Lösungen 7.1, 7.2 Mathematische Methoden 17.11.04

Lösungen 7.1, 7.2
Mathematische Methoden
17.11.04
7.1 Aus dem WSW Satz folgt, dass das Dreieck durch die angegebenen Größen (bis auf
Kongruenzabbildungen) eindeutig bestimmt ist.
C
γ
h
Flächenberechnung:
38°
A
• 43°
8cm
B
Um die Höhe h des Dreiecks zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Länge BC aus
38◦
dem Sinussatz: BC = AB · sin
. Dann ergibt sich h = BC · sin 43◦ und
sin γ
Fläche (ABC) =
◦
◦
1
1
2 sin 38 · sin 43
· AB · h = AB ·
.
2
2
sin γ
Mit AB = 8 cm und γ = 180◦ − (38◦ + 43◦ ) = 99◦ ergibt sich die Dreiecksfläche zu
≈ 13, 6cm2 .
Umkreisradius:
γ
A
r
F
•
•
M
r
B
Die Kreislinie, auf der die Eckpunkte eines Dreiecks liegen, wird Umkreis genannt. Da
γ = 99◦ ein stumpfer Winkel ist, gilt nach dem Satz über Umkreiswinkel, dass der
Mittelpunktswinkel <
) BMA = 360◦ − 2γ.
Das Dreieck AMB ist gleichschenklig (da AM = BM = r) und somit ergibt sich für das
rechtwinklige Dreieck MBF , dass <
) BMF = 12 (<
) BMA) = 180◦ − γ und BF = 12 AB.
) BMF ) folgt schließlich
Aus BF = r · sin(<
1
AB
4cm
BF
2
=
=
≈ 4, 05cm.
r=
◦
sin(<
) BMF )
sin(180 − γ)
sin 81◦
7.2
z
A
Z
ν
α
b β
γ
s
δ
B
μ
S
Wir führen folgende Bezeichnungen ein z = AZ, s = AS, b = AB und die Winkel
α, β, γ, δ, µ, ν gemäß Skizze. Bekannt sind b = 200m, α = 21, 2◦, β = 78, 4◦, γ = 72, 3◦
und δ = 23, 4◦ .
Cosinussatz für ASZ:
2
ZS = z 2 + s2 − 2zs cos α
sin γ
sin ν
◦
Sinussatz für ABZ:
z =b·
Winkelsumme ABZ:
ν = 180 − (α + β + γ) = 8, 1◦
Sinussatz für ABS:
s=b·
sin(γ+δ)
sin µ
Winkelsumme ABS: µ = 180◦ − (β + γ + δ) = 5, 9◦
Es folgt:
sin γ
ZS = b
sin ν
≈ 834 m
2
+
sin(γ + δ)
sin µ
2
−2
sin γ · sin(γ + δ)
· cos α
sin ν · sin µ