IV año: Folgen und Reihen (7) 1. Eigenschaften von Zahlenfolgen

IV año: Folgen und Reihen (7)
monoton steigend
a
a
streng
monoton
steigend
Definition 1: Eine Zahlenfolge (an) heißt , wenn für alle n ∈ ℕ gilt a
monoton fallend
a
streng monoton fallend
1. Eigenschaften von Zahlenfolgen
a
a
a .
a
Die Monotonie von Zahlenfolgen kann man häufig am besten untersuchen, wenn man die Ungleichungen der
Definition umformt. Es ergibt sich:
monoton steigend
a a 0
a 0
a
streng monoton steigend
Wenn für alle n ∈ ℕ ist, dann ist (an) .
a a 0
monoton fallend
a a 0
streng monoton fallend
1
Sind alle Folgenglieder an > 0, gilt außerdem:
Wenn
$
"
1"
monoton steigend
streng
monoton
steigend
und an > 0 für alle n ∈ ℕ ist, dann ist (an) .
monoton fallend
1#
streng monoton fallend
"
"
1!
Beispiel 1: Die Folge %a & ' ()* ' 1, - , , , ) , . , …
)
, )
-
ist streng monoton fallend.
Beweis: Wir müssen zeigen, dass für alle n ∈ ℕ
a a 0 gilt:
a a '
'
'
n04
n03
3n 0 4 3n 0 1
%n04&%3n01&%n03&%3n04&
%3n04&%3n01&
332 013304(332 0133012*
%3n04&%3n01&
' %)7&%)&
56
< 0, weil der Zähler negativ und der Nenner wegen n ∈ ℕ positiv ist.
Beispiel 2: Die Folge %a & ' %n. 25n& ' 24, 46, 66, 84, 100, … ist nicht monoton.
Beweis: a a ' %n 0 1&. 25%n 0 1& %n. 25n& ' 2n 24
Für n<12 gilt zwar a a 0 , aber für n>12 ist a a 0 . Also ist %a & nicht monoton.
nach oben beschränkt
Definition 2: Eine Zahlenfolge (an) heißt A , wenn es eine Zahl s ∈ ℝ gibt, so dass
nach unten beschränkt
a s
obere Schranke
für alle Folgenglieder an gilt: . Die Zahl s nennt man A der Zahlenfolge (an).
a sD
untere Schranke
Wenn alle Glieder in einem Intervall [–s,s] liegen, wenn also |an|≦ s für alle n ∈ ℕ gilt, dann heißt die Zahl s
einfach nur Schranke.
Eine Zahlenfolge (an) heißt beschränkt, wenn sie eine obere und eine untere Schranke hat.
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Beispiel 3: Die Folge %a & ' ()* aus Beispiel 1 ist beschränkt: Die obere Schranke ist so=1, die untere
)
)
Beweis: Wenn so=1 eine obere Schranke ist, dann muss für alle n ∈ ℕ gelten: a < 1 bzw. 1 – a > 0
Schranke ist su= .
1
)
)
'
Wenn su=
)
)
)
)
'
)5%)&
)
'
.5.
)
≧ 0, weil Zähler und Nenner größer als 0 (=0) sind für alle natürlichen Zahlen.
eine untere Schranke ist, dann muss für alle n ∈ ℕ gelten: a >
)%)&5%)&
%)&·)
'
6
I)
)
bzw. a – > 0.
)
> 0, weil Zähler und Nenner größer als 0 sind für alle natürlichen Zahlen.
)
Und woher wissen wir in Beispiel 3, dass eine untere Schranke ist? Weil dies der Grenzwert der Folge ist!
Definition 3: Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Zahlenfolge (an), wenn fast alle Folgenglieder beliebig nahe
bei g liegen. Man schreibt: JKLMNO PM ' Q.
Eine Zahlenfolge (an), die einen Grenzwert hat, heißt konvergent; hat sie keinen, heißt sie divergent.
Eine Zahlenfolge (an), die gegen 0 konvergiert (den Grenzwert 0 hat), heißt Nullfolge.
Beispiel 4: Die Folge %a & ' ()* aus Beispiel 1 konvergiert und hat den Grenzwert g = ).
)
Beweis: limNO )
)
= limNO
= limNO
R
() *
R
)
Wir klammern im Zähler und Nenner das "n" aus.
( *
Wir kürzen mit n.
Für n N ∞ gehen die Brüche im Zähler und Nenner gegen 0.
=)
ZG < NG ⇒ g = 0 Beispiel: ()U * ist Nullfolge: ZG=1, NG=2
)
Es gilt: Der Grenzwert einer Folge von Brüchen hängt vom Zählergrad (ZG) und Nennergrad (NG) ab:
lim
)
NO )U R
NO %)&
' lim
% &
ZG > NG ⇒ Die Folge ist divergent
U )
lim )
NO
' lim
NO
R
%) &
% &
' lim
NO )
'0
Beispiel: ()* hat keinen Grenzwert: ZG=2, NG=1
' lim
NO )
U )
'∞
ZG = NG ⇒ g ist der Quotient der beiden Koeffizienten der höchsten Potenzen im Zähler und Nenner
lim
.R U )
NO )R Beispiel: ZG=NG=3
' lim
R
R %. R &
NO R %) R&
' lim
R
. R
NO ) R
')
.
Aufgaben
a) %a & ' (7*
)
b) %a & ' ( ) *
c) %a & ' (*
7
5
Aufgabe 22: Untersuche die Monotonie!
Aufgabe 23: Zeige, dass die Folge beschränkt ist!
.
a) %a & ' ( *
b) %a & ' (
*
.
a) %a & ' (7*
)
c) %a & ' (U *
)5
b) %a & ' ( ) *
7
Aufgabe 24: Untersuche das Konvergenzverhalten!
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c) %a & ' (U *
5
d) %a & ' (
5U
*
d) %a & ' (
5U
*
d) %a & ' %1&
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Lösungen
Aufgabe 22: Untersuche die Monotonie!
a) %a & ' (7*
b) %a & ' (
c) %a & '
)
7
*
)
5
( *
d) %a & ' (
5U
*
a a '
)
77
a a '
⇒
)
7
'
7,
7
)·75)·%77&
7·%77&
7
)
'
'
%)&·%7,&5%7&·%7&
%7&·%)&
%a & ist streng monoton steigend.
a a '
a a '
5%&
%&
5%&U
5
'
5U
0 ⇒
5.
7·%77&
5
.
'
0
⇒
'
%)&·%7,&5%7&·%7&
%7&·%)&
'
'
5%.&
%&·
0 ⇒
%7&·%)&
%a & ist streng monoton fallend.
5U 5.5%5U &
%&·
%a & ist streng monoton fallend.
0
%a & ist streng monoton fallend.
Aufgabe 23: Zeige, dass die Folge beschränkt ist!
a) %a & ' (.*
a ' ) ,
a a '
.
)
.
.
'
limNO . = limNO
'
%.&·%)&5%&·%)&
%)&·%.&
( *
⇒
U
( *
)
%)&·%.&
0⇒
%a & ist streng monoton steigend,
%a & ist konvergent mit dem Grenzwert 1 ⇒
=1
(im Folgenden zur Ermittlung der unteren Schranke bitte den Grenzwert berechnen!)
b) %a & ' (
.
*
)5
ist beschränkt mit
.
)
a )
.
obere Schranke = a ' , untere Schranke: a '
) '
.
)
)5
)
.
c) %a & ' (U * ist beschränkt mit 0 a 1
.
.
obere Schranke = a ' 1, untere Schranke: a 0 ' U 0
d) %a & ' %1&
%.&·)5.·%)5&
)·%)5&
.
)
a 1
' )·%)5& 0
,
Die Folge nimmt nur die Werte –1 und 1 an, ist also beschränkt.
Aufgabe 24: Untersuche das Konvergenzverhalten!
a) %a & ' (7*
)
b) %a & ' ( ) *
7
c) %a & ' (U *
5
d) %a & ' (
5U
*
limNO 7 = 0
limNO
)
7
)
= limNO
limNO U = limNO
limNO
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5
5U
= limNO
R
( *
(7 *
%a & ist Nullfolge, also konvergent gegen 0.
=4
U ( U 5 *
U ( U*
( 5*
KUR
=0
%a & konvergiert gegen 4.
%a & ist Nullfolge, also konvergent gegen 0.
= lim n ' ∞
NO
%a & ist divergent.
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