3.Grenzwerte von Folgen und Funktionen - auf Matthias

9.Vorlesung MafI II, SoSe 2008, 15.05.2008
Thema: Explizite und rekursive Folgen, Konvergenz und Divergenz, Grenzwert, Rechenregeln
3.Grenzwerte von Folgen und Funktionen
Definition:
Eine unendliche Folge ist die Funktion a:
. Man schreibt ai anstatt a(i).
Eine Folge kann explizit oder rekursiv gegeben sein.
Beispiel für explizite Folgen:
• konstante Folge:
a
• arithmetische Folge: a
• geometrische Folge: a
• harmonische Folge: a
c
c·n
d·q
n
Beispiel für rekursive Folgen:
• arithmetische Folge: a
• geometrische Folge: a
• harmonische Folge: a
d
1
a
c
a ·q
a
d
Einfache Begriffe
heißt
Definition: Eine Folge a
• nach unten beschränkt, wenn K
• nach oben beschränkt, wenn K
• beschränkt, wenn |a | K
• monoton wachsend, wenn n
a
• streng monoton wachsend, wenn n
• monoton fallend, wenn n
a
• streng monoton fallend, wenn n
Definition:
n
n
a
a
a
a
0
n
n
a heißt Grenzwert oder Limes der Folge.
Notation:
lim a
1
a
n
a
a
a
a
Konvergenz
Eine Folge ( a n )n ≥0 konvergiert gegen die Zahl a
ε
K
K
, wenn
|a
a|
ε
Beispiel:
Die harmonische Folge
konvergiert gegen 0.
z.z. ε 0 n
n n
ε 0 sei gegeben:
Finde eine Schranke n , sodass n
⎡1 ⎤
⎢ε ⎥
⎢ ⎥
Setze: n
n
⎡1 ⎤
⎢ε ⎥
⎢ ⎥
1
0
n
n
1
⎡1⎤
⎢ε⎥
⎢ ⎥
1
ε
Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat, andernfalls divergent.
Satz:
Eine konvergente Folge hat einen eindeutigen Grenzwert.
Beweis:
Annahme
b seien Grenzwerte.
|
|
Wähle ε
n , n n , |a
a|
n , n n , |a
b|
n
max n , , n
,
Dreiecksungleichung: |a
Widerspruch!
|a
b|
a|
|a
|a
b|
|a
b|
a|
Satz:
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis:
Wähle ε 1
n
n n |a
a| 1
|a
|,
|a
|, … , a
Wähle K max
, |a|
· |a
b|
1
Behauptung: K ist eine Schranke für |a |
Für n n ist |a | K nach Definition von K
a| 1
Für n n ist |a
|a | |a| |a
a| |a| 1 K
Definition:
Eine Folge, die gegen 0 konvergiert heißt Nullfolge.
Definition:
Es sei a
eine Folge und a
natürlicher Zahlen. Dann heißt a
Satz:
Wenn eine Folge konvergiert, dann konvergiert auch jede Teilfolge gegen denselben
Grenzwert.
Definition:
a
eine streng monoton wachsende Folge
eine Teilfolge von a .
sei eine Folge, dann nennt man die Folge der Partialsummen
s
a
die zugehörige unendliche Reihe. Wenn lim s
a
2
s ist, dann schreibt man:
s
Rechenregeln für Grenzwerte
Satz: Wenn a und b konvergieren, dann gilt:
1) lim
a
b
lim
a
lim
2) lim
a ·b
lim
a · lim
Spezialfall (eine Folge ist konstant)
lim a · c
b
b
c · lim a
3) lim
4) lim
5) lim
|a |
√a
|lim
lim
a |
a
falls alle a
3
0 sind.