Extremwertprobleme

Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 9: Prisma mit maximalem Volumen
Werte h > 30 sind natürlich sinnlos!
V( x)
h
( 100
2. x) . ( 60
2. x) . x
0 .. 50
4
4 10
4
3 10
4
2 10
V( h ) 1 104
0
4
1 10
4
2 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
h
2. h) . ( 60
Volumenfunktion:
( 100
ausmultipliziert
6000. h
1. Ableitung = 0
6000
Lösungen
2. h) . h
2
3
320. h
640. h
80
10 .
3
3
80
10 .
3
3
4. h
2
12. h
0
19
=
19
41.196
12.137
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 15: Kegel mit gegebenem Volumen, Oberfläche zu minimieren
Gegeben:
Gesucht:
V
r und h so, dass A → min.
s = r 2 + h2 ist die Mantellänge des Kegels.
Die abgewickelte Mantelfläche ist ein Kreissektor mit dem Radius s und der Bogen2⋅ π ⋅r
länge 2·π·r. Ihre Fläche beträgt s 2 ⋅ π ⋅
= s⋅r ⋅ π .
2⋅π⋅s
Die Oberfläche A setzt sich zusammen aus Grundfläche + Mantelfläche,
A = r2 ⋅ π + s ⋅ r ⋅ π
= r 2 ⋅ π + r ⋅ π ⋅ r 2 + h2
A hängt von 2 Grössen ab, r und h. Wir brauchen eine weitere Bedingung, damit wir
nur eine Variable haben. Mit dem gegebenen Volumen können wir h durch r aus1
3⋅V
drücken, V = ⋅ r 2 ⋅ π ⋅ h ⇒ h =
.
3
π ⋅ r2
 3⋅V
A(r ) = r 2 ⋅ π + r ⋅ π ⋅ r 2 + 

 π ⋅ r2 
= r2 ⋅ π + r ⋅ π ⋅ r2 +
2
9 ⋅ V2
π2 ⋅ r 4

9 ⋅ V2 
= π ⋅  r 2 + r 4 + 2 2 
π ⋅r 

Die Graphik zeigt, dass die Funktion etwas unterhalb von 0.7 ein Minimum hat (V ist
hier = 1 gesetzt worden):
6.16
6.15
6.14
6.13
A( r )
6.12
6.11
6.1
6.09
0.64
0.66
0.68
0.7
0.72
0.74
0.76
r
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Ableitung nach r (mit Potenz- und Kettenregel):

18 ⋅ V 2

4 ⋅ r3 − 2 3
π ⋅r
A' = π ⋅  2 ⋅ r +
9 ⋅ V2

2 ⋅ r4 + 2 2

π ⋅r


 =0



Wenn der Ausdruck = 0 ist, muss die grosse Klammer = 0 sein. Im rechten Bruch
kürzen wir noch einen Faktor 2 heraus. Damit ergibt sich für r eine Wurzelgleichung,
9 ⋅ V2
π2 ⋅ r3
2⋅r = −
9 ⋅ V2
r4 + 2 2
π ⋅r
Wurzelgleichungen löst man bekanntlich, indem man die Wurzel auf einer Seite des
Gleichheitszeichens isoliert und dann quadriert.
2 ⋅ r3 −
r4 +
9 ⋅ V2
4.5 ⋅ V 2
=
− r2
π2 ⋅ r2
π2 ⋅ r 4
r4 +
9 ⋅ V 2  4.5 ⋅ V 2 
9 ⋅ V2
=
−
+ r4


π2 ⋅ r2  π2 ⋅ r4 
π2 ⋅ r2
2
2
18 ⋅ V 2  4.5 ⋅ V 2  1
=
 ⋅
π2 ⋅ r2  π2  r8
2
 4.5 ⋅ V 2 


 π2 
9 ⋅ V2
6
=
r =
18 ⋅ V 2
8 ⋅ π2
π2
r=6
9 ⋅ V2
3⋅V
=3
= 0.6963 ⋅ 3 V
8 ⋅ π2
8 ⋅π
Den Ausdruck für h erhalten wir durch Einsetzen von r und Anwendung der Rechenregeln für Potenzen zu
h=
3 ⋅ V 3 24 ⋅ V
=
= 1969
.
⋅3 V
2
π
π ⋅r
Das Verhältnis der beiden Grössen ist
h
= 8 = 2 ⋅ 2 = 2.828 .
r
Der Öffnungswinkel des Kegels beträgt
 1
r
2 ⋅ arctan  = 2 ⋅ arctan
 = 2 ⋅ arctan 0.125 = 38°56'32.7" .
 h
 8
(
)
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 20
n

P(n) = M(n) ⋅  2π ⋅ 

60 
=
(n − 3500)2  ⋅ n
π 
⋅  230 −
30 
50000 
π
⋅ 230 − 0.00002 ⋅ n2 + 0.14 ⋅ n − 245 ⋅ n
30
π
=
⋅ −0.00002 ⋅ n3 + 0.14 ⋅ n2 − 15 ⋅ n
30
π
P' (n) =
⋅ −0.00006 ⋅ n2 + 0.28 ⋅ n − 15 = 0
30
⇓
(
=
)
(
)
(
n=
)
−0.28 ± 0.0748  54.2
=
−0.00012
4612.5
Mit n = 4612.5/min erhalten wir P = 99138.3 W = 134.8 PS.
250
200
150
M( n )
P( n )
100
50
0
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
n
Aufgabe 21
P(u) = w ⋅ (v − u) ⋅ u
(
= w ⋅ v ⋅ u − u2
)
P' (u) = w ⋅ (v − 2 ⋅ u) = 0
⇓
v
2
P" (u) = −2 ⋅ w ⋅ u < 0
u=
Für eine maximale Energieübertragung muss die Geschwindigkeit der Turbinenschaufeln gleich der halben Strahlgeschwindigkeit sein.
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 22
Wir wollen N gleichartige Akkus so verschalten, dass das System den maximalen
Strom liefert. Die Schaltung muss also aus np Elementen von je ns in Serie geschalteten Zellen bestehen, damit alle dieselbe Spannung haben, und es muss N = np · ns
gelten. Bestimme np und ns.
Gegeben:
v
r
Ra
Spannung einer Zelle
innerer Widerstand einer Zelle
äusserer Widerstand der Leitung
Damit wird
V = ns·v
Ri =
Spannung der Schaltung
n2s
ns ⋅ r
⋅r
=
np
N
totaler innerer Widerstand
Nach dem Ohm’schen Gesetz ist nun
ns ⋅ v
U
I(ns ) = =
→ max
R R + r ⋅ n2
a
s
N
Diese Funktion können wir mit der Quotientenregel ableiten und ns bestimmen. In
diesem Fall wird aber die Rechnung stark vereinfacht, wenn wir anstelle des Maximums von I das Minimum von 1/I ermitteln,
r
R a + ⋅ n2s

1
1 R
r
N
=
= ⋅  a + ⋅ ns  → min
I
ns ⋅ v
v  ns N

⇓
Ra
⋅N
r
Daraus folgt durch Einsetzen Ri = Ra. Für den Strom erhalten wir
ns =
Imax =
v
N
⋅
2 r ⋅ Ra
In einem praktischen Beispiel muss die Lösung gegebenenfalls so angepasst werden, dass np und ns beide ganzzahlig werden.
Mit N = 48, v = 1.8 V, Ra = 0.8 Ω und r = 0.15 Ω erhalten wir ns = 16, np = 3, V = 28.8
V und Imax = 18 A.
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 23
U − 2 ⋅ π ⋅r
4
1
F = π ⋅ r2 + a2 = π ⋅ r2 +
⋅ U2 − 4 ⋅ π ⋅ U ⋅ r + 4 ⋅ π 2 ⋅ r 2
16
Umfang:
U = 2 ⋅ π ⋅r + 4 ⋅ a ⇒ a =
(
Fläche:
)

π2  2 π
U2
= π +
 ⋅r − ⋅U⋅r +
4
4
16

Ableitung:

π2 
π
F' = 2 ⋅  π +  ⋅ r − ⋅ U = 0
4
4

⇓
π
π
⋅U
⋅U
1 U
4
4
r=
=
= ⋅
= 7.001
2
π
2 4+π

π 
⋅
4
+
π
(
)
2⋅ π +  2
4

a=
π 

1 U
4
U ⋅ 1 −
 U⋅
⋅


+
4
π
2 4+π =
4 + π = U = 14.002
=
4
4
4
4+π
U− 2⋅π⋅
= 2⋅r
π2
>0
2
Es handelt sich also um ein Minimum. Wo aber gibt es ein Maximum?
F" = 2 ⋅ π +
800
700
600
F( r )
500
400
300
0
2
4
6
8
10
12
14
16
r
Wir haben es hier mit einem derjenigen Fälle zu tun, wo ein gesuchtes Extremum
U
am Rand des möglichen Wertebereiches liegt, hier bei r =
= 15.915 , wo der
2⋅π
Kreis maximale Grösse hat und das Quadrat verschwindet. Solche Extrema ohne
horizontalen Kurvenverlauf werden mit der Differentialrechnung natürlich nicht gefunden!
Es ist bekannt, dass der Kreis bei gegebenem Umfang die Figur mit maximaler Fläche ist.
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 24
Nachfragefunktion
Es sind zwei Punkte einer linearen Funktion gegeben, also machen wir den Ansatz
Nachfrage = m · Stückpreis + b und berechnen m und b,
11392 − 9226
m=
= −570
14.40 − 18.20
b = 9226 − (−570) ⋅ 18.20 = 19600
Wir erhalten N(x) = 19600 – 570 · x, wo x für den Stückpreis steht.
13000
12500
12000
Nachfrage
11500
11000
10500
y = -570x + 19600
10000
9500
9000
8500
8000
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Stückpreis
Umsatzfunktion (bei garantiertem Absatz)
Umsatz = Nachfrage · Stückpreis
U(x) = (19600 – 570 · x) · x
= 19600 · x – 570 · x²
Der Umsatz wird hier also zu einer quadratischen Funktion des Stückpreises.
170000
168000
166000
Umsatz
164000
162000
160000
158000
156000
154000
152000
150000
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Stückpreis
Umsatzmaximum
Das Maximum einer quadratischen Funktion ax² + bx + c liegt in der Mitte zwischen
−b
−19600
ihren Nullstellen, also (unter Weglassung des ±-Terms) bei
=
= 17.19 .
2a 2 ⋅ (−570)
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 25
Die Lichtintensität ist gemäss der Figur proportional zu cos(ϕ). x bezeichnet die
schräge Entfernung zwischen Lampe und Buch. Nun gilt:
r
= sin(ϕ)
x
cos(ϕ)
cos(ϕ) ⋅ sin2 (ϕ ) L
=
⋅
= 2 ⋅ cos(ϕ) ⋅ sin2 (ϕ )
B =L⋅
L
x2
r2
r
L
B' (ϕ) = 2 ⋅ − sin(ϕ) ⋅ sin2 (ϕ ) + cos(ϕ) ⋅ 2 ⋅ sin(ϕ) ⋅ cos(ϕ )
r
L
= 2 ⋅ sin(ϕ) ⋅ − sin2 (ϕ ) + 2 ⋅ cos 2 (ϕ) = 0
r
Damit dieser Ausdruck = 0 wird, muss die Klammer = 0 sein, denn ϕ kann nicht = 0
sein. Daraus folgt
tan²(ϕ) = 2
⇒
ϕ = 54°44’8.2”
Der Winkel hängt also gar nicht von r ab, er ist immer gleich! Für die Höhe h erhalten
wir damit
r
tan(ϕ) = = 2
h
r
h(r ) =
= 0.707 ⋅ r
2
(
)
(
)
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 26
Die Beleuchtungsstärke an einem bestimmten Punkt ist die Summe der Stärken der
einzelnen Lichtquellen an diesem Punkt.
L
L2
B(x) = 21 +
x
(10 − x)2
B' (x) =
−2 ⋅ L 1 −2 ⋅ L 2 ⋅ (−1)
+
=0
x3
(10 − x)3
⇓
2 ⋅ L 2 ⋅ x 3 = 2 ⋅ L1 ⋅ (10 − x)
3
3
(
3
L 2 ⋅ x = 3 L1 ⋅ (10 − x)
)
L1 + 3 L 2 ⋅ x = 10 ⋅ 3 L 1
x=
10 ⋅ 3 L1
3
L1 + 3 L 2
=
30
= 4.286
7
Die Lösung wird einiges komplizierter, wenn man den Faktor (10 – x)³ ausmultipliziert und zur Belohnung für die Mühe eine kubische Gleichung lösen darf!
Es war zu erwarten, dass das Ergebnis etwas näher bei der schwächeren Lampe
liegen würde: wenn wir in der Mitte sind, sind die Anteile der beiden Lampen proportional zu ihren Leuchtstärken. Bei einer kleinen Verschiebung in Richtung der
schwächeren Lampe nimmt die Beleuchtungsstärke von dieser her weniger zu als
sie wegen der grösseren Entfernung von der stärkeren Lampe abnimmt. Das ist bei
diesem Resultat der Fall.
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 27
Es gilt:
Geschwindigkeit =
⇒t=
s
e−x
+
=
v1
v2
Weg
Weg
⇒ Zeit =
Zeit
Geschwindigkeit
b2 + x2
e−x
+
v1
v2
Wir schränken die Betrachtung vorerst auf den Bereich x ≤ e ein, so dass der Absolutbetrag entfällt. Aus der ersten Ableitung folgt für das Minimum
1
2⋅x
1
t' =
⋅
−
=0
2
2
v1 2 ⋅ b + x
v2
⇓
v2
⋅ x = b2 + x2
v1
b
x=
2
 v2 
  −1
 v1 
⇒
x
=
b
1
2
 v2 
  −1
 v1 
= tan(ϕ)
Das Verhältnis der Geschwindigkeiten bestimmt also den Abgangswinkel. Die Grösse e kommt in der Lösung gar nicht explizit vor!
Aber: wir haben oben die Voraussetzung gemacht, dass x ≤ e sein muss. Der
v
b
Grenzfall xmin = e resultiert, wenn 2 = 1 + . Falls das Verhältnis der Geschwinv1
e
digkeiten kleiner ist als dieser Wert, liegt der oben gefundene Wert für x, das Minimum der Funktion “ohne Betrag”, bei x > e und ist nicht die Lösung der Aufgabe.
b
Minimum: x min
v2
v1
Grenzverhältnis: f
x min = 125
2
1
b
e
f = 1.291
1
130
120
t( x) 110
100
90
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
x
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Diese Funktion hat also nur dann im Bereich 0 < x < e ein echtes Minimum (mit horizontalem Kurvenverlauf), wenn v2 ≥ f · v1 ist, sonst liegt das Minimum bei x = e, wo
die Funktion einen Knick hat. Dieser Punkt wird mit der Differentialrechnung natürlich
nicht gefunden!
Beispiel: v1 = 5, v2 = 5.5
b
Minimum: x min
v2
v1
x min = 654.654
2
1
150
140
130
t( x)
120
110
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
x
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Lösungen der Extremwertprobleme im Skript, Abschnitt 8.6.2
Aufgabe 28
Wir berechnen als Funktion des Winkels α die Länge S, wenn die Leiter das Haus in
den Punkten Z, C und A berührt. Wenn sich α bei gegebenen b und h verändert,
durchläuft S irgendwo ein Minimum. Dieses Minimum entspricht der maximalen Länge, die S haben darf, um “die Kurve zu kriegen”.
b

= cos(α ) 
b
h

p
+
⇒S=
h
cos(α ) sin(α )
= sin(α )

S−p
⇓
S' =
−b ⋅ (− sin(α ))
cos (α )
2
+
−h ⋅ cos(α )
=0
sin2 (α )
⇓
tan3 (α ) =
h
b
Mit b = 5 m und h = 3 m ergibt sich damit α = 40° 8’ 43.3” und damit S = 11.194 m.
Aufgabe 29
Entsprechend Aufgabe 28:

b 
h = S −
 ⋅ sin(α ) = S ⋅ sin(α ) − b ⋅ tan(α )
cos(α )

h' = S ⋅ cos(α ) −
b
=0
cos 2 (α )
⇓
cos 3 (α ) =
b
S
Daraus ergeben sich α = 37° 28’ 2.3” und damit h = 2.25 m.
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