Komplexe Zahlen

KAPITEL 1
Komplexe Zahlen
1.1 Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Was sind komplexe Zahlen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Grundrechenarten in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5 Konjugation und Betrag komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6 Gleichheit komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.7 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.8 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.9 Ergänzungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.10 Beispielaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.11 Zusammenfassung: Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1
1 Komplexe Zahlen
1.1 Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen
Lernziele 1
• Darstellung komplexer Zahlen in
– algebraischer/arithmetischer,
– trigonometrischer (in Polarkoordinaten)
– und exponentieller Form.
• Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen in arithmetischer
Form.
• Betrag und Konjugation komplexer Zahlen.
• Beschreibung von Mengen komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene.
• Multiplikation in trigonometrischer und exponentieller Form.
• Die Eulersche Formel und die Formel von Moivre.
• Potenzieren in algebraischer/arithmetischer, trigonometrischer und exponentieller
Form.
• Radizieren (Wurzelziehen) in trigonometrischer und expontieller Form.
√
n
– Einheitswurzeln, d.h.
1. Wieviele gibt es?
– Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen.
– Lösungen der quadratischen Gleichung.
1.2 Was sind komplexe Zahlen?
Typische Anwendungen für komplexe Zahlen liegen in
• der Elektrotechnik, wobei die Darstellung sowohl in algebraischer Form als auch graphisch erfolgt,
• Beschreibung von geometrischen Objekten (Kurven, Flächen, Mengen) im R2 .
1.3 Komplexe Zahlenebene
In der mit einem kartesischen (x, y )-Koordinatensystem versehenen Ebene stellen die Punkte
der x-Achse die reellen Zahlen dar. Komplexe Zahlen ergeben sich nun dadurch, dass alle
2
1.3 Komplexe Zahlenebene
Punkte z = (x, y ) als „Zahlen“ aufgefasst werden und man schreibt
z = x + iy .
Man nennt z komplexe Zahl mit dem Realteil Re z = x und dem Imaginärteil Im z = y. Man
nennt die x-Achse reelle Achse und die y -Achse wird imaginäre Achse genannt. Die Menge
aller komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet.
C := {x + iy : x, y ∈ R}.
Geometrisch lassen sich die komplexen Zahlen als Punkte bzw. Vektoren einer Ebene darstellen. Die Ebene, deren Punkte als komplexe Zahlen aufgefasst werden, heißt komplexe
Zahlenebene oder Gaußsche Zahlenebene.
Gaußsche
Zahlenebene
iy
(a, b)
z = a + ib
b = Im z
exponentielle Form
= r(cos ϕ + i sin ϕ)
|z|
=
trigonometrische Form
r
algebraische Form
= r eiϕ
ϕ
a = Re z
x
ib
Im z = b
Bei der algebraischen Form wird das Element (a, b) ∈ R2 mit der komplexen Zahl a + ib identifiziert, führt man Polarkoordinaten ein, so ergibt sich die trigonometrische Darstellung. Mit Hilfe
der komplexen Exponentialfunktion ergibt sich die exponentielle Form. Offensichtlich ergibt
sich die algebraische Form aus der geometrischen durch „Ausrechnen“. Schwieriger ist es,
aus der algebraischen Form die trigonometrische zu erhalten. Wegen
(r cos ϕ)2 + (r sin ϕ)2 = r 2 sin2 ϕ + r 2 cos2 ϕ = r 2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = r 2 = a2 + b2
ist
r =
√
a2 + b 2 .
Was gilt für den Winkel? Es gibt verschiedenen Varianten sich den Winkel richtig zu überlegen.
3
2 Komplexe Zahlen
2.1.3 Winkel aus dem Arkustangens
Es ist
y
r sin ϕ
=
= tan ϕ.
x
r cos ϕ
1 Komplexe Zahlen
Man muss nun mit Hilfe der Umkehrfunktion zum Tangens den Winkel ϕ bestim-
Mittels
men.
Wie Tangens
man leicht nachrechnet gilt
y aus
r sin ϕ
sin ϕ
Man kann den Winkel auch
=
=
= tan ϕ.
x
r cos ϕ bcos ϕr cos ϕ
=
= tan ϕ
a
r sin ϕ
Um diese Beziehung nach ϕ aufzulösen, benötigt man die Umkehrfunktion zum
berechnen.
Allerdings
gibt es auch
hierTangens
das Problem
mit der
Umkehrfunktion,
Tangens,
dies ist
der Arkustangens.
Da der
aber keine
eineindeutige
Funk- da der Tangens
keine
Funktion ist. zu verschiedenen Argumenten gibt, ist das
tion
ist,eineindeutige
da es gleiche Funktionswerte
nicht ganz trivial. Wir schauen uns deshalb zunächst die Tangensfunktion an:
tan x
3
2
1
−π
− 12 π
1
2π
−1
π
2π
3
2π
−2
−3
Um eine eineindeutige Zuordnung zu erhalten, schränkt man den Definitionsbe! π π"
erhält
als Umkehrfunktion
die − π ; π ein und
reich
des Tangens
aufman
das den
Intervall
− 2 , 2 ein unddes
Deshalb
schränkt
Definitionsbereich
Tangens
auf das Intervall
2 2
sogenannten
Hauptwerte desden
Arkustangens:
erhält als Umkehrfunktion
Arkustangens (Hauptwerte):
π
π
− < ϕ < π , t ∈ R.π
ϕ = arctan t ⇐⇒ wenn
tan ϕ = t 2 für − 2 < ϕ < , t ∈ R.
ϕ = arctan t ⇐⇒ tan ϕ = t
2
2
!
"
so muss man
Will man also Winkel ϕ außerhalb des Intervalls − π2 , π2 erhalten,
π π
Will man also Winkel ϕ außerhalb des Intervalls − ;
berechnen, so muss man Vielfache von π addieren (bzw. subtrahieren), da tan ϕ eine π -periodische Funktion ist. Es
gilt
2 2
Vielfache von π addieren (bzw. subtrahieren), da tan ϕ eine π-periodische
Funktion
• im 1. Quadranten a > 0 und b > 0, dann ist ϕ = arctan
• im 2. Quadranten a < 0 und b 9> 0, dann ist ϕ = arctan
• im 3. Quadranten a < 0 und b < 0, dann ist ϕ = arctan
• im 4. Quadranten a > 0 und b < 0, dann ist ϕ = arctan
b
a
b
a
b
,
+ π,
a
+ π,
a
+ 2π .
b
Weiterhin gilt für komplexe Zahlen a + ib auf den Koordinatenachsen:
• a > 0 und b = 0, dann ist ϕ = 0,
• a = 0 und b > 0, dann ist ϕ = π2 ,
• a < 0 und b = 0, dann ist ϕ = π ,
• a = 0 und b < 0, dann ist ϕ =
4
3π
.
2
1.3 Komplexe Zahlenebene
Gilt a = b = 0, so ist r = 0 und der Winkel ϕ ist dann beliebig.
Mittels Kosinus
Da r bereits bekannt ist, kann man den Winkel ϕ aus der Beziehung
a = r cos ϕ ⇐⇒
a
= cos ϕ
r
berechnen. Da der Kosinus aber keine eineindeutige Funktion ist, gibt es keine Umkehrfunktion.
Schränkt man den Definitionsbereich von cos x aber auf das Intervall [0; π ] ein, so ist der
Kosinus eineindeutig und man erhält die Umkehrfunktion
ϕ = arccos t,
für ϕ ∈ [0; π ], t ∈ [−1; 1].
5
1 Komplexe Zahlen
Dies entspricht dem roten Graphen von cos x in der folgenden Abbildung.
1
1
0,5
0
0
0,5
-0,5
−1
1
1,5
π
2
2
2,5
3
π
3,5
4
4,5
3π
2
5
5,5
6
2π
cos x
-1
Die übrigen Werte, d.h. die Werte für komplexe Zahlen im 3. bzw. 4. Quadranten ergeben sich
dann zu
a
ϕ = 2π − arccos ,
r
wie man mit Hilfe der Rechenregeln für den Kosinus leicht nachprüft:
cos ϕ = cos 2π − arccos
a
a a
a
= cos − arccos
= cos arccos
= .
r
r
r
r
Damit ergeben sich in Abhängigkeit vom Quadranten folgende Formeln zur Berechnung des
Winkels ϕ :
2. Quadrant
ϕ = arccos
x
r
3. Quadrant
ϕ = 2π − arccos
U
1. Quadrant
ϕ = arccos
x
r
4. Quadrant
x
x
ϕ = 2π − arccos
r
r
Falls, r = 0 ist, so ist der Winkel ϕ beliebig.
Praktisch muss man sich also überlegen:
• In welchem Quadranten liegt die komplexe Zahl (Skizze!)
• Wie groß ist der Winkel deshalb ungefähr?
• Daraus ergibt sich wie der Winkel zu berechnen ist.
6
1.4 Grundrechenarten in C
Bemerkung 1.1
In der Mathematik bevorzugt man für den Winkel das Intervall [0; 2π ]. In technischen Anwendungen wird allerdings gemäß DIN anders vorgegangen. Für komplexe Zahlen oberhalb der
reellen Achse (Im z = b > 0) werden positive Winkel, also ϕ = arccos ar und für komplexe
Zahlen unterhalb der reellen Achse sind die Winkel negativ zu nehmen, d.h. ϕ = − arccos ar .
1.4 Grundrechenarten in C
Die Summe und Differenz komplexer Zahlen ist durch
(x + iy ) + (u + iv ) := (x + u) + i(y + v )
(x + iy ) − (u + iv ) := (x − u) + i(y − v ).
definiert.
Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist definiert als
(x + iy)(u + iv ) = x(u + iv ) + iy (u + iv ) = xu + ixv + iyu + iyiv
= xu + i 2 yu + i(xv + yu) = (xu − yv ) + i(xv + yu).
Bemerkung 1.2
Die Addition/Subtraktion/Multiplikation von komplexen Zahlen erfolgt formal wie für reelle
Zahlen; es ist nur zu beachten, dass i 2 = −1 ist.
Bemerkung 1.3
Bei der Definition der Division benutzt man trickreich die binomische Formel:
(u + iv )(u − iv ) = u 2 − (iv )2 = u 2 + v 2
und damit ist
(x + iy ) (x + iy )(u − iv) (xu + yv ) + i(yu − xv ) xu + yv
yu − xv
=
=
= 2
+i 2
.
(u + iv ) (u + iv )(u − iv)
u2 + v 2
u + v2
u + v2
D.h. man erweitert den Bruch mit u − iv und erhält dadurch einen reellwertigen Nenner.
Beispiel 1.4
8 + 2i
(8 + 2i)(7 + i) 56 − 2 + i(8 + 14) 54
22
=
=
=
+i .
7−i
(7 − i)(7 + i)
49 + 1
50
50
7
1 Komplexe Zahlen
1.5 Konjugation und Betrag komplexer Zahlen
Definition 1.5
Die komplexe Zahl z̄ = x − iy heißt die zu z = x + iy konjugiert komplexe Zahl und
|z | :=
p
x 2 + y 2 heißt Betrag (oder auch Norm, Länge, Modul) der komplexen Zahl z.
Eigenschaften:
1. z = z,
2. z1 + z2 = z1 + z2 ,
3. z1 · z2 = z1 · z2 ,
4. Re z =
1
2
(z + z) ,
5. Im z =
1
2i
(z − z) ,
6. z ∈ R ⇐⇒ z = z,
7. |z | =
√
z · z bzw. z · z = x 2 + y 2 ,
8. |z | ≥ 0 und |z | = 0 ⇐⇒ z = 0,
9. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
10. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (Dreiecksungleichung).
Bemerkung 1.6
Insbesondere exisitert zu jeder komplexen Zahl z = x + iy 6= 0 die komplexe Zahl
1
x − iy
x − iy
z
= z −1 =
= 2
=
.
2
z
(x + iy )(x − iy ) x + y
|z |2
8
1.6 Gleichheit komplexer Zahlen
1.6 Gleichheit komplexer Zahlen
1.6.1 Gleichheit in algebraischer Form
Wir betrachten zwei komplexe Zahlen z1 = x1 +iy1 und z2 = x2 +iy2 , dann gilt
z1 − z2 = 0 ⇐⇒ |z1 − z2 |2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = 0
und damit folgt (x1 − x2 )2 = (y1 − y2 )2 = 0, also x1 = x2 und y1 = y2 . Offensichtlich folgt
umgekehrt aus x1 = x2 und y1 = y2 sofort z1 = z2 .
Satz 1.7
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil übereinstimmen.
1.6.2 Gleichheit in trigonometrischer Form
Wir betrachten zwei komplexe Zahlen
z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) = z2 ,
dann gilt aber auch |z1 | = |z2 |, d.h. r1 = r2 . Es verbleiben die Beziehungen
cos φ1 = cos φ2
und
sin φ1 = sin φ2 .
Am Einheitskreis gilt für den Kosinus
cos ϕ = cos(2π − ϕ) = cos(ϕ + 2π )
und für den Sinus
sin ϕ = sin(π − ϕ) = sin(2π + ϕ),
weiterhin gilt es wegen der 2π -Periodizität für ϕ + 2k π . Für Sinus und Kosinus gleichzeitig gilt
es nur für ϕ + 2k π , k ∈ Z. Deshalb gilt
ϕ2 = ϕ1 + 2k π ,
k ∈ Z.
Lemma 1.1
Zwei komplexe Zahlen in trigonometrischer Form sind genau dann gleich, wenn die
Beträge gleich sind und die Winkel sich nur um Vielfache von 2k π , k ∈ Z, unterscheiden.
9
1 Komplexe Zahlen
1.6.3 Multiplikation in trigonometrischer Form
Bei der Multiplikation in trigonometrischer Form wird zunächst wie mit reellen Zahlen gerechnet,
es ergeben sich aber Produkte von Sinus und Kosinus, die sich mittels Additionstheoremen
vereinfachen lassen:
z1 · z2 = {r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )} · {r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )}
= r1 r2 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
2
= r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 + (i) sin ϕ1 sin ϕ2 + i(cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 ))
= r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i(cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 ))
= r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ))
Satz 1.8
Komplexe Zahlen werden multipliziert indem man die Beträge multipliziert und die
Argumente (also die Winkel) addiert.
1.7 Potenzen
Als Spezialfall der Multiplikation erhält man für z = cos ϕ + i sin ϕ :
z 2 = r 2 (cos(2ϕ) + i sin(2ϕ))
und allgemein
z n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)),
n ∈ N.
Weitere Spezialfälle ergeben sich für r = 1 :
Satz 1.9 (Formel von Moivre)
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ),
und
10
n ∈ N.
1.8 Wurzeln
Satz 1.10 (Formel von Euler)
ei ϕ = cos ϕ + i sin ϕ.
Bemerkung 1.11
In der Funktionentheorie kann man nachweisen, dass ei ϕ tatsächlich als Exponentialfunktion
betrachtet werden kann. Insbesondere gelten die Rechenregeln für die Exponentialfunktion,
d.h.
1
ei(ϕ1 +ϕ2 ) = ei ϕ1 · ei ϕ2 ,
e−i ϕ = i ϕ .
e
Dies könnte man auch über Additionstheoreme für Sinus und Cosinus beweisen. Es gilt aber
ganz allgemein für eine beliebige komplexe Zahl z = x + iy :
ez = ex+iy = ex · eiy
und für zwei beliebige komplexe Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 :
e −z =
ez1 +z2 = ez1 · ez2 ,
1
.
ez
Wenn man ϕ = x setzt und die Exponentialfunktion eix als Reihe aufschreibt, so erhält man
eix =
∞
X
(ix)k
k=0
k!
=
∞
X
(−1)l x 2l
l=0
(2l)!
+i
∞
X
(−1)l x 2l+1
l=0
(2l + 1)!
= cos x + i sin x.
Insbesondere muss man die Konvergenz aller Reihen nachweisen (siehe Funktionenreihen).
1.8 Wurzeln
Wie löst man eine Gleichung der Form
z n = A,
A ∈ C?
Wir betrachten zunächst den Fall A = 1 und bestimmen die n-ten Einheitswurzeln, also
Lösungen der Gleichung
z n = 1.
Es sei z = r (cos ϕ + i sin ϕ). Hieraus folgt zunächst z n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)). Die komplexe
Zahl 1 hat die trigonometrische Darstellung
z n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = 1 = cos(0) + i sin(0).
11
1 Komplexe Zahlen
Aus der Gleichheit komplexer Zahlen (siehe Lemma 1.1, Seite 9) in trigonometrischer Form
folgt
gleiche Beträge: r n = 1 ⇐⇒ r = 1,
Argumente:
Folglich sind alle
zk = cos
2k π
n
nφ = 2k π , k ∈ Z.
+ i sin
2k π
n
,
k ∈ Z,
Lösungen von z n = 1 und damit Einheitsuwrzeln. Wegen der 2π -Periodizität von Sinus
und Kosinus gibt es aber nur n voneinander verschiedene Einheitswurzeln z0 , z1 , ... , zn−1 .
Satz 1.12 (Einheitswurzeln)
Es gibt genau n verschiedene komplexe Zahlen z0 , z1 , ... , zn−1 , die der Gleichung
zn = 1
genügen, diese sind gegeben durch
zk = ei
2k π
n
,
k = 0, 1, 2, ... , n − 1.
Beispiel 1.13
Die 7. Einheitswurzeln sind am Einheitskreis dargestellt:
12
1.8 Wurzeln
In analoger Weise gehen wir nun bei der allgemeinen Gleichung z n = A,
stellen beide komplexe Zahlen zunächst in Polarkoordinaten dar:
z = r (cos ϕ + i sin ϕ)
A ∈ C, vor. Wir
und A = R(cos Φ + i sin Φ).
Damit geht die Gleichung z n = A über in (Ausrechnen von z n und einsetzen in die Gl.)
r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = R(cos Φ + i sin Φ).
Aus der Gleichheit komplexer Zahlen in trigonometrischer Form (Lemma 1.1, Seite 9) folgt
gleiche Beträge: r n = R ⇐⇒ r =
√
n
R,
Argumente: nϕ = Φ + 2k π , k ∈ Z.
√
n
π
π
Damit sind alle zk = R cos Φ+2k
+ i sin Φ+2k
, k ∈ Z, Lösungen, aber wegen der 2π n
n
Periodizität von Sinus und Kosinus gibt es nur n voneinander verschiedene Lösungen
R ei
Φ+2k π
n
=
√
n
Φ
R ei n
Beispiel 1.14
√
Die 7. Wurzeln aus A = 1 + i = 2(cos
ei
π
4
2k π
n
n
= z0 · ei
k = 0, 1, ... , n − 1.
,
2k π
n
,
k = 0, 1, 2, ... , n − 1.
+ i sin π4 ) sind am Einheitskreis dargestellt:
1,
05
√
n
+ i sin
n
Φ + 2k π
p
2⇡
zk =
cos
Φ + 2k π
14
bzw.
R
r=
zk =
√
n
13
1 Komplexe Zahlen
Beispiel 1.15
Man bestimme alle 5. Wurzeln von
z = 4(1 − i).
Wir stellen z zunächst in trigonometrischer Form dar, dazu berechnen wir den Betrag von
z:
R=
p
42 + (−4)2 =
√
16 + 16 =
√
√
2 · 42 = 4 2 = 2 · 2 ·
√
2=
√ 2√ 2√
2
2
2=
Wir bestimmen den Winkel Φ mit Hilfe des Arkustangens:
y
= −1,
x
arctan
y
π
= arctan(−1) = − .
x
4
Da x > 0 und y < 0 ist, liegt z im 4. Quadranten und es gilt
π 7π
=
.
Φ = 2π + −
4
4
Alternativ erhält man mit Hilfe des Arkuskosinus
√
x
4
1
2
= √ = √ =
,
R 4 2
2
2
√
2 π
= ,
2
4
arccos
da z im 4. Quadranten liegt, ergibt sich
Φ = 2π − arccos
π 7π
x
= 2π − =
.
r
4
4
Damit lautet z in trigonometrischer Form:
z=
√
5
2
7π
7π
cos
+ i sin
4
4
.
Jetzt können wir alle 5 Wurzeln gemäß der Formel für das Radizieren hinschreiben:
zk :=
=
=
14
√
n
R
q
5 √
√
2
cos
5
2
Φ + 2k π
cos
cos
7π
4
n
7π
4
+ 2k π
5
+ 2k π
5
+ i sin
!
!
Φ + 2k π
n
+ i sin
+ i sin
7π
4
7π
4
+ 2k π
5
+ 2k π
5
!!
!!
,
k = 0, 1, 2, 3, 4.
√
5
2 .
1.9 Ergänzungen
und erhalten:
z0 =
√
2
cos
7π
4
+2·0·π
!
+2·1·π
!
+2·2·π
!
5
≈ 0, 64 + 1, 26i
z1 =
√
2
cos
≈ −1 + i
z2 =
√
2
cos
7π
4
5
7π
4
5
≈ −1, 26 − 0, 64i
z3 =
√
2
cos
7π
4
+2·3·π
!
+2·4·π
!
5
≈ 0, 22 − 1, 4i
z4 =
√
D
U
2
cos
7π
4
5
+ i sin
+ i sin
+ i sin
+ i sin
+ i sin
7π
4
+2·0·π
!!
+2·1·π
!!
+2·2·π
15π
20
23π
20
!!
=
√
2 cos
+2·3·π
!!
=
√
2 cos
+2·4·π
!!
=
√
5
7π
4
=
5
7π
4
7π
20
√
5
7π
4
=
5
7π
4
√
5
2 cos
2 cos
2 cos
+ i sin
7π
20
,
+ i sin
15π
20
,
+ i sin
23π
20
,
31π
20
+ i sin
31π
20
,
39π
20
+ i sin
39π
20
≈ 1, 4 − 0, 22i.
Sollten Sie die Zahlenwerte (gerundet auf 2 Stellen nach dem Komma) nicht erhalten,
so kann das daran liegen, dass Sie Ihren Taschenrechner falsch eingestellt haben!
Sie müssen Ihren Taschenrechner auf „RAD“ und nicht auf „DEG“ einstellen. Wie jeder
weiß, ist cos π = −1, ist Ihr Taschenrechner auf „RAD“ eingestellt, so klappt das auch, wie
man leicht überprüft, ist dagegen der Taschenrechner auf „DEG“ eingestellt, so ergibt sich
cos π = 0, 998497159 !! Das ist falsch!! Noch schlimmer wird es, wenn Sie den Taschenrechner
auf ‘”GRAD”’ eingestellt haben, GRAD steht für Neugrad und der Vollkreis hat 400 Neugrad!
Ganz falsch!!
1.9 Ergänzungen
Damit kann man z.B. auch quadratische Gleichungen lösen:
Beispiel 1.16
Man bestimme alle Lösungen der quadratischen Gleichung
z 2 + (1 + i)z +
9
(1 + i)2 = 0.
4
Lösung mittels quadratischem Ergänzen:
15
1 Komplexe Zahlen
9
z + (1 + i)z + (1 + i)2 =
4
2
1+i
z+
2
2
−
1+i
2
2
9
(1 + i)2 = 0
4
+
3π
3π
1+i 2
) = −2(1 + i)2 = −4i = 4 cos
+ i sin
⇐⇒ (z +
2
2
2
und damit ergeben sich die beiden Lösungen:
(1 + i) √
3π
3π
z1 = −
+ 4 cos
+ i sin
2
4
4
(1 + i)
=−
+2
2
z2 = −
√ !
√
2
2
−
+i
2
2
=−
(1 + i) √
3π
3π
− 4 cos
+ i sin
2
4
4
(1 + i)
=−
−2
2
√
√ !
2
2
−
+i
2
2
√ !
1+2 2
2
=−
+
√ !
1−2 2
2
−
√
2 2−1
2
√
!
2 2+1
2
i,
!
i.
Wir haben gesehen, dass die quadratische Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen immer
lösbar ist. Es gilt aber noch mehr.
Satz 1.17 (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes Polynom p(z) vom Grad ≥ 1 hat in C eine Nullstelle.
Folgerung: Jedes Polynom p(z) vom Grad n ≥ 1 lässt sich (über C) in Linearfaktoren zerlegen:
p(z) = an (z − z1 )(z − z2 ) · ... · (z − zn ),
wobei an eine beliebige aber feste komplexe Zahl ist und die zk , k = 1, 2, 3, ... , n, nicht
notwendig voneinander verschiedene Nullstellen von p(z) sind.
Satz 1.18 (Identitätssatz)
Stimmen zwei Polynome
p(z) =
n
X
j=0
aj z j
und
q(z) =
n
X
bj z j
j=0
(höchstens) n-ten Grades an (wenigstens) (n + 1) Stellen überein, so sind die Polynome
gleich, d.h. aj = bj für alle j.
16
1.10 Beispielaufgaben
1.10 Beispielaufgaben
1.10.1 Darstellung komplexer Zahlen
Aufgabe 1.1
Man stelle die komplexe Zahl
z=
3 − 2i
1 + ei
5π
3
in algebraischer Form, also als x + iy dar.
Damit man die Formel für die Division anwenden kann, muss zunächst der Nenner in die algebraische Form gebracht werden. Mit der Eulerschen Formel erhält man
e
i 53π
√
3
5π
5π 1
= cos
+ i sin
= −i
.
3
3
2
2
Damit ist der Nenner gleich
√
√
1
3 3
3
1+ −i
= −i
.
2
2
2
2
Wir berechnen nun die komplexe Zahl, indem wir mit der komplex konjugierten Zahl des
Nenners erweitern:
z=
3 − 2i
1 + ei
=
5π
3
=
3 − 2i
3
2
√
− i 23
√
= (3 − 2i)
3
2
√
√
−i
3
2
3
2
√
+i
3
2
√
3
2
√
+i
3
2
=
9
2
√
− i3 + i 3 2 3 +
9
3
+
√
3
3
4
√
18 − 12i + 6 3i + 4 3 9 + 2 3
( 3 − 2)
=
+i
≈ 2, 08 − 0, 13i.
12
6
2
1.10.2 Ungleichungen mit komplexen Zahlen und Mengen in C
Aufgabe 1.2
Man skizziere in der komplexen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z, die
√
die Ungleichung |2z − i | > 8 erfüllen.
Wir schreiben zunächst die komplexe Zahl in algebraischer Form auf:
2z − i = 2x + 2iy − i = 2x + i(2y − 1),
17
1 Komplexe Zahlen
dann gilt für den Betrag
|2z − i | = |2x + i(2y − 1)| =
Die Menge aller komplexen Zahlen mit |2z − i | >
|2z − i | =
p
(2x)2 + (2y − 1)2 >
√
p
√
(2x)2 + (2y − 1)2 .
8 ist folglich
8 ⇐⇒ (2x)2 + (2y − 1)2 > 8.
Obwohl Quadrieren keine äquivalente Umformung ist, ist diese Umformung äquivalent, da die
Wurzelfunktion auf ihrem Definitionsbereich monoton wachsend ist. Ausmultiplizieren führt
auf:
1
4x 2 + 4y 2 − 4y + 1 > 8 ⇐⇒ x 2 + y 2 − y + > 2.
4
Quadratisches Ergänzen für y ergibt
1
y −y + =
4
2
und damit
x2 +
2
1
y−
2
y−
1
2
2
2
−
1 1
+
4 4
> 2.
√
Weil x 2 + y − 12 = 2 einen Kreis mit dem Mittelpunkt 0; 12 und
√ dem Radius 2 beschreibt,
ist die gesuchte Menge aller komplexen Zahlen z mit |2z − i | > 8 gerade das Äußere dieses
Kreises.
iy
√ 2
r=
(0; 0.5)
|2z − i| >
√
8
x
Aufgabe 1.3
Man bestimme die Menge aller komplexen Zahlen z mit
|z + 2 − 3i | < |z + i |.
Wir schreiben die Beträge zunächst einzeln hin:
|z + 2 − 3i | = |x + iy + 2 − 3i | = |x + 2 + i(y − 3)| =
18
p
(x + 2)2 + (y − 3)2
1.10 Beispielaufgaben
und
|z + i | = |x + iy + i | = |x + i(y + 1)| =
Damit ergibt sich die Ungleichung
p
(x + 2)2 + (y − 3)2 <
die äquivalent zur Ungleichung
p
x 2 + (y + 1)2 .
p
x 2 + (y + 1)2 ,
(x + 2)2 + (y − 3)2 < x 2 + (y + 1)2
ist. Ausmultiplizieren ergibt
x 2 + 4x + 4 + y 2 − 6y + 9 < x 2 + y 2 + 2y + 1 ⇐⇒ 4x + 13 < 8y + 1
x 3
⇐⇒ y > + .
2 2
|z + 2 − 3i| < |z + i|
iy
i
3
2
3
x
1.10.3 Beispiel zum Potenzieren
Aufgabe 1.4
Man berechne die 1001-te Potenz, also z 1001 von
z = −1 + i.
Zunächst müssen wir z in trigonometrischer Form darstellen. Dazu berechnen wir zunächst
den Betrag von z:
p
√
√
r = x 2 + y 2 = 12 + 12 = 2.
Merke,
p der Imaginärteil von z = x + iy ist y und nicht iy, es gilt r =
r = x 2 − y 2.
p
x 2 + y 2 und nicht
19
1 Komplexe Zahlen
Nun berechnen wir den Winkel ϕ, entweder aus dem Arkustangens, in diesem Fall gilt
arctan
−1
π
y
= arctan
= arctan(−1) = − .
x
1
4
Die komplexe Zahl z liegt aber im 2. Quadranten, da x < 0 und y > 0 ist. Deshalb
ist
π 3π
ϕ = π + arctan(−1) = π − =
.
4
4
Damit haben wir die trigonometrische Darstellung
z = −1 + i = r (cos ϕ + i sin ϕ) =
√
3π
3π
2 cos
+ i sin
4
4
erhalten.
Würde man nicht den Arkustangens, sondern den Arkuskosinus verwenden, so ergäbe
sich:
√
−1
3π
− 2
x
)=
.
arccos = arccos √ = arccos(
r
2
4
2
Da z im 2. Quadranten liegt, ist also ϕ =
3π
.
4
Das Potenzieren geht nun ganz einfach:
z
1001
=
√
=
√
=
√
=
√
3π
3π
2 cos
+ i sin
4
4
1001
2
1001
2
1001
2
500
=2
√
1001
3π
cos 750π +
4
cos
2 cos
3π
4
+ i sin
+ i sin
1001
2
3003π
3003π
cos
+ i sin
4
4
3π
+ i sin 375 · 2π +
4
3π
4
3π
4
= 2500 z = 2500 (−1 + i).
1.10.4 Beispiel zum Wurzelziehen
Aufgabe 1.5
Man berechne die 1001-te Wurzel aus
z = 2500 (−1 + i).
20
3π
+ i sin 750π +
4
3π
cos 375 · 2π +
4
3π
4
=
√
1.10 Beispielaufgaben
Dazu benötigen wir den Betrag von z, es ist
r =
p
√
(2500 )2 + (2500 )2 =
21000 + 21000 =
√
√
21000 2 = 2500 2
und für den Winkel erhalten wir wie im vorigen Beispiel:
y
= −1
x
und damit ϕ =
3π
.
4
√
x
−2500
−1 − 2
√ =√ =
=
r
2
2500 2
2
bzw.
Also ist
500
z=2
500
(−1 + i) = 2
√
2 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
.
Wir ziehen nun die 1001-te Wurzel. Zunächst muss man die Wurzel aus dem Betrag von z
ziehen:
q
q
q
1001
Damit ergeben sich mit
Zahlen als Wurzeln:
zk :=
√
2
cos
√
1001
2500 2 =
√
1001
3π
4
√
r =
2
1000 √
2 und ϕ =
+ 2k π
1001
√
!
√
1001
2=
1001
2
√
=
2.
3π
4
insgesamt 1001 verschiedenen komplexe
3π
4
+ 2k π
+ i sin
!!
1001
, k = 0, 1, 2, ... , 1000.
Wir berechnen nur einige wenige genauer. Für k = 0 erhalten wir
z0 =
√
2 cos
3π
4004
+ i sin
3π
4004
und für k = 375 erhalten wir
z375 :=
√
2
3π
4
cos
=
+ 2 · 375 · π
1001
√
2
cos
3π
4
+
!
+ i sin
3000π
4
1001
=
√
!
3π
4
+ 2 · 375 · π
1001
3π
4
+ i sin
2 cos
3π
4
+
3000π
4
1001
+ i sin
!!
!!
3π
4
ebenfalls eine der Wurzeln, diese Zahl hatten wir im vorigen Beispiel gerade potenziert, um
2500 (−1 + i) zu erhalten.
Aufgabe 1.6
Welche drei Lösungen z ∈ C erfüllen die Gleichung
3
2
i
+ z 3 = 0?
21
1 Komplexe Zahlen
Geben Sie die Lösung in exponentieller und in arithmetischer Form an.
Zunächst formen wir die Gleichung um zu:
3
z =−
3
2
i
.
Damit wird klar, dass die Aufgabe darin besteht die dritten Wurzeln der komplexen Zahl
3
− 2i
zu bestimmen. Da man die Wurzeln am besten aus der trigonometrischen oder
auch exponentiellen Form bestimmen kann, berechnen wir nun Betrag und Argument dieser
komplexen Zahl. Als erster Schritt ist aber 2i geeignet zu bestimmen und zu potenzieren. Es
ist
2 2(−i) −2i
=
=
= −2i,
i
i(−i)
1
durch Erweitern mit −i, der konjugiert komplexen Zahl zu i. (Man kann natürlich auch sofort
mit 1i = −i multiplizieren.) Damit erhält man
3
2
i
3
3 3 3
= (−2i) = (−1) 2 i = (−1)8(−i) = 8i
und
−
3
2
i
= −8i.
Alternativ kann man auch zunächst Potenzieren und dann zur trigonometrischen Form übergehen:
3
23
8
8 8(−i)
2
=− 3 =−
= =
= −8i.
−
i
i
−i
i
i(−i)
Nun ist der Betrag und das Argument zu berechnen:
|8i | =
√
02 + 82 = 8
und −8i liegt auf der negativen imaginären Achse, d.h. ϕ = 32π . Die trigonometrische/exponentielle
Form ist folglich
3
3π
2
3π
3π
−
= 8 cos
+ i sin
= 8e 2 i .
i
2
2
Zum Abschluß sind die 3. Wurzeln aus dieser komplexen Zahl anzugeben. Es gilt
22
zk =
√
n
=
√
3
R
8
cos
cos
ϕ + 2k π
n
3π
2
+ 2k π
3
+ i sin
!
+ i sin
ϕ + 2k π
n
3π
2
+ 2k π
3
, k = 0, 1, ... , n − 1,
!!
, k = 0, 1, 2,
1.10 Beispielaufgaben
und damit
3π
3π
z0 = 2 cos
+ i sin
2·3
2·3
z1 = 2
cos
= 2 cos
z2 = 2
cos
3π
2
+ 2π
3
!
+ 4π
3
!
= 2 cos
+ i sin
7π
7π
+ i sin
6
6
3π
2
= 2ei
+ i sin
11π
11π
= 2 cos
+ i sin
6
6
3π
2
π
2
+ 2π
3
π
+ i sin π 2 = 2i = 2ei 2 ,
!!
= 2 cos
3π + 4π
6
3π + 8π
6
+ i sin
3π + 4π
6
+ i sin
3π + 8π
6
7π
6
≈ −1, 73 − i,
!!
3π
+
4
π
2
= 2ei
3
11π
6
= 2 cos
≈ 1, 73 − i.
Die Wurzeln liegen auf einem Kreis mit
dem Radius r = 2 um den Ursprung
und bilden ein gleichseitiges (reguläres) Dreieck. Für die Winkel gilt
α = β = γ = 120◦ .
23
1 Komplexe Zahlen
1.11 Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Darstellung komplexer Zahlen:
z = a + ib,
algebraische/arithmetische Form,
= r (cos ϕ + i sin ϕ),
trigonometrische Form,
iϕ
= re ,
exponentielle Form.
Eulersche Formel
ei ϕ = cos ϕ + i sin ϕ
Umrechnung algebraische in trigonometrische Form 1. Variante:
√
r =
(
ϕ=
a2 + b 2 ,
arccos ar ,
b ≥ 0, I. und II. Quadrant,
2π − arccos ar , b < 0, III. und IV. Quadrant.
Im Fall a = b = 0 ist der Winkel beliebig.
Umrechnung algebraische in trigonometrische Form 2. Variante:
r =
ϕ=
Weiter Begriffe
√
a2 + b 2 ,













arctan ba ,
π
2
,
arctan
b
a
a, b > 0,
a = 0, b > 0,
+ π,
3π
,
2
b
arctan a +
2π ,
a = 0, b < 0,
negative imaginäre Achse,
a > 0, b < 0
IV. Quadrant.
Im z = b = r sin ϕ
z = a − ib = r (cos ϕ − i sin ϕ)
|z | =
zz =
√
zz =
positive imaginäre Achse,
a < 0, b ∈ R, II. und III. Quadrant,
Re z = a = r cos ϕ
√
I. Quadrant,
√
a2 + b 2 = r
Realteil
Imaginärteil
konjugiert komplexe Zahl
Betrag
Gleichheit komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile gleich
sind:
z1 = a + ib = z2 = c + id, genau dann wenn a = c und b = d
24
1.11 Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Rechenregeln
(a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± d)
Addition, Subtraktion
Mulitplikation algebraisch, i 2 = −1
(a + ib)(c + id) = ac − bd + i(bc + ad)
r1 ei ϕ1 r2 ei ϕ2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 )
Multiplikation exponentiell
r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
= r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ))
Mulitplikation trigonometrisch
1
1
a − ib
a − ib
=
=
= 2
z a + ib (a + ib)(a − ib) a + b2
1
1
1
= i ϕ = e−i ϕ
z re
r
1
1
1
=
= (cos ϕ − i sin ϕ)
z r (cos ϕ + i sin ϕ) r
Division algebraisch
Division exponentiell
Division triginometrisch
Potenzieren, Formel von Moivre
z n = (a + ib)n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = r n einϕ
Wurzeln
Einheitswurzeln z n = 1
zk = cos
2k π
n
+ i sin
2k π
n
= ei
2k π
n
,
k = 0, 1, ... , n − 1.
Allgemeine z n = a + ib = R(cos ϕ + i sin ϕ)
zk =
√
n
R
cos
ϕ + 2k π
n
+ i sin
ϕ + 2k π
n
=
√
n
Rei
(ϕ+2k π )
n
, k = 0, 1, ... , n − 1.
25