1 Drehungen einer Basis 2 komplexe Zahlen

1 Drehungen einer Basis
Drehungen einer Basis um den Winkel α können anschaulich so verstanden werden:
Bei der Drehung von (e1 , e2 ) auf (e01 , e02 ) um den Winkel α bleibt die Länge der Vektoren natürlich erhalten nur die Anteile in der (e1 , e2 ) Basis ändern sich:
|e01 i = cos α |e1 i + sin α |e2 i
(1)
= − sin α |e1 i + cos α |e1 i
!
cos α sin α
Rα =
.
− sin α cos α
(2)
|e02 i
(3)
(Gemäß der alten Regel: cos α = Ankathete/Hypothenuse und sin α = Gegenkathete durch Hypothenuse).
2 komplexe Zahlen
Der Zahlenbereich C der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und
Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben.
Es gibt zwei Schreibweisen, in der man komplexe Zahlen schreiben kann:
• In der algebraischen Form werden die Koeffizienten a,
b als Real- bzw. Imaginärteil von z = a + ib bezeichnet.
• In der Polarform nimmt man den Betrag des Vektors
√
|z| = a2 + b2 und gibt ihm eine Phase eiφ im komplexen
Raum, siehe Bild. Dabei gilt die Eulersche Formel: eiφ =
cos φ + i sin φ, d.h. es gilt:
z = |z| · eiφ = |z| · (cos φ + i sin φ)
mit:
a = |z| cos φ, b = |z| sin φ
Die BraKets in der Vorlesung sind dagegen abstraktere Objekte, welches nicht nur für komplexe
Zahlen sondern auch für komplexe Vektoren stehen können.
2.1 Addition
Für die Addition zweier komplexer Zahlen z = a + b · i und w = c + d · i gilt
z + w = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).
(4)
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2.2 Subtraktion
Analog zur Addition (siehe oben) funktioniert auch die Subtraktion
z − w = (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)
(5)
2.3 Multiplikation
• Die Multiplikation zweier normaler Zahlen ist:
z · w = (a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
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Diese Formel ergibt sich mit der Definition i2 = −1 durch einfaches Ausmultiplizieren
und Neugruppieren.
• Die Multiplikation zweier BraKets funktioniert gleich wie die Norm/den Betrag einer
Zahl auszurechnen: Man multipliziert mit dem komplex konjugierten (und transponierten
bei Vektoren und Matrizen) Feld (z̄ = (a − ib) bzw. hz| = (a − ib)):
|z|2 = z · z̄ = (a + ib) · (a − ib) = a2 + b2 .
hz|wi = (a − ib) · (c + id) = (ac + bd) + i(ad − bc)
2.4 Drehungen mit komplexen Zahlen
Bei der Drehung einer komplexen Zahl im
Raum der von Real- und Imaginärteil aufgespannt wird, ist die Polardarstellung am intuitivsten, also eine Drehungen von
w = (x + iy) = |w| eiα um den Winkel φ bedeutet:
w0 = w · eiφ = |w| eiα · eiφ = |w| ei(α+φ)
= |w|(cos(α + φ) + i sin(α + φ))
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(10)
Bei w = (1 + i0) ist w0 = (cos φ + i sin φ) mit
|w| = 1, α = 0.
Dort wird der Realteil um cos φ und der Imaginärteil um sin φ gedreht. Je nachdem wie
groß φ ist, befindet man sich auf einem bestimmten Punkt in der Abbildung.
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