Aufgaben mit Sinus- und Cosinussatz

Trigonometrie – Sinus- und Cosinussatz
Berechne die Seitenlängen a und b
sowie die Winkel ,  und  in
diesen Dreiecken!
In einem Drachenviereck
sind die beiden symmetrischen
Winkel je 100° groß. Die Seiten
sind 12cm und 19cm lang.
Berechne die Länge der beiden Diagonalen!
Berechne die rot gekennzeichneten Maße
dieses Vierecks.
Hinweis: Wenn nur dasteht „Viereck“, bedeutet das, dass es
ein allgemeines Viereck ohne irgendwelche Besonderheiten ist
– selbst wenn die Skizze zufällig so aussehen sollte wie ein
Trapez, ein Drachen oder ein Parallelogramm.
Lösungen
Dreieck 1:
Sinussatz:
sin(71)
sin(32)

17m
a

a
sin(32)  17m
sin(71)
= 9,53m
Innenwinkelsatz:  = 180° - 71° - 32° = 77°
Sinussatz:
sin(38) sin()

7m
8m
 sin(38)  8m 

7m


1  sin 1 
Dreieck 2:

= 44,7°
Innenwinkelsatz: fehlender
Innenwinkelsatz: fehlender
Winkel: 180° - 38° - 44,7° = 97,3°
Winkel: 180° - 38° - 135,3° = 6,7°
b= 7²  8²  2  7  8  cos(97,3)
b = 11,3cm
Dreieck 3:
2 = 180° - 1 = 135,3°
b= 7²  8²  2  7  8  cos(6,7)
b = 1,33cm
(5m)² = (7m)² + (11m)² - 27m11mcos()

 7²  11²  5² 

2  7  11 

  cos 1 
= 19,7°
Symmetrieachse s: über Cosinussatz
s = (12cm)²  (19cm)²  2  12m  19cm  cos(100) = 24,17cm
Winkelberechnung
(gänge auch mit dem gegenüberliegenden Winkel)
sin(100) sin( )

 19cm  sin(100) 

 = 50,7°
 2  sin1 
24,17cm
24,17cm
19cm



2
  = 101,4°
andere Diagonale d: über Cosinussatz
d = (12cm)²  (12cm)²  2  12m  12cm  cos(101,4) = 18,6cm
erste Erkenntnis: im oberen Teildreieck
sind genügend Maße gegeben, um alles
Andere zu berechnen (Kongruenzsatz sss)
Cosinussatz im Dreieck ACD:
27² = 35²  22²  2  35  22  cos( )
1

 35²  22²  27² 

2  35  22


1  cos 1 
analog:
= 50,5°
 22²  27²  35² 

2  22  27


  cos 1 
= 90,6°
  = 360° - 115° - 105° - 90,5° = 49,4°
Jetzt kann im unteren Dreieck gerechnet werden, da laut Kongruenzsatz wsw (*)
genügend Maße vorhanden sind, um dieses Dreieck eindeutig festzulegen.
(*)
Winkel 2 und 2 sind leicht folgerbar.
2 = 115° - 1 = 64,5°
Innenwinkelsatz: 2 = 180° - 105° - 64,5° = 10,5°
Sinussatz:
Sinussatz:
sin(105) sin(10,5)

35cm
a
sin(105) sin(64,5)

35cm
b


35cm  sin(10,5)
sin(105)
35cm  sin(64,5)
b
sin(105)
a
= 6,6cm
= 32,7cm