3. Schularbeit 6C 3. 3. 2004 1) Von einem Rhombus (einer Raute

3. Schularbeit
α
6C
3. 3. 2004
1) Von einem Rhombus (einer Raute) kennt man die Länge der Diagonale e=20cm und den Winkel
=48°. Stelle allgemeine Formeln zur Berechnung von a, ha und f auf und berechne diese
Seitenlängen!
2) Vom Punkt A einer geraden, unter ε=15° ansteigenden Straße sieht man die Spitze S eines in der
Richtung der Straße liegenden Turmes unter dem Höhenwinkel α=27,5° und von dem 86,4 m
näher beim Turm liegenden Punkt B unter dem Winkel β=39.6°.
a) Stelle die Situation in einer möglichst übersichtlichen Skizze dar!
b) Wie hoch ist der Turm?
3)a) Für welche Winkel x gilt: sin (x) = - cos(x)? (Begründung und Skizze!)
b) Erkläre, weshalb gilt: cos(0°) = sin(90°) (Begründung und Skizze!)
c) Finde die Gleichung folgender Funktion: (Begründung!)
4) Skizziere den Verlauf folgender Funktionen im Intervall [0;2 ]:
b) cos(3x)
a) f(x) = 2 sin(x/2)
π
[1) 4P. 2) a)2P. b)4P. 3) a) 1P. b) 1P. c)2 P. 4) a)2P. b)2P.]
Lösungen:
1) a) Wegen der Eigenschaft, dass bei einem Rhombus die Diagonalen den Winkel halbieren, gilt:
e
α  2
cos  = . Daraus berechnet man a=10,9463cm.
 2 a
In gleicher Weise gilt:
f
α  2
tan  = . Daraus berechnet man f=8,9045cm.
2 e
2
Für ha gilt:
sin (α ) =
ha
. Daraus erhält man ha= 8,1347.
a
2) Die folgende Skizze veranschaulicht die Situation:
Wichtig: Da die Winkel und jeweils
von der Horizontalen aus gemessen
werden, muss man zunächst die
entsprechenden kleineren Winkel
berechnen. Man erhält für 1=12,5°, für
1=24,6°. Mit =180- 1= 155,4° kann
man nun auch den dritten Winkel im
Dreieck ABS berechnen. Man erhält für
=12,1°.
Mit Hilfe des Sinussatzes berechnet
man nun die Seite BS:
α
β
β
α
β
δ
β
α
γ
ε
BS
86,4
=
. Man erhält für BS=89,21m.
sin (12,5°) sin (12,1°)
Für den Winkel an der Basis des Turmes gilt: =90°+ =105°.
Daher kann man die Höhe des Turmes direkt über den Sinussatz berechnen:
ω
ω
ε
BS
h
=
. Für h erhält man: 38,447m.
sin (105°) sin (24,6°)
3) a) sin(x) = -cos(x) gilt für x=135° und x=315°.
b) sin(x) und cos(x) sind zueinander um 90° phasenverschoben!
c)f(x) = 3 cos(2x). Die Funktion hat die Amplitude bei y=3 und hat eine doppelt so hohe Frequenz wie sin(x).
4) a) f(x) = 2 sin (x / 2):
b) f(x) = cos(3x):