Grundkompetenzen

5
ELEMENTE
DER MATHEMATIK
GK
Grundkompetenzen
für die neue Reifeprüfung
Mit Lösungen
Die Formulierung der Grundkompetenzen (GK) bezieht sich auf den Stand von August 2010.
1. Auflage, 2010
Gesamtherstellung: Verlag E. DORNER GmbH, Wien
zu Buch-Nr. 115 522
Geretschläger, Griesel, Postel u. a.
Elemente der Mathematik 5
Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung
© 2010 Verlag E. Dorner GmbH
Ungargasse 35, 1030 Wien
Tel.: 01 / 533 56 36, Fax: 01 / 533 56 36-15
E-Mail: [email protected]
www.dorner-verlag.at
ISBN 978-3-7055-0475-2
3
Zu Kapitel 1.2.1 Grundbegriffe der Mengenlehre
1) Gegeben sind die Mengen
A = Z \ N, B = Z  N, C = R \ Q, D = R  Q, E = Q  Z und F = R \ N.
Welche dieser Mengen ist
a) die Menge aller reellen Zahlen?
b) die Menge aller irrationalen Zahlen?
c) die Menge aller negativen ganzen Zahlen?
d) die Menge aller ganzen Zahlen?
Lösung: a) D, b) C, c) A, d) E
2) Die folgenden Mengenaussagen sind alle falsch. Ändere jeweils ein Symbol oder eine
Zahl in jeder Aussage, um eine wahre Aussage zu erhalten. (Hinweis: Es sind oft
mehrere Antworten möglich.)
a) 3  {1,2,4,5}
b) {1,2}  {3,4,5} = 
c) {1,2,3}  {3,4} = {5}
d) {1,2,3}  {2,3,4,5}
e) 2  {1,2,3,4,5}
f) {1,2,3}  {2,3,4,5} = {2,3}
g) {1,2,3,4}  {2,3} = {1,2,3,4}
Lösung:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3  {1,2,4,5} oder 3  {1,2,3,5}
{1,2}  {3,4,5} = 
{1,2,3}  {3,4} = {3}
{1,2,3}  {2,3,4,5} oder {4,2,3}  {2,3,4,5}
2  {1,2,3,4,5} oder 2  {1,6,3,4,5}
{1,2,3}  {2,3,4,5} = {2,3}
{1,2,3,4}  {2,3} = {1,2,3,4}
3) Entscheide, ob die folgenden Mengenaussagen wahr oder falsch sind.
4  {1,2,3}
{1,2,3}  {2,3} = {2,3}
{1,2}  {1,2,3,4,5}
3  {1,2,4,5}
{1,2,3}   = 
{1,2,3}  {1,2}
wahr






falsch






4  {1,2,3}
{1,2,3}  {2,3} = {2,3}
{1,2}  {1,2,3,4,5}
wahr


X
falsch
X
X

Lösung:
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4
X
X
X
3  {1,2,4,5}
{1,2,3}   = 
{1,2,3}  {1,2}



4) Vervollständige folgende Tabelle durch Ankreuzen der jeweils richtigen Behauptung.
5Q
-5  Q
-5  R
5 Q
ja




nein




- 5 Q


5 R
-5,13  Q
-5,13  Z
-5,13  N








ja
X
X
X

nein



X

X
X
X



X
X
Lösung:
5Q
-5  Q
-5  R
5 Q
- 5 Q
5 R
-5,13  Q
-5,13  Z
-5,13  N

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5
Zu Kapitel 2.1 Modellieren von Sachverhalten – Funktionsbegriff
1) In welchem Intervall ist die abgebildete Funktion monoton wachsend?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
überall
nirgends
[ 0; 3 ]
[–1;1]
[– 3 ; 3 ]
[ 3;∞[
Lösung: d)
2) Eine reelle Funktion ist gegeben durch die Funktionsgleichung f(x) = x² − 3.
a) Vervollständige folgende Tabelle für diese Funktion.
x
0
f(x)
0
3
1
1
2
b) Zeichne den Graph dieser Funktion im Intervall [−3;3].
Lösung: a)
x
0
± 3
3
±2
1
2
f(x)
−3
0
6
1
− 114
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6
b)
3) Gegeben sind die abgebildeten Funktionskurven.
Bestimme von jedem Graphen alle Punkte, für die gilt:
a) y = 0
b) x = 0
c) x = 2
Lösung:
a) f: (−4/0); g: (−1/0) und (1/0); h: (−1/0), (1/0) und (3/0)
b) f: (0/1); g: (0/1); h: (0/3)
c) f: (2/ 1 12 ); g: (2/−3); h: (2/−3)
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4) Gegeben sind die Graphen der Funktionen f(x) und g(x).
a) Bestimme für jede Funktion die Menge aller x, für die gilt:
i) y > 0
ii) y ≤ 0
iii) 12 ≤ y ≤ 2
b) Bestimme für jede Funktion die Menge aller y, für die gilt:
i) x > 0
ii) x ≤ 0
iii) −2 ≤ x ≤ 1
iv) −3 ≤ x < 0
Lösung:
Funktion f:
a) i) R\{0}, ii) {0}, iii) [1;2], [–2; –1]
b) i) ]0;∞[, ii) ]-∞;0], iii) [0;2], iv) ]0;4,5]
Funktion g:
a) i) ]-∞;-2[, ii) [-2;∞[, iii) [-3;-6]
b) i) ]-∞;-1[, ii) [-1;∞[, iii) [-1,5;0], iv) ]-1;0,5]
5) Gegeben ist der Graph der Funktion f(x).
Es wird behauptet, dass die gegebenen Mengen Lösungsmengen der Ungleichung f(x) < 0
sind. Kreuze jeweils an, ob diese Behauptung wahr oder falsch ist.
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]−∞;−1[
]−3;2[
[−3;2]
]−∞;−3[
{x∈R| −3 < x < 2}
{x∈R| −3 ≤ x ≤ 2}
{x∈R| x < −1}
{x∈R| x < −3 ∨ x > 2}
wahr








falsch








]−∞;−1[
]−3;2[
[−3;2]
]−∞;−3[
{x∈R| −3 < x < 2}
{x∈R| −3 ≤ x ≤ 2}
{x∈R| x < –1}
{x∈R| x < −3 ∨ x > 2}
wahr

X


X



falsch
X

X
X

X
X
X
[−2;1[
]0;2[
{x∈R| x < 1}
{x∈R| −4 ≤ x ≤ 0}
{x∈R| −4 < x < 1}
wahr





falsch





[−2;1[
]0;2[
{x∈R| x < 1}
wahr
X


falsch

X
X
Lösung:
6) In welchen Intervallen gilt f(x) > 0?
Lösung:
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9
{x∈R| −4 ≤ x ≤ 0}
{x∈R| −4 < x < 1}

X
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X

10
Zu Kapitel 2.2 Geraden – Lineare Funktionen
1) Bestimme jeweils die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungsform (y = kx+d).
Lösung: g1: y = 0,5⋅x + 1; g2: y = −0,5⋅x + 1; g3: y = −1; g4: y = x
2) Im Folgenden sind Funktionstabellen linearer Funktionen gegeben. Untersuche
jeweils, ob es tatsächlich eine lineare reelle Funktion gibt, die dieser Tabelle
entspricht. Wenn ja, bestimme die Funktionsgleichung der Funktion und zeichne ihren
Graphen. Wenn nein, begründe dies!
x
0
1
2
3
a)
f(x)
3
2
3
4
x
−2
0
2
6
b)
f(x)
3
0
−3
−9
x
−1
0
3
4
c)
f(x)
1
0
3
4
Lösung:
a) Es handelt sich um keine lineare Funktion. Die Punkte (1/2), (2/3) und (3/4) liegen alle
auf der Geraden mit der Gleichung y = x + 1, der Punkt (0/3) aber nicht.
b) Die Koordinaten aller Punkte erfüllen die Gleichung 3x + 2y = 0. Alle liegen also auf
der Geraden mit dieser Gleichung.
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c) Es handelt sich um keine lineare Funktion. Die Punkte (0/0), (3/3) und (4/4) liegen alle
auf der Geraden mit der Gleichung y = x, der Punkt (−1/1) aber nicht.
3) Ordne jedem der folgenden Graphen linearer Funktionen jeweils die passende
Funktionsgleichung zu.
Gleichungen: a) f(x) = 3x − 2, b) f(x) = −x + 1, c) f(x) = 4 – 2x, d) f(x) = x − 2, e) f(x) = −2
I
II
III
IV
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12
Lösung: I – d, II – a, III – e, IV − c
4) Welche der folgenden Graphen bilden die Funktion f(x) = 10x − 8 ab?
a)
b)
c)
d)
e)
Lösung: b) und e) bilden die Funktion ab.
5) Wie lauten mögliche Funktionsgleichungen der in folgender Grafik gegebenen
Funktion?
a) f(x) = − 4x + 8
b) f(x) = −4(x + 2)
1
c) f(x) = − 16 x + 12
d) f(x) =
1x− 1
6
12
e) f(x) = −4(x − 2)
f) f(x) = −( 16 x + 12 )
Lösung: a) und e) sind mögliche Funktionsgleichungen.
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13
Zu Kapitel 2.3 Parabeln – Quadratische Funktionen
1) Eine reelle Funktion ist gegeben durch den abgebildeten Funktionsgraphen.
a) Vervollständige folgende Tabelle für diese Funktion.
x
0
1
3
f(x)
0
1
b) Bestimme die Funktionsgleichung dieser Funktion unter der Voraussetzung, dass die
Funktion quadratisch ist.
Lösung: a)
x
0
1
3
0
oder
2
1
f(x)
0
1
-3
0
1
b) f(x) = −x(x − 2) = −x² + 2x
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14
2) Eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax² + c ist durch einige Funktionswerte in
folgender Tabelle gegeben.
x
f(x)
0
1
2
3
-1
1,5
a) Zeichne den Graph dieser Funktion im Intervall [−3;3].
b) Welche der folgenden Funktionsgleichungen passt zur gegebenen Wertetabelle?
f(x) = x² + 1; f(x) = 0,5⋅x² + 1; f(x) = 2x² – 1; f(x) = 2x² + 1; f(x) = 0,5⋅x² – 1
Lösung: a)
b) f(x) = 0,5⋅x² + 1
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15
3) Ordne jedem der folgenden Graphen einer quadratischen Funktion die passende
Funktionsgleichung zu.
Gleichungen: a) f(x) = x² − 2, b) f(x) = -x² + 1, c) f(x) = 4 – x², d) f(x) = x² + 2, e) f(x) = −2x²
I
II
III
IV
Lösung: I – a, II – e, III – d, IV – c
4) Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 1)² + 5. Begründe, warum der Graph von f(x) die
x-Achse nicht schneidet.
Lösung: Das Quadrat einer reellen Zahl kann niemals negativ sein. Der Ausdruck (x + 1)² ist
also niemals negativ, und der Ausdruck (x + 1)² + 5 daher niemals kleiner als 5, welchen Wert
man für x auch einsetzt. Die Funktionskurve dieser Funktion hat somit keinen Punkt, der
unterhalb der Geraden y = 5, die parallel zur x-Achse verläuft, liegt. Die Funktionskurve kann
somit auch niemals die x-Achse schneiden.
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Zu Kapitel 2.5 Quadratische Gleichungen
1) Ordne jeder quadratischen Gleichung die richtige Lösungsmenge zu:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x² + 4x = 0
x² − 4 = 0
4x² = 0
x² + 4 = 0
x² + 4x + 4 = 0
x² − 4x = 0
x² − 4x + 4 = 0
L1 = {}, L2 = {−2; 2}, L3 = {2}, L4 = {0}, L5 = {−2; 0; 2}, L6 = {−2}, L7 = {0; 4},
L8 = {−4;0}, L9 = {0; 2}
Lösung: a) L8, b) L2, c) L4, d) L1, e) L6, f) L7, g) L3
2) Ordne jeder Lösungsmenge eine quadratische Gleichung richtig zu:
a)
b)
c)
d)
e)
L1 = {}
L2 = {3}
L3 = {−3;3}
L4 = {−3}
L5 = {0;3}
i) (x − 3)² = 0
ii) (x − 3)² = 9
iii) x² − 3x = 0
iv) −x² = 9
v) x² = 9
vi) x² + 6x + 9 = 0
vii) (x + 3)² = 9
Lösung: a) iv, b) i, c) v, d) vi, e) iii
3) Begründe, warum die Gleichung (x – 2)² + 1 = 0 keine reelle Lösung besitzt.
Lösung: Das Quadrat einer reellen Zahl kann niemals negativ sein. Der Ausdruck (x − 2)² ist
also niemals negativ, und der Ausdruck (x − 2)² + 1 daher niemals kleiner als 1, welchen Wert
man für x auch einsetzt. Dieser Ausdruck kann also für kein reelles x den Wert 0 annehmen,
und die Gleichung kann somit keine reelle Lösung besitzen.
4) Kreuze jeweils an, ob die gegebenen quadratische Gleichung keine (0), genau eine (1),
genau zwei (2) oder unendlich viele (∞) reelle Lösungen hat.
x² + 2x + 1 = 0
x² + 1 = 0
x² + 1 = 12 (2x² + 2)
2(x – 3)² − 5 = 0
(x – 3)² + 5 = 0
0





1





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2





∞





17
(
5 ⋅ x − 23
)
2
=0
x² = −x²
3x² − 7x – 18 = 0












x² + 2x + 1 = 0
x² + 1 = 0
x² + 1 = ½ (2x² + 2)
2(x – 3)² − 5 = 0
(x – 3)² + 5 = 0
0

X


X
1
X




2



X

∞


X


=0

X


x² = −x²
3x² − 7x – 18 = 0


X


X


Lösung:
(
5 ⋅ x − 23
)
2
5) f, g, h und k sind quadratische Funktionen. Beim grafischen Lösen der quadratischen
Gleichungen f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0 und k(x) = 0 ergeben sich die abgebildeten
Graphen. Wie viele Lösungen hat jede Gleichung?
Lösung: f(x) = 0: 2 Lösungen, g(x) = 0: 1 Lösung, h(x) = 0: 2 Lösungen, k(x) = 0: keine
Lösung
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18
6) Eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 hat die Lösungen 1 und 3. Skizziere
zwei mögliche Graphen der Funktionskurve von f(x) = ax² + bx + c.
Lösung:
7) Eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 hat genau eine reelle Lösung an der
Stelle x = –1. Skizziere zwei mögliche Graphen der Funktionskurve von
f(x) = ax² + bx + c.
Lösung:
8) Eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 hat keine reellen Lösungen. Skizziere
zwei mögliche Graphen der Funktionskurve von f(x) = ax² + bx + c.
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19
Lösung:
9) Welche der folgenden Zahlen sind Lösungen der jeweiligen Gleichung. Kreuze die
Lösungen jeweils an (Mehrfachnennungen sind möglich).
x² + 1 = 5
(x – 1)² = 9
x² + 4x + 4 = 0
x² + 2x + 8 = 0
x² − 3x + 2 = 0
(x – 1)(x + 2) = 0
x² − 2x = 0
(x – 1)² = 1
(x – 1)² = (x + 1)²
(x + 1)² = 2x + 1
−2










−1










0










1










2










x² + 1 = 5
(x – 1)² = 9
x² + 4x + 4 = 0
x² + 2x + 8 = 0
x² − 3x + 2 = 0
(x – 1)(x + 2) = 0
x² − 2x = 0
(x – 1)² = 1
(x – 1)² = (x + 1)²
(x + 1)² = 2x + 1
-2
X
X
X

X
X




-1




X





0






X
X
X
X
1





X




2
X





X
X


Lösung:
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20
Zu Kapitel 3 Trigonometrie
1) Zeichne im abgebildeten Koordinatensystem eine Strecke mit der Länge sin α.
Begründe deinen Lösungsweg.
Lösung:
Im entstandenen rechtwinkligen Dreieck mit dem Innenwinkel α hat die Hypotenuse die
Länge 1. Der Sinus von α ist gegeben durch das Verhältnis der Längen der gezeichneten
Gegenkathete und der Hypotenuse, die die Länge 1 hat. Die Länge der gezeichneten Strecke
beträgt daher wie gefordert sin α.
2) In einem Dreieck ABC sind die Längen der Seiten a und b sowie die Größe des
eingeschlossenen Winkels γ bekannt.
a) Ist die Länge der dritten Seite c durch diese Informationen eindeutig oder mehrdeutig
bestimmt oder ist die Länge c gar nicht bestimmt? Worauf stützt sich deine
Behauptung?
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21
b) Wie kann man die beiden Winkel α und β aus den gegebenen Größen berechnen?
Lösung: a) Nach dem SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite) sind zwei Dreiecke, die in zwei
Seitenlängen und der Größe des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen, kongruent. Die
Länge der fehlenden Seite c ist also durch die gegebenen Informationen eindeutig bestimmt.
b) Mithilfe des Cosinussatzes kann zunächst die Länge von c berechnet werden, denn es
gilt c² = a² + b² – 2absin α. Kennt man c, können α und β mithilfe des Sinussatzes
berechnet werden, denn es gilt
. Es genügt auch den Sinussatz nur
einmal zu verwenden, etwa zur Bestimmung von α, denn es gilt dann auch
β = 180° – α – γ.
3) Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathetenlängen 3 und 4.
a) Wie groß ist der Sinus des kleinsten Innenwinkels dieses Dreiecks?
i) 0,3 ii) 0,4 iii) 0,6 iv) 0,75 v) 0,8
b) Begründe deine Antwort in a)!
Lösung: a) iii
b) Die Hypotenusenlänge ist 5. Der kleinste Innenwinkel liegt der kleinsten Seite
gegenüber. Sie hat die Länge 3. Der Sinus des kleinsten Innenwinkels ist somit
3/5 = 0,6.
4) Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathetenlängen 5 und 12.
Wie groß ist der Tangens des kleinsten Innenwinkels dieses Dreiecks?
i) 5/12 ii) 12/5 iii) 12/13 iv) 13/12 v) 5/13 vi) 13/5
Lösung: i)
5) Für einen spitzen Winkel α ist bekannt, dass sin α = a gilt.
a) Wie groß ist cos α?
i) 1 − a 2 ii)
iii)
b) Wie groß ist tan α?
iv) 1 − a v)
vi)
i)
iv) 1 − a v)
vi)
Lösung: a) ii
ii)
iii)
b) iii
6) Für einen stumpfen Winkel α ist bekannt, dass cos α = a gilt.
a) Wie groß ist sin α?
i) a 2 − 1 ii)
iii)
iv) 1 − a v)
vi)
vii)
b) Wie groß ist tan α?
i)
Lösung: a) vii
ii)
b) v
iii)
iv) 1 − a v)
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vi)
vii)
22
7) Ein Stück eines Wanderweges hat eine Steigung von 40%. Wie groß ist der Tangens
des Winkels, in dem dieser Weg zu einer gedachten horizontalen Ebene ansteigt?
Lösung: 40% Steigung bedeutet: Auf einer horizontaler Strecke von 100 m steigt der Weg
40 = 0,4 .
um 40 m an. Es gilt für den Tangens des Steigungswinkels α: tan α = 100
8) Wie viel % Steigung hat ein Weg, für dessen Neigungswinkel α gilt:
tan α = 1 ?
Lösung: 100%
9) In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt tan α > 1. Welchen Wert kann
der Winkel β nicht haben? (Mehrere richtige Antworten sind möglich.)
i) 30°
ii) 44°
iii) 45°
iv) 46°
v) 60°
Lösung: iii), iv), v). Weil α > 45° sein muss, gilt sicher β < 45°.
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23
Zu Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen
1) Eine der folgenden Grafiken zeigt eine mögliche grafische Lösung des
Gleichungssystems:
I: 2x + y = 5
II: −x + y = −1
Welche? Lies aus der Grafik die Lösung ab und bestätige ihre Richtigkeit mithilfe einer
Probe.
a)
b)
c)
Lösung:
Die richtige Graphik ist a). Man liest daraus die Lösung (2|1) ab. Diese wird durch die
Probe 2·2 + 1 = 5 und −2 + 1 = −1 bestätigt.
2) Die Firmen Hierz und Putscher sind Autovermietungen, die Pkws vermieten. Firma Hierz
wirbt mit einem Preis von15 € für 50 gefahrene Kilometer und keiner anfallenden
Grundgebühr. Firma Putscher verlangt a € Grundgebühr und pro gefahrenen Kilometer
0,30 €.
Wie muss a gewählt werden, damit die Miete bei Putscher für einen Fahrt von 200 km
günstiger ist als bei Hierz?
Lösung:
Hierz: h(x) =
15 ⋅ x
50
= 0,3x ;
Putscher: p(x) = a + 0,30·x (x … gefahrene Kilometer).
Die Graphen beider Funktionen sind parallel zu einander, es gibt keinen gemeinsamen
Schnittpunkt.
p(x) > h(x) für a > 0. p(x) = h(x) für a = 0.
Das heißt, dass das Angebot der Firma Putscher nie billiger ist als das der Firma Hierz.
Es existiert kein entsprechender Wert für a.
3) Kreuze jeweils an, wie viele Lösungen das Gleichungssystem hat.
0
1 ∞
I: x + 3y =7
II: 3y = 7 + x
  
I: x − 3y = 7
II: x + 3y = 7
  
I: 2x + 6y = 14
  
II: x + 3y = 7
Elemente der Mathematik 5
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24
I: y = 3x − 7
II: 3x = y + 7
  
I: 3x = y − 7
II: 7 + y = 3x
  
I:
y=
7
3
− x3
II: 14 = 2x − 6y
  
Lösung:
0
1
∞
I: x + 3y =7
II: 3y = 7 + x
 X 
I: x − 3y = 7
II: x + 3y = 7
 X 
I: 2x + 6y = 14

II: x + 3y = 7
 X
I: y = 3x − 7
II: 3x = y + 7

I: 3x = y − 7
II: 7 + y = 3x
X 
I:
y=
7
3
− x3
II: 14 = 2x − 6y
 X

 X 
4) Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem jeweils unendlich viele
Lösungen?
a)
I: 3x − 9y = 6
II: ax + by = 8
b)
I: x + ay = 2
II: x − y = −2
c)
I: ax + y = 2
II: 6x + 2y = b
d)
I: ax + y = b
II:
y=1
e)
I: 4x + ay = 5
II: bx + 2y = 10
Lösung :
a) a = 4, b = −12
b) a = 1, b = −1
c) a = 3, b = 4
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d) a = 0, b = 1
e) a = 1, b = 8
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5) In den nachfolgend gegebenen Gleichungssystemen werden für den Parameter a
verschiedene Werte eingesetzt. Trage in die Tabelle ein, ob das jeweilige
Gleichungssystem dann 0, 1 oder unendlich viele Lösungen besitzt.
a)
b)
c)
d)
I: 3x − ay = 1
II: x + y = 3
I: ax + y = 5
II: 6x + 3y = 15
I: x − y = a
II: 4x + y = 4
I: 2x + y = a
II: 4x + 2y = 4
Wert für a
a)
b)
c)
d)
Lösung:
Wert für a
a)
b)
c)
d)
0
3
2
3
4
0
1
1
1
0
3
0
1
1
0
2
1
3
1
1
1
0
4
1
1
1
0
∞
1
∞
6)
a) Im Folgenden werden fünf Situationen beschrieben, die jeweils in den Grafiken
dargestellt sind. Ordne die Beschreibung jeweils der passenden Grafik zu.
I
II
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III
26
IV
V
(1) Zwei Fahrzeuge fahren mit derselben Geschwindigkeit in die gleiche Richtung.
(2) Karl und Hans fahren beide unterschiedlich schnell in Richtung C-Hausen.
(3) Dorothea und Yvonne fahren beide in Richtung A-Dorf.
(4) Josef wartet nach einer Panne auf den Pannendienst, der aus einer anderen Stadt
bestellt ist.
(5) Ludwig und Monika fahren in entgegengesetzte Richtungen.
b) Zu welchem Zeitpunkt trifft der Pannendienst bei Josef ein?
c)
In welcher Entfernung zu B-Stadt holt Karl Hans ein?
d) Wann begegnen einander Ludwig und Monika?
e)
Mit welcher Geschwindigkeit fährt Yvonne, falls sie die Schnellere ist?
Lösung:
a) (1) − IV; (2) − I; (3) − II; (4) − V; (5) − III
b) Der Pannendienst trifft um 11.40 Uhr bei Josef ein.
c) Karl holt Hans 40 km von B-Stadt entfernt ein.
d) Ludwig und Monika begegnen einander um 22.50 Uhr.
e) Yvonne fährt mit 60 km/h.
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(–1/–3) (3/2) (4/–1) (3/1) (5/0) (–2/0) (0/1) (0/0) (0/‐9) (0/‐5) (3/2) (0/4) (6/0) (0/2) (4/2) (0/‐3) Q∈g P∈g 2 ‐1 2 2 4 0 k Richtungsvektor Normalvektor Normalform (vektoriell) –2x + y = 4 x + y = 5 2x – y = 5 2x – y = 9 2x – 3y = 0 4x – y = ‐1 x – 2y = 6 y = 2 Normalform (Koordinaten) Parameterform y = 2x + 4 y = –x + 5 y = 2x – 5 y = 2x – 9 y = 4x + 1 y = 2 Punkt‐ Steigungsform 1) Von einer Geraden sind in jeder Zeile ausreichend viele Informationen gegeben, um sie eindeutig zu definieren. Vervollständige die Tabelle.
(Hinweis: Für jede Rubrik gibt es mehrere richtige Antworten.)
Zu Kapitel 5.5 Geraden in der Ebene – Darstellungsformen
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