Formelsammlung - Moodle Pädagogische Hochschule Kärnten

PLANIMETRIE
Winkel
Nebenwinkel betragen zusammen 180°.
Scheitelwinkel sind einander gleich.
Komplementwinkel betragen zusammen
90°.
Supplementwinkel betragen zusammen
180°.
Winkelmaße:
Altgrad (°)
Neugrad oder Gon (g)
Bogenmaß, Radiant (rad)
2 rad  360  400g
1 rad  57.29578° = 5717’45”
1 rad  63,66198g
1  0.0174533 rad

1  0.0 1
1g  0.015708 rad
1g  0.9°
g
Symmetrie
Eine ebene Figur heißt axialsymmetrisch,
wenn sie durch eine Gerade in zwei Teile
zerlegt werden kann, die sich durch Umklappen um diese Gerade (Symmetrieachse) um 180° zur Deckung bringen lassen.
Eine ebene Figur heißt zentralsymmetrisch, wenn sie sich nach Drehung um
180° um einen bestimmten Punkt (Symmetriezentrum) mit der ursprünglichen
Lage deckt.
Strahlensätze
1. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines Strahlenbüschels von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte
auf einem Strahl wie die gleichliegenden
Abschnitte auf jedem anderen Strahl.
SA1 : SA 2 : SA3  SB1 : SB2 : SB3
 SC1 : SC2 : SC3
SA 1 : A1A 2 : A 2 A 3  SB1 : B1B2 : B2 B3
 SC 1 : C1C 2 : C 2 C3
2. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines Strahlenbüschels von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte
auf den Parallelen wie die entsprechenden
Scheitelstrecken auf irgendeinem Strahl.
A1 B1 : A 2 B2 : A 3 B3  SA 1 : SA 2 : SA 3
B1C1 : B2 C 2 : B3C3  SC 1 : SC 2 : SC 3
usw.
Ähnlichkeit
Ebene Vielecke, die in der Form übereinstimmen, heißen ähnlich. (~)
Ähnlichkeitssätze
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie
übereinstimmen
 in zwei Winkeln oder
 im Verhältnis zweier Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel oder
 im Verhältnis zweier Seiten und dem
Gegenwinkel der größeren Seite oder
 im Verhältnis der drei Seiten.
Ähnliche Dreiecke werden durch entsprechende Höhen oder Winkelhalbierenden
oder Seitenhalbierenden in ähnliche Dreiecke zerlegt. In ähnlichen Dreiecken verhalten sich entsprechende Höhen, Winkelhalbierenden und Seitenhalbierenden wie
ein Paar entsprechender Seiten. Die Umfänge ähnlicher Dreiecke verhalten sich
wie ein Paar entsprechender Strecken (Seiten, Höhen, Seitenhalbierenden usw.):
u1 : u 2  a1 : a 2  b1 : b2  c1 : c 2  k
(Ähnlichkeitsverhältnis, Linearvergrößerung)
Die Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke
verhalten sich wie die Quadrate zweier
entsprechender Strecken (Seiten, Höhen,
Seitenhalbierenden usw.).
2
2
2
2
2
2
A1 : A 2  a1 : a 2  b1 : b2  c1 : c 2  k 2
(k siehe oben!)
Vielecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis entsprechender Seiten oder in den
entsprechenden Winkeln übereinstimmen.
Ähnlichkeitslage
Ähnliche Vielecke sind in Ähnlichkeitslage, wenn entsprechende Seiten parallel
sind und entsprechende Punkte auf Strahlen eines Strahlenbüschels liegen. Der
Scheitel S des Strahlenbüschels heißt Ähnlichkeitspunkt.
KONGRUENZ
Vielecke, die nicht nur in der Form, sondern auch in der Größe homologer Stücke
übereinstimmen, heißen kongruent.
Kongruenzsätze
Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen
 in einer Seite und zwei Winkeln oder
 in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder
 in zwei Seiten und dem der größeren
Seite gegenüberliegenden Winkel oder
 in den drei Seiten.
Der Kreis
Satz des Thales
Jeder Peripheriewinkel im Halbkreis ist ein
rechter.
Der Satz vom
Sehnentangentenwinkel
Der Sehnentangentenwinkel ist halb so
groß wie der Zentriwinkel über demselben
Bogen, folglich gleich dem Peripheriewinkel über demselben Bogen.
Kreisumfang: u = 2r
Kreisbogen:
r
für  in Altgrad
180
b  r   für  im Bogenmaß
Kreisfläche: A  r 2 
b
Kreisausschnitt (Kreissektor):
Der Satz vom Zentri- und Peripheriewinkel
Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie
jeder beliebige Peripheriewinkel über demselben Bogen (über derselben Sehne).
A
r 2 
für  in Altgrad
360
A
r 2
für  im Bogenmaß
2
A
1
br
2
Kreisabschnitt
(Kreissegment):
A = AKreissektor – AAMB
Sinussatz:
a : b : c  sin  : sin  : sin  oder:
a
b
c


 2r
sin  sin  sin 
Cosinussatz:
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
b 2  a 2  c 2  2ac  cos 
c 2  a 2  b 2  2ab  cos 
Kreisring:
A    R 2  r 2 
Rechtwinkliges Dreieck:
Das Dreieck
Bezeichnungen:
a, b … Katheten
c … Hypotenuse
h … Höhe
ac, bc … Hypotenusenabschnitte
A
c  hc a  b

2
2
Bezeichnungen:
ha … Höhe zur Seite a (hb, hc analog)
r
… Umkreisradius

… Inkreisradius
u abc
s 
2
2
Pythagoräischer Lehrsatz1
Das Quadrat über der Hypotenuse eines
rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der
Summe der beiden Quadrate über den Katheten:
c 2  a 2  b2
Dreiecksungleichungen:
a+b>c
b+c>a
a+c>b
Der Kathetensatz (Euklid)
Das Quadrat über der Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist flächengleich dem
Rechteck, gebildet aus Hypotenuse und
anliegendem Hypotenusenabschnitt:
      180
a2  c  ac
Formeln für den
Flächeninhalt:
a  ha b  hb c  hc
A


2
2
2
a bc
A
4r
A  s  s  a s  bs  c
b2  c  bc
Der Höhensatz (Euklid)
Das Quadrat über der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist flächengleich dem
Rechteck, gebildet aus den beiden Hypotenusenabschnitten:
h 2  a c  bc
(Formel von Heron)
A  s
ab
bc
ac
A
 sin  
 sin    sin 
2
2
2
Auch die Schreibweise „Pythagoreischer Lehrsatz“ ist richtig.
1
Das Quadrat
Pythagoräische Zahlentripel:
a  2pq
b  p 2  q 2 wobei p, q  , p > q
c  p2  q2
p
q
2
1
3
1
4
1
5
1
3
2
4
2
5
2
4
3
5
3
5
4
… …
a
4
6
8
10
12
16
20
24
30
40
…
b
3
8
15
24
5
12
21
7
16
9
…
c
5
10
17
26
13
20
29
25
34
41
…
Man erhält weitere pythagoräische Zahlentripel, wenn man die in obiger Tabelle zusammengehörenden Werte a, b, c durch a,
b, c ersetzt ().
Das gleichseitige Dreieck:
a
 3
2
a2
A
 3
4
h
A = a²
e = f= a 2
Die Diagonalen halbieren einander und
stehen aufeinander normal.
Das Trapez
A
ac
h  mh
2
Der Rhombus (= die Raute)
ef
2
Die Diagonalen stehen
aufeinander senkrecht,
halbieren einander und
halbieren
auch
die
Rhombuswinkel.
A
Das Sehnenviereck
    180
    180
A
s  a   s  b   s  c   s  d 
wobei s 
u a bcd

.
2
2
Das Viereck
Bei jedem Viereck ist die Summe der Innenwinkel gleich 360.
Das Parallelogramm
A = gh (Grundlinie mal zugehörige Höhe)
 +  =  +  =  +  =  +  = 180
Die Diagonalen halbieren einander.
Das Rechteck
A = ab
e = f = a 2  b2
Die Diagonalen halbieren
einander.
Das Tangentenviereck
a+c = b+d
A = s
Das Deltoid (Drachenviereck)
A
ef
2
STEREOMETRIE
Hinweis: Die mit einem seitlichen grauen Balken gekennzeichneten Formeln brauchen nicht auswendig gekonnt
zu werden!
Bezeichnungen:
V … Volumen
AO … Oberfläche
h … Höhe
AG … Grundfläche
AD … Deckfläche
AM … Mantel
V  a3
A O  6a 2
d a 3
(d … Raumdiagonale)
Die Pyramide
1
V   AG  h
3
AO  AG  AM
Hinweis: Die beiden Formeln gelten nicht nur
für gerade, sondern auch für schiefe Pyramiden!
Der Pyramidenstumpf
Das Prinzip von Cavalieri
Körper mit inhaltsgleichen Grundflächen
und gleichen Höhen haben gleiches Volumen, wenn sie in gleichen Abständen von
der Grundfläche flächengleiche, zur
Grundfläche parallele Querschnitte haben.
Das Prisma
Für gerades wie schiefes Prisma gilt:
V  AG  h
AO  A M  2  AG
Der Quader
V  a bc
A O  2  ab  ac  bc 
Der Würfel

h
 AG  AG  AD  AD
3
AO  AG  AD  AM
V

Die 5 regelmäßigen
Polyeder
Bezeichnungen:
a … Seitenkante
r … Radius der Umkugel
 … Radius der Inkugel
Das Tetraeder
wird von 4 gleichseitigen Dreiecken begrenzt.
a3  2
AO  a 2  3
V
12
r
a
 6
4

a
 6
12
Tetraeder
Oktaeder
Das Oktaeder
wird von 8 gleichseitigen Dreiecken begrenzt.
a3  2
3
a
r  2
2
V
A O  2a 2  3

a
 6
6
Das Ikosaeder
wird von 20 gleichseitigen Dreiecken begrenzt.


5a 3  3  5
12
a
r   2 5 5
4
V



a 3 3 5
12
A O  5a 2  3




r
a 3  1 5
4

a 10  25  11 5
20


Der Drehzylinder
(= der gerade Kreiszylinder)
V  r 2 h
A M  2rh
A O  2r 2   A M
Der schiefe Zylinder
V = AGh, AM = us, wobei s die Mantellinie und u den Umfang des
Querschnittes normal zur Mittengeraden bedeutet.
Der Kegel
Für den geraden wie den schiefen Kegel
gilt:
A h
V G
3
Der Drehkegel
(= der gerade Kreiskegel)
r 2 h
V
A M  rs
3
AO  r 2   A M
Der Drehkegelstumpf
h
V
 R 2  Rr  r 2 
3
A M  s  R  r 
Ikosaeder
Dodekaeder
Das Hexaeder (Der Würfel)
wird von 6 Quadraten begrenzt.
V = a³
AO = 6a²
a
a
 3

2
2
Das Dodekaeder:
wird von 12 regelmäßigen Fünfecken begrenzt.
r
V

a 3  15  7 5
4


A O  3a 2  5  5  2 5

AO  R 2  r 2  A M
(Mit s ist die Mantellinie gemeint.)
Die Kugel
4r 3 
V
3
A O  4r 2 
Der Kugelabschnitt
(Das Kugelsegment)
Der Torus
V  2 2  r 2  R
A O  4 2  r  R
r … Meridiankreisradius
R … Mittenkreisradius
h 2
 3r  h 
3
A M  2rh
V
    2  h 2 
A O  2rh   2 
  h  2r  h 
Der Kugelausschnitt
(Der Kugelsektor)
2r 2 h
3
AO  2rh  r
V
Die Kugelschicht


h
2
2
 31  3 2  h 2
6
A M  2rh („Kugelzone“)
V
Das Rotationsellipsoid
4
V
 a  b2
3
(bei Rotation um die Hauptachse)
Trigonometrische Funktionen
Daraus ergibt sich:
tan   cot   1
1
cos 2 
1
1  cot 2  
sin 2 
1  tan 2  
Periodizität der Kreisfunktionen:
cos   OA
sin und cos haben die primitive Periode 2,
sin   AB
tan und cot haben die primitive Periode .
tan   CD
Besondere Funktionswerte:
cot   EF
AB Hypotenuse

0
sin 
0
cos 
1
tan 
0
cot 

CD Gegenkathete zu 
AC Ankathete zu 
 = 90 – 
ei  cos   i  sin 
cos 2   sin 2   1
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Gegenkathe te
Hypotenuse
Ankathete
cos  
Hypotenuse
sin  Gegenkathe te
tan  

cos 
Ankathete
1
cos 
Ankathete
cot  


tan  sin  Gegenkathe te
sin  
30
1
2
45
60
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3

1
3
3
0
3
2
3
3
3
90
1
0


cos   sin   
2




sin    cos   
2

Vorzeichen der Kreisfunktionswerte in den
vier Quadranten (siehe Einheitskreis!):
Quadrant
I
II
III
IV
sin
+
+
–
–
cos
+
–
–
+
tan
+
–
+
–
cot
+
–
+
–