Aufgabenblatt

Georg Nöldeke
Frühjahrssemester 2009
VWL 3: Mikroökonomie
Aufgabenblatt 1
1. Ein Konsument verfügt über ein Budget von m = 100. Die Güterpreise betragen p1 = 5
und p2 = 4. Stellen Sie Budgetmenge und Budgetgerade grafisch dar.
2. Das Güterbündel (x1 , x2 ) = (9, 1) und das Güterbündel (y1 , y2 ) = (1, 5) liegen auf der
Budgetgeraden eines Konsumenten. Bestimmen Sie die Budgetgerade. Bestimmen Sie
mit der zusätzlichen Information p1 = 2 auch das Budget des Konsumenten.
3. In einer Ausgangsituation ist das Budget eines Konsumenten m = 40, die Güterpreise
sind (p1 , p2 ) = (2, 1). Nun steigt der Preis des ersten Gutes auf p01 = 3. Um welchen
Betrag muss das Budget des Konsumenten steigen, damit das Güterbündel (x1 , x2 ) =
(12, 16) bei diesem neuen Preis gerade erschwinglich ist? Stellen Sie beide Budgetsituationen in einer geeigneten Grafik dar.
4. Zeichnen Sie jeweils einige Indifferenkurven, welche die folgenden Eigenschaften einer
rationalen Präferenzrelation erkennen lassen. Verwenden Sie dabei jeweils Pfeile, um
darzustellen, wo die zu einer Indifferenzkurve dazugehörige Bessermenge liegt.
(a) Die Präferenzrelation ist streng konvex und streng monoton.
(b) Die Präferenzrelation ist streng monoton, aber nicht konvex.
(c) Die Präferenzrelation ist weder konvex noch monoton.
5. Kann die folgende Grafik eine Indifferenzkurve einer rationalen Präferenzrelation darstellen? Ändert sich ihre Antwort, wenn die Präferenzrelation zudem streng monoton
sein soll?
6. Die Güterbündel x = (2, 5), y = (4, 1) und z = (3, 4) liegen auf einer Indifferenzkurve
einer Präferenzrelation. Kann diese Präferenzrelation artig sein?
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7. Bestimmen Sie für die folgenden stetigen und differenzierbaren Nutzenfunktionen die
Grenznutzen der beiden Güter und die Grenzrate der Substitution für Güterbündel x =
(x1 , x2 ) mit x1 > 0 und x2 > 0 (d.h. es sind nur innere Güterbündel zu betrachten).
(a) u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 mit a > 0 und b > 0
√
(b) u(x1 , x2 ) = 2a x1 + x2 mit a > 0
(c) u(x1 , x2 ) = (x21 + x2 )2
(d) u(x1 , x2 ) = xc1 xd2 mit c > 0 und d > 0
(e) u(x1 , x2 ) = c ln x1 + d ln x2 mit c > 0 und d > 0
(f) u(x1 , x2 ) = (x1 − a)(x2 − b) mit a > 0 und b > 0
(g) u(x1 , x2 ) = a ln x1 + x2 mit a > 0
8. Geben Sie an, welche der in der vorhergehenden Aufgabe betrachteten Nutzenfunktionen die folgenden Eigenschaften besitzen. Betrachten Sie durchweg nur innere Güterbündel.
(a) Es wird eine quasilineare Präferenzrelation dargestellt.
(b) Es wird eine Cobb-Douglas-Präferenzrelation dargestellt.
(c) Es wird eine artige Präferenzrelation dargestellt.
9. Die Präferenzrelation einer Konsumentin wird durch die Nutzenfunktion
√
u(x1 , x2 ) = 4 x1 + x2
dargestellt.
(a) Das Budget der Konsumentin ist m = 10. Der Preis von Gut 1 ist p1 = 1/2, der
Preis von Gut 2 ist p2 = 1. Bestimmen Sie die Lösung des Konsumentenproblems.
(b) Der Preis von Gut 1 fällt auf p1 = 1/4. Welches Güterbündel ist nun optimal?
10. Die Präferenzrelation eines Konsumenten kann durch die Nutzenfunktion
u(x1 , x2 ) = x1 + 4x2
dargestellt werden. Das Budget des Konsumenten ist m = 120.
(a) Welche Güterbündel ist bei (p1 , p2 ) = (5, 24) optimal?
(b) Wie ändert sich die Lösung des Konsumentenproblems, wenn der Preis von Gut
2 auf p2 = 15 fällt?
(c) Machen Sie sich die Lösungen grafisch klar, indem Sie die entsprechenden Budgetgeraden und Indifferenzkurven darstellen.
11. Die Nachfragefunktion einer Konsumentin ist für Preise und Einkommen, für welche
m + 1 > p2 > 1 gilt, durch
x1 = f1 (p1 , p2 , m) =
1
m − p2 + 1
, x2 = f2 (p1 , p2 , m) = 1 −
p1
p2
gegeben. Erfüllt diese Nachfragefunktion die Budgetidentität? Ist sie homogen vom
Grad Null in Preisen und Budget?
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12. Bei Preisen (p1 , p2 ) = (5, 5) und Einkommen m = 100 fragt ein Konsument das
Güterbündel (x1 , x2 ) = (12, 8) nach. Bei Preisen (p̃1 , p̃2 ) = (4, 8) und Einkommen
m̃ = 116 ist seine Nachfrage (x̃1 , x̃2 ) = (9, 10). Liegt hier eine Verletzung des schwachen Axioms der offenbarten Präferenzen vor?
13. Bestimmen Sie für die folgenden Nutzenfunktionen jeweils die Engelkurve von Gut 1
für p1 = p2 = 1 und die Nachfragekurve von Gut 1 für p2 = 1 und m = 10.
(a) u(x1 , x2 ) = min{ax1 , x2 } mit a > 0.
(
(b) u(x1 , x2 ) = xa1 x2 1 − a) mit 0 < a < 1.
(c) u(x1 , x2 ) = ln x1 + x2
14. Skizzieren Sie
(a) eine Einkommens-Konsumkurve, die erkennen lässt, dass Gut 1 für einen gewissen
Einkommensbereich inferior ist.
(b) eine Preis-Konsumkurve bei Veränderung des Preis von Gut 1, die erkennen lässt,
dass Gut 2 für manchen Preise von Gut 1 ein Substitut für Gut 1 und für andere
Preise ein Komplement für Gut 1 ist.
(c) eine Preis-Konsumkurve bei Veränderung des Preis von Gut 1, die erkennen lässt,
dass Gut 1 für einen gewissen Preisbereich ein Giffen-Gut ist.
15. Ein rationaler Konsument mit artiger Präferenzrelation fragt in einer Ausgangssituation bei Preisen (p1 , p2 ) = (5, 3) das Güterbündel (x1 , x2 ) = (10, 5) nach. Nun ändern
sich die Güterpreise zu (p01 , p02 ) = (6, 6); das Einkommen bleibt unverändert.
(a) Bestimmen Sie die Einkommenskompensation, welche die Kaufkraft des Konsumenten im Sinne von Slutsky unverändert lässt.
(b) Was können Sie hier über die Vorzeichen der Substitutionseffekte ∆xS1 und ∆xS2
aussagen?
(c) Was können Sie über das Vorzeichen des Gesamteffekts ∆x1 auf die nachgefrage Menge von Gut 1 aussagen, wenn Gut 1 für die zu betrachtende Einkommensänderung normal ist? Was gilt, wenn Gut 1 inferior ist?
16. Bestimmen Sie für die folgenden Nachfragefunktionen Einkommens- und Substitutionseffekte im Sinne von Slutsky für den Fall, dass ausgehend von einer Situation mit
(p1 , p2 , m) > 0 der Preis des ersten Gutes um ∆p1 steigt, während der Preis von Gut
2 und das Einkommen unverändert bleiben.
(a)
f1 (p1 , p2 , m) = c
(b)
f1 (p1 , p2 , m) =
m
m
, f2 (p1 , p2 , m) = (1 − c)
mit 0 < c < 1.
p1
p2
m
m
, f2 (p1 , p2 , m) = a
mit a > 0.
p1 + ap2
p1 + ap2
(c)
f1 (p1 , p2 , m) =
p2
m
, f2 (p1 , p2 , m) =
− 1,
p1
p2
wobei m > p2 unterstellt ist.
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17. Betrachten Sie die Marktnachfrage für den Fall, dass es nur zwei Konsumenten, a = 1, 2
gibt. Die Marktnachfragefunktion für das Gut i = 1, 2 ist dann
Fi (p1 , p2 , m1 , m2 ) = fi1 (p1 , p2 , m1 ) + fi2 (p1 , p2 , m2 ).
In der Vorlesung wurde behauptet, dass sich die Marktnachfragefunktion als Funktion
des aggregierten Vermögens M = m1 +m2 schreiben lässt, wenn die Präferenzrelationen
der Konsumenten identisch und homothetisch sind.
(a) Illustrieren Sie diese Behauptung durch das Beispiel, in dem die beiden Konsumenten identische Cobb-Douglas-Präferenzrelationen besitzen.
(b) Die Annahme, dass alle Konsumenten homothetische Präferenzrelationen haben,
reicht für das oben genannte Ergebnis nicht aus. Illustrieren Sie dieses durch
Bestimmung der Marktnachfragefunktion für den Fall, in dem die Konsumenten
unterschiedliche Cobb-Douglas-Präferenzrelationen besitzen.
(c) Die Annahme, dass alle Konsumenten identische Präferenzrelationen haben, reicht
für das oben genannte Ergebnis nicht aus. Illustrieren Sie dieses durch die Bestimmung der Marktnachfragefunktion für den Fall, dass die Präferenzrelationen
der beiden Konsumenten durch die Nutzenfunktion
√
u(x1 , x2 ) = 20 x1 + x2
dargestellt werden. Hinweis: Es genügt die individuellen Engelkurven für den Fall
p1 = p2 = 1 zu betrachten und ein Beispiel für eine Einkommensumverteilung
anzugeben, welche die Marktnachfrage verändert.
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