Lösung der Aufgabe 1.3.7 Lösung

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung der Aufgabe 1.3.7
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Lösung der Aufgabe 1.3.7
Überarbeitet von: JüM 11.05.2006
Aufgabe wie in der Klausur
Ein Zylindermantel mit dem Radius a und der Länge 2` trägt die Flächenladungsdichte %S .
Die Dielektrizitätszahl ist im ganzen Raum ε = 1. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke für
Aufpunkte auf der Achse des Zylinders.
Zusatzfragen für die Übung
a) Wie lautet die allgemeine Darstellung des elektrischen Feldes in integraler Schreibweise?
b) Welches Koordinatensystem ist günstig für die Beschreibung des Problems? Wie lautet die
Parametrisierung für den Zylindermantel? Geben Sie eine Darstellung für den Mantel, den
Abstand zwischen Aufpunkt und Quellpunkt und das Volumenelement im gewählten Koordinatensystem an.
c) Wie lautet die Raumladungsdichte %V mit obiger Parametrisierung?
d) Wie vereinfacht sich das Integral mit der vorliegenden Ladungsverteilung für Aufpunkte
auf der Zylinderachse?
e) Wie lautet das elektrische Feld auf der Zylinderachse?
Lösung
a)
~ =
E
1
4πε0
Z Z∞Z
~r − r~0 3 0
ρV {r~0 }
dr
|~r − r~0 |3
−∞
b) Die Wahl des Koordinatensystems erfolgt so, dass die Zylinderachse auf der z- Achse liegt.
Der Zylinder erstreckt sich im Bereich −` ≤ z ≤ ` und hat den Radius a. Mit der Heaviside
Sprungfunktion
½
0 für x < 0
Θ{x} =
1 für x ≥ 0
wird der Bereich in z- Richtung eingeschränkt. Die Beschränkung auf den Radius a schreibt
man leicht in Zylinderkoordinaten
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δ{ρ0 − a}
so dass der Mantel durch
(Θ{z 0 + `} − Θ{z 0 − `})δ{ρ0 − a}
beschrieben wird. Damit zeigt sich, dass Zylinderkoordinaten wohl die beste Wahl darstellen. Das Volumenelement ist in Zylinderkoordinaten
d3 r0 = ρ0 dΦ0 dρ0 dz 0
.
Der Aufpunkt- und Quellvektor sind in Zylinderkoordinaten ~r = ρ~eρ + z~ez und r~0 =
ρ0~eρ0 + z 0~ez0 . Diese Darstellung beruht auf zwei verschiedenen Basissystemen (~eρ , ~eΦ , ~ez )
und (~eρ0 , ~eΦ0 , ~ez0 ). Für den vektoriellen Abstand zwischen Aufpunkt und Quellpunkt muss
zunächst nur noch ein Basissystem herangezogen werden. Es ist sinnvoll, dafür das Basissystem des Aufpunktes zu wählen, da sich dieses während der Integration nicht ändert. Mit
dem Anhang über spezielle Koordinatensysteme erfolgt die Umrechnung von r~0 über die
Matrizen

cos{Φ0 } − sin{Φ0 }

 sin{Φ0 } cos{Φ0 }
0
0

0

0
1

cos{Φ} sin{Φ} 0


 − sin{Φ} cos{Φ} 0 
0
0
1

,
so dass folgt
r~0 = ρ0 (cos{Φ} cos{Φ0 } + sin{Φ} sin{Φ0 })~eρ + ρ0 (− sin{Φ} cos{Φ0 } + cos{Φ} sin{Φ0 })~eΦ + z 0~ez
= ρ0 cos{Φ − Φ0 }~eρ − ρ0 sin{Φ − Φ0 }~eΦ + z 0~ez
~r − r~0 = (ρ − ρ0 cos{Φ − Φ0 })~eρ + ρ0 sin{Φ − Φ0 }~eΦ + (z − z 0 )~ez
und damit ergibt sich der Abstand zu
|~r − r~0 |2 = ρ2 + ρ02 − 2ρρ0 cos{Φ − Φ0 } + (z − z 0 )2
.
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c) Mit der obigen Parametrisierung schreibt man die Raumladung
%V {r~0 } = ρS (Θ{z 0 + `} − Θ{z 0 − `})δ{ρ0 − a} .
d) Das elektrische Feld folgt mit obigen Darstellungen aus
~ = 1
E
4πε0
Z Z∞Z
%S (Θ{z 0 + `} − Θ{z 0 − `})δ{ρ0 − a}
−∞
(ρ − ρ0 cos{Φ − Φ0 })~eρ + ρ0 sin{Φ − Φ0 }~eΦ + (z − z 0 )~ez
(ρ2
+
ρ02
−
2ρρ0
cos{Φ −
Φ0 }
+ (z −
3
z 0 )2 ) 2
d3 r0
e) Auf der Achse ist ρ = 0 und damit ergibt sich
~ = %S
E
4πε0
Z` Z2π Z∞
δ{ρ0 − a}
−` 0
−ρ0 cos{Φ − Φ0 }~eρ + ρ0 sin{Φ − Φ0 }~eΦ + (z − z 0 )~ez
(ρ02
0
+ (z −
3
z 0 )2 ) 2
Die Integration über ρ0 und danach über Φ0 ergibt
~ = aρS
E
4πε0
Z`
−`
(z − z 0 )
(a2
+ (z −
3
z 0 )2 ) 2
~ez dz 0
.
Nach der letzten Integration folgt
"
#
aρ
1
1
S
~ =
p
~ez
E
−p
4πε0
a2 + (z − `)2
a2 + (z + `)2
.
ρ0 dΦ0 dρ0 dz 0