Skalarprodukt - Elementargeometrische Beweise

Arbeitsblatt: Skalarprodukt - Elementargeometrische Beweise
Mathematik / Lineare Algebra und Analytische Geometrie / Vektorrechnung / Skalarprodukt
Arbeitsblätter zum Ausdrucken von sofatutor.com
Skalarprodukt - Elementargeometrische Beweise
1
Gib den Beweis des Höhensatzes wieder.
2
Gib den Höhensatz und den Satz des Pythagoras wieder.
3
Benenne die Voraussetzungen für den Beweis des Höhensatzes.
4
Gib die Aussagen des Kathetensatzes und des Satzes von Thales wieder.
5
Beweise den Kathetensatz.
6
Beweise den Satz des Thales.
+
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Mathematik / Lineare Algebra und Analytische Geometrie / Vektorrechnung / Skalarprodukt
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Gib den Beweis des Höhensatzes wieder.
Bringe die einzelnen Schritte des Beweises in die richtige Reihenfolge.
A
Es gilt
2
h⃗ = |h⃗ |2 und
p⃗ ⋅ q ⃗ = |p⃗| ⋅ |q ⃗|, da die beiden Vektoren kollinear sind.
B
Da sowohl h⃗ ⋅ p⃗
= 0 als auch q⃗ ⋅ h⃗ = 0 kann dies vereinfacht werden zu
2
h⃗ = p⃗ ⋅ q⃗ .
C
a⃗ ⋅ b⃗ = 0 , da a⃗ ⊥ b⃗.
D
Ausmultiplizieren führt zu der Gleichung
2
h⃗ + h⃗ ⋅ p⃗ − q⃗ ⋅ h⃗ − q⃗ ⋅ p⃗ = 0 .
E
Also ist |h⃗ |2
= |p⃗ | ⋅ |q⃗ |.
F
Mit a⃗ = h⃗ − q ⃗ und b⃗ = p⃗ + h⃗ erhält man:
(h⃗ − q⃗ ) ⋅ (h⃗ + p⃗ ) = 0 .
RICHTIGE REIHENFOLGE
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Unsere Tipps für die Aufgaben
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Gib den Beweis des Höhensatzes wieder.
1. Tipp
Der Höhensatz lautet
h2 = p ⋅ q. In Vektorenschreibweise lautet er |h⃗ |2 = |p⃗| ⋅ |q ⃗|
2. Tipp
Da sowohl die Vektoren a⃗ und b,⃗ h⃗ und p⃗ als auch
dass das Skalarprodukt dieser Vektoren 0 ist.
h⃗ und q ⃗ senkrecht aufeinander stehen, gilt jeweils,
3. Tipp
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert: Sei
eingeschlossene Winkel, dann ist
α der von den beiden Vektoren a⃗ und b⃗
a⃗ ⋅ b⃗ = cos(α ) ⋅ |a⃗ | ⋅ |b|⃗ .
4. Tipp
Sind zwei Vektoren kollinear, so schließen sie einen Winkel
Winkeln gilt cos(α ) = 1. Somit ist
p⃗ ⋅ q ⃗ = |p⃗| ⋅ |q ⃗|.
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α = 0∘
oder
α = 180∘
ein. Bei beiden
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Lösungen und Lösungswege für die Aufgaben
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Gib den Beweis des Höhensatzes wieder.
Lösungsschlüssel: C, F, D, B, A, E
Der Beweis startet mit der Orthogonalität der beiden Vektoren
a⃗ und b,⃗ also dem rechten Winkel in C.
a⃗ ⋅ b⃗ = 0.
Da sowohl
a⃗ = h⃗ − q ⃗ als auch b⃗ = p⃗ + h⃗ gilt, führt dies zu
(h⃗ − q ⃗) ⋅ (h⃗ + p⃗) = 0.
Diese Gleichung kann ausmultipliziert werden. Zusätzlich mit der Orthogonalität der Vektoren
sowie h⃗ und
h⃗ und p⃗
q ⃗ führt dies zu
2
(h⃗ − q ⃗) ⋅ (h⃗ + p⃗) = h⃗ + h⃗ ⋅ p⃗ − q ⃗ ⋅ h⃗ − q ⃗ ⋅ p⃗ = 0
2
⇔ h⃗ = p⃗ ⋅ q ⃗.
Der Höhensatz ist fast bewiesen. Da hier allerdings noch Skalarprodukte stehen und nicht die Längen von
Vektoren, müssen noch zwei Eigenschaften verwendet werden:
2
h⃗ = |h⃗ |2 und
p⃗ ⋅ q ⃗ = |p⃗| ⋅ |q ⃗|, da die beiden Vektoren kollinear sind.
2
Es gilt also |h⃗ | = |p⃗| ⋅ |q ⃗| und damit ist der Höhensatz bewiesen.
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