Blatt V6 - Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. C. Hesse
PD Dr. Peter Lesky
Dr. D. Zimmermann
MSc. J. Köllner
MSc. R. Marczinzik
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 6
Höhere Mathematik II
22.05.14
el, kyb, mecha, phys
Vortragsübungen
Aufgabe 13. Funktionsgraphen
Geben Sie für die folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich an:
(b) g(x) = e−x sin(x) .
(a) f (x) = 3x ln(x) − 3x,
Bestimmen Sie jeweils größtmögliche Intervalle, auf denen die Funktionen streng monoton wachsend und streng monoton fallend sind, und bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema.
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen.
Aufgabe 14. Grenzwerte
(a) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von de l’Hospital:
x+3
ex − e−x − 2x
,
(ii) lim x ln
,
(i) lim
x→∞
x→0
x − sin(x)
x−3
1/x2
xx − x
.
(iii) lim cos(x)
,
(iv) lim
x→0
x→1 1 − x + ln(x)
(b) Warum liefert die Regel von de l’Hospital hier ein falsches Ergebnis:
3x2 − 4x + 1
6x − 4
6
= lim
= lim = 3 ?
2
x→1
x→1 2x − 1
x→1 2
x −x
Wie lautet der Grenzwert tatsächlich?
lim
Aufgabe 15. Brechung von Licht
Das Fermatsche Prinzip besagt, dass Licht, das von
einer Lichtquelle ausgeht und bei einem Empfänger
ankommt, auf dem Weg verläuft, auf dem es die
kürzeste Zeit benötigt. Wir nehmen an, dass sich
eine Lichtquelle in einem Medium befindet, in
dem die Lichtgeschwindigkeit c1 m/s beträgt. Der
Empfänger befindet sich in einem Medium mit
Lichtgeschwindigkeit c2 m/s. Die Grenzfläche zwischen den beiden Medien soll eben sein. Nimmt man
an, dass Quelle und Empfänger auf einer Ebene
senkrecht zur Grenzfläche liegen, dann genügt eine
zweidimensionale Betrachtung (vgl. Schaubild).
Wie ist das Verhältnis der Winkel α und β , wenn die beiden Strecken von Lichtquelle zur Trennfläche und von der Trennfläche zum Empfänger so gewählt werden, dass das Licht dafür die
kürzeste Zeit benötigt?
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