Stochastik f 3ur ET SS 2016 MATLAB#Praktikum 2

Stochastik f u
• r ET
SS 2016
[email protected]
MATLAB-Praktikum 2: Wahrscheinlichkeiten, Simulation (Version 2)
1. Die diskrete Zufallsgröß
e X habe folgende Verteilung
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
pi 0.03 0.02 0.05 0.01 0.18 0.21 0.25 0.15
9
0.03
10
.07
a) Berechnen Sie Erwartungswert EX, Varianz V arX sowie die Wahrscheinlichkeiten P (X
X < 7); P (X > 4):
b) Berechnen Sie für Y = 3 X
5); P (2
4 die gleichen Größ
en wie unter a)
2
c) Berechnen Sie für Z = X =2 die gleichen Größ
en wie unter a)
Anleitung
De…nieren Sie jeweils die Vektoren X der Realisierungen und p der Wahrscheinlichkeiten (Spaltenvektoren!).
a) Erwartungswert m = X 0 p (Skalarprodukt = Zeilenvektor * Spaltenvektor) oder
m = sum(X: p) (X: p berechnet Vektor der komponentenweisen Produkte)
Varianz v = ((X m):^2)0 p
P (X 5) = sum(p(X <=5)):; P (2 X < 7) =sum(p(2<= X&X<7)):::
dabei erzeugt z.B. X
5 einen logischen Vektor mit den komponentenweisen Wahrheitswerten
von X 5
die Komponenten von p werden dann bei sum nur für die Indizees mit Wahrheitswert 1 berücksichtigt
Ergebnisse a):
Erwartungswert = 6:34, Varianz = 3:8644, P (X 5) = 0:29; P (2 X < 7) = 0:47; P (X > 4) =
0:89
b), c) analog mit Y = 3 X 4; Z = X:^2=2
Ergebnisse b):
Erwartungswert = 15:02, Varianz = 34:7796, P (X
4) = 0:95
Ergebnisse c)
Erwartungswert = 22:03, Varianz = 140:4541, P (X
4) = 0:95
5) = 0:10; P (2
X < 7) = 0:07; P (X >
5) = 0:10; P (2
X < 7) = 0:07; P (X >
2. Berechnen Sie für folgende Vektoren X und Y aus der gemeinsamen zweidimensionalen Verteilung die
Randverteilungen von X und Y sowie ihre Korrelation (vgl. Aufgabe 6 aus Übungsserie ).
Y
p(x,y)
0
1
2
0
0.025 0.015 0.010
1
0.050 0.030 0.020
X
2
0.125 0.075 0.050
3
0.150 0.090 0.060
4
0.100 0.060 0.040
5
0.050 0.030 0.020
Anleitung
X=[0 1 2 3 4 5]’(Spaltenvektor)
Y =[0 1 2]’(Spaltenvektor)
1
0
1
0.025 0.015 0.010
B 0.050 0.030 0.020
C
B
C
B 0.125 0.075 0.050
C
C
pxy = B
B 0.150 0.090 0.060
C
B
C
@ 0.100 0.060 0.040
A
0.050 0.030 0.020
Randverteilung von X: px=sum(pxy0 )’(Spaltenvektor)
Randverteilung von Y : py=sum(pxy)’(Spaltenvektor)
EX =X0 *px; EY =Y0 *py
V arX =(X-EX).^20 *px, V arY =(Y-EY).^20 *py
Berechnung von EXY
Variante 1: es wird die Matrix der Produkte aller Realisierungen von X; Y gebildet (gleiche Anordnung
wie in pxy):
X_mal_Y = X Y 0 (Matrix der Realisierungen von X Y , Spalte mal Zeile ergibt Matrix)
mpxy=sum(X_mal_Y: pxy) (Hilfsgröß
e: Zeilenvektor der Spaltensummen der Matrix X_mal_Y:
pxy)
EXY =sum(mpxy) (Summe der Komponenten des Zeilenvektors mpxy)
Variante 2: es wird ein Vektor der Produkte aller Realisierungen von X; Y gebildet
vX_mal_Y =[X*Y (1);X*Y (2);X*Y (3)] (Spaltenvektor der Realisierungen von X Y )
vpxy = pxy(:) Spaltenvektor aller Komponenten von pxy; der Wahrscheinlichkeiten zu vX_mal_Y
EXY = vX_mal_Y 0 *vpxy
weiter für beide Varianten:
Berechnung von Covarianz und Korrelation
Cov(X; Y ) = EXY EX EY
= Cov(X; Y )=sqrt(V arX V arY )
Ergebnisse
EX = 2.8; EY = 0.7; EXY = 1:96
V arX = 1:66; V arY = 0:61; Cov(X; Y ) = 0; rho = 0
3. Wenn beide Elternteile Linkshänder sind, ist ihr Kind mit Wahrscheinlichkeit 0.26 auch Linkshänder.
Betrachtet man in 20 solcher Familien jeweils die erstgeborenen Kinder, mit welcher Wahrscheinlichkeit
…ndet man darunter
a) keinen Linkshänder
b) weniger als 4 Linkshänder
c) mehr als 8 Linkshänder
Anleitung
binopdf (x; n; p) berechnet die Einzelwahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröß
e P (X =
x) = nx px (1 p)n x
binocdf
n; p) berechnet die Summenwahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröß
e P (X
P(x;
x
x) = k=0 nk pk (1 p)n k
Ergebnisse
a) 0.0024, b) 0.1962, c) 0.0515
4. Es wird erwartet, dass ein neues Medikament in 1% aller Fälle eine bestimmte Nebenwirkung verursacht. (vgl. Übungsserie 2)
Wie viele Probanden n müssen in einer Studie mindestens erfasst werden, um diese Nebenwirkung mit
Sicherheit von 95% mindestens einmal (zweimal, dreimal) zu beobachten?
Finden Sie durch Modellierung mit der Binomialverteilung jeweils eine geeignete Gleichung für n und
lösen Sie diese numerisch mit MATLAB.
Anleitung
X: Anzahl NW bei n Probanden,X ~Bin(n, p=0.01)
P(mindestens einmal NW) = P(X 1) = 1 P (X = 0) = 1 binopdf (0; n; 0:01) 0:95
Variante 1
2
Ungleichung über while-Schleife lösen (n schrittweise erhöhen, bis Ungleichung erfüllt ist)
Achtung: eventuell den letzten Wert von n um 1 verringern, wenn Erhöhungnach Prüfung des Abbruchkriteriums erfolgte
Variante 2
Gleichung für Binomialwahrscheinlichkeiten ausschreiben mit Formel P (X = x) = nx px (1 p)n x bei
unbekanntem n und gra…sche Lösung,
z.B. für ’mindestens zweimal NW: P(X 2) = 1 P (X = 0) P (X = 1) = 1 binopdf (0; n; 0:01)
binopdf (1; n; 0:01) 0:95
n=1:1000;
x=.05-.99.^n-n.*0.01.*.99.^(n-1); (Gleichung für 2mal NW nach Umstellung: Null auf rechter Seite)
plot(n,x)
grid on
ind=…nd(x>0,1,’…rst’)
oder
f = @(n).05-.99.^n-n.*0.01.*.99.^(n-1);
z = fzero(f,300) (300 ist hierbei ein Startwert für die Suchfunktion)
Ergebnisse
mind 1x NW: n=299
mind 2x NW: n=299
mind 3x NW: n=299
5. Ein Student benötigt für die Konstruktion eines Schaltkreises 12 Chips einer bestimmten Sorte. Er
kann sie bei einem Hersteller kostengünstig bestellen, allerdings produziert dieser Hersteller mit 4%
Ausschuss. Wie viele Chips sollte er bestellen, um mit Sicherheit 0.99 über genügend intakte Chips zu
verfügen?
Anleitung
bei n bestellten Chips ist die Anzahl X von intakten Chips dieses Herstellers binomialverteilt mit
X~Bin(n; p = 0:96)
n ist so zu bestimmen, dass P (X 12) 0:99 !
P (X
12) = P (X = 12) + ::: + P (X = n) = binopdf (12; n; 0:96) + ::: + binopdf (n; n; 0:96) =
1 binocdf (11; n; 0:96)
mit n = 13=14=15=16=::: ausprobieren, wann die Summe erstmalig > 0:99 ist (analog Aufgabe 4))
Ergebnis
n = 14 : p = 0:9833
n = 15 : p = 0:9976
somit 15 Chips
6. Eine Fluggesellschaft hat aus bisherigen Daten ermittelt, dass etwa 4% der reservierten Flüge nicht
angetreten werden. Daher plant sie zukünftig eine Überbuchung von Maschinen mit 250 Sitzplätzen
um 10 Reservierungen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dann noch jeder Fluggast, der die Reservierung in Anspruch
nehmen möchte, mit der gebuchten Maschine befördert?
Mit wie vielen Plätzen darf überbucht werden, wenn man das Risiko, dass nicht alle diese Fluggäste
befördert werden können, auf 95% begrenzen möchte.
Lösen Sie die Aufgabe
a) unter Verwendung der Binomialverteilung
b) durch Näherung mit der Normalverteilung.
Anleitung
a) X : Anzahl in Anspruch genommener Reservierungen, X~Bin(n = 260; p = 0:96);
P (X 250) = binocdf (250; 260; 0:96) = 0:5944
maximale Anzahl möglicher Überbuchungen, damit P (X 250) > 0:95
3
n = 256 : p = 0:945
n = 255 : p = 0:9764
Ergebnis
bei Überbuchung mit 10 Plätzen ist Sicherheit, dass alle Fluggäste mit Reservierung befördert
werden können: 0:5944
bei Überbuchung mit 5 Plätzen ist Sicherheit > 0:95; dass alle Fluggäste mit Reservierung befördert werden können
b) nach Grenzwertsatz von Moivre-Laplace gilt für X~Bin(n; p) näherungsweise X~N V mit den Parametern = n p; 2 = n p (1 p)
p
n = 260 : = n p = 260 0:96 = 249:6; 2 = n p (1 p) = 260 0:96 0:04 = 9:984 ! = 9:984 =
3:1597
P (X 250) normcdf (250; 249:6; 3:1597) = 0:5504
Ergebnis
0:5504 6= 0:5944
Näherung ist also ziemlich schlecht (Binimialverteilung bei p = 0:96 sehr schief im Unterschied
zur NV)
Achtung: Streuungsparameter bei MATLAB ist !!!
7. An einem Server gehen Anfragen von 3 Zwischenstellen ein, die unabhängig voneinander als poissonverteilt mit den Parametern 1 = 3; 2 = 3:5; 3 = 5 pro Minute verteilt sind.
Berechnen Sie die Verteilung der insgesamt eingehenden Anfragen pro Minute sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 15 Anfragen pro Minute eingehen.
Anleitung
Anzahl Anfragen an Zwischenstellen:Xi ~P ois( i ); i = 1; 2; 3
Verteilung der insgesamt eingehenden Anfragen pro Minute am Server S (Summe von unabhängigen
Poissonverteilungen) S = X1 + X2 + X3 es ist S~P ois( 1 + 2 + 3 ); 1 + 2 + 3 = 11:5
P (S > 15) = 1 P (S 15) = 1 (P (S = 0) + ::: + P (S = 15)) = 1 poisscdf (15; 11:5)
Ergebnis
Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 15 Anfragen pro Minute eingehen: p = 0:1217
8. Eine bestimmte Krankheit kann durch einen Bluttest eindeutig nachgewiesen werden. Sie trete mit
Wahrscheinlichkeit p auf. Der Test erfolgt bei n Personen üblicherweise separat, so dass jede der
entnommenen n Blutproben mit einem Test untersucht wird.
Alternativ kann man einen kombinierten Test dieser n Proben durchführen (Test mit Gemisch der n
Proben). Falls dieser negativ ist, sind alle n Personen negativ diagnostiziert.
Bei positivem Ergebnis des kombinierten Tests muss man noch einmal separat testen,
man braucht also zusätzlich n 1 Tests, falls die ersten n 1 negativ waren,
und man braucht also zusätzlich n Tests in jedem der übrigen Fälle.
(Dieses Verfahren wurde bei Armeeangehörigen im 2.Weltkrieg für den Test auf Syphilis angewandt.)
a) Berechnen Sie für p = 0:1 und n = 3 die erwartete Anzahl von Tests.
b) Wie großist n zu wählen für eine Kostenoptimierung bei p = 0:1?
c) Wie ändert sich n bei p = 0:05 bzw. p = 0:2?
Anleitung
a) Verteilung der Anzahl A von Tests
A = 1 mit Wahrscheinlichkeit p1 = 0:9n
A = 1 + (n 1) = n Tests mit Wahrscheinlichkeit p2 = 0:9n 1 0:1
A = 1 + n = n + 1 Tests mit Wahrscheinlichkeit p3 = 1 0:9n 0:9n
für n = 3
Erwartungswert der Anzahl der Tests: = 1:732
Verhältnis 1:732=3 = 0:577 33
1
b) für verschiedene Werte von n Erwartungswert berechnen und min suchen
n = 4 : EA = 1 0:94 + 4 0:93 0:1 + 5 (1 0:94 0:93 0:1) = 2:302 7
4
0:1
Verhältnis 2:302 7=4 = 0:575 68
n = 5 : EA = 1 0:95 + 5 0:94 0:1 + 6 (1 0:95 0:94 0:1) = 2:981 9
Verhältnis 2:981 9=5 = 0:59638
optimal ist also n = 4
c) analog b)
Ergebnis
p = 0:05 : n = 2 : 7 ergibt Erwartungswerte 1:1475 1 3828 1:6991 2:0904 2:5508 3:0749
Verhältnisse 0:5737 0:4609 0:4248 0:4181 0:4251 0:4393, somit n = 5
p = 0:2 : n = 2 : 7 ergibt Erwartungswerte 1:5600 2:3360 3:2592 4:2797 5:3616 6:4796
Verhältnisse 0:7800 0:7787 0:8148 0:8559 0:8936 0:9257, somit n = 3
9. Die Wärmeerzeugung an einem Widerstand (in Joule) sei normalverteilt mit N (77, 11,62 ).
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die erzeugte Wärme unter 60 ?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt sie über 90?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt sie zwischen 60 und 90 ?
Anleitung
a) X~N ( ; 2 );dann ist P (a < X < b) = normcdf (b; ; )
b), c) analog
Ergebnis
a) 0.0714, b) 0.1312, c) 0.7974
normcdf (a; ; )
10. Zwei Ohmsche Widerstände R1 und R2 werden hintereinander geschaltet. Sie seien unabhängig und
normalverteilt mit 1 = 500; 1 = 10 bzw. 2 = 200; 2 = 4 (alles in ):In welchen Grenzen
(700 "; 700 + ") liegt mit Sicherheit 0.99 der Gesamtwiderstand R1 + R2 ?
Anleitung
Verteilung von R1 + R2 nach Additionssatz: R1 + R2 ~N (700; 116) (Achtung: es addieren sich die
Varianzen!!!)
"
"
"
)
( p116
) = 2 ( p116
) 1
0:99 = P (700 " < X < 700 + ") = ( p116
p
"
"
1:99
p
p
= norminv (0:995; 0; 1) ! " = 116 norminv (0:995; 0; 1)
2 = ( 116 ) !
116
Ergebnis
" = 27:7425; Intervall (672:2575; 727:7425)
11. Die Zeit (in h) zwischen dem Eintre¤en zweier Telefonanrufe an einem Anschluss sei exponential verteilt
mit dem Parameter = 0:5.
a) Wieviel Zeit vergeht im Mittel zwischen dem Eintre¤en von 2 Anrufen?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tri¤t länger als eine Stunde kein Anruf ein?
Anleitung
a) X Dauer zwischen zwei Anrufen, X~ exp( = 0:5)
1
Erwartungswert ist EX = 1 = 0:5
=2
b) Achtung: Parameter der Exponentialverteilung in MATLAB ist der Erwartungswert, also lambda =
2
P (X > 1) = 1 P (X 1) = 1 expcdf (1; 2)
Ergebnis
P (X > 1) = 0:6065
12. Die zufällige Lebensdauer X (in h) eines Gerätetyps mit Verschleiß
erscheinung kann durch eine WeibullVerteilung
mit
der
Dichte
8
0
x 0
<
x 5
f (x) =
beschrieben werden. Es sei bekannt, dass nach 400 h Betriebs4
: 5 x e a
x>0
a a
dauer 95% der Geräte ausgefallen sind.
5
a) Bestimmen Sie den Parameter a und geben Sie die Verteilungsfunktion an.
b) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät länger als 300 Stunden arbeitet?
c) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät länger als 300 Stunden arbeitet, wenn seine
Lebensdauer bereits 200 Stunden überschritten hat?
Anleitung
a) allgemeine
8Form der Dichte der zweiparametrigen Weibull-Verteilung
0
x 0
<
x b
f (x) =
; somit ist b = 5
b
1
: b x
e a
x>0
a a
x 5
x b
Verteilungsfunktion F (x) = 1 e a = 1 e a
Berechnung von a aus Bedingung
P (X < 400) = F (400) = 0:95
!
400 5
a
1 e
=
0:95
!
400 5
a
0:05 = e
5
400
400
!a=
ln 0:05 =
= 321:19
1=5
a
( ln 0:05)
a = 321:19
5
x
somit F (x) = 1 e 321:19
b) P (X > 300) = 1
wblcdf (300; 321:19; 5)
1 wblcdf (300; 321:19; 5)
c) MATLAB: P (X > 300=X > 200) =
1 wblcdf (200; 321:19; 5)
somit Lebensdauerverteilung mit gehäuften Frühausfällen.
Nach Betriebszeit von 200 h ist die Überlebenszeit der nächsten 300 h größ
er als zu Beginn der
Betriebszeit 300 h zu überleben.
13. Testen Sie die in MATLAB implementierte Funktion rand zur Erzeugung von gleichverteilten (Pseudo)Zufallszahlen zwischen 0 und 1. Die dabei entstehende Folge wird durch die Wahl des Startwerts
beein‡usst, der bei wiederholtem Aufruf von rand intern verändert wird. Der aktuelle Startwert kann
durch s=rand(’seed’) ausgelesen werden. Soll die Folge reproduziert werden, setzt man den Startwert
zurück durch rand(’seed’,s).
a) Erzeugen Sie einen Vektor x von 10 auf (0,1) gleichverteilten Zufallszahlen.
b) Erzeugen Sie einen zweiten solchen Vektor y:
c) Erzeugen Sie zwei solche Vektoren z1 und z2, die die gleichen Werte enthalten, indem Sie den
aktuellen Startwert auslesen und beim 2. Aufruf wieder auf diesen Wert setzen.
Anleitung
a) x = rand(10,1);
c) s=rand(’seed’);
x1=rand(10,1);
rand(’seed’,s);
x2=rand(10,1);
% array mit 10 Zeilen, 1 Spalte
14. Erzeugen Sie Vektoren von auf (0; 1) gleichverteilten Zufallszahlen der Längen n = 100=1000=10000
und stellen Sie diese in einem Histogramm dar.
Anleitung
z = rand(n,1);
[anz,vals]=hist(z,[0 1])
bar(vals,anz)
6
15. Erzeugen Sie eine zufällige Folge von Nullen und Einsen der Länge n = 100=1000=10000 , die etwa
30% Einsen enthält - das entspricht n zufälligen Realisierungen der Zufallgröß
e X mit P (X = 1) =
0:3; P (X = 0) = 0:7.
Überprüfen Sie gra…sch, wie gut der Anteil von 30% realisiert wird.
Anleitung
z = rand(n,1);
x = z<0.3; damit wird ein 0-1-Vektor erzeugt entsprechend des komponentenweisen Wahrheitswerts
von z < 0:3
weiter wie Aufgabe 14
16. Durch randi erzeugt man gleichverteilte ganzzahlige Zufallszahlen aus der Menge f1; :::; N g :
a) Simulieren Sie die Ergebnisse des Würfelns mit einem symmetrischen Würfel bei n = 100=1000=10000
Wiederholungen und überprüfen Sie die Verteilung gra…sch.
b) Simulieren Sie die Ergebnisse des Würfelns mit zwei symmetrischen Würfel bei n = 100=1000=10000
Wiederholungen
Anleitung
a) x=randi(6,100,1); % N = 6
[anz,vals]=hist(x,[1:6])
bar(vals,anz)
% Balkendiagramm statt Histogramm verhindert Klassenbildung
b) analog mit x=randi(6,100,2);
17. Simulieren Sie einen Münzwurf mit symmetrischen Münzen
a) mit einer Münze und n = 100=1000=10000=100000 Wiederholungen
b) mit 4 symmetrischen Münzen, je n = 100=1000=10000=100000 Wiederholungen
c) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass bei 4 Würfen mindestens 2x Zahl fällt.
Anleitung
a) SM1=randi(2,n,1)
% erzeugt Kodierung mit 1 und 2
oder
z=rand(n,1)
% gleichverteilte Zufallszahlen
SM1 = z < 0.5
% erzeugt Kodierung mit 0 und 1
b) SM4=randi(2,n,4)
oder
z=rand(n,4) und weiter wie a)
c) die Outcomes in SM1 bzw SM4 sind nach Variante 1 mit 1 bzw. 2 codiert.
zur Ermittlung der Anzahl ’Zahl gefallen’ bei 4 Wiederholungen ist 0-1-Kodierung mit 1=’Zahl
gefallen’vorteilhaft
Überführung in 0-1-Kodierung durch Subtraktion einer Matrix aus nur Einsen, dann ist die Anzahl ’Zahl gefallen’, gleich der Zeilensumme der Einträge
SM4_0=SM4-ones(n,4);
anz_zahl=sum(SM4_0’); (Spaltenvektor der Zeilensummen)
prob_s=sum(anz_zahl >=2)/n
genaues Ergebnis:
Berechnung der exakten Wahrscheinlichkeit mit Binomialverteilung
für Zufallsgröß
e X : Anzahl Zahl bei 4 Versuchen gilt X~Bin(n = 4; p = 0:5)
P (X 2) = P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4) = binopdf (2,4,0.5)+binopdf(3,4,0.5)+binopdf(4,4,0.5)
18. Simulieren Sie einen Münzwurf mit unsymmetrischen Münzen
a) mit 1 solcher Münze, bei der Zahl mit Wahrscheinlichkeit 0.3 fällt, n = 100=1000=10000=100000
Wiederholungen
7
b) mit 4 solchen unsymmetrischen Münzen, n = 100=1000=10000=100000 Wiederholungen
c) Wie großist die geschätzte Wahrscheinlichkeit, dass nun bei 4 Würfen mindestens 2x Zahl fällt?
Anleitung
a) z=rand(n,1)
USM1 = z < 0.3
b) z=rand(n,4)
USM4 = z < 0.3
c) wie. b)
anz_zahl=sum(USM4’);
prob_s=sum(anz_zahl >=2)/n
genaues Ergebnis:
Berechnung der exakten Wahrscheinlichkeit mit Binomialverteilung
P (X 2) = binopdf (2,4,0.3)+binopdf(3,4,0.3)+binopdf(4,4,0.3)
19. Simulieren Sie das Würfeln mit 3 Würfeln.
a) Bestimmen Sie die Verteilung der Summe der drei Augenzahlen.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der von den 3 Würfeln gezeigten Augenzahlen größ
er
als 4?
Anleitung
a) bei n Wiederholungen
w =randi(6,n,3);
% pro Zeile 3 Würfelergebnisse
s=sum(w’);
% jeweilige Summe (Zeilensumme) der 3 Würfelergebnisse
ss=[3:18];
% mögliche Werte für die Summe
[ps,vs]=hist(s,ss)
bar(ss,ps)
Vergleich mit theoretischer Verteilung der Summe pk = h(k)=63
k 3 4 5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
h(k) 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10
6
3
1
Berechnung der theoretischen Verteilung in MATLAB als Faltung der Gleichverteilung auf f1; :::; 6g
u = 1=6 ones(6; 1) %Wahrscheinlichkeitsverteilung des Würfelergebnisses eines Würfels
u2=conv(u,u)
u3=conv(u2,u)
b) mit simulierten Würfelergebnissen:
prob_summe=sum((s>4))/n
zum Vergleich exakte Wahrscheinlichkeit
P (X > 4) = 1 P (X 4) = 1 P (X = 3)
P (X = 4) = 1
1=63
3=63 = 0:9815
20. Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit folgender Schaltung,wenn die einzelnen Komponenten unabhängig voneinander ausfallen mit den Wahrscheinlichkeiten
E1 E2 E3 E4 E 5 E 6
0.1 0.1 0.3 0.1 0.3 0.1
8
a) Lösen Sie die Aufgabe durch Simulation.
b) Wiederholen Sie die Simulationen mit gleicher Anzahl von Zufallszahlen zum Abschätzen der Stabilität des Ergebnisses.
Anleitung
Zustände mit gegebenen Ausfallwahrscheinlichkeiten analogAufgabe 7
Verknüpfung gemäßSchaltung durch Multiplikation bzw. max/min
a) M=100000;
abs_h=0;
for i=1:M
e1 = rand
e2 = rand
e3 = rand
e4 = rand
e5 = rand
e6 = rand
<0.9;
<0.9;
<0.7;
<0.9;
<0.7;
<0.9;
% E1 funktioniert mit Wkt. 0.9
s1=max(max(e2,e3),e4);
s2=max(e5,e6);
s=min(min(e1,s1),s2);
% Schaltung funktioniert
abs_h=abs_h+s;
% absolute Häuf. funktionierender Schaltungen
end
work_p=abs_h/M
fail_p=1-work_p
oder alles ohne Schleife
z=rand(n,6)
e1 = z(:,1) < 0.3
...
b) analog a)
9