Komplexe Zahlen - mathe

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Komplexe Zahlen Wir beginnen mit Beispielen. Wenn man nur ganze Zahlen kennen würde, dann hätte die Gleichung 2x = 5 keine Lösung. Wenn die Grundmenge G = R (= reelle Zahlen) ist, dann hat auch die Gleichung x2 + 1 = 0 keine Lösung, denn keine reelle Zahl zum Quadrat kann negativ sein. D.h. x2 ist immer größer oder gleich 0: x2 + 1 = 0 | ‐1 x2 = ‐1 | √ G = R L = { } Anders ist dies, wenn die Grundmenge G = C ist, also gleich den komplexen Zahlen: x2 + 1 = 0 | ‐1 G = C x2 = ‐1 | √ x1 = √ 1 x2 = ‐ √ 1 x1 = i x2 = ‐i L = { ‐i ; i } Die Zahl i ist eine imaginäre Zahl mit der Eigenschaft i2 = ‐1 (i = √ 1 ). Es gilt: i2 = ‐1 fl i3= ‐1∙ i = ‐i fl i4 = 1 Weitere Beispiele: x² = ‐9 | √ x1/2 = ≤ √ 9
9∙
1
x² ‐ 4x + 8 = 0 x1/2 = 2 ≤ √4
8 x1/2 = 2 ≤ √ 4 x1 = 2 + 2i x2 = 2 – 2i L = {2 – 2i; 2 + 2i} √9 ∙ √ 1
3i , also L = { ‐3i ; 3i } © www.mathe-total.de
Allgemein gilt: z = a + iÿb mit a, b œ R (dies gilt hier im Folgenden immer) heißt eine komplexe Zahl. Æ ↖
Realteil a Imaginärteil b Kurz: Re(z) = a Im(z) = b z
z
a
iÿb ist die zu z konjungierte komplexe Zahl. Man findet auch z* als Bezeichnung für die zu z konjugiert komplexe Zahl. In der Elektrotechnik, wo komplexe Zahlen ein große Rolle spielen, wird statt i der Buchstabe j verwendet (da i für die Stromstärke benötigt wird). Beispiel: Mit z = 2 + 3i wäre z = 2 – 3i. Es gilt außerdem für z: Re(z) = 2 Im(z) = 3 Graphische Darstellung: Komplexe Zahlen stellt man in einer komplexen Ebene dar, wie Vektoren. Auf der waagrechten Achse wird der Real‐ und auf der senkrechten Achse der Imaginärteil aufgetragen. Rechnen mit komplexen Zahlen: Es gelten die Rechenregeln, wie bei den reellen Zahlen. Man kann i wie eine Variable behandeln, man muss nur beachten, dass i2 = ‐1 ist. z1 = 3 + 2i z2 = 5 – 4i z1 + z2 = 3 + 2i + 5 – 4i = 8 – 2i z1 – z2 = 3 + 2i – (5 – 4i) = 3 + 2i – 5 + 4i = ‐2 + 6i © www.mathe-total.de
z1 ∙ z2 = (3 + 2i) ∙ (5 – 4i) = 15 – 12i + 10i – 8i² = 15 – 2i ‐ 8∙(‐1) = 23 – 2i Mit der dritten binomischen Formel ((a + b)(a – b) = a² ‐ b²) folgt: z = 3 ‐ 4i z = 3 + 4i z ∙ z = (3 – 4i) ∙ (3 + 4i) = 3² ‐ (4i)² = 9 – 16 ∙ (‐1) = 9 + 16 = 25 Allgemein: z = a + iÿb a, b œ R z = a – iÿb z ∙ z = (a + iÿb)(a – iÿb) = a² ‐ (iÿb)² = a² + b² (da i2 = ‐1) Damit ist z ∙ z immer eine reelle Zahl. Diesen Information kann man bei der Division komplexer Zahlen nutzen und den Nennern „reell machen“: z1 = 8 + 12i z2 = 2 – 4i ∙
∙
i Der Bruch wurde mit dem komplex konjugierten Nenner erweitern. Noch mal die Rechengesetze allgemein: z1 = a + iÿb a, b, c, d œ R z2 = c + iÿd z1 + z2 = a + c + iÿ(b + d) z1 – z2 = a – c + iÿ(b – d) z1 ∙ z2 = (a + iÿb) ∙ (c + iÿd) = ac + iÿad + iÿbc – bd = ac – bd + iÿ(ad + bc) Für (c ; d) ∫ (0, 0): © www.mathe-total.de
ÿ
∙ c iÿd
ÿ
∙ c iÿd
ÿ
(da i2 = ‐1) ²
ÿ
ÿ
²
²
²
²
²
iÿ
²
²
Darstellung in Polarkoordinaten: Man kann, statt eine komplexe Zahl z = a + iÿb (a, b œ R) mit ihrem Realteil Re(z) = a und ihrem Imaginärteil darzustellen, auch diese auch über ihre Länge, d.h. ihren Betrag |z| = r, und ihrem Argument arg(z) = j darstellen. Der Betrag von z ergibt sich über Pythagoras: |z| = √a
b Hier gilt also |z| = √ ∙ z∙ Wenn a > 0 und b ¥ 0 gilt, kann man das Argument von z über j = arg(z) = arctan
berechnen. Allgemein müsste man hier unterscheiden: a > 0 und b ≥ 0 : j = arctan
a < 0 und beliebig : j = + arctan a > 0 und b < 0 : j = 2 + arctan © www.mathe-total.de
Hier wird allgemein das Argument im Bogenmaß (Taschenrechner auf RAD stellen) dargestellt. Im Gradmaß wäre (Betrag und Argument berechnen: http://mathe‐total.de/M1/Komplexe‐
Zahlen/Berechnung.php): a > 0 und b ≥ 0 : j = arctan
a < 0 und beliebig : j = 180° + arctan
a > 0 und b < 0 : j = 360° + arctan
Man kann aber auch den Kosinus verwenden, wenn man zuvor den Betrag von z berechnet hat. Im Bogenmaß gilt dann: r = a²
b² b ≥ 0 : j = arccos b < 0: j = 2 – arccos Hier kann man komplexe Zahlen umwandeln:. Damit kann man eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form z = r ∙ (cos (j) + i ∙ sin (j)) oder in der Exponentialdarstellung z = r ∙ e i ∙ j über die Polarkoordinaten darstellen. Diese Darstellungen sind nicht eindeutig, denn wenn man Vielfache von 2p zu j addiert (im Gradmaß Vielfache von 360°), erhält man dieselbe komplexe Zahl (z.B. ist z = 2(cos(p) + i sin(p)) = 2(cos(p + kÿ2p) + i sin(p + kÿ2p)) mit ganzzahligen k). Die trigonometrische Darstellung ergibt sich durch: cos (j) = fl a = r ∙ cos(j) sin (j) = fl b = r ∙ sin(j) © www.mathe-total.de
Beispiele: z = 4 + 6i: r = |z| = 4²
6²
j = arg (z) = cos‐1 √
√16
36
√52 º 0,9828, z º √52 ∙ (cos(0,9828) + i ∙ sin(0,9828)) Im Gradmaß wäre: arg (z) = cos‐1 √
º 56,31°, z º √52 ∙ (cos(56,31°) + i ∙ sin(56,31°)) z = ‐1 + i: |z| = √2 j = + arctan(‐1) = ‐ /4 = ¾ Trigonometrische Darstellung: z = √2 ∙ (cos (¾ ) + i ∙ sin (¾ )) z = ‐3 – 4i:
r = |z| = 3
4 ²= √25 = 5 © www.mathe-total.de
j = + arctan (4/3) ≈ 4,0689 z ≈ 5 ∙ (cos(4,0689) + i sin(4,0689)) z = 12 – 5i: r = √144
25 = 13 j = 2 – arccos (12/13) ≈ 5,8884 z ≈ 13 ∙ (cos(5,8884) + i sin(5,8884)) In den Darstellungen über die Polarkoordinaten gilt für das Potenzieren: Sei z = r ∙ (cos(j) + i sin(j)) mir r ≥ 0 ; j œ R, dann gilt: zn = rn (cos(n ∙ j) + i sin(n ∙ j)) Da heißt beim Potenzieren zn wird der Betrag bzw. die Länge von z mit n potenziert und das Argument mit n multipliziert. Beispiel: z = 5 + 5i (|z| = √50 und arz(z) = π/4): (5 + 5i)4 = √50 ∙ cos
= ‐2500 i sin
= √50 ∙ cos π
i sin π (5 + 5i)5 = √50 ∙ cos 5 ∙
i sin 5 ∙
= ‐12500 – 12500 i n
Dies sieht man einfach an der Eulerdarstellung: z = r ∙ e i ∙ j fl zn = r ∙ e i ∙ n ∙ j Hier sieht man auch, dass das multiplizieren und das dividieren einfacher wird: z1 = r1 ∙ e z2 = r2 ∙ e z1 ∙ z2 = r1 ∙ e ∙ r2 ∙ e = r1 ∙ r2 ∙ e © www.mathe-total.de
z1/z2 = r1 ∙ e / (r2 ∙ e = ∙ e
) für r2 > 0 In der Trigonometrischen Darstellung: Es seien z1 = r1 (cos(j1) + i sin(j1)) und z2 = r2 (cos(j2) + i sin(j2)) zwei komplexe Zahlen Dann gilt: z1 ∙ z2 = r1 ∙ r2 ∙ (cos(j1 + j2) + i sin(j1 + j2)) für r1, r2 ≥ 0. z1/z2 = r1/r2 ∙ (cos(j1 ‐ j2) + i sin(j1 ‐ j2)) für r1 ≥ 0 , r2 > 0. Damit werden beim multiplizieren die Beträge multipliziert und die Argumente addiert, während beim Dividieren die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert werden. Beispiele: z1 = 2√2
z2 = √2
2√2i √2i (r1 = 4, r2 = 2, arg(z1) = 5/4 ,arg z2 3/4 ) z1 = 4 ∙ (cos (5/4 ) + i sin (5/4 )) z2 = 2 ∙ (cos (3/4 ) + i sin (3/4 )) z1 ∙ z2 = 2 ∙ 4 ∙ (cos(5/4 + 3/4 ) + i sin(5/4 + 3/4 )) = 8 ∙ (cos (2 ) + i sin(2 )) = 8 z1 / z2 = 4/2 ∙ (cos(5/4 – 3/4 ) + i sin(5/4 – 3/4 )) = 2 ∙ (cos( /2) + i sin( /2)) = 2 ∙ (0 + i) = 2i © www.mathe-total.de
Bemerkung zur komplexen Wurzel: Die Gleichung x³ = 1 ; x œ R hat (im reellen!) nur eine Lösung: x3 = 1
| √
x=1
L = { 1} In C hat eine Gleichung n‐ten Grades immer genau n Lösungen: z³ = 1 Wir verwenden hier der Einfachheit halber zunächst Gradzahlen: z3 = cos(0°) + i sin(0°) Lösungen sind alle komplexe Zahlen, deren Argument mit drei multipliziert 0° oder ein Vielfaches von 360° ergibt und deren Betrag hoch drei gleich 1 ist. Diese wären: z1 = cos(0°) + i sin(0°) ( = 1) z2 = cos(120°) + i sin(120°) z3 = cos(240°) + i sin(240°) Im Bogenmaß gibt es dann die drei Lösungen: z1 = cos(0) + i sin(0) = 1, z2 = cos(2p/3) + i sin(2p/3) und z3 = cos(4p/3) + i sin(4p/3).