Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Klassische Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsrechnung
1.
Klassische Wahrscheinlichkeit
Definition:
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem die verschiedenen möglichen Ausgänge bereits im Voraus bekannt
sind, aber der tatsächliche Ausgang des Vorganges dem Zufall überlassen ist.
Beispiele:
1. Werfen einer Münze
2. Roulette spielen
3. Ziehen einer Jasskarte
4. Bestimmen des Alters, des Geschlechts oder der Blutgruppe von einer zufällig ausgewählten Person
Definition:
Ein Ausgang eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnis.
Definition:
Die Menge Ω aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments zusammen heisst Ergebnisraum (bzw. Stichprobenraum). Ein beliebiges Ergebnis aus Ω wird mit ω bezeichnet.
Beispiele (Fortsetzung):
1. Ω = {Kopf, Zahl}
2. Ω = {0, 1, 2, . . . , 36}
3. Ω = {Schellen Ass, . . . , Eichel 6}
4. Ω = {unendlich kleine Abstufung möglich} = R+
2.
Relative und absolute Häufigkeit
Einstiegsbeispiel / -experiment:
Ein Würfel wird 240 mal geworfen. Wie häufig kommt die Augenzahl 6“ vor?
”
n
10
20
30
40
50
60
70
80
90
H(6)
100
110
120
220
230
240
h(6)
n
H(6)
130
140
150
160
170
180
190
200
210
h(6)
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2. Relative und absolute Häufigkeit
Graphische Darstellung:
Definition:
Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses ist die Anzahl eines gewissen Ergebnisses, die bei einer gewissen
Anzahl von Wiederholungen eines Zufallsexperimentes ermittelt wurde.
Sie wird mit H(ω) bezeichnet.
Definition:
Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses ist der Anteil der Versuche eines Zufallsexperimentes, bei dem ein
gewisses Ergebnis eingetreten ist.
Sie wird mit h(ω) bezeichnet.
Formal wird die relative Häufigkeit folgendermassen berechnet:
relative Häufigkeit =
absolute Häufigkeit
Anzahl der Versuche des Zufallsexperimentes
intuitive Definition:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist eine Zahl, die angibt, wie gross die Chance“ ist, dass dieses
”
Ergebnis eintrifft. Sie wird mit P (ω) bezeichnet.
Definition:
Mit P bezeichnen wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, die jedem Ergebnis ω ∈ Ω eine Zahl zuweist.
Satz:
Gesetz der grossen Zahlen
Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, so liegt die relative Häufigkeit h(ω) eines Ergebnisses ω sehr nahe
bei P (ω).
Einstiegsbeispiel / -experiment (Fortsetzung):
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2. Relative und absolute Häufigkeit
Exkurs:
d Mengenlehre
Cantor erklärte den Begriff 1895 folgendermassen:
Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder
”
unseres Denkens zu einem Ganzen.“
Definition:
Die Objekte, aus denen eine Menge zusammengesetzt ist, nennt man Elemente.
Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird leere Menge genannt.
{} = ∅
Definition:
Eine Menge A heisst Teilmenge von B, wenn jedes Element der Menge A auch
ein Element der Menge B ist.
A⊂B (sprich: A ist Teilmenge von B)
Eine Menge B heisst Obermenge von A, wenn jedes Element der Menge A
auch ein Element der Menge B ist.
B⊃A (sprich: B ist Obermenge von A)
Definition:
Die Vereinigung (bzw. Vereinigunsmenge) zweier Mengen A und B besteht
aus allen Elementen, welche in A oder in B vorkommen.
A∪B (sprich: A vereinigt B)
Definition:
Der Durchschnitt (bzw. die Durchschnittsmenge) zweier Mengen A und
B besteht aus allen Elementen, welche in A und in B vorkommen.
A∩B (sprich: A geschnitten B)
Definition:
Die Differenz (bzw. Differenzmenge) der Menge A ohne der Menge B besteht aus allen Elementen der Menge A, welche aber nicht in der Menge B
vorkommen.
A\B (sprich: A ohne B)
Definition:
Das Komplement (bzw. die Komplementmenge) der Menge A ist gleich
der Menge der Elemente der Grundmenge G, welche nicht in der Menge A
vorkommen.
A (sprich: Komplement A)
c
0
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2. Relative und absolute Häufigkeit
Bemerkung:
Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit
Hat ein bestimmtes Ergebnis eines Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit p, dann machen wir die Prognose, dass
nach einer grossen Zahl n von Versuchsdurchführungen das Ergebnis n · p-mal aufreten wird.
Bsp.:
Definition:
Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eins von
diesen Ergebnissen eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen.
Regel:
Elementare Summenregel
Gehören zu einem Ereignis E die Ergebnisse a1 , a2 , . . . , am , so gilt für die Wahrscheinlichkeit P (E) des Ereignisses
E:
P (E) = P (a1 ) + P (a2 ) + . . . + P (am )
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zu E gehörenden
Ergebnissen a1 , a2 , . . . , am .
Bsp.:
Laplace-Versuche
Definition:
Haben bei einem Zufallsversuch mit s möglichen Ergebnissen aufgrund der gegebenen Versuchssituation diese
Ergebnisse dieselbe Chance aufzutreten, dann ordnen wir jedem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit p = 1s zu.
Solche Versuche heissen LAPLACE-Versuche.
Regel:
Laplace-Regel
Bei einem Laplace-Versuch gilt für die Wahrscheinlichkeit P (E) eines Ereignisses:
P (E) =
e
Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse
=
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
s
Bsp.:
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3. Mehrfache Zufallsexperimente
Regel:
Unmöglich-Sicher-Regel
Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 (0%) und 1 (100%). Das unmögliche Ereignis (E = {}) hat die
Wahrscheinlichkeit 0, das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1.
Bsp.:
Regel:
Allgemeine Summenregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Oder-Ereignisses E1 ∪E2 ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
E1 und E2 vermindert um die Wahrscheinlichkeit des Und-Ereignisses E1 ∩ E2 .
P (E1 ∪ E2 ) = P (E1 ) + P (E2 ) − P (E1 ∩ E2 )
Bsp.:
Regel:
Komplementärregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E und die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses E ergänzen sich zu 1.
Bsp.:
3.
Mehrfache Zufallsexperimente
Bspe:
1. Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen.
Ω = {(K, K), (Z, Z), (K, Z), (Z, K)}
Baumdiagramm:
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3. Mehrfache Zufallsexperimente
2. Ein Reissnagel wird zweimal hintereinander geworfen.
Ω
= {(Nagel gegen oben, Nagel gegen oben), (Nagel gegen oben, Nagel zur Seite),
(Nagel zur Seite, Nagel gegen oben), (Nagel zur Seite, Nagel zur Seite)},
wobei P (Nagel gegen oben) = 0.4 und P (Nagel zur Seite) = 0.6.
Baumdiagramm:
Regel:
Pfadproduktregel
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines (durch einen Pfad dargestellten) Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen.
Bsp:
Ein Würfel wird zweimal geworfen.
Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), . . . , (5, 6), (6, 6)}
Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die Zahlen 1 und 6 auf?
Baumdiagramm:
Regel:
Pfadadditionsregel
Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ein Ereignis aus verschiedenen Pfaden zusammen, dann erhält
man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses durch Addition der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten.
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4. Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Einstiegsbeispiel:
ELISA-Test: Nachweisverfahren für HIV-Infektion
Die Sensitivität eines Testes (Wahrscheinlichkeit einer korrekten Diagnose eines tatsächlich kranken Menschen) liegt
bei 99.5%. Die Spezifität (Wahrscheinlichkeit, dass der Test einen in Wirklichkeit gesunden Menschen als gesund
deklariert) liegt bei 99.5%. In Deutschland weiss man aus Krankenstatistiken, dass die HIV-Infektion bei 0.2% liegt.
Wie wahrscheinlich ist es, dass bei einer positiv-/krank-getesteten Person tatsächlich eine HIV-Infektion vorliegt?
Regel:
Bayes’sche Regel
Sei A ein Ereignis, das uns interessiert, und B eine Bedingung, unter der wir den Vorgang betrachten.
Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit PB (A) für A unter der Bedingung B berechnet sich wie folgt:
PB (A) =
4.
P (A ∩ B)
P (B)
Binomialverteilung
Bernoulli-Versuche
Definition:
Bei Bernoulli-Versuchen unterscheiden wir (willkürlich) nur zwei Ergebnisse; das eine nennen wir Erfolg, das
andere Misserfolg. Wichtig ist, dass sich bei einem mehrstufigen Zufallsversuch die Wahrscheinlichkeit für einen
Erfolg bzw. Misserfolg von Stufe zu Stufe nicht verändert; d. h. das Ergebnis einer Versuchsdurchführung hat
keinen Einfluss auf das Ergebnis der nächsten Stufe.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wir als Erfolgswahrscheinlichkeit p bezeichnet, die Wahrscheinlichkeit
für einen Misserfolg als Misserfolgswahrscheinlichkeit q, wobei q = 1 − p.
Bspe.:
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4. Binomialverteilung
Galtonbrett
Regel:
Wahrscheinlichkeit bei Bernoulli-Versuchen
Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei einem n-stufigen Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p (und
Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 − p) ist:
n k n−k
P (X = k) =
p q
(k = 0, 1, 2, . . . , n)
k
Definition:
Die zu einem n-stufigen Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p gehörige Verteilung heisst Binomialverteilung mit den Parametern n und p.
Bsp.:
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