3. Hausaufgabe
16.1 1. Aufgabe
Ein Kreissektor mit Radius R und einem Mittelpunktswinkel von α = 60◦
hat
√ den selben Flächeninhalt wie ein Halbkreis mit einem Radius r =
2 3cm. Berechne R.
q
180◦
360
α
2
2
πr
=
∗
πR
=⇒
R
=
r
=⇒ R = 6cm
360◦
360◦
2α
16.2 2. Aufgabe
Einem Kreis mit Radius r ist ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben.
• Wie viel Prozent der Kreisfläche werden vom Dreieck bedeckt (siehe
Abbildung auf dieser Seite)?
=⇒ r = 23 h =⇒ h = 23 r
Ingo Blechschmidt, 10C
17 4. HAUSAUFGABE
=⇒
b 2
2
+
=⇒ FD =
=⇒
FD
FK
=
1
2
r 2
2
20
= r2 =⇒ b =
√
3r
√
3· 3·r 2
2
√
3 3
8π
·b·h=
√
3· 3·r 2
8·π·r 2
=
• Um wie viel Prozent ist die Länge einer Dreiecksseite kleiner als die
Länge des Kreisbogens über ihr?
√
=⇒ b = 3r
=⇒ B =
=⇒
b
B
=
120◦
2πr
360◦
√
3 3
2π
= 23 πr
17 4. Hausaufgabe
Im gleichseiten Dreieck 4ABC mit der Seitenlänge AB = 2a sind die Mittelpunkte der Seiten [AB] und [AC] mit D und E bezeichnet. Die Parallele
durch E zu [AB] schneidet [CD] im Punkt H. Das Lot von D auf die Seite
[BC] schneidet diese im Punkt F .
√
1. Zeigen Sie, das DF = DH = a2 3
2
2
2
=⇒ N E =
4AN E: AN + AE = AC
2
√
=⇒ N E = HD = DF = a2 · 3
a
2
·
√
3
2. Der Kreisbogen DE um A durch die Punkte D und E sowie der Viertelkreisbogen GH um D begrenzen zusammen mit den Parallelen
[DG] und [EH] das schraffierte Flächenstück DGHE. Berechnen Sie
den Flächeninhalt dieses Flächenstücks in Abhängigkeit von a.
2
2
90◦
1
1
60◦
·π·HD
·
π
·
A (a) := 360
·
·
+
AD
·
N
E
+
EH
·
HD
−
AD
=
◦
2
2
360◦
√
a2 (π+18 3)
48
18 5. Hausaufgabe
Die Kreis k1 (A; a), k2 (B; a) und k3 (C; r) schneiden sich in den Punkten P
und Q. Dabei gilt: a = AB.
Ingo Blechschmidt, 10C
19 6. HAUSAUFGABE
21
√
1. Zeigen Sie, dass für den Radius r des Kreises k3 gilt: r = a 3.
p
r2 + j 2 = 4a2 =⇒ r = 4a2 − j 2
√
j = a =⇒ r = a 3
2. Berechnen Sie den Umfang der gerasterten Figur in Abhängigkeit
von a.
√
√
◦
◦
U (a) := UTk3 + UTk2 = 2 2·30
πa 3 + 2 2·60
πa = π 13 a 3 + 32 a =
360◦
360◦
πa
√
3+2a
3
= πa
√
3+2
3
3. Berechnen Sie den Flächeninhalt der rerasterten Figur in Abhängigkeit von a.
√ A (a) := ABP Q + ACP Q − A4BP Q − A4CP Q = a2 56 π − 34 3
19 6. Hausaufgabe
19.1 Aufgabe 6 des Materials G161
Die nebenstehende Figur zeigt eine Kirchenfensterkonstruktion. Die Punkte A, B und H sind die Mittelpunkte der entsprechenden Kreisbögen. M
ist der Mittelpunkt des Kreises. Es gilt AH = HB = c.
1. Stellen Sie den Flächeninhalt A1 (c) des ganzen Fesnters ABC in Abhängigkeit von c dar.
A1 (c) := 2 · AHB (c)
AHB (c) := AB (c) − AD (c)
AB (c) :=
AD (c) :=
60◦
· π · (2c)2
360◦
1
· c · h (c)
2
√
3 =⇒
√ A1 (c) := 4π
− 3 c2
3
h (c) := c ·
2. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt A2 des kleinen Spitzenbogenausschnitts AHF ein Viertel des Flächeninhalts des ganzen Fensters ABC
beträgt.
Ingo Blechschmidt, 10C
20 7. HAUSAUFGABE
22
A2 (c)
A1 (c)
A2 (c)
√ 2 · 360◦ πc2 − 21 2c 2c 3
√ 2c2 · 16 π − 83
60◦
√
1
π − √43
3
4
π− 3
3
1
=
=
=
=
=
=
=
1
4
A1 (c)
4 √
( 4π3 − 3)c2
4√
( 4π3 − 3)c2
4
√
4π
−
3
3
4 √
4π
− 3
3
1
Andere Begründungsidee: A1 entsteht durch die zentrische Streckung
Z (A; 2) von A2.
3. Begründen Sie, dass für den Radius M E des kreisförmigen Fensters
mit M als Mittelpunkt gilt: M E = 12 c.
• AE = AC = 2c
• AD = c
• =⇒ M E =
AE−AD
2
=
c
2
4. Wenn man vom ganzen Fenster ABC die beiden Spitzbogenausschnitte und das kreisförmige Fenster wegnimmt, bleibt eine Restfläche A3
übrig. Berechnen Sie den prozentualen Antei dieser Rechtfläche A3
an der Gesamtfläche des Fensters ABC.
√
2
√
2
1
4π
A −π·( 2c )
A1 (c)−2· 41 ·A1 (c)−AK (c)
− 3− π4
)c2 −π c4
( 4π3 − 3√
A3 (c)
2 1
3
√
=
=
=
=
=
4π
A1 (c)
A1 (c)
A1 (c)
− 3
( 4π3 − 3)c2
3
√
13π−12√3
(MAYBE FALSCH)
16π−12 3
20 7. Hausaufgabe
20.1 Buch Seite 59, Aufgabe 2c
Ein Rechteck mit den Seiten x und y rotiert einmal um x und einmal um y
und erzeugt so jedesmal einen Zylinder. Berechne die Verhältnisse der Volumina, der Mantelflächen und der Grundflächen (ANGABENCHANGE
i dieser Zylinder...
• c) ...allgemein in Abhängigkeit von x und y.
Ingo Blechschmidt, 10C
21 8. HAUSAUFGABE
23
Bei Rotation um x:
Ax = πy 2 =⇒ Vx = Ax · x = πxy 2;
Ux = 2πy =⇒ Mx = Ux · x = 2πxy;
Bei Rotation um y:
Ay = πx2 =⇒ Vy = Ay · y = πyx2;
Uy = 2πx =⇒ My = Uy · y = 2πyx;
Verhältnisse:
πy 2
Ax
= πx
2 =
Ay
y 2 Mx
;
x2 M y
=
2πxy
2πyx
= 1;
Vx
Vy
=
πxy 2
πyx2
= yx ;
21 8. Hausaufgabe
21.1 Buch Seite 59, Aufgabe 2c für Kegel statt Zylinder
Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a und b rotiert einmal um a und
einmal um b und erzeugt so jedesmal einen Kegel. Berechne die Verhältnisse der Volumina und der Mantelflächen dieser Kegel...
• c) ...allgemein in Abhängigkeit von a und b.
Bei Rotation um a:
Va = 13 · πb2 · a;
√
Ma = π · b · a 2 + b 2 ;
Bei Rotation um b:
Vb = 13 · πa2 · b;
√
Mb = π · a · a 2 + b 2 ;
Verhältnisse:
Va
a
= ab ; M
= ab ;
Vb
Mb
22 9. Hausaufgabe
22.1 Buch Seite 90, Aufgabe 34b
Einm Zylinder von quadratischen Längsschnitt hat denselben Oberflächeninhalt wie eine Kugel mit Radius r. Berechne den Zylinderradius.
Ingo Blechschmidt, 10C
23 10. HAUSAUFGABE
24
2πz · 2z + 2 · 2πz
z2 + z
2
z√
+ z − r2
1
1 + 4r2
2
= 4πr2
= r2
= 0
= z
22.2 Buch Seite 90, Aufgabe 36
Einer Halbkugel ist ein Zylinder umbeschrieben und ein Kegel einbeschrieben. Wie verhalten sich die drei Volumina?
Halbkugel:
VH = 21 · 34 πr3 =
2πr 3
3
Zylinder:
VZ = πr2 · r = πr3
Kegel:
VK = 13 πr2 · r =
πr 3
3
Verhältnisse:
VZ
VH
VK
=
πr 3
2πr 3
3
πr 3
3
=
πr 3 ·3·3
2πr 3 ·πr 3
=
9
2πr 3
23 10. Hausaufgabe
23.1 Aufgabe 4oben des Materials Ge20031104
Ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel µ = 180◦ und dem Radius
R = 3cm wird zu einem Kegelmantel gebogen.
Berechne den Radius r, die Höhe h und das Volumen V des entstehenden
Kreiskegels.
M
πrm
mr
Rr
r
r
=
=
=
=
=
=
µ
360◦
µ
360◦
µ
360◦
µ
360◦
µ
360◦
· π · R2
· π · R2
· R2
· R2
·R
1, 5cm
Ingo Blechschmidt, 10C
24 11. HAUSAUFGABE
25
=
=
h
h
V
√
2
2
√m − r
6.75cm
= πr2 h
24 11. Hausaufgabe
24.1 Aufgabe 4untenNurOberfläche des Materials Ge20031104
Berechne die Oberfläche des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a.
O=
OZ − O k + O K − KH + O H =
2π (10a + 5a) (20a) + 2π (10a + 5a)2 −
2
π (5a) (12a)
q − 2π (5a) +
π (5a)
(5a)2 + (12a)2 + π (5a)2 −
π (5a)2 +
2π (5a)2 = 1055 · a2 · π (beinahe korrekt)
25 12. Hausaufgabe
25.1 Buch Seite 89, Aufgabe 26
Die Oberfläche eines Zylinders ist so groß wie die einer Kugel vom selben
Radius. Welcher Körper hat das größere Volumen?
OZ
2πrh + 2πr2
h
=
=
=
=⇒
• VZ = πr2 h = πr3 ;
• VK = 43 πr3 ;
=⇒ Die Kugel hat das größere Volumen
OK
4πr2
r
Ingo Blechschmidt, 10C
26 13. HAUSAUFGABE
26
26 13. Hausaufgabe
26.1 Sinus und Cosinus bestimmen
Siehe Schulhefteintrag.
27 14. Hausaufgabe
27.1 Buch Seite 147, Aufgabe 2
Der Punkt P liegt auf dem Einheitskreis. Bestimme die fehlende Koordinate.
√
a) P ( 21 ; 12 3); α = 60◦ ;
√
b) P ( √12 ; − 21 2); α = 315◦ ;
√
c) P (− 12 3; − 12 ; α = 210◦ ;
d) P (cos(90◦ ); 1); α = 90◦ ;
e) P (− √12 ; sin(135◦ )); α = 135◦ ;
√
f) P ( 21 3; − 12 ); α = 330◦ ;
g) P (cos(135◦ ); √12 ); α = 135◦ ;
h) P (0; −1); α = 270◦ ;
(FALSCH: Es gibt jeweils mehrere Möglichkeiten)
27.2 Buch Seite 147, Aufgabe 3
Berechne durch Zurückführung auf spitze Winkel:
√
3
√
• b) cos(150◦ ) = cos(30◦ ) = 21 3
• a) sin(120◦ ) = sin(60◦ ) =
1
2
Ingo Blechschmidt, 10C
28 15. HAUSAUFGABE
27
√
• d) sin(315◦ ) = − sin(45◦ ) = − 12 2
• e) cos(360◦ ) = cos(0◦ ) = 1
√
• g) sin(240◦ ) = − sin(60◦ ) = − 12 3
√
• h) cos(225◦ ) = − cos(45◦ ) = − 12 2
• j) sin(330◦ ) = − sin(30◦ ) = − 21
• k) cos(300◦ ) = cos(60◦ ) =
1
2
√
• m) sin(225◦ ) = − sin(45◦ ) = − 12 2
• o) cos(240◦ ) = − cos(60◦ ) = − 12
28 15. Hausaufgabe
28.1 Buch Seite 147, Aufgabe 4
Berechne durch Zurückführung auf spitze Winkel:
• a) sin(1110◦ ) = sin(30◦ ) =
1
2
√
3
√
• d) sin(36045◦ ) = sin(45◦ ) = 12 2
√
• e) cos(36045◦ ) = cos(45◦ ) = 12 2
• b) cos(1110◦ ) = cos(30◦ ) =
1
2
28.2 Buch Seite 147, Aufgabe 5
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung für ϕ ∈
• a) sin(ϕ) = −1 =⇒ = {270◦ }
√
• b) cos(ϕ) = 12 3 =⇒ = {±30◦ }
√
• d) sin(ϕ) = − 12 2 =⇒ = {270◦ ± 45◦ }
• e) cos(ϕ) = −1 =⇒
• f) n/a
= {180◦ }
im Gradmaß:
Ingo Blechschmidt, 10C
29 16. HAUSAUFGABE
28
29 16. Hausaufgabe
29.1 Buch Seite 123, Aufgabe 11
Eine Leiter bildet mit einer Hauswand einen Winkel von 20◦ , das untere
Ende der Leiter ist c = 20dm der Hauswant entfernt. Wie lang ist die Leiter
b?
cos α
b
=
=
c
b
sin α
b
=
=
c
b
c
cos α
=⇒ b ≈ 21dm
oder:
c
sin α
=⇒ b ≈ 58dm
29.2 Buch Seite 123, Aufgabe 12
Im Deutschen Museum hängt ein h = 60m langes Pendel. Jeden Tag wird
es w = 140cm waagrecht ausgelenkt. Berechne den Auslenkwinkel und
die maximale Hubhöhe des Schwerpunkts.
√
w2 + H 2 = h2 =⇒ H = h2 − w2 =⇒ hH = h − H ≈ 1, 6cm
=⇒
sin α = Hh
√
2
2
sin α = h h−w ≈ 0, 999728 =⇒ α ≈ 88, 6630 =⇒ γ = 90◦ − α ≈ 1, 34◦
29.3 Buch Seite 123, Aufgabe 16
Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Spitzenwinkel von γ = 30◦ und
einen Umfang von u = 30. Wie groß sind Basis und Flächeninhalt?
c = u − 2a
=⇒ a = 2 sin uγ +1 =⇒
c
[ (2) ]
sin γ2 = 2a
=⇒ c = 2a · sin γ2

a ≈ 12


c = u − 2a ≈ 6
=⇒ A = 12 ch ≈ 35
q

2
2
c
+ h2 = a2 =⇒ h = a2 − 2c ≈ 12 
2
Ingo Blechschmidt, 10C
30 17. HAUSAUFGABE
29
30 17. Hausaufgabe
30.1 Buch Seite 123, Aufgabe 13a
Zeige: In einem bei C rechtwinkligen Dreieck ABC gilt sin
α
2
=
q
c−b
.
2c
30.2 Buch Seite 123, Aufgabe 15
Eine Raute hat einen Winkel von α = 100◦ , die Diagonale, die diesen Winkel halbiert, hat eine Länge von d = 7. Wie groß sind Inkreisradius und
Flächeninhalt der Raute?


α = 100◦


α

d sin 2

α
2h
β = 90◦
=⇒
sin
=
⇐⇒
h
=
≈
2,
681
2
d
2

=⇒
γ = 180◦ − α2 + β = 40◦



sin γ = he ⇐⇒ e = sinh γ ≈ 4, 171
A = 4 · 12 d2 e ≈ 29, 198
30.3 Buch Seite 123, Aufgabe 17
In einem Kreis mit Radius r = 8 misst der zu einer Sehne gehörende Mittelpunktswinkel γ = 144◦ . Wie lang ist die Sehne p?
cos α =
p
2r
⇐⇒ p = 2r · cos 1802 −γ ≈ 15, 217
◦
31 18. Hausaufgabe
31.1 Buch Seite 122, Aufgabe 8b
√ √
2 sin α − 3 = 0 =⇒ sin α = 21 3
=⇒
= [0◦ ; 360◦ ]
= {60◦ ; 120◦ }
31.2 Buch Seite 125, Aufgabe 8g
2 cos2 α + 1 = 3 cos α =⇒ 2z 2 − 3z + 1 = 0 =⇒
= [0◦ ; 360◦ ]
z
=
1
;1
2
=⇒
α
= {0◦ ; 60◦ ; 300◦ ; 360◦ }
Ingo Blechschmidt, 10C
32 19. HAUSAUFGABE
30
32 19. Hausaufgabe
32.1 Buch Seite 147, Aufgabe 4
• g) sin 100π = sin 50 · 2π =
sin 0 = 0
• h) cos 100π = cos 50 · 2π =
cos 0 = 1
• i) tan 100π = tan 50 · 2π =
tan 0 = 0
1
• j) sin − 201
π
=
−
sin
50π
+
π
=
4
4
√
1
1
− sin 4 π = − 2 2
• k) cos − 201
π = cos 50π + 41 π =
4√
cos 14 π = 21 2
• l) tan − 201
π = − tan 50π + 41 π =
4
− tan 41 π = −1
32.2 Buch Seite 147, Aufgabe 6
√
1
3 =⇒
=
a) sin
ϕ
=
−
2
4 5 π; 3 π
3
b) cos ϕ = − 21 =⇒ = 32 π; 34 π
√
1
3 =⇒
=
c) tan
ϕ
=
−
3
5 11 π; 6 π
6
d) sin ϕ = 1 =⇒ = π2
e) cos ϕ = −1 =⇒
= {2π}
f) tan ϕ = 1 =⇒ = π4 ; 15
π
12
g) sin ϕ = − 12 =⇒ = 67 π; 11
π
6
h) cos ϕ =
1
2
√
2 =⇒
i) tan
2 ϕ5 =
π; 3 π
3
√
− 3
π
4
; 34 π
=⇒
√
2 =⇒
j) sin
5 (−ϕ)
=
7
π; 4 π
4
1
2
l) tan
5 (−ϕ)
=
11
π; 6 π
6
1
3
k) cos
5 (π7 −ϕ) =
π; 6 π
6
=
1
2
√
3 =⇒
√
3 =⇒
=
=
=
=
Ingo Blechschmidt, 10C
33 20. HAUSAUFGABE
31
33 20. Hausaufgabe
33.1 Sinusgraphen zeichnen
1
sin(x)
sin(2*x)
sin(x/2.)
0.5
0
−0.5
−1
−pi/2
0
pi/2
pi
3/2pi
2pi
5/2pi
Ingo Blechschmidt, 10C
34 21. HAUSAUFGABE
32
34 21. Hausaufgabe
34.1 Funktionstermsbestimmung
1.5
sin(x)
3/2.*sin(x/2.+pi)
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−pi/2
0
pi/2
y = − 23 sin x2 =
=
= 32 sin x+2π
2
= 23 cos x+π
2
35 22. Hausaufgabe
35.1 Buch Seite 201, Aufgabe 17
a) f : x 7→ sin 2x − 23 π
b) f : x 7→ sin 7x+π
12
c) f : x 7→ 2 sin 7x−5π
4
pi
3/2pi
2pi
5/2pi
Ingo Blechschmidt, 10C
36 23. HAUSAUFGABE
33
36 23. Hausaufgabe
36.1 Buch Seite 198, Aufgabe 8c
Zeichne die Graphen im Bereich −π ≤ x ≤ 2π.
2
1 − sin(x)
cos(x) − 2
−tan(x)
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−pi
−pi/2
0
pi/2
pi
3/2pi
2pi
Ingo Blechschmidt, 10C
36 23. HAUSAUFGABE
34
2
sin(x)**2
cos(x)**2
sin(x)**2+cos(x)**2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−pi
−pi/2
0
pi/2
pi
3/2pi
36.2 Buch Seite 199, Aufgabe 13
Zeichne die Kurven y = sin x, y = tan x und y = x im Bereich 0 ≤ x ≤ 1.
Lege eine Wertetabelle mit Schrittweite 0, 1 an. Aus der zeichnung erkennst du, dass die Näherungen sin x ≈ x, tan x ≈ x und sin x ≈ tan x
für kleine Werte von x ziemlich gut sind.
Berechne für die Näherungen jeweils den maximalen x-Wert, so dass der
Unterschied der y-Werte kleiner ist als 0, 01 (0, 001).
• sin x − x < 0, 01 =⇒
2pi
Ingo Blechschmidt, 10C
37 24. HAUSAUFGABE
35
1.6
x
sin(x)
tan(x)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
37 24. Hausaufgabe
37.1 Buch Seite 202, Aufgabe 23
Bestimme x ∈ [0; π[!
a) tan x = −0, 5 =⇒ x ≈ −0, 464 + kπ =⇒
b) 2 tan x = 4, 37 =⇒ x ≈ 1, 142 + kπ =⇒
≈ {2, 678}
≈ {1, 142}
37.2 Buch Seite 202, Aufgabe 25e
Für welches x gilt (graphisch lösen) tan x = 2 − x?
0.8
1
Ingo Blechschmidt, 10C
38 25. HAUSAUFGABE
36
tan(x)
2−x
4
2
0
−2
−4
−pi
−pi/2
0
pi/2
pi
3/2pi
2pi
38 25. Hausaufgabe
38.1 Material G20040316
1. In der folgenden Tabelle sind Punkte P (r; ϕ) durch ihre Polarkoordinaten gegeben. Berechne ihre kartesischen Koordinaten.
Aufg.
r
ϕ
x
y
a)
5
45√◦
5
2
2√
5
2
2
b)
2
120◦
−1
√
3
c)
4
◦
210√
−2 3
−2
d)
10
◦
330
√
5 3
−5
e)
0
90◦
0
0
f)
5
π
2
0
5
g)
2
2
2 cos 2
2 sin 2
2. Bestimme die Polarkoordinaten (r; ϕ) der durch ihre kartesischen
Koordinaten gegebenen Punkte P (x; y).
Aufg.
x
y
r
ϕ
a)
4
3
5
arctan 34
b)
−4
3
5
arctan − 34
c)
−3
−4
5
arctan 43
d)√
− 3
0√
3
π
e)
2
−5
√
29
arctan − 25
f)
−2√
− 5
3
arctan
1
2
√ 5
g)
0
−10
10
3
π
2
Ingo Blechschmidt, 10C
38 25. HAUSAUFGABE
37
3. Kennzeichne die Menge aller Punkte P (r; ϕ), deren Polarkoordinaten die folgende Bedingung erfüllen:
• r = 6 =⇒ P |OP = 6
• ϕ = 120◦ =⇒ P |6 P OQ = 32 π, Q (k ∈ + ; 0)
• r = 0 =⇒ P |OP = 0
• ϕ = 0◦ =⇒ {P |6 P OQ = 0, Q (k ∈ + ; 0)}
• 1 ≤ r ≤ 3 =⇒ P |1 ≤ OP ≤ 3
• 0◦ ≤ ϕ ≤ 60◦ =⇒ P |0 ≤ 6 P OQ ≤ π3 , Q (k ∈ + ; 0)
• r ≥ 1 und 120◦ < ϕ < 180◦ =⇒ P |OP ≥ 1und 23 π < 6 P OQ < π, Q (k ∈
+
4. Durch r = a · ϕ (a konstant, 0 ≤ ϕ < ∞) ist in Polarkoordinaten die
Gleichung einer sogenannten archimedischen Spirale gegeben.
• a) Zeige: Punkte auf derselben Halbgeraden haben den konstanten Abstand 2πa.
d = r 2 − r1
P1 (ϕ + 2k1 π; a · (ϕ + 2k1 π)) ;
= a · (ϕ + 2k2 π − ϕ − 2k1 π)
=⇒
P2 (ϕ + 2k2 π; a · (ϕ + 2k2 π)) ;
= 2aπ (k2 − k1 ) ;
k2 = k1 + 1;
d = 2aπ
• b) Skizziere mit Hilfe mehrerer Punkte die Spirale für a = 2.







; 0)
=⇒
Ingo Blechschmidt, 10C
39 26. HAUSAUFGABE
38
6pi
2*t
4pi
2pi
0
−2pi
−4pi
−6pi
−6pi
−4pi
−2pi
0
2pi
39 26. Hausaufgabe
39.1 Höhen im Dreieck durch verschiedene Gleichungen
ausdrücken
Siehe Schulhefteintrag.
40 27. Hausaufgabe
40.1 Buch Seite 149, Aufgabe 1
Berechne die fehlenden Winkel und Seitenlängen im Dreieck 4ABC:
• b)
◦
c = 9; a = 7; γ = 110
; =⇒
a
α = arcsin c sin γ ≈ 5◦ · 101 ;
β = π − α − γ ≈ 2◦ · 101 ;
β
b = c · sin
≈ 3;
sin γ
4pi
6pi
Ingo Blechschmidt, 10C
41 28. HAUSAUFGABE
39
• c)
a = 5; b = 8; α = 30◦; =⇒
β = arcsin ab · sin α ≈ 5◦ · 101 ;
γ = π − (α + β) ≈ 1◦ · 102 ;
c = sinb β · sin γ ≈ 1 · 101 ;
41 28. Hausaufgabe
41.1 Buch Seite 162, Aufgabe 1c
Berechne die Druckkräfte in den beiden Stangen in Abhängigkeit von G,
α und β.
• γ1 = π −
π
2
−
• γ2 = π −
π
2
−α=
π
2
+β =β
π
2
• η = π − (γ1 + γ2 ) =
−α
π
2
− (β − α)
• f=
sin γ2
sin η
·G =
cos α
cos(β−α)
·G
• g=
sin γ1
sin η
·G=
sin β
cos(β−α)
·G
41.2 Buch Seite 150, Aufgabe 2a
• c = 10; b = 6; α = 40◦ ;
• a2 = b2 + c2 − 2bc cos α =⇒ a ≈ 6, 64
•
a
sin α
=
b
sin β
=⇒ β ≈ 35, 5
•
a
sin α
=
c
sin γ
=⇒ γ ≈ 104, 5
42 29. Hausaufgabe
42.1 Buch Seite 161, Aufgabe 1
• κ = α − ϕ;
Ingo Blechschmidt, 10C
42 29. HAUSAUFGABE
40
• η = π − (κ + δ1) ;
• δ2 = π −
π
2
−β =
π
2
− β;
• δ1 = δ − δ 2 ;
• δ=π−
•
c
sin η
=
π
2
−α =
s
sin δ1
• cos δ =
h
c
π
2
− α;
=⇒ c =
sin η
sin δ1
· s;
=⇒ h = c · cos δ;
h = c · cos δ =
sin η
= sin
· s · cos π2 − α =
δ1
1 )]
= sin[π−(κ+δ
· s · sin α =
sin(δ−δ2 )
=⇒
=
=
=
=
sin(α−ϕ+δ−δ2 )
sin( π2 −α− π2 +β )
sin(
· s · sin α =
α−ϕ+ π2 −α− π2 +β
)
· s · sin α =
=
sin[−(α−β)]
sin[−(ϕ−β)]
· s · sin α
− sin(α−β)
sin(ϕ−β)
· s · sin α;
sin(α−β)
42.2 Buch Seite 161, Aufgabe 3
• γ = π − (α2 + β2 ) ;
• κ = π − (α2 + β1 ) ;
•
s
sin κ
=
AQ
sin β1
=⇒ AQ =
•
s
sin γ
=
AM
sin β2
=⇒ AM =
sin β1
sin κ
· s;
sin β2
sin γ
· s;
sin α1
sin λ
· s;
• M Q = AQ − AM ;
• λ = π − (α1 + β2) ;
•
s
sin λ
=
BP
sin α1
=⇒ BP =
•
s
sin γ
=
BM
sin α2
=⇒ BM =
sin α2
sin γ
· s;
• M P = BP − BM ;
2
2
• x2 = M P + M Q − 2M P M Q cos γ;
Ingo Blechschmidt, 10C
43 30. HAUSAUFGABE
41
43 30. Hausaufgabe
43.1 Berechnung und Konstruktion
Siehe Schulheft.
44 31. Hausaufgabe
44.1 Buch Seite 174, Aufgabe 1a
Überprüfe die Additionstheoreme an dem Beispiel
sin (60◦ + 30◦ ) = sin 60◦ · cos 30◦ + sin 30◦ · cos 60◦ =
3
+ 14 = 1 = sin 90◦
4
1
2
√ 1√
3· 2 3+
1
2
·
1
2
=
44.2 Buch Seite 174, Aufgabe 2
Berechne die exakten Werte von
• a) sin 75◦ = sin 45◦ · cos 30◦ + sin 30◦ · cos 45◦ =
√
√
√ √
1
1
1
6
+
2
=
6
+
2
4
4
4
• c) cos 75◦ = cos 45◦ · cos 30◦ − sin 45◦ · sin 30◦ =
√
√ 1
6− 2
4
1
2
√ 1√
√
2 · 2 3 + 12 · 12 2 =
1
2
√ 1√
√
2 · 2 3 − 12 2 · 12 =
45 32. Hausaufgabe
45.1 Buch Seite 174, Aufgabe 1i
Überprüfe die Additionstheoreme an dem Beispiel tan (60◦ − 30◦ ).
√
√
√
2
√
3− 31 3
3
tan 60◦ +tan −30◦
1
3
√
√
=
=
=
tan (60◦ + −30◦ ) = 1−tan
3 = tan 30◦
1
◦
◦
60 tan −30
2
3
1+ 3
3
3
Ingo Blechschmidt, 10C
46 33. HAUSAUFGABE
42
45.2 Buch Seite 174, Aufgabe 4
Berechne sin 2α, cos 2α und tan 2α, wenn α spitz ist und
a) sin α =
5
13
5
5
=⇒ sin 2α = 2 13
cos arcsin 13
b) cos α = 0, 6 =
3
5
=⇒ cos 2α =
c) tan α = 0, 5 =
1
2
=⇒ tan 2α =
18
25
−1
1
1− 14
=
4
3
46 33. Hausaufgabe
46.1 Buch Seite 177, Aufgabe 1
Vereinfache:
a)
sin 2α
sin α
=
2 sin α cos α
sin α
= 2 cos α
b)
sin 2α
cos α
=
2 sin α cos α
cos α
= 2 sin α
46.2 Additionstheoreme
Bestimme die Lösungen in der Grundmenge
= [0; 2π[:
a) sin 2x = sin x =⇒ 2 sin x cos x = sin x =⇒ cos x =
47 34. Hausaufgabe
47.1 Kartesiche Form der Kreisgleichung
√
x2 + y 2 = r2 ; =⇒ y = ±q r2 − x2;
2
2
x2
+ yb2 = 1; =⇒ y = ± b2 − ab x ;
a2
1
2
=⇒
=
; 5π
3 3
π
Ingo Blechschmidt, 10C
47 34. HAUSAUFGABE
43
47.2 Aufgabenblatt
47.2.1
Aufgabe 3
Die Ellipsen mit den angegebenen Halbachsen sind Schnittkurven von
Ebenen mit Drehzylinderflächen.
Gib jeweils Radius des Zylinders und Neigungswinkel der Schnittebene
an!
• b) b = 2; a = 3;
=⇒ r = b = 2;
=⇒ sin α = ar =
b
a
=
2
3
=⇒ α ≈ 0, 73π oder α ≈ 0, 27π
• d) a = b = 2, 5;
=⇒ r = b = 2, 5;
=⇒ sin α = ar = aa = 1 =⇒ α =
√
√
2
• f) a = b 2; =⇒
b
=
a
;
2
√
2
=⇒ r = b = a 2 ; √
=⇒ sin α =
47.2.2
r
a
=
a 22
√
b 2
=
a
2b
=
√
b 2
2b
π
2
=
√
2
2
=⇒ α =
π
4
oder α = 34 π
Aufgabe 4
Stimmt das? Schneidet man aus Pappe eine Ellipse aus und betrachtet man
im Sonnenlicht einen Schattenwurf, so kann dieser Schatten kreisförmig
sein.
Ja.
47.2.3
Aufgabe 5
Zeige, dass die Mittelpunktsgleichung eines Kreises als Sonderfall aus der
Mittelpunktsgleichung der Ellipse folgt.
2
x2
+ yb2 = 1; =⇒
a2
2 2
2 2
2 2
b x + a y − a b = 0; a = b = r; =⇒
r2 x2 + r2 y 2 − r4 = 0;
x2 + y 2 = r 2 ;
Ingo Blechschmidt, 10C
48 35. HAUSAUFGABE
47.2.4
44
Aufgabe 6
Wie kann man aus der Ellipsengleichung
schaften der Ellipse ablesen?
47.2.5
x2
a2
x2
a2
+
y2
b2
= 1 Symmetrieeigen-
Aufgabe 7
2
+ yb2 = 1;
2
=⇒ x2 + ab y = a2;
k = ab ;
2
=⇒ x2 + ky = a2;
48 35. Hausaufgabe
48.1 Arbeitsblatt, Aufgabe 10d
Auf einer Ellipse liegen die angegebenen Punkte. Bestimme – soweit möglich – die Gleichung der Ellipse.
P (5; 0) ; Q (3; 4) ;
2
2
(0) : xa2 + yb2 = 1;
2
(1) : a52 = 1; =⇒ 25 = a2; =⇒ a = 5;
2
2
(2) : a32 + 4b2 = 1;
(1) in (2) : 25 = b2 ; =⇒ b = 5;
2
2
(1) und (2) in (0) : x52 + y52 = 1;
49 36. Hausaufgabe
49.1 Arbeitsblatt
49.1.1
Aufgabe 9a
16x2 + 9y 2 = 144; =⇒
x2
32
+
y2
42
= 1;
Ingo Blechschmidt, 10C
50 37. HAUSAUFGABE
49.1.2
Aufgabe 10h
P (4; 1) ; Q (−1; 3) ;
2
x2
+ yb2 = 1; =⇒ a162 +
a2
2
x2
+ yb2 = 1; =⇒ a162 +
a2
15y 2
143
45
1
8 2
= a12 + b92 ; =⇒ b2 = 15
a;
b2
15
143
2
= 1; =⇒ 8 = a ;
8a2
2
)
=⇒ b2 =
2
143
; =⇒ 8x
+
15
143
= 1; =⇒ 8x2 + 15y = 143;
50 37. Hausaufgabe
50.1 Seite 230, Aufgabe 1
Berechne die fehlenden Größen:
• e=
√
a2 − b2 = ε · a;
• ε = ae ;
√
• b = a2 − e 2 ;
• a = εe ;
a)
b)
c)
d)
a
4
4
7
5
b
2√
2 √3
7
3
2
3
e
√
2 3
2
7
2
4
ε√
3
2
1
2
1
2
4
5
51 38. Hausaufgabe
51.1 Buch Seite 230, Aufgabe 10
Haupt- und Nebenachse liegen in den Koordinatenachsen.
Gegeben: F1 (−4; 0) ; P (3; −2, 5) ;
Konstruiere die Tangente in P und die vier Scheitel der Ellipse.
Ingo Blechschmidt, 10C
52 MATERIAL L161
46
52 Material L161
52.1 Aufgabe 6
Die nebenstehende Figur zeigt eine Kirchenfensterkonstruktion. Die Punkte A, B und H sind die Mittelpunkte der entsprechenden Kreisbögen. M
ist der Mittelpunkt des Kreises. Es gilt AH = HB = c.
1. Stellen Sie den Flächeninhalt A1 (c) des ganzen Fesnters ABC in Abhängigkeit von c dar.
A1 (c) := 2 · AHB (c)
AHB (c) := AB (c) − AD (c)
AB (c) :=
AD (c) :=
60◦
· π · (2c)2
360◦
1
· c · h (c)
2
√
3 =⇒
√ 4π
A1 (c) := 3 − 3 c2
h (c) := c ·
2. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt A2 des kleinen Spitzenbogenausschnitts AHF ein Viertel des Flächeninhalts des ganzen Fensters ABC
beträgt.
Ingo Blechschmidt, 10C
53 SINUSFUNKTIONSFINDUNGS-MINI-HOWTO
A2 (c)
A1 (c)
A2 (c)
√ 2 · 360◦ πc2 − 21 2c 2c 3
√ 2c2 · 16 π − 83
60◦
√
1
π − √43
3
4
π− 3
3
1
=
=
=
=
=
=
=
47
1
4
A1 (c)
4 √
( 4π3 − 3)c2
4√
( 4π3 − 3)c2
4
√
4π
−
3
3
4 √
4π
− 3
3
1
3. Begründen Sie, dass für den Radius M E des kreisförmigen Fensters
mit M als Mittelpunkt gilt: M E = 12 c.
• AE = AC = 2c
• AD = c
• =⇒ M E =
AE−AD
2
=
c
2
4. Wenn man vom ganzen Fenster ABC die beiden Spitzbogenausschnitte und das kreisförmige Fenster wegnimmt, bleibt eine Restfläche A3
übrig. Berechnen Sie den prozentualen Antei dieser Rechtfläche A3
an der Gesamtfläche des Fensters ABC.
√
√
2
2
1
4π
A −π·( 2c )
A1 (c)−2· 41 ·A1 (c)−AK (c)
( 4π3 − 3)c2 −π c4
− 3− π4
A3 (c)
2 1
3
√
√
=
=
=
=
=
4π
A1 (c)
A1 (c)
A1 (c)
− 3
( 4π3 − 3)c2
3
√
13π−12√3
16π−12 3
53 Sinusfunktionsfindungs-Mini-HowTO
Vorrausgesetzt wird eine Sinus-Kurve, deren Amplitude 1 beträgt und keine vertikale Verschiebung aufweist.
Dann ist der Funktionsterm definiert durch
f : x 7→ sin π·(x−a)
b−a
wobei a die erste x-Koordinate angibt, wo der Graph die x-Achse schneidet und nach oben (Vorzeichenwechsel ins Positive) zeigt, und b > a die
erste x-Koordinate angibt, wo der Graph die x-Achse schneidet und nach
unten (Vorzeichenwechsel ins Negative) zeigt.
Ist der Graph vertikal um v verschoben, so muss statt der x-Achse immer
die Gerade g : x 7→ v verwendet werden, d.h. die x-Achse muss praktisch
auch verschoben werden.