Komplexe (imaginäre) Zahlen - meinelt

Wahlbereich: Komplexe (imaginäre) Zahlen C - Musterlösungen
Definition: Jedes geordnete Zahlenpaar (a;b) mit a,b  R ist eine komplexe Zahl.
Darstellung komplexer Zahlen:
1. Punkte in der GAUSSschen Zahlenebene
2. Pfeil (Vektor) vom Punkt O (0; 0) ausgehend
3. Komplexe Normalform:
Satz: Die Menge der reellen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen.
kurz: R  C
Beweis: Menge der reellen Zahlen sind alle Punkte der Re z-Achse der Form (a; 0) und damit eine
echte Teilmenge der GAUSSschen Zahlenebene.
Definition: i2  1 bzw. i   1 .
Fundamentalsatz der Algebra: Eine Gleichung n-ten Grades hat immer genau n komplexe Lösungen.
Beispiel: z2  2z  5  0 mit z  C
 z1,2  1   4  z1  1  2 i z2  1  2 i
Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen z1  a1  b1 i und z2  a2  b2 i werden addiert/subtrahiert, indem man ihre Realteile
addiert/subtrahiert und ihre Imaginärteile addiert/subtrahiert.
 z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 ) i
Bsp.: z1  2  3 i , z2  4  2 i , z3  4  3 i , z4  4  3 i
a) z1  z2  2  5 i
b) z1  z 2  6  i
e) z1  z2  z3  z4  2  i
c) z1  z3  6
f) z1  z2  z3  z4  14  i
d) z1  z3  2  6 i
g) z1  z2  z3  z4  6  7 i
Multiplikation komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen z1  a1  b1 i und z2  a2  b2 i werden wie folgt multipliziert:
 z1  z2  a1  a2  a1  b2 i  a2  b1 i  b1  b2  (a1  a2  b1  b2 )  (a1  b2  a2  b1) i
Bsp.: z1  2  3 i , z2  4  2 i , z3  4  3 i , z4  4  3 i
a) z1  z 2  14  8 i
d) z2  z3  10  20i
b) z1  z3  17  6 i
e) z 2  z 4  22  20i
c) z1  z 4  1  18i
f) z3  z 4  25
© Meinelt 2007-07-16
Wahlbereich: Komplexe (imaginäre) Zahlen C - Musterlösungen
Definition: Die Zahl z  a  b  i nennt man die zur komplexen Zahl z  a  b  i
konjugiert komplexe Zahl.
Anschaulich gesehen ist die konjugiert komplexe Zahl das Spiegelbild von z an der Re z-Achse.
Division komplexer Zahlen
Zwei komplexen Zahlen werden dividiert, indem man den Quotienten mit der konjugiert komlexen Zahl des
Nenners erweitert.

z1 z1  z 2

z2 z2  z2
Bsp.: z1  2  3 i z2  3  i  z2  3  i
z1 2  3 i (2  3 i)  (3  i) 6  2 i  9 i  3 0,3  1,1i




z2
3i
(3  i)  (3  i)
9 1
4. Polarform einer komplexen Zahl
b
folgt:
a
 z nennt man den Betrag der komplexen Zahl z
mit r  a 2  b2 und tan 
   cos und   sin
 z  (cos i  sin )
Umwandeln von Normalform in Polarform und umgekehrt
Bsp. 1) z  2  3 i
 r  4  9  13
 tan  1,5    56,3    180  56,3  236,3
 z  13  (cos 236,3  i  sin 236,3)
Bsp. 2) z  4  (cos120  i  sin120)
 a  4 cos120  2
 b  4 sin120  2 3  3,464
 z  2  3,464 i
Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in Polarform
z1  r1  (cos 1  i  sin 1 ) und z 2  r2  (cos 2  i  sin 2 )
 z1  z 2  r1  r2  (cos( 1  2 )  i  sin(1  2 )) und
z1 r1
  (cos( 1   2 )  i  sin(1   2 ))
z 2 r2
Bsp.: z1  3  (cos 30  i  sin 30) und z 2  2  (cos 60  i  sin 60)
 z1  z 2  6  (cos 90  i  sin 90)  6  i
Probe: z1  3  21 3  32  i und z 2  1  3  i



z1  z 2  3  21 3  32  i  1 3  i 

3
2
3  92  i  32  i  32 3  6  i
z1 3
  (cos( 30)  i  sin(30))  32 ( 21 3  21  i) 
z2 2
Probe:




3
4
z1 3  21 3  32  i 3  21 3  32  i  1  3  i



z2
1 3  i
1 3  i  1 3  i


3  34  i
3
2
3  92  i  32  i 
1 3
3
2
3

3
4
3  34  i
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Wahlbereich: Komplexe (imaginäre) Zahlen C - Musterlösungen
Potenzieren komplexer Zahlen
Satz von MOIVRE: Wenn z  r  (cos   i  sin ) , dann gilt: zk  r k  (cos k    i  sin k  ) mit k  Z
Bsp.: z  4  (cos 30  i  sin 30)  z4  256 (cos120  i  sin120)
Radizieren komplexer Zahlen
Es gilt: Wenn z  r  (cos   i  sin ) , dann gilt:
n
z  n r  (cos
  k  360
  k  360
 i  sin
n
n
mit n N und k  {0;1;...;n  1}
Bsp.: z  125 (cos120  i  sin 120)  3 z  ?
k  0 :  z1  5  (cos 40  i  sin 40)
k  1:  z2  5  (cos160  i  sin160)
k  2 :  z 3  5  (cos 280  i  sin 280)
5. Exponentialform einer komplexen Zahl
Eulersche Formel: cos   i  sin   ei
Definition: z  r  ei mit r  a 2  b 2 und tan  
b
a
heißt Exponentialform
e i gibt nur über  Auskunft; e i  1
 e i ist eine komplexe Zahl, die auf einem Kreis mit dem Radius 1 liegt.
Bsp.:   0 :
 e i0  1
  90 :
 e i90  i
  180 :
 ei180   1
  270 :
 ei270   i
  30 :
 ei30  cos 30  i  sin 30 
1
2
3  21  i
© Meinelt 2007-07-16