Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 11/12

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 11/12
Übungsblatt 6
Aufgabe 41: Gegeben zwei ökonomische Größen x und y = f (x).
Welcher Eigenschaft der Funktion f entspricht ein positives ‘Grenz-y von x’ ?
Welcher Eigenschaft der Fkt. f entspricht ein (mit wachsendem x) fallendes ‘Grenz-y von x’ ?
Machen Sie sich bei den folgenden Größen x und y klar, was das ‘Grenz-y von x’ bedeutet
und überlegen Sie, ob Sie eher ein wachsendes oder fallendes ‘Grenz-y von x’ ansetzen würden
(ggf. abhängig davon, ob x groß oder klein ist):
a) Unternehmen: x = Produktion(smenge), y = (Produktions)kosten
b) Unternehmen: x = Werbeaufwand, y = Umsatz
c) Mietwohnungen: x = Größe, y = Miete
d) Individuen: x = Einkommen, y = Konsum(menge)
e) Studenten: x = Lernaufwand (für Mathe in Stunden), y = Note
f) Individuen: x = Arbeitsbelastung, y = Gesundheit
g) Denken Sie sich bitte ein weiteres Beispiel aus and analysieren Sie es genauso.
Aufgabe 42: Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mithilfe der Regel von L’Hôspital:
esin(x) − 1
,
a) lim 2
x→0 x − 2x
1
1
d) lim
−
,
x→0
x ex − 1
ex (1 − x)
x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 4
,
c) lim
,
x→1 sin(πx)
x→2
x3 − 2x2 − 4x + 8
1
xλ − y λ
e) lim loga (1 + r) (a = const),
f) lim
(x, y = const).
r→0 r
λ→0
λ
b) lim
Aufgabe 43: Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p
durch x = D(p) = 100/(p−16)√gegeben. Die Produktionskosten K bei der Hergestellungsmenge
x sind K(x) = 25 + 17 x − 10 x. Bei welcher Herstellungsmenge xopt bzw. welchem Preis popt
wird der Gewinn maximal? (Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
Liegt die gewinnoptimale Absatzmenge im Bereich fallender der steigender Grenzkosten?
Aufgabe 44: Wir betrachten die Formel für den Barwert eines konstanten zukünftigen Cash
1
Flows c über n Jahre als Funktion des Zinzes r: V (r) = rc 1 − (1+r)
n .
a) Ökonomen sagen: Ein Euro heute ist mehr Wert als der gleiche Euro morgen (auch ohne
”
Inflation).“ Wir ergänzen dies durch: Der Grad an Minderschätzung des morgigen Euro’s
”
wird durch den (inflationsbereinigten) Zins r quantifiziert.“
Was würden Sie aufgrund dessen für die Abhängigkeit des Barwerts V (r) vom Zins r
vermuten: Wächst oder fällt der Barwert mit wachsendem Zins r?
−n
mit der Quot.Regel ableiten;
b) Beweisen Sie Ihre Vermutung (Anleitung: V (r) = c 1−(1+r)
r
1+(n+1)r−(1+r)n+1
c
0
geschrieben und mit Hilfe der
das Ergebnis kann als V (r) = (1+r)n+1
r2
m
Bernoulli-Ungleichung: (1 + r) ≥ 1 + mr ∀ r ≥ 0, m ≥ 0 abgeschätzt werden).
c) Interpretieren Sie V 0 (r) als ein ‘Grenz-y von x’.
n+1
d) Bestimmen Sie lim V 0 (r) (Hinweis: Zunächst lim 1+(n+1)r−(1+r)
ermitteln)
r2
r→0
r→0
e) Ein Staat muss 20 Millionen Rentnern/Pensionären in den nächsten 30 Jahren eine monatliche Rente von 2000 Euro zahlen. Wie groß ist der Barwert dieser Verpflichtung bei einem
Zins von 0%? Auf welchen Betrag (näherungsweise) steigt oder sinkt der Barwert, wenn
der Zins auf 1% bzw. 3% p.a. steigt? (Diese Fragen ohne Taschenrechner beantworten.)
Aufgabe 45: Beweisen Sie die Bernoulli-Ungleichung durch vollst. Induktion:
(1 + r)n ≥ 1 + nr
∀n ≥ 0 :
∀r ≥ 0
Zur weiteren Übung empfohlen (Aufgaben werden nicht in den Tutorien behandelt):
Aufgabe 46: Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis
120 2
gegeben. Die Kosten K bei der Herstellungsmenge x sind K(x) =
p durch x = D(p) = p+3
1
5
3
x 2 . Bei welchem Preis p0 bzw. Herstellungsmenge x0 wird der Gewinn maximal? (Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
Welche Situation in Bezug auf die Grenzkosten hat man hier? (Steigende GK? fallende GK?
zunächst fallende, dann steigende GK? zunächst steigende, dann fallende GK?)
Aufgabe 47:1 Eine Firma produziert Parfüm, das sie in pyramidenförmige Flakons verpackt.
Sie veredelt die Oberfläche der Flakons (außer der Grundfläche) mit einer teuren Farbe und
möchte die für die Farbe anfallenden Kosten minimieren, wobei das Volumen V der Behälter
vorgegeben ist.
Wie groß ist die optimale Seitenlänge der (quadratischen) Grundfläche der Behälter?
Welche Seitenlänge und welche Fläche ergibt sich bei V = 100 ml?
h
a/2
h1
a/2
.
a
a
Anleitung:
Sei a die gesuchte Grundseite der Pyramide und h ihre Höhe. Das Pyramidenvolumen ist dann
V =
1
3
h a2 .
Man halbiere die Pyramide mit einem vertikalen Schnitt, der durch die Spitze und eine Mittellinie der quadratischen Grundfläche geht. Die Schnittfläche ist ein Dreieck mit der Höhe h;
Anwendung des Satzes von Pythagoras in einer Hälfte dieses Dreiecks liefert für die Höhe h1
der (vier dreieckigen) Pyramiden-Seitenflächen
p
h1 = (a/2)2 + h2 .
Die mit Farbe zu bedeckende Fläche ist
F = 4 a h1 /2 = 2 a h1 .
Ersetzung von h1 und h liefert die Fläche F als Funktion von a bei gegebenem V .
Zur Vereinfachung der Extremwertrechnung empfiehlt es sich zu beachten, dass die Fläche
F = F (a) genau dann minimal ist, wenn F 2 /4 minimal ist (wieso ist das so?).
1
Diese Aufgabe ist aus einer Knobelaufgabe der Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft, Januar 2002 entstanden, s. http://www.spektrumdirekt.de/artikel/584958.
2