Elektrotechnische Grundlagen
Werbung
Elektrotechnische Grundlagen [email protected] Jänner 2012 ii Inhaltsverzeichnis Vorwort xvii Einleitung I xix Systemtheoretische Grundlagen 1 1 Systeme 1.1 Lineare und nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Beispiele für Systeme mit linearem Verhalten . . . 1.1.4 Beispiele für Systeme mit nichtlinearem Verhalten 1.2 Zeitunabhängige und zeitabhängige Systeme . . . . . . . . 1.3 Passive und verlustlose Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Dynamische und nichtdynamische Systeme . . . . . . . . . 1.5 Kausale und nichtkausale Systeme . . . . . . . . . . . . . 1.6 Konzentrierte und verteilte Systeme . . . . . . . . . . . . 1.7 Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . 1.8 Analoge und digitale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 2 Signale und Zeitfunktionen 2.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Testsignale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Faltung mit Elementarfunktionen . . . . 2.3 Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Phasenverschiebung –Zeitverschiebung 2.4 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . 2.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 11 12 14 16 17 18 3 Spektren 3.1 Mathematische Darstellung von zeitkontinuierlichen Signalen . 3.2 Spektralsynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Spektralanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Numerische Berechnung der Fourierkoe¢ zienten . . . . 3.3.3 Die Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Eigenschaften der Fouriertransformation . . . . . . . . . 3.3.5 Operationen mit Signalen im Zeit- und Frequenzbereich 3.3.6 Frequenz und Zeit –Unschärfeprinzip . . . . . . . . . . 3.3.7 Numerische Berechnung der Fouriertransformation . . . 3.4 Größ e von Signalen (Energie und Leistung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 24 24 30 34 37 38 40 42 43 iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv INHALTSVERZEICHNIS 3.5 3.6 II Parseval’sches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ladungen und Ströme 43 44 45 4 Elektrostatik 4.1 Elektrische Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 In‡uenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Energie der Ladungsverteilung im elektrischen Feld . . . . . . 4.7 Das elektrische Feld als Träger der elektrischen Energie . . . 4.8 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Die Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 Mechanismen der dielektrischen Polarisation . . . . . 4.8.4 Energiedichte des elektrischen Feldes im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 50 51 53 54 55 55 55 55 56 57 57 5 Gleichströme 59 5.1 Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Das ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 Energie und Leistung elektrischer Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6 Mechanismen der elektrischen Leitung 6.1 Nachweis freier Elektronen in Metallen 6.2 Elektronentransport in Metallen . . . 6.3 Stromleitung im Vakuum . . . . . . . 6.4 Stromleitung in Gasen . . . . . . . . . 6.5 Stromleitung in Flüssigkeiten . . . . . 6.6 Stromleitung in Halbleitern . . . . . . 6.6.1 Der pn-Übergang . . . . . . . . 6.6.2 Die Halbleiterdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 64 64 65 65 65 68 68 7 Ströme und Felder 7.1 Lorentz-Kraft und Magnetfeld . . . . . . . 7.1.1 Kräfte auf Ströme im Magnetfeld . 7.1.2 Der Hall-E¤ekt . . . . . . . . . . . 7.2 Erzeugung von Magnetfeldern . . . . . . . 7.2.1 Strom und magnetische Feldstärke 7.2.2 Das Magnetfeld von Strömen . . . 7.2.3 Magnetostatik . . . . . . . . . . . 7.2.4 Elektromagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 71 72 73 74 74 76 77 78 III . . . . . . . . Elektrodynamik 8 Induktion 8.1 Induktionsversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Die Richtung des induzierten Stromes (Lenz-Regel) 8.3 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Energie und Energiedichte im Magnetfeld . . . . . 8.5 Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Koppelfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Anwendung der Induktion . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 85 87 88 89 89 91 92 92 INHALTSVERZEICHNIS 8.6.2 v Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9 Magnetische Materialien 97 9.1 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.2 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10 Elektromagnetische Wellen 10.1 Der Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Energieströmung und Energiedichte . . . . . . . . . . . . 10.3 Der Hertzsche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Nahfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Fernfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Erläuterungen zu den Feldbildern . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Energie‡uss in der Elementarwelle, Strahlungswiderstand 10.4 Lineare Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrotechnische Grundlagen 101 101 104 104 104 107 107 108 109 110 111 11 Elektrische Bauelemente 11.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Netzwerke, Ströme und Spannungen . . . . . . . . . . 11.1.2 Unabhängige Spannungs- und Stromquellen . . . . . . 11.1.3 Zählpfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Die Kirchho¤’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Ideale Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Idealer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.5 Spannung und Strom an L und C bei Schaltvorgängen 11.3.6 Schreibweise der Netzwerkgleichungen . . . . . . . . . 11.4 Präzisere Modelle der Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Spannungsquelle mit Innenwiderstand . . . . . . . . . 11.4.2 Ersatzschaltbild für den Kondensator . . . . . . . . . 11.4.3 Ersatzschaltbild für die Spule . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 113 114 115 116 116 118 118 118 119 121 122 123 124 124 125 125 126 12 Elektrische Netzwerke 12.1 Einfache Netzwerke . . . . . . . . . . 12.2 Topologische Netzwerkbeschreibung 12.2.1 Schleifenanalyse . . . . . . . 12.2.2 Knotenanalyse . . . . . . . . 12.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . 12.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 129 132 133 133 134 136 13 Lösung der Netzwerkgleichungen 13.1 Gleichstromanalyse . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Wechselstromanalyse . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 E¤ektivwert . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Komplexe Widerstände . . . . . . . 13.2.3 Leistung in Wechselstromnetzwerken 13.3 Allgemeine Zeitfunktion als Eingangssignal 13.3.1 Lösung im Frequenzbereich . . . . . 13.4 Systemantwort . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Lösung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 138 139 139 141 144 145 145 151 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi INHALTSVERZEICHNIS 13.4.2 Lösung im Zeitbereich . . . . . . . 13.4.3 Anfangsbedingungen . . . . . . . . 13.4.4 Eigenschaften der Systemfunktion 13.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 161 161 162 14 Wellenausbreitung auf Leitungen 14.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Ersatzschaltbild der Leitung . . . . . . . . 14.3 Herleitung der Leitungsgleichungen . . . . 14.4 Verlustfreie Leitung . . . . . . . . . . . . 14.4.1 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . 14.4.2 Lösung für harmonische Vorgänge 14.4.3 Re‡exionsfaktor . . . . . . . . . . 14.4.4 Impedanzverlauf einer Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 165 165 166 168 168 169 169 171 15 CMOS-Technologie 15.1 Der nMOS-Transistor (Anreicherungstyp, enhancement type) 15.2 p-MOS-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Schwellenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 MOS Entwurfsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Der CMOS-Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 177 178 179 179 179 V Analoge Signalverarbeitung 16 Verstärkerschaltungen 16.1 Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1 Der unbeschaltete Operationsverstärker 16.1.2 Der reale Operationsverstärker . . . . . 16.2 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquellen 16.2.2 Stromgesteuerte Spannungsquellen . . . 16.2.3 Spannungsgesteuerte Stromquellen . . . 16.2.4 Stromgesteuerte Stromquellen . . . . . . 16.3 Addierer und Subtrahierer . . . . . . . . . . . . 16.4 Integratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Di¤erentiatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6 Lösung von Di¤erentialgleichungen . . . . . . . 16.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 184 185 189 190 190 190 190 191 191 192 192 193 195 17 Analoge Signalverarbeitung 17.1 Analoge Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Approximation eines idealen Tiefpass…lters 17.1.2 Realisierung von analogen Filtern . . . . . . 17.1.3 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.4 Frequenztransformation . . . . . . . . . . . 17.2 Nichtlineare analoge Signalverarbeitung . . . . . . 17.2.1 Signalgleichrichtung . . . . . . . . . . . . . 17.2.2 Komparator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 198 199 207 208 208 209 209 209 211 VI Signalabtastung . . . . . . . . . . . . . 213 18 Signalabtastung 215 18.1 Vorteile digitaler Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 18.2 Abtastung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 INHALTSVERZEICHNIS vii 18.3 18.4 18.5 18.6 Mathematische Darstellung des Abtastvorgangs . . . . . . . . Aliasing und Folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Signalrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.1 Interpolations…lter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.2 Antialiasing Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7 Digitalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.8 Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) . . . . . . . 18.9 Abtastung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.10Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) . . . . . . . . . . 18.11Systeme mit unterschiedlichen Abtastraten (Multirate Filter) 18.12Zusammenfassung Fouriertransformationen . . . . . . . . . . 18.13Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 AD- und DA-Umsetzer 19.1 Abtast-Halte-Glieder . . 19.2 AD-Umsetzer . . . . . . 19.2.1 Parallelverfahren 19.2.2 Wägeverfahren . 19.2.3 Zählverfahren . . 19.3 Digital-Analog-Umsetzer 19.4 Zusammenfassung . . . VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 220 221 224 224 224 225 226 227 228 231 232 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 235 236 236 237 237 238 240 Anhänge 241 A Komplexe Zahlen A.1 Darstellung komplexer Zahlen . . . . . . . A.2 Die Euler’schen Formeln . . . . . . . . . . A.3 Rechenregeln für komplexe Zahlen . . . . A.3.1 Regeln für kartesische Koordinaten A.3.2 Regeln für Polarkoordinaten . . . . A.4 Geometrische Betrachtung . . . . . . . . . A.5 Achtung Phase . . . . . . . . . . . . . . . A.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 244 246 248 248 249 250 253 254 B MATLAB B.1 Der Workspace . . . . . . . . . . . . . B.1.1 Hilfe und Orientierung . . . . . B.1.2 Bildschirmausgabe . . . . . . . B.1.3 Namensgebung . . . . . . . . . B.1.4 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . B.1.5 Skalare, Vektoren, Matrizen . . B.2 Elementare Operationen . . . . . . . . B.3 Elementare komplexe Operationen . . B.4 Graphiken in Matlab . . . . . . . . . . B.5 Programmierung . . . . . . . . . . . . B.5.1 Kommentare . . . . . . . . . . B.5.2 Scripts . . . . . . . . . . . . . . B.5.3 Funktionen . . . . . . . . . . . B.5.4 Kontrollstrukturen . . . . . . . B.5.5 Ein- und Ausgabe . . . . . . . B.6 Kontinuierliche LTI-Systeme . . . . . . B.6.1 Approximation analoger Filter B.7 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . B.7.1 Approximation digitaler Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 258 258 258 258 258 258 260 260 260 261 261 261 261 261 262 262 263 263 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii INHALTSVERZEICHNIS B.8 Praktischer Filterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 B.9 Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 B.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Tabellenverzeichnis ix x TABELLENVERZEICHNIS Abbildungsverzeichnis 1.1 System als ”black box”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Analoge und digitale Signale . . . . . . . . . Sprungfunktion 1 (t) . . . . . . . . . . . . Darstellung des Einheitsimpulses . . . . . . Veranschaulichung des Faltungsintegrals . . s(t) = A sin( 2T0 t 34 ) . . . . . . . . . . . . Komplexe Darstellung der Sinusfunktion . . Phasenverschiebung Kosinus . . . . . . . . . Realteil der komplexen Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 Summe von Sinusschwingungen s(t) = s1 (t) + s2 (t) + s3 (t) . . . Signal im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . Spektrallinien bei quadratischem System . . . . . . . . . . . . . Spektraldarstellung einer Sägezahnfunktion . . . . . . . . . . . Zeiger mit entgegengesetzter Drehrichtung ! und ! . . . . . . Rechteckschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreieckschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Signal in Zeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektrum von jsin(t)j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektrum von s(t) = t2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Freqenzsynthese der periodischen Funktion t2 für 1 t 1 . Aperiodisches Signal periodisch fortgesetzt . . . . . . . . . . . . Rechteckimpuls im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . Einheitsimpuls im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . Betrags-, Phasenspektrum und Zeitfunktion von s(t) = 1 (t)e Skalierung der Zeitachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektrum Kosinusburst f0 = 3, = 2 und = 0:5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Veranschaulichung des elektrischen Flusses . . . Feldlinien (rot) und Potential‡ächen (schwarz) Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feld im Kugelinneren . . . . . . . . . . . . . . . Feld des Plattenkondensators . . . . . . . . . . Ober‡ächenladungen auf einem Dielektrikum . 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Tollmann-Versuch . . . . . . . . . . . . Leitung in Elektrolyten . . . . . . . . . Monokristallines Silizium (schematisch) Einbau eines Donator-Atoms . . . . . . Einbau eines Akzeptor-Atoms . . . . . . pn-Übergang an Spannung . . . . . . . . Diodenkennlinie . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Kraftwirkung auf Ladung im E . . . . . . . . . . . . . . . . 10 11 11 13 14 15 16 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t sin 10t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 22 22 23 27 29 31 32 33 34 34 36 36 37 38 41 . . . . zweier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . entgegengesetzter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 52 54 54 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 66 66 67 67 68 69 und B Feld . . . . . . . . . . . . . . . . 72 xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . xii ABBILDUNGSVERZEICHNIS 7.2 7.3 7.4 73 73 7.5 7.6 Stromdurch‡ossene Leiterschleife im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . Hall-E¤ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetfeld zweier paralleler Leiter (a) gleichgerichtet, (b) entgegengerichtete Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetfeld einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feldstärke im Luftspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 Anordnung zur Durchführung der Induktionsversuche . . . . Schalten des Spulenstromes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehung der Schleife im Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächenänderung der Schleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . Richtung des induzierten Stromes . . . . . . . . . . . . . . . . Gekoppelte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gekoppelte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungen, Ströme, Fluss im Transformator . . . . . . . . . Zeigerdiagramm (a) unbelasteter (b) belasteter idealer Trafo . Ersatzschaltbild realer Trafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spartrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 86 86 87 88 90 90 92 93 94 94 95 9.1 9.2 Magnetische Kreisströme in einem Material . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetischer DIpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 98 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Verschiebungsstrom im Kondensator . . . . . . . . Sich änderndes elektrisches und magnetisches Feld Koordinaten der schwingenden Ladung . . . . . . . E und H Feld eines Hert’schen Dipols . . . . . . Lineare Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strom-, Spannungsverteilung auf Antenne . . . . . 102 103 105 108 110 110 11.1 Netzwerkanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Idealisierte Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Schaltsymbole für Spannungs- und Stromquellen . . . . . . . . . . 11.4 Erzeuger- (links) und Verbraucher- (rechts) Zählpfeilsystem . . . . 11.5 Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Zählpfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Maschenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Schaltzeichen für gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9 Kapazität und Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.10Mechanisches Analogon zur Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . 11.11Au‡aden der Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.12Strom- und Spannungsverlauf beim Laden einer Kapazität . . . . . 11.13Schaltungssymbol der Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.14Einschalten einer Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.15Strom- und Spannungsverlauf beim Einschalten einer Induktivität 11.16Ersatzschaltbild reale Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . 11.17Belastete Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.18Umwandlung Spannungs- in Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . 11.19Ersatzschaltbild Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.20Ladungsverteilung auf zwei Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 114 115 116 116 117 117 118 119 120 120 121 121 122 122 124 124 125 125 126 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 130 131 131 132 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serienschaltung von R, L und C . Parallelschaltung von R; L; C . . Spannungsteiler . . . . . . . . . . Ersatzwiderstände im Netzwerk . Netzwerkgraph N . . . . . . . . . Spannbaum zum Graphen N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 77 78 . . . . . . . . . . . . ABBILDUNGSVERZEICHNIS xiii 12.7 Baum und Glieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.8 Anwendung der Schleifenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 12.9 Anwendung der Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 13.1 Übertragungsverhalten eines Netzwerks . . . . . 13.2 Schleifenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Zeitlich veränderliche Netzwerkgröß en . . . . . . 13.4 Wechselstromleistung . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Strom und Spannung an der Induktivität . . . . 13.6 Serienschaltung R und L . . . . . . . . . . . . . . 13.7 Netzwerkberechnung mit Knotenanalyse . . . . . 13.8 Bode-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9 Phasenverschiebung am Zweipol . . . . . . . . . . 13.10RLC-Serienschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . 13.11Netzwerkberechnung mit Laplace-Transformation 13.12LC-Tiefpass…lter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13Pol-/Nullstellendiagramm s3 +2s21+2s+1 . . . . . . 13.14PN-Diagramm von s27s+11 +4s+3 . . . . . . . . . . . . 13.15h(t) = h1 (t) + h2 (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.16Bode-Plot LC-Tiefpass H(s) = s3 +2s21+2s+1 js=j! 2 2 2 C s 13.17Frequenzgang RC-Hochpass R2 C 2Rs2 +3RCs+1 . . 13.18Zerlegung des Eingangssignals . . . . . . . . . . 13.19Anfangsbedingungen Induktivität . . . . . . . . 13.20Anfangsbedingungen Kapazität . . . . . . . . . 13.21Axonometrische Darstellung von jH(s)j in [dB] 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 138 139 140 141 142 143 144 144 145 152 155 155 156 156 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 160 161 161 162 . . . . . . . . . . . . . . . Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 169 171 171 172 172 173 Ersatzschaltung eines Zweidraht-Leitungsstücks . . . . . Leitung mit Abschlussimpedanz . . . . . . . . . . . . . . Spannungsverlauf auf einer Leitung (Z0 kapazitiv) . . . Spannungs- und Stromverteilung einer kurzgeschlossenen Spannungs- und Stromvereilung Z0 = Zw . . . . . . . . Impedanz der Leitung der Länge l0 . . . . . . . . . . . . Impedanzverlauf einer kurzgeschlossenen Leitung . . . . 15.1 ID ; VGS Kennlinie (VDS 0:1V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 15.2 p- und n-Kanaltransistor als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 15.3 Schaltsymbole MOSFETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 16.1 Schaltungssymbole für Verstärker . . . . . . . . . 16.2 Blockdiagramm einer Signalverarbeitungskette . 16.3 Schaltsymbol des Operationsverstärkers . . . . . 16.4 Der invertierende OPV . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Der nichtinvertierende OPV . . . . . . . . . . . . 16.6 RC-Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7 Asymptoten an Frequenzgang . . . . . . . . . . . 16.8 Frequenzgang ohne und mit Gegenkopplung . . . 16.9 Stromgesteuerte Spannungsquelle . . . . . . . . . 16.10Spannungsgesteuerte Stromquellen . . . . . . . . 16.11Summationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . 16.12Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.13Bodediagramm des idealen Integrators . . . . . . 16.14Di¤erentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.15OPV-Schaltung zur Lösung von DGL 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 184 185 186 187 187 188 189 190 191 191 192 193 193 194 17.1 Frequenzverhalten von Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 17.2 Toleranzschema eines Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 xiv ABBILDUNGSVERZEICHNIS 17.3 Frequenzkennline eines idealen TP-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Approximation durch Potenzansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Nullstellen von (a) F (s)F ( s) = 1 + s8 (b) F (s)F ( s) = 1 s6 . . . . . 17.6 Frequenzgang Potenz- und Tschebysche¤-Filter 5. Ordnung . . . . . . . . 17.7 Cauer…lter 5. Ordnung (linear und doppelt logarithmisch) . . . . . . . . . 17.8 Sinuskomponenten mit unterschiedlicher Phase . . . . . . . . . . . . . . . 17.9 SZeilensignalïn Falschfarbendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.10Bessel- und Tschebysche¤-Tiefpass 5. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 17.11Frequenzgang und Sprungantworten Filter 5. Ordnung . . . . . . . . . . . 17.12Aktiver Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.13Frequenztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.14Diode und Ersatzschaltung (Strichlierte Linien stehen für ein genaueres Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.15Gleichrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.16Komparator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 200 201 202 203 203 204 205 206 208 209 18.1 Signalabtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Periodisches Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Überlappen von Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6 Drehung eines Speichenrads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7 Rekonstruktion mit Rechteckimpulsen . . . . . . . . . . . . . . 18.8 Rekonstruktion mit Dreieckpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . 18.9 Interpolation durch ideales Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.10Impulsantwort des idealen Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.11Rekonstruktion durch sinc-Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.12Überlappung benachbarter Spektren . . . . . . . . . . . . . . . 18.13Blockdiagramm digitale Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . 18.14Amplitudenquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.15DTFT von x[n] = 0:5n 1 [n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.16Abtastung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.17Abtastung im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . 18.18Fourierreihe (FR), Fouriertransformation (FT), Zeitdiskrete FT Diskrete FT (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (DTFT), . . . . . . 217 219 219 220 221 221 222 222 222 223 224 225 225 226 227 228 229 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 Abtast- und Halteschaltung . . . . . . . . . . Blockdiagramm 2bit-Parallelwandler . . . . . Blockdiagramm Wandler nach Zählverfahren Blockdiagramm Dual-Slope-Wandler . . . . . DA-Parallelwandler . . . . . . . . . . . . . . . DA-Wandler nach dem Wägeverfahren . . . . DA-Wandler nach dem Zählverfahren . . . . A.1 Zeiger in der komplexen Ebene . . . . . . . A.2 Zeiger in Polardarstellung . . . . . . . . . . A.3 Polar - kartesisch . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Zeiger im 2. Quadranten . . . . . . . . . . . A.5 Geometrische Interpretation der Euler’schen A.6 Rechts- und linksdrehende Zeiger . . . . . . A.7 Zeigeraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8 Subtraktion von Zeigern . . . . . . . . . . . A.9 Zeigermultiplikation . . . . . . . . . . . . . A.10 Zeigerdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . A.11 Potenzen der komplexen Zahl . . . . . . . . A.12 Wurzeln von 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 210 210 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 236 237 238 239 239 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 245 245 246 247 248 250 251 251 251 252 252 ABBILDUNGSVERZEICHNIS xv A.13 Wurzel aus ej50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 A.14 Phasendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 A.15 » Negativer« Betrag erzeugt P hase = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 xvi ABBILDUNGSVERZEICHNIS Vorwort Dieser Text ist als Unterstützung zu meinen Vorlesungen an der Technischen Universität Wien entstanden und richtet sich vor allem an Studentinnen und Studenten der Technischen Informatik. Mit dem Studienjahr 2011/2012 tritt ein neuer Studienplan mit neuer Sto¤aufteilung in Kraft. Die » Elektrotechnischen Grundlagen« sind im neuen Studienplan physikalisch orientiert, zum Unterschied vom alten Studienplan, in dem die ET systemorientiert dargestellt wurde. Die ETneu endet mit dem Abtasttheorem, die früheren Kapitel zu digitalen Filtern entfallen. Dafür wurden die Lehrveranstaltungen » Signale & Systeme 1 & 2« im neuen Studienplan in das Bachelorstudium verschoben. Herbert Grünbacher Wien, Februar 2012 xvii xviii VORWORT Einleitung Dieser Text ist in die Abschnitte Systemtheoretische Grundlagen, Ladungen und Ströme, Elektrodynamik, Elektrotechnische Grundlagen, Analoge Signalverarbeitung, Signalabtastung und einen Anhang gegliedert. Der Abschnitt Systemtheoretische Grundlagen führt den Systembegri¤ –vor allem für lineare Systeme –ein und stellt die Darstellung von Signalen und Zeitfunktionen im Zeit- und Frequenzbereich voran. Im Abschnitt Ladungen und Ströme werden elementare Zusammenhänge der Elektrostatik, Gleichströme, die Mechnismen der elektrischen Leitung, sowie Ströme und Felder behandelt. Im Abschnitt Elektrodynamik werden Induktion, magnetische Materialien, sowie die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im freien Raum behandelt. Der Abschnitt Elektrotechnische Grundlagen befasst sich mit einfachen elektrischen Bauelementen (R, L, C) und inkludiert eine Darstellung von MOS Felde¤ektransistoren. Des weiteren wird die Erstellung und Lösung von Netzwerkgleichungen für Gleich- und Wechselgröß en und transiente Vorgänge behandelt. Schließ lich wird die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf Zweidrahtleitungen behandelt. Der Abschnitt Analoge Signalverarbeitung befasst sich mit Verstärkerschaltungen und behandelt analoge elektrische Filter. Der Abschnitt Signalabtastung stellt mit dem Abtasttheorem die theoretischen Zusammenhänge beim Übergang von analogen in digitale Signale dar und gibt einen Überblick über die Prinzipien von Analog-/Digital- bzw. Digital-/AnalogWandlern. Im Anhang …ndet sich eine zusammenfassende Darstellung über Komplexes Rechnen, sowie einige Hinweise zur Verwendung von Matlab. Mit diesem Text soll die Erarbeitung von Grundlagenwissen unterstützt werden und die theoretische Basis für ein Fachgebiet gelegt werden, in dem man durch Probieren nicht weiterkommt. Die Zusammenhänge werden in mathematischer Form dargestellt, um Erfahrungen in eine möglichst kompakte Form zu bringen und in dieser Form zu verbreiten: Mathematik als Kurzschrift für die Zusammenfassung von Erkenntnissen und als Anweisung für die Auswertung/Anwendung der Erkenntnisse. Durch mathematische Verfahren können viel kompliziertere Zusammenhänge erfasst werden, als es mit blosem Nachdenken möglich wäre. Um vom oft mühsamen Rechnen zu befreien, wird Matlab als Werkzeug zur Durchführung von Berechnungen und von gra…schen Darstellungen eingesetzt. xix xx EINLEITUNG Teil I Systemtheoretische Grundlagen 1 Kapitel 1 Systeme Inhalt 1.1 Lineare und nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . 1.1.1 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Beispiele für Systeme mit linearem Verhalten . . . 1.1.4 Beispiele für Systeme mit nichtlinearem Verhalten 1.2 Zeitunabhängige und zeitabhängige Systeme . . . 1.3 Passive und verlustlose Systeme . . . . . . . . . . 1.4 Dynamische und nichtdynamische Systeme . . . . 1.5 Kausale und nichtkausale Systeme . . . . . . . . . 1.6 Konzentrierte und verteilte Systeme . . . . . . . . 1.7 Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme . . . 1.8 Analoge und digitale Systeme . . . . . . . . . . . . 1.9 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 Ein System ist eine Anordnung von miteinander verbundenen Komponenten zur Realisierung einer technischen Aufgabenstellung. Ein System kann abstrakt als ein (nicht näher de…nierter) Operator aufgefasst werden, der Eingangsgröß en auf Ausgangsgröß en abbildet. Wird der Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang eines Systems mathematisch dargestellt, spricht man von Eingangs-Ausgangs-Verhalten des Systems. Ist das E/A-Verhalten – ohne die interne Struktur zu kennen – bekannt, spricht man vom System als » black box« . Wir schreiben formal 0 1 0 1 y1 x1 B y2 C B x2 C B C B C (1.1) B .. C = A B .. C @ . A @ . A ym Ein System ist eine Anordnung von Komponenten, das Eingangsgröß en auf Ausgangsgröß en abbildet. xn und beschreiben damit die Ausgangsgröß e y, die durch Wirkung des Systems A auf die Eingangsgröß e x entsteht. Ein elektrisches System, eine elektrische Schaltung, ist eine Zusammenschaltung von elektrischen Komponenten (Widerständen, Kondensatoren, Transistoren, ...). Bei einem elektrischen System werden die Systemeigenschaften durch das Verhalten der Bauelemente (z.B. das ohmsche Gesetz bei Widerständen) und durch die Verbindungen zwischen den Bauelementen (die Kirchho¤’schen Gesetze) bestimmt. Daraus entstehen Gleichungen, die Eingangs- und Ausgangsgröß en in Beziehung setzen. Diese Gleichungen stellen ein mathematisches Modell des elektrischen Systems dar. Systeme können durch mathematische Modelle dargestellt werden. Die Systemzusam3 Die Beziehungen zwischen Eingangsgröß en und Ausgangsgröß en können durch mathematische Gleichungen beschrieben werden. 4 KAPITEL 1. SYSTEME Abbildung 1.1: System als ”black box” menhänge werden in Form von linearen und nichtlinearen Gleichungen oder linearen und nichtlinearen Di¤erenzen- oder Di¤erentialgleichungen erfasst. Die Lösung dieser Gleichungssysteme beschreibt das Systemverhalten. Die Lösung der Systemgleichungen ist häu…g schwierig oder sogar unmöglich und man muss Vereinfachungen tre¤en oder …ndet nur numerische Lösungen. Bei kontinuierlichen Eingangsgröß en treten die Systemgleichungen in Form von Differentialgleichungen auf, bei diskreten Systemen in Form von Di¤erenzengleichungen. Bei der Untersuchung von Systemen treten folgende Aufgabenstellungen auf: Systemanalyse Es muss ein mathematisches Modell und die Antwort des Systems auf eine gegebene Eingangsgröß e gefunden werden. Diese Aufgabe nennt man Systemanalyse. Systemsynthese Für eine gegebene Eingangsgröß e und eine gewünschte Ausgangsgröß e wird ein System gesucht. Diese Aufgabe nennt man Systemsynthese. Die dritte Möglichkeit, zu einem gegebenen System und einer bekannten Ausgangsgröß e die Eingangsgröß e zu bestimmen, hat keinen eigenen Namen. Diese Aufgabenstellung tritt in der Messtechnik auf. Systeme können eingeteilt werden in: 1. Lineare und nichtlineare Systeme 2. Zeitunabhängige und zeitabhängige Systeme 3. Dynamische und nichtdynamische Systeme 4. Kausale und nichtkausale Systeme 5. Systeme mit konzentrierten und verteilten Parametern 6. Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme 7. Analoge oder digitale Systeme 8. Stabile und nichtstabile Systeme 1.1 1.1.1 Lineare und nichtlineare Systeme Lineare Systeme Ein System ist genau dann linear, wenn der Überlagerungssatz gilt, d.h. wenn das System homogen und additiv ist. Ein System ist homogen, wenn folgender Zusammenhang gilt: Ursache!Wirkung + k Ursache! k Wirkung die k-fache Ursache führt zur k-fachen Wirkung (für eine beliebige Konstante k 2 R). Ein System ist additiv, wenn gilt: 1.1. LINEARE UND NICHTLINEARE SYSTEME 5 Ursache1!Wirkung1 Ursache2!Wirkung2 + Ursache1+Ursache2!Wirkung1+Wirkung2 Homogenität und Additivität zusammengefasst führen zum Überlagerungssatz Ein System ist linear, wenn der Überlagerungssatz gilt. k1 Ursache1 + k2 Ursache2! k1 Wirkung1 + k2 Wirkung2 8k1 ; k2 2 R » Ursache« und » Wirkung« sind dabei als nicht näher de…nierte abstrakte Größ en zu verstehen. Man kann sich zum Beispiel Zahlen, Funktionen (in einer oder mehreren Variablen), physikalische Größ en wie Strom oder Spannung, sowie (diskrete oder kontinuierliche) Signale (Siehe Abschnitt 2.1) darunter vorstellen. Bei linearen Systemen durchlaufen Signale das System ohne zu interagieren, d.h. ohne sich gegenseitig zu beein‡ussen! Beispiel 1 (Lineares Kopfrechnen) Ein praktisches Beispiel für die Anwendung des Überlagerungssatz liefert das Kopfrechnen: Die » Eingangsgröß e« 3023 wird über ein » System« mit der Eigenschaft y = 4 x » übertragen« . 3023 wird im Kopf in die » Ursachen« 3000 + 20 + 3 zerlegt, die » Wirkungen« auf die Ursachen durch Multiplikation mit 4 ermittelt und die Gesamtwirkung durch Addition der Einzelwirkungen ermittelt: 12000 + 80 + 12 = 12092. Da bei linearen Systemen (per De…nition) der Überlagerungssatz gilt, können » komplizierte« Eingangsgröß en aus einfacheren Komponenten zusammengesetzt werden. Für jede dieser Komponenten wird einzeln die Ausgangsgröß e des Systems ermittelt. Die Summe der Ausgangsgröß en für alle Komponenten liefert die Ausgangsgröß e für die » komplizierte« Eingangsgröß e. 1.1.2 Nichtlineare Systeme Als Beispiel eines nichtlinearen Systems betrachten wir ein einfaches quadratisches System. Beispiel 2 Wir zeigen das Verhalten des Systems, das durch die Funktion y = x2 (die den Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang beschreibt) gegeben ist. Als gutes Beispiel dient wieder das Kopfrechnen. Zerlegen wir die Eingangsgröß e 27 in einfachere Komponenten 20 und 7, erhalten wir die entsprechenden Ausgangsgröß en 202 = 400 und 2 7 = 49. Wenn wir diese addieren, erhalten wir 400 + 49 = 449, was aber 6= 272 = 729 ist. Der Überlagerungssatz ist damit verletzt, das System ist also nicht linear. 1.1.3 Beispiele für Systeme mit linearem Verhalten Elektrische Schaltkreise aus ohmschen Widerständen, Kondensatoren und Spulen Elektronische Schaltkreise wie Verstärker und Filter (innerhalb des Versorgungsspannungsbereichs) Mechanische Systeme aus Masse-Feder-Dämpfung Resonanz und Nullung Di¤erentiation und Integration Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen und Schallwellen in isotropen Medien Alle Systeme die durch lineare Di¤ erential- oder Di¤ erenzengleichungen beschrieben werden können. Bei linearen Systemen können die Systemantworten auf einzelne Komponenten der Eingangsgröß e getrennt berechnet werden. 6 Reale Systeme sind nie ganz linear. KAPITEL 1. SYSTEME Anmerkung 3 Linearität von realen Systemen ist nur innerhalb gewisser physikalischer Grenzen gegeben. Werden diese Grenzen überschritten, verhalten sich Systeme nichtlinear bis sie begrenzt oder zerstört werden. 1.1.4 Beispiele für Systeme mit nichtlinearem Verhalten Leistung eines elektrischen Widerstands P (t) = R I 2 (t) Nichtlineare elektronische Schaltungen wie Spitzendetektoren, Quadrierer, Frequenzverdoppler, Schwellwertschalter, Komparatoren Nichtlineare E¤ekte in elektronischen Schaltkreisen wie Begrenzen, nichtlineares Verstärken, Sättigungse¤ekte Hysteresis-E¤ekte in magnetischen Schaltkreisen Multiplikation von Signalen wie bei der Frequenzmischung (Die Multiplikation mit einer Konstanten ist eine lineare Operation.) Digitale Logik Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen und Schallwellen in anisotropen Medien Alle Systeme deren Beschreibung auf nichtlineare Di¤ erential- oder Di¤ erenzengleichungen führt. Anmerkung 4 In vielen nichtlinearen Systemen kann das System um den Betriebspunkt linearisiert werden und damit die nichtlineare auf eine lineare Beschreibung vereinfacht werden. 1.2 Ein zeitinvariantes System ändert seine Eigenschaften mit der Zeit nicht. Zeitunabhängige und zeitabhängige Systeme Ein System ist zeitinvariant, wenn ein um n0 verzögertes (verschobenes) Eingangssignal, zu einem um n0 verzögerten Ausgangssignal führt, das System also sein Übertragungsverhalten nicht mit der Zeit ändert. Ein lineares System ist zeitunabhängig, wenn die Koe¢ zienten der linearen Di¤erentialgleichungen, die das System beschreiben (bei elektrischen Netzwerken die Werte der Bauelemente), konstant sind. Man spricht von linearen und zeitinvarianten (time invariant) (LTI) Systemen. In analogen Systemen ist Zeitinvarianz wegen der Temperaturabhängigkeit und Alterung der elektronischen Bauelemente in der Regel nur eingeschränkt gegeben, digitale Systeme haben hier einen klaren Vorteil, da ihr Übertragungsverhalten davon unbeein‡usst ist. 1.3 Passive und verlustlose Systeme Ein Systen wir passiv genannt, wenn ein Eingangsignal endlicher Energie zu einem Ausgangsignal führt, dessen Enegie maximal gleich der Energie des Eingangssignals ist. Wenn die Energie von Eingangs- und Ausgangssignal gleich ist, spricht man von einem verlustlosen System. 1.4 Dynamische Systeme ziehen auch vergangene Werte der Eingangsgröß e in die ”Berechnung” der Ausgangsgröß e mitein. Dynamische und nichtdynamische Systeme Ein System heiß t nichtdynamisch (speicherlos), wenn die Antwort des Systems y(t) nur vom Wert der Eingangsgröß e x(t) zur Zeit t abhängt. Bei dynamischen Systemen hängt die Ausgangsgröß e nicht nur vom augenblicklichen Wert der Eingangsgröß e, sondern auch 1.5. KAUSALE UND NICHTKAUSALE SYSTEME 7 von vergangenen Werten ab. Bei elektrischen Netzwerken sind Schaltungen mit Kondensatoren und Spulen dynamische Systeme (es wird elektrische und magnetische Energie in den Bauelementen gespeichert), bei digitalen Systemen kann der Speicher z.B. der Inhalt eines Registers sein. 1.5 Kausale und nichtkausale Systeme Bei kausalen Systemen hängt die Systemantwort lediglich von gegenwärtigen und vergangenen Werten der Eingangsgröß e ab, nicht jedoch von zukünftigen Werten der Erregung. Ein kausales System kann erst antworten, wenn eine Eingangsgröß e anliegt. Antwortet ein System ohne Anliegen einer Eingangsgröß e, so muss es Kenntnis über das zukünftige Verhalten der Eingangsgröß e haben, was bei physikalischen Systemen nicht möglich ist, da die Wirkung nicht vor der Ursache eintreten kann. Jedes praktische System, das in Echtzeit arbeitet, muss daher ein kausales System sein. Kausalität hat nur eine Bedeutung, wenn die Begri¤e » vorher« und » nachher« eine Bedeutung haben. Bei der Signalverarbeitung von aufgezeichneten Daten verschwindet diese Bedeutung und Signalverarbeitungssysteme können dann auch nichtkausal sein, eine Verarbeitung in Echtzeit ist dann aber nicht möglich. 1.6 Konzentrierte und verteilte Systeme Bei der Beschreibung von elektrischen Systemen können wir häu…g vereinfachte Bauelementbeziehungen annehmen. So gilt zum Beispiel das ohmsche Gesetz, das den Zusammenhang zwischen Spannungsabfall und Strom durch den Widerstand beschreibt, U = R I. Bei dieser Modellierung der elektrischen Zusammenhänge wird stillschweigend die Annahme gemacht, dass der Strom durch den Widerstand an jedem Punkt derselbe ist. In der Wirklichkeit ist diese Annahme nur eingeschränkt gültig, da sich elektrische Zustände nicht unendlich schnell, sondern nur mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten. In Wirklichkeit ist die elektrische Spannung an einem Widerstand, durch den ein Stromimpuls ‡ieß t, nicht nur eine Funktion der Zeit, sondern auch des Ortes. Bei niedrigen Frequenzen oder genauer bei Wellenlängen, die großgegen die geometrischen Abmessung der elektrischen Schaltung sind, kann die verteilte Natur der elektrischen Eigenschaften vernachlässigt werden. Wenn diese Vereinfachung auf Grund hoher Frequenzen nicht mehr möglich ist, müssen die Systeme, wie z.B. Leitungen, die mit hoher Signalfrequenz gespeist werden oder Antennen, in Abhängigkeit von Ort und Zeit dargestellt werden und es entstehen bei der Modellierung (lineare oder nichtlineare) partielle Di¤erentialgleichungen. 1.7 Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme Systeme deren Eingangs- und Ausgangsgröß en zeitkontinuierlich sind, nennt man zeitkontinuierliche Systeme. Wenn die Einganggröß en abgetastet werden und die Werte der Ausgangsgröß e nur zu bestimmten Zeitpunkten bekannt sind, spricht man von zeitdiskreten Systemen (Quantisierung im Zeitbereich). 1.8 Analoge und digitale Systeme Ein analoges System ist ein System, dessen Eingangsgröß e jeden beliebigen Wert innerhalb eines kontinuierlichen Bereiches annehmen kann. Es gibt also eine unendliche Anzahl an möglichen Werten der Eingangsgröß e. Im Gegensatz dazu kann die Eingangsgröß e eines digitalen Systems nur eine endliche Zahl von Werten einnehmen (Quantisierung im Amplitudenbereich). Die Begri¤e analog und digital beziehen sich auf den Wertebereich und nicht auf den Zeitbereich. Dennoch Nichtkausale Systeme haben ”hellseherische Fähigkeiten”. 8 KAPITEL 1. SYSTEME wird der Begri¤ analoges System häu…g für zeit- und wertekontinuierliche Systeme und der Begri¤ digitales System für zeit- und wertediskrete Systeme verwendet, da diese beiden Formen die technisch häu…gsten sind. 1.9 Ein BIBO-stabiles System produziert für eine beschränkte Eingangsgröß e immer eine beschränkte Ausgangsgröß e. Stabilität Ein stabiles System, das durch externe Anregung aus der Ruhelage ausgelenkt wird, kehrt nach einiger Zeit wieder in die Ruhelage zurück. Die De…nition von Stabilität kann vom Eingangs-/Ausgangsverhalten ausgehen: beschränkte Eingangsgröß en (bounded input) produzieren beschränkte Ausgangsgröß en (bounded output). Diese Stabilitätsde…nition nennt man BIBO-Stabilität. 1.10 Zusammenfassung Ein System ist eine Anordnung, bei der der Zusammenhang zwischen Ursache = Eingangssignal = Erregung und Wirkung = Ausgangssignal = Antwort formal mit der Beziehung y = A x beschrieben wird. Die Systemeigenschaften A werden durch einen nicht näher de…nierten Operator beschrieben. Systeme können aus physikalischen Komponenten (Hardware) bestehen oder durch einen Algorithmus (Software) beschrieben werden. Elektrische Schaltungen (Systeme) bestehen aus miteinander verbundenen Bauelementen (Widerständen, Kondensatoren, Spulen, ...). Die Systemeigenschaften A werden durch die Beziehung zwischen Strom und Spannung an den Bauelementen, sowie durch die Gesetze der Verbindung der Bauelemente (Kirchho¤’sche Gesetze) beschrieben, wodurch wir ein mathematisches Modell des Systems erhalten. Im Gegensatz dazu werden z.B. digitale Filter durch einen Algorithmus beschrieben, der auf einem (Signal)-Prozessor ausgeführt oder in Hardware realisiert werden kann. Systeme können nach unterschiedlichen Gesichtspunkten eingeteilt werden, von besonderer Bedeutung sind lineare, zeitinvariante (LTI) Systeme. Obwohl Systeme auf unterschiedlichste Art realisiert werden können, haben die unterliegenden mathematischen Modelle sehr viel Gemeinsamkeiten. Im weiteren Verlauf werden wird zeitkontinuierliche und zeitdiskrete, analoge und digitale LTI-Systeme genauer untersuchen. Kapitel 2 Signale und Zeitfunktionen Inhalt 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Testsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Faltung mit Elementarfunktionen . . . . . . Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Phasenverschiebung – Zeitverschiebung . . Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 11 12 14 16 17 18 Signale Ein Signal ist eine Funktion von einer oder mehreren Variablen. Signale tragen Information, daher interessiern wir uns für Signale. Beispiele für Signale sind biometrische Signale, Radarsignale, seismische Signale, Temperatursignale, Videosignale, . . . Signale spielen eine zentrale Rolle bei physikalischen Messungen, in der Unterhaltungselektronik, in der Medizintechnik, in der Telekommunikation, um nur einige Beispiele zu erwähnen. Rechnersysteme kommunizieren mit der Umwelt über Signale. Signale werden durch Variation physikalischer Größ en repräsentiert, diese Größ en können verändert, gespeichert und übertragen werden. Ein Signal kann mehrere Formen einer physikalischer Darstellung annehmen. So wird beispielsweise ein akustisches Signal in Form des Schalldrucks durch ein Mikrofon in ein elektrisches Signal umgewandelt. Dieses elektrische Signal kann zur Speicherung wiederum in ein magnetisches Signal bei einer Magnetbandaufzeichnung umgewandelt werden. Es kann aber auch in Form einer binären Zahlenfolge als Muster auf einer CD-ROM abgebildet werden. Signale sind Eingangsgröß en in signalverarbeitende Systeme, die wiederum – nach Signalverarbeitung –Ausgangssignale erzeugen. Elektrische (oder genauer elektromagnetische Signale) haben eine besondere Bedeutung in technischen Anwendungen, da sie gegenüber anderen Signalformen, z.B. Schallsignalen, unübertre- iche Vorteile haben: Elektrische Signale breiten sich fast mit Lichtgeschwindigkeit aus und können drahtgebunden oder drahtlos übertragen werden. Sie können relativ einfach erzeugt, verarbeitet und als magnetische Signale gespeichert werden. Elektrische Signale erlauben auch bei kleinsten Energien zuverlässige Signalübertragungen (z.B. Verbindungen zu Raumsonden). Anmerkung 5 Signale (Nachrichten, Informationen) sind an einen physikalischen Träger gebunden, was zur Folge hat, dass Signal-Verarbeitung mit Energieverbrauch verbunden ist. 9 Signale sind Größ en, die Information tragen. Sie werden durch Variation physikalischer Größ en repräsentiert. In praktischen Anwendungen sind elektromagnetische Signale von groß er Bedeutung. 10 KAPITEL 2. SIGNALE UND ZEITFUNKTIONEN zeit- und amplituden-kontinuierlich s(t) 2 0 -2 0 0.25 0.5 Zeit t 0.75 1 zeitdiskret, amplituden-kontinuierlich s[n] 2 0 -2 0 0.25 0.5 Zeit t 0.75 1 0.75 1 zeitdiskret, amplitudendiskret S[n] 2 0 -2 0 0.25 0.5 Zeit t Abbildung 2.1: Analoge und digitale Signale Nutzsignale müssen von Störsignalen getrennt werden. Signale treten als Nutz- und Störsignale auf und eine wichtige Aufgabe der Signalverarbeitung ist es, Störsignale von Nutzsignalen zu trennen und die Störsignale zu unterdrücken. Ob ein Signal Nutz- oder Störsignal ist, hängt von der Anwendung ab. Ein » Regensignal« ist ein Nutzsignal für eine regengesteuerte Tempokontrolle, aber ein Störsignal für den Autofahrer. Signale sind häu…g Variationen einer physikalischen Größ e in Abhängigkeit von der Zeit s = f (t), Sprachsignale sind ein gutes Beispiel dafür. Derartige Signale sind eindimensionale kontinuierliche Signale, da sie nur von einer Variablen (im Falle des Sprachsignals von der Zeit) abhängen und da der Signalwert (innerhalb physikalischer Grenzen) beliebige Werte annehmen kann. Signale können aber auch eine Funktion des Ortes, z.B. ein Ober‡ächenpro…l eines Werkstücks, sein. Signale können auch mehrdimensional sein, wie man am Beispiel von Bildsignalen (zweidimensionale Ortsfunktion) sehen kann. Wir beschäftigen uns im weiteren Verlauf nur mit eindimensionalen Zeitsignalen. Die Mehrzahl der Signale ist kontinuierlich. Durch Probenentnahme in ausgewählten Zeitpunkten (Abtastung) wird aus einem kontinuierlichen Signal ein zeitdiskretes Signal. Die Amplitude (= der Signalwert) des zeitdiskreten Signals kann, wie beim kontinuierlichen Signal, beliebige Werte annehmen. Wird ein Signal in einem digitalen Rechner gespeichert oder verarbeitet, müssen die Amplitudenwerte zeitdiskreter Signale durch eine endliche Anzahl an Zahlenwerten repräsentiert werden. Aus dem zeitdiskreten Signal wird ein zeit- und amplitudendiskretes (digitales) Signal. Zeit- und amplituden-kontinuierliche Signale bezeichnet man als analoge Signale und zeit- und amplituden-diskrete Signale als digitale Signale. Abbildung 2.1 zeigt die Zusammenhänge in graphischer Form. (Zeitkontinuierliche und amplitudendiskrete Signale haben keine technische Bedeutung.) 2.1.1 Testsignale Systeme werden durch Eingangsgröß en (Ursache, Eingangssignal, Erregung) angeregt und man interessiert sich für die Ausgangsgröß en (Wirkung, Ausgangssignal, Antwort). Die praktisch vorkommenden Signale lassen sich im Allgemeinen nicht als Zeitfunktionen explizit angeben, da sie unregelmäß iger Natur sind (Sprache, Musik, Messwerte, ...). Auß erdem wäre es unmöglich, das Verhalten von Systemen für alle praktisch vorkommenden Eingangssignale zu untersuchen. Daher verwendet man bei der Untersuchung von Systemen einfache » Testsignale« , die man so auswählt, dass sie sich gut mathema- 2.2. ELEMENTARFUNKTIONEN 11 Abbildung 2.2: Sprungfunktion 1 (t) δ(t) ε->0 f(t) f(t) 1/ε 0 0 0 Zeit t - ε/2 0 ε/2 Zeit t Abbildung 2.3: Darstellung des Einheitsimpulses tisch darstellen lassen und dass sich die Antwort des Systems auf das Testsignal einfach berechnen lässt. Diese Testsignale werden auß erdem so gewählt, dass sich die tatsächlichen Signale aus den Testsignalen zusammensetzen lassen. Bei linearen Systemen kann man das Eingangssignal in eine Linearkombination von Testsignalen zerlegen und die Systemantwort durch Überlagerung der Antworten auf die Testsignale berechnen. Damit sind die Systemantworten auf die Testsignale auch für praktisch vorkommende Signale anwendbar. 2.2 Elementarfunktionen Eine wichtige Gruppe von Testsignalen sind die Elementarfunktionen. Ist die Antwort eines linearen Systems auf eine Elementarfunktion bekannt, so sind alle Eigenschaften dieses Netzwerks im Prinzip beschrieben. Die beiden wichtigsten Elementarfunktionen sind sind die Sprung- und die Impulsfunktion. Die Sprungfunktion 1 ist folgendermaß en de…niert: 1 (t) = 0 1 für t < 0 für t > 0 (2.1) Die Impulsfunktion und die Sprungfunktion sind die wichtigsten Elementarfunktionen. Abbildung 2.2 zeigt den Verlauf der Sprungfunktion. Eine weitere wichtige Elementarfunktion ist der Dirac-Impuls oder kurz Impuls, auch Stoß -, Impuls- oder Deltafunktion genannt. Die Impulsfunktion 0 ist folgendermaß en de…niert: Z 1 0 (t) =0 0 (t)dt =1 für t 6= 0 (2.2) 1 Zu beachten ist, dass bei der 0 -Funktion lediglich das Integral –die Fläche des Signals –de…niert ist. Daher kann man kann den Einheitsimpuls, wie in Abbildung 2.3 gezeigt, darstellen. Die Breite des Impulses geht gegen Null, die Fläche des Impulses ist 1, die Amplitude geht daher gegen 1: Es können auch andere Kurvenformen (z.B. Dreieckspuls) zur Darstellung des DiracImpulses verwendet werden: Die Kurvenform ist nicht festgelegt, sondern lediglich die Tatsache, dass die Impulsdauer gegen Null geht und die Fläche 1 ist! Die Impulsfunktion ist im Punkt Null nicht de…niert. Es steht nur fest, dass das Integral über diesen Punkt 1 ist. 12 KAPITEL 2. SIGNALE UND ZEITFUNKTIONEN Anmerkung 6 Die Impulsfunktion ist keine echte Funktion und beschreibt keine eindeutige Funktion. Sie ist überall Null, mit Ausnahme der Stelle Null und auch an diesem Punkt ist sie nicht de…niert. Die Bedeutung der Impulsfunktion liegt in ihrer Wirkung auf andere Funktionen, es wird nichts ausgesagt was die Impulsfunktion ist oder wie sie aussieht. Es wird lediglich die Wirkung der Impulsfunktion auf eine andere Funktion die Signalfunktion s(t) - untersucht. Allgemein sind die Elementarfunktionen durch folgende Beziehung de…niert i (t) = Zt i+1 ( )d (2.3) 1 Der Zusammenhang zwischen der Sprung- und der Deltafunktion ist daher 1 (t) = Zt 0( )dt = 0 1 1 für t < 0 für t > 0 (2.4) Die Sprungfunktion ist das Integral der Impulsfunktion. Umgekehrt müsste daher gelten d (2.5) 1 (t) dt Wie man sieht, ist 1 (t) an der Stelle t = 0 nicht di¤erenzierbar, man kann diese Beziehung daher nur formal gelten lassen. Der Impuls und seine Ableitungen sind im Rahmen der Distributionentheorie exakt de…nierbar. Für unsere Zwecke –es geht lediglich um die Wirkung der Impulsfunktion (und der Sprungfunktion) auf andere Funktionen – ist die De…nition des Impulses ausreichend und wir verwenden auch die Bezeichnung Funktion. Weitere Elementarfunktionen sind 1 (t), der Doppelimpuls an der Stelle t = 0, die Rampenfunktion 0 linear ansteigende Funktion oder 2 (t), eine für t 3 (t), eine Parabel für t 0. Diese Elementarfunktionen haben aber keine Bedeutung für die Netzwerktheorie. 0 (t) 2.2.1 = Faltung mit Elementarfunktionen Wie erwähnt, interessiert uns lediglich die Wirkung der Impulsfunktion (und Sprungfunktion) auf andere Zeitfunktionen und hier vor allem die Faltung der Elementarfunktion mit anderen Zeitfunktionen. Die Faltung zweier Funktionen ist folgendermaß en de…niert g1 (t) g2 (t) = Z1 1 g1 ( )g2 (t )d = Z1 g1 (t )g2 ( )d (2.6) 1 Abbildung ?? veranschaulicht den Faltungsvorgang. 1. Die zu faltenden Zeitfunktionen g1 (t) und g2 (t) werden als Funktionen von gestellt. dar- 2. t ist die unabhängige Variable im Faltungsintegral, daher muss für die Zeitfunktionen g1 (t) und g2 (t) die neue Variable eingeführt werden. 3. Wir stellen die Funktionen zuerst für t = 0 dar und erhalten g1 ( ) und g2 ( ): Die Funktion g1 ( ) ist die entlang der vertikalen Achse gespiegelte (gefaltete) Funktion g1 ( ), daher der Name für diese Operation. 4. t nimmt die Werte von 1 bis 1 an, was nichts anderes bedeutet, dass die Funktion g1 ( ) entlang der Achse verschoben wird ! g1 (t ): Zu jedem Zeitpunkt t wird das Produkt g1 (t )g2 ( ) und das Integral dieses Produkts von 1 bis 1 liefert den Wert der Faltung zum Zeitpunkt t: 2.2. ELEMENTARFUNKTIONEN 13 Abbildung 2.4: Veranschaulichung des Faltungsintegrals Da wir nur Zeitfunktionen betrachten, die für t < 0 Null sind, kann das Integrationsintervall von 0 bis t+ erstreckt werden. Faltet man eine Elementarfunktion i (t) mit einer Zeitfunktion g(t), die für t 0 existiert, so erhalten wir + g(t) i (t) = Zt g( ) i (t )d = 0 Zt + ) i ( )d = g i (t) g(t (2.7) 0 Das Ergebnis ist der i te Di¤erentialquotient der Zeitfunktion g(t). Im Speziellen wird also Impuls: i = 0 Sprung: i = g(t) 1 0 (t) g(t) = g(t) (2.8) + Zt (2.9) 1 (t) = g( )d 0 Die Impulsfunktion 0 (t) hat die Eigenschaft einer Abtastfunktion, da die Faltung den Funktionswert an der Stelle t liefert, also der Zeitfunktion g(t) an der Stelle t eine Probe entnimmt. 1 (t) legt die obere Integrationsgrenze fest, da die Faltung das Integral von g(t) im Intervall 0 bis t+ ergibt. Damit haben wir die Möglichkeit, beliebige Zeitfunktionen aus Sprung oder Impuls (oder anderen Elementarfunktionen) zusammenzusetzen. Für Impuls und Sprung folgt Impuls: g(t) = g(t) 0 (t) = Zt + g( ) 0 (t )d (2.10) 0 + Sprung: g(t) = g(t) _ 1 (t) = Zt g( _ ) 1 (t )d (2.11) 0 d Der Punkt bedeutet die Ableitung nach der Zeit, g(t) _ = dt g(t) Gleichung (2.10) bedeutet die Zusammensetzung der Zeitfunktion g(t) aus lauter Impulsen, die mit dem Gewicht g(t) auftreten, während Gleichung (2.11) die Zusammensetzung der Zeitfunktion g(t) aus lauter Sprüngen, die mit dem Gewicht g(t) _ auftreten, bedeutet. 14 KAPITEL 2. SIGNALE UND ZEITFUNKTIONEN Abbildung 2.5: s(t) = A sin( 2T0 t 2.3 3 4 ) Sinusfunktion Eine weitere wichtige Aufbaufunktion ist die Sinusfunktion, da sich Signale aus Sinusschwingungen zusammensetzen und mathematisch darstellen lassen. Da wir Signale untersuchen wollen und mit ihnen rechnen müssen, fassen wir die Eigenschaften und den Umgang mit sinusförmigen Schwingungen zusammen. s(t) = A sin(! 0 t + ') (2.12) 1 T0 A ist die Amplitude, ! 0 die Kreisfreqenz und ' die Phase der Schwingung. f0 ist die Frequenz der Schwingung (» Wie oft schwingt das System in einer Zeiteinheit?« ) und T0 ist die Periodendauer der Schwingung (» Wie lange dauert eine Schwingung?« ). Standardmäß ig wird als Zeiteinheit eine Sekunde gewählt. Die Standardeinheit für die 1 = 1Hz und die Standardeinheit für die Periodendauer eine Frequenz ist daher Sekunde Sekunde. ! 0 = 2 f0 = 2 Eigenschaften der Sinusschwingung: Amplitude A Periodendauer T0 = f10 Frequenz f0 = T10 Kreisfreq. ! 0 = 2 f0 Phase ' Anmerkung 7 Die Sinusfunktion ist eine Funktion des Winkels (in Radianten) und nicht der Zeit. Die Periode der Sinusfunktion ist immer 2 . Die Kreisfrequenz ! 0 kann man einfach als eine Konstante ansehen, die den linearen Zusammenhang zwischen Zeit und Winkel, also eine » Winkelgeschwindigkeit« , beschreibt. ! 0 gibt an, wie vielen Radianten eine Zeiteinheit (standardmäß ig eine Sekunde) entspricht. Anders formuliert: um wie viele Radianten sich der Winkel ändert, wenn die Zeit um eine Zeiteinheit fortschreitet. Abbildung 2.5 zeigt die graphische Darstellung einer Sinusfunktion. Sinus- und Kosinus-Funktion sind verwandt, ob man die Darstellung als Sinus oder Kosinus wählt, hängt von praktischen Überlegungen ab1 . Es gelten folgende Beziehungen: äquivalent gerade ungerade periodisch Ableitung sin ' = cos(' =2); cos ' = sin(' + =2) (2.13) cos ' = cos( ') (2.14) sin ' = (2.15) sin( ') cos ' = cos(' + 2 k); k:::ganzzahlig d d sin ' = cos '; cos ' = sin ' d' d' (2.16) (2.17) 1 In der Elektrotechnik und Signalverarbeitung wählt man meistens die Darstellung in Form des Kosinus, da sich damit auch der Gleichanteil (Mittelwert), als Komponente der Frequenz ! = 0; darstellen lässt, A cos(!t)j!=0 = A: 2.3. SINUSFUNKTION 15 Abbildung 2.6: Komplexe Darstellung der Sinusfunktion Weitere Zusammenhänge zwischen Sinus und Kosinus: sin2 ' + cos2 ' = 1 (2.18) sin 2' = 2 sin ' cos ' 2 cos 2' = cos ' (2.19) 2 sin ' (2.20) sin( ) = sin cos cos sin (2.21) cos( ) = cos cos sin sin (2.22) Bei der Darstellung von sinusförmigen Schwingungen sind zwei Schreibweisen gebräuchlich s(t) = A sin(! 0 t + ') = A sin(2 f0 t + ') (2.23) Die Darstellung unter Verwendung der Kreisfrequenz – sin(! o t) – ist weniger anschaulich als die Darstellung mit der natürlichen Frequenz – sin(2 f0 t). Das Beispiel sin(12:57t) = sin(2 2t) macht das deutlich: Frequenz f = 2Hz ist anschaulicher als Kreisfrequenz ! = 12:57s 1 . Im weiteren Verlauf werden wir häu…g mit Sinus- und Kosinus-Schwingungen rechnen müssen. Da das Rechnen mit Sinus und Kosinus in reeller Darstellung aufwändig ist, setzen wir häu…g die komplexe Darstellung ein, die das Rechnen wesentlich erleichtert. In der Folge werden wir sowohl die reelle als auch die komplexe Darstellung verwenden.2 Über die Euler’sche Beziehung erhalten wir den Zusammenhang: ~s(t) = Aej(!o t+') = A cos(! o t + ') + jA sin(! o t + ') (2.24) Die komplexe Form (2.24) liefert eine Darstellung von Sinus und Kosinus, das reellwertige Signal wird durch Realteilbildung ermittelt. (2.25) Die Sinus- und die Kosinusfunktion kann man auch in komplexer Form anschreiben. Die Erzeugung von Sinus und Kosinus kann man sich als Projektion eines rotierenden Zeigers vorstellen, wie in Abbildung 2.6 dargestellt. Der Kosinus wird durch Projektion auf die horizontale (reelle) Achse, der Sinus durch Projektion auf die vertikale (imaginäre) Achse erzeugt. Der Zeiger dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ! 0 , die Position des Zeigers (der Winkel) zum Zeitpunkt t errechnet sich aus ! 0 t (vgl. Anmerkung 7). Hat der Zeiger eine Winkelgeschwindigkeit von 2 pro Sekunde, bedeutet das, dass sich der Die Sinus- und Kosinusfunktion kann man sich als Projektion eines Rotierenden Zeigers auf die vertikale und die horizontale Achse vorstellen s(t) = RefAej(!o t+') g = A cos(! o t + ') 2 Für reellwertige Signale schreiben wir s(t), für komplexwertige schreiben wir ~s(t): 16 KAPITEL 2. SIGNALE UND ZEITFUNKTIONEN 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0 .2 -0 .4 -0 .6 -0 .8 -1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Pha s env ers c hiebu ng - 72° 0.035 0.04 Abbildung 2.7: Phasenverschiebung Kosinus Zeiger einmal pro Sekunde um den Kreis dreht (360 = 2 ): Der Winkelgeschwindigkeit von 2 s 1 entspricht die Frequenz 1; es ist daher ! = 2 f . Bei der Rechnung mit komplexen Exponentialfunktionen gelten die im Anhang zusammengefassten Regeln der komplexen Rechnung. Die geometrische Interpretation der komplexen Rechnung liefert eine sehr anschauliche Deutung der Rechenoperationen. 2.3.1 Phasenverschiebung –Zeitverschiebung Verschiebung im Zeitbereich Zur Darstellung der Zeitverschiebung gehen wir vom Beispiel in Abbildung ?? aus. Eine Verschiebung nach rechts x(t t1 ) erkennt man am negativen Vorzeichen, eine Verschiebung nach links x(t + t1 ) am positiven Vorzeichen. Phasenverschiebung Frequenz und Phase bestimmen die Lage der Maxima und Minima der sinusoidalen Schwingung. Die Kosinusschwingung x(t) = A cos(! 0 t + ') hat für ' = 0 ein Maximum bei t = 0. Für ' 6= 0 bestimmt die Phasenverschiebung um wie viel das Maximum aus der Lage t = 0 verschoben ist. Tritt das Maximum bei positivem t auf, sprechen wir von einer positiven Zeitverschiebung gegen den Kosinus mit der Phase Null. Die Zeitverschiebung des Kosinussignals kann dadurch gefunden werden, dass das zu t = 0 nächstgelegene Maximum bestimmt wird. In unserem Beispiel tritt das nächstgelegene Maximum bei t1 = 0:005 auf. Der Abbildung 2.7 können wir entnehmen, das die Periodendauer T0 = 0:025 aus der wir die Frequenz ausrechnen können f0 = T10 = 40. Das Maximum des Kosinus tritt auf, wenn das Argument des Kosinus Null ist, d.h. bei ! 0 t1 + ' = 0 ) ' = ! 0 t1 ; ' = 2 40 0:005 = 1:2566 = 72 Die Zeitverschiebung gegen den unverschobenen Kosinus x(t) = A cos(! 0 t) können wir über folgende Beziehung in eine Phasenverschiebung umrechnen. x0 (t t1 ) = A cos[! 0 (t t1 )] = A cos[! 0 t '] Gleichheit des obigen Ausdrucks ist nur gegeben, wenn ! 0 t1 = ' ) t1 = ' = !0 ' 2 f0 Bei positiver Zeitverschiebung ist die Phasenverschiebung negativ. '= 2 f0 t1 = 2 t1 T0 2.4. DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 17 T0 Das zu t = 0 nächstgelegene Maximum muss immer innerhalb von jt1 j 2 liegen, die Phase kann daher <' . Die Phase wird bestimmt, indem man das zu t = 0 nächstgelegene Maximum sucht und mit Hilfe von ' = 2 Tt10 umrechnet. 2.4 Die komplexe Exponentialfunktion Bei der Darstellung der Sinusfunktion haben wir uns der komplexen Schreibweise ~s(t) = Aej(!o t+') bedient. Diese Notation hat den entscheidenden Vorteil, dass man damit leicht Rechnen kann. Die Erregung von Netzwerken (Siehe Kapitel 13) lässt sich durch die Einführung der komplexen Exponentialfunktion weiter verallgemeinern. Die komplexe Exponentialfunktion kann man sich wieder als einen rotierenden Zeiger in der komplexen Ebene vorstellen, dessen Länge sich aber (zusätzlich zum vorigen Fall) exponentiell mit der Zeit verändert. Die komplexe Exponentialfunktion ist wie folgt de…niert: ~ st ~s(t) = Ke ~ = Aej' K ; s= + j! ; A 0 (2.26) ~ bezeichnet man als komplexe Amplitude. Sie beinhaltet nicht nur die Information K über die (Anfangs-)Länge des Zeigers A, sondern auch über seine Position (= Phase = Winkel) ' zum Zeitpunkt t = 0. s nennt man komplexe Frequenz. Sie enthält einerseits die Information über die Winkelgeschwindigkeit ! des Zeigers, andererseits beschreibt die Konstante die Veränderung der Länge des Zeigers. Die » physikalischen« Zeitfunktionen erhält man aus der komplexen Exponentialfunktion durch Bildung des Real- oder Imaginärteils bzw. durch Addition zweier konjugiert komplexer Funktionen. n o n o ~ st = Re Aej' e( +j!)t Re Ke (2.27) n o = Re A e t ej(!t+') (2.28) n o = A e t Re ej(!t+') (2.29) bzw. = A e t cos(! o t + ') n o ~ st = : : : = A e t sin(! o t + ') Im Ke ~ n o K ~ st = 1 [~s(t) + ~s (t)] = e Re Ke 2 2 ~ e t cos (!t + ') = K t h ej(!t+') + e ~ = A ej' = A, weil ej' = 1 und A Anmerkung 8 K (2.30) (2.31) j(!t+') i (2.32) (2.33) 0 Abbildung 2.8 zeigt den Realteil der komplexen Exponentialfunktion in der komplexen Ebene [ ; j!]. Die Bezeichnung komplexe Frequenz für s = + j! ist streng genommen falsch, da im physikalischen Sinn nur der Imaginärteil ! eine (Kreis)Frequenz ist. Dennoch ist diese Bezeichnung üblich, da die Verwendung der komplexen Frequenz auß erordentlich zweckmäß ig ist. Die Einführung der komplexen Exponentialfunktion führt zu abstrakten Darstellungen von Signalen und in der Folge zu abstrakten Darstellungen der Eigenschaften von Systemen. Diese Darstellung hat aber entscheidende Vorteile bei der Analyse und Darstellung der Eigenschaften von Systemen. Die komplexe Exponentialfunktion beschreibt einen rotierenden Zeiger, der seine Länge verändert. 18 KAPITEL 2. SIGNALE UND ZEITFUNKTIONEN jω σ Abbildung 2.8: Realteil der komplexen Exponentialfunktion 2.5 Zusammenfassung Um Signale (und Systeme) mathematisch erfassen zu können, setzen wir komplizierte Signale aus einfachen Aufbaufunktionen zusammen. Für diese einfachen Aufbaufunktionen ermitteln wir das Systemverhalten. Das Systemverhalten für kompliziertere Signale lässt sich bei linearen Netzwerken durch Überlagerung der Systemantworten auf die Aufbaufunktionen ermitteln. Aufbaufunktionen sind die Impuls- und Sprungfunktion, die Sinusfunktion (reell oder komplex) und die komplexe Exponentialfunktion. Kapitel 3 Spektren Inhalt 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.1 Mathematische Darstellung von zeitkontinuierlichen Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektralsynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektralanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Numerische Berechnung der Fourierkoe¢ zienten . . . . . . . 3.3.3 Die Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Eigenschaften der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Operationen mit Signalen im Zeit- und Frequenzbereich . . . 3.3.6 Frequenz und Zeit – Unschärfeprinzip . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Numerische Berechnung der Fouriertransformation . . . . . . Größ e von Signalen (Energie und Leistung) . . . . . . . . . Parseval’sches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 24 24 30 34 37 38 40 42 43 43 44 Mathematische Darstellung von zeitkontinuierlichen Signalen Signale haben unterschiedliches Zeitverhalten und es gibt unendlich viele Signale. Es stellt sich daher die Frage, ob es möglich ist, Signale aus einfachen Grundsignalen zusammenzusetzen und damit die Untersuchung der Eigenschaften von Signalen und in der Folge die Bearbeitung von Signalen auf eine einfachere Basis zu stellen. Das ist tatsächlich der Fall, wir erklären die Zusammenhänge am Beispiel von akustischen Signalen. Ein akustisches Signal kann man sich aus Tönen zusammengesetzt vorstellen. Töne wiederum lassen sich mit Hilfe von Sinusschwingungen beschreiben. Beim Wählen der Telefonnummer 58801, erzeugt die Tastatur zwei Töne pro Nummer und zwar: 5 ) 770 Hz und 1336 Hz, 8 ) 852 Hz und 1336 Hz, 8 ) 852 Hz und 1336 Hz, 0 ) 941 Hz und 1336 Hz, 1 ) 697 Hz und 1209 Hz. Das Wählverfahren wird daher dual tone multifrequency (DTMF) genannt. Signale lassen sich also aus Tönen zusammensetzen (synthetisieren), elektronische Musikinstrumente machen z.B. von dieser Möglichkeit Gebrauch. Abbildung 3.1 zeigt ein aus mehreren Sinusschwingungen zusammengesetztes Signal. 3.2 Spektralsynthese Komplizierte Signale lassen sich aus einfacheren Signalen aufbauen. Setzen wir Signale aus sinusoidalen Schwingungen zusammen, dann erhalten wir 19 Komplizierte Signale kann man aus einfacheren Grundsignalen aufbauen und so die Untersuchung der Eigenschaften von Signalen vereinfachen. 20 KAPITEL 3. SPEKTREN s(t) 2 0 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.6 0.8 1 0.6 0.8 1 0.6 0.8 1 Zeit t 1 s (t) 2 0 -2 0 0.2 0.4 Zeit t 2 s (t) 2 0 -2 0 0.2 0.4 Zeit t 3 s (t) 2 0 -2 0 0.2 0.4 Zeit t Abbildung 3.1: Summe von Sinusschwingungen s(t) = s1 (t) + s2 (t) + s3 (t) s(t) = A0 + A1 cos(! 1 t + '1 ) + ::: + AK cos(! K t + 'K ) = = A0 + N X k=1 Benutzt man sinusoidale Schwingungen als Aufbausignale, braucht man sich nur ihre Frequenzen, Amplituden und Phasen zu merken. Signale mit endlicher Zeitdauer können durch eine diskrete Summe von sinusoidalen Schwingungen nicht dargestellt werden. Ak cos(! k t + 'k ) = N X (3.1) Ak cos(! k t + 'k ) k=0 Da der Verlauf der Sinusschwingungen bekannt ist, braucht er nicht dargestellt zu werden. Es ist ausreichend, wenn man nur die Amplituden Ak und die Phasen 'k über der Frequenz aufträgt. Man nennt diese Darstellung Amplituden- und Phasenspektrum. Man spricht auch von der Darstellung des Signals im Zeitbereich und im Frequenzbereich. Die Darstellung von Signalen durch sinusoidale Schwingungen1 setzt voraus, das sich die Signale –ebenso wie die Sinusschwingungen –von 1 < t < 1 erstrecken. Die in der Wirklichkeit auftretenden Signale haben nur eine endliche Dauer und können nicht durch eine endliche Anzahl von Frequenzkomponenten (= Spektralkomponenten = Sinusoidale Schwingungen = Summanden in Gl. 3.1) dargestellt werden. Signale endlicher Dauer werden mathematisch mit Hilfe der Fouriertransformation dargestellt. Abbildung 3.2 zeigt die Sicht auf ein Signal im Zeit- und im Frequenzbereich. Die Ansicht von links zeigt eine Sägezahnschwingung im Zeitbereich s(t). Die Ansicht von vorne zeigt die einzelnen Spektralkomponenten - die Darstellung im Frequenzbereich S(!) oder S(f ) 2 . (Der Gleichanteil die 0.te Harmonische wurde in Abbildung 3.2 weggelassen, damit die Zeichnung übersichtlicher ist.) Abbildung 3.4 zeigt das Betragsspektrum einer Sägezahnschwingung. Die einzelnen Spektralkomponenten werden als Linien dargestellt, deren Länge der Amplitude der Schwingung entspricht. Man spricht daher auch vom Linienspektrum. Eine Verdopplung der Frequenz entspricht einer Oktave in der Musik. Die Antwort eines LTI-Systems auf ein Eingangssignal kann man ermitteln, indem man das Eingangssignal in Frequenzkomponenten zerlegt und die Systemantworten auf diese Komponenten einzeln ermittelt. Die Systemantwort auf das ursprüngliche Eingangssignal setzt sich dann aus den Antworten auf die einzelnen Frequenzkomponenten zusammen. Man darf aber nicht vergessen, dass dieses Prinzip nur bei linearen Systemen anwendbar ist, wovon wir uns anhand des folgenden Beispiels überzeugen können. 1 Es 2! können endlich oder unendlich viele Spektrallinien auftreten. = 2 f , vgl. Abschnitt 2.3) 3.2. SPEKTRALSYNTHESE 21 Sägez ahn Zeitbereich 4 3 2 1 0 -4 -1 -2 -2 -3 0 -4 2 0. 1. 2. 3. 4. Frequenz bereich 5. 6. 7. 4 H armonis c he Abbildung 3.2: Signal im Zeit- und Frequenzbereich Beispiel 9 (Nichtlineares System) Wir zeigen das Verhalten des Systems xA = x2E , wenn zwei Eingangssignale anliegen. Die Eingangssignale nennen wir Basissignal A cos(!t) und Trägersignal B cos( t) 2 [A cos(!t) + B cos( t)] = A2 cos2 (!t) + 2A cos(!t)B cos( t) + B 2 cos2 ( t) = 2 = (3.2) 2 A B [1 + cos (2!t)] + 2AB cos(!t) cos( t) + [1 + cos (2 t)] 2 2 (3.3) Wie wir sehen, durchlaufen die beiden Eingangssignale das (nichtlineare) quadratische Systems nicht ohne Interaktion. Es entsteht eine Komponente der doppelten Basisfrequenz !, eine Komponente der doppelten Trägerfrequenz und das Produkt aus Basissignal und Trägersignal! Für dieses Produkt erhalten wir cos( t) cos(!t) = 1 [cos( 2 !)t + cos( + !)t] (3.4) Es entstehen also am Ausgang des quadratischen Systems Signale mit den Frequenzen [0; 2!; !; + !; 2 ]; Signale mit den Frequenzen und ! sind nicht mehr enthalten! Abbildung 3.3 zeigt die entstehenden Spektrallinien. Bei der reellen Rechnung muss man die trigonometrischen Formeln kennen. Bei Verwendung der komplexen Rechnung benötigt man lediglich die Euler’sche Beziehung und die Regeln der Potenzrechnung, was den Rechenvorgang erheblich vereinfacht. (cos !t + 3 cos t)2 = 1 j!t 2e + 12 e j!t 2 +2 1 j!t + 12 e j!t + 2e 1 j!t + 12 e j!t 2e 3 j t + 2e 3 j t + 2e 3 j t 2 = 2e 3 j t + 32 ej t 2e + 32 e 2 2 2 2 2 1 2 j2!t e + 2 12 + 12 e j2!t = 2 12 + 2 21 cos 2!t == 2 12 + 12 2 !)t 2 12 32 ej( +!)t + 12 32 ej( !)t + 21 32 ej( +!)t + 12 23 ej( = 13 !)t] = 3 [cos( + !)t + cos( !)t] = 2 2 2 2 [cos( + !)t + cos( 3 2 j2 t 3 2 3 2 3 2 3 2 j2 t e + 2 e = 2 2 + 2 2 cos 2 t = 2 2 + 4:5 cos 2 t 2 1 2 3 2 2 2 +2 2 =5 j t 2 cos 2!t Wie man leicht sieht, ist bei diesem Beispiel der Überlagerungsatz verletzt, da [A cos(!t)]2 + [B cos( t)]2 = 6 [A cos(!t) + B cos( t)]2 : 22 KAPITEL 3. SPEKTREN 5 5 4.5 4.5 4 4 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 0 5 10 Spektrum Eingangssignal 0 5 10 Spektrum Ausgangssignal Abbildung 3.3: Spektrallinien bei quadratischem System Betragss pektrum Sägeszahnschwingung 2 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 Harmonische 8 10 Abbildung 3.4: Spektraldarstellung einer Sägezahnfunktion 3.2. SPEKTRALSYNTHESE 23 Abbildung 3.5: Zeiger mit entgegengesetzter Drehrichtung ! und ! Anmerkung 10 Zeit- und Frequenzbereich-Darstellung sind gleichwertig und lediglich andere Betrachtensweisen für dasselbe Signal, wobei sich manche Signaleigenschaften besser im Zeitbereich, andere wiederum besser im Frequenzbereich darstellen lassen. Aus sinusoidalen Komponenten zusammengesetzte Signale können auch in komplexer Schreibweise dargestellt werden ~s(t) = X0 + N X An ej(!n t+'n ) = X0 + n=1 N X ~ n ej!n t X ~ n = An ej'n X (3.5) n=1 ~ n = An ej'n ist die komplexe Amplitude. Die komplexe Amplitude ist Die Größ e X eine mathematische Konstruktion, mit Hilfe der die Phasenverschiebung des Zeigers in die Amplitude verlagert wird. Damit ist eine kompaktere Schreibweise möglich, da sich der Ausdruck ej(!n t+'n ) auf ej!n t vereinfacht. Das bedeutet aber nicht, dass sie Phase gleich Null wäre! Der Kosinus kann mit Hilfe der inversen Euler’schen Form dargestellt werden cos(') = 1 j' j' ). Daraus ergibt sich eine weitere Darstellung von sinusoidalen Schwingungen: 2 (e +e A j(!t+') A j(!t+') e + e 2 2 ~ ~ X X = ej!t + e j!t 2 2 s(t) = A cos(!t + ') = (3.6) Gleichung (3.6) kann man sich als zwei mit entgegengesetzter Drehrichtung rotierende Zeiger vorstellen, das (reellwertige) Signal s(t) wird durch Addition der beiden Zeiger gebildet. Abbildung 3.5 verdeutlicht diesen Zusammenhang. Die Summe der gegensinnig rotierenden Zeiger liegt immer auf der reellen Achse, s(t) ist daher immer reellwertig. Ein Signal, das aus mehreren sinusoidalen Komponenten zusammengesetzt ist, lässt sich wie folgt darstellen: ( ) N ~ X ~n X X j! n t j! n t n e + e (3.7) s(t) = X0 + 2 2 n=1 Die Darstellung eines Signals nach (3.5) nennt man einseitiges Spektrum. Die Darstellung eines Signals nach (3.7) nennt man zweiseitiges Spektrum. 24 KAPITEL 3. SPEKTREN Die Darstellung des Spektrums unter Verwendung der inversen Euler’schen Formel nennt man zweiseitiges Spektrum (3.7), die Darstellung nach (3.5) nennt man einseitiges Spektrum. Bei der Verwendung des zweiseitigen Spektrums treten negative Frequenzen auf, die, wie sich im weiteren Verlauf zeigen wird, physikalische Bedeutung erlangen können. Anmerkung 11 Negative Frequenzen sind irritierend, da ja die Frequenz als Anzahl von Wiederholungen de…niert und damit eine positive Zahl sein muss. Wir können negative Frequenzen leicht mit Hilfe folgender Beziehung umformen cos( !t + ') = cos(!t ') (3.8) und erhalten damit eine positive Frequenz. Gleiches gilt auch für die Beziehung e j!t = cos !t j sin !t (3.9) auch hier ist die Frequenz positiv. Negative Frequenzen treten nur in der komplexen Darstellung und immer als Paar mit positiven Frequenzen auf. Wir können sie daher so wie die gra…sche Darstellung des zweiseitigen Spektrums verstehen (Abbildung 3.5). 3.3 Die Fourierzerlegung zerlegt ein Signal in sinusoidale Schwingungen unterschiedlicher Amplitude und Phase. Spektralanalyse Wie wir gesehen haben, lassen sich Signale aus sinusoidalen Schwingungen synthetisieren. Häu…g ist aber das Signal gegeben und man möchte daraus die Spektralkomponenten berechnen. Diese Aufgabe löst die Fourierzerlegung für uns. Wir geben die Zusammenhänge zunächst für periodische kontinuierliche Schwingungen an, werden diese Einschränkung aber im weiteren Verlauf –bei der Fouriertransformation –aufheben. 3.3.1 Fourierreihen Eine periodische Funktion3 mit der Periode T = folgendermaß en darstellen s(t) = 1 f = 2 !0 lässt sich durch eine Fourierreihe A0 + A1 cos ! 0 t + A2 cos 2! 0 t + ::: + Ak cos k! 0 t+ 2 (3.10) +B1 sin ! 0 t + B2 sin 2! 0 t + ::: + Bk sin k! 0 t Die Amplituden der einzelnen Schwingungen berechnet man 2 Ak = T ZT s(t) cos(k! 0 t)dt (3.11) ZT s(t) sin(k! 0 t)dt (3.12) 0 2 Bk = T 0 3 Nicht jede periodische Funktion lässt sich in eine Fourierreihe zerlegen. Es leuchtet ein, dass für die Konvergenz einer Fouriereihe die Amplituden der Teilschwingungen endlich sein müssen. Das ist immer dannRgegeben, wenn die periodische Funktion s(t) absolut über eine Periode integrierbar ist, wenn also gilt: T js(t)jdt < 1: Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend. s(t) darf darüber hinaus nur eine endliche Zahl von Maxima und Minima innerhalb einer Periode haben und darf nur eine endliche Zahl von endlichen Diskontinuitäten in einer Periode aufweisen. Diese Dirichlet’schen Bedingungen sind für alle praktischen Signale erfüllt. 3.3. SPEKTRALANALYSE 25 Die Periodendauer der Schwingung ist T = 2 1 = !0 f0 (3.13) Wir sehen, dass sich s(t) im allgemeinen Fall als eine Summe von Sinus- und Kosinusschwingungen plus einem konstanten Wert A0 =2 darstellen lässt. A0 =2 ist der Mittelwert der Funktion s(t) und wird in der Elektrotechnik Gleichglied oder Gleichanteil genannt. Es können auch abschnittweise kontinuierliche Signale (z.B. Rechteck- oder Sägezahnschwingung) in eine Fourierreihe zerlegt werden. In den Sprungstellen konvergiert die Reihe auf den Mittelwert des Wertes links und rechts der Unstetigkeit [s(t0 ) + s(t+ 0 )]=2. Wenn die Funktion s(t) gerade ist, wenn also s(t) = s( t), dann treten in der Reihenentwicklung nur gerade Anteile auf. Da die Sinusfunktion ungerade ist, werden die Amplituden Bk = 0. Wenn die Funktion ungerade ist, wenn also s(t) = s( t), dann treten in der Reihenentwicklung nur ungerade Anteile auf. Da die Kosinusfunktion gerade ist, werden die Amplituden Ak = 0. Die Komponenten der Fourierzerlegung bestehen aus der Grundschwingung (der Schwingung mit der Periodendauer T = 2 =! 0 ) und Oberschwingungen, die immer ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung sind. Die Oberschwingungen werden auch Harmonische genannt. In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage, ob die Summe von sinusförmigen Schwingungen beliebiger Frequenz eine periodische Schwingung bildet und wie man bei mehreren Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz die Periodendauer ermittelt. Wir nehmen als Beispiel die Schwingungen In der Reihenentwicklung einer geraden Funktion treten nur Kosinusterme, in der Reihenentwicklung einer ungeraden Funktion nur Sinusterme auf. 1 1 1 s1 (t) = 1 + 2 sin( t + '1 ) + 3 sin( t + '2 ) + 4 sin( t + '3 ) 2 3 5 s2 (t) = 2 sin(t + '1 ) + 3 sin( t + '2 ) Wir erinnern uns, dass jede Frequenzkomponente in einem periodischen Signal ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ! 0 sein muss. Daher ist das Verhältnis der (Kreis)Frequenzen zweier beliebigen Teilschwingungen m=n, wobei m und n ganze Zahlen sind. Das bedeutet, dass das Verhältnis zweier beliebiger Teilschwingungen eine rationale Zahl sein muss. In unserem Beispiel sind die Kreisfrequenzen von s1 (t) : 12 ; 13 und 15 1 ganzzahlige Vielfache von 15 , sind also Harmonische. Die Kreisfrequenzen von s2 (t) stehen im Verhältnis 1= . Dieses Verhältnis ist nicht rational, s2 (t) ist daher keine periodische Schwingung. Neben der Darstellung von Signalen in Sinus- und Kosinuskomponeten wählt man auch die Darstellung nach Betrag und Phase. Wir rechnen um und erhalten C cos(! 0 t + ') = C cos ' cos ! 0 t C sin ' sin ! 0 t | {z } | {z } A Aus A = C cos ' und B = C= (3.14) B C sin ' erhalten wir p A2 + B 2 und ' = arctan B A (3.15) Damit können wir die Fourierreihe nach Betrag und Phase darstellen s(t) = C0 + C1 cos(! 0 t + '1 ) + C2 cos(2! 0 t + '2 ) + + Ck cos(k! 0 t + 'k ) + : : : (3.16) wobei gilt Ck = q A2k + Bk2 ; 'k = arctan Bk Ak und C0 = A0 2 (3.17) Eine aus sinusoidalen Komponenten zusammengesetzte Schwingung ist genau dann periodisch, wenn das Verhältnis der (Kreis)Frequenzen der Komponenten rational ist. 26 KAPITEL 3. SPEKTREN Die Darstellung nach Betrag und Winkel nach Gleichung (3.16) könnte man auch in Form der Sinusfunktion4 ausdrücken, die Kosinus-Darstellung wird aber meistens bevorzugt, da sich der Gleichanteil als Komponente der Frequenz Null darstellen lässt. Wie man sieht, können periodische Schwingungen im Reellen durch Sinus- plus Kosinusfunktion (jeweils mit der Phase Null) oder durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion mit allgemeiner Phase dargestellt werden. Schließ lich gibt es noch die komplexe Darstellung5 s(t) = +1 X ~ k ejk!0 t D (3.18) k= 1 Wie man leicht sehen kann, ergeben sich die Darstellungen im Reellen durch Bildung von Real- und Imaginärteil bzw. durch Bildung von Betrag und Phase aus der komplexen Darstellung. 8 A0 ZT für k = 0 < 2 1 jk! 0 t 1 ~ s(t)e dt = (3.19) Dk = (A jB ) für k > 0 k k : 12 T (A + jB ) für k < 0 k k 0 2 Die komplexe Spektraldarstellung ist die leistungsfähigste und kompakteste aller Formen und wir werden uns daher im weiteren Verlauf häu…g dieser Darstellung bedienen. Aus der Euler’schen Beziehung können wir die Darstellung nach Betrag und Winkel Ck cos(! 0 t + 'k ) einfach in die komplexwertige Darstellung überführen i Ck h j(k!0 t+'k ) e + e j(k!0 t+'k ) = 2 jk! 0 t Ck j'k Ck j'k e e e + e jk!0 t = 2 2 | {z } | {z } Ck cos(k! 0 t + 'k ) = und wir erhalten s(t) = C0 + ~k D ~ D 1 X Ck cos(k! 0 t + 'k ) (3.20) (3.21) k (3.22) k=1 s(t) = D0 + 1 X ~ k ejk!0 t + D ~ D ke jk! 0 t (3.23) k=1 Der Zusammenhang zwischen der reellen (einseitiges Spektrum) und komplexen (zweiseitiges Spektrum) Darstellung ist Die kompakteste Darstellung der Fourierreihe ist die komplexe Darstellung. Es lässt sich mit ihr auch am einfachsten rechnen. ~ k = 1 Ck ej'k ~ k ; 'k = ]D ~k D (3.24) Ck = 2 D 2 Es wird auch stillschweigend angenommen, dass '0 gleich Null und D0 reellwertig ist, weil s(t) ein reellwertiges Signal ist. Die komplexe Darstellung der Fourierreihe entsprechend (3.18) und (3.19) ist die kompakteste Form der Darstellung. Das Rechnen mit Exponentialreihen ist wesentlich einfacher als das Rechnen mit trigonometrischen Reihen. Auch bei der Untersuchung des Verhaltens von Systemen ist die exponentielle Form geeigneter als die trigonometrische. Aus diesem Grund wird der exponentiellen Form der Vorzug gegeben. Beispiel 12 Als Beispiel berechnen wir die Fourierkoe¢ zienten einer periodischen Rechteckfunktion nach Abbildung 3.6.Die Berechnung des Gleichglieds (des Mittelwerts) ist 4 s(t) = c0 + c1 q sin(! 0 t + '1 ) + c2 sin(2! 0 t + '2 ) + ::: + ck sin(k! 0 t + 'k ) + ::: wobei gilt ck = A2k + Bk2 ; tan 'k = Ak Bk c0 = A0 2 5 Die Schreibweise D ~ weist in der komplexen Darstellung auf den Zeigercharakter der ”komplexen” Amplitude hin. 3.3. SPEKTRALANALYSE 27 Rechtecksignal s(t) 1 0 -2 π -π 0 π 2π Zeit t Abbildung 3.6: Rechteckschwingung einfach: A20 = 21 : Die Länge der Periode beträgt T = 2 , die zugehörige Kreisfrequenz ist also ! = 2T = 1 8 0 k gerade > > > > Z =2 < 2 k 1 2 k = 1; 5; 9; 13; ::: cos(kt)dt = sin( ) = Ak = k > k 2 =2 > > > : 2 k = 3; 7; 11; 15; ::: k Bk = 1 Z =2 sin(kt)dt = 0 =2 Beim Integrieren einer periodischen Zeitfunktion über eine Periode spielt keine Rolle, über welches Zeitintervall integriert wird, solange die Breite des Intervalls der Periodendauer entspricht. Auß erdem braucht man nicht über einen Bereich zu integrieren, wo der Integrand sicher Null ist. So kommen die Integrationsgrenzen 2 und 2 zustande, obwohl man nach Einsetzen in die Formeln (3.11) bzw. (3.12) vielleicht 0 und 2 erwarten würde. Für die Reihenentwicklung ergibt sich daher: s(t) = 1 2 + 2 cos t 1 1 cos 3t + cos 5t 3 5 1 cos 7t + ::: 7 s(t) ist eine gerade Funktion, es treten daher in der Fourierreihe nur gerade Aufbaufunktionen, also Kosinusfunktionen auf. Anmerkung 13 In der Schreibweise C cos(!t + ') ist die Amplitude de…nitionsgemäß positiv und in der Reihenentwicklung treten daher auch nur positive Amplituden auf. Die auftretenden negativen Vorzeichen der Reihenentwicklung des vorherigen Beispiels kann man leicht durch folgende Identität beseitigen cos = cos( ) (3.25) + 1 1 cos 3t = cos(3t 3 3 ) (3.26) um die korrekte Darstellung der Reihe zu …nden. In vielen Fällen ist man aber lediglich an der Amplitude der Spektrallinie interessiert und akzeptiert daher, dass der Koe¢ zient negative Werte annimmt. Beispiel 14 Abbildung 14 zeigt die Fourierentwicklung, wenn die Reihe bei n = 1; 3 und 25 abgeschnitten wird. Man beobachtet, dass auch für groß es n ein Überschwingen an den Je mehr Elemente der Fourierreihe man summiert, desto besser deckt sich die Summe mit der ursprünglichen Funktion. 28 KAPITEL 3. SPEKTREN Unstetigkeitsstellen auftritt. Die Rechteckschwingung – ein Signal mit » Ecken« – wird durch Kosinusfunktionen – Signale ohne » Ecken« – nachgebildet. Es überrascht daher nicht, dass die Reihendarstellung nicht exakt ist. Die Näherung ist aber für n ! 1 so gut, dass die Di¤ erenz der beiden Darstellungen die Energie Null hat. RT [f (t) sn (t)]2 dt ! 0 für n ! 1. 0 Das Überschwingen verschwindet aber nicht, sondern erreicht für groß e n einen Wert von 9%: Diese Erscheinung wird Gibbs’sches Phänomen genannt. Rechtecksignal s(t) 2 0 -2 π -π π 0 Z eit t 2π s(t) Rekonstruktion mit n = 1 Harmonischen 2 0 -2 π -π π 0 Z eit t 2π s(t) Rekonstruktion mit n = 3 Harmonischen 2 0 -2 π -π π 0 Z eit t 2π Rekonstruktion mit n = 25 Harmonischen s(t) 2 0 -2 π -π π 0 Z eit t 2π Fourierzerlegung fur verschiedene n Beispiel 15 Als nächstes Beispiel betrachten wir die periodische Impulsfunktion mit der Periodendauer T s(t) = A 0 0<t <t (3.27) T Wir erhalten die Fourierzerlegung s(t) = A !0 = T 2 T + 1 X k=1 A sin(k! 0 ) sin2 (k! 0 =2) cos (k! 0 t) + 2A cos (k! 0 t) k k (3.28) (3.29) Beim Tastverhältnis 1 : 1 (Rechteckschwingung) verschwindet die 2:; 4:; 6:; ::: Oberschwingung, beim Verhältnis 1 : 4 verschwindet die 4:; 8:; 12:; :::, beim Verhältnis 1 : 5 die 5:; 10:; 15:; :::, bei 1 : 10 die 10:; 20:; 30:; ::: Oberschwingung. Lässt man ! 0 gehen, dann werden aus den Rechteckimpulsen Diracimpulse 0 (t) (A 1) und wir erhalten 1 1 1 2 X 1 X jk!0 t s0 (t) = + cos (k! 0 t) = e T T T k=1 k= 1 (3.30) 3.3. SPEKTRALANALYSE 29 1 s(t) 0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0 Z eit t 1 2 3 Abbildung 3.7: Dreieckschwingung Das Signal s0 (t), das aus Diracimpulsen im Abstand T besteht, wird Kammfunktion genannt. Das Spektrum einer Kammfunktion ist wieder eine Kammfunktion und enthält alle ganzzahligen Vielfachen von ! 0 von 0 bis 1! Beispiel 16 Als weiteres Beispiel geben wir die Fourierentwicklung für eine Dreieckschwingung nach Abbildung 3.7 an.In diesem Beispiel ist die Länge der Periode T = 2 und daher ! = 22 = : Der Mittelwert von s(t) = 0. Die Funktion ist ungerade, es entfallen daher die Kosinusanteile. Das Signal lässt sich darstellen s(t) = bk = Z 2t 2(1 t) 1=2 2t sin(k t)dt + 1=2 8 > > > > < k 8 = = 2 2 sin > k 2 > > > : s(t) = 8 2 sin t Z 1 2 jtj <t 1 2 3 2t 3=2 2(1 t) sin(k t)dt = 1=2 0 8 k2 k k = 1; 5; 9; 13; ::: 2 8 k2 gerade 2 k = 3; 7; 11; 15; ::: 1 1 sin 3 t + sin 5 t 9 25 1 sin 7 t + ::: 49 Der Vergleich der Amplitudenspektren der Rechteck- und der Dreieckschwingung zeigt, dass die Amplituden der Oberschwingungen der Dreieckschwingung schneller abklingen als die der Rechteckschwingung. Die Rechteckschwingung hat einen höheren Oberschwingungsanteil, braucht also mehr Frequenzbandbreite, da mehr Schwingungen erforderlich sind, um den steilen Anstieg der Flanken » nachzuzeichnen« . Anmerkung 17 Rechteckschwingungen treten in digitalen elektronischen Schaltkreisen auf und haben einen hohen Oberschwingungsanteil. Bei hohen Taktfrequenzen können diese Oberschwingungen abstrahlen und elektromagnetische Interferenzen erzeugen, die zu Störungen benachbarter Geräte führen können. Um zu einer zusätzlichen Sicht der Zusammenhänge zwischen Zeit- und Frequenzbereich zu gelangen, betrachten wir die Fourierreihe aus einem anderen Blickwinkel. Wir gehen dazu von der Darstellung eines Signals mit der Periodendauer T = 2 =! 0 in komplexer Schreibweise aus (wir wissen, dass sich das Signal s(t) durch die folgende Summe darstellen lässt): s(t) = +1 X ~ k ejk!0 t D k= 1 (3.31) 30 KAPITEL 3. SPEKTREN ~ k . Um eine von ihnen Die einzigen Unbekannten sind hier die Fourierkoe¢ zienten D (die m-te) auszurechnen, multiplizieren wir (3.31) mit e jm!0 t s(t)e jm! 0 t +1 X = ~ k ejk!0 t D k= 1 ! jm! 0 t e = +1 X ~ k ej(k D m)! 0 t (3.32) k= 1 Integrieren wir nun über die Periodendauer T der periodischen Schwingung, so erhalten wir Z jm! 0 t s(t)e dt = T Z +1 X ~ k ej(k D m)! 0 t k= 1 T ! dt (3.33) Da das Integrieren linear ist, können wir das Integral in die Summe schreiben und die ~ k vor das Integral ziehen. Wir erhalten Konstanten D Z jm! 0 t s(t)e dt = +1 X ~k D k= 1 T Z ej(k m)! 0 t dt (3.34) T Der » Trick« hinter dem Ganzen ist, dass wegen Z ej(k m)! 0 t T 0 dt = T für k = m für k = 6 m (3.35) alle Summanden bis auf einen (den m-ten) Null werden. Die ganze rechte Seite von ~ m T . Wir erhalten so für den m-ten Fourierkoe¢ zienten (3.34) reduziert sich also auf D ~m = 1 D T Z s(t)e jm! 0 t dt; m = 0; 1; 2; ::: (3.36) T Wenn man einen rotierenden Zeiger ”anhalten” möchte, rotiert man das ganze Diagramm mit der selben Geschwindigkeit in die Gegenrichtung. Um zu einer physikalischen Interpretation der Zusammenhänge zu kommen, gehen wir von Abbildung 3.8 aus, die einige Zeiger (D1; D 2 und D+n ) von s(t) zeigt, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten k! 0 rotieren. Die Summe aller rechts- und linksdrehenden Zeiger ergibt die Funktion s(t): ~ k einer Frequenzkomponente bestimmen, dreht man das ganze ZeigerMöchte man D diagramm mit k! 0 in Gegenrichtung, multipliziert also mit e jk!0 . Dadurch » steht« die betrachtete Komponente, während sich alle anderen Komponenten mit Vielfachen von ~ k für diese ! 0 drehen. Bildet man nun den Mittelwert über die Periode T , so ergibt sich D Komponente. Für die anderen –sich drehenden Komponenten –ist der Mittelwert Null, da der Mittelwert einer Kreisfunktion über Vielfache ihrer Periode Null ist. 3.3.2 Numerische Berechnung der Fourierkoe¢ zienten Häu…g liegen Signale nicht in analytischer Form vor oder lassen sich nur schwer analytisch darstellen. In diesen Fällen kann man die Fourierkoe¢ zienten durch numerische Berechnung des Integrals (3.37) ermitteln. ~k = 1 D T Z s(t)e jk! 0 t dt; k = 0; 1; 2; ::: (3.37) T Zur Berechnung des Integrals (der Fläche) zerlegen wir die Fläche in rechteckige Streifen im Abstand Ts . Bei der Periodendauer T erhalten wir dadurch N = T =Ts Streifen, die summiert werden müssen. 3.3. SPEKTRALANALYSE 31 Abbildung 3.8: Signal in Zeigerdarstellung ~k = 1 D T Z s(t)e jk! 0 t dt; k = 0; 1; 2; ::: = (3.38) T N 1 1 X s(nTs )e Ts !0 T n=0 = lim Mit den Abkürzungen 0 jk! 0 nTs Ts (3.39) = ! 0 Ts und N = T =Ts erhalten wir N X1 ~ k = lim 1 s(nTs )e D Ts !0 N n=0 jk 0n (3.40) Für praktische Berechnungen können wir Ts beliebig klein, aber nicht Null machen, was bedeutet, dass bei der numerischen Berechnung des Integrals immer ein Fehler auftreten wird. Wenn wir diesen Fehler ignorieren, erhalten wir für die Fourierkoe¢ zienten N X1 ~k = 1 D s(nTs )e N n=0 jk 0n (3.41) Je größ er N gewählt wird, d.h. je schmäler die rechteckigen Streifen werden, desto kleiner ist der Fehler der numerischen Integration ~ k+N = D ~ k ; was bedeutet, dass das Spektrum D ~k Durch Einsetzen sehen wir, dass D sich mit der Periodendauer N wiederholt! Die Beziehung nach Gleichung (3.41) nennt man diskrete Fouriertransformation (DFT), die noch genauer behandelt wird. Die DFT ~ k für n 0 bis n = N=2: Die Koe¢ zienten oberhalb von N=2 liefert die Koe¢ zienten D ~ k+N = D ~ k die Koe¢ zienten der negativen sind wegen der Periodizität des Spektrums D ~ 33 = D ~ 31 ; D ~ 34 = D ~ 30 ; :::; D ~ 63 = D ~ 1: Frequenzen. Für N = 64 ist daher D Ein besonders e¢ zienter Algorithmus zur Berechnung der Gleichung (3.41) ist die Fast Fourier Transformation (FFT), für die N eine Potenz von Zwei –N = 2m ; m:::ganzzahlig –sein muss. Anmerkung 18 Die Verwendung der Begri¤ e DFT und FFT führt oft zu Verwirrung. Während die DFT ganz abstrakt die » numerische Berechnung der Fourierkoe¢ zienten« bezeichnet, steht die FFT für einen konkreten Algorithmus, der vorschreibt, wie die Koe¢ zienten berechnet werden. Die FFT kann man also als eine Implementierung der DFT ansehen. In der Umgangssprache bezeichnen diese zwei Begri¤ e meistens eine und die selbe Sache. Bei der DFT werden die Fourierkoe¢ zienten numerisch berechnet. 32 KAPITEL 3. SPEKTREN 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 | s inus | periodis c h 0.8 1 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 B etrags s pektrum 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 P has ens pektrum 6 7 8 9 5 0 -5 Abbildung 3.9: Spektrum von jsin(t)j Beispiel 19 Als Beispiel berechnen wir die Fourierkoe¢ zienten der gleichgerichteten Sinusschwingung s(t) = jsin ! 0 tj mit Hilfe von Matlab. Wir berechnen die Werte von s(t) beginnend bei t = 0; den letzten Wert entnehmen wir an der Stelle t = T Ts : (Der letzte Wert ist nicht an der Stelle T; da dieser Wert identisch mit dem Wert an der Stelle t = 0 ist, die neue Periode beginnt an der Stelle t = T:) N=256; t=linspace (0,1,(N+1)); t=t([1:N]); s=abs(sin(pi*t)); subplot (311), plot(t,s), xlabel ’jsinusj periodisch’ d=fft(s)/N; % komplexes Spektrum dMag=abs(d); dPhase=angle(d); M=10; % Fourierkoeffizienten von M Spektrallinien d0=dMag(1); dM=2*dMag(2:M); % Umrechnen auf einseitiges Spektrum cMag=[d0,dM]; cPhase=dPhase(1:M); subplot (312), stem((0:(M-1)),cMag), xlabel ’Betragsspektrum’; subplot (313), stem((0:(M-1)),cPhase), xlabel ’Phasenspektrum’;N=256; Abbildung 3.9 zeigt die Zeit- und Frequenzbereichdarstellung. Aus einer Formelsammlung erhalten wir die Fourierzerlegung der gleichgerichteten Sinusschwingung (T = ; ! = 2 =T = 2) 2 4 cos 2t cos 4t cos 6t ( + + + :::) = 1:3 3:5 5:7 = 0:6366 0:4244 cos 2t 0:0849 cos 4t 0:0364 cos 6t + ::: s(t) = Vergleich der analytischen und numerischen Lösung (3.42) (3.43) 3.3. SPEKTRALANALYSE 33 1 0.5 0 -1 -0.5 0 0.5 1 2 t periodisch 0.5 0 2 0 x 10 5 10 Betragsspektrum 15 5 10 Phasenspektrum 15 -15 0 -2 0 Abbildung 3.10: Spektrum von s(t) = t2 Beispiel 20 Betrag (FFT) 0:6366 0:4244 0:0849 0:0364 0:0202 0:0129 0:0089 0:0065 0:0050 0:0040 Phase (FFT) 0 3:1416 3:1416 3:1416 3:1416 3:1416 3:1416 3:1416 3:1416 3:1416 Betrag (Reihe) 0:6366 0:4244 0:0849 0:0364 0:0202 0:0129 0:0089 0:0065 0:0050 0:0039 Phase (Reihe) 0 , 6 Beispiel 21 Als weiteres Beispiel berechnen wir das Spektrum der periodischen Parabelfunktion nach Abbildung 3.10 auf numerischem Weg.Durch analytische Berechnung erhalten wir 1 4 1 1 1 cos t cos 2 t + 2 cos 3 t cos 4 t + : : : = 2 3 22 3 42 1 4 1 1 1 = + 2 cos ( t )t + cos 4 t + : : : ) + cos 2 t + cos (3 t 3 4 9 16 1 1 X 4 = + ( 1)k 2 2 cos(k t) 3 k s(t) = (3.44) (3.45) (3.46) k=1 Wir sehen einen scheinbaren Widerspruch zwischen der numerischen Berechnung, die für die Phase der Spektrallinien Null (< 10 15 ) liefert, während bei der analytischen Berechnung die Phase der Spektrallinien abwechselnd und Null ist. Werten wir die analytische Berechnung aus und summieren die ersten 16 Frequenzkomponenten, dann erhalten wir Abbildung 3.11.Abbildung 3.11 (a) liefert die Synthese nach (3.44). Abbildung 3.11 (b) stellt die periodische Funktion s(t) = (1 t)2 dar und unterscheidet sich von Abbildung (a) lediglich durchP die Zeitverschiebung. Das Spektrum der periodi1 schen Funktion (1 t)2 ist s(t) = 31 + k=1 k24 2 cos(k t), die Kosinusfunktionen haben die Phase Null. Diese Lösung haben wir auch bei der numerischen Berechnung gefunden. 34 KAPITEL 3. SPEKTREN (a) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 (b) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 Abbildung 3.11: Freqenzsynthese der periodischen Funktion t2 für 1 t 1 Abbildung 3.12: Aperiodisches Signal periodisch fortgesetzt 3.3.3 Beim Berechnen der Fouriertransformation stellen wir uns eine aperiodische Funktion als eine periodische funktion mit unendlich groß er Periode vor. Die Fouriertransformation Wir haben die Darstellung im Frequenzbereich durch Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe eingeführt. Periodische Funktionen sind theoretische Konstrukte, die bei tatsächlichen Signalen nicht auftreten können, da jedes praktische Signal endliche Dauer hat. Zur mathematischen Darstellung des endlichen (= aperiodischen) Signals f (t) erzeugen wir ein neues Signal fT (t); indem wir f (t) in Intervallen von T wiederholen und damit die aperiodische Funktion periodisch machen. Dieses periodische Signal fT (t) können wir in eine Fourierreihe zerlegen. Lassen wir nun die Periodendauer gegen unendlich gehen (T ! 1) erhalten wir daraus unser endliches, aperiodisches Signal lim fT (t) = f (t) T !1 (3.47) Abbildung 3.12 stellt diesen Zusammenhang graphisch dar. Wenn wir die Periodendauer T verdoppeln, wird die Grundfrequenz ! 0 der Reihenentwicklung halbiert, es entstehen daher doppelt so viele Spektrallinien wie vorher. Gleichzeitig wird Einhüllende des Spektralfunktion T1 F (!) entsprechend kleiner.Weiteres Ver- 3.3. SPEKTRALANALYSE 35 doppeln führt wiederum zu eine höheren Zahl von Spektrallinien mit niedriger Amplitude, wobei die Form der Einhüllenden F (!) gleich bleibt. Schließ lich wird das Spektrum so dicht, dass der Abstand zwischen den Spektrallinien in…nitesimal klein wird und die Amplitude der entsprechenden Spektrallinie in…nitesimal Null wird. Wir erhalten nichts von allem und haben doch etwas! Führen wir diesen Grenzübergang durch, dann erhalten wir nach einer Reihe von Rechenschritten Z1 1 f (t) = 2 F (!)ej!t d! (3.48) 1 Gleichung (3.48) nennt man Fourierintegral. Ein aperiodisches Signal lässt sich mit dem Fourierintegral (im Gegensatz zur Fourierreihe beim periodischen Signal) darstellen. ~ k auftreten Zum Unterschied von der Fourierreihe, bei der diskrete Spektrallinien D s(t) = +1 X ~ k ejk!0 t ; D k= 1 tritt bei der Fouriertransformation ein kontinuierliches7 Spektrum F (!) auf, wobei F (!) in der Regel komplex ist8 . F (!) ist eine Spektraldichtefunktion, wird aber meistens kurz als Spektrum bezeichnet. Wir fassen die Darstellung aperiodischer Signale im Zeit- und Frequenzbereich zusammen F (!) = Z1 1 1 f (t) = 2 f (t)e Z1 j!t dt (3.49) F (!)ej!t d! (3.50) 1 (3.49) wird direkte, (3.50) wird inverse Fouriertransformation genannt. Die Funktion F (!) nennt man die Fouriertransformierte von f (t). Bei aperiodischen Signalen treten keine Spektrallinien auf, sondern eine Spektraldichtefunktion, d.h. die » Spektrallinien« sind in in…nitesimalem Abstand und das Spektrum erstreckt sich immer von 1 bis 1. Beispiel 22 Als Beispiel der Anwendung der Fouriertransformation berechnen wir das Spektrum eines rechteckigen Impulses nach Abbildung 3.13. F (!) = = Z =2 e j!t dt = =2 ! 2 sin ! 2 = sinc 1 e j! j! =2 ej! =2 = 2 sin !2 ! ! 2 Diese Funktion wird sinc-Funktion9 genannt. Die Si-Funktion erstreckt sich von 1 < ! < 1. Das Spektrum des Rechtecksignals der Abbildung 3.13 ist reell. Der Si-Funktion werden wir noch öfter begegnen. 7 Kontinuierliche Spektren sind aus der Physik bekannt, weiß es Licht setzt sich z.B. aus den Spektralfarben des Regenbogens zusammen. 8 Weist jedem ! eine komplexe Zahl zu. 9 In der deutschsprachigen Literatur wird diese Funktion Si-Funktion oder Spaltfunktion genannt. Wir verwenden wie in Matlab die Bezeichnung sinc-Funktion. Bei der Fouriertransformation einer aperiodischen Funktion werden ”Spektrallinien unendlich dicht aneinandergedrückt.” 36 KAPITEL 3. SPEKTREN Rechtecksignal f(t) 1 0 - τ/2 τ/2 0 Zeit t F(ω) sinx/x - Funktion τ 0 -8 π/τ -6 π/τ -4 π/τ -2 π/τ 0 ω 2π/τ 4π/τ 6π/τ 8π/τ Abbildung 3.13: Rechteckimpuls im Zeit- und Frequenzbereich Abbildung 3.14: Einheitsimpuls im Zeit- und Frequenzbereich Beispiel 23 Wir berechnen die Fouriertransformierte des Einheitsimpulses10 : F f 0 (t)g = F (!) = 0 (t) () 1 Z1 1 j!t (t) e| {z } dt = 1 =1 für !=0 Abbildung 3.14 stellt den Einheitsimpuls im Zeit- und im Frequenzbereich dar. Die Impulsfunktion ist keine echte Funktion und beschreibt keine eindeutige Funktion. Wir sehen an diesem Beispiel, dass lediglich die Wirkung der Impulsfunktion auf eine andere Funktion – e j!t – untersucht wird. Anmerkung 24 Das Spektrum der Impulsfunktion enthält alle Frequenzen von 1 bis 1, deren Amplitude ist für alle Frequenzen gleich ist. Im Impuls » stecken« also Frequenzen. Diese Eigenschaft macht die Impulsfunktion für die Untersuchung von Systemen aus theoretischer Sicht so bedeutend. Legt man an den Eingang eines Systems einen Impuls an, so wird dieses System gleichzeitig mit allen Frequenzen angeregt. Aus messtechnischer Sicht ist der Impuls weniger geeignet, er müsste die Amplitude 1 haben, was technisch nicht möglich ist. Für messtechnische Zwecke ist die Sprungfunktion 1 (t) besser geeignet. 1 0 Siehe Abschnitt 2.2: Elementarfunktionen 3.3. SPEKTRALANALYSE 37 0.5 0 0 10 20 30 Betragsspektrum 40 50 10 20 30 Phasenspektrum 40 50 1 2 3 Zeitfunktion 4 5 0 -100 -200 0 1 0 -1 0 Abbildung 3.15: Betrags-, Phasenspektrum und Zeitfunktion von s(t) = 3.3.4 1 (t)e t sin 10t Eigenschaften der Fouriertransformation Einige Transformationsbeziehungen s(t) 1 1 (t)e 2 0 (t) S(!) 1 a+j! at a>0 1 3 1 2 4 ej!t 5 cos ! 0 t 6 sin ! 0 t 7 1 (t) 8 1 (t) cos ! 0 t 2 [ 0 (! !0) + 0 (! + ! 0 )] + 9 1 (t) sin ! 0 t 2j [ 0 (! !0) 0 (! + ! 0 )] 2 10 1 (t)e at cos ! 0 t 11 1 (t)e at sin ! 0 t [ 0 (! 0 (!) 0 (! !0) !0) + 0 (! j [ 0 (! + ! 0 ) 0 (!) a+j! (a+j!)2 +! 20 !0 (a+j!)2 +! 20 + ! 0 )] 0 (! + ! 0 )] 1 j! j! ! 20 ! 2 + !2 ! !2 0 a>0 a>0 Die Transformationsbeziehung (2) zeigt, dass das Spektrum des Dirac-Impulses konstant ist, d.h. alle Frequenzen treten mit gleicher Amplitude auf. Die Transformationsbeziehung (3) zeigt, dass der Dirac-Impuls im Frequenzbereich ( 0 (!) ist ein » Impuls« bei ! = 0) einem konstanten Signal im Zeitbereich entspricht, das sich von 1 bis 1 erstreckt. Aus (2) und (3) kann man auch gut die Symmetrie der Fouriertransformation erkennen. (5) und (6) zeigt die Spektrallinien des Sinus bzw. Kosinus bei den positiven und negativen Frequenzen ! 0 . Konsequenterweise liefert (4) nur die Spektrallinie bei ! 0 . Bekanntlich ist cos(! 0 t) = 12 (ej!0 t + e j!0 t ), wir erhalten das Spektrum entsprechend durch Verwendung von (4). Abbildung 3.15 zeigt Zeit- und Frequenzdarstellung der eingeschalteten, abklingenden Sinusfunktion. Die Fouriertransformation ist symmetrisch11 , der Betrag von F (!) ist eine 1 1 Unter der Annahme reeller Zeitfunktionen, die bei technischen Signalen immer erfüllt ist. 38 KAPITEL 3. SPEKTREN 1 0.5 0 0 20 40 60 Zeitac hs e t S (t) = s (t) 80 100 20 40 60 Zeitac hs e verkürzt S(t) = s (2t) 80 100 20 40 60 Zeitac hs e ges trec kt S (t) = s (t/2) 80 100 1 0.5 0 0 1 0.5 0 0 Abbildung 3.16: Skalierung der Zeitachse gerade Funktion, die Phase von F (!) ist eine ungerade Funktion. 3.3.5 Operationen mit Signalen im Zeit- und Frequenzbereich Zeitskalierung Abbildung 3.16 zeigt ein Signal mit normaler Zeitachse s(t), mit verkürzter Zeitachse s(2t) und mit gedehnter Zeitachse s(t=2): Wird das Signal s(t) auf Band aufgezeichnet und dann wiedergegeben, dann entspricht s(2t) der doppelten Abspielgeschwindigkeit, s(t=2) der halben Abspielgeschwindigkeit. Allgemein schreiben wir t s(kt) bzw. s( ) k (3.51) Im Frequenzbereich erhalten wir s(kt) , 1 ! S jkj k (3.52) Abspielen eines Signals in der halben Zeit entspricht der Verdoppelung der Frequenz, bzw. Abspielen in der doppelten Zeit entspricht der Halbierung der Frequenz. Verschiebung im Zeitbereich Abbildung 3.3.5 zeigt das Signal s(t) und das nach rechts verschobene – verzögerte – Signal s(t T ). Positives T bewirkt eine Verschiebung nach rechts (zeitlich nach vorne), negatives T bewirkt eine Verschiebung nach links (zeitlich zurück). 3.3. SPEKTRALANALYSE 39 1 s ( t - T) s ( t) 0 .9 0 .8 T 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Verschiebung im Zeitbereich Im Frequenzbereich erhalten wir s(t T ) , S(!)e j!T (3.53) Die Verschiebung im Zeitbereich ändert das Amplitudenspektrum nicht, das Phasenspektrum wird um den Betrag !T verschoben. Beachten Sie das die Frequenzkomponenten proportional zur Phase (linear mit der Phase) verschoben werden. Diese Eigenschaft hat Bedeutung bei der Signal…lterung (Filter mit linearer Phase), die später behandelt wird. Zeitspiegelung Abbildung 3.3.5 zeigt das Signal s(t) mit gespiegelter Zeitachse s( t) bzw. mit Skalierung k = 1. 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -50 0 s ( t) 50 0 s ( - t) 50 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -50 Zeitumkehr Verschiebung im Frequenzbereich Auch bei der Verschiebung im Zeitbereich kann man die Symmetrie der Fouriertransformation gut erkennen. s(t)ej!0 t , S(! !0 ) (3.54) ej!0 t ist keine reelle Zeitfunktion und kann daher nicht erzeugt werden. Die Verschiebung im Frequenzbereich wird daher praktisch durch Multiplikation mit einer sinusoidalen Funktion erzeugt 40 KAPITEL 3. SPEKTREN 1 s(t)ej!0 t + s(t)e j!0 t 2 1 s(t) cos ! 0 t , [S(! ! 0 ) + S(! + ! 0 )] 2 s(t) cos ! 0 t = (3.55) (3.56) Anmerkung 25 Die Beziehung s(t) cos ! 0 t tritt in der Nachrichtentechnik als Amplitudenmodulation auf. Ein Signal im Basisband (z.B. Sprachsignal beim Kurzwellenfunk) wird in eine anderen Frequenzbereich (! 0 ) verschoben. Durch Wahl unterschiedlicher Frequenzen ! 0 , den sogenannten Trägerfrequenzen, ist es möglich mehrere Basisbänder nebeneinader im Frequenzbereich unterzubringen (Frequenzmultiplex). Beachten Sie, dass durch die Verschiebung um ! 0 , die negativen Frequenzen des Basisbandsignals zu positiven Frequenzen werden und auch physikalisch auftreten, man spricht vom unteren und oberen Seitenband. Faltung im Zeit- und Frequenzbereich Wie wir bereits gesehen haben, ist die Faltung folgendermaß en de…niert: Z 1 Z 1 f (t )g( )d f ( )g(t )d = f (t) g(t) = 1 1 Im Frequenzbereich erhalten wir f (t) g(t) , F (!)G(!) 1 f (t)g(t) , F (!) G(!) 2 (3.57) (3.58) Aus der Faltung im Zeitbereich wird die Multiplikation im Frequenzbereich, aus der Faltung im Frequenzbereich wird die Multiplikation im Zeitbereich. Aus diesem Zusammenhang wird auch klar, dass die Bandbreite B des Produkts von zwei Signalen f (t) und g(t), gleich der Summe der Bandbreiten Bg + Bf ist. 3.3.6 Frequenz und Zeit –Unschärfeprinzip Es gehört zu den wichtigsten Erkenntnissen der Physik, dass bestimmte Größ en nicht unabhängig voneinander gemessen werden können. Dazu gehört auch die Messung von Zeit und Frequenz: Je kürzer die Zeitdauer t eines Signals, desto breiter wird sein Frequenzband f , je schmäler das Frequenzband f eines Signals, desto länger muss die Zeitdauer t des Signals sein. Ein langer Sinuston (ein paar Sekunden) klingt wie erwartet. Kürzt man die Zeitdauer des Sinustons und erzeugt Sinus-Bursts, geht der Klang von einem Sinuston in ein Knattern über. Je kürzer die Zeitdauer des Bursts, desto breiter wird sein Spektrum. Wir müssen aber noch festlegen, was wir unter Bandbreite verstehen. Die Bandbreite des Signals geht zwar gegen 1, der Amplitudenverlauf geht aber sehr schnell gegen Null, sodass dieser Teil des Frequenzbandes vernachlässigbar ist. Für Messzwecke können wir als Bandbreite z. B. als die halbe mittlere Breite des Hauptmaximums bezeichnen. Wenn wir die Zeitdauer t halbieren, so verdoppelt sich die Bandbreite f . t uns f verhalten sich also umgekehrt proportional t = k f oder f t = k: 3.3. SPEKTRALANALYSE 41 Zeitbereich Zeitbereich 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -1 -4 -0.5 -2 0 τ Spektrum 2 -1 -1 4 3 0.6 2 0.4 1 0.2 0 -1 -10 -0.5 0 τ Spektrum 0.5 1 -5 0 f 5 10 0 -5 0 f 5 -0.2 -10 10 Abbildung 3.17: Spektrum Kosinusburst f0 = 3, = 2 und = 0:5 Zur Berechnung von k untersuchen wir eine zeitlich begrenzte Kosinusfunktion mit der Amplitude A = 1 f (t) = cos ! 0 t 0 t jtj > (3.59) Wir wissen von der Fouriertransformation, dass bei zeitbegrenzten Signalen ein Dichtespektrum und keine diskreten Spektrallinien auftreten. Es kann daher die in Gleichung (3.59) auftretende Kreisfrequenz ! 0 nicht als diskrete Spektrallinie auftreten! Wir berechnen R 1 die Dichtefunktion R 1 von (3.59). Da f (t) eine gerade Funktion ist, können wir F (!) = 1 f (t)e j!t dt ) 1 f (t) cos (!t) dt vereinfachen und erhalten F (!) = Z1 f (t) cos(!t)dt = 1 Z Z cos(! 0 t) cos(!t)dt = (3.60) !)t] + cos [(! 0 + !)t]g dt = (3.61) = 1 2 = 1 sin [(! 0 !)t] sin [(! 0 + !)t] + 2 !0 ! !0 + ! = sin [(! 0 !) ] sin [(! 0 + !) ] + !0 ! !0 + ! fcos [(! 0 = (3.62) (3.63) f (t) und F (!) sind in Abbildung 3.17 dargestellt und zeigen Kosinusbursts der Kreisfrequenz ! 0 = 3, einmal mit der Länge = 2 und einmal mit der Länge = 0:5. Die Nulldurchgänge des Spektrums errechnen sich aus den Nulldurchgängen der Sinus-Funktion sin[(! ! 0 ) ] = 0 ) (! ! 0 ) = n , für n = (0); 1; 2; ::: An der Stelle ! ! ! 0 wird F (! 0 ) = , die Nullstellen von F (!) liegen, von ! 0 ausgehend, in den Abständen = . Wir erkennen deutlich, dass die Spektraldichte im Bereich von ! 0 = 3 größ er wird. Je länger die Zeitdauer des Kosinusbursts, desto näher rücken die die Nullstellen zusammen und desto besser entspricht der Burst der kontinuierlichen Kosinusschwingung. Im Grenzfall ! 1 ) ! ! 0 erhalten wir die kontinuierliche Kosinusschwingung mit dem Spektrum F (!) ! 0 (! ! 0 ), also eine Spektrallinie. Wir können aus Abbildung 3.17 erkennen, dass das Spektrum, d.h. die » Frequenz« einer zeitlich begrenzten Kosinusfunktion –unscharf –ist. Bezeichnen wir die Breite der Hauptkeule der Funktion in Abbildung 3.17 als Spektrum, so erhalten wir ! = 2 , bzw. f = 1 . Die Zeitdauer der Kosinusschwingung beträgt t = 2 . Damit erhalten wir für den Zusammenhang zwischen Frequenz und Zeitdauer die Beziehung f t=2 42 Unschärfeprinzip in der Nachrichtentechnik t f 1 KAPITEL 3. SPEKTREN Nimmt man einen Sinus-Burst mit Gauß -Funktion als Einhüllende und misst man t auf halber Amplitudenhöhe im Zeitbereich, f auf halber Amplitudenhöhe im Frequenzbereich (das Spektrum hat ebenfalls eine Gauß -Verteilung), dann wird t f =1 Das Unschärfeprinzip in der Nachrichtentechnik wird daher f t 1 (3.64) Anmerkung 26 Je kürzer die Zeitdauer t eines Signals desto breiter f wird sein Spektrum; umgekehrt gilt, je schmäler das Spektrum, desto länger die Zeitdauer des Signals. Zeitdauer und Spektrum sind untrennbar verbunden, Zeit und Frequenz können nicht unabhängig voneinander gemessen werden. 3.3.7 Numerische Berechnung der Fouriertransformation R1 Wenn sich die Transformation F (!) = f (t)e j!t dt nicht analytisch berechnen lässt, 1 muss das Spektrum numerisch berechnet werden. Da unsere Zeitsignale sich nur von 0 bis T erstrecken (auß erhalb dieses Intervalls werden sie als Null de…niert), können wir die Integrationsgrenzen anpassen. F (!) = ZT f (t)e j!t dt (3.65) 0 F (!) N X1 f (n t)e j!n t t n=0 t ! n t; t= T N (3.66) t (bzw. die Zahl der Werte N ) muss so gewählt werden, dass die gewünschte Genauigkeit bei der numerischen Integration erreicht wird. Wir tasten das Signal f (t) mit fabtast = 1t ab und nehmen an, dass die Spektralkomponenten des Signals oberhalb der halben Abtastfrequenz j!j ! max = 12 ! abtast vernachlässigbar sind. Das Zeitsignal setzt sich dann aus seinen spektralen Komponenten wie folgt zusammen !Zmax 1 f (n t) = 2 F (j!)ej!n t d! (3.67) ! max Unter Verwendung der DFT erhalten wir F (k !) t N X1 f (k t)e jk !n t (3.68) n=0 != F (n !) 1 1 2 N t N 1 X t f (k t)e (3.69) j 2N kn (3.70) n=0 Die Fouriertransformierte einer nichtperiodischen Funktion f (t) kann also numerisch mit Hilfe der DFT berechnet werden F (k !) = 1 fa b t a s t F [k] k < N=2 0 k N=2 (3.71) T wenn das Signal mit fabtast = 1t = N abgetastet wird und die Spektralkomponenten N bei Frequenzen größ er als 2T vernachlässigbar sind. 3.4. GRÖSSE VON SIGNALEN (ENERGIE UND LEISTUNG) 3.4 43 Größ e von Signalen (Energie und Leistung) Um die » Größ e« eines Signals zu erfassen, wird man sowohl die Amplitude als auch die Dauer berücksichtigen müssen. Das zunächst naheliegende Maßder Fläche des Signals ist ungeeignet, da sich positive und negative Signal‡ächen aufheben können. Die Verwendung des Betrages ist aus mathematischer Sicht nicht sehr praktisch, daher de…niert man die Signalenergie Z 1 Z 1 2 2 Es = s (t)dt bzw. Es = js(t)j dt (3.72) 1 1 für reelle und komplexe Signale. Diese De…nition liefert nur dann ein brauchbares Maß , wenn die Energie endlich ist. Das ist dann gegeben, wenn die Signalamplitude gegen Null geht, wenn jtj ! 1: Ist das nicht der Fall, dann liefert die Signalleistung, 1 Ps = |{z} lim T T !1 Z T =2 2 s (t)dt 1 Ps = |{z} lim T bzw. T =2 T !1 Z T =2 T =2 2 js(t)j dt Die Signalenergie ist die Fläche unter dem quadrierten Betrag des Signals. (3.73) der quadratische Mittelwert, ein brauchbares Maß . Die Wurzel daraus ist der E¤ektivwert (root mean square - rms). Die Signalleistung eines Zeitsignals ist die mittlere Signalenergie pro Zeit. Anmerkung 27 Es muss darauf hingewiesen werden, dass die Begri¤ e Signalenergie und Signalleistung zwar ein Maßfür die Energie darstellen aber nicht die tatsächliche Signalenergie sind. Erst wenn s(t) der Amplitudenverlauf eines elektrischen Stromes oder einer elektrischen Spannung an einem ohmschen Widerstand sind, kann man im physikalischen Sinn von einer Energie sprechen. Konsequenterweise sind auch die Dimensionen von Es und Ps nicht Joule und Watt, wir verwenden diese Begri¤ e lediglich zur Messung der Größ e eines Signals. 3.5 Parseval’sches Theorem Wir wissen, dass die Fourierentwicklung eines periodischen Signals durch die Beziehung s(t) = C0 + N X Ck sin(! k t + 'k ) (3.74) k=1 dargestellt werden kann. Selbstverständlich muss die Leistung des gesamten Signals s(t) gleich der Summe der Leistungen seiner spektralen Komponenten sein. Zur Berechnung der Leistung eines periodischen Signals berechnet man die Energie pro Periode und dividiert sie durch die Periodendauer. Es ergibt sich für die Leistung einer (der k-ten) Spektralkomponente (zur Vereinfachung wird die Phase weggelassen) Z Ck2 (Ck sin ! k t) dt = (1 2T T T Z Ck2 C2 C2 = kT sin(2! k t)dt = k 2T 2T 2 1 Pk = T Z 2 sin 2! k t)dt = (3.75) T Die Leistung eines sinusförmigen Signals ist unabhängig von der Frequenz und beträgt Ck2 =2. Wir erhalten für die Leistung eines beliebigen periodischen Signals mit den Fourierkoe¢ zienten Ck Ps = C02 + 1 1X 2 Ck 2 k=1 (3.76) Die Leistung eines sinusförmigen Signals ist gleich dem halben Quadrat seiner Amplitude. Sie hängt nicht von der Frequenz ab. 44 KAPITEL 3. SPEKTREN 3.6 Zusammenfassung In diesem Kapitel haben wir gezeigt, dass periodische Signale durch Überlagerung von sinusförmigen Funktionen dargestellt werden können. Wir können ein Signal als Zeitfunktion oder als Summe von sinusförmigen Komponenten betrachten und gelangen dadurch zur Darstellung im Zeit- und im Frequenzbereich. Periodische Signale sind immer aus ganzzahligen Vielfachen der Grundschwingung aufgebaut, im Frequenzbereich führt das zu Linienspektren. Signale, die aus sinusförmigen Schwingungen zusammengesetzt sind, deren Frequenzverhältnis nicht rational ist, sind keine periodischen Signale, haben aber ebenfalls ein Linienspektrum. Die Breite des Spektrums hängt vom Signal ab, Linienspektren können endliche Breite haben oder können sich von 1 bis 1 erstrecken. Signale sind in der Regel nicht periodisch, sondern haben endliche Dauer. Für die Berechnung der Spektralkomponenten aperiodischer Signale wird die Fourierreihe zur Fouriertransformation. Aus dem Linienspektrum der periodischen Signale wird das kontinuierliche Spektrum der aperiodischen Signale. Das Spektrum eines aperiodischen Signals erstreckt sich immer von 1 bis 1: Der Aufbau der Fourierreihe und der Fouriertransformation ist sehr ähnlich. Z +1 X s(t) = Dk ejk!0 t , Dk = T1 s(t)e jk!0 t dt f (t) = k= 1 Z1 1 2 F (!)e 1 T j!t d! , F (!) = Z1 1 f (t)e j!t dt Bei der Fourierreihe wird das Zeitsignal als Summe von diskreten komplexen Exponentialfunktionen ejk!0 t mit den (komplexen) Amplituden Dk dargestellt. Bei der Fouriertransformation wird das Zeitsignal als Summe von unendlich vielen (Integral) komplexen Exponentialfunktionen ej!t mit der (komplexen) Amplitudendichte F (!) dargestellt. Die Amplitude der Frequenzkomponenten Dk des periodischen Signals errechnet man aus dem Zeitsignal s(t) durch » Anhalten« des Zeigerdiagramms, indem man es mit der Frequenz der gesuchten Komponente in die entgegengesetzte Richtung e jk!0 t dreht und den Mittelwert (Integration) bildet. In ähnlicher Weise erhält man die » Frequenzkomponenten« F (!) des aperiodischen Signals aus dem Zeitsignal f (t) durch » Anhalten« des Zeigerdiagramms, indem man es mit der Frequenz der gesuchten Komponenten in die entgegengesetzte Richtung e j!t dreht und den Mittelwert (Integration) bildet. Zum Unterschied vom periodischen Signal liegen die » Spektrallinien« 1 dicht nebeneinander, man erhält daher die Frequenzdichte F (!): Teil II Ladungen und Ströme 45 47 Der folgende Text folgt dem Buch von D. Meschede » Gerthsen Physik« , 24. Au‡age, Kapitel 7. Elektromagnetismus: Ladungen und Ströme, http://www.springerlink.com 48 Kapitel 4 Elektrostatik Inhalt 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.1 Elektrische Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . In‡uenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energie der Ladungsverteilung im elektrischen Feld . . Das elektrische Feld als Träger der elektrischen Energie Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Die Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 Mechanismen der dielektrischen Polarisation . . . . . . . 4.8.4 Energiedichte des elektrischen Feldes im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 50 51 53 54 55 55 55 55 56 57 57 Elektrische Ladungen Die Einfachheit der Grundgesetze der Elektrostatik darf nicht darüber hinwegtäuschen, dass sie Ergebnis jahrhundertelanger Beobachtungen sind. Schon den Griechen war vor 2600 Jahren bekannt, das man mit Bernstein (altgriechisch " o ; elektron), der mit einem Tuch gerieben wurde, leichte Objekte (z.B. Papierschnipsel) anziehen kann. Heute wissen wir, dass 1. es zwei Arten von Ladungen gibt. Wir nennen sie positive und negative Ladungen, da sie einander neutralisieren können. 2. die Ladung in einem abgeschlossenen System immer erhalten bleibt; es gibt immer gleich viel positive und negative Ladungen. 3. die Ladung nur als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e = (1:602 176 46 6) 10 19 C auftritt1 . 4. gleichnamige Ladungen einander abstoß en, ungleichnamige Ladungen einander anziehen. 5. die Kraft zwischen zwei Punktladungen die Richtung ihrer Verbindungslinie hat, proportional2 zum Produkt der Ladungen und verkehrt proportional zum Quadrat des Abstands ist. 1 Die Fehlerangabe bezieht sich auf die letzte signi…kante Stelle. Größ e der Proportionalitätskonstante "0 hängt von der Wahl des Maß systems ab. Wir verwenden das Internationale System (SI). 2 Die 49 50 KAPITEL 4. ELEKTROSTATIK F "o Q1 Q2 Coulomb’sches Gesetz 4 "o r2 107 As = 8:854 187 817 10 12 = (In‡uenzkonstante) 2 4 c Vm c ... Lichtgeschwindigkeit = Die Reichweite des Coulomb’schen Gesetzes erstreckt sich von 0 bis 1:3 Auch die Gravitation hat eine ähnliche Abhängigkeit wie die elektrische Kraft. F = G G = m1 m2 r2 (6:673 10) 10 21 N m2 kg 2 Es gibt aber keine positiven und negativen Massen und die Gravitationkraft ist viel kleiner als die elektrische Kraft. Vergleicht man die elektrischen und Gravitationskräfte zwischen Elektron und Proton erhalten wir e2 = (4 "o Gme mp ) 1040 : Die elektrische 40 Kraft ist 10 mal größ er als die Gravitationskraft! 6. die von Ladungen ausgehenden Kräfte additiv sind (Überlagerungsgesetz). Dabei ist allerdings zu beachten, dass Ladungen im allgemeinen verschiebbar sind. 4.2 Das elektrische Feld Die Erfahrung zeigt, dass es Raumgebiete gibt, in denen elektrisch geladene Körper Kräfte erfahren, die weder Nahewirkungskräfte (Stoß , Reibung, . . . ) noch Trägheitsoder Gravitationskräfte sind. Wir kennen zwei Arten derartiger Kräfte4 : Kräfte auf ruhende geladene Körper (Coulomb’sche Kräfte durch elektrische Felder) und Kräfte auf bewegte geladene Körper (Lorentz’sche Kräfte durch Magnetfelder) Wird auf einen Körper mit der Ladung Q eine (elektrische) Kraft F ausgeübt, dann de…nieren wir die elektrische Feldstärke am Ort des Körpers mit E= F Q V Die elektrische Feldstärke hat die Einheit [E] = N C bzw. m : Mit Hilfe einer Probeladung kann man den Raum abtasten und ermitteln, welche Kraft (Größ e und Richtung) an jeder Stelle des Raums wirkt und damit den Vektor der elektrischen Feldstärke erhalten. Zur Veranschaulichung des Feldes bedient man sich der Darstellung durch Feldlinien5 . Elektrische Felder treten immer in der Umgebung von Ladungen auf. Zur Berechnung der elektrischen Felder führt man den elektrischen Fluss ein. Darunter versteht man alle Feldlinien, die durch eine geschlossene Ober‡äche (vergleichbar mit dem Strom einer Flüssigkeit) treten: ZZ = E dA A 3 Im Atomkern (Abstände < 10 14 ) folgt die Wechselwirkung zwischen Elementarteilchen nicht mehr alleine dem Coulombschen Gesetz. 4 Maxwell hat 1864 die Theorie elektrischer und magnetischer Felder in geschlossene mathematische Form gebracht. 5 Siehe auch http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/elektfeld2.html 4.3. SPANNUNG UND POTENTIAL 51 Abbildung 4.1: Veranschaulichung des elektrischen Flusses Der elektrische Fluss, der aus einer beliebigen geschlossenen Fläche tritt, ist proportional zur Gesamtladung (punktförmig oder verteilt), die innerhalb der geschlossenen Fläche sitzt (Satz von Gauß ): = 1 Q "0 Aus der Flussregel folgt, dass Feldlinien nur in positiven Ladungen beginnen und in negativen enden können. Feldlinien, die von Ladungen innerhalb der Hüll‡äche ausgehen, müssen durch die einschließ ende Fläche treten, oder innerhalb der Fläche, auf den entgegengesetzten Ladungen, enden. Für einfache Anordnungen kann man damit sehr einfach die Feldstärke berechnen. Beispiel 28 Legt man um eine Punktladung Q eine Kugel mit dem Radius r; dann muss der Fluß = Q="0 durch die Ober‡äche A = 4 r2 gehen. Aus Symmetriegründen erhalten wir = 4 r2 E: Die elektrische Feldstärke ist daher E= 4.3 Q 4 "0 r2 Spannung und Potential Verschiebt man eine Ladung im elektrischen Feld muss die Arbeit dW = F dr = QE dr geleistet werden. Verschiebt man die Ladung zwischen zwei Punkten r 1 und r 2 des Feldes, dann beträgt die zu leistende Arbeit W1;2 = Zr2 F dr= r1 Q Zr2 E dr r1 Die Größ e U1;2 = Zr2 E dr r1 bezeichnen wir als Spannung zwischen den Punkten r 1 und r 2 : Die Energie, die die Ladung Q aufnimmt, wenn sie von r 1 nach r 2 verschoben wird, beträgt daher E = W1;2 = QU1;2 : 52 KAPITEL 4. ELEKTROSTATIK Abbildung 4.2: Feldlinien (rot) und Potential‡ächen (schwarz) zweier entgegengesetzter Punktladungen Wenn die Verschiebungsenergie zwischen r 1 und r 2 unabhängig vom Weg von r 1 nach r 2 ist, sagt man, dass Feld E habe ein eindeutiges Potential U (r): Ein Feld hat ein Potential, wenn die Verschiebungsarbeit längs jedes geschlossenen Weges verschwindet. Jede beliebige Ladungsverteilung kann man aus Punktladungen zusammensetzen. Jede Punktladung hat ein Potenzial, die Überlagerung der Potenziale der Punkladungen ergibt das Gesamtpotential. Jedes elektrostatische Feld hat daher ein Potential. Nicht jedes Feld hat ein Potenzial: Elektrische Wirbelfelder und Magnetfelder haben in sich geschlossene Feldlinien. Beim Umlauf auf diesen geschlossenen Feldlinien kann eine Ladung beliebig viel Energie gewinnen. Durch die Beziehung U1;2 = U (r 2 ) U (r 1 ) sind nur Potentialdi¤erenzen (Spannungen) de…niert. Man kann aber (wie bei der Seehöhe » über dem Meeresspiegel« ) ein Bezugsniveau festlegen. Für eine Punktladung ergibt sich bei Bezug auf r = 1 U (r) = Q 4 "0 r Aus einem gegebenen Potential U (r) berechnet man das Feld durch Di¤erentiation, genauer durch Gradientenbildung E= grad U = rU In kartesischen Koordinaten ist grad U = rU = @U @U @U ex + ey + ez @x @y @z Der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld. r= @ @ @ ex + ey + ez @x @y @z r wird Nabla-Operator genannt und ist hier in kartesischen Koordinaten angegeben. Das elektrostatische Feld lässt sich also entweder als Vektorfeld E(r) oder als Skalarfeld U (r) beschreiben. Für die Berechnung ist das Skalarfeld (Ortsfunktion) mathematisch einfacher und liefert auch direkt die Energie von Ladungen im Feld. Die Berechnung von E(r) ist aufwändiger (es müssen die Feldstärkekomponenten berechnet werden) liefert aber direkt die Kräfte auf Ladungen. Flächen konstanten Wertes U (Potential- bzw. Niveau‡ächen) stehen senkrecht auf den Feldlinien. Geht man auf kleine Volumenelemente dV über, dann lautet die Flussregel6 6r E ... inneres Produkt 4.4. KAPAZITÄT 53 div EdV 1 1 dQ = dV "0 "0 = dQ=dV Raumladungsdichte = div E = r E = @Ex @Ey @Ez + + @x @y @z Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld. Drücken wir die Feldstärke mit Hilfe des Potentials aus erhalten wir div E = div grad U = U= "0 In kartesischen Koordinaten ist der Laplace-Operator div grad = = @2 @2 @2 + 2+ 2 2 @x @y @z 7 Die Gleichung U = "0 wird Poisson-Gleichung genannt und ist die kompakteste Form der Flussregel: Die Ladungsdichte ist die Quelldichte ="0 des elektrischen Feldes. Die analytische Lösung dieser (partiellen) Di¤erentialgleichung des Potentials ist nur für einfache Anordnung möglich.8 Beispiel 29 Berechnung des Feldes eines unendlich langen gleichmäß ig geladenen Leiters. Das Feld muss aus Symmetriegründen radial zum Leiter stehen. Der Fluss durch einen konzentrischen Zylinder (r; l) ist 2 rlE, die Ladung innerhalb des Zylinders ist l ="o ; wenn die lineare Ladungsdichte [C m 1 ] ist. Daraus folgt, dass E = =(2 "0 r) ist. Beispiel 30 Das Feld im Inneren einer gleichmäß ig geladenen Hohlkugel muss kugelsymmetrisch sein. Im Inneren der Kugel sitzt aber keine Ladung, durch eine konzentrische Kugel innerhalb der Hohlkugel tritt daher kein Fluss. Das Feld innerhalb der Kugel ist daher Null. (! Faraday’scher Kä…g) Beispiel 31 Jede leitende Fläche ist eine Äquipotential‡äche: Im Leiter sind elektrische Ladungen frei verschiebbar und können daher nur im Gleichgewicht sein, wenn auf sie keine Kräfte (durch elektrische Felder) ausgeübt werden. Daraus folgt, dass im Inneren und auf der Ober‡äche eines Leiters das Potential gleich sein muss. 4.4 Kapazität Das Potential einer Punktladung ist proportional der Ladung U (r) = 4 Q"0 r : Diese Proportionalität zwischen U und Q gilt für jede Ladungsverteilung. Zwischen Gesamtladung Q und Potential U , bezogen z.B. auf eine unendlich entfernte Wand (die sogenannte » Erde« ), gilt also allgemein Q = CU Die Konstante C heiß t Kapazität und hängt nur von der Geometrie des Leiters ab. C : Die Dimension ist Ladung/Spannung, ihre Einheit ist Farad. 1 F= 11 V 7 Der Sonderfall U = 0 (leererRaum) wird Laplace-Gleichung genannt. komplizierte Geometrien können Potentiale und Felder mit Hilfe der Methode der …niten Elemente berechnet werden. Dabei werden die zu Grunde liegenden Di¤erentialgleichungen in kleine Teilgebiete mit einfacher Geometrie (z.B. Dreiecke oder Tetraeder), die sogenannten …niten Elemente, zerlegt. In diesen …niten Elementen werden sodann die gesuchten Lösungsgröß en (skalare und/oder Vektorpotentiale) durch einfache Funktionen, häu…g lineare oder quadratische Polynome, approximiert und einer Näherungslösung zugeführt. Dabei entstehen als Resultat sehr groß e Gleichungssysteme, die gelöst werden müssen. Gleichungssysteme mit mehreren Millionen Unbekannten sind dabei nicht ungewöhnlich. 8 Für 54 KAPITEL 4. ELEKTROSTATIK Abbildung 4.3: Feld im Kugelinneren Abbildung 4.4: Feld des Plattenkondensators Die Kapazität einer Kugel mit dem Radius R beträgt daher nach unser früheren Rechnung C = 4 "0 R: Zwei ebene Metallplatten (Fläche A; Abstand d) haben entgegengesetzt gleiche Ladung, wenn man sie mit einer Spannungsquelle verbindet. Umfasst man eine Platte mit einer geschlossenen Fläche, so ist der Fluss Q="0 und verläuft zwischen den Platten, das (homogene) Feld besteht nur zwischen den Platten (am Rand » streut« das Feld etwas in die Umgebung). Wir erhalten folgenden Zusammenhang AE 4.5 = Q "0 ! E= Q "0 A Qd "0 A "0 A Q = U d U = Ed = C = In‡uenz Bringt man eine geladene Kugel in das Innere eines ungeladenen Faraday’schen Bechers, ohne den Becher zu berühren, kann man beobachten, dass der Becher elektrisch ist. Entfernt man die geladene Kugel, wird der Becher wieder unelektrisch. Beim Hineinsenken der geladenen Kugel in den (ungeladenen) Becher werden die Ladungen im Becher getrennt. Zur Kugelladung entgegengesetzte Ladungen wandern an die Innen‡äche des Bechers, gleichnamige Ladungen wandern an die Auß en‡äche. Wir führen nun die Ladung am Becher auß en durch Berührung ab, während die Kugel noch im Becher ist. Nach Entfernen der Kugel aus dem Becher ist der Becher 4.6. ENERGIE DER LADUNGSVERTEILUNG IM ELEKTRISCHEN FELD 55 in der gegengesetzten Polarität zur Kugel geladen. Das Erscheinen einer Ladung ohne Berührung wird In‡uenz genannt. 4.6 Energie der Ladungsverteilung im elektrischen Feld Wir bringen die Ladung Q in kleinen Schritten dq auf einen Leiter auf. In einem Zwischenstadium sei die Ladung q erreicht, die dem Leiter ein Potential u = q=C gibt. Gegen diese Spannung die nächste Teilladung dq heranzuführen, erfordert die Arbeit q dq C Die Gesamtenergie ergibt sich durch Integration dW = u dq = 1 W = C ZQ qdq = Q2 1 = CU 2 2C 2 0 4.7 Das elektrische Feld als Träger der elektrischen Energie Die elektrische Energie sitzt in den getrennten Ladungen. Man kann aber auch sagen, sie sitzt im Feld zwischen den Platten. Am Beispiel des Plattenkondensators erhalten wir 1 1 "o A 2 1 "o U 2 "0 CU 2 = U = Ad = E 2 V 2 2 d 2 d2 2 U=d ist die Feldstärke im Plattenzwischenraum und V = Ad dessen Volumen. Die Energie ist im Feld verteilt und wir erhalten die Energiedichte (Energie/Volumen) Epot = "0 2 E 2 Der felderfüllte Raum ist Sitz der elektrischen Energie. e= 4.8 Dielektrika Die Beein‡ussung eines elektrischen Feldes durch Materie, hängt von deren atomarem Aufbau ab, insbesondere von Lage und Verschiebbarkeit der Ladungen in der Materie. 4.8.1 Die Verschiebungsdichte Feld und Ladung hängen in zweierlei Hinsicht zusammen: 1. Das Feld wird von Ladungen erzeugt, die Feldlinien entspringen/enden in Ladungen: div E = "0 2. Das Feld übt Kräfte auf Ladungen aus: F = QE Die elektrische Feldstärke haben wir über die Kraftwirkung auf Ladungen de…niert. Um den Quellencharakter (Erregung des Feldes) zu betonen, wird die zweite Feldgröß e D eingeführt div D = 56 KAPITEL 4. ELEKTROSTATIK Die Einführung der Größ e D (elektrische Erregung, Verschiebung) ist vor allem bei elektrischen Feldern in Materie vorteilhaft. Im Vakuum besteht der Zusammenhang D = "0 E 4.8.2 Dielektrizitätskonstante Eine geriebene (geladende) Plastikstange zieht Holundermarkkügelchen an. Bringt man zwischen Stange und Kügelchen eine geerdete leitende Platte, verschwindet die Anziehung. Bringt man eine Platte aus isolierendem Material (Glas, Kunststo¤) verschwindet die Anziehung nicht, das elektrisch Feld greift durch den Isolator (Dielektrikum) hindurch. Wir laden einen Kondensator auf die Spannung U und trennen den Kondensator von der Spannungsquelle. Füllen wie jetzt den Plattenzwischenraum mit einer Isolierplatte aus, können wir messen, dass die Spannung am Kondensator sinkt. Zieht man die Platte heraus, steigt die Spannung wieder auf den ursprünglichen Wert. Die Ladung am Kondensator bleibt immer konstant. Trennt man den Kondensator erst nach dem Einschieben der Platte von der Spannungsquelle, bleibt die Spannung U konstant. Trennt man den Kondensator (mit Platte) von der Spannungsquelle und entlädt ihn, misst man eine größ ere Ladung als ohne Dielektrikum. Das Dielektrikum vergröß ert die Kapazität des Kondensators. Als Dielektrizitätskonstante " des Isolators bezeichnet man das Verhältnis der Kapazität eines Kondensators mit diesem Isolator bzw. mit Vakuum im Plattenzwischenraum "= C CVakuum Für einen Plattenkondensator gilt daher A d Die Spannung zwischen den Platten im Vakuum U0 sinkt daher auf UD = U0 =", die Feldstärke entsprechend auf ED = E0 =d: Wenn das Feld um " 1 kleiner geworden ist, dann muss auch die Ladung QD = Q0 =" werden. Die Platten enthalten aber immer noch die Ladung Q0 : Der Unterschied der Ladungen rührt daher, dass Ladungen auf der Ober‡äche des Dielektrikums angrenzend an die Kondensatorplatten sitzen, nämlich C = ""0 QP = Q0 QD = Q0 1 1 " = A"0 E0 " 1 " Abbildung 4.5 stellt den Zusammenhang schematisch dar. Füllt die dielektrische Platte den Kondensator in der Dicke nicht ganz aus, entsteht an ihrer Ober‡äche trotzdem die gleiche Ladung QP wie in Abbildung 4.5. Sie verringert das Feld im Inneren des Isolators überall auf E0 =": Material Luft (0 C; 1 bar) Glas Papier Polystyrol Destilliertes Wasser (18 C) Dielektrizitätskonstante " 1; 000576 5 10 1; 2 3; 0 2; 3 2; 7 81; 1 Wir wollen jetzt zwischen » wahren« Ladungen, z.B. zusätzlichen oder fehlenden Elektronen im Metall der Kondensatorplatte, und » scheinbaren« Ladungen unterscheiden, wie sie durch dielektrische Polarisation an den Ober‡ächen der Isolatorplatte entstanden sind. Beide Ladungssorten sind Anfangs- oder Endpunkte von E-Linien und gehen daher in das Q im Satz von Gaußein. Messen kann man dagegen nur wahre Ladungen. Wir konstruieren ein Feld, dessen Linien nur in wahren Ladungen beginnen oder enden, und 4.8. DIELEKTRIKA 57 Abbildung 4.5: Ober‡ächenladungen auf einem Dielektrikum nennen es das D Feld. D Linien treten demnach ungestört in ein Dielektrikum ein, wenn sie senkrecht darauf tre¤en. Wir erhalten D = ""0 E D = "0 E + P und nennen P die dielektrische Polarisation. 4.8.3 Mechanismen der dielektrischen Polarisation Wir kennen zwei Hauptmechanismen a) Verschiebungspolarisation: Bei der Verschiebungspolarisation werden die Elektronen eines Atoms oder Moleküls durch ein externes elektrisches Feld (elastisch) verschoben, wodurch der Schwerpunkt der negativen Ladungen nicht mehr mit dem Schwerpunkt der positiven Ladungen (Atomkerne) übereinstimmt (Elektronenpolarisation). Für zwei Punktladungen Q im Abstand d, nennt man das Produkt aus dem von der negativen zu positiven Ladung gehenden Vektor d mit der positiven Ladung Q das Dipolmoment p = Qd: b) Orientierungspolarisation: Manche Moleküle besitzen auf Grund ihres unsymmetrischen Aufbaus auch im feldfreien Raum schon ein permanentes Dipolmoment (z.B. Wasser). Da aber die Wärmebewegung die Richtungen einer groß en Anzahl solcher Dipolteilchen i. A. regellos verteilt, besteht ohne angelegtes Feld keine makroskopische dielektrische Polarisation. Ein elektrisches Feld zwingt die Momente etwas in die Vorzugsrichtung, und zwar umso mehr, je stärker das Feld und je tiefer die Temperatur ist, denn die Wärmebewegung stört die Einstellung der Dipole. Allerdings wird bei Raumtemperatur auch in starken Feldern e¤ektiv nur ein von ca. 100 Molekülen ausgerichtet. 4.8.4 Energiedichte des elektrischen Feldes im Dielektrikum Die Energie Eel = 21 CU 2 eines mit einem Dielektrikum gefüllten Kondensators ist um den Faktor " größ er als die des leeren Kondensators, da seine Kapazität umso viel größ er ist. Entsprechend ist die Energiedichte eel = " "0 2 1 E = ED 2 2 58 KAPITEL 4. ELEKTROSTATIK E und D sind Feldstärke und Verschiebungsdichte im Dielektrikum. Dieser Ausdruck für die elektrostatische Energiedichte gilt allgemein. Kapitel 5 Gleichströme Inhalt 5.1 5.2 5.3 Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energie und Leistung elektrischer Ströme . . . . . . . . . . . 59 60 61 Die » Erzeugung« von Ladungen und damit elektrischen Strömen durch Reibungselektrizität hat keine technische Bedeutung. Spannungsquellen arbeiten entweder magnetisch oder elektrochemisch. 5.1 Stromstärke In der Elektrostatik sind Ladungen ruhend und längs eines Leiters kann keine Potentialdi¤erenz bestehen. Legt man an Leiter eine Spannung an, dann bewegen sich Ladungen und es ‡ieß en Ströme. Dieser Strom‡uss kann nur durch äuß ere Energiequellen erhalten werden. Die Stromstärke wird de…niert als Ladung/Zeit dQ dt ihre Einheit im SI-System ist das Ampere 1 C/s = 1 A. Der Strom ist zeitlich konstant, wenn die Spannung zwischen den Leiterenden konstant ist. In einem geschlossenen Stromkreis ist die Stromstärke für jeden Querschnitt dieselbe, da sich keine Ladung anhäufen kann1 . Da die Ladung einem Erhaltungssatz gehorcht und das elektrostatische Feld ein Potential besitzt, ergeben sich die Grundregeln zur Analyse beliebiger Schaltungen: I= Kirchho¤s Knotenregel An jedem Verzweigungspunkt (Knoten) in einer Schaltung muss ebenso viel Ladung zu- wie ab‡ieß en. Daher ist die Summe aller Ströme, die in den Knoten münden, Null X Ii = 0 Kirchho¤s Maschenregel Auf Grund der Wegunabhängigkeit der Potentialdi¤erenz ist die Spannung längs zweier verschiedener Zweige in der Schaltung, die zwei Punkte A und B verbinden, gleich. Dies gilt auch, wenn Spannungsquellen dazwischenliegen. Die Gesamtspannung längs einer geschlossenen Masche einer Schaltung, d. h. die 1 Auch durch den Kondensator, sieht man ihn als ein Ganzes, ‡ieß t der gleiche Strom wie sonst im Stromkreis. 59 60 KAPITEL 5. GLEICHSTRÖME Summe aller Spannungsabfälle an den einzelnen Elementen der Masche, ist Null X Ui = 0 Mit Hilfe der Kirchho¤’schen Regeln und der Strom–Spannungs-Kennlinien der Bauelemente kann man jede beliebige Schaltung analysieren. 5.2 Das ohmsche Gesetz Bei vielen wichtigen Leitern (Metalldrähte, Elektrolytlösungen) ist der Strom I , der durch den Leiter ‡ieß t, der angelegten Spannung U proportional. Den Proportionalitätsfaktor nennt man Leitwert G des Leiters, sein Kehrwert ist der (ohmsche) Widerstand R 1 U = I G Bei einem homogenen ohmschen Material ist der Widerstand R proportional zur Länge l und umgekehrt proportional zum Querschnitt A des Leiters I = GU U = RI R= l A ist spezi…scher Widerstand des Materials, = 1= ist die elektrische Leitfähigkeit. Die folgende Tabelle zeigt einige Werte von : R= Material (18 C) Silber Kupfer Eisen Porzellan Quarzglas Spezi…scher Widerstand 0; 016 10 6 0; 017 10 6 0; 098 10 6 1012 5 1016 [ m] Der spezi…sche Widerstand erstreckt sich über mehr als 20 Zehnerpotenzen und ist technologisch sehr gut beherrschbar. Liegt an einem Draht der Länge l die Spannung U , dann misst man an einem Teilstück der Länge l0 die kleinere2 Spannung U 0 = U l0 =l. Im homogenen Draht ist die Feldstärke E = U=l = U 0 =l0 überall gleich. Bei Ortsabhängigkeit der elektrischen Eigenschaften muss man die Stromdichte3 j einführen ZZ dI = j dA I = j dA Schaltungen aus Widerständen Wir betrachten Schaltungen in denen Widerstände durch Drähte verbunden sind, deren Widerstand vernachlässigbar ist. Die Widerstände können hintereinander (Reihe, Serie) oder parallel zueinander liegen. Durch reihengeschaltete Widerstände ‡ieß t der gleiche Strom I . Die Spannungen Ui an den Einzelwiderständen sind die Spannungsabfälle Ui = IRi , die sich zur GesamtP P spannung U = Ui = IRiPaddieren. Daraus folgt der Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) der Schaltung R = Ri : In der Reihenschaltung addieren sich die Widerstände. An parallel geschalteten Widerständen die gleiche Spannung U . Die Ströme durch P liegt P U die Widerstände summieren sich I = Ii = Ri : Der Gesamtwiderstand (Ersatzwi1 derstand) der Schaltung ist R = P R 1: i 2 Das ist die Grundlage des einstellbaren Widerstands (Potentiometer). 3 j verhält sich zum Strom I wie die Feldstärke E zum elektrischen Fluss : 5.3. ENERGIE UND LEISTUNG ELEKTRISCHER STRÖME In der Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte 5.3 1 R = P 61 1 Ri : Energie und Leistung elektrischer Ströme Wenn sich eine Ladung Q zwischen zwei Orten, zwischen denen die Spannung U herrscht, verschiebt, sinkt das Potential um U ab und die Energie W = QU wird frei. In einem Leiter dient die Energie W im allg. nicht zur Beschleunigung der Ladungsträger, deren Geschwindigkeit klein gegen die thermische Geschwindigkeit ist. Die Energie geht ganz in die Wärmeenergie des Leiters über. Die entsprechende Heizleistung ergibt sich aus der De…nition des Stromes P = dQ dW =U = UI dt dt Für ohmsche Leiter gilt P = U I = I 2 R = U2 R : 62 KAPITEL 5. GLEICHSTRÖME Kapitel 6 Mechanismen der elektrischen Leitung Inhalt 6.1 Nachweis freier Elektronen in Metallen . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Elektronentransport in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.3 Stromleitung im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.4 Stromleitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.5 Stromleitung in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Stromleitung in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.6 6.1 6.6.1 Der pn-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.6.2 Die Halbleiterdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Nachweis freier Elektronen in Metallen Bremst man einen metallischen Leiter, der sich sehr schnell bewegt, plötzlich ab, dann bewegen sich die freien Elektronen im Metallinneren infolge ihrer Trägheit weiter, was zu einer kurzzeitigen entgegengesetzten Au‡adung der beiden Leiterenden führt. Diese Ladungstrennung erzeugt analog zum Plattenkondensator ein Feld E, das schließ lich eine weitere Ladungsanhäufung verhindert. Es stellt sich ein Gleichgewicht ein, wenn die Trägheits- und die elektrostatische Kraft auf den Ladungsträger entgegengesetzt gleich sind: eE = ma. Im Inneren des beschleunigten Leiters herrscht also das Feld E = m e a: Tollman konnte diesen E¤ekt für schnell rotierende Metallteile messen und den Wert e=m 2:1011 C kg 1 ermitteln. Dies ist annähernd gleich dem Wert für freie Elektronen im Vakuum. Abbildung 6.1: Tollmann-Versuch 63 64 KAPITEL 6. MECHANISMEN DER ELEKTRISCHEN LEITUNG Dieses Experiment beweist, dass Metallatome, die im Gaszustand elektrisch neutral sind, Elektronen abspalten, wenn sie sich zum Festkörper vereinigen. Die abgespaltenen Elektronen gehören dann nicht mehr dem einzelnen Atom, sondern dem ganzen kondensierten System. Sie können dieses System nicht verlassen, weil dazu eine ziemlich hohe Austrittsarbeit erforderlich ist. Im Inneren bewegen sie sich nach ähnlichen Gesetzen wie die Atome eines Gases1 in einem geschlossenen Gefäß(Elektronengas). 6.2 Elektronentransport in Metallen Der Strom‡uss im Metall entsteht dadurch, dass sich die Elektronen gegen die Richtung des elektrischen Feldes bewegen. Bei n Elektronen/m3 und der mittleren Geschwindigkeit v erhalten wir die Stromdichte j = nve Entsprechend dem ohmschen Gesetzt ist die Stromdichte proportional der Feldstärke j = E woraus folgt, dass E v; da n und e konstant sind. Das ohmsche Gesetz kann im Vakuum nicht gelten, da die Elektronen im Feld beschleunigt würden und ihre Geschwindigkeit von der Dauer der Einwirkung des Feldes abhingen. Damit die Elektronen mit konstanter Geschwindigkeit driften, muss daher der Feldkraft eE eine Reibungskraft FR entgegenstehen, die proportional v ist. Diese Reibungskraft entsteht dadurch, dass Elektronen durch Stöß e immer wieder von ihrer Bahn abgelenkt werden (Teilchen in zäher Flüssigkeit). Bemerkung 32 Tatsächlich sind Elektronen auch in gut leitenden Metallen nur gemächlich unterwegs. Bei Stromdichten von einigen A/mm2 ist die Elektronengeschwindigkeit nur 0; 04 mm/s. Die groß e Geschwindigkeit der elektrischen Nachrichtenübertragung beruht also nicht auf der Verschiebung der Elektronen im Draht, sondern auf der Ausbreitungsgeschwindigkeit des elektrischen Feldes im und um den Leiter, die gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. 6.3 Stromleitung im Vakuum Für den einfachen Fall der Bewegung von Elektronen im homogenen elektrischen Feld eines Plattenkondensators mit der Feldstärke E = U=d erhalten wir aus der Kräftebeziehung die Beschleunigung a F = eE = e U = m0 a d a= eU m0 d Die Geschwindigkeit des Elektron steigt linear mit der Zeit an a= dv dt v= eU t m0 d Der Weg ist dy v= dt y= Zt 0 vdt = 1 eU 2 t 2 m0 d 1 Für die Elektronen sind aber quantenmechanische Gesetze maß gebend, sie bilden ein Fermi-Gas. Die Teilchenzahldichte n des Elektronengases hat meistens die Größ enordnung, die einem abgespaltenen Elektron pro Atom entspricht. Da der Atomabstand wenige Å beträgt, ergibt sich n (einige Å) 3 10 29 m 3 . 6.4. STROMLEITUNG IN GASEN 65 Beispiel 33 Um ein Elektron mit der Ruhemasse mo = 0; 91 10 auf 1 % der Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen muss U= 1 0; 91 10 1 2 m0 v = 9 1012 2 e 2 1; 602 10 30 kg aus der Ruhelage 30 19 = 25; 56 V die Spannung 25; 56 V durchlaufen werden. Wie man sieht, ist die Geschwindigkeit der Elektronen im Vakuum ein Vielfaches der Driftgeschwindigkeit im Leiter. Schon bei kleinen Spannungen werden Geschwindigkeiten erreicht, bei denen unter Umständen die relativistische Massenzunahme berücksichtig werden muss. 6.4 Stromleitung in Gasen Wird der Raum zwischen den Elektroden mit einem Gas gefüllt, ändert sich der Stromleitungsmechanismus grundlegend. Einerseits wird die freie Beweglichkeit der Elektronen stark eingeschränkt und andererseit tritt ein zusätzlicher Stromleitungsmechanismus durch ionisierte Gasmoleküle auf. Im natürlichen Zustand verhalten sich Gase wie gute Isolatoren (z.B. SF6 Schutzgas in Hochleistungschaltern), die aus neutralen Atomen oder Molekülen bestehen. Die Ladungsträger (Elektronen oder Ionen) müssen dem Gas erst von auß en oder innen zugeführt werden. Man spricht von selbstständiger Leitung, wenn die kinetische Energie vorhandener Ionen ausreicht, um andere Moleküle beim Zusammenstoßzu ionisieren. Diese Ionen können dann ihrerseits weiter Moleküle ionisieren, was zu lawinenartigern Anwachsen von Ladungsträgen führt (Zündung). Bei der unselbstständigen Leitung müssen Ladungsträger durch externe Maß nahmen gebildet werden. Man kann z.B. die Temperatur so weit erhöhen, dass die Moleküle durch Zusammenstöß e infolge der größ eren Wärmebewegung ionisiert werden oder das Gas radioaktiv bestrahlen. Auch in Gasen gilt in weiten Bereichen das ohmsche Gesetz. Bei groß en Stromstärken stellt sich aber ein Sättigungse¤ekt ein, da die Zahl der erzeugten Ladungsträger begrenzt ist. Wenn die Zahl der Ladungsträger durch Ionisierung lawinenartig anwächst, stellt sich eine Strom-Spannungskennline ein, die deutlich vom ohmschen Verhalten abweicht. 6.5 Stromleitung in Flüssigkeiten Füllt man einen Behälter mit zwei Elektroden mit reinstem Wasser, dann ‡ieß t beim Anlegen einer Spannung nur ein sehr kleiner Strom reines Wasser ist ein Nichtleiter. Werden dem Wasser Salze, Säuren oder Laugen hinzugefügt, steigt die Leitfähigkeit sprunghaft an, da die Ionenverbindungen im Wasser in positive und negative Ionen aufgespaltet werden (elektrolytische Dissoziation)2 . Die Ionen werden im elektrischen Feld zu den Elektroden bewegt, die Stromleitung ist also mit einem Sto¤transport verbunden.3 Die Leitfähigkeit hängt von der Konzentration und der Beweglichkeit der verfügbaren Ladungsträger sowie der Temperatur ab. 6.6 Stromleitung in Halbleitern Elektrische Leiter haben einen spezi…schen Widerstand L = 10 8 10 6 ; Isolatoren haben einen spezi…schen Widerstand I = 108 1014 : Dazwischen liegen die Halbleiter (Silizium, Selen, Germanium) mit H = 10 3 102 : 2 Schwefelsäure (H 2 SO 4 ) wird z.B. in zwei H + -Ionen und in das SO 4 -Ion aufgespaltet. Elektrolyse wird z.B. angewandt, um Metalle mit einer dünner Schicht aus einem anderen Metall zu überziehen (Galvanisierung). 3 Die 66 KAPITEL 6. MECHANISMEN DER ELEKTRISCHEN LEITUNG Abbildung 6.2: Leitung in Elektrolyten Abbildung 6.3: Monokristallines Silizium (schematisch) Die Elektronenhülle ist aus mehreren Schalen aufgebaut. Die Elektronen der äuß ersten Schale sind verantwortlich für die chemischen Verbindungen und bestimmen die Wertigkeit (Valenz) des Elements. Wichtige Halbleitermaterialien (Silizium, Germanium) haben vier Valenzelektronen. In monokristallinem Silizium (Diamantgitterstruktur) ist jedes Siliziumatom mit seinen vier Nachbaratomen dadurch verbunden, dass es eines seiner vier Valenzelektronen mit je einem Valenzelektron des Nachbaratoms gemeinsam besitzt. Je zwei dieser Valenzelektronen » umkreisen« die Atomkerne, zu denen sie gehören, gemeinsam. Abbildung 6.3 zeigt eine schematische zweidimensionale Abbildung. Es sind keine freien Ladungsträger vorhanden und monokristallines Silizium ist bei niederen Temperaturen nicht leitend. Durch die thermische Energie bei höheren Temperaturen 4 schwingt das Kristallgitter, die Doppelbindungen brechen teilweise auf und es entstehen freie Ladungsträger. Eine Stelle, an der ein Elektron frei wird und daher scheinbar fehlt, bezeichnet man als Defekt-Elektron oder Loch. Löcher sind gleichbedeutend mit positiven Elementarladungen, das Atom mit dem fehlenden (Defekt-)Elektron wird zu einem positiv geladenen Ion. Neben den Elektronen nehmen auch die Löcher an der Bewegung der Ladungsträger teil, man spricht daher vom Löcherstrom. Die Ionen sind aber, im Gegensatz zu den freien Elektronen, ortsgebunden. Der Löcherstrom entsteht dadurch, dass ein Loch durch ein Valenzelektron eines Nachbaratoms aufgefüllt wird, 4 Bei Raumtemperatur ist bei Silizium lediglich ein Ladungsträgerpaar von 1012 getrennt, in Metallen ein freies Elektron pro Atom. 6.6. STROMLEITUNG IN HALBLEITERN 67 Abbildung 6.4: Einbau eines Donator-Atoms Abbildung 6.5: Einbau eines Akzeptor-Atoms wodurch das Valenzelektron wiederum ein Loch an anderer Stelle hinterlässt.5 Die Eigenleitfähigkeit von Halbleitern ist gering im Vergleich zu Metallen und von der Temperatur abhängig. Die Leitfähigkeit von Halbleitermaterialien kann gezielt durch Einbau (Implantation) von Fremdatomen beein‡usst werden (Dotierung). Die Leitfähigkeit wird wesentlich vom Einbau des » Störatoms« bestimmt, wir sprechen daher von der Störleitung. Bei Silizium können für den Einbau fünfwertige (Arsen, Antimon, Phosphor, . . . ) oder dreiwertige (Bor, Gallium, Indium, . . . ) Atome verwendet werden. Abbildung 6.4 zeigt schematisch den Einbau von Phosphor in den Siliziumkristall. Das fünfwertige Phosphor kann nur vier Elektronen mit Silizium binden, es entsteht daher ein freies Elektron und wir sprechen von Donator-Atomen. Das Material wird nleitend. Die Stromleitung bei n-leitendem Material erfolgt fast ausschließ lich durch die Majoritätsträger, die Elektronen; die Minoritätsträger sind die Löcher. Abbildung 6.5 zeigt schematisch den Einbau von Bor in den Siliziumkristall. 5 Vgl.: Leitung von Luftblasen im Wasserschlauch 68 KAPITEL 6. MECHANISMEN DER ELEKTRISCHEN LEITUNG Abbildung 6.6: pn-Übergang an Spannung Das dreiwertige Bor kann nur drei Elektronen mit Silizium binden, es fehlt daher ein Elektron (Defektelektron) und wir sprechen von Akzeptor-Atomen. Der fehlende Ladungsträger ist ein freies positiv geladenes Loch, das Material wird p-leitend. Die Stromleitung bei p-leitendem Material erfolgt fast ausschließ lich durch die Majoritätsträger, die Löcher; die Minoritätsträger sind die Elektronen. 6.6.1 Der pn-Übergang Wir untersuchen jetzt eine Halbleiterstruktur, die aus einem p- und n-Bereich besteht, die aufeinander tre¤en. An der Struktur liegt vorerst keine Spannung an. An der pn-Stoß stelle besteht ein starkes Konzentrationsgefälle der freien Ladungsträger. Im p-Bereich sind sehr viele Löcher, im n-Bereich sehr viele Elektronen verfügbar. In Folge der thermischen Bewegung werden Elektronen in den p-Bereich und Löcher in den n-Bereich di¤undieren. Diese thermisch bedingte Bewegung der Majoritätsträger wird Di¤usionsstrom genannt. Durch die Abwanderung der Majoritätsträger entstehen Raumladungsbereich: Die abwandernden Löcher der p-Zone hinterlassen eine negative Raumladung, die abwandernden Elektronen der n-Zone hinterlassen eine positive Raumladungszone. Als Folge der Raumladung entsteht ein von der n-Zone zur p-Zone reichendes elektrisches Feld bzw. eine elektrische Spannung. Feld/Spannung wirken der Ladungsträgerdi¤usion entgegen, es entsteht ein Gleichgewichtszustand und es ‡ieß t kein Strom durch den pnÜbergang. Die (dünne) Raumladungsschicht enthält keine frei beweglichen Ladungsträger. Es wird nun eine äuß ere Spannung so angelegt, dass der n-Bereich eine höhere Spannung als der p-Bereich hat. Der Zusammenhang ist in Abbildung 6.6 (rechts) gezeigt. Die angelegte Spannung hat die gleiche Richtung wie die Spannung an der Sperrschicht. Die Elektronen des n-Bereichs werden von der Spannung angezogen, die Löcher des pBereichs werden ebenfalls von der Spannung angezogen. Die äuß ere Spannung führt zu einer Verbreiterung der Raumladungszone. Die Raumladungszone verhindert einen kontinuierlichen Strom der Majoritätsträger und wir daher Sperrschicht genannt. Kehrt man die Polarität der Spannungsquelle um, wie in Abbildung 6.6 (links) gezeigt, werden die in die p-Schicht di¤undierte Elektronen vom Pluspol der Quelle angezogen und die Sperrschicht wird abgebaut. Gleichzeitig werden vom Minuspol der Quelle Elektronen nachgeliefert. Der Di¤usionsprozess wird also von der auß en angelegten Spannung unterstützt. Je höher die angelegte Spannung, desto dünner die Sperrschicht, es stellt sich ein Majoritätsträgerstrom ein, der pn-Übergang ist in Durchlassrichtung gepolt. 6.6.2 Die Halbleiterdiode Die Diode zeigt ein unterschiedliches Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich. Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung ist 6.6. STROMLEITUNG IN HALBLEITERN 69 Abbildung 6.7: Diodenkennlinie U I = I0 e UT UT = kT e 1 k = 1; 38 10 23 [Ws/K] Bei Silizium ist der Strom für Spannungen bis 0; 7 V noch sehr gering. Dann steigt der Strom exponentiell mit der Spannung an, bis der maximal zulässige Strom erreicht ist und die Diode zerstört wird. In Sperrrichtung ‡ieß t zunächst ein nur sehr geringer Sperrstrom von 10 100 nA. Steigt die Spannung in Sperrrichtung weiter an, wird die Diode schließ lich auf Grund der hohen inneren Feldstärke bei der Durchbruchspannung zerstört. 70 KAPITEL 6. MECHANISMEN DER ELEKTRISCHEN LEITUNG Kapitel 7 Ströme und Felder Inhalt 7.1 Lorentz-Kraft und Magnetfeld . . . . . . . 7.1.1 Kräfte auf Ströme im Magnetfeld . . . . . . 7.1.2 Der Hall-E¤ekt . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Erzeugung von Magnetfeldern . . . . . . . . 7.2.1 Strom und magnetische Feldstärke . . . . . 7.2.2 Das Magnetfeld von Strömen . . . . . . . . 7.2.3 Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Elektromagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 72 73 74 74 76 77 78 Der Magnetismus was schon den Griechen 600 v.Chr. bekannt, um 1200 wurde erstmalig der Kompass erwähnt. 1820 entdeckt Oersted, dass ein elektrischer Strom durch einen Draht Kompassnadeln senkrecht zum Draht auslenkt. Damit war klar, dass dass die beiden getrennten Phänomene Elektrizität und Magnetismus eine Einheit bilden. 7.1 Lorentz-Kraft und Magnetfeld Durch Beobachtung von Elektronen in Vakuumröhren kann man das Auftreten einer Kraft F feststellen, die folgende Eigenschaften hat: 1. Sie tritt nur auf, wenn sich das geladene Teilchen bewegt, ist proportional zur Geschwindigkeit und proportional zur Ladung. Die Erscheinung zeigt sich nur dem äuß eren Beobachter, für den die elektrischen Ladungen in Bewegung sind. Ein Beobachter, der sich mit den Ladungen mitbewegt, hat die magnetischen Wahrnehmungen nicht! 2. Sie wirkt immer normal zur Geschwindigkeit v des geladenen Teilchens und lenkt es daher seitlich ab. Kehrt man die Richtung von v um, kehrt sich auch die Richtung der Kraft F um. 3. Es gibt eine Richtung von v, für die F = 0 und in der keine Ablenkung auftritt. Für alle anderen Richtungen von v ist F nicht nur normal zu v, sondern auch normal zu dieser ausgezeichneten Raumrichtung. Wenn v zur ausgezeichneten Raumrichtung den Winkel bildet, ändert sich der Betrag der ablenkendenKraft wie v sin . Diese Eigenschaften lassen sich in Form des folgenden Vektorprodukts zusammenfassen F = Qv 71 B 72 KAPITEL 7. STRÖME UND FELDER Abbildung 7.1: Kraftwirkung auf Ladung im E und B Feld und diese Kraft wird Lorentz-Kraft genannt. Abbildung 7.1 zeigt die Kraftwirkungen auf Ladungen: Im elektrischen Feld E wirkt auf eine Ladung immer eine Kraft; im Magnetfeld B nur, wenn sich die Ladung bewegt. Wenn bewegte Ladungen derartige Kräfte erfahren, sagt man, es herrsche ein Magnetfeld B. Die Richtung von B zeigt in die Richtung der ausgezeichneten Raumrichtung, in der keine Ablenkung erfolgt. Der Richtungssinn ist durch folgende Übereinkunft festgelegt: Rechte Hand, Daumen v, Zeige…nger B, Mittel…nger F . Die Einheit des magnetischen Feldes ist Vs N 4 1 = m2 = T = Tesla = 10 Gauß Cms Das Magnetfeld B wurde durch seine Kraftwirkung auf bewegte Ladungen de…niert, das elektrische Feld E durch seine Kraftwirkung auf Ladungen (von beliebigem Bewegungszustand). Geht man von der Erzeugung des Feldes aus, sieht man, dass B durch bewegte Ladungen, also Ströme erzeugt wird, während E durch Ladungen (von beliebigem Bewegungszustand) erzeugt wird. 7.1.1 Kräfte auf Ströme im Magnetfeld Durch ein Drahtstück mit der Länge l und dem Querschnitt A ‡ieß e ein Strom I, es herrscht also die Stromdichte vom Betrag j = I=A mit der Richtung der Drahtachse. Enthält der Draht Elektronen der Dichte n, und bewegen sich diese mit der mittleren Geschwindigkeit v so ist j= env I= envA Das ganze Drahtstück enthält nlA Elektronen. Auf jedes dieser bewegten Elektronen wirkt die Lorentz-Kraft F = ev B. Auf die nlA Elektronen im Draht daher die Gesamtkraft F = f = j enlAv B = Il B (7.1) B Der Strom ist positiv, wenn er in die Richtung von l ‡ieß t (technische Stromrichtung).1 Die Gleichung 7.1 bildet die Grundlage der Technik der Elektromotoren und der elektischen Meß geräte. Eine drehbare Rechteckschleife, siehe Abbildung 7.2, werde von einem Strom I durch‡ossen und be…nde sich in einem homogenen Magnetfeld. In den beiden a Stücken ‡ieß t 1 Es ist bemerkenswert, dass die Kraft nicht von den mikroskopischen Einzelheiten des Leitungsmechanismus abhängt. Gäbe es weniger Ladungsträger, müssten sie schneller laufen, um den gegebenen Strom I zu erzeugen. In F geht aber nur das Produkt nv ein, F hängt also nur vom makroskopischen Strom I ab. 7.1. LORENTZ-KRAFT UND MAGNETFELD 73 Abbildung 7.2: Stromdurch‡ossene Leiterschleife im Magnetfeld Abbildung 7.3: Hall-E¤ekt der Strom I in entgegengesetzte Richtungen. Die Lorentz-Kräfte bilden also ein Kräftepaar IaB senkrecht zur Schleifenebene, d. h. ein Drehmoment bIaB, dessen Vektor in Achsenrichtung liegt und das die Schleife um diese Achse zu drehen sucht. Wir kennzeichnen die Größ e und Stellung der Schleife durch den Normalvektor A, dessen Betrag die Fläche ab ist und der so senkrecht zur Schleifenebene steht, dass der Strom im Rechtsschraubensinn umläuft (Rechte-Hand-Regel: Wenn die gekrümmten Finger die Stromrichtung angeben, zeigt der ausgestreckte Daumen in A-Richtung). Wenn A einen Winkel zur B Richtung bildet, sind die beiden Lorentz-Kräfte noch ebenso großwie bei = 90 , aber der » Kraftarm« ist nur noch b sin , das Drehmoment hat den Betrag IabB sin . Das Drehmoment ist also M = IA B Die Schleife möchte sich so stellen, dass A k B wird, d. h. dass der Strom das Feld nach der Rechte-Hand-Regel umkreist2 . 7.1.2 Der Hall-E¤ekt Die Lorentz-Kraft auf einen stromdurch‡ossenen Leiter im Magnetfeld wirkt auf die Ladungsträger, die sich im Leiter bewegen. Die Ladungsträger werden relativ zum Leiter seitlich abgelenkt, normal zu ihrer Flugrichtung und zu B. An beiden Seiten‡ächen des Leiters häufen sich entgegengesetzte Ladungen an. Es entsteht ein Querfeld E H , das diese Ladungen erzeugen und das die Lorentz-Kraft genau kompensiert, eE H = ev B wie in Abbildung 7.3 dargestellt. 2 Wenn die gekrümmten Finger die Stromrichtung angeben, zeigt der ausgestreckte Daumen in Richtung A. 74 KAPITEL 7. STRÖME UND FELDER In einem Leiter der Breite b im B Feld laut Abbildung 7.3 bedingt das Querfeld E H = v B die Querspannung UH = bvB. Drückt man die Hallspannung durch den Gesamtstrom I = dbj = dbenv aus, erhalten wir UH = 1 IB en d |{z} AH AH ist der Hall-Koe¢ zient des Materials, hängt von n ab und ist daher bei Metallen sehr klein. Technische Bedeutung hat der Hall-E¤ekt bei Halbleitern. Hall-Sensoren werden zur Messung von magnetischen Feldern verwendet. 7.2 Erzeugung von Magnetfeldern Zur quantitativen Beschreibung des Magnetfeldes gehen wir von den messbaren Kraftwirkungen aus. Stromdurch‡ossene Leiter erzeugen in ihrer Umgebung ein Magnetfeld. Bei einem geraden stromdurch‡ossenen Leiter bilden die Feldlinien konzentrische Kreise mit dem Leiter als Mittelpunkt. Die Richtung der Feldlinien und die Stromrichtung sind einander wie eine Rechtsschraube zugeordnet. Die Richtung der Feldlinien kann man z.B. mit einem Kompass bestimmen. Die Feldstärke ist der Stromstärke I direkt und dem Abstand r verkehrt proportional. Das Umlau…ntegral der magnetischen Feldstärke hat daher bei gleichbleibendem Strom länges jeder Feldline denselben Wert, da B im selben Maßabnimmt, wie der Umlaufweg zunimmt. Der stromdurch‡ossene Leiter erzeugt nicht nur sein eigenes Magnetfeld, er erfährt auch eine Kraftwirkung in einem externen Feld, das von anderen stromführenden Leitern erzeugt wird. 7.2.1 Strom und magnetische Feldstärke Wir betrachten zwei unendlich lange, geradlinige, parallel verlaufende Leiter, die die Ströme I1 und I2 führen. Da sich jeder der beiden Leiter im Magnetfeld des anderen be…ndet, üben die Ströme Kräfte aufeinander aus. B= Die Proportionalitätskonstante konstante genannt. 0 0 I I = 2 r 2 "0 c2 r wird magnetische Feldkonstante oder Induktions- 7.2. ERZEUGUNG VON MAGNETFELDERN 75 Die Feldlinien laufen in konzentrischen Kreisen um den Strom. Im Gegensatz zu den elektrischen Feldlinien haben sie keinen Anfang und kein Ende. Das B Feld ist divergenzfrei, es gibt keine magnetischen Ladungen div B = 0 Das Linienintegral von B um jede geschlossene Kurve, die den Strom umschließ t, hat den gleichen Wert I I (7.2) Bdr = 0 I = "0 c2 Wird der Strom nicht umschlossen, ist dieses Integral Null. In di¤erentieller Form schreiben wir rot B rot B = 0 auß erhalb des Stroms (7.3a) j "0 c2 = In Analogie zum elektrischen Flußde…niert man den Magnet‡uss ZZ = B dA A ZZZ = div BdV = 0 Der Magnet‡uss durch jede Fläche, die in einer gegebenen geschlossenen Kurve aufgespannt ist, hängt nur von dieser Kurve, nicht von der Form der Fläche ab. Das B Feld ist ein quellenfreies Wirbelfeld mit der Wirbeldichte j=("0 c2 ), das elektrostatische Feld E ist ein wirbelfreies Quellenfeld mit der Quelldichte ="0 . Speist man eine lange, dünne Spule mit einem konstanten Strom, so ist das B Feld im Inneren der Spule praktisch homogen, die Richtung des Feldes ist mit dem Spulenstrom nach einer Rechtsschraubung verknüpft. Die Lage des Spule, ihre Länge, ihre Windungszahl N sowie die Stromstärke I können als kennzeichnende Größ en dem Magnetfeld zugeordnet werden. Man führt die neue Größ e jHj = H = NI l ein, die magnetische Erregung genannt wird. Im Vakuum, sind B und H zueinander proportional H = e 0 c2 B = 1 B 0 0 = 4 1 Vm = 7 2 e0 c 10 Asm2 s 2 = 1; 26 106 VsA 1 m 1 Wir erhalten daher rot H = j (7.4) H hat die Einheit A/m. In Materie bleibt (7.4) richtig und beschreibt, wie das H Feld durch freie, d. h. makroskopisch in Drähten usw. ‡ieß ende Ströme j erzeugt wird. Für das B Feld gilt (7.3a) nur, wenn man j auch alle mikroskopischen Ströme einbezieht, die in den Teilchen der Materie zirkulieren. Unter einfachen Umständen gilt dann zwischen B und H ein ähnlicher Zusammenhang wie zwischen E und D B= nennt man Permeabilität des Materials. 0H 76 KAPITEL 7. STRÖME UND FELDER Abbildung 7.4: Magnetfeld zweier paralleler Leiter (a) gleichgerichtet, (b) entgegengerichtete Ströme Bezeichnungen elektromagnetischer Felder Wir verwenden folgende Bezeichnungen3 Symbol E D = "0 E B H = B= 0 7.2.2 Bezeichnung Elektrisches Feld Elektrische Erregung Magnetisches Feld Magnetische Erregung SI-Einheit V/m As/m2 Vs/m2 A/m Deutung übt auf Ladungen Kräfte aus wird aus Ladungen erzeugt übt auf Ströme Kräfte aus wird aus Strömen erzeugt Das Magnetfeld von Strömen Mit Hilfe der Gleichungen 7.2 und 7.4 kann man für beliebige räumliche Verteilung j(r) der Ströme das Magnetfeld berechnen. Symmetrieüberlegungen und der Überlagerungssatz vereinfachen häu…g die Rechnung. Abbildung 7.4 zeigt das Magnetfeld von zwei parallelen Leitern. Das Magnetfeld einer Spule ist in Abbildung 7.5 dargestellt. Am Ende der Spule ist das Feld kleiner als im Inneren, da sich die Feldlinien au¤ächern. Im (theoretischen) Fall einer unendlich langen Spule ist das H Feld NI l homogen und sitzt nur im Inneren der Spule. N ist die Zahl der Windungen. Eine technisch wichtige Ausführung ist die Toroidspule für die das Feld ebenfalls einfach zu bestimmen ist. Wenn der Querschnitt klein gegen die Achsenlänge ist, erhalten wir ebenfalls H= B= 0 NI l 3 In der älteren physikalischen Literatur und in der Elektrotechnik wird H als magnetisches Feld bezeichnet und B als magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion bezeichnet. An den Gleichungen ändert sich nichts. Um dieser Namensproblematik auszuweichen spricht man am einfachsten vom B und H Feld. 7.2. ERZEUGUNG VON MAGNETFELDERN 77 Abbildung 7.5: Magnetfeld einer Spule In vielen Fällen kann das Feld mit Hilfe des Satzes von Biot-Savart berechnet werden, dH = Idl r 4 r3 wie bei der Berechnung des Magnetfeld eines Kreisstroms gezeigt. Der Vektor dH ist normal auf die durch ds und r gehende Ebene gerichtet. Bildet man die Summe aller Teilfelder, so erkennt man, dass sich die zur Ringachse normal stehenden Komponenten paarweise aufheben und für das Summenfeld daher nur die Achsenkomponenten zur Wirkung kommen Z Z I I Hx = dH sin = sin ds = (sin ) 2a 4 r2 4 r2 Leiter Setzen wir für sin Leiter 2 = a=r und für r = a + x2 ; erhalten wir Hx = 2 Ia a p 2 (a2 + x2 ) a2 + x2 Hx = Ia2 2 (a2 + x2 ) 3=2 Leider ist die (analytische) Feldberechnung in der Regel aufwändig, in vielen Fällen kann man die Felder nur mit numerischen Verfahren berechnen. 7.2.3 Magnetostatik Wenn keine makroskopischen (freien) Stromdichten j ‡ieß en, sind die Gleichungen für B und H dieselben wie für die statischen elektrischen Felder E und D in Abwesenheit freier Ladungen 78 KAPITEL 7. STRÖME UND FELDER Abbildung 7.6: Feldstärke im Luftspalt j = 0 )rot H = 0 rot E = 0 div B = 0 = 0 )div D = 0 Man beachte, dass hier die Entsprechungen lauten B = D; H = E. An der Grenz‡äche zwischen zwei Materialien mit verschiedenen verhält sich B also wie D an der Grenz‡äche zweier Dielektrika, H verhält sich wie E. Die Normalkomponenten von B und die Tangentialkomponenten von H haben beiderseits der Grenz‡äche den gleichen Wert B1? = B2? ; H1k = H2k Dagegen machen die Tangentialkomponente von B und die Normalkomponente von H einen Sprung an der Grenz‡äche B1k = B2k 1 H1k 2 H2k = 1 2 H1? B1? B2? : = = H2? 1 2 2 1 Da man für Eisen & 1000 ansetzen kann, werden alle B-Linien, die schräg auf ein Eisenstück zulaufen, beim Durchtritt durch die Grenz‡äche praktisch parallel zu dieser: Eisen bündelt das B Feld. Darauf beruht die magnetische Abschirmung. Ein Eisengehäuse lässt von einem äuß eren B Feld fast nichts in den umschlossenen Raum eintreten. Geschlossene oder fast geschlossene Eisenkreise in Elektromagneten, Transformatoren, Motoren und Generatoren lassen nur einen sehr geringen Teil des Magnet‡usses in den Luftraum entweichen. In elektrischen Feldern gibt es Raumelemente, in denen Feldlinien beginnen oder enden, d. h. Feldquellen oder -senken. Dort sitzen die elektrischen Ladungen. Magnetfeldlinien haben keine Enden. Selbst wenn man die Orte, wo sie besonders dicht aus- oder einströmen (Polschuhe von Elektro- oder Permanentmagneten) als Quellen oder Senken bezeichnen will, treten diese immer paarweise auf: Es gibt keine magnetischen Ladungen, sondern nur Dipole. 7.2.4 Elektromagnete Wenn ein ferromagnetischer Kern mit hoher Permeabilität das ganze Innere einer Ringspule ausfüllt, ist im Innern des Kernmaterials das B Feld um den Faktor höher, als es in der gleichen Spule ohne Kern wäre. Man braucht das Feld aber auß erhalb, im günstigsten Fall in einem Luftspalt zwischen zwei Pol‡ächen (Abbildung 7.6 ). Hier kann B höchstens indirekt vom Vorhandensein des Kerns pro…tieren, denn hier ist = 1. Wir bestimmen B und seine Abhängigkeit von der Breite d des Luftspalts. Wegen divB = 0 muss der ganze B Fluss, der aus der Spule tritt, wieder in sie zurück. Er könnte aber den Kern seitlich verlassen oder aus dem Luftspalt seitlich herausquellen (Streufeld). Dass er im Kern bleibt, solange das möglich ist, folgt aus dem Energiesatz: Wegen H = B=( 0 ) ist H bei gegebenem B im Kern kleiner als drauß en, und damit ist auch die Energiedichte 21 H B am kleinsten, wenn das Feld im Eisen bleibt. 7.2. ERZEUGUNG VON MAGNETFELDERN 79 Dass B auch nicht seitlich aus dem Luftspalt quillt, sieht man, wenn man eine Leiterschleife, die den Kern eng umfasst, schnell über den Luftspalt hinwegschiebt. Es tritt kein Induktionsstoßauf (das ballistische Voltmeter schlägt nicht aus), im Gegensatz zum Verhalten am Ende eines Stabmagneten oder einer geraden Spule. B hat also im Luftspalt den gleichen Wert wie im Eisen. H dagegen hat den Wert Ha , der r mal größ er ist als im Eisen. Um B und Ha zu …nden, integrieren wir längs einer geschlossenen Feldlinie über H. Das Integral ist gleich dem umschlossenen Strom N I (N Windungen): Hi l + Ha d = N I l : Weg im Eisen, gestreckte Kernlänge. Im Luftspalt ist B = also folgt 0 Ha , im Eisen B = 0 Hi , B= 0 Ha = 0N I d + l= Wenn d l= (was bei 1000 zu einem sehr kleinen Luftspalt führt und sehr glatte Pol‡ächen voraussetzt), ist B = 0 N I=l. Die Existenz des Kerns verstärkt B im Spalt um den Faktor . Bei d l= ist B = 0 N I=d, als ob die Spule nicht auf die Länge l, sondern nur auf d aufgewickelt wäre. Das bedeutet ebenfalls eine erhebliche Verstärkung, aber weniger als bei d l= r. Mit zunehmendem d fällt B schnell ab; wenn es auf einen groß en Magnet‡uss ankommt, z.B. in Transformatoren, sind daher Luftspalte zu vermeiden. 80 KAPITEL 7. STRÖME UND FELDER Teil III Elektrodynamik 81 83 Der folgende Text folgt dem Buch von D. Meschede » Gerthsen Physik« , 24. Au‡age, Kapitel 8, Elektrodynamik, http://www.springerlink.com Das Kapitel über den Hetzschen Dipol folgt dem Buch von Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis, Albrecht Reibiger » Theoretische Elektrotechnik« , 17. Au‡age, Kapitel 34, Elektromagnetische Wellen, http://www.springerlink.com 84 Kapitel 8 Induktion Inhalt 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Induktionsversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Richtung des induzierten Stromes (Lenz-Regel) Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energie und Energiedichte im Magnetfeld . . . . . . Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Koppelfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Anwendung der Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 87 88 89 89 91 92 92 92 Induktionsversuche Wir verwenden die Versuchsanordnung nach Abbildung 8.1: An eine kreisörmige Drahtschlinge ist ein ballistisches Galvanometer1 angeschlossen. Wir führen die Versuche mit einem Stabmagneten (a) und mit einer stromdurch‡ossenen Spule (b) durch. 1. Nähert man den Nordpol des Magneten der Schlinge, so zeigt das ballistische Galvanometer einen Ausschlag, d.h. es wird Ladung durch die Kreisschlinge und das Galvanometer transportiert. 2. Nähert man unter sonst gleichen Bedingungen nicht den Nordpol, sondern den Südpol, so erhält man den gleichen Ausschlag in entgegengesetzter Richtung. 3. Zieht man den Magneten aus der Schlinge in die Ausgangslage zurück, so erfolgt der Galvanometerausschlag in der entgegengesetzten Richtung, ist aber ebenso groß . Die Bewegung der Ladungen erfolgt also in der entgegengesetzten Richtung. 1 Ein Stromimpuls erzeigt einen Drehimpuls. Der entstehende Maximalausschlag ist proportional zur Ladungsmenge, die durch das Galvanometer ge‡ossen ist. Abbildung 8.1: Anordnung zur Durchführung der Induktionsversuche 85 86 KAPITEL 8. INDUKTION Abbildung 8.2: Schalten des Spulenstromes Abbildung 8.3: Drehung der Schleife im Feld 4. Nimmt man an Stelle eines Magneten zwei gleiche Magnete, so ist derAusschlag des ballistischenGalvanometers doppelt so groß . 5. Verwendet man unter sonst gleichen Bedingungen statt einer einfachen eine doppelte (n-fache) Schlinge, so wird der Ausschlag doppelt (bzw. n-mal) so groß . 6. Ersetzt man den permanenten Magneten durch eine stromdurch‡ossene Spule, so beobachtet man bei Annäherung bzw. Entfernung die gleichen Erscheinungen. Bei Verdoppelung der Stromstärke in der Spule werden die Galvanometerausschläge doppelt so groß . Die in der Drahtschlinge transportierten Ladungen sind der Stromstärke in der Spule, also dem in ihr erregten Feld proportional. 7. Schiebt man die Spule ganz in das Innere der Drahtschlinge und schließ t oder ö¤net man nun den Spulenstromkreis, so zeigt das ballistische Galvanometer die gleichen Ausschläge, als ob die stromführende Spule aus groß er Entfernung ganz in das Innere der Schlinge hineingeführt oder aus dem Inneren herausgezogen würde (Abbildung 8.2). 8. Die Erhöhung der Windungszahl der Schlinge hat den gleichen E¤ekt wie in Versuch 5. 9. Bringt man die Drahtschlinge aus einem feldfreien Raum in ein Magnetfeld (z. B. zwischen die Polschuhe eines Elektromagneten), so zeigt das ballistische Galvanometer einen Ausschlag. Den gleichen Ausschlag in entgegengesetzter Richtung erhält man, wenn man die Schlinge aus dem Feld herausbringt. 10. Dreht man die Schleifenebene, die erst senkrecht zu den Feldlinien stand, in eine Lage parallel zu ihnen, so ist der Ausschlag des ballistischen Galvanometers der gleiche wie bei vollständiger Entfernung aus dem Magnetfeld (Abbildung 8.3 ). Dreht man die Schlinge aus der Ausgangslage um 180 , sodass die Feldlinien die Schlinge von der entgegengesetzten Seite durchdringen, so wird der Galvanometerausschlag doppelt so groß . 11. Wenn man die Fläche der Schlinge in einem konstanten Magnetfeld ändert, indem man sie zusammenzieht oder erweitert, zeigt das Galvanometer einen Ausschlag 8.2. DIE RICHTUNG DES INDUZIERTEN STROMES (LENZ-REGEL) 87 Abbildung 8.4: Flächenänderung der Schleife (Abbildung 8.4 ). Zieht man die Schlinge auf den Flächeninhalt Null zusammen, so ist der Galvanometerausschlag der gleiche, als ob die unveränderte Schlinge aus dem Feld in den feldfreien Raum gebracht wird. 12. Schiebt man in das Innere einer Spule bei konstant gehaltenem Spulenstrom einen Eisenkern, so zeigt das Galvanometer wiederum einen Ausschlag, der ein Vielfaches des Ausschlages beim ersten Einschalten des Spulenstromes betragen kann. Das Ergebniss dieser Versuche ist zusammengefasst im Induktionsgesetz: Wenn sich der Magnet‡uss ändert, der eine Drahtschleife durchsetzt,wird in ihr eine Spannung und, bei gegebenem Widerstand, ein Strom erzeugt; beide sind proportional zu d =dt. R Die während dieses Stromstoß es transportierte Ladung Idt ist demnach nur von _ dt = 2 1, d.h. von der Gesamtänderung des Magnet‡usses abhängig, nicht von der Art, wie diese Änderung im Einzelnen vor sich geht. Versuch 12 zeigt, dass es nicht auf den Fluss von H ankommt, der nur von Spulengeometrie und -strom abhängt, sondern auf den Fluss von B, der durch Einschieben des Eisens stark erhöht wird. I U = E dr = _ R Wenn sich der Magnet‡uss durch eine gegebene Fläche zeitlich ändert, wird in der _ induziert. Dabei ist es ganz Randlinie dieser Fläche eine Ringspannung Uind = gleichgültig, ob diese Randlinie durch eine Leiterschleife materialisiert ist oder ob es nur eine gedachte Linie ist. Das Feld E, von dem wir ausgegangen sind, entsteht ja überall, nicht nur im Draht. Geht man zu einer Hsehr kleinen Leiterschleife mit der Fläche dA über, verwandelt sich das Linienintegral E dr in rot E dA. Das Induktionsgesetz lautet dann rotE = B_ Für die kleine Rechteckschleife hat dA den Betrag ab und die Richtung von B. 8.2 Die Richtung des induzierten Stromes (Lenz-Regel) Der Aufbau des Schleifenstroms und seines Magnetfeldes kostet Energie, die nur bei der Verschiebung des Magneten aufgebracht worden sein kann. Aus dem Energiesatz folgt: Der induzierte Strom ist immer so gerichtet, dass sein Magnetfeld der Induktionsursache entgegenwirkt. (Lenz’sche Regel) 88 KAPITEL 8. INDUKTION Abbildung 8.5: Richtung des induzierten Stromes Er sucht z.B. den sich nähernden Magneten wegzuschieben, den sich entfernenden zurückzuhalten (Abbildung 8.5). Aus demselben Grunde kostet es Arbeit, eine Spule im Magnetfeld zu drehen. Eben diese mechanische Arbeit ist es, die der Generator in elektrische Energie umsetzt. Ebenso wichtig ist die Situation von Abbildung 8.2, wo das Magnetfeld eines Elektromagneten zunimmt, weil man den Spulenstrom ansteigen lässt. Ohne weitere Überlegung kann man sagen: Im umgebenden Drahtring wird ein Strom induziert, dessen Magnetfeld so gerichtet ist, dass es seinerseits in der Spule eine Spannung induziert, die dem Spannungsanstieg darin entgegenwirkt. Auch hier widersetzt sich das induzierte Feld der Induktionsursache, nämlich dem Anschwellen des Spulenstroms. Dies führt zum Begri¤ der Gegen- und der Selbstinduktion. 8.3 Induktivität Durch jeden Stromkreis greift ein Magnet‡uss hindurch, der von seinem eigenen Magnetfeld herrührt. Ebenso wie die Felder H und B ist dieser Fluss der augenblicklichen Stromstärke I proportional: = LI Der Faktor L, die Induktivität des Leiters, hängt nur von seiner Gestalt und der Permeabilität des umgebenden Mediums ab. Mit jeder Änderung des Stromes I ändert sich auch der Fluss und induziert im Leiter selbst eine Spannung. Diese muss bei Zunahme des Stroms ihm entgegengerichtet sein, denn sonst würde eine instabile und energetisch unmögliche Situation eintreten: Sogar in einem Leiter, an dem keine äuß ere Spannung anliegt, erzeugten zufällige Schwankungen der Elektronenverteilung immer winzige Ströme; diese würden Spannungen induzieren, die die Ströme verstärken würden, bis zum unbegrenzten Anwachsen eines Stromes aus dem Nichts. Die Lenz’sche Regel führt zu dem gleichen Schluss. Nach dem Induktionsgesetz ist die induzierte Spannung Uind = _ = LI_ Die Einheit der Induktivität ist 1V=(As 1 ) = 1 s = 1JA 2 = 1H (1 Henry) Ein Leiter hat die Induktivität von 1 H, wenn in ihm durch eine Stromänderung von 1 As 1 eine Spannung von 1 V induziert wird. Beispiel 34 Im Innern einer zylindrischen Spule mit der Länge l, dem Querschnitt A l2 und der Windungszahl N , gefüllt mit einem Material der Permeabilität , durch die der Strom I ‡ieß t, herrscht das Feld B = 0 IN=l. Durch jedeWindung tritt der 2 Fluss BA, durch alle N Windungen zusammen der Fluss = N BA = 0 IN A=l. 8.4. ENERGIE UND ENERGIEDICHTE IM MAGNETFELD 89 Wenn sich der Strom I ändert, induziert er zwischen den Spulenenden die Spannung _ = Uind = 0 N2 _ AI l Diese Spule hat also die Induktivität L= 8.4 0 N2 A l Energie und Energiedichte im Magnetfeld Die magnetische Energie einer Spule ist Emagn = 1 2 1 I L= I 2 2 Die Energiedichte ist emagn = 8.5 1 Emagn = V 2 Z H dB Gegeninduktion Wir betrachten mehrere getrennte Leiterkreise, in denen die Ströme I1 ; I2 ; : : : ‡ieß en. Das Magnetfeld B i , das vom Kreis i stammt, ist an jeder Stelle proportional zu Ii . An jeder Stelle setzt sich das Gesamtfeld B additiv aus den Beträgen der Kreise zusammen. Diese Additivität und Proportionalität zum Strom übertragen sich auch auf die Magnet‡üsse RR = B dA. Durch den Kreis i trete insgesamt der Fluss i . Er stammt z. T. von dem Strom Ii im Kreis selbst, aber auch von den anderen Kreisen: = X ik = k X Lik Ik k Wenn sich der Fluss i zeitlich ändert, induziert er im Kreis i dieRingspannung U = _ i , die sich zusammensetzt aus den Beträgen der Stromänderungen in den einzelnen Kreisen: Ui = X Lik I_k k Ist nur der Kreis i vorhanden, ergibt sich Ui = Lii I_i : Lii ist die Induktivität des Kreises i; Lik sind die Gegeninduktivitäten zwischen Kreis i und k. Als Folge davon können die einzelnen Stromkreise nicht mehr unabhängig voneinander betrachtet werden, sie sind magnetisch miteinander gekoppelt. Um die Situation übersichtlich darzustellen, betrachten wir lediglich zwei Stromkreise der Abbildung 8.6 . Die Leiterschleife 1 ist an eine Spannung u1 (t) angeschlossen, die einen Strom i1 (t) hervorruft. Das von diesem Strom hervorgerufene Magnetfeld erzeugt den magnetischen Fluss 11 , der rechtshändig mit i1 verknüpft ist. Ein Teil des Flusses (angedeutet durch die beiden Feldlinien), bezeichnet mit 21 ; durchsetzt die Leiterschleife 2. Die Leiterschleifen haben die Widerstände R1 und R2 : In der Schleife 1 haben wir folgende Beziehung di1 11 = R1 i1 + L11 dt dt L11 ist die Selbstinduktivität der Leiterschleife 1. Infolge des eingekoppelen, sich zeitlich ändernden Flusses 21 , wird in der Leiterschleife 2 die Spannung u2ind (t) induziert, u1 = R1 i1 + d 90 KAPITEL 8. INDUKTION Abbildung 8.6: Gekoppelte Stromkreise Abbildung 8.7: Gekoppelte Stromkreise die proportional dem diese Schleife durchsetzenden Fluss und damit proportional der Stromänderung in Schleife 1 ist u2ind = i2ind = d 21 dt u2ind R2 = L21 di1 dt Unterbricht man den Stromkreis der Schleife 2, dann verschwindet i2ind und die induzierte Spannung u2ind kann an den Klemmen gemessen werden. Wenn in der Leiterschleife 2 ein Strom i2 (t) ‡ieß t, und zwar unabhängig davon, ob er durch Flussäderung eines zeitlich veränderlichen Stromes i1 (t) induziert wird oder ob er durch eine Spannungsquelle u2 (t) verursacht wird, dann wird dieser Strom i2 (t) einen magnetischen Fluss 22 erzeugen, der mit i2 (t) rechtshändig verknüpft ist. Der Teil des Flusses, der auch mit der Schleife 1 verbunden ist, wird als 12 bezeichnet. Da die induzierte Spannung in einer Leiterschleife proportional zur zeitlichen Änderung des gesamten die Schleife durchsetzenden Flusses ist, müssen die beiden Fälle überlagert werden. Wir erhalten 8.5. GEGENINDUKTION I 91 E ds = u1 + R1 i1 = E ds = u2 + R2 i2 = d 1g e s dt = d ( dt 11 + 12 ) = d ( dt 21 + 22 ) Schleife 1 I d 2g e s dt Schleife 2 bzw. u1 u2 d ( dt d = R2 i 2 + ( dt = R1 i 1 + di1 di2 + L12 dt dt di1 di2 + L22 21 + 22 ) = R2 i2 + L21 dt dt 11 + 12 ) = R1 i1 + L11 Anmerkung 35 Sind die durch die positiven Ströme hervorgerufenen Flüsse gleichgerichtet, dann addieren sich die induzierten Spannungen von Selbst- und Gegeninduktivität. Sind die Flüsse gegengerichtet, dann ist der Beitrag infolge der Gegeninduktivität negativ. Anmerkung 36 In einem System mit mehreren Leitern gilt für die zwischen dem i-ten und k-ten Leiter auftretende Gegeninduktivität aus Symmetriegründen Lik = Lki: Es ist üblich, die Gegeninduktivitäten mit M zu bezeichnen, wir schreiben daher u1 (t) u2 (t) di2 (t) di1 (t) +M dt dt di2 (t) di1 (t) + L22 = R2 i2 (t) + M dt dt = R1 i1 (t) + L11 (8.1) Das Gleichungssystem 8.1 hängt nicht von der Geometrie der Anordnung ab. Anders verlaufende Leiterschleifen haben lediglich andere Werte der Selbst- und Gegeninduktivität. 8.5.1 Koppelfaktoren Der Wert der Gegeninduktivität hängt nur davon ab, welcher Anteil des von einer Schleife erzeugten magnetischen Flusses die andere Schleife durchsetzt. Die Koppelfaktoren sind das Verhältnis von dem durch beide Schleifen gehenden Fluss zum Gesamt‡uss k21 = 21 11 = M L11 k12 = 12 = 22 M L22 Die Koppelfaktoren nehmen je nach Form der Leiterschleifen und Zahl der Windungen n1 und n2 sehr unterschiedliche Werte an. Für n1 = n2 = 1 kann der mit beiden Windungen verkettete Fluss nur kleiner oder maximal gleich zu dem von einer Windung erzeugten Fluss sein, die Koppelfaktoren können dann betragsmäß ig maximal gleich 1 sein. In der Praxis reicht zur Beschreibung der Kopplung zwischen zwei Schleifen ein einziger Zahlenwert, man bildet das geometrische Mittel der gegebenenfalls sehr unterschiedlichen Koppelfaktoren. Dieses ist unabhängig von den Windungszahlen und betragsmäß ig immer 1: k= Wir erhalten dann p M k12 k21 = p L11 L22 jkj 1 92 KAPITEL 8. INDUKTION Abbildung 8.8: Transformator u1 (t) u2 (t) p di1 (t) di2 (t) + k L11 L22 dt dt p di1 (t) di2 (t) = R2 i2 (t) + k L11 L22 + L22 dt dt = R1 i1 (t) + L11 (8.2) Die Energie im Zweileitersystem beträgt 1 1 L11 I12 + M I1 I2 + L22 I22 2 2 Für ein Mehrleitersystem erhalten wir Em agn = n Em agn = n 1 XX Lik Ii Ik 2 i=1 k=1 8.6 8.6.1 Anwendung der Induktion Bewegungsinduktion Eine wichtige Anwendung der Bewegungsinduktion ist die Umwandlung zwischen elektrischer und mechanischer Energie. Beim Generator wird die zugeführte mechanische Energie in elektrische Energie umgewandelt. Die prinzipielle Wirkungsweise ist im Kapitel » Lorentz-Kraft und Magnetfeld« dargestellt. Der elektrische Motor wandelt zugeführte elektrische Energie in mechanische Energie um, wobei die Kraftwirkung von Magnetfeldern ausgenützt wird. Der Aufbau ist prinzipiell der gleiche wie bei Generatoren. 8.6.2 Ruheinduktion Die wohl wichtigste Anwendung der Ruheinduktion …ndet man in Transformatoren und Übertragern. Ein Transformator dient zur Änderung der Amplitude einer Wechselspannung ohne Frequenzänderung. Er besteht aus zwei Spulen verschiedener Windungszahlen N1 bzw. N2 , die einen gemeinsamen Magnet‡uss umgreifen. Dieser Magnet‡uss wird gebündelt durch einen hochpermeablen Eisenkern, der normalerweise einen geschlossenen magnetischen Kreis bildet. Die e¤ektive Leitfähigkeit des Kerns muss klein sein, damit Wirbelstromverluste vermieden werden. Für kleine Leistungen benutzt man deshalb Ferritkerne, für höhere Leistungen lamellierte Eisenrahmen (aus Blechen von meist 0; 35 mm Stärke, durch Lack oder Papier gegeneinander isoliert). Transformatoren (in der Starkstromtechnik) transformieren Spannungen und übertragen Leistung zwischen (galvanisch) getrennten Netzwerken. In der Nachrichtentechnik spricht man üblicherweise von Übertragern. Neben der Spannungsumsetzung werden Übertrager zur Widerstandstransformation und Potentialtrennung zwischen Primär- un Sekundärseite und für spezielle nachrichtentechnische Schaltungen verwendet. 8.6. ANWENDUNG DER INDUKTION 93 Abbildung 8.9: Spannungen, Ströme, Fluss im Transformator Idealer Transformator Wir untersuchen zunächst den idealen Transformator: Die Spulen haben keinen ohmschen Widerstand (keine Kupferverluste) Keine Wirbelströme und Hysteresis, der Aufbau des B-Feldes folgt phasengleich dem Strom (keine Eisenverluste) Der Magnet‡uss ist ganz im Eisenkern konzentriert und durchsetzt beide Spulen in gleicher Stärke (kein Streu‡uss) Spannungs- und Stromrichtungen, Wicklungssinn und Fluss sind entsprechend Abbildung 8.9 gewählt. Wir legen an die Klemmen der Primärwicklung die Spannung U1 an. Da der Widerstand der Spule rein induktiv ist, wird U1 kompensiert durch eine entgegengesetzt gleiche Selbstinduktions-Spannung, die gleich der Flussänderung durch alle N1 Windungen ist U 1 = N1 _ In der Sekundärspule induziert diese Flussänderung _ die Spannung U2 = N2 _ Sie ist identisch mit der an den Sekundärklemmen abgegri¤enen Spannung. Die Spannungsübersetzung des Transformators ist also U2 = U1 N2 = N1 u • Diese Beziehung drückt direkt das Induktionsgesetz aus und ist (beim idealen Trafo) unabhängig von der Stromentnahme aus der Sekundärspule. Das Vorzeichen drückt Gegenläu…gkeit der beiden Spannungen aus. Bei o¤enem, leerlaufendem Sekundärkreis ‡ieß t kein Strom, der Magnet‡uss stammt daher nur vom Strom I1 in der Primärspule. Dieser Leerlaufstrom I10 ist ein reiner Blindstrom I10 = U1 =(j!L1 ), also leistungslos; sekundärseitig wird ja auch keine Leistung entnommen. Bei sekundärseitiger Belastung mit dem komplexen Widerstand Z = R + jL verursacht die Spannung U2 , die durch U1 und N2 =N1 fest gegeben ist, einen Strom I2 = U2 =Z. Dieser Strom ‡ieß t, nach Abbildung 8.9 mit umgekehrtem Vorzeichen, auch durch die Sekundärwicklung und trägt zum Magnet‡uss bei. ändert sich aber nicht gegenüber seinem durch I10 bestimmten Leerlaufwert, denn dieser Wert bzw. seine zeitliche Ableitung reicht gerade aus, um das gegebene U1 zu kompensieren. Die zusätzliche Durch‡utung 0 0 N2 I2 muss also durch einen zusätzlichen Primärstrom I1 mit N1 I1 = N2 I2 kompensiert werden. Der Primärstrom wird daher I1 = I10 N2 I2 = I10 N1 N2 U 2 N1 U 1 Die komplexe Addition macht I1 i. A. größ er als den Leerlaufstrom. 94 KAPITEL 8. INDUKTION Abbildung 8.10: Zeigerdiagramm (a) unbelasteter (b) belasteter idealer Trafo Abbildung 8.11: Ersatzschaltbild realer Trafo Der Energiesatz ist erfüllt: Abzüglich des reinen Blindstrom I10 verhalten sich Primärund Sekundärstrom, die gleiche Phasenwinkel zu ihren Spannungen bilden, umgekehrt wie diese, d.h. Primär- und Sekundärleistung sind gleich. Der Transformator ist ja verlustfrei (ideal). Wenn Z sehr klein ist, Z !L12 , die Sekundärwicklung praktisch kurzgeschlossen, wird I10 N2 I2 =N1 , also I1 ( N2 =N1 ) I2 . Die Ströme haben dann entgegengesetzte Richtung. Das Zeigerdiagramm in Abbildung 8.10 verdeutlicht die Zusammenhänge. Beim idealen Trafo stehen die Beträge der Spannungen im gleichen, die Beträge der Ströme im umgekehrten Verhältnis wie die Windungszahlen. Die zugeführte Leistung ist in jedem Zeitpunkt gleich der abgeführten Leistung. up is = = us ip u • u •= Np Ns up ip = us is Der Eingangswiderstand des idealen Übertragers ist gleich dem mit dem Quadrat der Übersetzung multiplizierten Lastwiderstand. Diese Eigenschaft wird in der Nachrichtentechnik zur Leistungsanpassung benützt, indem die Übersetzung so gewählt wird, dass der übersetzte Widerstand gleich dem Innenwiderstand der Quelle auf der Primärseite ist. Beim realen Trafo müssen die Verluste durch die Wicklungswiderstände, die Streuflüsse, sowie die Verluste im Eisenkern (Hysterese, Wirbelstrom) berücksichtigt werden, wie im Ersatzschaltbild Abbildung 8.11 dargestellt. In manchen praktischen Anwendungen ist eine Spannungsübersetzung gewünscht, aber eine galvanische Trennung nicht erforderlich (z.B. 110 Volt im US-Netz auf europäische 230 V). In einem derartigen Fall ist eine einzelne Wicklung mit Anzapfung ausreichend, wie in Abbildung 8.12 gezeigt. Die Spannungsübersetzung ist up =us = Np =N / s= (N1 + N2 ) =N / 2: 8.6. ANWENDUNG DER INDUKTION Abbildung 8.12: Spartrafo 95 96 KAPITEL 8. INDUKTION Kapitel 9 Magnetische Materialien Inhalt 9.1 9.1 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.2 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Magnetisierung Bringt man Materie in ein Magnetfeld B, dann beginnen um die B-Richtung überall mikroskopische Kreisströme zu ‡ieß en. Die Materie wird magnetisiert. Wir betrachten den Ein‡uss der Kreisströme auf das B-Feld und das H-Feld. Dazu unterscheiden wir, ähnlich wie im Fall elektrischer Ladungen, freie und gebundene Ströme. Freie Ströme ‡ieß en in Drähten, man kann sie mit Amperemetern messen. Die Kreisströme in magnetisierter Materie sind gebundene Ströme. Alle Ströme sind Quellen von B, aber nur die freien Ströme sind Quellen von H. In den Seiten‡ächen des magnetisierten Körpers ‡ieß en ringsum gebundene Ströme. Sie bleiben von den mikroskopischen Kreisströmen übrig, wenn man diese in jedem Volumenelement zeichnet und dabei berücksichtigt, dass sich in den Berührungs‡ächen die entgegengesetzten Ströme aufheben, nur an der Ober‡äche nicht (Abbildung 9.1). Das Modell der Kreisstöme liefert nur ein grobes Modell des Verhaltens der Materie, ein tiefergehendes Verständnis ist nur im Rahmen der Quantenmechanik möglich. Für die makroskopische Darstellung gehen wir vom magnetischen Dipol aus. Ein magnetischer Dipol ist eine kleine vom Strom I durch‡ossene Schleife, die eine ebene Fläche A umschließ t (Abbildung 9.2 ). Das magnetische Moment ist m = IA: Die Größ e Abbildung 9.1: Magnetische Kreisströme in einem Material 97 98 KAPITEL 9. MAGNETISCHE MATERIALIEN Abbildung 9.2: Magnetischer DIpol j= 0 m= 0 IA nennt man magnetisches Dipolmoment. Die auf das Volumen bezogene (vektorielle) Summe der magnetischen Momente nennt man Magnetisierung M= Die Größ e J= N 1 X mn V n=1 N 1 X j = V n=1 n 0M heiß t magnetische Polarisation. In Materie trägt sowohl die Eigendrehung (Spin) der Elektronen, als auch die Bewegung in ihrer Umlaufbahn zum magnetischen Dipolmoment (zur magnetischen Polarisierung) bei. Unter dem Ein‡uss eines äuß eren Magnetfeldes richten sich die Dipole nach Möglichkeit so aus, dass sie keine weitere Krafteinwirkung erfahren, die Richtung des Dipols stimmt dann mit der Feldrichtung überein. Das makroskopische magnetische Verhalten wird dargestellt B= 0H Die Wirkung der im Einzelnen nicht zugänglichen molekularen Ströme wird so durch die Materialkonstante dargestellt. Der Zahlenfaktor wird Permeabilitätszahl genannt. In Luft ist 1 + 0; 4 10 6 ; also praktisch gleich 1: Das B Feld in Materie kann man sich zusammengesetzt denken aus B = 0 H, das bereits im Vakuum vorliegt und dem zusätzlich durch die Polarisation der atomaren Stromschleifen hervorgerufenen Anteil J Die Größ e B = J = 0H ( = 0 H+ ( 0) H = 0 0 0( 0) H = 1) H = 0H 0 +J H wird magnetische Suszeptibilität genannt. Es folgt B= 0 (H + M ) M = H Die magnetische Polarisation J beschreibt den Zuwachs des B Feldes im Material gegenüber Vakuum J = B 0 H bei gleichem H Feld. Die Magnetisierung M beschreibt die Abnahme des H Feldes im Material gegenüber Vakuum M = 1 B H bei gleichem B Feld. 0 Wie bei der elektrischen Polarisation gibt es auch im magnetischen Feld unterschiedliche Mechanismen, die zu einer Polarisation führen: Materialien die das B Feld abschwächen – < 1 –nennt man diamagnetisch. 9.2. FERROMAGNETISMUS 99 Materialien die das B Feld geringfügig vergröß ern – > 1 –nennt man paramagnetisch. Materialien die das B Feld stark vergröß ern – Diamagnetisch Wasser Kupfer Paramagnetisch Aluminium Eisen (800 C) Ferromagnetisch Eisen Mumetall (NiFe) 9.2 1 –nennt man ferromagnetisch. 0,999 986 4 0,999 990 4 1,000 020 8 1,149 300 . . . 10.000 50.000 . . . 140.000 Ferromagnetismus Bei ferromagnetischen Sto¤en gibt es größ ere Bereiche (im m Bereich) in denen Dipole bereits parallel zu einander ausgerichtet sind (Weiß ’sche Bezirke). Diese Bereiche sind jedoch statistisch verteilt, sodass ohne äuß eres Magnetfeld kein resultierendes Dipolmoment erkennbar ist. Wird ein äuß eres Magnetfeld angelegt, dann dehnen sich Bezirke, deren Dipole in Richtung des äuß eren Feldes zeigen, auf Kosten anderer Bezirke. Wenn das äuß ere Feld klein ist, ist dieser Vorgang reversibel. Bei größ erem äuß erem Magnetfeld klappen die Magnetisierungsrichtungen der Bezirke derart um, dass sie näherungsweise in Richtung des äuß eren Feldes zeigen. Dieser Vorgang ist irreversibel. Die Magnetisierungskurve eines ferromagnetischen Materials ist nichtlinear (Hysteresekurve). Oberhalb einer bestimmten materialabhängigen Temperatur –der Curie-Temperatur –verlieren die Sto¤e ihre ferromagnetischen Eigenschaften. Für Eisen beträgt die CurieTemperatur ca. 770 C. 100 KAPITEL 9. MAGNETISCHE MATERIALIEN Kapitel 10 Elektromagnetische Wellen Inhalt 10.1 Der Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Energieströmung und Energiedichte . . . . . . . . . . . . 10.3 Der Hertzsche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Nahfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Fernfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Erläuterungen zu den Feldbildern . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Energie‡uss in der Elementarwelle, Strahlungswiderstand 10.4 Lineare Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 104 104 104 107 107 108 109 110 Wir fassen die bisherigen Darstellungen elektromagnetischer Erscheinungen zusammen: 1. Ruhende elektrische Ladungen erzeugen elektrische Felder, deren Feldlinien in den Ladungen beginnen oder enden: div D = 2. Ströme (bewegte Ladungen) erzeugen Magnetfelder, deren geschlossene Feldlinien die Ströme umkreisen rot H = j 3. Sich ändernde Magnetfelder erzeugen elektrische Felder, deren geschlossene Feldlinien die Änderungsrichtung des Magnetfeldes umkreisen: rot E = B_ 4. Magnetische Felder sind quellenfrei div B = 0 10.1 Der Verschiebungsstrom Wenn ein Kondensator in einem Schaltkreis aufgeladen wird, ‡ieß t überall imKreis ein Ladestrom I, nur zwischen den Kondensatorplatten ist er plötzlich unterbrochen. Wenn der Plattenzwischenraum mit einem Dielektrikum gefüllt ist, so ‡ieß t eigentlich auch dort ein –allerdings nicht direkt messbarer –Strom I1 , repräsentiert durch die Verschiebung der Ladungen im Dielektrikum. Die Platten des Kondensators mögen die Fläche A und 101 102 KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Abbildung 10.1: Verschiebungsstrom im Kondensator den Abstand d haben. Die Polarisation P des Dielektrikums entspricht einer Ladung P A direkt vor den Platten, ihre Änderung P_ einem Strom I1 = P_ A. Mit dem Zusammenhang D = ""0 E = "o E + P lässt sich der gesamte Ladestrom darstellen als _ = ""0 AE_ = DA _ = "0 AE_ + P_ A I = Q_ = C U_ = C Ed In dieser Gleichung taucht der Verschiebungsstrom I1 = P_ A wieder auf, der in der Ladungsverschiebung im Dielektrikum besteht. Maxwell fasste nun auch das Glied "0 AE_ als Teil eines Verschiebungsstromes auf, der sogar im Vakuum ‡ieß en soll, wenn sich das elektrische Feld dort ändert. Der vollständige Verschiebungsstrom _ IV = "0 AE_ + P_ A = ""0 AE_ = DA sorgt dann dafür, dass der Stromkreis, auch über den Kondensatorzwischenraum hinweg, völlig geschlossen ist. Die Verschiebungsstromdichte _ jV = D soll danach völlig gleichwertig einer Leitungsstromdichte j L sein, wie sie im Metall ‡ieß t. Diese Begri¤sbildung bewährt sich, wenn sich zeigt, dass ein Verschiebungsstrom, also eine zeitliche Änderung des elektrischen Feldes, ebenso ein Magnetfeld um sich herum erzeugt, wie das ein Leitungsstrom tut (Abbildung 10.1 ). Man hat dann das Recht, die Gleichung rot H = j L zur vollständigen Maxwell’schen Gleichung _ + jL rot H = j V + j L = D zu ergänzen. Alle diese Annahmen bestätigen sich empirisch vollkommen. Die Maxwell’schen Gleichung lauten daher di¤erentiell _ + jL rot H = D rot E = div D = div B = 0 B_ integral H K H K H A H H E ds = ds = d dt d dt RR A RR D dA + I (1) B dA (2) A D dA= Q (3) B dA= 0 (4) A In (1) und (2) ist K die Kurve, die die Fläche A umrandet. In (3) und (4) ist A die Ober‡äche des Volumens, das die Ladung Q umschließ t. Bis auf die Tatsache, dass es elektrische, aber keine magnetischen Ladungen und Ströme gibt, drücken diese Gleichungen eine völlige Symmetrie zwischen elektrischem und magnetischem Feld aus: 10.1. DER VERSCHIEBUNGSSTROM 103 Abbildung 10.2: Sich änderndes elektrisches und magnetisches Feld Ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld erzeugt ein magnetisches Wirbelfeld. Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrischesWirbelfeld (Abbildung 10.2). Jede Änderung eines Magnetfeldes induziert in einem Leiter, der das Feld umfasst, eine Spannung. Wird der Leiter zum Ring geschlossen, so ‡ieß t in ihm ein Strom, der seinerseits ein (sekundäres) Magnetfeld erzeugt. In Abbildung 10.1 sei B_ die Änderung des Primärfeldes, entsprechend einer Zunahme von B. Das sekundäre Feld ist stets B entgegengerichtet. Die Maxwell’schen Gleichungen behaupten, dass all dies auch richtig ist, wenn kein Leiter das sich ändernde Magnetfeld umspannt, in dem man die induzierten elektrischen Felder durch einen Strom direkt nachweisen könnte1 . _ konstant dem Spezialfall, wo das primäre Magnetfeld linear mit der Zeit anwächst, d. h. B ist, induziert es um sich ein konstantes elektrisches Wirbelfeld. Ist ein Leiter vorhanden, so ‡ieß t ein Gleichstrom, dessen sekundäres Magnetfeld ebenfalls konstant ist. Ohne einen Leiter hat das konstante elektrische Wirbelfeld keine weiteren Folgen. Anders, wenn sich das primäre Magnetfeld nicht mit konstanter Geschwindigkeit ändert, z. B. wenn _ ist dann auch das induzierte es von einem mit Wechselstrom betriebenen Magneten stammt. Mit B elektrische Wirbelfeld zeitlich veränderlich und erzeugt daher (gleichgültig ob ein Leiter da ist oder nicht) um sich herum wieder ein Magnetfeld, und so weiter. 1 In 104 KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 10.2 Elektromagnetische Wellen Aus den Maxwell’schen Gleichungen folgt, dass sich elektrische und magnetische Felder gegenseitig induzieren können und wir können folgendes feststellen: Elektromagnetische Wellen müssen transversal sein. Wenn D oder B in der Ausbreitungsrichtung lägen (oder auch nur eine Komponente in dieser Richtung hätten), würde der Raum von abwechselnden Feldquellen und Feldsenken erfüllt sein. Dies ist im ladungsfreien Raum für D nicht möglich, und für B überhaupt nirgends. D und B stehen daher senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung, elektromagnetische Wellen sind transversal. Dies folgt aus den Maxwell’schen Gleichungen div D = 0; div B = 0. B steht senkrecht auf E. E und H sind in Phase, d. h. haben ihre Maxima an der gleichen Stelle. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist v=p 1 ""0 Die vier Feldvektoren hängen zusammen r 1 0 E0 = H0 = p ""0 ""0 Die Größ e Zw = E0 =H0 = Im Vakuum ist p 0 =""0 Zw = r 0 B0 = 0 1 D0 ""0 nennt man Wellenwiderstand des Mediums. 0 "0 = 376; 7 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum ist c= p 10.2.1 1 "0 = 3:108 m/s 0 Energieströmung und Energiedichte Diese Energie strömt normal zu E und H, die beide ihrerseits normal aufeinander stehen. Alle diese Eigenschaften drückt der Poynting-Vektor S=E H aus, der die Energiestromdichte im elektromagnetischen Feld angibt. 10.3 Der Hertzsche Dipol Die einfachste elektromagnetische Welle ergibt sich2 , wenn eine punktförmige Elektrizitätsmenge in einem sonst von Ladungen und materiellen Körpern freien Raum ungleichförmig bewegt wird. Die bei allgemeinen Bewegungen von räumlich ausgedehnten Ladungen entstehenden Wellen lassen sich durch Überlagerung der von den einzelnen Ladungsteilchen ausgehenden Wellen darstellen. Da sich jede Bewegung nach Fourier in zeitlich sinusförmige Bewegungen zerlegen lässt, betrachten wir nur eine sinusförmige Bewegung von Ladungen. Solche Bewegungen 2 Die Darstellung folgt dem Buch Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis, Albrecht Reibiger: "Theoretische Elektrotechnik", Springer Verlag 10.3. DER HERTZSCHE DIPOL 105 Abbildung 10.3: Koordinaten der schwingenden Ladung treten auch auf, wenn sich die Ströme und Spannungen in einem Stromkreis zeitlich sinusförmig verändern. In jedem kleinen Ausschnitt des vom Wechselstrom durch‡ossenen Leiters schwingt die Elektronenwolke gegenüber den feststehenden positiven Ladungen der Atomrümpfe in der Längsrichtung des Leiters hin und her. Die von einem drahtförmigen Leiter ausgehende elektromagnetische Welle kann aus den von den Längenelementen des Leiters herrührenden Teilwellen zusammengesetzt gedacht werden. Die von einem sehr kurzen, von Sinusstrom durch‡ossenen, Leiterabschnitt ausgehende Welle bildet die Elementarform der elektromagnetischen Welle. Sie wird durch den Wechselstrom i in dem Leiterabschnitt von der sehr kleinen Länge l erregt oder, was damit gleichwertig ist, durch eine Ladung Q, die mit der Geschwindigkeit v sinusförmig um eine Ruhelage schwingt. Beide Vorgänge sind gleichwertig, wenn v Q=I l Eine solche Erregungsstelle wird Hertzscher Dipol genannt. Die schwingende Ladung ist im Koordinatensystem Abbildung 10.3 dargestellt. Die schwingende Ladung liegt in der z Achse. Aus Symmetriegründen hängen dann die Feldgröß en nur von den beiden Zylinderkoordinaten a und z ab. Bei sinusförmiger Zeitabhängigkeit mit der Kreisfrequenz ! gelten die Feldgleichungen im Raum auß erhalb des Dipols in der Form3 rot H = j!"0 E rot E = j! 0H (Im Vakuum und mit j = 0 vereinfachen sich die Maxwellschen Gleichungen, da D und B über die Materialgleichungen gefunden werden können.) Leitet man das H Feld aus dem Vektorpotenzial H = rot A ab, so erhalten wir nach Einsetzen rot (E + j! 0 A) =0 (10.1) Das Feld in (10:1) ist also wirbelfrei und kann daher aus dem skalaren Potenzial ' abgeleitet werden: 3 Die Felder sind in komplexer Form dargestellt, haben also Vektor- und Zeigercharakter! Die Zeitabhängigkeit ej!t der Feldgröß en ist zur Vereinfachung der Schreibweise weggelassen. 106 KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN E + j! 0A = E = : grad ' grad ' j! Mit Hilfe der Rechenregel rot rot( ) = grad div( ) E = ' = A = 1 grad div A j!"0 1 div A j!"0 ! 20 "0 0 ( ) wird daraus 1 j!"0 !2 A c2 A= 0A A c= p 1 "0 0 Für die Augenblickswerte des Vektorpotenzials gilt also die sogenannte Wellengleichung: 1 @2A c2 @t2 Die magnetischen Feldlinien sind aus Symmetriegründen Kreise, deren Mittelpunkte auf der z Achse liegen. Es muss daher der Vektor A parallel zur z Achse gerichtet sein. Wir nehmen ferner an, dass genauso wie im Fall des stationären Feldes der Vektor A nur von dem Abstand r des Punktes P von der Erregungsstelle abhängt. In Zylinderkoordinaten lautet die Lösung dieser Di¤erentialgleichung A= rAz Az ! = Ke j c r p K 2 = sin t r r ; c wenn wir uns auf die Betrachtung von Feldern beschränken, die von dem Dipol ausgehen. Die Konstante K müssen wir noch ermitteln. Für die Feldgröß en folgt H =K a r3 1+ j!r c e j! cr In unmittelbarer Nähe der schwingenden Ladung (!r=c 1) wird a r3 Der E¤ektivwert des H Feldes in der Umgebung eines geraden Stromleiters der kleinen Länge l, der von einem Wechselstrom mit dem E¤ektivwert I durch‡ossen wird, ist H =K 1 a I l 4 r3 Das Strahlungsfeld geht in des Feld des kurzen geraden Stromleiters über, wenn man setzt H = K = K = Das E Feld in Kugelkoordinaten ist I l 4 Qv p 4 2 10.3. DER HERTZSCHE DIPOL Er = E# = 107 ! !r 2K cos # 1+j e jcr j!"0 r3 c 2K sin # !r !r 1+j 3 j!"0 r c c 2 e j! cr für das H Feld in Kugelkoordinaten erhalten wir H =K 10.3.1 sin # r2 1+ j!r c e j! cr Nahfeld der schwingenden Ladung In unmittelbarer Nähe des Dipols !r c 1 ist angenähert Er = E# = H = 2K cos # j!"0 r3 2K sin # j!"0 r3 sin # K 2 r Die Struktur des E Feldes gleicht derjenigen eines statischen Dipolfeldes. Der Faktor j im Nenner des E Feldes zeigt an, dass das E Feld gegen das H Feld und damit gegen den Strom I um 90 phasenverschoben ist. Dies erklärt sich daraus, dass sich der Strom I im Luftraum als Verschiebungsstrom "0 @E @t fortsetzt, der in Phase mit dem Strom schwingt; das E Feld eilt daher dem Strom um 90 nach. Die Energie im Nahfeld ist Blindenergie, die zwischen elektrischer und magnetischer Energie » pendelt« und daher nicht zur Abstrahlung beiträgt! 10.3.2 Fernfeld der schwingenden Ladung In der Funktechnik interessieren die Felder besonders in groß er Entfernung von der Erregungsstelle. Angenähert wird dann Er E# H = 0 K sin # j ! r e c r r "0 K sin # = j! 0 e r 0 = j! 0 j! cr 108 KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Abbildung 10.4: E und H Feld eines Hert’schen Dipols H Feld und E Feld stehen räumlich normal aufeinander und normal zum Radius r. Die beiden Felder breiten sich mit der Geschwindigkeit c in radialer Richtung aus. Der radiale Abstand zweier Punkte gleicher Schwingungsphase stellt die Wellenlänge dar: =c c 2 = ! f E Feld und H Feld sind im Fernfeld zeitlich in Phase (Energietransport). In jedem Zeitpunkt und an jedem Ort ist das Verhältnis des Betrages des E Feldes und des H Feldes r kEk 0 = = Z0 = 376; 73 kHk "0 Die Größ e Z0 nennt man Feldwellenwiderstand oder Wellenwiderstand des leeren Raumes, da sie für die elektromagnetischeWelle eine ähnliche Bedeutung hat wie der Wellenwiderstand einer Leitung für die Leitungswelle. Die Ausstrahlung ist am stärksten in der Richtung senkrecht zum Dipol (# = 90 ), sie ist Null in der Richtung des Dipols (# = 0). Abbildung 10.4 zeigt die Feldlinien eines Dipolstrahlers. 10.3.3 Erläuterungen zu den Feldbildern Das elektrische Feld des schwingenden Dipols ändert sich ebenso wie sein Dipolmoment mit der Periode der Schwingung. Das elektrische Feld eines konstanten (nicht zeitveränderlich) Dipols erfüllt den ganzen Raum. Wenn aber der Dipol in einigen Nanosekunden entsteht, wieder vergeht und mit umgekehrtem Vorzeichen neu entsteht, so können die Feldlinien innerhalb dieser Zeit nicht unendlich weit vordringen, wieder verschwinden und mit umgekehrtem Vorzeichen wieder auftauchen. Vielmehr kann das Feld in einer Zeit t nur bis zum Abstand r = ct vordringen, das Feld in einem Abstand r wird durch den Zustand des Oszillators bestimmt, wie er vor der Zeit t = r=c war. Die zeitlich aufeinander folgenden Zustände des Dipols setzen sich also um in räumlich einander mit der Geschwindigkeit c nachjagende elektrische Felder. Dabei ist der räumliche Abstand 10.3. DER HERTZSCHE DIPOL 109 zwischen zwei Feldlinienbündeln maximaler Dichte, aber verschiedener Richtung gleich einer halben Schwingungsperiode multipliziert mit c, also einer halben Wellenlänge. Maximales Magnetfeld entspricht den Phasen maximalen Stromes im Oszillator, die um =2 gegen die Phasen maximalen Dipolmomentes, also maximalen elektrischen Feldes verschoben sind. Räumlich liegen also die Bündel der Magnetfeldlinien immer zwischen zwei elektrischen Bündeln. Die Felder des schwingenden Oszillators verhalten sich nur bis zu einer gewissen Entfernung (im Nahfeld r < 2 ) wie das elektrische Feld eines Dipols bzw. das Magnetfeld eines Drahtes. In Abständen, die großgegen dieWellenlänge sind (Fernfeld), speisen sich elektrisches und Magnetfeld durch gegenseitige Induktion. Wenn z. B. das Magnetfeld, an einer bestimmten Stelle betrachtet, sich zeitlich mit dem Durchlaufen der Welle periodisch ändert, induziert es dadurch ein elektrisches Feld und umgekehrt. (Elektrisches und Magnetfeld sind in Phase und stehen senkrecht aufeinander.) Um die Struktur des ausgestrahlten Feldes quantitativ zu verstehen, denke man sich Kugeln um den Oszillator gelegt, deren Achse mit der Stabrichtung zusammenfällt. In der Nah- und in der Fernzone liegen die elektrischen Feldlinien im Wesentlichen in den Meridianen, die magnetischen in den Breitenkreisen dieser Kugel. Der PoyntingVektor S = E H zeigt also überall radial nach auß en; er kennzeichnet ja die Flussdichte der abgestrahlten Energie. Durch zwei konzentrische Kugeln muss die gleiche Gesamtenergie ‡ieß en, da ja zwischen den Kugeln keine Energiequelle sitzt. Die Poynting-Vektoren an zwei entsprechenden Stellen einer Kugel müssen sich daher verhalten wie ihre reziproken Ober‡ächen: S r 2 . Da E und H wiederum einander proportional sind, muss jedes von ihnen mit dem Abstand abnehmen wie r 1 : S = EH r 2 ;H E r 1 : Zur Abhängigkeit der Feldstärke vom Ort auf der Kugel gilt Folgendes: Aus Symmetriegründen ist die Feldstärke symmetrisch gegenüber Rotationen auf der Achse, es gibt also keine Längenabhängigkeit. Eine Breitenabhängigkeit muss dagegen vorhanden sein. Wäre z.B. das elektrische Feld an den Polen so großwie am Äquator, so würde dort, wo alle Feldlinien zusammen- bzw. auseinander laufen, eine Feldsenke bzw. -quelle anzusetzen sein. Da dort aber keine Ladungen sitzen, ist das unmöglich: E und damit auch H müssen nach den Polen hin abnehmen, und zwar genau wie das Feld des statischen Dipols mit sin#. Ihr Produkt S geht sogar mit sin2 #. Bemerkung 37 Die Ausbreitungsgesetze der elektromagnetischen Wellen gelten in allen Inertialsystemen, d. h., dass in jedem Koordinatensystem, das sich mit beliebiger Geschwindigkeit gleichförmig translatorisch (ohne Drehung) gegen das Inertialsystem der Fixsterne bewegt, für die Ausbreitung nach allen Richtungen im Vakuum die gleiche Geschwindigkeit c beobachtet wird (Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit). 10.3.4 Energie‡uss in der Elementarwelle, Strahlungswiderstand Durch die elektromagnetische Welle wird Energie transportiert. Die räumliche Dichte der gespeicherten Energie ist 1 1 2 "0 kEk + kHk 2 2 0 Die durch eine Kugel‡äche vom Radius r nach auß en ‡ieß ende Leistung ist w= P = 2 2 I Z0 3 l 2 ist unabhängig vom Radius r der Kugel, da wir den Raum als vollkommen isolierend vorausgesetzt haben, und infolgedessen keine Verluste an Energie durch Umwandlung in Wärme entstehen. 110 KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Abbildung 10.5: Lineare Antenne Abbildung 10.6: Strom-, Spannungsverteilung auf Antenne 10.4 Lineare Antennen Die beim Hertzschen Dipol gefundenen Zusammenhänge kann man auf die Strahlung von linearen Antennen anwenden. Auf jeder Antenne stellt sich nach dem Anlegen der Wechselspannung eine wellenförmige Stromverteilung ein, ähnlich wie bei einer Leitung. An irgendeiner Stelle x der Antenne sei Ix , die komplexe Stromstärke. Die von den einzelnen Längenelementen herrührenden Beiträge der Feldstärke setzen sich im Punkt P zusammen4 . Bei einem elektrischen Schwingkreis für Frequenzen bis zu einigen zehn MHz bleibt das elektrische Feld praktisch auf den Kondensator und das magnetische auf die Spule beschränkt. Um die Resonanzfrequenz zu erhöhen, muss man C und L so sehr verkleinern, dass man schließ lich gar nicht mehr eine Spule zu wickeln oder Platten an die Drahtenden zu löten braucht, sondern dass der Leitungsdraht selbst schon Kapazität und Induktivität genug hat. Elektrisches und magnetisches Feld umgeben dann den gesamten Draht und sind räumlich nicht mehr getrennt (Abbildung 10.5 ). Abbildung 10.6 zeigt die Strom- und Spannungsverteilung auf der linearen Antenne. Das Strommaximum wird erreicht, wenn die Eigenfrequenz der Antenne mit der Sendefrequenz übereinstimmt, die Länge der Antenne ist dann =2:5 Der Resonanze¤ekt beim linearen Oszillator ist wegen der Energieverluste durch die Abstahlung deutlich schwächer ausgebildet als beim diskreten Schwingkreis. 4 Die einzelnen Beiträge sind Vektoren mit Zeigerchrakter und müssen entspechend zusammengesetzt werden (Integration über die Antennenlänge). 5 Bei einem UKW-Sender mit 100 MHz ist die Wellenlänge = c=f = 3 m. Teil IV Elektrotechnische Grundlagen 111 Kapitel 11 Elektrische Bauelemente Inhalt 11.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 11.1.1 Netzwerke, Ströme und Spannungen . . . . . . . . . . . . . . 114 11.1.2 Unabhängige Spannungs- und Stromquellen . . . . . . . . . . 115 11.1.3 Zählpfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 11.2 Die Kirchho¤’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 116 11.3 Ideale Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11.3.1 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11.3.2 Idealer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11.3.3 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.3.4 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 11.3.5 Spannung und Strom an L und C bei Schaltvorgängen . . . . 122 11.3.6 Schreibweise der Netzwerkgleichungen . . . . . . . . . . . . . 123 11.4 Präzisere Modelle der Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . 124 11.4.1 Spannungsquelle mit Innenwiderstand . . . . . . . . . . . . . 124 11.4.2 Ersatzschaltbild für den Kondensator . . . . . . . . . . . . . 125 11.4.3 Ersatzschaltbild für die Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.1 Einführung Signale werden durch Variation physikalischer Größ en repräsentiert, diese Größ en können verändert, gespeichert und übertragen werden. Elektrische und magnetische Größ en sind besonders gut veränderbar, übertragbar und speicherbar und haben daher eine überragende technische Bedeutung. Elektrische und magnetische Vorgänge treten in Form von beweglichen Ladungen sowie von elektrischen und magnetischen Feldern auf. Für eine genaue Analyse müssten diese physikalischen Erscheinungen genau nach Ort und Zeit erfasst werden, was in den meisten Fällen aber zu schwierig und häu…g nicht durchführbar ist. Die Berechnung der Feldgleichungen ist meistens auch nicht erforderlich, da nur bestimmte Aspekte des Feldes und integrale Größ en wie Spannung und Strom interessieren. Daher wurde eine eigene Theorie entwickelt, die auf diesen integralen Größ en aufbaut.Das war übrigens auch der in der physikalischen Forschung eingeschlagene Weg. Man abstrahiert Beobachtungen und Messungen in Form von Modellen, je genauer die tatsächlichen Vorgänge nachgebildet werden sollen, desto komplizierter sind die Modelle. Wegen der besseren Übersichtlichkeit und der einfacheren Berechenbarkeit ist man daran interessiert möglichst einfache Modelle zu …nden, die nur die wesentlichen Zusammenhänge beschreiben. Die idealen 113 Statt den Verlauf elektromagnetischer Felder direkt zu berechnen, werden Modelle eingeführt, die sich nur auf bestimmte Aspekte der Felder und integrale Größ en wie Spannung oder Strom beschränken. 114 KAPITEL 11. ELEKTRISCHE BAUELEMENTE Abbildung 11.1: Netzwerkanalyse Abbildung 11.2: Idealisierte Schaltung elektrischen Bauelemente und die mit ihnen gebildeten elektrischen Netzwerke sind solche Modelle und bilden die Basis für die Netzwerktheorie. Bei der Untersuchung von Netzwerken gibt es zwei Arten von Aufgabenstellungen: Netzwerkanalyse Gegeben ist eine Anordnung von miteinander verbundenen Bauelementen, das Netzwerk N , an das ein Eingangssignal x(t) angelegt wird. Gesucht ist das Ausgangssignal y(t). Diese Aufgabe nennt man Netzwerkanalyse. Abbildung 11.1 zeigt ein Beispiel. Netzwerksynthese Gegeben ist das Eingangssignal x(t) und ein gewünschtes Ausgangssignal y(t), gesucht ist das Netzwerk N . Diese Aufgabe nennt man Netzwerksynthese. Schließ lich gibt es noch die Aufgabe zu einem gegebenen Netzwerk N und dem Ausgangssignal y(t), das Eingangssignal zu ermitteln. Diese Aufgabe hat keinen eignen Namen und tritt vor allem in der Messtechnik auf, wobei das Messgerät durch das » Netzwerk« N modelliert wird. 11.1.1 Netzwerke, Ströme und Spannungen Das Beispiel in Abbildung 11.2 soll in die Begri¤swelt einführen. Wir haben eine Batterie, die über Schalter und Kabel mit einer Lampe verbunden ist. In der Batterie …nden komplizierte elektrochemische Vorgänge statt, wir können aber die Spannung an den Klemmen der Batterie leicht messen. Wird der Schalter geschlossen, ‡ieß t elektrische Ladung (Elektronen) durch die Kabel, die Lampe wird warm und leuchtet. Die Kabel bestehen aus einem isolierten sehr guten elektrischen Leiter (Kupfer). Die Elektronen können gut im Leiter ‡ieß en (dem Ladungs‡uss wird nur ein sehr kleiner Widerstand entgegengesetzt), nicht aber in der Isolierung. Der Leuchtfaden der Glühlampe besteht aus einem sehr dünnen wendelförmig aufgrollten Wolframdraht. Der Wolframdraht setzt dem Ladungs‡uss einen groß en Widerstand entgegen (die Elektronen kollidieren mit den Wolframatomen), der Draht wird heißund beginnt zu glühen. (Wolfram kann hohen Temperaturen standhalten, das ist der Grund dafür, dass der Wolframdraht glüht und erst nach längerer Zeit » durchbrennt« .) Die dabei von der Quelle an die Lampe abgegebene Leistung (in Form von Wärme und Licht) ist gleich dem Produkt des elektrischen Stroms (Ladungen/Zeiteinheit) und der Spannung an der Batterie. Die tatsächlichen Zusammenhänge in der Batterie, beim Strom‡uss durch den Leiter und in der Lampe sind sehr kompliziert. Wir können aber die wesentlichen Zusammenhänge durch eine einfache elektrische Schaltung, bestehend aus Spannungsquelle, Schalter 11.1. EINFÜHRUNG 115 Abbildung 11.3: Schaltsymbole für Spannungs- und Stromquellen und Widerstand (Lampe) beschreiben. Die Drähte werden als Linien gezeichnet, die die Lampe (widerstandsfrei) mit der Spannungsquelle verbinden. Elektrische Schaltkreise verhalten sich ähnlich wie Wasserleitungssysteme: Die Batterie entspricht der Pumpe, die die Ladung –das Wasser –in Bewegung setzt. Die Leiter – meistens Kupferdrähte – durch die der elektrische Strom ‡ieß t, entsprechen den (reibungsfreien) Rohren, durch die das Wasser ‡ieß t. Die elektrische Spannung entspricht dem Druck der Pumpe. Die Lampe (der elektrische Widerstand) entspricht einer Einengung in einem Wasserrohr in der durch Turbulenzen Energie in Wärme umgewandelt wird. Der Strom ist ein Maßfür den Fluss von Ladung durch den Querschnitt der Netzwerkelements, während die Spannung über den Enden (zwischen den Enden) des Netzwerkelements gemessen wird. Die Leistung ist das Produkt der Flussgröß e Strom mit der Abfallgröß e Spannung. 11.1.2 Analogie Schaltkreis Wasserleitungssystem: - Draht . . . . . . . . . . . . . . . . Rohr Ladung . . . . . . . . . . . . Wasser Quelle . . . . . . . . . . . . . Pumpe Widerstand Rohreinengung Spannung . . . . Wasserdruck Strom . . . . . . . . . . Durch‡uss Unabhängige Spannungs- und Stromquellen Zur Aufrechterhaltung des Stromes in einer Schaltung müssen Quellen vorhanden sein, die die im Stromkreis ‡ieß enden Elektronen und Energie in das Netzwerk liefern. Genau genommen handelt es sich bei den Quellen nicht um Energieerzeuger sondern um Energieumwandler. In einem Akkumulator wird beispielsweise chemische Energie in elektrische Energie umgewandelt, diese elektrische Energie wird im ohmschen Widerstand wiederum in Wärmeenergie umgewandelt. Eine ideale Gleichspannungquelle ist ein Schaltelement, dessen Quellspannung unabhängig von der angeschlossenen Last (vom durch‡ieß enden Strom) ist. Die ideale Spannungsquelle ist nur ein Modell einer Spannungsquelle und entspricht nicht der physikalischen Wirklichkeit. Wenn der an die Quelle angeschlossene Widerstand kleiner und kleiner wird, steigt der Strom immer mehr an und damit die Leistungsabgabe der Quelle. Jede reale Quelle hat eine Grenze bei ihrer Stromlieferfähigkeit. Akkumulatoren oder elektronische Netzgeräte kommen aber im Betriebsbereich einer idealen Quelle sehr nahe. Die elektrische Spannung wird in Volt (V), der Strom in Ampere (A) und der elektrische Widerstand in Ohm ( ) gemessen. Eine ideale Gleichspannungsquelle hat folgende Eigenschaften: Die Ausgangsspannung ist unabhängig vom angeschlossenen Netzwerk. Im Falle eines angeschlossenen ohmschen Widerstands stellt sich der Strom I = UQuelle =R ein, für R ! 0 (Kurzschluss) wird I ! 1: Eine ideale Gleichstromquelle hat die Eigenschaften: Der Ausgangsstrom ist unabhängig vom angeschlossenen Netzwerk. Im Falle eines angeschlossenen ohmschen Widerstands stellt sich die Spannung U = IQuelle R ein, für R ! 1 (Leerlauf) wird U ! 1. Für Spannungs- und Stromquellen werden die Symbole der Abbildung 11.3 verwendet. Spannung und Strom von idealen Quellen kann auch zeitlich veränderlich sein. Die Spannung einer idealen Spannungsquelle ist unabhängig vom durch‡ieß enden Strom. Solche Quellen gibt es in der Wirklichkeit nicht. Größ e Einheit Spannung (U) . . . . Volt (V) Strom (I) . . . . . Ampere (A) Widerstand (R) . . Ohm ( ) 116 KAPITEL 11. ELEKTRISCHE BAUELEMENTE Abbildung 11.4: Erzeuger- (links) und Verbraucher- (rechts) Zählpfeilsystem Abbildung 11.5: Knotenregel 11.1.3 Zählpfeile geben die Richtungen für Strom und Spannung im Modell an, unabhängig von der wirklichen physikalischen Richtung. Größ e Einheit Leistung (P) . . . . Watt (W) Die Quellen sind die Ursache für den Strom‡uss und die Spannungsabfälle im Netzwerk. Bei komplizierten Netzwerken ist die Richtung von Strom und Spannung nicht von vornherein klar, sondern muss erst durch die Netzwerkanalyse ermittelt werden. In Schaltungen werden Strom und Spannung durch Zählpfeile1 (beliebige) Richtungen gegeben, die Netzwerkanalyse liefert die tatsächliche Richtung. (Falls sie mit der Richtung des Zählpfeils nicht übereinstimmt, ist der Wert der entsprechenden Größ e negativ.) Ein durch einen Verbraucher ‡ieß ender Strom I erzeugt einen Spannungsabfall U , Strom und Spannung zeigen in dieselbe Richtung, die im Verbraucher umgesetzte Leistung ist P = U I. Die Leistung wird in Watt (W) gemessen. In unserem mechanischen Analogon bedeutet das, dass Wasser der Schwerkraft folgt und daher bergab ‡ieß t. Man spricht in diesem Fall vom Verbraucher-Zählpfeilsystem. In Quellen wird der aus der positiven Klemme heraus‡ieß ende Strom positiv gezählt, Strom und Spannung haben daher die entgegengesetzte Richtung, man spricht vom Erzeugerpfeilsystem. In unserem mechanischen Analogon bedeutet das, dass Wasser in der Pumpe bergauf ‡ieß t. Die Leistung des Erzeugers P = U I ist negativ und damit an den physikalischen Hintergrund angepasst, dass der Generator Energie liefert, der Verbraucher Energie aufnimmt und der gesamte Energieumsatz Null sein muss. Abbildung 11.4 stellt die Zusammenhänge dar. 11.2 Die Kirchho¤’che Knotenregel: Die Summe aller in einen Knoten ‡ieß enden Ströme ist gleich Null. Zählpfeile Die Kirchho¤’schen Gleichungen Ein Knoten in einem elektrischen Netzwerk ist ein Punkt, an dem zwei oder mehr Netzwerkelemente verbunden sind. Die Kirchho¤ ’sche Knotenregel besagt, dass die Summe aller Ströme in einen Netzwerkknoten Null sein muss. X I=0 (11.1) Die Zählrichtung der Ströme ist entsprechend Abbildung 11.5 frei wählbar, Ia Ib + Ic = 0; in den Knoten ‡ieß ende Ströme sind positiv, aus dem Knoten ‡ieß ende negativ2 . 1 Strom und Spannung sind skalare Größ en, in Schaltungen werden ihnen durch Zählpfeile Richtungen zugeordnet. Diese Pfeile geben lediglich die Richtung des Strom‡usses durch das Bauelement bzw. des Spannungsabfalls am Bauelement an und sind keine Vektoren. 2 Ebenso könnten aus dem Knoten ‡ieß enden Ströme positiv, in den Knoten ‡ieß ende Ströme negativ gezählt werden. Eine einmal festgelegte Vereinbarung muss aber innerhalb des gesamten Netzwerks einheitlich angewendet werden! 11.2. DIE KIRCHHOFF’SCHEN GLEICHUNGEN 117 Abbildung 11.6: Zählpfeile Abbildung 11.7: Maschenregel Zu einem physikalischen Verständnis gelangen wir, in dem wir mikroskopisch vom elektrischen Strom als Fluss von elektrischen Ladungen ausgehen. Ladung pro Zeiteinheit ist gleich dem Strom. Die elektrische Ladung3 wird in Coulomb (C) gemessen. Q (11.2) t Die Ladungen bleiben erhalten und können sich im Knoten nicht anhäufen, daher muss die Summe der zu‡ieß enden Ladungen gleich der Summe der ab‡ieß enden Ladungen sein. Größ e Einheit Ladung (Q) . . Coulomb (C) I= Beispiel 38 Interessehalber wollen wir berechnen was passieren würde, wenn sich Ladungen im Knoten anhäuften. Wir nehmen an, dass sich eine Ladungsmenge von 1 C in einem Knoten anhäuft. Da das Netzwerk nach auß en ungeladen bleiben muss, nehmen wir an, dass sich an einem anderen Knoten die Ladung 1 C anhäuft. Wir wollen annehmen, dass die Knoten sich in einem Abstand von einem Meter be…nden. Die Kraftwirkung zwischen diesen Ladungen wäre nach dem Coulomb’schen Gesetz 1 Q1 Q2 1 = = 8:89 109 N 2 4 "0 r 4 8:854 10 12 Das entspricht dem Gewicht von rund 300.000 LKW-Zügen! F = Eine Masche in einem elektrischen Netzwerk ist ein geschlossener Pfad, der ausgehend von einem Knoten des Netzwerks über mehrere Bauelemente zum Ausgangsknoten zurückkehrt. Die Kirchho¤ ’sche Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer Masche Null sein muss. X U =0 (11.3) Die Zählrichtung der Spannungen ist entsprechend Abbildung 11.6 beliebig wählbar, U + u1 u4 + u5 = 0. Die Kirchho¤’sche Maschenregel folgt aus dem Satz der Erhaltung von der Energie. Abbildung 11.7 zeigt drei in Serie geschaltete Bauelemente A,B,C, durch die der Strom i ‡ieß t. Die in den Bauelementen umgesetzte Leistung ist gegeben durch pa = ua i; pb = ub i; pc = uc i. Die Summe der Leistungen im Netzwerk muss nach dem Energieerhaltungssatz Null sein, pa + pb + pc = 0 und wir erhalten ua i + ub i + uc i = 0, woraus 3 Im elektrischen Leiter stehen die Ladungen in Form von Elektronen zu Verfügung. Die Ladung eines Elektrons beträgt 1:602 10 19 C. Die Kirchho¤’che Maschenregel: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich Null. 118 KAPITEL 11. ELEKTRISCHE BAUELEMENTE Abbildung 11.8: Schaltzeichen für gesteuerte Quellen folgt, dass ua + ub + uc = 0, was aber nichts anderes als die Summe der Spannungen in der Masche ist. Es ist zu beachten, dass bei der Aufstellung der Kirchho¤’schen Maschengleichungen die Zählpfeilsysteme für Erzeuger und Verbraucher eingehalten werden, bei Verbrauchern zeigen Strom und Spannung in dieselbe Richtung, bei Erzeugern in die entgegengesetzte Richtung. Die Erzeuger liefern also eine » negative Leistung« . 11.3 Ideale Bauelemente Bauelemente mit zwei Anschlusspunkten (z.B. R; L; C; U; I) bezeichnet man in der Elektrotechnik als Zweipole, Bauelemente mit vier Anschlusspunkten (z.B. gesteuerte Quellen) nennt man Vierpole. 11.3.1 Gesteuerte Quellen Neben den unabhängigen Spannungs- und Stromquellen nach Abbildung 11.3 gibt es noch gesteuerte Spannungs- und Stromquellen. Abbildung 11.8 zeigt die Schaltsymbole der gesteuerten Quellen, wobei wir spannungs- und stromgesteuerte Spannungsquellen und spannungs- und stromgesteuerte Stromquellen unterscheiden müssen. Die gesteuerten Quellen haben vor allem im Bereich der Verstärkertechnik und analogen Signalverarbeitung Bedeutung und wir werden in diesen Kapiteln noch darauf zurückkommen. 11.3.2 Ohm’sches Gesetz: Der Spannungsabfall (U) am Widerstand (R) ist direkt proportional zum durch‡ieß enden Strom (I). U =R I Idealer Widerstand Bei idealen Widerständen ist der Spannungsabfall (= die entstandene Spannung) am Widerstand proportional zum Strom durch den Widerstand. U =R I Diesen Zusammenhang nennt man Ohm’sches Gesetz, die Proportionalitätskonstante R – der ohmsche Widerstand – wird in Ohm ( ) gemessen. Der ohmsche Widerstand eines zylindrischen Leiters ist abhängig von der Länge L und dem Querschnitt A des Leiters, sowie dem Material des Leiters, ausgedrückt durch die Materialkonstante . Je länger der Leiter desto größ er der Widerstand (daher lange Zuleitungen vermeiden), je kleiner der Querschnitt desto größ er ist der Widerstand (daher bei Starthilfekabeln keinen Klingeldraht verwenden). R= Der Widerstand eines homogenen Zylinders hängt von der Länge, dem Querschnitt und dem verwendeten Material ab. (11.4) L A (11.5) Den Proportionalitätsfaktor (die Materialkonstante) nennt man spezi…scher Wider- 11.3. IDEALE BAUELEMENTE 119 Abbildung 11.9: Kapazität und Schaltzeichen stand, er beträgt bei Kupfer (nach Silber dem besten elektrischen Leiter) Cu = 1:72 10 8 m, bei Glas Glas = 1 1012 m.4 Dieses mathematische Modell des idealen Widerstands berücksichtigt die geometrischen Abmessungen L; A und die Materialkonstante . Der Ein‡uss der Temperatur des Leiters auf den elektrischen Widerstand wird vernachlässigt. Anmerkung 39 Mathematische Modelle der Physik sind nicht beweisbar im Sinne eines mathematischen Beweises. Die Überprüfung kann nur durch das Experiment erfolgen! Die im Widerstand umgesetzte Leistung ist P =U I bzw. p(t) = u(t)i(t) (11.6) Unter der Annahme eines konstanten Widerstandes R erhalten wir nach Einsetzen in das Ohm’schen Gesetz P = U2 R bzw. p(t) = u2 (t) R (11.7) Anmerkung 40 Betrachtet man u(t) in (11.7) als die physikalische Ausprägung eines Signals (was in technischen Anwendungen meistens der Fall ist), so sieht man, dass die De…nition der Signalleistung in Abschnitt 3.4 als proportional zum Quadrat der Amplitude vernünftig ist. P; U; I sind zeitlich unveränderliche Größ en (Gleichspannung und Gleichstrom), p; u; i sind zeitlich veränderliche Größ en.5 11.3.3 Kapazität Während Widerstände Energie nur in Wärme umsetzen, können Kondensatoren (und Spulen) elektrische Energie speichern. Kondensatoren sind technische Bauelemente, ideale Kondensatoren bezeichnen wir als Kapazitäten. Die Abbildung 11.9 zeigt eine Kapazität und ihr Schaltungssymbol. Elektrisch leitende Platten der Fläche A sind im Abstand d durch eine nichtleitendes Material voneinander isoliert. Die Kapazität dieser Anordnung beträgt A (11.8) d sie wird größ er, wenn die Fläche größ er wird oder wenn der Abstand kleiner wird. Die Proportionalitätskonstante " nennt man Dielektrizitätskonstante6 , die materialabhängig und dimensionslos ist. "0 = 8:85 10 12 VAms ist die In‡uenzkonstante, die eine Naturkonstante ist. Die Kapazität wird in Farad (F) gemessen. Wie Abbildung 11.10 zeigt, sammeln sich Ladungen an den gegenüberliegenden Platten der Kapazität an, wenn Strom ‡ieß t. Ein Flüssigkeitsäquivalent der Kapazität wäre Größ e Einheit Kapazität (C) . . . Farad (F) C = ""0 4 Der Widerstandsunterschied zwischen dem Leiter Kupfer und dem Nichtleiter Glas beträgt 20 Zehnerpotenzen, die technologisch beherrscht werden können: Einer der Gründe für den besonderen Stellenwert der Elektrotechnik in der Informationstechnik. 5 In der Elektrotechnik werden unveränderliche Größ en in der Regel mit Groß buchstaben, veränderliche Größ e mit Kleinbuchstaben bezeichnet. 6 Die Dielektrizitätskonstante ist Vakuum (1), Glas (5-10) und Wasser (81), überstreicht also im Vergleich zum spezi…schen Widerstand nur einen sehr kleinen Bereich. Eine Kapazität speichert Energie im elektrischen Feld. 120 KAPITEL 11. ELEKTRISCHE BAUELEMENTE Abbildung 11.10: Mechanisches Analogon zur Kapazität Abbildung 11.11: Au‡aden der Kapazität ein Behälter mit einer Membran. Die Flüssigkeit strömt in den Behälter und lenkt die Membran aus. Wenn der Druck der Membran dem Druck des Wassers entspricht, hört der Fluss auf. Nimmt man den Druck des Wassers weg, dann wird die Membran das Wasser aus dem Behälter drücken, bis sie in der Ausganglage ist. Die Membran » speichert« Energie und gibt sie wieder ab. Ähnlich verhält sich die Kapazität. Es ‡ieß t Strom, der Kondensator lädt sich auf7 . Wenn der » Druck« an der Kapazität soweit angestiegen ist, dass er dem » Wasserdruck« entspricht, ist der Kondensator auf die am Bauelement angelegte Spannung aufgeladen und der der Strom‡uss hört auf. Verbindet man die Platten der aufgeladenen Kapazität mit einem Widerstand, ‡ieß t die Ladung von den Platten über den Widerstand ab und die Kapazität entlädt sich zum Ausgangszustand (Spannung Null). Die in der Kapazität gespeicherte Energie wird an den Widerstand abgegeben. Die im Kondensator gespeicherte Ladung ist proportional zur Spannung, auf die der Kondensator aufgeladen ist. Die Kapazität C ist die Proportionalitätskonstante. Q=C U (11.9) Der elektrische Strom ist de…niert als Ladung pro Zeit8 , der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Kapazität ist daher ic = dq du =C dt dt (11.10) Die in einer Kapazität gespeicherte elektrischen Energie ist Wc = 1 1 CU 2 = QU 2 2 (11.11) Beispiel 41 Als Beispiel berechnen wir den Au‡adevorgang einer Kapazität wie in Abbildung 11.11 dargestellt.Wir nehmen an, dass die Kapazität ungeladen ist. Zum Zeitpunkt t = 0 schließ en wir den Schalter. Zur Berechnung des Stroms wenden wir die Kirchho¤ ’sche Knotenregel auf den durch R und C gebildeten Knoten an und erhalten aus c (t) =0 iR iC = 0: uRR(t) C dudt Für die Spannung uR am Widerstand können wir aufgrund der Maschenregel uR (t) = 7 Der Strom‡uss durch den Kondensator, insbesondere durch das Vakuum, lässt sich nur mit dem Verschiebestrom der Maxwell’schen Gleichungen erklären. 8 Die elektrische Ladung ist nur sehr schwer messbar, man verwendet daher im SI-Einheitensystem Länge, Zeit, Masse und elektrischen Strom als Grundgröß en. 11.3. IDEALE BAUELEMENTE 121 U C C i (t) u (t) U/R 0.5 0.5 0 0 0 2 4 Zeit t 6 8 0 2 4 Zeit t 6 8 Abbildung 11.12: Strom- und Spannungsverlauf beim Laden einer Kapazität Abbildung 11.13: Schaltungssymbol der Induktivität U uc (t) einsetzen und erhalten nach Umformung C duc (t) uc (t) U + =0 dt R =) RC duc (t) + uc (t) = U dt (11.12) Gleichung (11.12) ist eine Di¤ erentialgleichung 1. Ordnung mit der Lösung uc (t) = U (1 e 1 RC t ) (11.13) Den zeitlichen Verlauf von Spannung und Strom an der Kapazität zeigt Abbildung 11.12. 11.3.4 Induktivität Spulen werden durch Aufwickeln von leitenden Drähten wie in Abbildung 11.13 gezeigt hergestellt. Der durch den Draht ‡ieß ende Strom erzeugt ein magnetisches Feld das mit der Spule verbunden ist. Die ideale Spule nennen wir Induktivität. Die Induktivität wird in Henry (H) gemessen. Bei der Induktivität besteht zwischen Strom und Spannung der Zusammenhang diL (11.14) dt Der Spannungsabfall an der Induktivität ist proportional der Stromänderung. Der Proportionalitätsfaktor L kann über – in der Regel komplizierte – Berechnungen des magnetischen Feldes bzw. magnetischen Flusses berechnet werden. Die Flüssigkeitsanalogie für die Induktivität ist die Trägheit der Flüssigkeitssäule in einer reibungslosen Leitung konstanten Durchmessers. Der Druckunterschied zwischen den Enden der Leitung entspricht der Spannung, die Durch‡ussmenge dem Strom, Zuoder Abnahme (Beschleunigung) der Durch‡ussmenge entsprechen der Stromänderung. Eine Druckdi¤erenz zwischen den Enden der Leitung existiert nur dann, wenn die Durch‡ussmenge zu- oder abnimmt. Die in einer Spule gespeichert Energie ist Größ e Einheit Induktivität (L) Henry (H) uL = L WL = 1 2 LI 2 (11.15) Eine Induktivität speichert Energie im magnetischen Feld. 122 KAPITEL 11. ELEKTRISCHE BAUELEMENTE Abbildung 11.14: Einschalten einer Induktivität U L L i (t) u (t) U/R 0.5 0,5 0 0 0 2 4 Zeit t 6 8 0 2 4 Zeit t 6 8 Abbildung 11.15: Strom- und Spannungsverlauf beim Einschalten einer Induktivität Beispiel 42 Als Beispiel berechnen wir den Einschaltstrom einer Induktivität nach Abbildung 11.14Wir wenden die Kirchho¤ ’sche Maschenregel an und erhalten aus U + uR + uL = 0 U + i(t)R + L diL (t) =0 dt L diL (t) U + i(t) = R dt R =) (11.16) Die Di¤ erentialgleichung (11.16) hat die Form von (11.12) und wir erhalten als Lösung iL = U (1 R e L Rt ) (11.17) Den zeitlichen Verlauf von Spannung und Strom an der Induktivität zeigt Abbildung 11.15 11.3.5 Spannung und Strom an L und C bei Schaltvorgängen Aus den Abbildungen 11.12 und 11.15 können wir folgendes Verhalten erkennen: Die Energie (und damit auch die Spannung) einer Kapazität kann sich nicht sprunghaft ändern. Beim Einschalten der Kapazität ist die Spannung an der Kapazität unmittelbar nach dem Einschalten Null, da sich die Kapazität erst au‡aden muss (Das elektrische Feld der Kapazität kann sich nicht sprunghaft ändern, sondern muss sich erst aufbauen.): Die Energie (des elektrischen Felds) von C kann nicht sprunghaft zunehmen. Unmittelbar nach dem Einschalten verhält sich C daher wie ein Kurzschluss und der Einschaltstrom zum Zeitpunkt t0+ ist i0+ = U=R. Wenn C geladen ist, dann ‡ieß t kein Strom und die Spannung an C wird U . Die Energie der Kapazität steckt im elektrischen Feld. Die Energie (und damit auch der Strom) einer Induktivität kann sich nicht sprunghaft ändern. Beim Einschalten der Induktivität ist der Strom unmittelbar nach dem Einschalten Null, da sich die Induktivität erst » au‡aden« muss (Das magnetische Feld der Induktivität muss sich erst aufbauen.): Die Energie (des magnetischen Felds) von L kann nicht sprunghaft zunehmen. Unmittelbar nach dem Einschalten verhält sich L daher wie eine Unterbrechung. Die Spannung an L zum Zeitpunkt t0+ ist uL0+ = U . Wenn L » geladen« ist, wird die Spannung an L Null und es ‡ieß t der Strom U=R. Die Energie der Induktivität steckt im magnetischen Feld. 11.3. IDEALE BAUELEMENTE 11.3.6 123 Schreibweise der Netzwerkgleichungen Für die auftretenden Di¤erentialquotienten führen wir folgende Schreibweise ein di = si mit s = + j! (11.18) dt Damit erhalten wir folgende Beziehungen, wobei wir für die Variablen der Funktionen von s Groß buchstaben verwenden di(t) U (s) ) U (s) = LsI(s) ) I(s) = (11.19) dt Ls I(s) duc (t) ) I(s) = CsU (s) ) U (s) = (11.20) i(t) = C dt Cs Während bei zeitlich veränderlichen Größ en zur Darstellung der Netzwerkvariablen Kleinbuchstaben verwendet werden, werden für die Darstellung in s Groß buchstaben verwendet. Den Parameter s werden wir noch ausführlich erörtern. Vorläu…g lässt er sich folgendermaß en erklären: u(t) = L Als Operator für Di¤erentiation und Integration im Sinne der Gleichung (11.18). Eine in s geschriebene Gleichung kann jederzeit in eine Di¤erentialgleichung umgewandelt werden. Als unabhängige Variable (komplexe Frequenz). Die in s geschriebene algebraische Gleichung stellt die Laplace-Transformierte9 der entsprechenden Di¤erentialgleichungen für energielosen Anfangszustand dar. Zum Au¢ nden der Zeitfunktion ist die Rücktransformation in den Zeitbereich (inverse Laplace-Transformation) erforderlich. Als Frequenzvariable für den Erregeranteil der Netzwerkantwort bei der Erregung mit der Zeitfunktion est . Für s = j! wird der Erregeranteil bei stabilen Netzwerken zum stationären Anteil und die Gleichungen entsprechen vollständig den Beziehungen der komplexen Wechselstromrechnung. Bei Netzwerken die aus R; L; C; wie in den Abbildungen 11.11 und 11.14, aufgebaut sind, entstehen (lineare) Di¤erentialgleichungen (mit konstanten Koe¢ zienten) für die gesuchten Ströme und Spannungen. Die Lösung dieser Di¤erentialgleichungen ergibt den zeitlichen Verlauf von Strömen und Spannungen wie beispielsweise in (11.13) und (11.17) gezeigt. Die direkte Lösung der Di¤erentialgleichungen – Lösung im Zeitbereich genannt – wird für die Berechnung linearer elektrischer Netzwerke (linearer Systeme) kaum angewendet, da sie zu umständlich und aufwändig ist10 . Man bedient sich zur Lösung der Di¤erentialgleichungen der Laplace-Transformation. Die Laplace-Transformation stellt einen Übergang vom Zeitbereich (Originalbereich in der Mathematik) in den Frequenzbereich (Bildbereich in der Mathematik) dar, man spricht daher von der Lösung im Frequenzbereich. Neben der Lösung der Di¤erentialgleichungen bietet die Frequenzbereichsdarstellung noch weitere vorteilhafte Möglichkeiten zur Darstellung von Systemeigenschaften, wie zum Beispiel bei der Untersuchung von Stabilitätseigenschaften eines Netzwerks. Selbst bei einfachen Erregungsfunktionen wie Impuls oder Sprung löst man die Di¤erentialgleichungen selten direkt, sondern benutzt die Laplace-Transformation. Die LaplaceTransformation ist die wichtigste Methode zur Berechnung von Di¤erentialgleichungen die bei Netzwerken (bzw. ganz allgemein bei LTI-Systemen) auftreten. 9 Zum Unterschied von Funktionen, die einer Größ e x eine zweite Größ e y in eindeutiger Weise zuordnen, sind Transformationen mathematische Operationen die aus einer gegebenen Funktion (Originalfunktion) eine neue Funktion (Bildfunktion) erzeugen. Der Vorteil der Transformationen ist die einfachere Lösbarkeit eines Problems im Bildbereich. Z.B. werden Di¤erentialgleichungen durch die LaplaceTransformation zu algebraischen Gleichungen, die im Bildbereich einfach gelöst werden. Die Lösung im Originalbereich wird durch Rücktransformation aus dem Bildbereich gefunden. 1 0 Eine Ausnahme stellt die Beschreibung von Systemen im Zustandsraum dar. Die bei der Modellierung elektrischer Netzwerke entstandenen Di¤erentialgleichungen können mit Hilfe der LaplaceTransformation einfacher gelöst werden. 124 KAPITEL 11. ELEKTRISCHE BAUELEMENTE Abbildung 11.16: Ersatzschaltbild reale Spannungsquelle Abbildung 11.17: Belastete Quelle Reale Quellen haben einen endlichen Innenwiderstand. 11.4 Präzisere Modelle der Bauelemente 11.4.1 Spannungsquelle mit Innenwiderstand Legt man eine Last an eine reale Spannungsquelle an, dann bleibt die Spannung der Quelle bei zunehmendem Strom nicht konstant, sondern nimmt ab. Ein Ersatzschaltbild, das das Verhalten der Quelle besser modelliert, ist in Abbildung 11.16 gezeigt. Der maximale Strom der Spannungsquelle nach 11.16 beträgt Ikurz = U0 =Ri . Ri nennt man den Innenwiderstand der Quelle. Beispiel 43 Wir fragen uns, bei welchem Lastwiderstand die Quelle die maximale Leistung abgibt.Der Strom im Schaltkreis in Abbildung 11.17 ist I = U0 =(Ri + Rl ), die Leistungsaufnahme der Last ist Pl = Il2 R. Wir setzen ein und erhalten Pl = U02 Rl (Ri + Rl )2 (11.21) Die Leistung ist eine Funktion des Lastwiderstands Rl . Das Maximum erhalten wir durch Nullsetzen der ersten Ableitung dPl U 2 (Ri + Rl )2 2U02 Rl (Ri + Rl ) = 0 =0 dRl (Ri + Rl )4 (11.22) Wir lösen diese Gleichung und erhalten Ri = Rl (11.23) Die Quelle gibt die höchste Leistung Pl max = Uo2 =4Ri ab, wenn sie mit ihrem Innenwiderstand11 abgeschlossen ist. Bei der Netzwerkanalyse ist es gelegentlich vorteilhaft, Spannungsquellen in Stromquellen umzuwandeln, wie Abbildung 11.18 zeigt. (Die Abbildung 11.18 habe ich neu gezeichnet. Ich habe den Lastwiderstand und Pfeile für U dazugezeichnet.) Der Zusammenhang zwischen Spannung bzw. Strom der Quellen ist I0 = U0 Ri (11.24) 1 1 Wenn der Innenwiderstand der Quelle komplex ist, muss für Anpassung mit dem konjugiert komplexen Widerstand Zl = Zi abgeschlossen werden. 11.4. PRÄZISERE MODELLE DER BAUELEMENTE 125 Abbildung 11.18: Umwandlung Spannungs- in Stromquelle Abbildung 11.19: Ersatzschaltbild Kondensator I0 ist der Kurzschlussstrom der Spannungsquelle, U0 ist die Leerlaufspannung der Spannungsquelle. Die beiden Modelle einer Quelle sind äquivalent und können daher beliebig vertauscht werden. Sie haben nach auß en immer das gleiche Verhalten. Die Ausgangsspannung U ist (unabhängig vom gewählten Modell) eine Funktion des angeschlossenen Lastwiderstandes Rl (U0 ; I0 und Ri sind Konstanten) U = U0 Rl Ri Rl = I0 Ri + Rl Ri + Rl (11.25) Man sieht, dass bei Rl = 0 (Kurzschluss) die Spannung U ebenfalls Null wird und bei Rl ! 1 (Leerlauf) U ! U0 . 12 11.4.2 Ersatzschaltbild für den Kondensator Das einfache Schaltbild der Kapazität nach Abbildung 11.9 ist in vielen Fällen nicht ausreichend und man verwendet für den Kondensator kompliziertere Ersatzschaltbilder wie in Abbildung 11.19 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild modelliert Rs den Zuleitungswiderstand des Kondensators. Da jeder Strom ein Magnetfeld führt, müssen wir auch dieses Feld durch eine Induktivität Ls modellieren. Schließ lich hat jedes Dielektrikum einen endlichen ohmschen Widerstand, der durch Rp modelliert wird. 11.4.3 Ersatzschaltbild für die Spule Das einfache Schaltbild der Induktivität nach Abbildung 11.13 ist in den meisten Fällen für Spulen nicht ausreichend und man verwendet komplizierter Ersatzschaltbilder wie in Abbildung 11.4.3 gezeigt. Induktivitäten werden durch Aufwickeln von Draht gebildet, wie in Abbildung 11.13 schematisch gezeigt. Dieser Draht hat immer einen ohmschen Widerstand, der durch Rs modelliert wird. Zwischen den Wicklungen der Induktivität entsteht ein elektrisches Feld, das durch Cp modelliert wird. Die Wicklungen der Induktivität sind häu…g auf einem 1 2 Die Anwendung der Regel von de L’Hospital ist hier nötig. Die Spannungsquelle und die Stromquelle (Abb. 11.18) sind äquivalente Modelle. 126 KAPITEL 11. ELEKTRISCHE BAUELEMENTE Abbildung 11.20: Ladungsverteilung auf zwei Kapazitäten Reale Kondensatoren und Spulen werden durch kompliziertere Netzwerke von idealen Bauelementen modelliert. Ferrit-Stab oder -Ring aufgebracht. Durch Induktion ‡ieß en im Stab oder Ring Ströme, die zu Verlusten führen, die durch Rp modelliert werden. Beispiel 44 Bei der Beschreibung elektrischer Netzwerke mit Hilfe von idealen Bauelementen muss man immer in Erinnerung behalten, dass es sich um vereinfachte Modelle handelt, die nur die wesentlichen Zusammenhänge beschreiben. Das bekannte Beispiel in Abbildung 11.20 soll das verdeutlichen. Die Kapazität C1 sei auf die Spannung UC1 en wir den Schalter, so …ndet aufgeladen, ihre Energie ist daher WC1 = 12 C1 U12 . Schließ ein Ausgleich der Ladungen zwischen den beiden Kapazitäten statt, die Gesamtladung muss aber erhalten bleiben, Qges = Q1 + Q2 . Nach dem Schließ en des Schalters liegen die beiden Kapazitäten parallel und die Gesamtkapazität beträgt daher Cges = C1 + C2 : An den Kapazitäten stellt sich die Spannung U = Qges =Cges ein. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die beiden Kapazitäten gleich großsind, C1 = C2 = C. Wir erhalten dann für die Energie vor dem Schließ en des Schalters Wvor = 21 CU12 . Nach dem Schließ en des Schalters wird die Spannung an den Kapazitäten Unach = U1 =2, die Energie an U2 einer Kapazität also WC1 = 21 C1 (U1 =2)2 = 12 C1 41 , die Energie an beiden Kapazitäten ist daher doppelt so groß , also WC1 +C2 = 1 U12 Wvor C1 = 2 2 2 (11.26) Die Hälfte der Energie ist nach dem Schließ en des Kondensators verschwunden! Das für diese Überlegungen verwendete Modell führt o¤ ensichtlich zu einem Widerspruch. Man müsste daher die Leitung zwischen den Kapazitäten und den Schalter genauer modellieren, um zu einer Übereinstimmung zwischen Rechnung und physikalischer Wirklichkeit zu kommen. 11.5 Zusammenfassung Die genaue Analyse elektrischer Netzwerke ist nur über die Berechnung der mit dem Netzwerk verbundenen elektrischen und magnetischen Felder möglich. Diese Feldberechnung ist in der Regel nicht durchführbar, aber auch nicht notwendig. Man kann sich für die Untersuchung von Netzwerken auf die integralen Feldgröß en Spannung und Strom beschränken, die elektrischen Felder werden durch die Kapazitäten, die magnetischen Felder durch die Induktivitäten repräsentiert. Ströme und Spannungen im Netzwerk ergeben sich durch den Knoten- und Maschensatz, sowie durch die Bauelementbeziehungen. Damit gelangt man zu einer eigenständigen Theorie der elektrischen Netzwerke. 11.5. ZUSAMMENFASSUNG 127 Es darf nie vergessen werden, dass die elektrischen Netzwerke nur eine Annäherung an die physikalische Wirklichkeit darstellen. Durch entsprechend aufwändige Ersatzschaltungen kann aber das Verhalten eines Netzwerks in der gewünschten Genauigkeit beschrieben werden. 128 KAPITEL 11. ELEKTRISCHE BAUELEMENTE Kapitel 12 Elektrische Netzwerke Inhalt 12.1 Einfache Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Topologische Netzwerkbeschreibung . . . . 12.2.1 Schleifenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 132 133 133 134 136 Ströme und Spannungen in elektrischen Netzwerken berechnet man mit Hilfe der Kirchho¤’schen Gleichungen und der Bauelementbeziehungen. Bei einfachen Netzwerken kann das mit Handrechnung geschehen, für Netzwerke mit vielen Komponenten wird man sich entsprechender Netzwerkanalyseprogramme bedienen. 12.1 Einfache Netzwerke Serienschaltungen von R ,L und C nach Abbildung 12.1 lassen sich einfach über den Strom durch die Serienschaltung analysieren. Mehrere in Serie geschaltete Widerstände, Induktivitäten oder Kapazitäten lassen sich dabei durch ein äquivalentes Bauelement (das Ersatzbauelement) modellieren. Ein Strom i durch die Serienschaltung von Widerständen erzeugt an jedem Widerstand einen Spannungsabfall iR1 + iR2 + + iRn = u i(R1 + R2 + + Rn ) = u Rers = R1 + R2 + (12.1) + Rn Der Ersatzwiderstand Rers ist gleich der Summe aller Einzelwiderstände. Der gleiche Ansatz liefert für die Ersatzinduktivität einer Serienschaltung Lers ist die Summe aller Einzelinduktivitäten. L1 di di + L2 + dt dt (L1 + L2 + di =u dt di + Ln ) = u dt + Ln Lers = L1 + L2 + + Ln Bei Kapazitäten gilt i = Cdu=dt, daraus folgt u = von Kapazitäten erhalten wir 129 1 C R (12.2) idt. Für die Serienschaltung Serienschaltung: P Rers = R P Lers = L P1 1 Cers = C 130 KAPITEL 12. ELEKTRISCHE NETZWERKE Abbildung 12.1: Serienschaltung von R, L und C Abbildung 12.2: Parallelschaltung von R; L; C 1 u= C1 Parallelschaltung: P1 1 Rers = R P1 1 Lers = L P Cers = C Z 1 idt + C2 Z idt + 1 + Cn Z idt ) 1 1 1 = + + Cers C1 C2 + 1 (12.3) Cn Der Kehrwert der Ersatzkapazität der Serienschaltung von Kapazitäten ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten. Parallelschaltungen von R,L und C nach Abbildung 12.2 lassen sich einfach über die Spannung an der Parallelschaltung analysieren. Mehrere parallel geschaltete Widerstände, Induktivitäten oder Kapazitäten lassen sich dabei durch ein äquivalentes Bauelement (das Ersatzbauelement) modellieren. Eine Spannung u an der Parallelschaltung von Widerständen bewirkt einen Strom i = i1 + i2 + + in = U U + + R1 R2 + U Rn ) 1 1 1 = + + Rers R1 R2 + 1 (12.4) Rn Der Kehrwert des Ersatzwiderstands der Parallelschaltung von Widerständen ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände. Bei Induktivitäten liefert der gleiche Ansatz, dass der Kehrwert der Ersatzinduktivität der Parallelschaltung von Induktivitäten ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelinduktivitäten ist. 12.1. EINFACHE NETZWERKE 131 Abbildung 12.3: Spannungsteiler Abbildung 12.4: Ersatzwiderstände im Netzwerk Bei Kapazitäten ist i = i1 + i2 + + in = C1 du du + C2 + dt dt + Cn du dt ) Cers = C1 + C2 + + Cn (12.5) Die Ersatzkapazität bei Parallelschaltung ist daher die Summe der Einzelkapazitäten. Beispiel 45 Als Beispiel berechnen wir einen Spannungsteiler nach Abbildung 12.3.Der Strom durch den Spannungsteiler ist i = u=Rers = u=(R1 + R2 ), dieser Strom bewirkt am Widerstand R2 den Spannungsabfall u2 = R2 i, die Spannung u2 ist daher u2 = R2 u R1 + R2 (12.6) Beispiel 46 Bei komplizierteren Widerstandsnetzwerken können wir Ströme und Spannungen häu…g durch Zusammenfassen von Serien- und Parallelschaltungen berechnen. An Hand von Abbildung 12.4 wird die Vorgangsweise bei der Ermittlung aller Ströme und Spannungen im Netzwerk beschrieben. Für die Berechnung von i müssen wir den Ersatzwiderstand der Schaltung ermitteln, i = u=Rers : Rers = R1 + Rers1 + Rers2 1 1 1 = + Rers1 R2 R3 + R4 1 1 1 = + Rers2 R5 R6 (12.7) (12.8) (12.9) Wenn wir i berechnet haben, können wir die Spannung uR1 = iR1 berechnen. Als nächstes berechnen die Spannung uers1 = iRers1; damit haben wir die Spannung uR2 = uers1 ermittelt. Der Strom durch R2 ist iR2 = uR2 =R2 . Die Spannung an den Widerstän3 den R3 und R4 ermitteln wir über die Spannungsteilerregel. uR3 = R3R+R uR2 : Daraus 4 132 KAPITEL 12. ELEKTRISCHE NETZWERKE Abbildung 12.5: Netzwerkgraph N berechnen wir uR4 = uR2 uR3 : Der Strom durch R3 und R4 ist gleich und beträgt iR4 = iR3 = uR3 =R3 . Schließ lich erhalten wir uers2 = u uR1 uers1 = uR5 = uR6 , woraus wir die Ströme iR5 = uR5 =R5 und iR6 = uR6 =R6 berechnen können. Damit haben wir alle Ströme und Spannungen dieser Schaltung ermittelt. Selbst bei Widerstandsnetzwerken ist dieses Verfahren aufwändig. Wenn ein Netzwerk Speicherelemente enthält und die Netzwerkgleichungen dadurch zu Di¤erentialgleichungen werden, wird es völlig unübersichtlich und man bedient sich daher leistungsfähigerer Verfahren. 12.2 Bei der systematischen Analyse von komplizierteren Netzwerken werden diese als Grafen dargestellt. Topologische Netzwerkbeschreibung Bei komplizierten Netzwerken ist nicht ohne weiteres zu erkennen, wie die Kirchho¤’schen Gleichungen anzuwenden sind, um die interessierenden Netzwerkgröß en mit einem möglichst geringen Rechenaufwand zu ermitteln. Aus der Struktur des Netzwerks lässt sich aber der Lösungsansatz systematisch ableiten. Dazu stellen wir das Netzwerk in Form eines Grafen dar. Dabei ersetzt man die Zweige des Netzwerks durch Kanten und Netzwerkknoten werden zu Knoten des Grafen. Man erhält einen Grafen mit z Kanten (Netzwerkzweige) und k Knoten. Der Graf in Abbildung 12.5 hat 6 Knoten und 10 Kanten. Schleifen sind beliebige geschlossene Wege im Grafen, eine Masche ist eine einfache Schleife, die von keinen anderen Kanten durchkreuzt wird. Durch Entfernen von Kanten entsteht ein Teilgraf des Grafen. Ein für die Netzwerkberechnung wichtiger Teilgraf ist der Spannbaum. Ein Spannbaum ist ein Teilgraf der alle Knoten des ursprünglichen Grafen enthält. Die Knoten des Baums sind alle miteinander verbunden, jedoch so, dass keine geschlossenen Schleifen auftreten. Im Allgemeinen gibt es mehrere Spannbäume1 zu einem Grafen. Die entfernten Kanten des Grafen nennt man Glieder. Abbildung 12.6 zeigt einen Spannbaum zum Grafen der Abbildung 12.5, die Glieder sind strichliert dargestellt. Zur vollständigen Beschreibung eines Netzwerks müssen alle Spannungen und Ströme berechnet werden, bei einem Netzwerk mit z Kanten treten daher 2z Unbekannte auf. Da für die Bauelemente die Beziehung zwischen Strom und Spannung bekannt ist, müssen nur z Gleichungen mit Hilfe der Kirchho¤’schen Gleichungen erstellt werden. Die Anzahl der Netzwerkvariablen ist meistens größ er als erforderlich, beispielsweise ist in Abbildung 12.4 uR5 = uR6 . Es ist daher wichtig, die Unbekannten so zu wählen, dass man mit möglichst wenigen, unabhängigen Gleichungen auskommt. Während bei einfachen Netzwerken das Aufstellen unabhängiger Gleichungen einfach ist, kommt man bei komplizierten Netzwerken nur mit einer gewissen Systematik weiter. 1 Die Wahl des Baums erfolgt nach Gesichtspunkten der Zweckmäß igkeit. Bei der Schleifenanalyse ist es z. B. zweckmäß ig die Spannungsquellen in unabhängige Kanten (Netzwerkzweige) zu legen. Dadurch kommt jede Quelle nur in einer Schleife vor und ist im Gleichungssystem nur in einer Gleichung vorhanden. 12.2. TOPOLOGISCHE NETZWERKBESCHREIBUNG 133 Abbildung 12.6: Spannbaum zum Graphen N Abbildung 12.7: Baum und Glieder 12.2.1 Schleifenanalyse Dazu gehen wir von einem Netzwerk aus, das in Spannbaum und Glieder zerlegt ist. In Abbildung 12.7 ist jedem Glied des Grafen ein Strom zugeordnet, der sich über den Baum schließ t und eine eindeutige Schleife bildet. Die in den Gliedern eines Netzwerks ‡ieß enden Schleifenströme sind ein geeigneter Satz von Unbekannten zur vollständigen Berechnung des Netzwerks. Die Zahl der Unbekannten ist gleich der Zahl der Glieder g = z b = z k+1; da die Zahl der Kanten eines Baums b = k 1 ist. Kennt man die Schleifenströme, so kann man die Zweigströme aus Linearkombinationen der Schleifenströme ermitteln. Das zugehörige Berechnungsverfahren nennt man Schleifenanalyse 2 . Wir haben bisher angenommen, dass Netzwerke nur aus R, L, C und (ungesteuerten) Spannungsquellen bestehen. Kommen im Netzwerk Konstantstromquellen, gesteuerte Quellen und Übertrager vor, müssen diese für die Schleifenanalyse in Ersatzschaltungen umgewandelt werden. 12.2.2 Bei der Schleifenanalyse werden die Netzwerkgröß en über Schleifenströme ermittelt. Knotenanalyse Kennt man die Knotenspannungen eines Netzwerks gegenüber einem Bezugsknoten (die Spannungen u1 ; u3 ; u2 ; u4 ; und u6 für den Bezugskonten (5) in Abbildung 12.7), so sind alle Zweigspannungen als Di¤erenz zweier Knotenspannungen angebbar. Bei der Knotenanalyse ist der Referenzknoten frei wählbar. Er wir meistens so gewählt, dass er möglichst viele direkte Verbindungen zu anderen Knoten hat3 . Das ist in der Regel der Masseknoten. Wir haben bisher angenommen, dass Netzwerke nur aus R, L, C und (ungesteuerten) Stromquellen bestehen. Kommen im Netzwerk Konstantspannungsquellen, gesteu2 Bei ebenen Netzwerken ist die Suche nach einem Spannbaum nicht erforderlich, es kann auch das Maschenverfahren angewendet werden. Als Netzwerk-Unbekannte werden die Maschenströme in allen Maschen des Netzwerk genommen. In unserem Beispiel sind die Maschen durch die Bauelementzweige (u; R1 ; C1 ); (C1 ; C2 ; C3 ); (C2 ; L) und (C3 ; R2 ) gegeben. 3 Es gibt Fälle, in denen es keinen Referenzknoten gibt, von dem aus alle anderen Knoten direkt erreichbar sind. In diesem Fällen muss das Knotenpotenzialverfahren verallgemeinert werden (Schnittmengenanalyse). Bei der Knotenanalyse werden die Netzwerkgröß en über Knotenspannungen ermittelt. 134 KAPITEL 12. ELEKTRISCHE NETZWERKE Abbildung 12.8: Anwendung der Schleifenanalyse erte Quellen und Übertrager vor, müssen diese für die Knotenpotenzialanalyse in Ersatzschaltungen umgewandelt werden. Die Knotenspannungen sind also ein geeigneter Satz von Unbekannten zur vollständigen Berechnung des Netzwerks. Das zugehörige Berechnungsverfahren wird Knotenanalyse genannt. 12.2.3 Beispiele Schleifenananlyse Wir berechnen die Netzwerkgröß en der Abbildung 12.8 mit der Schleifenanalyse. 1. Wir wählen einen Spannbaum bestehend aus den Kanten mit den Bauelementen C1 und C2 . 2. Wir zeichnen die Schleifenströme ein. Die Schleifenströme bilden einen geschlossenen Pfad, ‡ieß en durch die Bauelemente der Glieder und schließ en sich durch Bauelemente im Baum, z.B. LGlied $ C3Baum $ C1Baum oder C2Glied $ C3Baum $ C1Baum : Die Richtung der Schleifenströme kann beliebig gewählt werden. 3. Wir machen einen vollständigen Umlauf P in Richtung eines jeden Schleifenstroms und erstellen die Netzwerkgleichungen u = 0: Die Spannungsabfälle an den (passiven) Bauelementen werden mit Hilfe der Schleifenströme ausgedrückt, wobei zu beachten ist, dass durch ein Bauelement mehrere Schleifenströme ‡ieß en können. Wir erhalten (Schleife 1): u + i1 R1 + 1 (i1 sC1 i2 i3 ) = 0 (12.10) 1 1 1 i2 + (i2 + i3 i4 ) + (i2 + i3 i1 ) = 0 sC2 sC3 sC1 1 1 (Schleife 3): sLi3 + (i3 + i2 i4 ) + (i3 + i2 i1 ) = 0 sC3 sC1 1 (Schleife 4): R2 i4 + (i4 i2 i3 ) = 0 sC3 (Schleife 2): (12.11) (12.12) (12.13) Nach Umordnen und Darstellung in Matrizenschreibweise erhalten wir 0 B B @ 1 sC1 1 sC1 1 sC1 R1 + 0 1 sC1 1 1 1 sC1 + sC2 + sC3 1 1 sC2 + sC3 1 sC3 1 sC1 sL + 1 sC1 + sC1 3 1 1 sC1 + sC3 1 sC3 0 1 sC3 1 sC3 R2 + 1 sC3 1 0 1 0 1 i1 u C B i2 C B 0 C C B C B C A @ i3 A = @ 0 A i4 0 (12.14) 12.2. TOPOLOGISCHE NETZWERKBESCHREIBUNG 135 Wenn wir dieses Gleichungssystem4 lösen, erhalten wir die Schleifenströme, aus denen sich durch Überlagerung die Zweigströme berechnen lassen. Die Zweigspannungen erhalten wir über die Bauelementebeziehungen aus den Zweigströmen. Lösen wir das Gleichungssystem für i4 , erhalten wir i4 = u(1 + s2 C2 L)=[(R1 + R2 + s(L + C1 R1 R2 + C3 R1 R2 ) + s2 (C1 LR1 + C2 LR1 + C2 LR2 + C3 LR2 ) + s3 (C1 C2 LR1 R2 + C1 C3 LR1 R2 + C2 C3 LR1 R2 )] Knotenanalyse Wir berechnen nun die Netzwerkgröß en der Abbildung ?? mit der Knotenanalyse. 1. Wir wählen den Knoten (3) als Referenzknoten5 . 2. Die Knotenspannungen u1 und u2 sind von den Knoten 1 und 2 zum Knoten 3 gerichtet und in dieser Richtung positiv6 . P 3. Wir erstellen die Netzwerkgleichungen i = 0 für alle Knoten des Netzwerks, wobei die in die Knoten ‡ieß enden Ströme positiv, die aus den Knoten ‡ieß enden negativ gezählt werden.7 Knoten 1: iR1 + iC1 + iC2 + iL = 0 (12.15) Knoten 2: iR2 + iC3 (12.16) iC2 iL = 0 Wir drücken die Zweigströme durch die Knotenspannungen aus u iR1 = RR11 = uR1u1 iC1 = sC1 uC = sC1 u1 iC2 = sC2 (u2 u1 ) iC3 = sC3 u2 1 iL = sL (u2 u1 ) u2 iR2 = R 2 und erhalten (u u1 ) R1 u2 R2 sC1 u1 + sC2 (u2 sC3 u2 sC2 (u2 1 (u2 u1 ) = 0 sL 1 (u2 u1 ) = 0 sL (12.17) u1 ) + u1 ) (12.18) Nach Umordnen wird daraus 1 R1 | sC1 sC2 1 sC2 + sL 1 sL {z Y 1 R2 1 sC2 + sL sC3 sC2 1 sL u1 = u2 } | {z } | U u R1 0 {z I (12.19) } Wenn wir dieses Gleichungssystem (im s Bereich) lösen, erhalten wir die Knotenspannungen (in Bezug auf den Referenzknoten). Die Zweigspannungen lassen sich aus den Knotenspannungen berechnen, die Zweigströme können über die Bauelementebeziehungen aus den Zweigspannungen berechnet werden. Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten für u2 4 Die Gleichungen sind im s Bereich erstellt und können mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst werden. Alternativ könnte man mit der Beziehung s = d=dt ein System von Di¤erentialgleichungen erhalten, das im Zeitbereich gelöst werden kann. 5 Es könnte jeder Knoten des Netzwerks den Referenzknoten bilden, es ist allerdings praktisch den Referenzknoten auf das Potential Null (Erde) zu legen und damit alle Spannungen auf dieses Potential zu beziehen. 6 Auch hier könnte man, wie bei den Schleifenströmen, eine beliebige Richtung wählen. Ein einheitliches Vorgehen, z.B. alle Schleifen rechtsdrehend und alle Knotenspannungen positiv zum Bezugsknoten, erhöht die Übersichtlichkeit bei der Erstellung der Netzwerkgleichungen. 7 Die Stromrichtungen können ganz willkürlich gewählt werden. Es ist nur darauf aufzupassen, dass durch einen Zweig der Strom nur in einer Richtung ‡ieß en kann (also immer von einem Knoten weg in einen anderen Knoten hinein). 136 KAPITEL 12. ELEKTRISCHE NETZWERKE Abbildung 12.9: Anwendung der Knotenanalyse u2 = R2 (1 + C2 Ls2 )u=(R2 + Ls + C2 LR2 s2 + C3 LR2 s2 + R1((1 + C3 R2 s)(1 + C2 Ls2 ) + C1 s(R2 + Ls + C2 LR2 s2 + C3 LR2 s2 )) Formt man das Nennerpolynom um, erhält man die Lösung wie bei der Schleifenanalyse. Das Zählerpolynom der Schleifenanalyse ist i4 = u(1 + s2 C2 L). Daraus folgt für u2 = i4 R2 = R2 (1 + C2 Ls2 )u. Schleifen- und Knotenanalyse liefern selbstverständlich dasselbe Ergebnis für die Netzwerkgröß en. Die Entscheidung, ob die Schleifenanalyse oder die Knotenanalyse verwendet wird, ist eine Frage der Zweckmäß igkeit. Netzwerkanalyseprogramme, wie z.B. SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis), erlauben die (graphische) Eingabe von elektrischen Schaltungen, die Netzwerkgleichungen werden automatisch erstellt und der Benützer kann entscheiden, welche Netzwerkuntersuchungen (Gleichstrom-, Wechselstrom-, transiente Analyse, : : : ) durchgeführt werden sollen. 12.3 Zusammenfassung Bei der Berechnung der Zweigspannungen und -ströme in einem elektrischen Netzwerk mit z Zweigen sind 2z Netzwerkgröß en zu ermitteln. Da in jedem Zweig Strom und Spannung über die Bauelementbeziehung verknüpft ist, sind letztlich nur z Netzwerkgröß en zu ermitteln. Bei einfachen Netzwerken kann die Erstellung der Netzwerkgleichungen per Hand erfolgen, bei umfangreichen Netzwerken ist ein methodisches Vorgehen angeraten, um linear unabhängige Netzwerkgleichungen zu …nden. Sind im Netzwerk Speicherelemente enthalten, dann sind die entstehenden Netzwerkgleichungen Integro-Di¤erentialgleichungen. Wir haben uns bei unseren Beispielen für die Erstellung der Netzwerkgleichungen der Operatorenrechnung bedient, die entstehenden Netzwerkgleichungen werden dadurch algebraische Gleichungen, die die LaplaceTransformierte der Netzwerk-Di¤erentialgleichungen8 sind. Die Lösung der Netzwerkgleichungen erfolgt durch Umkehrung (inverse) der LaplaceTransformation mit Hilfe von Tabellenverfahren, wie im Kapitel 13 über die Lösung der Netzwerkgleichung gezeigt. 8 Für energielosen Anfangszustand des Netzwerks. Kapitel 13 Lösung der Netzwerkgleichungen Inhalt 13.1 Gleichstromanalyse . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Wechselstromanalyse . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 E¤ektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Komplexe Widerstände . . . . . . . . . . . 13.2.3 Leistung in Wechselstromnetzwerken . . . . 13.3 Allgemeine Zeitfunktion als Eingangssignal 13.3.1 Lösung im Frequenzbereich . . . . . . . . . 13.4 Systemantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Lösung im Frequenzbereich . . . . . . . . . 13.4.2 Lösung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . 13.4.3 Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . 13.4.4 Eigenschaften der Systemfunktion . . . . . 13.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 139 139 141 144 145 145 151 151 159 161 161 162 Mit Hilfe topologischer Methoden können wir die Kirchho¤’schen Gleichungen systematisch erstellen und erhalten ein System von unabhängigen Gleichungen, die das Netzwerk beschreiben. Aus diesen Gleichungen werden die Schleifenströme bzw. Knotenspannungen berechnet, aus denen sich alle Zweigströme und -spannungen ermitteln lassen. An das Netzwerk wird ein (oder mehrere) Eingangssignal angelegt und ein (oder mehrere) Ausgangssignal ermittelt. In vielen Fällen interessieren nicht die Zweigspannungen und -ströme innerhalb des Netzwerks, sondern das Übertragungsverhalten des Netzwerkes, d.h. das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangssignal. Wir beschränken uns im weiteren auf Systeme mit einem Eingang und einem Ausgang, wie in Abbildung 13.1 gezeigt. Wir unterscheiden drei Typen von Eingangsgröß en. Abbildung 13.1: Übertragungsverhalten eines Netzwerks 137 Häu…g ist in einem Netzwerk nur das Übertragungsverhalten interessant, d.h. das Verhältnis von Eingangs -zu Ausgangssignal. 138 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Abbildung 13.2: Schleifenanalyse Das Netzwerkverhalten kann für konstante Erregersignale (Gleichstromanalyse), sinusförmige Erregersignale (Wechselstromanalyse) oder beliebige Zeitsignale untersucht werden. Der einfachste Fall liegt vor, wenn das » Eingangssignal« eine Gleichspannung oder ein -strom ist. Hier können wir eigentlich nicht von Signalen sprechen, da die Eingangsgröß e unveränderlich ist und keine Information trägt. Die Analyse elektrischer Netzwerke für Gleichgröß en nennt man Gleichstromanalyse. Wir haben im Kapitel über Signale gesehen, dass man sich allgemeine Signale aus sinusförmigen Grundsignalen zusammengesetzt denken kann. Das Verhalten von Systemen für sinusförmige Eingangssignale ist Thema der Wechselstromanalyse. Schließ lich bleibt noch das Verhalten von Systemen auf allgemeine zeitabhängige Signale zu untersuchen. Die Lösung der Netzwerkgleichungen für diesen Fall kann durch Lösung im Zeit- oder im Frequenzbereich erfolgen. 13.1 Bei der Gleichstromanalyse kann man Kapazitäten durch o¤ene und Induktivitäten durch geschlossene Verbindungen ersetzen. Gleichstromanalyse Die Gleichstromanalyse ist der einfachste Fall der Netzwerkuntersuchungen. Bei der Gleichstromanalyse treten nur (konstante oder gesteuerte) Spannungs- und Stromquellen und Widerstände auf. In einem Gleichstromnetzwerk verhalten sich Kapazitäten wie o¤ene Schaltkreise, Induktivitäten wie kurzgeschlossene Schaltkreise. Nach Erstellung der Netzwerkgleichungen mit Hilfe der Kirchho¤’schen Sätze erhalten wir ein System gewöhnlicher Gleichungen das gelöst werden muss. Beispiel 47 Wir berechnen das Netzwerk in Abbildung1 13.2 mit Hilfe der Schleifenanalyse.Dieses einfache Beispiel könnte man auch per Hand rechnen, wir lösen es aber auf systematische Art mit Hilfe der Maschenströme I1 und I2 : U + I1 R1 + I1 R2 I2 R2 | R1 + R2 R2 I2 R2 = 0 (13.1) I1 R2 + I2 R3 + I2 R4 = 0 (13.2) I1 U R2 = 0 I2 R2 + R3 + R4 {z } | {z } | {z } R I (13.3) U Dieses Gleichungssystem mit zwei Unbekannten kann gelöst werden und wir erhalten für die Schleifenströme I1 = I2 = U R1 + R2 R1 R2 R2 +R3 +R4 = R22 (R2 + R3 + R4 )U + R1 R3 + R2 R3 + R1 R4 + R2 R4 R1 R1 U I1 = 2 R2 + R3 + R4 R2 + R1 R3 + R2 R3 + R1 R4 + R2 R4 (13.4) (13.5) Setzen wir für die Zahlenwerte R1 = 1 ; R2 = 2 ; R3 = 3 ; R4 = 4 ; U = 10V ein, so erhalten wir 1 Für die Bezeichnung von Gleichgröß en verwendet man in der Elektrotechnik in der Regel Groß buchstaben. 13.2. WECHSELSTROMANALYSE 139 u(t) 2 0 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.6 0.8 1 Zeit t 3 2 u(t) 1 0 -1 -2 -3 0 0.2 0.4 Zeit t Abbildung 13.3: Zeitlich veränderliche Netzwerkgröß en | 3 1 {z 2 9 R I1 10 = I2 0 } | {z } | {z } I U Wir lösen die Matrixgleichung durch Linksmultiplikation mit R I1 I2 = 0:36 0:04 0:08 0:12 10 0 = 1 und erhalten I=R 1 U 3:60 0:40 Spannungen und Ströme im Netzwerk lassen sich über die Schleifenströme ermitteln. Die Spannung UR4 = I2 R4 lässt sich direkt aus dem Schleifenstrom I2 ermitteln. Die Spannung UR2 müsste aus der Summe der beiden Schleifenströme berechnet werden UR2 = (I1 I2 )R2 : 13.2 Wechselstromanalyse Wechselspannungen und -ströme sind Spannungen und Ströme, die sich zeitlich ändern, wie in Abbildung 13.3 gezeigt. Im engeren Sinn verstehen wir unter Wechselgröß en Grö^ sin(!t + ') bzw. i(t) = I^ sin(!t + '): ß en mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit u(t) = U 13.2.1 E¤ektivwert ^ ; I) ^ nennt man Scheitelwert. Die Leistung in Die Amplituden der Wechselgröß en (U elektrischen Netzwerken ist durch das Produkt aus Strom mal Spannung de…niert. Liegt an einem ohmschen Widerstand R eine Wechselspannung u(t) an, so ist die im Widerstand verbrauchte Leistung p(t) = u(t) i(t) = u(t) u(t) u2 (t) = R R (13.6) So wie die Spannung, ist auch die Leistung zeitabhängig, wie Abbildung 13.4 zeigt. Abbildung 13.4 zeigt, dass die Frequenz der Leistung gleich der doppelten Frequenz der Spannung2 ist. Zur Berechnung der Wärmewirkung des Wechselstroms interessiert der Mittelwert Pmittel der verbrauchten Leistung. Wir berechnen die mittlere Leistung durch Integration und Mittelung über die Periodendauer 2 Die Helligkeitsvariation einer Glühbirne in unserem Stromnetz, die wir wegen der Trägheit des Auges nicht sehen, aber mit entsprechenden Messgeräten feststellen können, erfolgen daher mit 100 Hz. Wechselspannung oder -strom im engeren Sinne heiß t Spannung oder Strom mit sinusförmigem Zeitverlauf. Der E¤ektivwert einer Wechselspannung ist der Wert einer Gleichspannung, die am ohmschen Widerstand die gleiche Leistung verbraucht. Der E¤ektivwert ist von der Kurvenform abhängig! 140 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 Spannung 0.5 1 1 0.8 Pmittel 0.6 0.4 0.2 0 -1 -0.5 0 Leistung 0.5 1 Abbildung 13.4: Wechselstromleistung ZT u2 (t) dt R (13.7) v u T u Z u1 =t u2 (t)dt T (13.8) Pmittel 1 = T 0 Die Größ e Uef f 0 nennt man den E¤ektivwert der Spannung. Die mittlere Leistung ist daher 2 Uef f (13.9) R Die E¤ektivspannung ist jene Spannung, die eine Gleichspannungsquelle haben müsste, um die gleiche Leistung an einem ohmschen Widerstand zu verbrauchen wie die Wechselspannungsquelle. Aus Gleichung (13.8) sehen wir, das die E¤ektivspannung von der Kurvenform der Wechselspannung u(t) abhängt! Pmittel = Beispiel 48 Als Beispiel berechnen wir den E¤ ektivwert der sinusförmigen Wechselspan^ sin !t, U ^ ist die Amplitude der Sinusschwingung nung u(t) = U v u T u Z u 1 ^2 2 Uef f = t U sin (!t)dt (13.10) T 0 Unter Verwendung der Beziehung sin2 = 21 (1 cos 2 ) erhalten wir v u u ^ 2 ZT uU Uef f = t [1 cos(2!t)] dt 2T (13.11) 0 und erhalten Uef f v u uU ^2 =t t 2T 1 sin(2!t) 2! T ^ =U 0 r 1 2 (13.12) 13.2. WECHSELSTROMANALYSE 141 Abbildung 13.5: Strom und Spannung an der Induktivität Die Wechselspannung unseres Stromnetzes beträgt 230 Volt und ist in E¤ektivwert p ^ = Uef f 2 angegeben, die Scheitelspannung beträgt daher 325 Volt. Die Umrechnung U gilt nur für sinusförmige Wechselspannungen, da der E¤ektivwert von der Kurvenform der Zeitfunktion abhängt! Bei sinusförmigen Größ en bezeichnet man die Amplituden nur mit U; I, ob E¤ektiv- oder Scheitelwert gemeint ist, geht aus dem Zusammenhang hervor. Wenn es sich um leistungsbezogene Größ en handelt wird in der Regel der E¤ektivwert verwendet, bei Signalen meistens der Scheitelwert. 13.2.2 Komplexe Widerstände Im Abschnitt über Signale haben wir die komplexe Rechnung zur Darstellung von Sinusund Kosinusfunktion eingeführt und damit eine wesentliche Vereinfachung der Rechnung erreicht. Durch die Einführung der komplexen Rechnung wird die Netzwerkanalyse für sinusförmige Größ en sehr einfach und praktisch gleich wie die Gleichstromanalyse: Bei der Gleichstromanalyse haben wir ohmsche Widerstände, die nur reelle Werte annehmen können. Bei der Wechselstromanalyse treten zusätzlich zu den reellen ohmschen Widerständen noch die imaginären Widerstände von L und C auf. Abgesehen davon dass Widerstände reell, imaginär oder komplex sein können, erfolgt die Berechnung von Wechselstromnetzwerken gleich wie die Berechnung von Gleichstromnetzwerken. Die Wechselstromanalyse erfolgt wie die Gleichstromanalyse mit dem Unterschied, dass Widerstände im Allgemeinen komplexe Werte annehmen. Induktivität Bei der Induktivität und sinusförmigen Größ en haben wir folgenden Zusammenhang iL = I sin(!t + ') uL = L diL (t) dt (13.13) und erhalten daraus durch Einsetzen uL = !LI cos(!t + ') (13.14) Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung als Funktion der Zeit in reeller und in komplexer Darstellung ist in Abbildung 13.5 gezeigt. Wie wir aus Abbildung 13.5 erkennen können, beträgt die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung =2 = 90 , man sagt, der Strom eilt der Spannung um 90 nach. Bei einer Induktivität eilt der Strom der Spannung um =2 nach. 142 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Abbildung 13.6: Serienschaltung R und L Sinusförmige Größ en können auch mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion3 als rotierende Zeiger dargestellt werden. Bei einer Sinusschwingung ändert sich die Länge des Zeigers nicht, daher = 0 und s = j!. Unter Verwendung der komplexen Schreibweise (!t+') erhalten wir iL (t) = I sin(!t + ') ) Iej . Wir setzen in (13.13) ein und erhalten (!t+') d Iej (!t+') diL (t) uL = L ) ~uL = L = j!LIej (13.15) dt dt ~uL wird dadurch zu einer komplexe Größ e, die zunächst keine physikalische Bedeutung hat, mit der aber gut gerechnet werden kann. Durch die Di¤erentiation bleibt die Funktion ej!t erhalten4 ! Wir können daher auf das Anschreiben der komplexen Exponentialfunktion verzichten und schreiben kurz5 ~ L = j!L I~L = sL I~L U Den komplexen Widerstand nennt man Impedanz. Die Impedanz ist von der Frequenz abhängig. Die Impedanz einer Induktivität ist ~ L = j!L Z . Bei einer Kapazität eilt die Spannung dem Strom um =2 nach. Die Impedanz einer Kapazität ist ~C = Z 1 j!C s=j! (13.16) ~ = U~ L (vgl. R = U ) wird Impedanz genannt. Das » ohmDer komplexe Widerstand Z I I~L sche« Gesetz für die Induktivität lautet nach Einführung der Impedanz ~L = Z ~ L I~L U für ~ L = j!L = sL Z (13.17) Die Impedanz der Induktivität ist rein imaginär6 , der ohmsche Widerstand rein reell. Die Serienschaltung eines ohmschen Widerstands und einer Induktivität nach Abbildung ~ = R + j!L und ist eine komplexe Größ 13.6 hat die Ersatzimpedanz Z e. Kapazität Für die Kapazität erhalten wir in komplexer Darstellung ~C = Z ~ C I~C U für ~ C = 1=j!C = Z j 1 1 = !C sC (13.18) Schaltkreisanalyse mit komplexen Widerständen Bei der Analyse von Schaltkreisen für sinusförmige Wechselspannungen und -ströme können schen Gesetze in der gewohnten Form anwenden: P wir die Kirchho¤’ P u = 0 und i = 0: Wir ersetzen die Zeitbeschreibung der sinusoidalen Netzwerkgröß en durch die komplexe Exponentialfunktion. Die komplexen Exponentialfunktionen können wir uns als rotierende Zeiger in der komplexen Ebene vorstellen, die Drehgeschwindigkeit der Zeiger entspricht der Kreisfrequenz ! der Netzwerkgröß e. Im weiteren Verlauf der Berechnungen interessieren wir uns nur mehr für den Betrag und die Phase der Zeiger, da wir ja wissen, dass die Zeiger sinusoidale Größ en repräsentieren und die sinusoidale Kurvenform in linearen Netzwerken erhalten bleibt. Wir können das Netzwerk immer aber nur für eine Frequenz untersuchen. Wenn mehrere Quellen in einem Netzwerk auftreten, müssen alle dieselbe Frequenz haben! Bei hohen Frequenzen haben Kapazitäten einen kleinen ”Widerstand”, Induktivitäten einen groß en. Für niedrige Frequenzen ist es umgekehrt. ~ L = j!L bzw. Z ~C = Induktivitäten und Kapazitäten haben die Impedanzen Z 3 Siehe Abschnitt 2.4 über die komplexe Exponentialfunktion. (komplexe) Exponentialfunktion ist die einzige Funktion auf die das zutri¤t! Wir verwenden ej!t zur Darstellung der Sinusfunktion. 5 Strom, Spannung und Widerstand (Impedanz) sind in der Wechselstromrechnung komplexe Größ en. ~ ; I; ~ Z. ~ Zur Unterscheidung verwenden wir daher U 6 Rein imaginäre Impedanzen werden auch Reaktanzen genannt. 4 Die 13.2. WECHSELSTROMANALYSE 143 Abbildung 13.7: Netzwerkberechnung mit Knotenanalyse 1=j!C; ohmsche Widerstände die Ïmpedanz"ZR = R. Impedanzen sind frequenzabhängige Widerstände, ohmsche Widerstände hängen nicht von der Frequenz ab. Induktivitäten haben bei niedrigen Frequenzen einen kleinen Widerstand (bei ! = 0 verhalten sie sich wie ein Kurzschluss), der Widerstand steigt frequenzproportional an ZL !. Kapazitäten haben bei niedrigen Frequenzen einen groß en Widerstand (bei ! = 0 verhalten sie sich wie ein Leerlauf, d.h. ein o¤ener Schaltkreis), bei stei1 gender Frequenz sinkt der Widerstand verkehrt proportional zur Frequenz ZC !. Wir erstellen die Netzwerkgleichungen unter Verwendung der bekannten Verfahren, wobei in den Netzwerkmatrizen in der Regel komplexe Zahlen auftreten werden. Beispiel 49 Das Beispiel in Abbildung 13.7 zeigt die Vorgangsweise, wobei wir in diesem Fall die Knotenanalyse anwenden wollen. ~ U ~1 U R1 1 R1 1 j!L j!C 1 j!L ~1 + j!C U 1 ~ (U2 j!L 1 ~ (U2 j!L ~ 1) U 1 j!L 1 R2 ~ 1) = 0 U (13.19) ~2 1 = 0 U R2 (13.20) ~1 U ~2 U 1 j!L ~ U R1 = 0 ! (13.21) Wir lösen die Netzwerkgleichungen und erhalten ~2 = U ~ R2 U R1 + R2 + Ls + CR1 R2 s + CLR1 s2 (13.22) s=j! In vielen Fällen ist bei der Untersuchung von Netzwerken lediglich das Verhältnis Ausgangsgröß e zu Eingangsgröß e gefragt, z.B. U2 =U . Dieses Verhältnis ist eine komplexe Zahl, da die Netzwerkgleichungen komplex sind. Man stellt dieses Verhältnis meistens nach Betrag (in logarithmischem Maß stab) und Phase dar und nennt diese Darstellung Bode-Plot. Wenn wir (13.22) gra…sch darstellen wollen, müssen wir Zahlenwerte für die Bauelemente einsetzen und die Funktion für die interessierenden Frequenzen berechnen. ~ 4 Für die gegebenen Bauelementewerte ist UU~2 = 6s2 +11s+5 : Mit Hilfe von Matlab erhalten wir bode(tf(ZP,NP)), wie in 13.8 dargestellt. ~ 2 für Wir » überprüfen« die gra…sche Darstellung und berechnen die Knotenspannung U R1 = 1; C = 2; L = 3; R2 = 4; U = 10 und für die Kreisfrequenz ! = 1 durch Einsetzen in (13.21) 1 j2 1 j3 1 j1:667 j0:333 1 j3 1 4 1 j3 1 j3 j0:333 0:25 + j0:333 ~1 U ~2 U ~1 U ~2 U = 10 0 (13.23) = 10 0 (13.24) Wir multiplizieren von links mit der inversen Matrix und erhalten ~1 U 0:2377 + j0:3852 0:0328 + j0:3607 10 = ~2 0:0328 + j0:3607 1:2459 j1:7049 0 U = 2:3770 j3:8525 0:3279 j3:6066 144 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Bode Diagram Magnitude (dB) 0 -20 -40 -60 Phase (deg) -80 0 -45 -90 -135 -180 -2 10 -1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10 2 10 Abbildung 13.8: Bode-Plot Abbildung 13.9: Phasenverschiebung am Zweipol ~R = U ~ 2 = 3:6214e j1:66152 = 3:6214e j95:19446 : Die AmDie gesuchte Spannung U 2 plitude der Ausgangsspannung hat von 10V auf 3:6214V abgenommen, die Phasenverschiebung beträgt 95 : Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung ist 0:36214 oder im Dezibelmaß20log10 (0:36214) = 8:8dB. 13.2.3 Leistung in Wechselstromnetzwerken ~ = R + jX eine Spannung U ~ und ‡ieß Liegt an einem Zweipol mit der Impedanz Z t ein ~ Strom I; der, wie in Abbildung 13.9 gezeigt, gegen die Spannung eine Phasenverschiebung von hat, so ist die vom Zweipol aufgenommene Wirkleistung P = Uef f Ief f cos = 2 Ief f R; das ist jene Leistung, die im ohmschen Anteil des Zweipols in Wärme umgesetzt 2 wird. Die Größ e PB = Uef f Ief f sin ' = Ief Blindleisf X bezeichnet man als (e¤ektive) p tung. Als Scheinleistung bezeichnet man die Größ e PS = Uef f Ief f = P 2 + PB2 : In elektrischen Netzen trägt nur die Wirkleistung zur Energieumsetzung bei. Die Scheinleistung steckt im elektrischen und magnetischen Feld der Komponenten und es wird lediglich Energie zwischen dem elektrischen und dem magnetische Feld verschoben, die keinen Beitrag zur Wirkleistung leistet. Beim Verschieben der Energie zwischen elektrischem und magnetischen Feld ‡ieß en jedoch Ströme über Leitungen, deren ohmscher 13.3. ALLGEMEINE ZEITFUNKTION ALS EINGANGSSIGNAL 145 Abbildung 13.10: RLC-Serienschwingkreis Widerstand zwar klein, aber nicht Null ist7 . Der Blindstrom erzeugt durch die endlichen Widerstände der Leitungen Wärmeverluste. Die Energieversorgungsunternehmen verrechnen daher industriellen Abnehmern auch die Blindleistung, die zwar keine echte Leistung ist, aber auf den Leitungen ohmsche Verluste erzeugt. Bei Verwendung der komplexen Rechnung ermittelt man die komplexe Leistung8 mit ~ I~ = U e j!t Iej(!t+ ) = U Iej : der Beziehung P~ = P + jPB = U 13.3 Allgemeine Zeitfunktion als Eingangssignal Wir erstellen die Netzwerkgleichungen für das Beispiel nach Abbildung 13.10 mit Hilfe des Schleifenstroms i(t) und erhalten Z 1 T di(t) + Ri(t) + i(t)dt + uC (0) = u(t) L dt C 0 Wir di¤erenzieren Gleichung (13.25) und erhalten d2 i(t) i(t) 1 du(t) +R + i(t) = dt dt C dt 1 1 du(t) d2 i(t) R i(t) + + i(t) = dt L dt LC L dt L Mit den Abkürzungen = R 2L und ! 0 = p1 LC (13.25) (13.26) (13.27) wird daraus d2 i(t) i(t) +2 + ! 2o i(t) = f (t) (13.28) dt dt Die Di¤erentialgleichung (13.28) nennt man Schwingungsgleichung. f (t) is die Erregungsfunktion. Ähnlich den mechanischen Schwingungen in einem Masse-Federsystem, treten in einem LC-Netzwerk elektrische Schwingungen auf. Die Di¤erentialgleichung (13.28) ist für die gegebene Erregungsfunktion zu lösen, wobei die Anfangsbedingungen (Anfangsspannung an der Kapazität und Anfangsstrom der Induktivität) berücksichtigt werden müssen. Die direkte Lösung von Netzwerk-Di¤erentialgleichungen werden wir nicht behandeln, da sie umständlich und aufwändig ist und daher für lineare Netzwerke selten angewendet wird. 13.3.1 Lösung im Frequenzbereich Die Lösung der Netzwerkgleichungen kann vorteilhaft mit Hilfe der Laplace-Transformation durchgeführt werden. Da die Laplace-Transformation einen Übergang der Darstellung vom Zeitbereich in den Frequenzbereich darstellt, spricht man von der Lösung im Frequenzbereich. Die Bezeichnung Frequenzbereich ist nicht ganz zutre¤end, da bei der Laplace-Trans- Um Netzwerkgleichungen einfacher lösen zu 7 Nur in unserer idealisierten Darstellung hat die Verbindung zwischen den Komponenten den Widerkönnen, werden sie stand Null. Einen Zweipol mit rein Imaginärer Impedanz gibt es also in der Wirklichkeit nicht. 8 Die Größ ~ = U ~ I~ ist nicht zweckmäß mittels der Laplacee P ig, da sie nicht zur De…nition der Wirk- und Blindleistung führt. Transformation in den s Bereich transformiert. 146 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN formation das Netzwerk in einen abtrakten mathematischen Bereich (die s Ebene) abgebildet wird. Für technische Frequenzen gilt ( = 0) ! s = j!, wie wir in der Wechselstromrechnung bereits gesehen haben. Die technischen sinusoidalen Schwingungen liegen in der s Ebene bei = 0, also entlang der imaginären Achse. Die Laplace-Transformation ist eine Methode zur Lösung von Di¤erentialgleichungen, die sehr vorteilhaft auf elektrische Netzwerke bzw. ganz allgemein auf LTI-Systeme angewendet werden kann. Fasst man den Parameter s der Netzwerkgleichungen als komplexen Frequenzparameter9 auf, so hat man bereits die Laplace-transformierten Di¤erentialgleichungen des Netzwerks im energielosen10 Anfangszustand. Die Beziehung Z1 F (s) = f (t)e st dt (13.29) 0 Durch die LaplaceTransformation werden Di¤erentialgleichungen zu algebraischen Gleichungen. nennt man (einseitige) Laplace-Transformation. Da wir uns nur für Vorgänge interessieren, die zu einem bestimmten Zeitpunkt beginnen, den wir (willkürlich) bei t = 0 festlegen, ist die untere Integrationsgrenze der Gleichung (13.29) 0 . (Wir de…nieren einfach f (t) = 0 für t < 0.) Die Laplace-Transformation bildet über die Beziehung (13.29) eine Funktion vom Zeitbereich f (t) in den Frequenzbereich (s Bereich) F (s) ab. Durch diese Abbildung werden aus den Di¤erentialgleichungen des Zeitbereichs gebrochen rationale Funktionen im s Bereich. Da wir die Laplace-Transformation bereits auf Bauteilebene durchführen (wir ersetzen uL (t) = L diLdt(t) durch UL (s) = sLIL (s) und C (t) durch IC (s) = sCUC (s)), erstellen wir unsere Netzwerkgleichungen beic (t) = C dudt reits im s Bereich und erhalten daher keine Di¤erentialgleichungen wie z.B. in (13.28). Ermittelt man die Netzwerkgleichungen in Abbildung 13.10 direkt im s Bereich (mit Hilfe der Operatorenrechnung), dann wird 1 I(s) = 0 (13.30) sC Nach Umformung erhalten wir daraus unter Verwendung der in (13.28) verwendeten Abkürzungen U (s) + RI(s) + sLI(s) + I(s) = s2 + 1 Ls R L s+ U (s) = 1 LC 1 Ls U (s) s2 + 2 s + ! 2o | {z } {z }Erregung | (13.31) Netzwerk Für die Rücktransformation in den Zeitbereich werden meistens vorberechnete Transformationspaare aus Korrespondenztabellen verwendet. Wie man leicht sehen kann, ist die Erstellung der Netzwerkgleichungen im s Bereich einfacher durchzuführen als die Erstellung der Di¤erentialgleichungen. Die Netzwerkgleichung ist im s Bereich eine gebrochen rationale Funktion mit dem Zählerpolynom P (s) = L1 s und dem Nennerpolynom Q(s) = s2 + 2 s + ! o . Was wir zur Beschreibung des Systemverhaltens im s Bereich noch ergänzen müssen, ist die Laplace-Transformierte der Erregung. Schließ lich muss vom s Bereich in den Zeitbereich zurücktransformiert werden, da uns ja letztlich das Zeitverhalten der Schaltung interessiert. Diese Vorgangsweise mag kompliziert erscheinen, ist aber eine sehr elegante und e¢ ziente Methode zur Lösung von Di¤erentialgleichungen. Darüber hinaus liefert die Analyse der gebrochen rationalen Funktionen weitere Einsichten in die Eigenschaften eines Netzwerks, wie wir im weiteren Verlauf noch sehen werden. Die inverse Laplace-Transformation –die Rücktransformation vom s Bereich in den Zeitbereich –ist durch folgende Beziehung gegeben f (t) = 1 2 j Z+j1 F (s)est ds (13.32) j1 9s wird meistens kurz komplexe Frequenz genannt. wie geladene Kapazitäten oder stromdurch‡ossene Induktivitäten müssen getrennt berücksichtigt werden, was aber keine Einschränkung des Verfahrens darstellt. 1 0 Anfangsbedingungen 13.3. ALLGEMEINE ZEITFUNKTION ALS EINGANGSSIGNAL 147 die aber ohne praktische Bedeutung ist. Für die Rücktransformation vom s Bereich in den Zeitbereich zerlegt man die Netzwerkgleichungen in einfache Ausdrücke, deren Transformationsbeziehung f (t) () F (s) man aus aus Korrespondenztabellen entnehmen kann. Die Zerlegung der gebrochen rationalen Funktionen in einfache Ausdrücke wird mit Hilfe der Partialbruchzerlegung durchgeführt. Rechnen mit der Laplace-Transformation Operationen Operation Linearität f (t) F (s) P P i ci fi (t) df (t) dt Di¤erentiation Integration Verschiebung im Zeitbereich R t+ sF (s) 0 f ( )d f (t a) Verschiebung im Frequenzbereich eat f (t) f ( at ) Maß stabsänderung a > 0 Faltung R t+ 0 f1 ( )f2 (t )d i ci Fi (s) f (0 ) F (s) s e as F (s F (s) a) aF (as) f1 (t) f2 (t) F1 (s)F2 (s) 148 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Korrespondenzen f (t) Das » Einschalten« eines Signals wird durch die Multiplikation mit der Funktion 1 (t) modelliert. F (s) 0 i (t) si 1 0 (t) 1 2 1 (t) 1 s 3 1 (t)t 1 s2 4 1 (t)e 5 1 (t)te 6 1 (t) sin !t ! s2 +! 2 7 1 (t) cos !t s s2 +! 2 8 1 (t)e at sin !t ! (s+a)2 +! 2 9 1 (t)e at cos !t s+a (s+a)2 +! 2 10 1 (t)re at cos (!t + ') 0:5rej' 0:5re j' s+(a j!) + s+(a+j!) 11 1 (t)re at cos(!t + ') As+B As+B s2 +2as+c = (s+a)2 +! 2 q 1 s+a at 1 (s+a)2 at A2 c+B 2 2ABa !2 (a) r= (b) ' = arctan AaA!B (c) != p c a2 Wir betrachten nur solche Zeitfunktionen, die für t < 0 verschwinden oder anders ausgedrückt zum Zeitpunkt t = 0 » eingeschaltet« werden. Die mathematische Darstellung des Einschaltens erfolgt durch Multiplikation mit 1 (t). In dieser Tabelle …nden wir auch wichtige Erregungsfunktionen, die in Gleichung (13.31) noch gefehlt haben, z.B. der Einheitssprung, der Impuls oder die (eingeschaltete) Sinusoidalfunktion. Partialbruchzerlegung Bei der Erstellung von Netzwerkgleichungen im s Bereich treten gebrochen rationale Funktionen auf, die Zähler- und Nennerpolynome hohen Grades aufweisen können. In unseren Korrespondenztabellen …nden wir aber nur Polynome F (s) mit maximal 2. Grad. Um die Korrespondenztabellen verwenden zu können müssen daher die Netzwerkfunktionen in eine Summe von Polynomen (maximal zweiten Grades) zerlegt werden. Die Zerlegung können wir mit Hilfe der Partialbruchzerlegung durchführen. Wenn bei der Partialbruchzerlegung der Grad des Zählerpolynoms größ er als der Grad des Nennerpolynoms ist, muss Polynomdivision durchgeführt werden. Bei der Partialbruchzerlegung muss m; der Grad des Zählerpolynoms P (s); kleiner als n, der Grad des Nennerpolynoms11 Q(s); sein. Wenn das nicht der Fall ist, muss zuerst durch Division m < n erreicht werden. 1 1 Wir sehen in den Korrespondenztabellen, dass der Zählergrad stets kleiner als der Nennergrad ist. 13.3. ALLGEMEINE ZEITFUNKTION ALS EINGANGSSIGNAL 149 Beispiel 50 s2 + 7s + 11 s2 + 4s + 5 2 s + 7s + 11 : s2 + 4s + 5 = 1 (13.33) F (s) = (13.34) 2 s + 4s + 5 : (13.35) 0s2 + 3s + 6 : (13.36) 2 F (s) = 3s + 6 s + 7s + 11 =1+ 2 s2 + 4s + 5 s + 4s + 5 (13.37) Wir transformieren die Netzwerkgleichung aus dem s Bereich in den Zeitbereich und verwenden dafür folgende Entsprechungen aus der Korrespondenztabelle (1) (11) 1 (t)re at 0 (t) ,1 cos(!t + ') , (13.38) As + B s2 + 2as + c (13.39) Die Zeitfunktion f (t) wird nach Einsetzen in (11 a,b,c) f (t) = 0 (t) + 1 (t)3e 2t cos(t) (13.40) Alternativ können wir umformen und erhalten F (s) = 1 + 3s + 6 s+2 =1+3 s2 + 4s + 5 (s + 2)2 + 1 (13.41) und daraus unter Verwendung der Korrespondenz (9) dasselbe Ergebnis. Beispiel 51 Die Polynomdivision kann mit Hilfe der Matlabfunktion deconv durchgeführt werden. P = [1 7 11]; Q = [1 4 3] [Q, R] = deconv (P, Q) Q = 1 , R = [0 3 8] Bei der Partialbruchzerlegung müssen zuerst die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnet werden und das Nennerpolynom in die Wurzeldarstellung gebracht werden. Dann müssen die Zählerkoe¢ zienten (die Residuen12 ) ermittelt werden. Wir zerlegen F (s) = 7s+11 s2 +4s+3 1. Berechnen der Nullstellen von s2 + 4s + 3 = 0 ) s0;1 = 2. F (s) = 7s+11 (s+3)(s+1) = R1 s+3 + 3; s02 = 1 R2 s+1 Die Zählerkoe¢ zienten erhalten wir durch Ausmultiplizieren und Koe¢ zientenvergleich 7s + 11 = R1 (s + 1) + R2 (s + 3) = s(R1 + R2 ) + (R1 + 3R2 ) 7 = R1 + R2 (13.42) 11 = R1 + 3R2 (13.43) ; R2 = 2 7s + 11 5 2 F (s) = 2 = + s + 4s + 3 s+3 s+1 (13.44) R1 = 5 ; (13.45) Unter Verwendung der Beziehung (4) aus der Korrespondenztabelle erhalten wir nach Rücktransformation f (t) = 1 (t)5e 3t + 1 (t)2e t (13.46) 1 2 Bei der direkten Berechnung der inversen Laplace-Transformation wird das Integral mit Hilfe des Residuensatzes ausgewertet. Die Zählerkoe¢ zienten der Partialbruchzerlegung nennt man Residuen. 150 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Beispiel 52 Die Partialbruchzerlegung kann mit Hilfe der Matlabfunktion residue durchgeführt werden. In diesem Fall ist bei m n keine explizite Polynomdivision erforderlich, residue liefert als Ergebnis die Residuen (R), Pole (P) und Quotienten (K). Für das Beispiel F (s) = s27s+11 +4s+3 erhalten wir P = [7 11]; Q = [1 4 3] [R, P, K] = residue (P, Q) =) R’ = [5 2] P’ = [-3 -1] K = [ ] Die Residuen-Methode ist bei der Partialbruchzerlegung schneller und einfacher als der Koe¢ zientenvergleich. Residuen-Methode Die Berechnung der Residuen durch Koe¢ zientenvergleich ist aufwändig, eine schnellere Lösung für die händische Berechnung der Zählerkoe¢ zienten …nden wir über den folgenden Zusammenhang P (s) bm sm + bm 1 sm 1 + ::: + b1 s + b0 = n n 1 s + an 1 s + ::: + a1 s + a0 Q(s) R1 R2 Rn = + + ::: + s s s 1 2 n (13.47) F (s) = Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit s s = 1 aus, dann wird (s 1 ) F (s) js= 1 = R1 + R2 (s s 1) 1 Rn (s s + ::: + 2 und werten an der Stelle 1) n js= Auf der rechten Seite verschwinden alle Terme bis auf R1 ; da (s erhalten daher R1 = (s 1 ) F (s) js= (13.48) (13.49) 1 1 )js= 1 = 0, wir (13.50) 1 Diesen Vorgang können wir für auch für alle anderen Residuen durchführen und erhalten Rk = (s k ) F (s) js= k k = 1; 2; :::; n (13.51) Beispiel 53 Wir berechnen die Residuen der Funktion R1 As + B As + B R2 = = + s2 + 2as + c (s + a)2 + ! 2 s + a + j! s + a j! p s2 + 2as + a2 + ! 2 ! ! = c a2 (13.52) (13.53) (As + B) (s + a + j!) R1 = (s + a + j!) (s + a j!) s= (a+j!) A! + j(B Aa) A[ (a + j!)] + B = (a + j!) + a j! 2! r 2 1 A c 2ABa + B 2 jR1 j = 2 !2 Aa B ' = arctan A! (13.54) (13.55) (13.56) (13.57) R2 = R1 (13.58) j' j' As + B 0:5 jR1 j e 0:5 jR1 j e = + s2 + 2as + c s + (a j!) s + (a + j!) (13.59) Mehrfache Nullstellen Wir haben bisher nur Netzwerkfunktionen mit einfachen Nullstellen des Nennerpolynoms betrachtet. Treten mehrfache Nullstellen im Nennerpolynom auf, dann wird die Partialbruchentwicklung 13.4. SYSTEMANTWORT F (s) = = + 151 P (s) 1 )(s A1 n (s ) (s A0 n (s ) R1 (s 1) + + n 1 (s ) R2 (s 2) 2 ):::(s + ::: + + ::: + (s (13.60) m) An (s Rm 1 (13.61) ) (13.62) m) Die Koe¢ zienten R1 ; R2 ; :::; Rm können wie bisher berechnet werden. Die Koe¢ zienten A0 ; A1 ; :::; An 1 erhält man n A0 = (s ) F (s) js= d n A1 = [(s ) F (s)] js= ds 1 di n [(s ) F (s)] js= Ai = i! dsi (13.63) (13.64) (13.65) Beispiel 54 1 R A0 A1 = + 2 + (s + 2) s(s + 2)2 s (s + 2) 1 R = sF (s) js=0 = 4 1 1 2 A0 = (s + 2) = s(s + 2)2 s= 2 2 F (s) = A1 = F (s) = d 1 2 (s + 2) ds s(s + 2)2 1=4 s 1=2 (s + 2) 2 = s= 2 1 s2 (13.66) (13.67) (13.68) = s= 2s= 2 1 4 1=4 (s + 2) (13.69) (13.70) Oder durch Berechnung mit Matlab13 P = [1]; Q = [1; 4; 4; 0]. [R; P; K] = residue[P; Q]; R = [ 0:25 0:5 0:25]; P = [ 2 2 0] K = [] R(j) R(j + 1) R(j + n 1) + + ::: + n 2 (s pj ) (s pj ) (s pj ) 0:25 0:25 0:5 + F (s) = (s + 2) (s + 2)2 (s) 13.4 (13.71) (13.72) Systemantwort Unter Systemantwort verstehen wir die Antwort eines Systems auf ein gegebenes Eingangsignal. 13.4.1 Lösung im Frequenzbereich Das Verhältnis von Antwort (Ausgangssignal) zu Erregung (Eingangssignal) im s Bereich Die Systemfunktion einennt man Systemfunktion (Netzwerkfunktion, Übertragungsfunktion). Bei LTI-Netzwerken nes LTI-Netzwerkes (das ist die Systemfunktion stets eine gebrochen rationale Funktion, die sich in folgender Form Verhältnis von Eingangsdarstellen lässt signal zu Ausgangssignal im s-Bereich) ist immer 1 3 Die Partialbruchzerlegung von gebrochen rationalen Funktionen ist ein schlecht konditioniertes Proeine gebrochen rationale blem. Kleine Änderungen in den Koe¢ zienten oder Rundungsfehler bewirken groß e Änderungen bei den komplexwertige Funktion. Polen und Residuen! 152 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Abbildung 13.11: Netzwerkberechnung mit Laplace-Transformation H(s) = B(s) bm sm + bm 1 sm 1 + ::: + b1 s + b0 = A(s) an sn + an 1 sn 1 + ::: + a1 s + a0 (13.73) Da s komplex ist, ist H(s) ist eine Funktion komplexer Variablen und liefert daher ein komplexes Ergebnis. Die Koe¢ zienten bk ; ak sind durch die Bauelemente des Netzwerks bestimmt und daher stets reell. Lösung mit Hilfe der Laplace-Transformation Die Netzwerkgleichungen können sehr vorteilhaft mit der Laplace-Transformation gelöst werden. Beispiel 55 Das einfache Beispiel nach Abbildung 13.11 zeigt die Vorgangsweise.Das RC-Netzwerk wird von der Eingangsspannung ~uE = UE esE t ; sE = E + j! E angeregt. Wie man sieht ist die Eingangspannung für ! E 6= 0 eine komplexe Zeitfunktion, was physikalisch sinnlos ist. Wir rechnen dennoch mit komplexen Größ en und …nden im weiteren Verlauf der Rechnung physikalisch sinnvolle Interpretationen. Der Strom in dieser Schaltung ist U (s) s 1 (13.74) I(s) = 1 = 1 R U (s) R + Cs s + RC Die Laplace-Transformierte der Eingangsspannung uE = UE esE t wird laut Transformationstabelle (4) U (s) = s UEsE . Für den Strom I(s) erhalten wir dann I(s) = (s s sN )(s 1 UE ; sE ) R sN = 1 RC (13.75) Wir zerlegen diesen Ausdruck in Partialbrüche und erhalten UE R I(s) = I(s) = UE R 0 B B B @ s R1 R2 + sN s sE sN sN sE s s | {z N} E in schw ing-An teil + sE sE sN s+s | {z E} E rreger-An teil (13.76) 1 C C C A (13.77) Gleichung (13.77) besteht aus zwei Teilen: Dem Einschwinganteil der vom Netzwerk stammt und dem Erregeranteil, der von der Spannungsquelle stammt. Anmerkung 56 Die Unterteilung in Einschwing- und Erregeranteil darf nicht zur Annahme verleiten, die beiden Anteile ließ en sich unabhängig voneinander berechnen und man müsse bei einem gegebenen Netzwerk für eine andere Erregung lediglich den Erregeranteil neu berechnen. System und Erregung wirken über die Partialbruchkoe¢ zienten auf beide Anteile ein! 13.4. SYSTEMANTWORT 153 Unter Verwendung der Transformationstabelle (4) erhalten wir durch Rücktransformation i(t) = UE R sN sN sE esN t + sE sE sN esE t (13.78) Die Eingangsfunktion uE = UE esE t hat keine physikalische Bedeutung. Wenn aber sE = E und damit sE reell wird, dann ist uE = UE e E t eine zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltete, abklingende Exponentialfunktion mit der Antwort i(t) = UE R 1 1 + RC 1 RC e t E + E E + 1 RC e Et (13.79) Der zweite technisch interessante Fall liegt vor, wenn die Eingangsspannung sinusförmig ist, d.h. E = 0. Dann wird ~uE = UE ej!E t , die zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltete komplexe Exponentialfunktion und ~i(t) wird. i(t) = UE R 0 B 1 B e B @ 1 + jRC! E | {z 1 RC t } abklingender Anteil + 1 C j! E RC C ej!E t C 1 + j! E RC A | {z } (13.80) W echselstromanteil Wie wir sehen, liefert Gleichung (13.80) als Ergebnis einen Strom mit komplexen Werten, was physikalisch nicht sinnvoll ist. Wir müssen daher bei der Auswertung von (13.80) den Realteil bilden. Gleichung (13.80) besteht aus zwei Teilen, die abklingender Anteil und Wechselstroman1 teil genannt werden. Der abklingende Anteil verschwindet für t ! 1 da e RC t ! 0 und j! E RC es bleibt der Wechselstromanteil ej!E t (mit der komplexen Amplitude 1+j! ) übrig. E RC Dieses Ergebnis hätte man auch direkt, mit Hilfe der Wechselstromrechnung, erhalten. Ein interessanter Fall liegt vor, wenn Eingangsfunktion und Netzwerkfunktion (abgesehen von einem konstanten Faktor) dieselbe Laplace-Transformierte haben (Resonanz-Fall). I(s) = (s UE s sN )2 R (13.81) Die Nullstelle im Nenner tritt doppelt auf, die Partialbruchzerlegung liefert I(s) = s UE UE = 2 (s sN ) R R 1 sN + s sN (s sN )2 (13.82) Nach Rücktransformation in den Zeitbereich erhalten wir i(t) = UE UE (1 + sN t)esN t = (1 R R t )e RC t RC (13.83) Wie man aus Gleichung (13.83) erkennen kann, steigt die Amplitude des Stroms i(t) linear –proportional zu tesN t –an (Resonanze¤ ekt). Die Exponentialfunktion klingt aber schneller ab, sodass sich der Amplitudenanstieg nicht auswirken kann. (Die Gültigkeit der Lösung von Gleichung (13.83) ist auf die Zeit t 0 eingeschränkt, man müsste daher mit 1 (t) multiplizieren. Da man den Gültigkeitsbereich kennt, wird die Multiplikation mit 1 (t) häu…g weggelassen.) 154 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Die folgende Tabelle fasst die Systemfunktion einfacher Schaltungen zusammen: a (s) H(s) = U Ue (s) (6) LCs2 LCs2 +1 (1) 1 RCs+1 (7) 1 LCs2 +RC (2) R Ls+R (8) 1 R2 C 2 s2 + (3) RCs RCs+1 (9) R2 C R2 C 2 s2 + (4) Ls LS+R (10) RCs LCs2 +RC (5) 1 LCs2 +1 (11) LCs2 + LCs2 +RC TP...Tiefpass, HP...Hochpass, BP...Bandpass, BSp...Bandsperre Null- und Polstellen Die Nullstellen des Zählerpolynoms von H(s) heiß en Nullstellen der Systemfunktion, die Nullstellen des Nennerpolynoms heiß en Polstellen. Wie wir gesehen haben, treten bei der Analyse von elektrischen Netzwerken (LTI-Systemen) gebrochen rationale Funktionen auf. Eine besondere Bedeutung für das Systemverhalten hat die Lage der Nullstellen des Zähler- und Nennerpolynoms dieser Funktionen. Zur Unterscheidung bezeichnet man die Nullstellen des Zählerpolynoms als Nullstellen, da Netzwerkfunktion Null wird. Die Nullstellen des Nennerpolynoms bezeichnet man als Polstellen. In den Polstellen wird die Netzwerkfunktion 1:Wird die Lage der Pole und Nullstellen in der komplexen Ebene dargestellt, spricht man vom Pol-/NullstellenDiagramm (PN-Diagramm). Zur Unterscheidung werden Nullstellen als und Pole als gezeichnet. Die Systemfunktion ist bis auf einen konstanten Faktor durch Angabe der Polund Nullstellen eindeutig bestimmt. Anmerkung 57 Durch Angabe der Pol- und Nullstellen ist die Systemfunktion eines LTI-Systems bis auf eine reelle Konstante vollständig bestimmt. Der konstante Faktor muss getrennt ermittelt werden. Beschreibt die Systemfunktion z.B. Ua das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung mit H(s) = V U e , dann nennt man V die Spannungsverstärkung - oder abschwächung. Beispiel 58 Wir berechnen die Systemfunktion des in Abbildung 13.12 gezeigten Netzwerks.Durch Knotenanalyse erhalten wir die die Knotenspannungen 13.4. SYSTEMANTWORT 155 Abbildung 13.12: LC-Tiefpass…lter Abbildung 13.13: Pol-/Nullstellendiagramm 1 s3 +2s2 +2s+1 (R + L2 s)Ue R + s(L1 + L2 ) + s2 CL1 R + s2 CL1 L2 RUe U2 = R + s(L1 + L2 ) + s2 CL1 R + s2 CL1 L2 U1 = (13.84) (13.85) a Die Ausgangsspannung ist Ua = U2 , die Systemfunktion ist U Ue . Nach Einsetzen der konkreten Werte für L1 ; L2 ; C und R und Vereinfachen des entstandenen Ausdrucks erhalten wir als Ergebnis der Netzwerkanalyse H(s) = 1 Ua (s) = 3 Ue (s) s + 2s2 + 2s + 1 (13.86) a (s) Da die Systemfunktion H(s) = U Ue (s) als das Verhältnis von Eingangssignal und Ausgangssignal (im s-Bereich) de…niert ist, erhält man die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals einfach durch Multiplikation der Laplace-Transformierten des Eingangssignals mit der Systemfunktion. Ua (s) = Ue (s) Ua (s) = Ue (s) H(s) Ue (s) (13.87) Beispiel 59 Wir berechnen (mit Matlab) die Nullstellen von s3 + 2s2 + 2s + 1 und stellen das Nennerpolynom in Produktform dar roots([1 2 2 1] ) (-1.0), (-0.5+0.8660i), (-0.5-0.8660i) ) (s + 1)(s + 0:5 + j0:866)(s + 0:5 j0:866) = (s + 1)(s e j120 )(s ej120 ). Das zugehörige PN-Diagramm ist in Abbildung 13.13 gezeigt. Beispiel 60 Für die Darstellung des PN-Diagramms stellt Matlab die Funktion pzmap zur Verfügung. Für das Beispiel F (s) = s27s+11 +4s+3 erhalten wir P = [7 11]; Q = [1 4 3] sys = tf(P,Q); pzmap(sys) 1; 3. eine Nullstelle bei 11 7 und Polstellen bei Das Nennerpolynom der Systemfunktion H(s) nennt man charakteristisches Polynom. Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms (die Pole) werden auch Eigenfrequenzen Die Wurzeln des Nennerpolynoms (= charakteristischen Polynoms) einer Systemfunktion (die Pole) stellen Eigenfrequenzen des zugehörigen Systems dar. 156 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Pole-Zero Map 1 0.93 0.8 0.87 0.78 0.64 0.46 0.24 0.97 Imaginary Axi s 0.6 0.4 0.992 0.2 3 0 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.2 0.992 -0.4 -0.6 0.97 -0.8 0.93 -1 -3 0.87 -2.5 -2 -1.5 Real Axis 0.78 0.64 0.46 0.24 -1 -0.5 Abbildung 13.14: PN-Diagramm von 0 7s+11 s2 +4s+3 Impuls e Res pons e Amplitude 1 h1(t) 0.5 h(t) 0 -0.5 -1 0 h2(t) 2 4 6 8 T ime (s ec ) 10 12 Abbildung 13.15: h(t) = h1 (t) + h2 (t) Die Impulsantwort eines Systems setzt sich aus dessen Eigenschwingungen zusammen. des Netzwerks genannt. Um zu einem besseren Verständnis der Eigenfrequenzen von Netzwerken zu gelangen, gehen wir vom Netzwerk mit der Systemfunktion (13.86) aus und transformieren in den Zeitbereich. Die Laplace-Transformierte des Dirac-Impulses ist 0 (t) , 1. Wird also das Netzwerk mit einem Dirac-Impuls angeregt, ist Die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals 1 H(s). Die Rücktransformation der Systemfunktion in den Zeitbereich liefert daher die Impulsantwort. Die Eigenschwingungen sind die Reaktionen des Systems auf Anregung mit dem Dirac-Impuls. 1 1 s = 2 + + 2s + 1 s+1 s +s+1 p t 2 3 t h(t) = 1 (t)e t + 30 ) 1 (t) p e 2 cos( | {z } 2 3 | {z } h1 (t) H(s) = s3 2s2 (13.88) (13.89) h2 (t) Wie man in Abbildung 13.15 sieht, sind die Eigenschwingungen unseres Beispiels die p t abklingende Exponentialfunktion e t und die abklingende Kosinusfunktion p23 e 2 cos( 23 t+ 30 ); die den Polen bei 1 und e j120 entsprechen. Anmerkung 61 Ein Netzwerk nennt man stabil, wenn die Eigenfrequenzen abklingen. Das ist immer dann der Fall, wenn die Pole in der linken o¤ enen Halbebene des s Bereichs liegen. Liegen die Pole in der o¤ enen rechten Halbebene, dann klingen die Schwingungen an, was physikalisch nicht möglich ist und wir haben ein instabiles Netzwerk vorliegen. Pole auf der imaginären Achse stellen ein Netzwerk mit ungedämpften Schwingungen dar (Oszillator). (Vgl. Abbildung 2.8 im Abschnitt 2.4) 13.4. SYSTEMANTWORT 157 Die folgende Tabelle stellt die PN-Diagramme einfacher Systeme und die zugehörigen Impulsantworten dar. PN-Diagramm f (t)14 F (s) 1 s+a e s s+a at 0 (t) 1 D 1 (s+a1 )(s+a2 ) s (s+a1 )(s+a2 ) 1 D 1 (s+a+j!)(s+a j!) = 1 (s+a)2 +! 2 s (s+a+j!)(s+a j!) = s (s+a)2 +! 2 (e ae a1 t ( a1 e a1 t 1 at !e D at !e 1 (s+a)2 (1 a2 t + a2 e ) a2 t ) sin !t cos(!t + ') te s (s+a)2 e at at at)e at Systemantwort auf eine beliebige Erregung Die Systemantwort berechnet man aus Ag (s) = H(s)G(s): Hat man H(s) durch Netzwerkanalyse ermittelt, ist die Laplace-Transformierte der Eingangsfunktion zu ermitteln. Bei der Untersuchung des Übertragungsverhaltens von Netzwerken beschränkt man sich bei der Eingangsfunktion meistens auf sinusförmige Eingangsgröß en (aus denen beliebige Eingangssignale aufgebaut werden können) und auf die Impuls- und Sprungfunktion. Für diese Eingangssignale können wir die Laplace-Transformierte den Transformationstabellen entnehmen. Bei der Ermittlung der Systemantwort auf beliebige Erregung gehen wir wie folgt vor. 1. Die Erregung wird vom Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert: g(t) ) G(s) 2. Die Systemfunktion wird mit der Erregung multipliziert Ag (s) = H(s)G(s) 1 4 Zur Erinnerung: Die Zeitfunktion f (t) ist nur für t ist die Multiplikation mit 1 (t) weggelassen. 0 de…niert. Der kürzeren Schreibweise willen, 158 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN 3. Die Antwort wird durch Rücktransformation ermittelt ag (t) ( Ag (s) Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung zerlegt man die Systemantwort Ag (s) in einfache Ausdrücke, für die man in Transformationstabellen die entsprechende Zeitfunktion nachschlagen kann. Anstelle der Lösung der Netzwerkgleichungen mit Hilfe von Di¤erentialgleichungen gelingt es durch die Operatorenrechnung (Laplace-Transformation) die Aufgabenstellung auf die Lösung algebraischer Gleichungen zu vereinfachen. Da die Eigenschaften des Systems ausschließ lich im Frequenzbereich (s Bereich) formuliert sind, spricht man auch von der Lösung im Frequenzbereich. Stationäre Lösung (Wechselstromrechnung) Ein wichtiger Sonderfall (Wechselstromrechnung) ist die Erregung eines Netzwerks mit einer stationären Schwingung der Kreisfrequenz ! i ~ j!i t ) G(s) = ~g (t) = Ke Ag (s) = H(s) Bei stabilen Systemen klingt der Einschwinganteil ab und es bleibt nur der Erregeranteil übrig. ~ K s j! i ~ K s j! i (13.91) Die Systemantwort Ag (s) besteht aus einem Einschwing- und einem Erregeranteil. Bei stabilen System klingt der Einschwinganteil ab und es bleibt nur der stationäre Erregeranteil übrig. Der stationäre Anteil hat einen einfachen Pol bei s1 = j! i mit dem ~ stat Residuum R ~ stat R ~ stat = H(j! i )K ~ R s j! i ~ stat ej!i t = H(j! i )Ke ~ j!i t ~agstat (t) = R Agstat (s) = Wird ein stabiles System durch eine sinusoidale Schwingung angeregt, entsteht am Ausgang (nach dem Abklingen des Einschwinganteils) wieder eine sinusoidale Schwingung mit der gleichen Frequenz, die die sich von der Erregerschwingung nur in der Amplitude und Phasenlage unterscheidet. (13.90) (13.92) (13.93) ~ j!i t , die (komplexe) Eingangsamplitude K ~ ~agstat ist die Antwort auf die Erregung Ke ~ wird zur (komplexen) Ausgangsamplitude H(j! i )K verändert. Für die reelle Zeitfunktion agstat ist der Realteil zu bilden agstat (t) = Re f~agstat (t)g : Bei Erregung eines stabilen Systems durch eine stationäre Schwingung der Frequenz ! ist die Antwort (nach Abklingen der Einschwingzeit) ebenfalls eine stationäre Schwingung der Frequenz !; deren komplexe Amplitude aus der komplexen Amplitude der Erregung durch Multiplikation mit H(j!) folgt. Die Funktion H(j!) nennt man die Frequenzantwort des Systems. Im Frequenzbereich ist die Betrachtung der Kurvenform nicht erforderlich, da die Kurvenform bekannt ist, es interessiert lediglich die komplexe Amplitude. Die komplexe Amplitude nach Betrag und Winkel als Funktionen von ! dargestellt, nennt man Amplituden- und Phasengang oder Bodediagramm. Beispiel 62 Für die numerische Berechnung des Frequenzgangs stellt Matlab die Funktion bode zur Verfügung. Für das Netzwerk (13.86) B = [1]; A = [1; 2; 2; 1] erhalten wir unter Verwendung von bode(B,A) das Bodediagramm in Abbildung 13.16. Anmerkung 63 Der Frequenzgang von LTI-Systemen interessiert meistens über einen groß en Frequenz- und Amplitudenbereich. Daher verwendet man häu…g eine logarithmische Darstellung für beide Achsen. Das Verhältnis von Eingangs- zu Ausgangsgröß e wird immer als Leistungsverhältnis und in Dezibel [dB] ausgedrückt. a[Bel] = log Paus ; Pein a[dB] = 10 log Uaus Uein a[dB] = 10 log 2 = 20 log Paus Pein Uaus Uein bei Leistungen (13.94) bei Spannungen (13.95) 13.4. SYSTEMANTWORT 159 B ode D iagram 0 Magnitude (dB) -20 -40 -60 -80 -100 Phase (deg) -120 0 -90 -180 -270 10 -2 10 -1 0 10 Frequency (rad/sec) 10 1 2 10 Abbildung 13.16: Bode-Plot LC-Tiefpass H(s) = 1 s3 +2s2 +2s+1 js=j! Bode Diagram 0 Magnitude (dB) -20 -40 -60 -80 -100 180 Phase (deg) 135 90 45 0 10 -2 10 -1 0 10 Frequency (rad/sec) 10 1 Abbildung 13.17: Frequenzgang RC-Hochpass 10 2 R2 C 2 s2 R2 C 2 s2 +3RCs+1 Beispiel 64 Matlab stellt zur Umrechnung in Dezibel die Funktion dB(x) zur Verfügung p x = [0:01; 0:1; p12 ; 1; 2;10; 100] dB(x) ) -40 -20p-3 0 3 20 40 % Das Verhältnis 2 , 3dB entspricht der doppelten Leistung. 2 2 2 C s Beispiel 65 Für das einfache RC-Netzwerk (9) H(s) = R2 C 2Rs2 +3RCs+1 mit RC = 1 wird B=[1 0 0]; A=[1 3 1] und wir erhalten das Bodediagramm in Abbildung 13.17 13.4.2 Lösung im Zeitbereich Die direkte Berechnung der Systemantwort im Zeitbereich durch Lösung der Di¤erentialgleichung ist für komplizierte Erregungsfunktionen zu umständlich. Für einfache Zeitfunktionen wie die Impulsfunktion 0 (t) kann man die Systemantwort aber leicht berechnen. Im Kapitel über die Elementarfunktionen haben wir gesehen, dass sich beliebige Eingangssignale durch Abtastung mit der Impulsfunktion darstellen lassen. g(t) 0 (t) = Zt g( ) 0 ( t)d = g(t) (13.96) 0 Wie wir wissen, gilt bei LTI-Systemen der Überlagerungssatz. Denken wir uns das Das Ausgangssignal kann man sich als Überlagerung von Systemantworten auf Impulse, aus denen sich das Eingangssignal zusammensetzt, vorstellen. 160 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Abbildung 13.18: Zerlegung des Eingangssignals Eingangssignal aus lauter Impulsen zusammengesetzt, so können wir für jeden dieser Impulse die Impulsantwort bestimmen, die Überlagerung dieser Impulsantworten liefert dann die Systemantwort auf das Eingangssignal. Um die Zusammenhänge verständlich zu machen, stellen wir das Eingangssignal als Summe von Rechteckimpulsen, wie in Abbildung 13.18 gezeigt dar. Um den Übergang zu Dirac-Impulsen herzustellen, gehen wir wie bei der De…nition der Dirac-Impulse vor: Der Impuls hat eine Breite , die Höhe 1= , die Fläche 1 und ! 0. Die » Stärke« des Impuls entspricht seiner Fläche, also g(n ) , der Impuls wird also [g(n ) ] 0 (t n ): Sie Systemantwort auf den Impuls 0 (t) ist h(t) und wir erhalten 0 (t) [g(n | ) 0 (t n ] 0 (t {z n ) h(t) ) ) h(t (13.97) n ) ) [g(n } | Eingang Einzelpuls ) ) (13.98) ] h(t {z n Ausgang Einzelpuls ) } (13.99) Das Eingangssignal müssen wir aus einer Summe von einzelnen Dirac-Impulsen zusammensetzen und erhalten lim !0 1 X n= g(n | 1 ) 0 (t n {z Eingangsignal Z1 g( ) 0 (t 1 ) } ) lim !0 )d ) Da wir nur Zeitfunktionen für t bis t erstrecken und erhalten Z1 n= 1 g(n | g( )h(t )h(t n {z Ausgangsignal )d ) } (13.100) (13.101) 1 0 betrachten können wir die Integration von ag (t) = g(t) h(t) = Die Systemantwort ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort des Systems. 1 X Z 0 t h( )g(t )d (13.102) 0 Die Antwort eines Systems auf das Eingangssignal g(t) berechnet man durch Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort. Gleichung (13.102) nennt man Superpositionsintegral und spricht von der Lösung der Systemantwort im Zeitbereich. Die Impulsantwort h(t) kann man durch direkte Lösung der Di¤erentialgleichung des LTI-Systems bestimmen oder zweckmäß iger durch Berechnung der Impulsantwort durch inverse Laplace-Transformation der Systemfunktion H(s). 13.4. SYSTEMANTWORT 161 Abbildung 13.19: Anfangsbedingungen Induktivität Abbildung 13.20: Anfangsbedingungen Kapazität 13.4.3 Anfangsbedingungen Alle bisherigen Untersuchungen tre¤en nur auf Systeme mit energielosem Anfangszustand zu. Das bedeutet, dass zum Zeitpunkt t = 0 alle Kapazitäten ungeladen und alle Induktivitäten stromlos sein müssen. Wenn diese Bedingung nicht zutri¤t, müssen die Anfangsbedingungen durch zusätzliche Erregungen berücksichtigt werden. Der Zustand eines Netzwerkes zu einem gegebenen Zeitpunkt t ist durch die Ströme in den Spulen und die Spannungen an den Kapazitäten vollständig bestimmt. Sein zukünftiges Verhalten kann aus diesem Zustand und den ab diesem Zeitpunkt wirksamen Erregungen berechnet werden. Für die Induktivität mit Anfangsstrom erhalten wir das Ersatzschaltbild in Abbildung 13.19. Für die Kapazität mit Anfangsladung erhalten wir das Ersatzschaltbild in Abbildung 13.20. Wenn das Netzwerk nicht im energielosen Anfangszustand ist, müssen die Netzwerkgleichungen mit den Ersatzschaltungen in den Abbildungen 13.19 und 13.20 in gewohnter Form erstellt werden. Die Berechnung des Netzwerkes wird dadurch zwar umständlicher, jedoch prinzipiell nicht schwieriger. Durch die zusätzlichen Erregungen, die die Anfangsbedingungen berücksichtigen, verliert die Systemfunktion als Verhältnis von Antwort=Erregung ihren ursprünglichen Sinn, da das Netzwerk jetzt an mehreren Stellen erregt wird. 13.4.4 Eigenschaften der Systemfunktion Die Systemfunktion ist eine Funktion der komplexen Variablen s = + j!, die für alle s de…niert ist. Bei der Berechnung der Systemantwort für beliebige Erregungen ist die Systemfunktion und die Laplace-Transformierte der Erregung erforderlich. Für den Sonderfall s = j!; liegen die Werte der Systemfunktion über der imaginären Achse, die technischen Frequenzen liegen also auf der imaginären Achse. Die inverse LaplaceTransformation der Systemfunktion ist die Impulsantwort des Systems. Sowohl Systemfunktion, als auch PN-Diagramm (bis auf einen konstanten Faktor), als auch Impulsantwort liefern eine vollständige Beschreibung des Übertragungsverhalten eines Systems. Zum Zeitpunkt t = 0 geladene Kapazitäten oder stromdurch‡ossene Induktivitäten werden durch zusätzliche Strom- oder Spannungsquellen modelliert. 162 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN 50 0 2 -50 -1 1 -0.5 0 0 -1 0.5 1 -2 Im (s ) Re(s ) Abbildung 13.21: Axonometrische Darstellung von jH(s)j in [dB] Die Systemfunktion von elektrischen Netzwerken hat nur reelle Koe¢ zienten, die durch die Bauelementewerte bestimmt sind. Die Pole und Nullstellen der Systemfunktion können daher nur entweder reell oder konjugiert komplex sein, wobei die Zahl der Pole und Nullstellen der Ordnung der Nenner- und Zählerpolynome entspricht. Die konjugiert komplexe Systemfunktion ist gleich der Systemfunktion für konjugiert komplexes Argument. H (s) = H(s ); H (j!) = H( j!) (13.103) Für s = j! ist der Realteil der Systemfunktion eine gerade, der Imaginärteil eine ungerade Funktion. Der Betrag der Systemfunktion für s = j! ist eine gerade Funktion, die Phase eine ungerade Funktion. Trägt man den Betrag von jH(s)j über der komplexen Ebene auf, so entsteht ein » Funktionsgebirge« . Der Schnitt des Gebirges mit der Ebene durch die imaginäre Achse ( die dicke Linie in Abbildung 13.21) ist der Amplitudengang der Funktion. Abbildung 13.21 zeigt drei Pole und zwei Nullstellen in axonometrischer Darstellung15 . Die axonometrische Darstellung dient dem besseren Verständnis der Systemfunktion und ist sehr aufwändig. Daher werden in der Regel nur die Pol- und Nulstellen der Systemfunktion dargestellt (PN-Diagramm). 13.5 Zusammenfassung Bei der Lösung der Netzwerkgleichungen für Gleichstromnetzwerke, die mit Hilfe der Schleifen- oder Knotenanalyse erstellt werden, muss ein System von linearen Gleichungen gelöst werden und man erhält die gewünschten Netzwerkgröß en. Nach der Einführung der komplexen Widerstände für L und C kann die Netzwerkanalyse in gleicher Form wie bei der Gleichstromanalyse durchgeführt werden. Anstelle der reellen Widerstände der Gleichstromanalyse treten die komplexen Widerstände der Wechselstromanalyse. Die gewünschten Netzwerkgröß en können durch Lösung eines Systems von linearen Gleichungen mit komplexen Koe¢ zienten gefunden werden. Komplexe Widerstände können nur für sinusförmige Wechselgröß en de…niert werden, diese Form der Netzwerkberechnung ist daher nur für sinusförmige Erregungen anwendbar. 1 5 Der Betrag ist logarithmisch dargestellt. Die Nullstellen liegen daher bei 1: 13.5. ZUSAMMENFASSUNG 163 Für Erregungen mit beliebigem Zeitverlauf liefert die Netzwerkanalyse ein System von Integro-Di¤erentialgleichungen, die nach den Regeln der Lösung von Di¤erentialgleichungen zu lösen sind. Derartige Verfahren werden in der Netzwerkanalyse allerdings kaum eingesetzt, da durch die auf der Basis der Laplace-Transformation eingeführte Operatorenrechnung ein wesentlich leistungsfähigeres Verfahren zur Lösung der Di¤erentialgleichungen zur Verfügung steht, das darüber hinaus noch weitere Aussagen über die Eigenschaften des Netzwerks ermöglicht. Die erregenden Zeitfunktionen sind auf den Bereich t 0 eingeschränkt, was in technischen Anwendungen sinnvoll ist, da Zeitfunktionen » eingeschaltet« werden. Mit Hilfe der Laplace-Transformation stellen wir das Netzwerk im s Bereich (Frequenzbereich) dar, aus den linearen Di¤erentialgleichungen werden dadurch algebraische Gleichungen. Die Rücktransformation aus dem s Bereich in den Zeitbereich wird mit Hilfe bekannter Korrespondenzen zwischen Zeit- und s Bereich durchgeführt. Dazu wird die Systemfunktion mit Hilfe der Partialbruchzerlegung in einfache gebrochen rationale Funktionen zerlegt, für die man Korrespondenzen in Transformationstafeln …ndet. Einschränkend ist festzuhalten, dass mit dieser Methode nur Zeitfunktionen erfassbar sind, deren Laplace-Transformierte, so wir die Systemfunktion, eine gebrochen rationale Funktion ist. Diese Einschränkung ist für die wichtigsten Zeitfunktionen Sinus, Impuls und Sprung erfüllt. Eine Ausnahme ist die nichtrationale Funktion e as ; die über den Verschiebungssatz f (t a) , eas F (s) berücksichtigt werden kann. Die Laplace-Transformation ist zunächst nur für energielosen Anfangszustand anwendbar, Anfangsbedingungen können aber durch entsprechende Ersatzschaltungen für L und C berücksichtigt werden. Die Wechselstromanalyse ist als Sonderfall s = j! im s Bereich enthalten und beschreibt das Netzwerk, wenn der Einschwingvorgang, durch das » Einschalten« des Zeitsignals, abgeklungen ist. (Die Zeitsignale sind nur für t 0 de…niert, während bei der Wechselstromrechnung sinusförmige Zeitsignale verwendet werden, die für 1 < t < 1 de…niert sind.) Bei stabilen System ist der Einschwingvorgang praktisch in endlicher Zeit abgeschlossen (exponentielles Abklingen). Wenn die Pole der Systemfunktion in der o¤enen linken komplexen Ebene liegen, ist das System stabil, da es nur abklingende Eigenschwingungen hat. Nullstellen auf der imaginären Achse sind Nullstellen der Systemfunktion, Erregungen mit einer Frequenz, die diesen Nullstellen entspricht, werden vom System unterdrückt. Den Frequenzgang (das Bode-Diagramm) eines Systems erhält man durch Berechnen des Betrags und der Phase der Systemfunktion für s = j!: Für die Lösung im Zeitbereich muss die Impulsantwort des Systems bekannt sein. Die Antwort des Systems auf eine beliebige Erregung wird dann durch Faltung (Superpositionsintegral) der Impulsantwort mit der Erregung gefunden. Die Impulsantwort kann entweder durch direkte Lösung der Netzwerk-Di¤erentialgleichungen gefunden werden oder durch inverse Laplace-Transformation der Systemfunktion. 164 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN Kapitel 14 Wellenausbreitung auf Leitungen Inhalt 14.1 14.2 14.3 14.4 14.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ersatzschaltbild der Leitung . . . . . . . . . Herleitung der Leitungsgleichungen . . . . Verlustfreie Leitung . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2 Lösung für harmonische Vorgänge . . . . . 14.4.3 Re‡exionsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.4 Impedanzverlauf einer Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 165 166 168 168 169 169 171 Einleitung Zur Beschreibung elektromagnetischer Vorgänge auf Leitungen, gibt es eine Reihe von mehr oder weniger stark vereinfachten Modellen. Bei der Berechnung des Ausbreitungsverhaltens elektromagnetischer Felder entlang von Leitungen muss ein Randwertproblem für die Maxwellschen Gleichungen gelöst werden. Selbst unter vereinfachten Annahmen (R = 0; G = 1) gelingt es nur in Spezialfällen analytische Lösungen anzugeben. Im allgemeinen Fall können meistens nur Näherungsoder numerische Lösungen gefunden werden. Für den Sonderfall des sinusförmig eingeschwungenen Zustands, lässt sich die Lösung dieser Randwertprobleme auf ein Eigenwertproblem zurückführen. 14.2 Ersatzschaltbild der Leitung Wir gehen von folgendem Ersatzschaltbild (Abbildung 14.1) eines Leitungsstückes (Zweidrahtleitung) aus1 . R’......Längswiderstandsbelag S G’......Querleitwertsbelag m m L’......Längsinduktivitätsbelag C C’......Querkapazitätsbelag m H m Der Längswiderstandsbelag beschreibt die Wärmeverluste entlang der Leitung, der Querleitwertsbelag beschreibt die Wärmeverluste in der Isolierung. Wir nehmen weiter an, dass der Abstand der Leiter D << (keine Abstrahlung). 1 Die Herleitung der Leitungsgleichungen folgt einem Skriptum des Instituts für Kommunikationsnetze und Satellitenkommunikation der TU Graz. 165 166 KAPITEL 14. WELLENAUSBREITUNG AUF LEITUNGEN Abbildung 14.1: Ersatzschaltung eines Zweidraht-Leitungsstücks 14.3 Herleitung der Leitungsgleichungen Wir wenden die Maschengleichung auf das Ersatzschlatbild Abbildung 14.1 an und erhalten: u + du u + i + iR0 dz + L0 di dz = 0 dt Nach Umformen wird daraus #i #u = iR0 L0 #z #t Wenden wir nun die Knotengleichung auf das Ersatzschaltbild Abbildung 14.1 an, so erhalten wir: i + di + (u + du) G0 dz + C 0 d (u + du) dz dt i=0 Nach Umformen wird daraus #i #u = G0 u C 0 #t #t Die allgemeinen Leitungsgleichunge in DI¤erentialform lauten daher #u (z; t) = #z L0 #i (z; t) #t R0 i (z; t) #i (z; t) #u (z; t) = C0 G0 u (z; t) #z #t Aus den Gleichungen 14.1 und 14.2 folgt nach partieller Ableitung #2 u (z; t) = #z 2 #2 i (z; t) = #z#t und gegenseitigem Einsetzen #2 i (z; t) #z#t R0 #i (z; t) #z #2 u (z; t) #t2 G0 #u (z; t) #t L0 C0 2 #2 u (z; t) #u (z; t) #u (z; t) 0 0 # u (z; t) + R0 C 0 + R0 G0 u (z; t) = L C + L0 G0 2 2 #z #t #t #t bzw. #2 i (z; t) #i (z; t) #2 i (z; t) #u (z; t) = L0 C 0 + L0 G0 + R0 C 0 + R0 G0 i (z; t) 2 #z #t2 #t #t Die Gleichungen 14.3 und 14.4 (14.1) (14.2) 14.3. HERLEITUNG DER LEITUNGSGLEICHUNGEN 167 2 #2 u (z; t) 0 0 0 0 0 0 #u (z; t) 0 0 # u (z; t) = R G u (z; t) + (R C + G L ) + L C #z 2 #t #t2 (14.3) 2 #2 i (z; t) 0 0 0 0 0 0 #i (z; t) 0 0 # i (z; t) = R (14.4) G i (z; t) + (R C + G L ) + L C #z 2 #t #t2 werden Telegraphengleichung2 genannt. Die Telegraphengleichung hat sowohl für u (z; t) als auch für i (z; t) dieselbe Gestalt. Unterschiede in den Lösungen ergeben sich aus den Randbedingungen der Di¤erentialgleichungen. u und i kommen in der Telegraphengleichung nur linear vor, wir haben also eine lineare partielle Di¤erentialgleichung. Eine wichtige Anwendung von Leitungen …nden wir mit dem harmonischen Lösungsansatz (sinusoidale Größ en bzw. die Überlagerung sinusoidaler Größ en). In komplexer Darstellung erhalten wir n! o u(z; t) = Re U (z)ej!t i(z; t) = Re o n! I (z)ej!t und Orts- und Zeitabhägigkeit sind separiert. Aus Gleichung 14.1 bzw. 14.2 wird für diesen Lösungsansatz ! d U (z) = dz ! (R0 + j!L0 ) I (z) ! ! d I (z) = (G0 + j!C 0 ) U (z) dz Nach Di¤erenzieren und Einsetzen erhalten wir ! ! d2 U (z) = (R0 + j!L0 ) (G0 + j!C 0 ) U (z) dz 2 ! d2 U (z) = dz 2 = 2! U (z) p (R0 + j!L0 ) (G0 + j!C 0 ) = (14.5) +j (14.6) Gleichung 14.5 ist die Wellengleichung, die komplexe Größ e (14.6) nennt man Ausbreitungskonstante, wobei [ Nmp ] Dämpfungskonstante und [ rad m ] Phasenmaßgenannt wird. Die Dämpfungskonstante wird entweder in Neper (Basis natürlicher Logarithmus) oder in dB (Basis dekadischer Logarithmus) angegeben. 1 Neper = 20 log e = 8; 68 dB Für die Wellengleichung 14.5 …nden wir folgenden Lösungsansatz ! U (z) = = vorlaufende Welle + rücklaufende Welle ! ! z Ae z + Be (14.7) Schreiben wir die Zeitabhängigkeit wieder an, so erhalten wir ! Ae z j!t e ! = A e( z j z+j!t) ! = |A e{z z} e|j(!t{z z) } Däm pfung Phasenänderung Für einen Punkt konstanter Phase muss gelten !t z = const: Daraus erhalten wir z = !t const , z wächst proportional mit der Zeit d.h. der Punkt bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit 2 Sie wurde zum ersten Mal bei der Berechnung der Fortp‡anzung von Telegraphiesignalen auf Seekabeln aufgestellt. 168 KAPITEL 14. WELLENAUSBREITUNG AUF LEITUNGEN vphase = dz ! = dt (14.8) entlang der Leitung. In Gleichung 14.8 handelt es sich um eine vorlaufende Welle, die sich in positiver z Richtung ausbreitet. Für die rücklaufende Welle aus Gleichung 14.5 ist die Phasengeschwindigkeit vphaseR = ! : Unseren Lösungansatz 14.7 muss auch Gleichung ! ! d U (z) = (R0 + j!L0 ) I (z) dz erfüllen. Setzen wir ein, so erhalten wir ! d U (z) = dz daraus folgt für ! Ae ! + Be z ! ! A I (z) = e Zw z = ! (R0 + j!L0 ) I (z) ! B e Zw z z Die komplexe Größ e Zw nennt man Wellenwiderstand. s R0 + j!L0 R0 + j!L0 = Zw = G0 + j!C 0 Der Wellenwiderstand ist der Quotient von ! U (z) ! I (z) für eine Welle (vorlaufend oder rücklaufend). Die Wellenlänge auf der Leitung berechnen wir über die Beziehung e|j(!t {zz 2n ) elektrisch j(!t (z+n )) } = |e {z } geom etrisch Der kleinste Abstand zweier Stellen mit gleicher Phase ist die Wellenlänge 2n = n = 2 Aus Gleichung 14.8 erhalten wir vphase = f 14.4 Verlustfreie Leitung Für gute Leiter (z.B. Kupfer) mit guter Isolierung kann man R0 = G0 = 0 setzen und erhält die verlustfreie Leitung. 14.4.1 Allgemeine Lösung Für den Sonderfall der verlustfreien Leitung werden die Telegraphengleichungen 14.3 und 14.4 zu den Wellengleichungen 2 #2 u (z; t) 0 0 # u (z; t) = L C #z 2 #t2 #2 i (z; t) #2 i (z; t) = L0 C 0 2 #z #t2 Der allgemeine Lösungsansatz lautet 14.4. VERLUSTFREIE LEITUNG 169 Abbildung 14.2: Leitung mit Abschlussimpedanz u(z; t) = vorlaufende Welle + rücklaufende Welle = F1 (vphase t z) + F2 (vphase t + z) 1 i(z; t) = [F1 (vphase t z) + F2 (vphase t + z)] Zw wobei F1 und F2 beliebige Funktionen sind. Wir betrachten im weiteren nicht die allgemeine Lösung sondern konzentrieren uns auf sinusoidale Vorgänge. 14.4.2 Lösung für harmonische Vorgänge Bei der verlustlosen Leitung ist R = G = 0 und wir erhalten folgende Vereinfachungen ) = p (R0 + j!L0 ) (G0 + j!C 0 ) = p = 0; :::::: = ! L0 C 0 = Zw = s R0 + j!L0 = G0 + j!C 0 r p + j = j! L0 C 0 ! vphase L0 C0 Zw ) reell Als Lösung für diesen Fall erhalten wir daher 14.4.3 ! ! U (z) = A e j z ! ! A I (z) = e Zw j z ! + B ej z ! B j e Zw (14.9) z (14.10) Re‡exionsfaktor Wird die Leitung mit einer beliebigen Impedanz abgeschlossen, verändert sich die ortsabhängige Impedanz über die Leitung. Nur wenn mit einer Impedanz = Wellenwiderstand abgeschlossen wir, kann eine Re‡exion vermieden werden und die Impedanz bleibt über die gesamte Leitung konstant. Aus 14.9 und 14.10 erhalten wir Z0 = U (z) I(z) z=0 ! ! A+B = ! ! Zw A B Nach weitere Umformung wird ! A Z0 ! ! ! B Z0 = A Zw + B Zw ! ! B (Z0 + Zw ) = A (Z0 Zw ) 170 KAPITEL 14. WELLENAUSBREITUNG AUF LEITUNGEN ! Z0 Zw ! A = B = Z0 + Zw ! 0A ! B Z0 Zw j 0 = 0 ! = Z + Z = j 0j e 0 w A e und wird Re‡exionsfaktor am Ort z = 0 genannt: Es gilt 0 ist eine komplexe Größ j 0 j 1. Unter Verwendung von 0 wird aus 14.9 ! ! ! U (z) = A e j z + 0 ej z = A e j z 1 + 0 ej2 z ! Die Spannungsamplitude der vorlaufenden Welle ist also A e j z , die Amplitude der ! j z j2 z rücklaufenden Welle ist A e : 0e _ Der Re‡exionsfaktor (z ) beschreibt das Amplitudenverhältnis von rück- zu vorlaufender Welle am beliebigen Ort z: Somit wird ! ! U (z) = A e j z [1 + (z)] und ! ! A I (z) = e Zw j z j 0e z ! A e Zw = j z 1+ 0e j2 z bzw. ! ! A I (z) = e Zw j z [1 (z)] mit (z) = 0e j2 z = 0e j4 z Für den Widerstand am beliebigen Ort z erhalten wir Z(z) = U (z) 1 + (z) 1+ = Zw = Zw I(z) 1 (z) 1 0e j2 z 0e j2 z = R(z) + jX(z) Nach Umformen erhalten wir (z) = 0e j2 z = Z(z) Zw Z(z) + Zw Für Z0 = Zw wird 0 = 0; es tritt keine Re‡exion auf und wir sprechen von Anpassung. Anpassung ist von groß er praktischer Bedeutung, da keine Re‡exionen auf der Leitung auftreten und die ganze verfügbare Leistung der Quelle an den Verbraucher abgegeben wird. Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung Die Spannungs(Strom)verteilung auf einer Leitung hängt vom Ort und von der Zeit ab. Für harmonische Anregung ist u(z; t) = Re U (z)ej!t = Re jU (z)j ej' ej!t = jU (z)j cos (!t + ') Wir ermitteln den Verlauf der Spannungsverteilung und erhalten ! U (z) ! Ae ! = Ae = j z j z ! [1 + (z)] = A e j z [1 + j 0 j cos (2 z + Daraus ermittlen wir den Betrag h 1 + j 0 j e(j2 0) z+ 0) i + j j 0 j sin (2 z + 0 )] 14.4. VERLUSTFREIE LEITUNG 171 Abbildung 14.3: Spannungsverlauf auf einer Leitung (Z0 kapazitiv) Abbildung 14.4: Spannungs- und Stromverteilung einer kurzgeschlossenen Leitung ! U (z) = = ! A ! A q q [1 + j 0 j cos (2 z + 2 0 )] 2 + j 0 j sin2 (2 z + 2 1 + j 0 j + 2 j 0 j cos (2 z + 0) (14.11) 0) ! Analog erhalten wir für I (z) ! q A ! 2 I (z) = 1 + j 0 j + 2 j 0 j cos (2 z + Zw 0) (14.12) Die Gleichungen 14.11 und 14.12 stellen die Amplitudenverteilung von stehenden (ortsfesten) Wellen dar, die mit der Frequenz cos(!t + ') oszillieren. Für kapazitive Last erhalten wir die Spannungsverteilung 14.3 Wenn die Leitung kurzgeschlossen ist erhalten wir die Verteilung 14.4 Der Spannungsverlauf ist vergleichbar mit den mechanischen Schwingungen eines Seils mit fest eingespanntem Ende. Wenn die Leitung angepasst abgeschlossen tritt keine Re‡exion auf, die Spannungsbzw. Stromamplituden sind nicht ortabhängig 14.4.4 Impedanzverlauf einer Leitung Die Eingangsimpedanz einer Leitung in normierter Darstellung ist ze = z( l0 ) = Ze 1 + ( l0 ) = Zw 1 ( l0 ) Für die kurzgeschlossene Leitung erhalten wir (Z0 = 0; 0 = 1) 172 KAPITEL 14. WELLENAUSBREITUNG AUF LEITUNGEN Abbildung 14.5: Spannungs- und Stromvereilung Z0 = Zw Abbildung 14.6: Impedanz der Leitung der Länge l0 1 ej2 z e j z ej z = Z = jZw tan( z) w 1 + ej2 z e j z + ej z Abbildung 14.7 zeigt den Impedanzverlauf Für die Länge 0 > z > 4 ist die Impedanz induktiv., für 4 > z > 2 ist die Impedanz kapazitiv, bei z = 0; 2 ; ::: haben wir das Verhalten eines Serienschwingkreises, bei z = 0; 4 ; :::haben wir das Verhalten eines Parallelschwingkreises. Z(z) = Zw 14.4. VERLUSTFREIE LEITUNG Abbildung 14.7: Impedanzverlauf einer kurzgeschlossenen Leitung 173 174 KAPITEL 14. WELLENAUSBREITUNG AUF LEITUNGEN Kapitel 15 CMOS-Technologie Inhalt 15.1 Der nMOS-Transistor (Anreicherungstyp, enhancement type) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 15.2 p-MOS-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 15.3 Schwellenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 15.4 MOS Entwurfsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 15.5 Der CMOS-Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Complementary Metal Oxide Semiconductors (CMOS) sind Halbleiterbauelemente, bei denen p- und n-Kanal MOS Felde¤ekt-Transistoren auf einem gemeinsamen Substrat verwendet werden. Die CMOS-Technologie ist heute die meistgenutzte Technologie bei integrierten Schaltkreisen. Ein MOS-Transistor wird durch Überlagerung von mehreren Schichten aus leitendem, isolierendem und Halbleitermaterial gebildet. Abbildung ?? zeigt eine schematische Darstellung eines n-Kanal bzw. eines p-Kanal-Transistors. In p-dotiertes Basismaterial werden n-dotierte Bereiche eingebracht, die Drain- bzw. Source-Region des n-Kanal-Transistors bilden. Das Gebiet zwischen Drain und Source nennt man Kanal. Über dem Kanal be…ndet sich das durch eine Isolierschicht getrennte Gate. Durch Anlegen einer positven Spannung am Gate kann der Strom‡uss zwischen Source und Drain gesteuert werden.1 Beim p-Kanal-Transistor wird Drain und Source durch p-Dotation in n-leitendem Matarial gebildet. Ein sehr einfaches Verhaltensmodell, das für logische Schaltkreise ausreichend ist, ist das Schaltermodell. Der n-Kanal-Transistor wird bei Anlegen der positiven Versorgungsspannung (logisch Eins) leitend (Schalter geschlossen), liegt die Spannung Null (logisch Null) an, ist der Transistor nichtleitend (Schalter o¤en). Der p-Kanaltransistor ist bei Anlegen der positiven Versorgungsspannung nichtleitend (Schalter o¤en), bei Anlegen der Spannung Null ist er leitend (Schalter geschlossen). Wir betrachten beim Schaltermodell das Verhalten der MOS-Transistoren nur idealisiert für die Zustände Schalter geschlossen und o¤en. Das Schließ en (Ö¤nen) von Schaltern passiert durch den Übergang der Schaltspannung on 0 V auf die Versorgungspannung VDD . Die idealisierte Annahme Schalter O¤en/Geschlossen überprüfen wir am besten mit der analogen Transistorkennlinie, wie in Abbildung 15.1 gezeigt. Die Werte für den Drainstrom sind nicht bezi¤ert, da sie von der Kanallänge und -breite und von Technologieparametern abhängen. Bei Kanallängen im m-Bereich liegt der Drainstom des gesperrten Transistors im Picoamperebereich, moderne Technologien (z.B. 30 nm Kanallängen) haben deutlich höhere Sperrströme. Insgesamt sind die Ströme aber so gering, dass man 1 Bei den ersten Felde¤ekttransistoren dieses Typs war das Gate aus Metall (Aluminium), daher der Name Metal-Gate. Heute ist das Gatematerial polykristallines leitendes Silizium., daher der Name Polygate. 175 176 KAPITEL 15. CMOS-TECHNOLOGIE Abbildung 15.1: ID ; VGS Kennlinie (VDS 0:1V ) Abbildung 15.2: p- und n-Kanaltransistor als Schalter von » Abschalten« sprechen kann, der » Schalterwiderstand« ist aber nicht 1, wie er für O¤en sein müsste. Die Stromleitung setzt bei einer Gate-Source-Schwellenspannung von ca. 0:7 V ein. Der Kanalwiderstand Rch = VIGS ist nicht Null, wie beim geschlossenen idealen Schalter. D Den genauen Spannungs- und Stromverlauf an den Transistoren müssen wir aus den Kennlinien der Transistoren ermitteln, wie später gezeigt wird. In der CMOS-Logik-Technologie treten n- und p-Kanaltransistoren immer paarweise auf. Abbildung 15.2 zeigt Transistor- und Schalterdiagramm, sowie die Realisierung eines Inverters in CMOS-Technik. Liegt am Eingang, dem verbundenen Gate von n-Kanal und p-Kanal-Transistor, die Versogungsspannung VDD (logisch "1") an, dann ist der n-Kanal-Schalter geschlossen, der p-Kanal-Schalter ist o¤en. Der Ausgang des Inverters liegt daher auf null Volt (logisch Null). Liegt der Eingang auf null Volt (logisch Null), ist der n-Kanal-Schalter o¤en und der p-Kanal-Schalter o¤en, der Ausgang liegt daher auf VDD (logisch "1"). Weder im Zustand logisch 0, noch im Zustand logisch 1 ‡ieß t ein Querstrom durch den Inverter. Beim Übergang von 0 ! 1 ! 0 ‡ieß t ein Querstrom durch den Inverter, wie weiter unten dargestellt. Der größ te Anteil an der von CMOS-Logik verbrauchten Verlustleistung ist durch das Umladen der Eingangs- und Ausgangskapazität des Inverters verursacht. Transistoren in 15.1. DER NMOS-TRANSISTOR (ANREICHERUNGSTYP, ENHANCEMENT TYPE)177 Abbildung 15.3: Schaltsymbole MOSFETS heutiger Technologie schalten nicht mehr vollständig ab, wodurch ständig ein Querstrom ‡ieß t, der erheblichen Anteil an der Verlustleistung der CMOS-Schaltkreise hat. In Abbildung ?? ist der Aufbau eines Inverters in Form eines Schnittbildes, in Abbildung ?? in Form eines schematischen Layouts gezeigt. 15.1 Der nMOS-Transistor (Anreicherungstyp, enhancement type) Von den vielen Bauarten der Felde¤ektransistoren behandeln wir, wegen seine Bedeutung für die Chiptechnologie, nur den Anreicherungstyp. Dieser FET ist selbstsperrend (normally o¤), erst durch Anlegen einer Gatespannung formt sich ein ein leitender Kanal zwischen Drain und Source. Das Schaltsymbol des Transistors bildet die Eigenschaft des Selbstsperrens daduch ab, dass die Verbindung zwischen Source und Drain strichliert gezeichnet wird. Das Gate ist von Drain und Source isoliert (insulation gate) und gra…sch auch so dargestellt. (Abbildung 15.3) Die Struktur eines n-Kanal Anreicherungstyps ist in Abbildung ?? dargestellt. In einem leicht dotierten p-Substrat sind die beiden stark dotierten n+ Bereiche, die Source und Drain bilden, aufgebaut. Zwischen Drain und Source liegt der Channel, über dem die durch eine Isolierschicht (SiO2 , gate oxide) getrennte Steuerelektrode, das Gate (aus polykristallinem Silizium), liegt. Da das Gate isoliert ist, ‡ieß t bei Anlegen einer Spannung an das Gate (praktisch) kein Strom in das Substrat, es ‡ieß t lediglich der Ladestrom der Gatekapazität. Im Betrieb liegt zwischen Drain und Source eine positive Spannung Vds an. Wenn die Spannung zwischen Gate and Source Vgs = 0 ist, ‡ieß t kein Strom zwischen Drain und Source. Eine zwischen Source und Substrat angelegte positive Spannung erzeugt ein elektrisches Feld E quer zum Substrat. Dieses elektrische Feld zieht Elektronen in Richtung Gate und stöß t Löcher ab. Bei geeignet hoher Gatespannung (Feldstärke) und entsprechender Anreicherung von Elektronen ändert der Bereich unter dem Gate sein Leitverhalten von p-Typ auf n-Typ, man spricht von Inversion, und bildet eine leitende Schicht zwischen Drain und Source (n-Kanal). Diese Zusammenhänge sind in Abbildung ?? dargestellt. Der MOS-Tranistor verhält sich wie ein elektrisch gesteuerter Schalter, die Stromleitung setzt ein, wenn Vgs die Schwellspannung Vth erreicht hat. Die elektrischen Felder 178 KAPITEL 15. CMOS-TECHNOLOGIE von Ugs und von Uds sorgen für die Leitfähigkeit im Kanal, wobei die Feldkomponente in Richtung Drain-Source für den Strom‡uss von Drain zu Source sorgt. Der MOS-Transistor verhält sich wie ein spannungsgesteuerter Schalter der leitet, wenn die Gate-Source-Spannung, Vgs ; gleich der Schwellenspannung (threshold voltage) Vth ist. Liegt die Spannung Vds zwischen Drain und Source an und ist Vgs = Vt , dann bewirken die horizontalen (durch die Drain-Source-Spannung) und vertikalen Feldkomponenten (durch die Gate-Substrat-Spannung) elektrische Leitung entlang das Kanals. Die horizontale Komponente des elektrischen Feldes auf Grund der Drain-Source-Spannung (Vds > 0) bewirkt die Bewegung der Elektronen im Kanal in Richtung Drain. Bei steigender Spannung Vds beginnt der Spannungsabfall entlang des Kanals die Form des Kanals einzuschnüren, wie in Abbildung ?? (a -c) dargestellt. Am Source-seitigen Ende das Kanals bewirkt die volle Gate-Spannung die Inversion des Kanals. Am Drain-seitigen Ende ist nur die Di¤erenz zwischen Drain- und GateSpannung wirksam. Wenn die e¤ektive Gate-Spannung (Vgs Vt ) größ er als die DrainSpannung ist, wird der Kanal tiefer, wenn Vgs ansteigt. Diese Situation nennt man linear, resistiv, bzw. ungesättigt, der Kanalstrom Ids hängt von den Gate- und Drain-Spannungen ab. Wenn Vds > Vgs Vt , dann ist Vgd < Vt und der Kanal wird abgeschnürt, d.h. der Kanal erreicht nich mehr den Drain-Bereich, wie in Abbildung ?? (c) dargestellt. In dieser Situation wird die Leitfähigkeit durch einen Driftmechanismus bewirkt, die Elektronen driften unter dem Ein‡uss der positiven Drain-Spannung. Die Elektronen verlasssen den Kanal und werden in Richtung Drain beschleunigt. Die Spannung entlang des abgeschnürten Kanals bleibt konstant auf dem Wert Vgs Vt . Diese Situation nennt man den gesättigten Zustand, der Kanalstrom wird von der Gate-Spannung gesteuert und ist fast unabhängig von der Drain-Spannung. Für eine feste Drain-Source-Spannung und eine feste Gate-Spannung hängt der Strom Ids von folgenden Größ en ab: Abstand zwischen Drain und Source (Kanallänge) Kanallbreite Schwellspannung Vt Dicke und Dielektrizitätskonstante der Gate-Isolierschicht Beweglichkeit der Ladungsträger (Elektronen bzw. Löcher) Wir können drei Arbeitsbereiche des MOS-Transistors unterscheiden Sperrbereich (Cut-o¤): Es ‡ieß t nur ein sehr geringer Drain-Source-Leckstrom2 . Linearer Bereich: Hier tritt schwache Inversion auf, der Drain-Strom steigt linear mit der Gate-Spannung an. Sättigungsbereich: Der Kanal ist stark invertiert, der Drain-Strom hängt nicht von der Drain-Spannung ab. 15.2 p-MOS-Transistor Das Verhalten des p-MOS-Transistors entspricht im wesentlichen dem des n-MOS-Transistors. Anlegen einer negativen Spannung (in Bezug auf Source), zieht Löcher in den Bereich unter das Gate und ändert den Kanal von n-Typ auf p -Typ. Die Leitung erfolgt durch Löcherleitung und nicht, so wie beim n-Kanal-FET durch Elektronen. (Löcher haben eine etwa halb so groß e Beweglichkeit wie Elektronen.) Abbildung ?? zeigt die Zusammenhänge beim p-MOS-FET. 2 In heutiger Technologie ist der Abstand zwischen Drain und Soruce sehr gering und die Transistoren lassen sich nicht mehr vollständig » abschalten« . Der Anteil der Leckströme kann über 30 % der Gesamtleistung betragen. 15.3. SCHWELLENSPANNUNG 15.3 179 Schwellenspannung Die Schwellenspannung ist ein Technologieparameter und hängt von folgenden Größ en ab: Gate Material Gate Isoliermaterial Dicke der Isolierschicht Kanaldotierung Spannung zwischen Source und Substrat Temperatur 15.4 MOS Entwurfsgleichungen Vereinfachte Entwurfsgleichungen für den MOS-FET sind 8 0 Vgs Vt 0 Sperrbereich > i < h 2 Vds (Vgs Vt ) Vds 0 < Vds < Vgs Vt linearer Bereich Ids = 2 > : 2 Vt ) 0 < Vgs Vt < Vds Sättigungsbereich 2 (Vgs = " tox W L " . . . Permittivität der Gate-Isolierung . . . Beweglichkeit der Ladungsträger tox . . . Dicke der Gate-Isolierung ; W . . . Breite des Transistors L . . . Kanallänge W und L sind die Parameter, die dem Schaltungsentwickler zur Verfügung stehen. Die Transistorgleichungen sind in Abbildung ?? dargestellt. 15.5 Der CMOS-Inverter Der CMOS-Inverter ist in Abbildung 15.2 dargestellt. Zur Bestimmung der Inverterkennlinie müssen die (nichtlinearen) Transistorgleichungen für p- und n-Kanal-Transistor gelöst werden. Was interessiert, ist die Inverterkennlinie (Eingangspannung gegen Ausgangsspannung) und der Inverterstrom. Diese Größ en können graphisch bestimmt werden, wie in Abbildung ?? gezeigt. Abbildung ?? (a) zeigt die Strom-Spannungskennlinien von p- und n-Transitor. Wir spiegeln die Kennlinie des p-Transistors entlang der x-Achse und erhalten Abbildung ?? (b). Der Drainsstrom des p-Transistors wird als Betrag dargestellt. Überlagern wir die beiden Transistorgleichungen, so erhalten wir Abbildung ?? (c). Die Eingangs-Ausgangskennlinie des Inverters wird durch die Schnittpunkte der Kennlinien bei gleicher Gate-Spannung bestimmt. Die Lösung für Vinp = Vinn und Idsp = Idsn liefert die in Abbildung ?? gezeigte Transferkennlinie des Inverters. Die Transferkennlinie des Inverter ist eine analoge Kennlinie. Betrachten wir den Inverter als logisches Schaltelement, dann betrachten wir nur logisch "0" und "1"; "0" entspricht 0 Volt, "1" entspricht VDD : Den analogen Bereich der Kennlinie ignorieren wir (Logikabstraktion). In Abbildung ?? sehen wir, dass der Querstrom durch p- und n-Kanal Null3 ist, wenn der Invertereingang "1"(Vdd ) bzw. "0"(0 V ) ist. Strom ‡ieß t nur beim Übergang von 0 ! 1 bzw. 1 ! 0: Dieser Querstrom bewirkt einen Leistungsverbrauch im Inverter. 3 In heutigen Technologien schalten die Transistoren nicht vollständig ab, es ‡ieß t daher auch bei 0 und 1 ein (geringer) Querstrom. 180 KAPITEL 15. CMOS-TECHNOLOGIE Dieser Leistungsverbrauch ist aber in der Regel klein gegen den dynamischen Leistungs2 verbrauch Pd = CL VDD f , der durch das Umladen der Eingangskapazität des Inverters hervorgerufen wird. CL ist die Lastkapazität (Inverter + Kapazität der Verbindungsleitungen), f ist die Schaltfrequenz. Teil V Analoge Signalverarbeitung 181 Kapitel 16 Verstärkerschaltungen Inhalt 16.1 Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . 16.1.1 Der unbeschaltete Operationsverstärker . . 16.1.2 Der reale Operationsverstärker . . . . . . . 16.2 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquellen . . 16.2.2 Stromgesteuerte Spannungsquellen . . . . . 16.2.3 Spannungsgesteuerte Stromquellen . . . . . 16.2.4 Stromgesteuerte Stromquellen . . . . . . . . 16.3 Addierer und Subtrahierer . . . . . . . . . . 16.4 Integratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Di¤erentiatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6 Lösung von Di¤erentialgleichungen . . . . . 16.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 185 189 190 190 190 190 191 191 192 192 193 195 Verstärker sind Schaltelemente die Signale kleiner Eingangsamplitude in Signale größ erer Ausgangsamplitude umsetzen, um nachfolgende Einheiten ansteuern zu können. Zum Beispiel muss das Signal eines Mikrofons vom V-Bereich in den Volt-Bereich verstärkt werden, um es über einen Lautsprecher wiedergeben zu können. Verstärker werden aus elektronischen Bauelementen (Transistoren, Widerständen, Kondensatoren) aufgebaut und sind meistens monolithisch integriert. Der Aufbau von Verstärkern aus Einzeltransistoren in diskreter Schaltungstechnik wird heute nur in Sonderfällen, für die keine integrierte Lösung vorliegt, durchgeführt. Abbildung 16.1 zeigt das Schaltungssymbol eines Verstärkers. Die heutige Halbleitertechnologie stellt sehr leistungsfähige und kostengünstige Schaltkreise zur Verfügung und die Verarbeitung von Signalen wird daher wegen der technischen Vorteile zunehmend digital mit Mikroprozessoren, Signalprozessoren oder dedizierter digitaler Hardware durchgeführt. Die zu verarbeitenden Signale stammen aber in der Regel von analogen Quellen (magnetische Sensoren, lichtemp…ndliche Bauelemente, Thermoelemente, Empfangsantennen) und müssen vor der Digitalisierung verstärkt werden. Nach der digitalen Verarbeitung müssen die Signale wieder in analoge Form gebracht werden und für die ”Wiedergabe” an Aktoren (Elektromotoren, Anzeigeeinrichtungen, Heizelemente, Sendeantennen, ...) verstärkt werden. Abbildung 16.1: Schaltungssymbole für Verstärker 183 Verstärker setzen Signale kleiner Amplitude in Signale groß er Amplitude um. 184 KAPITEL 16. VERSTÄRKERSCHALTUNGEN Abbildung 16.2: Blockdiagramm einer Signalverarbeitungskette Verstärker werden für verschiedene Leistungen und Frequenzbereiche dimensioniert. Abbildung 16.2 zeigt den typischen Aufbau einer Signalverarbeitungskette. Obwohl die Schaltungstechnik sehr ähnlich ist, werden die Verstärker für ihre Aufgabe optimiert. Ein (Kleinsignal-)Verstärker für ein Mikrofonsignal ist anders dimensioniert als ein (Leistungs-)Verstärker zur Ansteuerung eines Lautsprechers für ein Popkonzert. Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal ist der Frequenzbereich (untere und obere Grenzfrequenz) für den der Verstärker ausgelegt ist. Bei der unteren Grenzfrequenz unterscheidet man zwischen Gleich- und Wechselspannungsverstärkern. Bei der oberen Grenzfrequenz spricht man von Nieder- und Hochfrequenzverstärkern, wobei die Grenze ‡ieß end ist und bei etwa 1 MHz liegt. Verstärker arbeiten mit schmalen und breiten Frequenzbändern und können auch nach der Anwendung in Audio- Video-, Zwischenfrequenz, Radiofrequenz- und Mikrowellenverstärker eingeteilt werden. Meistens werden hohe Verstärkungsfaktoren verlangt, die durch mehrstu…gen Aufbau der Verstärker realisiert werden. Der prinzipielle Schaltungsaufbau der Stufen ist fast identisch, das wesentliche Unterscheidungsmerkmal ist die Kopplung der einzelnen Stufen: Direkte (galvanische) Kopplung bei Gleichspannungsverstärkern, kapazitive Kopplung bei Wechselspannungsverstärkern oder selektive Kopplung bei Schmalbandverstärkern. Eine besondere Stellung nehmen die Operationsverstärker ein, die universell einsetzbare Gleichspannungsverstärker sind. Für Standardaufgaben kommen fast ausschließ lich Operationsverstärker zu Einsatz. 16.1 Operationsverstärker sind universell einsetzbare mehrstu…ge Gleichspannungsverstärker mit sehr hoher Verstärkung. Die Eigenschaften des OPV sind durch seine äuß ere Beschaltung festgelegt. Operationsverstärker Operationsverstärker (OPV) sind mehrstu…ge Gleichspannungsverstärker mit sehr hoher Verstärkung der Eingangsspannung Ud in Abbildung 16.1. Die (Di¤erenz)verstärkung von Standard-OPVs liegt im Bereich von 104 105 und erreicht Werte bis 107 für Präzisionsverstärker. Es besteht kein prinzipieller schaltungstechnischer Unterschied zwischen normalen Verstärkern und Operationsverstärkern. Der Unterschied zwischen den beiden Typen rührt daher, dass die Eigenschaften des normalen Verstärkers durch seinen inneren Aufbau gegeben sind, während die Eigenschaften des Operationsverstärkers durch die externe Beschaltung festgelegt sind. Das ist möglich, da die Verstärkung der OPVs sehr hohe Werte annimmt. Operationsverstärker wurden in der Vergangenheit in Analogrechnern verwendet. Analogrechner wurden eingesetzt, um mathematische Berechnungen (z. B. lösen von Di¤erentialgleichungen) durchzuführen. Dabei mussten Rechenoperationen wie Addition und Integration durchgeführt werden, daher die Bezeichnung Operationsverstärker. Analogrechner haben heute keine Bedeutung, da durch die Digitaltechnik wesentlich genauere und leistungsfähigere Verfahren zur Lösung von Di¤erentialgleichungen zur Verfügung stehen. Operationsverstärker werden praktisch ausschließ lich als monolithisch integrierte Schaltungen angeboten und unterscheiden sich in Größ e und Preis kaum von Einzeltransistoren. Es gibt Dutzende von OPV-Typen, die entweder für allgemeine Aufgaben (Universaltypen) oder für spezielle Aufgaben (hohe Genauigkeit, geringes Rauschen, hohe 16.1. OPERATIONSVERSTÄRKER 185 Abbildung 16.3: Schaltsymbol des Operationsverstärkers Ausgangsspannung, hohe Bandbreite, gute Schalteigenschaften) entwickelt sind. Die Innenschaltung von Operationsverstärkern wird dem Anwender nicht bekanntgegeben und steht lediglich als Prinzipschaltung oder als Rechnermodell zur Verfügung. Die Berechnung der grundlegenden Eigenschaften der OPV-Schaltungen ist so einfach, dass sie mit der Hand durchgeführt werden kann. Detailliertere Untersuchungen werden mit entsprechenden OPV-Modellen und einem Netzwerksimulator (z. B. SPICE) durchgeführt. Man unterscheidet vier Typen von OPVs: 1. Die Eingangsspannung Ud steuert die Ausgangsspannung: Ua = Vd Ud . Diesen Typ nennt man normalen OPV. 2. Die Eingangsspannung Ud steuert den Ausgangsstrom: Ia = Sd Ud : Diesen Typ nennt man Transkonduktanz-Verstärker. 3. Der Eingangsstrom Iin steuert die Ausgangsspannung: Ua = ZIin . Diesen Typ nennt man Transimpedanz-Verstärker. 4. Der Eingangsstrom Iin steuert den Ausgangsstrom: Ia = Vi Iin . Diesen Typ nennt man Strom-Verstärker. Wir werden uns im weiteren Verlauf auf den normalen Operationsverstärker beschränken. 16.1.1 Der unbeschaltete Operationsverstärker Abbildung 16.3 zeigt das Schaltungssymbol eines normalen idealen Operationsverstärkers. Der nichtinvertierende P-Eingang wird mit einem +, der invertierende N-Eingang wird mit einem gekennzeichnet. Der OPV wird mit zwei Betriebsspannungen, die eine gegen Masse positiv, die andere gegen Masse negativ, versorgt. Damit sind Eingangsund Ausgangsruhepotentiale von 0 V möglich. Die OPVs selbst besitzen keinen Masseanschluss, obwohl Eingangs- und Ausgangsspannungen darauf bezogen werden. Die Di¤erenzverstärkung des idealen OPV ist sehr hoch, im theoretischen Grenzfall ist sie V ! 1: Der Eingangswiderstand (Widerstand zwischen Eingang und Masse) des Verstärkers beim P- und N-Eingang ist theoretisch unendlich R ! 1. Wird also eine Spannung (bezogen auf die Masse) an einen Eingang gelegt, ‡ieß t kein Strom in oder aus dem OPV. OPVs werden nur im beschalteten Zustand eingesetzt, im unbeschalteten Zustand reichen schon sehr kleine Spannungen aus, um den Operationsverstärker bis an die positive oder negative Versorgungsspannung auszusteuern. Der invertierende Operationsverstärker Abbildung 16.4 zeigt den OPV in invertierender Beschaltung. Zur Berechnung des Verhältnisses Ua =Ue wenden wir die Kirchho¤’sche Knotenregel auf den Knoten (1) an Die Verstärkung des idealen OPVs ist 1. Der Eingangswiderstand ist ebenfalls 1. OPVs werden nur im beschalteten Zustand eingesetzt. 186 KAPITEL 16. VERSTÄRKERSCHALTUNGEN Abbildung 16.4: Der invertierende OPV IR1 + IR2 = 0 ! UR1 UR2 + =0 R1 R2 (16.1) In den negativen Eingang des Verstärkers ‡ieß t kein Strom, da der Eingangswiderstand des idealen OPV unendlich ist. Daher ist IR1 + IR2 = 0 ! UR1 UR2 + =0 R1 R2 Ua + Ud Ue + Ud + =0 R1 R2 Ua = V Ud (16.2) (16.3) (16.4) Wir setzen Ud = Ua =V ein und erhalten R1 Ue = Ua R2 Die Spannungsverstärkung des invertierenden OPV ist negativ und hängt praktisch nur von dem Verhältnis der angeschlossenen Widerstände ab. 1+ 1 V + 1 V (16.5) Die Größ e V bezeichnet man als Leerlaufverstärkung (open loop gain) des Operationsverstärkers. Das Verhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung A = Ua =Ue nennt man Spannungsverstärkung (closed loop gain). Typische Werte für die Leerlaufverstärkung sind V = 105 und für die Spannungsverstärkung A = 102 . Für groß e Werte von V können wir 1=V vernachlässigen und erhalten Die Spannungsverstärkung A des gegengekoppelten OPV ist negativ, praktisch unabhängig von V (solange V großgenug ist) und hängt nur von der externen Beschaltung ab. Anmerkung 66 Wegen der hohen Verstärkung von OPVs ist die Di¤ erenzspannung Ud sehr klein und man sagt, dass der negative Eingang des OPV virtuell auf Masse liegt. Der Eingangswiderstand des invertierenden OPV nach Abbildung 16.4 ist gleich R1 , da der invertierende Eingang virtuell auf Masse liegt. Der Ausgangswiderstand ist sehr gering, das Verhalten der Ausgangsspannung ist nahe dem Verhalten einer idealen Spannungsquelle. Der nichtinvertierende Verstärker Die Beschaltung des nichtinvertierenden OPV ist in Abbildung 16.5 gezeigt. Die Untersuchung der Schaltung liefert folgende Zusammenhänge R1 Ua R1 + R2 Ua = V Ud = V (Ue Un = (16.6) Un ) (16.7) R1 R1 + R2 (16.8) Nach Umformung wird daraus A= Ua V = Ue 1+ V = 16.1. OPERATIONSVERSTÄRKER 187 Abbildung 16.5: Der nichtinvertierende OPV Abbildung 16.6: RC-Tiefpass Ue 1 = A1 = V1 + R1R+R sehen wir, dass für hohe Werte der VerstärFür den Ausdruck U a 2 kung 1=V vernachlässigt werden kann und wir erhalten 1 R1 = _ A R1 + R2 R2 A=1 _ + R1 (16.9) (16.10) Eingangsspannung und Ausgangsspannung haben dasselbe Vorzeichen, die Eingangsspannung wird bei dieser Beschaltung des OPV nicht invertiert. Das Eingangssignal der Schaltung in Abbildung 16.5 liegt direkt am nichtinvertierenden Eingang des OPV, der Eingangswiderstand ist daher hochohmig. Der Ausgangswiderstand ist, wie beim invertierenden OPV, sehr niederohmig. Im Gegensatz zum invertierenden OPV bei dem die Eingangsspannungen Un und Up praktisch Null sind, tritt beim nichtinvertierenden OPV eine Gleichtaktaussteuerung auf, da Un =U _ p = Ue : Ideale OPVs verstärken lediglich die Di¤erenzspannung Ud und zwar unabhängig von der Gleichtaktspannung. Bei realen OPVs ist das nicht der Fall, man misst eine Gleichtaktverstärkung, die typisch in der Größ enordnung von 1 liegt und damit mehrere Zehnerpotenzen kleiner als die Di¤erenzspannungsverstärkung ist. Als Kenngröß e für OPVs wird die Gleichtaktunterdrückung G = UUd ig¤l ee ircehn z angegeben. Beim nichtinvertierenden OPV haben Eingangsspannung und Ausgangsspannung das selbe Vorzeichen. Die Verstärkung wird durch die externe Beschaltung bestimmt. Frequenzverhalten des Operationsverstärkers Die Di¤erenzverstärkung eines realen Operationsverstärkers nimmt bei höheren Frequenzen ab. Die Ursache dafür sind Kapazitäten der Transistoren der Verstärkerschaltungen und Schaltungswiderstände, die Tiefpässe bilden. In erster Näherung kann das Frequenzverhalten des OPV durch einen RC-Tiefpass, wie in Abbildung 16.6 gezeigt, modelliert werden. Die Netzwerkanalyse der Schaltung Abbildung 16.6 liefert unter Verwendung der Abkürzung fg = 1=2 RC ~a 1 U ~ ) = = H(f ~ 1 + j (f =fg ) Ue Daraus berechnen wir den Betrag der Systemfunktion (16.11) Das Frequenzverhalten des OPV kann annähernd durch einen RCTiefpass modelliert werden. 188 KAPITEL 16. VERSTÄRKERSCHALTUNGEN Frequengang R C -Glied 0 -5 -10 -20 db/D ekade Magnitude (dB ) -15 -20 -25 -30 -35 -40 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) Abbildung 16.7: Asymptoten an Frequenzgang jH(f )jdB = 20 log jH(f )j = 20 log = 20 log(1) 20 log " f = 10 log 1 + fg Bei der Grenzfrequenz (3 dB-Punkt) ist das Verhältnis von zu Ausgangsspannung p Eingangsspannung 1= 2 = _ 3 dB. 1 p 1 + (f =fg )2 q 1 + (f =fg )2 # ! (16.12) (16.13) 2 (16.14) Gleichung (16.14) liefert für kleine Werte f fg den Wert Null und kann daher in Abbildung 16.7 als Gerade durch den Ursprung dargestellt werden. Für groß e Werte f fg erhalten wir jH(f )jdB = 20 log(f =fg ), eine Gerade mit der Steigung 20 dB/Dekade (in logarithmischer Darstellung), wie in Abbildung 16.7 gezeigt. Den Schnittpunkt beider Geraden bezeichnen wir als Grenzfrequenz. Bei fg ist das Verhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung p12 = _ 3dB, man nennt die Grenzfrequenz daher auch den 3 dB-Punkt. In erster Näherung verhält sich der Frequenzgang des OPV wie ein RC-Glied, mit dem Unterschied, dass durch den OPV eine Verstärkung auftritt. Die Verstärkung bei f = 0 nennen wir V0 , die Leerlaufgleichspannungsverstärkung. V (f ) = V0 1 + j (f =fg ) (16.15) Die Frequenzabhängigkeit der Leerlaufverstärkung eines OPV ist in Abbildung 16.8 dargestellt. Berücksichtigen wir die Frequenzabhängigkeit der Leerlaufverstärkung für den gegengekoppelten OPV, setzen (16.15) in die Gleichung (16.8) ein, dann erhalten wir A(f ) = A(f ) = V (f ) Ua = Ue 1 + V (f ) 1 Vo 1+j(f =fgol ) 0 + 1+j(fV=f gol ) (16.16) (16.17) Mit den Abkürzungen A0 = Vo 1 + V0 fgcl = fgol (1 + V0 ) (16.18) 16.1. OPERATIONSVERSTÄRKER 189 Frequengang R C -Glied V o+ 0 -5 fgol -10 -20 db/D ekade Magnitude (dB) -15 Ao -20 -25 -30 fgcl -35 -40 -2 10 10 -1 0 10 Frequency (rad/sec) 10 1 10 2 Abbildung 16.8: Frequenzgang ohne und mit Gegenkopplung wird daraus A(f ) = A0 1 + j(f =fgcl ) (16.19) fgol ist die Grenzfrequenz der Leerlaufverstärkung, fgcl ist die Grenzfrequenz der gegengekoppelten Schaltung. Bilden wir das Produkt aus Verstärkung und Bandbreite so erhalten wir A0 fgcl = V0 fgol (1 + V0 ) = V0 fgol = 1 fT 1 + V0 (16.20) Das Produkt aus Verstärkung und Bandbreite ist unabhängig von und wird VerstärkungsBandbreitenprodukt fT genannt . Bei der Frequenz fT ist die Verstärkung 1 oder 0 dB (unity-gain bandwidth). Das Verstärkungs-Band-breiten-produkt von OPVs liegt im Bereich von 0:1M Hz bis 1GHz: Anmerkung 67 Die Bandbreite des gegengekoppelten Verstärkers wird auf Kosten einer geringeren Verstärkung erhöht, das Produkt aus Verstärkung und Bandbreite ist konstant. In Abbildung 16.8 ist dieser Zusammenhang gra…sch dargestellt. 16.1.2 Das VerstärkungsBandbreitenprodukt gibt die Frequenz an, bei der die Verstärkung so weit abnimmt, dass die Amplitude des Ausgangssignals gleich der Amplitude des Eingangssignals ist. Der reale Operationsverstärker Die Di¤erenzverstärkung des realen OPV liegt im Bereich zwischen 104 bis 107 : Die Gleichtaktunterdrückung liegt ebenfalls in diesem Bereich. Die Übertragungskennlinie der realen OPV Ua = Ua (Ud ) geht nicht durch den Ursprung, sondern ist um die O¤setspannung verschoben. Werte der O¤setspannung liegen typisch im Bereich von 10 V bis 1mV: Die Eingangswiderstände der Operationsverstärker sind nicht 1, es ‡ieß en daher Eingangsströme im Bereich von pA bis 10nA: Durch die Beschaltung (Gegenkopplung) der OPVs werden die hohen Eingangswiderstände noch weiter um die Schleifenverstärert. Der Ausgangswiderstand eines OPV ist sehr gering, durch die kung g = VA vergröß Gegenkopplung wird dieser Widerstand um die Schleifenverstärkung reduziert. Das Abweichen von realen OPVs muss durch Ersatzschaltungen berücksichtigt werden, deren Werte aus den Datenblättern der OPVs kommen oder als Modelle vom Hersteller zur Verfügung gestellt werden. Wie bei allen analogen Schaltungen tritt auch bei OPV Rauschen auf. Das Rauschen lässt sich in Form einer auf den Eingang bezogenen Rauschspannungsdichte beschreiben. Die Rauschspannung ist frequenzabhängig, ist bei niedrigen Frequenzen am höchsten und rDie (idealen) Annahmen sind bei realen Verstärkern verletzt und müssen durch Ersatzschaltungen modelliert werden. 190 KAPITEL 16. VERSTÄRKERSCHALTUNGEN Abbildung 16.9: Stromgesteuerte Spannungsquelle nimmt bei höheren Frequenzen ab. Darüber hinaus hängt die Rauschspannung noch von Technologie p der Schaltung ab. Die Eingangsrauschspannungsdichte liegt im Bereich von 1 25nV = Hz: 16.2 Gesteuerte Quellen Die einfachste Aufgabe bei der analogen Signalverarbeitung ist die Verstärkung von Signalen. Die von Sensoren stammenden Signale können als Spannungs- oder Stromquellen auftreten, deren niedrige Signalpegel für die Weiterverarbeitung verstärkt werden müssen. 16.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquellen können durch invertierende oder nichtinvertierende Operationsverstärker realisiert werden. Spannungsgesteuerte Spannungsquellen mit niedrigem Ausgangswiderstand lassen sich mit Hilfe des invertierenden (Abbildung 16.4) oder nichtinvertierenden (Abbildung 16.5) OPVs realisieren. Die Verstärkung ist durch die externe Beschaltung einstellbar. Der Eingangswiderstand des invertierenden OPV ist R1 , wobei die Werte von R1 relativ niedrig sind. Diese Schaltung ist daher nicht für die Verstärkung von Signalquellen mit hohem Innenwiderstand geeignet. Bei Quellen mit hohem Innenwiderstand, die daher nicht belastbar sind, kann der nichtinvertierende OPV eingesetzt werden, dessen Eingangswiderstand sehr hoch ist. Der Nachteil des nichtinvertierenden OPV ist der durch die Gleichtaktaussteuerung entstehende Fehler. Dieser Nachteil tritt beim invertierenden OPV nicht auf. 16.2.2 Eine Stromgesteuerte Spannungsquelle kann aus einem invertierenden OPV durch Nullsetzen des eingangswiderstands erzeugt werden. Spannungsgesteuerte Spannungsquellen Stromgesteuerte Spannungsquellen Abbildung 16.9 zeigt eine Realisierung mit Hilfe eines OPV. Wegen der hohen Spannungsverstärkung liegt der invertierende Eingang virtuell auf Masse, wodurch sich ein sehr niedriger Eingangswiderstand ergibt, der ja Voraussetzung für die Stromsteuerung ist. Die Ausgangsspannung dieser Schaltung ist Ua = ( R)Ie , da der Strom in den Verstärkereingang vernachlässigt werden kann. Ua = RIe R Re = V Der Eingangwiderstand der Schaltung ist Re = Leerlaufverstärkung des OPV ist. 16.2.3 Eine Spannungsgesteuerte Stromquelle erhält man, indem man bei einem invertierenden oder nichtinvertierenden OPV den Gegenkopplungswiderstand durch den Verbraucher ersetzt. (16.21) (16.22) Ue Ie = R Ua Ua V , wobei V die (sehr groß e) Spannungsgesteuerte Stromquellen Wie in Abbildung 16.10 gezeigt, ‡ieß t beim invertierenden und nichtinvertierenden OPV durch den Gegenkopplungswiderstand R2 der Strom Ia = Ue =R1 : Die Übertragungsfunktion ist also 16.3. ADDIERER UND SUBTRAHIERER 191 Abbildung 16.10: Spannungsgesteuerte Stromquellen Abbildung 16.11: Summationsverstärker 1 Ue (16.23) R1 und wir haben spannunsgesteuerte Stromquellen, wenn man den Verbraucher als Gegenkopplungswiderstand einsetzt1 . Die Eingangsimpedanz der beiden Schaltungen ist wie beim (nicht)invertierenden OPV. Der Innenwiderstand der Stromquelle, also der Ausgangswiderstand unserer beiden Schaltungen, sollte theoretisch 1 sein, was praktisch nicht erreichbar ist. Dazu kommt, dass bei hochohmigen Ausgangswiderständen die praktisch auftretenden Kapazitäten der Schaltung nicht vernachlässigbar sind und der Ausgangswiderstand daher stark frequenzabhängig ist. Ia = 16.2.4 Stromgesteuerte Stromquellen Die invertierende OPV-Schaltung in Abbildung 16.10 hat den Eingangswiderstand Re = R1 . Macht man R1 = 0, dann wird Ia = Ie und man hat eine stromgesteuerte Stromquelle mit sehr guten Eigenschaften. 16.3 Addierer und Subtrahierer Der invertierende OPV mit mehreren Eingängen nach Abbildung 16.11 summiert (und invertiert) mehrere Eingangsspannungen. Durch Anwendung der Kirchho¤’schen Knotenregel erhalten wir U1 U2 Un + + ::: + = R1 R2 Rn Ua = Ua Rg Rg Rg Rg U1 + U2 + ::: + Un R1 R2 Rn (16.24) (16.25) Die Subtraktion kann auf eine Addition zurückgeführt werden, indem man das zu subtrahierende Signal vorher mit einer invertierenden OPV-Schaltung verstärkt. 1 Für spannungsgesteuerte Stromquellen mit geerdetem Verbraucher müssen andere Schaltungen eingesetzt werden. Eine stromgesteuerte Stromquelle kann aus einer spannungsgesteuerten Stromquelle durch Nullsetzen des Eingangswiderstands erzeugt werden. Ein Addierer oder Subtrahierer ist ein invertierender OPV mit mehreren Eingängen. 192 KAPITEL 16. VERSTÄRKERSCHALTUNGEN Abbildung 16.12: Integrator 16.4 Ersetzt man bei einem invertierenden OPV den Gegenkopplungswiderstand durch eine Kapazität, bekommt man einen Integrator. Integratoren Ersetzt man beim invertierenden OPV den Gegenkopplungswiderstand durch eine Kapazität, wie in Abbildung 16.12 gezeigt, dann liefern die Netzwerkgleichungen die Beziehung ie + ic = 0 ic = C (16.26) dua dt dua ue +C =0 R dt ua = (16.27) (16.28) 1 RC Z ue dt + Ua jt=0 0 (16.29) Die Ausgangsspannung ist das zeitliche Integral der Eingangsspannung, Ua jt=0 ist die Anfangsbedingung bzw. die Spannung an C zum Zeitpunkt t = 0. Liegt eine konstante Eingangsspannung am Integrator an, so entsteht am Ausgang eine linear ansteigende Spannung, liegt am Eingang eine Rechteckwechselspannung an, so entsteht am Ausgang eine Dreieckspannung. Legt man die Eingangspannung ue = Ue cos !t an, so wird die Ausgangsspannung Z Ue 1 ue dt = sin !t (16.30) ua = RC 0 RC! Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung (der Frequenzgang) ist H= jHj = ~a U = ~e U ZC = R 1 RCs (16.31) s=j! 1 RC! (16.32) Der Betrag des Frequenzgangs ist in 16.13 dargestellt. In der logarithmischen Darstellung der Abbildung 16.13 erkennt man, dass die Steigung des Betrags des Frequenzgangs 20 dB/Dekade (6dB/Oktave) beträgt. Diese Eigenschaft ist ein einfaches Kennzeichen dafür, ob sich eine Schaltung als Integrator verhält. Beim realen Integrator können sich Eingangsruhestrom und O¤setspannung sehr ungünstig auswirken, da sich deren Wirkung zeitlich summiert. 16.5 Vertauscht man bei einem Integrator R und C, erhält man einen Di¤erentiator. Di¤erentiatoren Vertauscht man bei einem Integrator R und C, wie in Abbildung 16.14 gezeigt, und wenden wir die Knotenregel auf den Summationspunkt an, dann erhalten wir C ua due + dt R = ua = 0 (16.33) RC due dt (16.34) 16.6. LÖSUNG VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 193 Bode D iagram 5 Magnitude (dB) 0 -5 -10 -15 Phase (d eg) -20 91 90.5 90 89.5 89 0 1 10 10 Frequenc y (rad/s ec ) Abbildung 16.13: Bodediagramm des idealen Integrators Abbildung 16.14: Di¤erentiator Die Schaltung verhält sich wie ein Di¤erentiator. Für sinusförmige Eingangsspannungen Ue sin !t erhalten wir die Ausgangsspannung ua = RC!Ue cos !t: Der Betrag des Frequenzgangs ist jHj = RC!: Bei doppelt logarithmischer Darstellung eine Gerade mit der Steigung 20 dB/Dekade (beim Integrator 20 dB/Dekade). Die praktische Realisierung von Di¤erentiatoren bereitet Schwierigkeiten, da groß e Schwingneigung besteht. (Die Erklärung dafür liegt in der Phasennacheilung des Gegenkopplungsnetzwerkes und der Phasennacheilung des realen OPV, die hier nicht besprochen wurden.) 16.6 Lösung von Di¤erentialgleichungen Viele technisch physikalische Probleme lassen sich in Form von Di¤erentialgleichungen (DGL) darstellen. Die Lösung dieser Di¤erentialgleichungen lässt sich dadurch …nden, dass man sie durch die beschriebenen Analogrechenschaltungen nachbildet und die sich einstellenden Ausgangsspannung (die ”Lösung” der DGL) misst. Um die beim Di¤erentiator angedeuteten Stabilitätsprobleme zu umgehen, formt man die DGL so um, dass ausschließ lich Integratoren verwendet werden. Die Umsetzung einer DGL in eine Schaltung zeigen wir anhand eines Beispiels einer zeitabhängigen DGL 2. Ordnung 2 2d y dt2 + k1 dy + k0 y = f dt t Wir bringen die nicht abgeleiteten Größ en auf eine Seite und erhalten (16.35) 194 KAPITEL 16. VERSTÄRKERSCHALTUNGEN Abbildung 16.15: OPV-Schaltung zur Lösung von DGL 2. Ordnung k0 y t f 2 2d y dt2 = k1 dy dt (16.36) Jetzt integrieren wir diese Gleichung und dividieren durch 1 | Z k0 y t f {z z1 dt = } dy + ky dt (16.37) Die linke Seite z der Gleichung lässt sich mit der Integrationsschaltung der Abbildung 16.12 berechnen und wir können sie als einen Schaltungsblock au¤assen: Die Eingangsgröß en sind die Erregungsgröß e f t und k0 y; wobei y die zunächst unbekannte und erst zu berechnende Ausgangsgröß e ist. Wir erhalten dadurch die DGL dy + k1 y dt dy k1 y) = dt z1 = 1 (z1 (16.38) (16.39) die wir wie vorher integrieren. Wir erhalten 1 Werden Funktionen als Zeitsignale aufgefasst, können Di¤erentialgleichungen gelöst werden, indem sie durch analoge Schaltungen nachgebildet werden und das Zeitsignal, das die Lösung darstellt, gemessen wird. | Z (z1 k1 y) dt = {z } y (16.40) z2 Diesen Ausdruck können wir mit einem zweiten Summenintegrator integrieren, dessen Eingangsgröß en z1 und k1 y sind, wobei auch hier y zunächst unbekannt ist. Die gesuchte Ausgangsgröß e y erhalten wir durch Inversion von z2 . Abbildung 16.15 zeigt die Teilschaltungen und die Gesamtschaltung zur Lösung der DGL. Analogrechner lösen Di¤erentialgleichungen auf sehr elegante Art und mit hoher Geschwindigkeit. Parameteränderungen der DGL sind durch Änderung der Bauelementewerte der OPV-Schaltungen sehr leicht durchzuführen. Wegen des geringen Dynamikbereichs analoger Schaltung und der daher nur geringen ”Rechengenauigkeit” und wegen des nichtidealen Verhaltens der OPVs, Widerstände und Kapazitäten haben Analogrechner heute ihre Bedeutung verloren und wurden durch Digitalrechner ersetzt, mit denen eine wesentlich höhere Genauigkeit erreichbar ist. Der Hybridrechner EAI SIMSTAR (eine Kombination aus Analog- und Digitalrechner) der TU Wien wurde Ende 1991 auß er Betrieb genommen. 16.7. ZUSAMMENFASSUNG 16.7 195 Zusammenfassung Verstärker sind elektronische Schaltungen die kleine Eingangssignale verstärken, damit sie in nachfolgenden Einheiten verarbeitet werden können. Je nach Aufgabenstellung müssen die Verstärkerschaltungen optimiert werden, was zu einer Vielzahl von Lösungen führt. Heute werden Verstärker nur in seltenen Fällen aus diskreten Bauelementen aufgebaut sondern stehen normalerweise als integrierte Schaltungen zur Verfügung. Eine Sonderstellung haben die Operationsverstärker, deren Verhalten nicht von der Innenschaltung, sondern von der externen Beschaltung abhängt. Mit Operationsverstärkern können Schaltungen aufgebaut werden, die mathematische Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Di¤erentiation und Integration mit Signalen durchführen können. Man kann sogar Schaltungen zum Lösen von Di¤erentialgleichungen aufbauen. In der Praxis haben solche Schaltungen durch die Digitaltechnik, die wesentlich leistungsfähiger und vor allem genauer ist, ihre Bedeutung verloren. 196 KAPITEL 16. VERSTÄRKERSCHALTUNGEN Kapitel 17 Analoge Signalverarbeitung Inhalt 17.1 Analoge Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Approximation eines idealen Tiefpass…lters 17.1.2 Realisierung von analogen Filtern . . . . . . 17.1.3 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.4 Frequenztransformation . . . . . . . . . . . 17.2 Nichtlineare analoge Signalverarbeitung . . 17.2.1 Signalgleichrichtung . . . . . . . . . . . . . 17.2.2 Komparator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 199 207 208 208 209 209 209 211 Mit Mikroprozessoren und (digitalen) Signalprozessoren kann man heute mathematische Operationen in fast beliebiger Genauigkeit ausführen. Die zu verarbeitenden Signale liegen allerdings in der Regel in Form von kontinuierlichen Größ en, häu…g in Form von elektrischen Spannungen oder Strömen vor. Für die digitale Verarbeitung müssen diese analogen Signale zuerst mit Hilfe von Analog-Digital-Wandlern umgesetzt werden und nach der Signalverarbeitung meistens wieder durch Digital-Analog-Wandler in analoge Form zurückgebracht werden. In vielen Anwendungen sind die Genauigkeitsanforderungen nicht sehr hoch und man kann kostengünstige Lösungen mit analogen Schaltungen realisieren, wobei die Genauigkeit, die man mit analogen Schaltungen erreichen kann, bei 0.1 % liegt. Darüber hinaus gibt es Anwendungen bei denen die auftretenden Signalfrequenzen so hoch sind, dass man sie mit heutiger Technologie nicht in Echtzeit A/D-wandeln kann. Schließ lich ist in fast jedem digitalen Signalverarbeitungssystem eine (analoge) Signalverarbeitung auf der A/D-Seite und auf der D/A-Seite erforderlich, um das Frequenzband der Eingangssignale zu begrenzen und um die digitalen Ausgangswerte zu interpolieren. Die analoge Signalverarbeitung wird daher nie ihre Berechtigung verlieren, wenngleich ihre wirtschaftliche Bedeutung zu Gunsten der digitalen Verarbeitung abnimmt. Die Entwicklung analoger Schaltungen erfordert sehr viel schaltungstechnische Erfahrung. Trotz guter Simulationsmöglichkeiten entscheidet letztlich die physikalische Realisierung, ob eine Schaltung die gewünschten Spezi…kationen erfüllt. Bei komplizierten Schaltungen ist in der Regel immer ein Versuchsaufbau und eine nachfolgende Schaltungsoptimierung nötig. Es sei hier daran erinnert, das die Modellierung durch R, L und C nicht genau der physikalischen Wirklichkeit entspricht und dass es keine idealen Bauelemente gibt. Dieses Problem tritt bei digitalen Schaltungen nicht auf. Digitale Systeme kann man sehr exakt modellieren und die Umsetzung in eine Schaltung funktioniert in der Regel auf Anhieb, wenn man von Überlegungsfehlern beim Entwurf absieht. Im weiteren Verlauf werden wir uns, wie schon bei der Netzwerkanalyse, auf idealisierte Schaltungen beschränken und lediglich das prinzipielle Verhalten der Schaltungen 197 Analoge Schaltungen können nicht so hohe Genauigkeit erreichen wie digitale Schaltungen. Bei geringen Genauigkeitsanforderungen werden sie oft bevorzugt, da sie kostengünstiger sind. Analoge Schaltungen haben auch heute noch ihre Bedeutung, obwohl sie in manchen Bereichen zunehmend durch digitale Schaltungen ersetzt werden. 198 KAPITEL 17. ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG Bode Diagram Bode Diagram 20 50 0 0 -40 -50 Magnitude (dB) -20 -100 Magnitude (dB) 0 Magnitude (dB) -20 -30 -40 -100 -60 -200 -300 -50 -60 90 -400 450 -45 135 45 405 -90 -135 90 45 -180 0 2 0 -45 0 -2 10 10 10 Tiefpass (rad/sec) Phase (deg) -150 180 Phase (deg) -80 0 Phase (deg) Magnitude (dB) Bode Diagram -10 0 Phase (deg) Bode Diagram 315 -90 -2 0 10 10 10 Hochpass (rad/sec) 2 360 270 -2 0 10 10 10 Bandpass (rad/sec) 2 -2 0 10 10 10 Bandpass (rad/sec) Abbildung 17.1: Frequenzverhalten von Filtern darstellen. 17.1 Analoge Filter sind elektrische Netzwerke, die bestimmte Frequenzanteile von Signalen unterdrücken. Analoge Filter Elektrische Netzwerke werden häu…g zur Unterdrückung von Frequenzanteilen in Signalen eingesetzt. Entsprechend nennt man Netzwerke Tiefpass…lter / Tiefpässe, wenn sie nur tiefe Frequenzen (! 2 [0; ! grenz ]) durchlassen, Hochpass…lter / Hochpässe, wenn sie nur hohe Frequenzen durchlassen (! 2 [! grenz ; ! 1 ]), Bandpass…lter / Bandpässe, wenn sie nur Frequenzen in einem bestimmten Frequenzbereich durchlassen (! 2 [! unten ; ! oben ]) und Bandsperren, wenn sie einen Frequenzbereich unterdrücken ! 2 = [! unten ; ! oben ]). Bei einfachen Netzwerken kann man das Übertragungsverhalten leicht aus der Schaltungsstruktur erkennen: Kapazitäten verhalten sich bei niedrigen Frequenzen wir ein Leerlauf, bei hohen Frequenzen wie ein Kurzschluss, Induktivitäten verhalten sich bei niedrigen Frequenzen wie ein Kurzschluss, bei hohen Frequenzen wie ein Leerlauf. Abbildung 17.1 zeigt das Verhalten der verschiedenen Filtertypen. Analoge Filter werden entweder mit passiven elektrischen Komponenten (R, L, C) oder mit Operationsverstärkerschaltungen realisiert. Das Übertragungsverhalten der Filter wird durch die Systemfunktion des Filters, d.h. das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung in Abhängigkeit vom komplexen Frequenzparameter s beschrieben. H(s) = Ua (s) Ue (s) Die Systemfunktion ist eine gebrochen rationale Funktion1 der Form 1 Wir beschränken uns auf LTI-Systeme. (17.1) 2 17.1. ANALOGE FILTER 199 Abbildung 17.2: Toleranzschema eines Filters H(s) = bm sm + bm 1 sm 1 + b1 s + b0 an sn + an 1 sn 1 + a1 s + a0 (17.2) Ein Beispiel für die Systemfunktion eines Tiefpass…lters wäre H(s) = 2s3 + 2s2 1 + 2:5s + 1 (17.3) Die Koe¢ zienten bm ; :::; b0 ; an ; :::; a0 der Systemfunktion hängen von den Werten der elektrischen Bauelemente ab und legen damit die Filtereigenschaften fest. Idealerweise möchte man die gewünschten Frequenzkomponenten eines Signals vollständig durchlassen und die unerwünschten Anteile vollständig unterdrücken. Das ist aber praktisch nicht möglich. Die Übertragungseigenschaften von Filtern werden daher durch ein Toleranzschema festgelegt, das sich aus Qualitätsforderungen der Anwendung ergibt. Abbildung 17.2 zeigt das Toleranzschema eines Tiefpass…lters. Die Dämpfung des Signals im Durchlassbereich darf nicht größ er als ein maximaler Wert aD [dB] sein, die Dämpfung im Sperrbereich muss größ er als ein minimaler Wert aSP [dB] sein. Der Dämpfungsverlauf innerhalb der Toleranzfelder kann einen beliebigen Verlauf annehmen. ~a Aufgabe des Filterentwurfs ist es, eine Übertragungsfunktion H = U ~ e zu …nden, die U in das gewünschte Toleranzfeld » passt« . Da bei linearen elektrischen Netzwerken nur gebrochen rationale Funktionen als Übertragungsfunktionen auftreten können, kann die gewünschte und schaltungstechnisch realisierbare Netzwerksfunktion nur eine gebrochen rationale Funktion sein. Aus den Koe¢ zienten der Netzwerkfunktion kann man wiederum die Bauelementewerte der elektrischen Schaltung ermitteln. 17.1.1 Approximation eines idealen Tiefpass…lters Ein ideales Tiefpass…lter überträgt alle Frequenzkomponenten im Durchlassbereich und unterdrückt alle Frequenzkomponenten im Sperrbereich. Die Systemfunktion und die Dämpfung eines idealen Tiefpasses sind in Abbildung 17.3 dargestellt. Diese ideale Filterkennlinie ist nicht realisierbar, wir müssen daher eine gebrochen rationale Funktion …nden, die den Betrag der Übertragungsfunktion so gut wie gewünscht annähert. Die Betragsbildung ist eine nichtlineare Operation, mit der wir nicht gut rechnen können. Durch Verwendung der Beziehung 2 jH(j!)j = H(j!)H( j!) (17.4) erhalten wir aber eine Darstellung mit der wir gut umgehen können. Es ist vorteilhaft, eine neue Funktion F (j!) = 1=H(j!) einzuführen und F (j!) zu approximieren. Die Filtereigenschaften werden durch die Systemfunktion eindeutig bestimmt. Beim Filterentwurf ist meistens ein Toleranzschema vorgegeben, das auß er dem Durchlassund Sperrbereich auch die maximale Durchlassdämpfung und die minimale Sperrdämpfung angibt. Die Kennlinie eines idealen Filters kann nicht praktisch realisiert werden. Sie kann nur durch eine gebrochen rationale Funktion angenähert werden. 200 KAPITEL 17. ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG Abbildung 17.3: Frequenzkennline eines idealen TP-Filter |F(j ω)|² 10 9 8 7 6 n=7 5 4 3 n=2 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ω 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Abbildung 17.4: Approximation durch Potenzansatz Potenzapproximation Bei der Potenzapproximation wird die ideale Filterkennlinie durch Parabeln angenähert. Wir verwenden für die weitere Rechnung die bekannte Schreibweise in s und wählen den folgenden Approximationsansatz F (s)F ( s) = 1 + s2n für n = 2; 4; 6; ::: (17.5) = 1 s2n für n = 1; 3; 5; ::: (17.6) = n 2n 1 + ( 1) s (17.7) Abbildung 17.4 zeigt den Verlauf der Approximationsfunktion für unterschiedliche n: Unser Approximationsansatz mit Parabeln n ter Ordnung zeigt, dass das ideale Verhalten (in Abbildung strichliert gezeichnet) umso besser angenähert wird, je höher die Ordnung ist: Der Verlauf der Approximationsfunktion wird im Durchlassbereich bei höherer Ordnung ‡acher, der Anstieg im Sperrbereich wird bei höherer Ordnung steiler. Alle Kurven gehen bei ! = 1 –der Grenzfrequenz –durch den Punkt jF (j!)j2 = 2, die Verstärkung (Dämpfung) in diesem Punkt beträgt daher 3 dB: Bei der Approximation haben wir das Produkt F (s)F ( s) angenähert, wir brauchen aber nicht das Produkt, sondern die Funktion F (s). Die Zerlegung in die Teile F (s) und F ( s) führen wir mit Hilfe der Nullstellendarstellung durch. F (s)F ( s) = 1 + ( 1)n s2n = 0 ! ( 1)n s2n = 1 (17.8) d.h., die Nullstellen liegen auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene. Wir erhalten für 17.1. ANALOGE FILTER 201 (a) (b) 1 Imaginary Axis Imaginary Axis 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 0 Real Axis 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 0 Real Axis 1 Abbildung 17.5: Nullstellen von (a) F (s)F ( s) = 1 + s8 (b) F (s)F ( s) = 1 n = ungerade s0;k = ejk =n n = gerade s0;k = ej(2k 1) =2n k = 1; 2; :::; 2n k = 1; 2; :::; 2n s6 (17.9) Abbildung 17.5 zeigt ein Beispiel für n = 4 und n = 3: Das Produkt hat also die Form F (s)F ( s) = (s s0;1 )(s s0;2 )(s s0;3 ):::(s s0;2n ) (17.10) Die einzelnen Nullstellen (Klammerausdrücke in 17.10) können (aus mathematischer Sicht) den Funktionen F (s) und F ( s) beliebig zugeordnet werden, wobei aber zwei auf dem Einheitskreis gegenüberliegende Nullstellen nicht der selben Funktion zugeordnet werden können2 . Die Nullstellen der Hilfsfunktion F (s) sind aber die Polstellen von H(s). Wir wissen, dass bei stabilen Netzwerken alle Pole in der linken o¤enen komplexen Halbebene liegen müssen. Daher spalten wir das Produkt F (s)F ( s) so auf, dass wir alle Nullstellen in der linken s Ebene F (s) zuordnen und alle Nullstellen in der rechten s Ebene F ( s) zuordnen. Berechnet man daraus die Übertragungsfunktionen H(s) für die zweite bis vierte Ordnung, so erhält man H(s) = H(s) = H(s) = 1 s2 + 1:4142s + 1 1 3 2 s + 2s + 2s + 1 s4 + 2:613s3 1 + 3:4142s + 2:6131s + 1 (17.11) (17.12) (17.13) Filter die auf diesem Approximationsansatz beruhen nennt man Potenz…lter (Butterworth Filter). Beispiel 68 Die Lage der Polstellen der Übertragungsfunktion H(s) der Potenz…lter berechnet die Matlab-Funktion [z,p,k]=buttap(n). Die Darstellung [z,p,k] (Zeros, Poles, Gain) kann mit Hilfe der Funktion [num,den]=zp2tf(z,p,k) in die Übertragungsfunktion (transfer function) umgerechnet werden, wobei [num] die Koe¢ zienten des Zählerpolynoms und [den] die Koe¢ zienten des Nennerpolynoms enthält. (Die Umrechnung funktioniert auch in die andere Richtung. [Z,P,K] = TF2ZP(NUM,DEN) liefert Zeros, Poles, Gain aus Zähler- und Nennerpolynom der Übertragungsfunktion. Tschebysche¤-Approximation im Durchlassbereich Zum Unterschied von der Potenzapproximation, die im Durchlassbereich einen ‡achen Verlauf aufweist, zeigt die Approximation durch Tschebysche¤’sche Polynome im Durchlassbereich ein welliges Verhalten auf, wie Abbildung 17.6 zeigt. 2 Eine Nullstelle von F (s) impliziert eine auf dem Einheitskreis gegenüberliegende Nullstelle von F ( s). Der Tschebysche¤Ansatz weist einen schnelleren Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich als der Potenzansatz auf, der aber mit einer (parametrisierbaren) Welligkeit im Durchlassbereich zu bezahlen ist. 202 KAPITEL 17. ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG Tschebscheff-Ansatz 1 1 0.8 0.8 0.6 0.4 Magnitude (abs) Magnitude (abs) Potenzansatz 0.6 0.4 0.2 0.2 0 0 0 1 2 3 Frequency (rad/sec) 0 1 2 3 Frequency (rad/sec) Abbildung 17.6: Frequenzgang Potenz- und Tschebysche¤-Filter 5. Ordnung Die Welligkeit ist ein Entwurfsparameter und wird so gewählt, dass das gewünschte Filterverhalten im Durchlassbereich erreicht wird. Bei der Welligkeit Null geht das Tschebysche¤-Filter in das Potenz…lter über. Filter sollen Durchlass- und Sperrbereich möglichst gut trennen, diese Aufgabe wird umso besser erfüllt, je steiler der Übergang zwischen Durchlass- und Sperrbereich ist. Bei gleicher Ordnung ist die Flankensteilheit von Tschebysche¤-Filtern größ er als die von Potenz…ltern, wie man in Abbildung 17.6 erkennen kann. Die Flankensteilheit ist auch größ er, wenn man eine höhere Welligkeit im Durchlassbereich tolerieren kann. Tschebysche¤-Filter sind also frequenzselektiver als Potenz…lter. Beispiel 69 Die Lage der Polstellen der Übertragungsfunktion H(s) der Tschebysche¤ Filter3 berechnet die Matlab-Funktion [z,p,k]=cheb1ap(n,r). r ist die Welligkeit in dB im Durchlassbereich. Cauer-Filter Die Cauer-Filter sind die frequenzselektivsten, weisen aber eine (parametrisierbare) Welligkeit im Durchlassund im Sperrbereich auf. Wird eine Tschebysche¤-Approximation im Durchlass- und im Sperrbereich gewählt, dann erhalten wir Cauer- oder elliptische Filter. Bei diesem Approximationsansatz kann die Welligkeit im Durchlass- und im Sperrbereich voneinander unabhängig gewählt werden. Die Cauer-Filter sind die Filter mit der größ ten Flankensteilheit zwischen Durchlassund Sperrbereich. Abbildung 17.7 zeigt das Frequenzverhalten eines Cauer…lters mit 1 dB Welligkeit im Durchlassbereich und mindestens 60 dB Dämpfung im Sperrbereich in linearer und doppelt logarithmischer Darstellung. Cauer-Filter haben Übertragungsnullstellen im Sperrbereich, die man in der linearen Darstellung nicht gut erkennen kann. In der logarithmischen Darstellung sind die Nullstellen aber gut erkennbar (log 0 = 1). Beispiel 70 Die Lage der Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion H(s) der CauerFilter4 berechnet die Matlab-Funktion [z,p,k]=ellipap(n,rp,rs). rp, rs sind die Welligkeiten in dB im Durchlass- und Sperrbereich. Die Bedeutung der Phase Phasenverschiebungen von Frequenzkomponenten eines Signals verursachen im Allgemeinen eine Verzerrung seiner Kurvenform. Abbildung 17.8 zeigt ein Signal bestehend aus drei sinusförmigen Komponenten. Die Komponenten in (a) und (b) haben gleiche Frequenz, aber unterschiedliche Phase. Abbildung (c) zeigt die Summe der in Abbildung (a) dargestellten Komponenten, Abbildung 3 In der englischsprachigen Literatur wird Tschebysche¤ mit Chebyshev transkribiert. das Approximationsproblem hat Wilhelm Cauer eine geschlossene Lösung angegeben, bei der vollständige elliptische Integrale erster Gattung auftreten. Daher heiß en diese Filter in der englischen Literatur elliptische Filter. 4 Für 17.1. ANALOGE FILTER 203 Cauer-Filter Cauer-Filter 1 0 -20 0.8 Magnitude (dB) Magnitude (abs) 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 -40 -60 -80 0.3 0.2 -100 0.1 0 0 5 Frequency (rad/sec) 10 -120 10 -2 10 0 Frequency (rad/sec) Abbildung 17.7: Cauer…lter 5. Ordnung (linear und doppelt logarithmisch) (a) (b) 1 1 0 0 -1 -1 0 100 200 0 (c) 100 200 (d) 1 2 0 0 -1 -2 0 100 200 0 100 200 Abbildung 17.8: Sinuskomponenten mit unterschiedlicher Phase 204 KAPITEL 17. ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 0 0 200 400 600 800 Eingangssignal 0 0 0 200 400 600 800 0 200 400 600 800 T scheb 5. Ordnung, 1 dB LinPhase 40.Ordnung, max. flach 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1.5 200 400 600 800 1.5 200 400 600 800 1.5 200 400 600 800 Abbildung 17.9: SZeilensignalïn Falschfarbendarstellung Bei manchen Signalen (z.B. Fernsehsignale) ist ihre Kurvenform wichtig, für andere Signale (z.B. Audiosignale) spielt lediglich ihre Frequenzzusammensetzung eine Rolle. Ist der Phasengang eines Filters linear, bleibt die Kurvenform des durchgelassenen Signals erhalten. (d) zeigt die Summe der in (b) gezeigten Komponenten. Wie man ohne Zweifel feststellen kann, unterscheiden sich die Signalformen (c) und (d) deutlich voneinander. Dennoch kann das menschliche Ohr keinen Unterschied zwischen (c) und (d) feststellen! Das Ohr kann keine Phasenunterschiede erkennen, die in den Signalen (c) und (d) » kodierte« Klanginformation steckt ausschließ lich in der Frequenz. Beim Filtern von Signalen die nur Frequenzinformation enthalten kann das frequenzselektivste Filter –das Cauer-Filter –eingesetzt werden, der Phasengang des Filters ist ohne Bedeutung. Eine völlig unterschiedliche Situation liegt vor, wenn die Information im Zeitbereich, also in der Kurvenform des Signals kodiert ist. Ein gutes Beispiel dafür ist das Zeilensignal eines Fernsehbildes. Abbildung 17.9 zeigt ein digitales Signal mit einem unerwünschten Störimpuls (a). (Dem digitalen Signal sind Farbwerte zugeordnet, die unterhalb der Signale dargestellt sind.) Durch Filterung soll der Störimpuls unterdrückt werden, die Streifen sollen aber möglichst scharf abgebildet werden. Bei dieser Aufgabenstellung sind wir im Dilemma: Einerseits möchte man den hochfrequenten Störimpuls unterdrücken, man muss also ein Filter entwerfen, das die (hochfrequenten) Signalkomponenten des Störimpulses unterdrückt. Andererseits möchte man aber die scharf begrenzten Streifen, die ebenfalls hochfrequente Signalkomponenten enthalten, erhalten und müsste daher diese hochfrequenten Komponenten durchlassen. Diese Aufgabenstellung ist also nur mit einem Kompromiss zwischen Störimpulsunterdrückung und Unschärfe der Streifen lösbar. In unserem Beispiel setzen wir für diese Filteraufgabe ein Tschebysche¤-Filter 5. Ordnung ein (b). Der hochfrequente Störimpuls wird abgeschwächt und ist im Bild fast nicht mehr zu sehen, es tritt allerdings ein starkes Überschwingen des Filters auf, das zu sichtbaren Streifen führt. Besser geeignet ist das Linear-Phasen…lter, bei dem zwar die Farbübergänge etwas unscharf werden, aber kein Überschwingen und damit keine Streifen auftreten. Das Linear-Phasen…lter in unserem Beispiel ist 20. Ordnung und viel aufwändiger als das Tschebysche¤-Filter 5. Ordnung. Die lineare Phase ist dafür verantwortlich, das die Kurvenform der Signale (die Treppenform in unserem Beispiel) erhalten bleibt. Bemerkung 71 Immer dann, wenn die Kodierung der Information in der Kurvenform des Signals steckt (wie bei Biosignalen oder in Fernsehbildern), ist die Eigenschaft der linearen Phase wichtig. Wenn die Information in den Frequenzkomponenten steckt (wie 17.1. ANALOGE FILTER 205 Bessel-Ansatz Tschebyscheff-Ansatz Magnitude (abs) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.5 0 0 0 -45 -90 Phase (deg) Phase (deg) Magnitude (abs) 1 -90 -135 -180 -180 -270 -360 -450 0 1 2 Freq uency (rad/sec) 3 0 1 2 Freq uency (rad/sec) 3 Abbildung 17.10: Bessel- und Tschebysche¤-Tiefpass 5. Ordnung bei Audiosignalen) ist der Phasenverlauf des Filters von untergeordneter Bedeutung, da das menschliche Ohr nur wenig von der Phase abhängig ist. Hohe Frequenzselektivität (bei gleicher Ordnung des Filters) erzielt man nur mit Filtern, die keine lineare Phase (linearen Phasengang) haben. Bessel-Filter Wenn bei der Filterung der Erhalt der Kurvenform eine wichtige Rolle spielt, muss für die Übertragungsfunktion eine linear ansteigende Phase approximiert werden. Mit Hilfe von Bessel-Polynomen kann eine lineare Phase approximiert werden5 . Die Bessel-Polynome sind wir folgt de…niert B1 B2 = x+1 = x2 + 3x + 3 (17.14) (17.15) B3 = x3 + 6x2 + 15x + 15 (17.16) B4 = x4 + 10x3 + 45x2 + 105x + 105 (17.17) Bn = (2n 1)Bn 1 2 + x Bn Bo = 1; B 2 1 = 1=x (17.18) Die Übertragungsfunktion von Bessel-Filtern ist H(s) = b0 = n Bn (s) s + bn b0 + ::: + b1 s + b0 n 1 1s (17.19) Beispiel 72 Die Lage der Polstellen der Übertragungsfunktion H(s) der Bessel-Filter berechnet die Matlab-Funktion [z,p,k]=besselap(n). Abbildung 17.10 zeigt die Bodediagramme eines Tschebysche¤-Filters 5. Ordnung mit 1 dB Welligkeit und eines Bessel-Filters 5. Ordnung. Wie man in 17.10 erkennen kann, ist das Phasenverhalten des Bessel-Tiefpasses im dargestellten Bereich linear, allerdings ist die Flankensteilheit des Bessel…lters wesentlich geringer als die des Tschebysche¤-Filters. Um eine ähnlich hohe Flankensteilheit wie beim Tschebysche¤-Filter zu erreichen, müsste ein Bessel…lter wesentlich höherer Ordnung – mit höherem Hardwareaufwand –eingesetzt werden. 5 Im Abschnitt über FIR-Filter werden wir digitale Filter kennen lernen, deren Phasenverhalten exakt linear ist. Bessel-Filter haben einen annähernd linearen Phasengang, ihre Frequenzselektivität ist aber eher gering. 206 KAPITEL 17. ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG Frequenzgang Sprungantwort 1 1.5 1 0.5 0.5 0 0 0 0.5 1 1.5 T s c heys c heff 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 50 T s c heys c heff 100 0 50 Potenz 100 0 50 Bes s el 100 0 0 0.5 1 Potenz 1.5 2 1 1.5 1 0.5 0.5 0 0 0 0.5 1 Bes s el 1.5 2 Abbildung 17.11: Frequenzgang und Sprungantworten Filter 5. Ordnung Vergleich der Filterapproximationen Filter werden mit zunehmender Ordnung frequenzselektiver. Filter nach Frequenzselektivität: 1. Cauer 2. Tschebysche¤ 3. Potenz 4. Bessel Signale, die in ihrer Kurvenform Information tragen, müssen mit linearphasigen Filtern ge…ltert werden. Das wichtigste Selektionsmerkmal eines Filters ist die Steilheit des Übergangs vom Durchlass- in den Sperrbereich, die Auskunft über die Selektivität des Filters gibt. Je steil‡ankiger das Filter ist, desto besser wird das gewünschte ideale Filter angenähert. Die Flankensteilheit eines Filters hängt von der Ordnung (von der Zahl der verwendeten Bauelemente) und von der Approximationsfunktion ab. Je höher die Ordnung, desto größ er die Flankensteilheit. Kein realisierbares Filter ist in der Lage, das Ausgangssignal im Sperrbereich vollständig zu unterdrücken. Die Frequenzselektivität des Cauer-Filters ist am größ ten, die Steilheit des Übergangs vom Durchlass- in den Sperrbereich ist auch von der Welligkeit im Durchlassund Sperrbereich abhängig. Je größ er die Welligkeit im Durchlassbereich und je kleiner die Sperrdämpfung, desto größ er die Steilheit. Welche Welligkeit im Durchlassbereich akzeptabel ist und wie hoch die minimale Sperrdämpfung sein muss, hängt von der Anwendung ab. Das Tschebysche¤ -Filter hat ein ähnliches Verhalten wie das Cauer-Filter, die Dämpfung im Sperrbereich steigt aber monoton an. Das Potenz…lter ist der Sonderfall des Tschebysche¤-Filters für die Welligkeit Null. Die geringste Selektivität (bei gleicher Filterordnung) weist das Bessel-Filter auf. Beim Phasenverhalten liegen die Verhältnisse genau umgekehrt: höchste Frequenzselektivität bedeutet nichtlinearen Phasengang, was zur Folge hat, dass die Kurvenform der Signale stark verzerrt wird. Zur Erhaltung der Kurvenform sind Filter mit angenähert linearem Phasengang –wie beim Bessel…lter –erforderlich. Ein gutes Testsignal zur Bewertung des Phasenverhaltens liefert der Eingangssprung. Filter mit linearem Phasengang zeigen praktisch kein Überschwingen (die Kurvenform wird erhalten). Abbildung 17.11 zeigt Frequenzgang und Sprungantwort von Tschebysche¤-, Potenzund Bessel-Filter. Während das Bessel…lter kein Überschwingen des Ausgangssignals zeigt, schwingt das Tschebysche¤-Filter stark und langanhaltend über. Die Reaktion eines Filters auf den Sprung – die Verzögerungszeit – hängt von der Ordnung des Filters ab, je höher die Ordnung, desto größ er die Verzögerungszeit. Welcher Filtertyp ausgewählt wird, hängt von der Aufgabenstellung ab. Wir wissen, dass Signale dafür verwendet werden Information zu » kodieren« . Das Kodieren von 17.1. ANALOGE FILTER 207 Information kann entweder im Zeitbereich oder im Frequenzbereich erfolgen. Wenn die Information in der Frequenz steckt, können selektive Filter eingesetzt werden, da die Kurvenform keine Rolle spielt. Steckt die Information aber in der Kurvenform, dann müssen Filter mit linearer Phase eingesetzt werden, um die Verzerrungen klein zu halten. 17.1.2 Realisierung von analogen Filtern LC-Filter Die Approximation des gewünschten Filterverhaltens liefert die Systemfunktion des Filters. Die Netzwerkanalyse liefert eine gebrochen rationale Funktion. Durch Koe¢ zientenvergleich können die Bauelementewerte bestimmt werden. Beispiel 73 Die Potenzapproximation für ein Filter 2. Ordnung liefert die Systemfunk1 : Die Analyse des folgenden RLC-Netzwerks ergibt die Systemtion H(s) = s2 +1:4142s+1 1 . funktion H(s) = LCs2 +RCs+1 Durch Koe¢ zientenvergleich erhalten wir daraus LC = 1; RC = 1:4142. Daraus können wir die Bauelementewerte6 R,L und C ermitteln. Für den praktischen Entwurf von Filtern gibt es Filterkataloge und CAE-Programme, mit denen die Bauelementewerte ermittelt werden können. Widerstände und Kondensatoren sind in genormten Werten (E-Reihen) erhältlich. Je feiner die Abstufung zwischen den Bauelementen und je präziser die Werte der Bauelemente sind, desto teurer sind die Komponenten. Aber auch bei der feinsten erhältlichen Abstufung ist es nur selten möglich Katalog-Bauelemente zu …nden, die genau den für eine Filterapproximation nötigen Wert haben. In diesen Fällen muss durch Zusammenschaltung mehrerer Katalog-Bauelemente der gewünschte Wert » eingestellt« werden. Alternativ können auch abstimmbare Bauelemente (Potentiometer, Drehkondensatoren) verwendet werden, deren Kosten aber deutlich höher liegen als die Kosten der Festwert-Bauelemente. Induktivitäten sind in der Regel nicht mit den erforderlichen Werten erhältlich und müssen individuell hergestellt werden. LC-Filter werden heute nur mehr bei höheren Frequenzen eingesetzt. Bei der Implementierung von analogen Filtern sind Bauelemene mit den errechneten Werten meistens nicht erhältlich und müssen durch Ersatzschaltungen nachgebildet werden. Aktive Filter LC-Filter sind bei niedrigen Frequenzen wegen der groß en Bauelementewerte schlecht herstellbar. Für die Herstellung von Induktivitäten in niedrigen Frequenzbereichen sind sehr viele Windungen erforderlich, was den ohmschen Widerstand der Induktivität erhöht und damit ein Abweichen vom idealen Bauelementverhalten bewirkt. Auf Grund der technologischen Entwicklung der Halbleitertechnik sind heute aktive Bauelemente (Operationsverstärker, OPV) oft kostengünstiger als passive Bauelemente wie z.B. Induktivitäten. Wenn es der Frequenzgang der OPVs zulässt, wird man daher bevorzugt aktive Schaltungen einsetzen. Abbildung 17.12 zeigt ein aktives Tiefpass…lter 2. Ordnung. Die Netzwerkanalyse liefert für die Systemfunktion H(s) = Ua = Ue R2 =R1 C1 C2 R2 R3 s2 + C1 R2 + R3 + R2 R3 R1 (17.20) s+1 6 Wir haben zwei Gleichungen für drei Unbekannte, können daher den Wert eines Bauelements wählen. Die Wahl erfolgt nach Gesichtspunkten der praktischen Realisierung. Bei aktiven Filtern werden Operationsverstärker eingesetzt. 208 KAPITEL 17. ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG Abbildung 17.12: Aktiver Tiefpass Die Bauelementewerte können durch Koe¢ zientenvergleich mit der gewünschten Approximationsfunktion bestimmt werden. Filter höherer Ordnung werden durch Kaskadierung von Filtern 2. Ordnung realisiert. Dazu müssen die Approximationsfunktionen in Terme zweiter Ordnung aufgespaltet werden. Für die praktische Berechnung von aktiven Filtern gibt es Filterkataloge, auß erdem stellen die Hersteller von OPVs Filterentwurfsprogramme zu Verfügung. 17.1.3 In der normierten Darstellung von Netzwerken treten meistens Werte in der Größ enordnung von 1 auf. Wegen der einfacheren Darstellbarkeit werden Netzwerke häu…g normiert, da man es dann mit Zahlen in der Größ enordnung von Eins zu tun hat. Bei der Widerstandsnormierung werden alle Größ en des Netzwerks durch einen Bezugswiderstand R0 dividiert, man spricht von der Widerstandsnormierung auf R0 . Bei der Frequenznormierung wird die komplexe Frequenz s durch eine reelle Bezugsfrequenz ! 0 dividiert. Den Quotienten snor! = s=! 0 bezeichnet man als normierte Frequenz. In der Regel werden Widerstands- und Frequenznormierung gleichzeitig angewendet. unnormiert R normiert ! normiert R & ! normiert Run RnorR = Ru n R0 Rnor! = Run Rnor = Cun CnorR = Cun :R0 Cnor! = Cun :! 0 Cnor = Cun :R0 :! 0 Lun LnorR = Lnor! = Lun :! 0 Lnor = Lun 17.1.4 Durch eine geeignete Transformation der der Systemfunktion können verschiedene Filtertypen ineinander umgewandelt werden. Normierung Lu n R0 Ru n R0 R0 !0 Frequenztransformation Wenn die Systemfunktion eines Tiefpasses bekannt ist, dann kann man mit Hilfe der Frequenztransformation einen Hochpass, einen Bandpass und eine Bandsperre erzeugen. Die Schaltungen …ndet man, indem man Induktivitäten und Kapazitäten des Tiefpass…lters durch entsprechende Zweipole ersetzt. Aus dem Tiefpass entsteht ein Hochpass, indem man s ! 1=s setzt: s3 HT P (s) = s3 +2s21+2s+1 ! HHP (s) = 1+2s+2s 2 +s3 Entsprechend wird aus dem Tiefpass ein Bandpass, indem man s! 1 !0 !u s+ 1 s (17.21) setzt und eine Bandsperre, indem man s! !0 !u s + 1s (17.22) setzt. Die Transformationsbeziehungen auf der Bauelementebene sind in Abbildung 17.13 gezeigt. B = ! 0 ! u 17.2. NICHTLINEARE ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG 209 Abbildung 17.13: Frequenztransformation 17.2 Nichtlineare analoge Signalverarbeitung Neben der einfachen linearen Signalverarbeitung können durch aktive Schaltungen auch Funktionsnetzwerke für Logarithmus, Exponentialfunktion, Sinus- und Kosinusfunktion realisiert werden. Durch geeignete Schaltungen kann man auch Analog- Multiplizieren und die Umwandlung von kartesischen in Polarkoordinaten und umgekehrt durchführen. Diese Schaltungen haben heute nur mehr in Sonderfällen Bedeutung. 17.2.1 Signalgleichrichtung Die Betragsbildung von Signalen lässt sich auf analoge Weise sehr einfach durch Signalgleichrichtung erreichen. Das dafür verwendete Bauelement ist die (Halbleiter)Diode. Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an einer Diode ist gegeben durch die Beziehung UD ID = IS e nUT 1 Eine Eigenschaft der Diode ist, dass sie Strom nur in einer Richtung » durchlässt« . (17.23) n 1 bis 2 ist ein Technologieparameter. UT = kT =q 26 mV, ist die sogenannte Temperaturspannung, IS 10 12 bis 10 6 nennt man den Sättigungssperrstrom. Wegen des exponentiellen Verhaltens des Diodenstroms und wegen des praktisch vernachlässigbaren Stromes bei negativer Diodenspannung kann man für die Diode ein einfaches Ersatzschaltbild verwenden: In Durchlassrichtung UD > 0 leitet die Diode und hat einen sehr kleinen Widerstand, in Sperrrichtung UD < 0 ‡ieß t praktisch kein Strom und die Diode sperrt. Wenn das einfache Schaltermodell der Diode nicht ausreichend ist, kann die Diode durch die Ersatzschaltung nach Abbildung 17.14 dargestellt werden. Im Durchlassbereich fällt an der Diode die Spannung UF ab. Für Siliziumdioden ist UF 0:7 V, bei Germanium- und Schottky Dioden ist UF 0:3 V. Bei Betrieb in Durchlassrichtung ist der Schalter geschlossen, in Sperrrichtung ist der Schalter o¤en. Für genauere Modellierung kann noch der Bahnwiderstand RB berücksichtigt werden. Den Wert von RB kann man aus Datenblättern entnehmen oder durch Messungen bestimmen. Zur Gleichrichtung (Betragsbildung) verwendet man den in Abbildung 17.15 dargestellten Brückengleichrichter. 17.2.2 Komparator Eine häu…g vorkommende Aufgabe der Schaltungstechnik ist der Vergleich von zwei Spannungen. Dafür eignet sich der OPV ohne Gegenkopplung sehr gut. Schaltung und Verhalten sind in Abbildung 17.16 dargestellt. Solange U1 > U2 ist die Di¤erenzspannung positiv und auf Grund der hohen Verstärkung des OPV stellt sich der Ausgang auf die maximale Ausgangsspannung (die positive Für den Vergleich zweier Spannungen eignet sich ein OPV ohne Gegenkopplung. 210 KAPITEL 17. ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG Abbildung 17.14: Diode und Ersatzschaltung (Strichlierte Linien stehen für ein genaueres Modell) Abbildung 17.15: Gleichrichtung Abbildung 17.16: Komparator 17.3. ZUSAMMENFASSUNG 211 Versorgungsspannung) ein. Bei U1 < U2 wird die Di¤erenzspannung negativ und es stellt sich die minimale Ausgangsspannung (die negative Versorgungsspannung) ein. Mit Hilfe dieser Schaltung kann man auch eine variable Spannung gegen eine feste Referenzspannung vergleichen. 17.3 Zusammenfassung Mit Hilfe analoger Schaltungen lassen sich Aufgabenstellungen der Signalverarbeitung im Genauigkeitsbereich von ca. 0.1 % gut und oft kostengünstig lösen. Beim Aufbau von elektrischen Schaltungen werden analoge Bauelemente verwendet, die einer Fertigungsstreuung unterliegen, analoge Schaltungen müssen daher oft abgeglichen werden. Die Bauelemente zeigen ein Alterungsverhalten, wodurch sich Schaltungseigenschaften im Laufe der Zeit ändern können. Alle diese Probleme können bei der digitalen Signalverarbeitung vermieden werden. Wie aber in den folgenden Abschnitten noch gezeigt wird, brauchen digitale Realisierungen beim Übergang zwischen analoger und digitaler sowie beim Übergang von digitaler in analoge Signaldarstellung immer analoge Filter. Analoge Signalverarbeitung wird daher schon aus diesem Grund immer ihren Platz haben. Digitale Signale werden durch Abtastung gewonnen. Mit heutiger Technologie kann der Audiobereich und Teile des Videobereichs digital verarbeitet werden, bei höheren Frequenzen kann aber nach wie vor nur analoge Schaltungstechnik eingesetzt werden. Wo immer wirtschaftlich und technisch möglich, wird man wegen der überlegenen Eigenschaften die digitale der analogen Signalverarbeitung vorziehen. 212 KAPITEL 17. ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG Teil VI Signalabtastung 213 Kapitel 18 Signalabtastung Inhalt 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 Vorteile digitaler Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abtastung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Darstellung des Abtastvorgangs . . . . . . Aliasing und Folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Signalrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.1 Interpolations…lter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.2 Antialiasing Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7 Digitalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.8 Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) . . . . . 18.9 Abtastung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . 18.10Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) . . . . . . . . 18.11Systeme mit unterschiedlichen Abtastraten (Multirate Filter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.12Zusammenfassung Fouriertransformationen . . . . . . . . . 18.13Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 216 217 220 221 224 224 224 225 226 227 228 . 231 . 232 . 233 Mit Hilfe der analytischen Darstellung gewinnt man wichtige Einblicke in Signale und Systeme. Für numerische Untersuchungen in einem Rechner ist diese Darstellung aber nicht geeignet, dazu müssen wir die Signale » diskretisieren« , d.h. wir müssen den kontinuierlichen Signalen Proben entnehmen und diese Proben digitalisieren. Durch dieses Vorgehen erhalten wir aus einem kontinuierlichen Signal eine Folge von Zahlen und es ist einleuchtend, dass der Vergleich der beiden Darstellungen nicht einfach ist. In diesem Kapitel befassen wir uns mit diskreten Signalen. Diskrete Signale entstehen durch » Entnahme« von Signalproben aus kontinuierlichen Signalen. Bei der Entnahme von Signalproben - Abtastung genannt - müssen wir entscheiden, (1) in welchen zeitlichen Abständen die Signalproben entnommen werden und (2) mit welcher Genauigkeit die Signalproben entnommen werden, d. h. wir müssen eine Quantisierung in Zeit und Amplitude vornehmen. In praktischen Anwendungen wird das kontinuierliche Signal zu den gewünschten Zeitpunkten durch eine Abtast- und Halteschaltung (sample & hold) abgetastet und konstant gehalten, um der Analog-/Digitalwandler-Schaltung genügend Zeit für die Umwandlung zu geben. Man kann leicht sehen, dass sich das vom A/D-Wandler erzeugte digitale Signal, wegen der Quantisierung im Zeit- (Abtastung) und im Amplitudenbereich (A/D-Wandlung), deutlich vom analogen Signal unterscheidet. Dennoch können wir bei geeigneten Quantisierungen eine höhere Qualität der digitalen Signalverarbeitung erreichen, als das mit analogen Methoden möglich ist. Die Quantisierung führen wir zur Gewinnung eines digitalen Signals durch, um dann Methoden der digitalen Signalverarbeitung einsetzen zu können. Am Ende der (digitalen) 215 Bei der Abtastung werden Signalen zu bestimmten Zeitpunkten Proben entnommen. Diese werden im nächsten Schritt durch AD-Wandler in Zahlen umgesetzt. 216 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG Signalverarbeitungskette ist in der Regel eine Rückumwandlung des digitalen Signals in ein kontinuierliches Signal notwendig, z. B. um ein Sprachsignal über den Lautsprecher eines CD-Spielers wiederzugeben. In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage, ob es möglich ist, ein kontinuierliches Signal in ein diskretes und wieder zurück in ein kontinuierliches zu wandeln, ohne dass hörbare Qualitätsverluste bei den Signalen auftreten. Die tägliche Erfahrung am Beispiel von Audio-CDs, MP3-Musik, Mobiltelefonen lehrt uns, dass die Umwandlung möglich ist und wir wollen in den nächsten Abschnitten untersuchen, welche Bedingungen dabei einzuhalten sind. 18.1 Digitale Signale lassen sich im Allgemeinen viel einfacher verarbeiten, übertragen, speichern und vervielfältigen als analoge Signale. Vorteile digitaler Signale Bandbegrenzte analoge Signale (alle praktischen Signale sind bandbegrenzt) können in digitale Signale umgewandelt werden. Die Voraussetzung dafür ist die Einhaltung des Abtasttheorems (bei der Zeitquantisierung) und eine den Qualitätsforderungen angemessene Au‡ösung (bei der Amplitudenquantisierung). Bei der Umwandlung analoger Signale in digitale Signale entstehen erhebliche Datenmengen, weshalb häu…g Datenkompression eingesetzt wird. Bei einer Stereo-Audio-CD wird eine Abtastfrequenz von 44.1 kHz verwendet, die Au‡ösung beträgt 16 bit, womit sich eine Datenrate von 44:1 [kHz] 16 [bit] 2 [Kanäle] = 1:4 Mb/s ergibt, bei der Super-Audio-CD (Direct Stream Digital) beträgt die Datenrate 2:8224 Mb/s, bei der Audio-DVD bis zu 192 24 2 = 9:216 Mb/s. Mit den heute zur Verfügung stehenden elektronischen Schaltkreisen kann digitale Signalverarbeitung in Echtzeit im Audiobereich, aber nur teilweise im Videobereich bewerkstelligt werden. Die digitale Signalverarbeitung bietet eine Reihe von Vorteilen, deshalb wird sie, wenn technisch möglich, der analogen Verarbeitung vorgezogen. 1. Digitale Signale sind weniger störanfällig als analoge, da nur die Signalzustände Null und Eins existieren und sich die Signale eindeutig rekonstruieren lassen, solange die Störungen unterhalb der Erkennungspegel für Null und Eins liegen. 2. Digitale Signale können bei Störungen auf Übertragungsstrecken ohne Qualitätsverlust regeneriert werden und über lange Distanzen übertragen werden. 3. Digitale Signale lassen sich einfacher kodieren (Kompression oder Sicherheit) und verarbeiten als analoge Signale. 4. Die Vervielfältigung digitaler Daten ist sehr einfach. Analoge Daten (Filme, Tonbänder) verlieren bei der Vervielfältigung Qualität durch unvermeidbare Störsignale. 5. Das Speichern von digitalen Signalen ist einfacher und kostengünstiger als das von analogen Signalen. 6. Digitale Hardware lässt sich einfacher und kostengünstiger bauen als analoge Komponenten. Die Kosten digitaler Hardware nehmen laufend durch die Weiterentwicklung der Chiptechnologie ab. 18.2 Abtastung im Zeitbereich Wir gehen von einem kontinuierlichen Signal aus und wählen der Einfachheit halber die Funktion s(t) = A cos(!t + ') (18.1) Amplit ude 18.3. MATHEMATISCHE DARSTELLUNG DES ABTASTVORGANGS 217 2 0 -2 0 1 2 3 4 5 3 4 5 3 4 5 Amplit ude Zeit t 2 0 -2 0 1 2 Amplit ude Index 2 0 -2 0 1 2 Index Abbildung 18.1: Signalabtastung Das (zeit)diskrete1 Signal erhalten wird durch Entnahme von Proben in äquidistanten Punkten, deren Zeitabstand Ts sei. s[n] = s(nTs ) 1<n<1 (18.2) Als Ergebnis erhalten wir eine Folge von Werten des kontinuierlichen Signals. Die Zahlenwerte der Folge können beliebige Werte annehmen, sind also noch nicht digitalisiert (quantisiert). Aus unserem Ausgangssignal wird dann s[n] = s(nTs ) = A cos(!nTs + ') = A cos(^ ! n + ') (18.3) Die Größ e! ^ bezeichnet man als normalisierte Kreisfrequenz ! ^ = !Ts . Sie gibt den Winkelunterschied (in rad) zwischen zwei Signalproben an. Ein abgetastetes Signal ist nichts mehr als eine Folge von Zahlen. Die Zeitinformation geht bei der Abtastung verloren. Bemerkung 74 Durch die Abtastung geht die Zeitinformation des kontinuierlichen Signals verloren. Schreibt man die Abtastwerte auf eine Liste, kann man nicht erkennen, welche Zeit zwischen den Abtastwerten vergeht. Erst bei Kenntnis des Abtastschrittes Ts kann eine zeitrichtige Rekonstruktion vorgenommen werden. Diese Tatsache verwendet man z.B. bei Synthesizern: Man speichert die Werte der Sinusfunktion von 0 90 (die restlichen Werte auf 360 lassen sich daraus leicht errechnen) und » schickt« diese Werte mit unterschiedlicher Geschwindigkeit an einen Digital/Analogwandler, um Töne unterschiedlicher Frequenzen zu erzeugen. Die Dimensionslosigkeit der Folge zeigt sich natürlich auch im mathematischen Ausdruck: Die Kreisfrequenz ! hat die Dimension [Zeit 1 ], die Zeit Ts hat die Dimension [Zeit]; !Ts ist daher dimensionslos. Abbildung 18.1 zeigt den Zusammenhang zwischen kontinuierlichen und diskreten Signalen. O¤ensichtlich stellt das Signal mit dichterer Abtastfolge das kontinuierliche Signal optisch besser dar als das Signal mit weniger dichter Abtastung. Aber je mehr Abtastwerte entnommen werden, desto mehr Daten müssen verarbeitet und gespeichert werden. Man ist daher daran interessiert möglichst wenige Abtastungen vornehmen zu müssen, will aber das kontinuierliche Signal wieder eindeutig rekonstruieren können. 18.3 Mathematische Darstellung des Abtastvorgangs Die Abtastung eines Signals f (t) kann dargestellt werden, indem man f (t) mit einer Folge von Einheitsimpulsen 0T (t) im Abstand von Ts Sekunden (dem Abtastabstand) 1 Zur Unterscheidung verwenden wir für kontinuierliche Signale runde Klammern, für diskrete Signale eckige Klammern. Mathematisch kann die Abtastung eines Signale durch Multiplikation mit einer Folge von Einheitsimpulsen modelliert werden. 218 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG multipliziert. (Die Abtastung mit 0 Impulsen ist ein theoretisches Konzept, das in elektronischen Schaltungen nur näherungsweise realisiert werden kann.) 0T (t) X = 0 (t kTs ) 0T (t) = k fS (t) = f (t) X f (t) 0 (t kTs ) (18.4) k Die Impulsfolge reihe zerlegt werden 0T (t) ist eine periodische Funktion und kann daher in eine Fourier- 0T (t) = 1 X Dk ejk!s t !s = k= 1 1 Dk = Ts Z 2 Ts (18.5) Ts =2 0T (t)e jk! s t dt (18.6) Ts =2 Die Berechnung dieses Integrals liefert Dk = 0T (t) = 1 Ts und wir erhalten daher 1 1 X jk!s t e Ts (18.7) k= 1 Die Gleichung (18.7) stellt aber nichts anderes dar, als Spektrallinien im Abstand von ! 0 mit den Amplituden 1=Ts : In reeller Schreibweise der Gleichung (18.7) erhalten wir 0T (t) = 1 [1 + 2 cos ! s t + 2 cos 2! s t + 2 cos 3! s t + ::: Ts +2 cos k! s t] (18.8) (k ! 1) (Die Sinusanteile heben sich gegenseitig aufgrund der ungeraden Symmetrie des Sinus auf. sin(k j! s t) = sin( k j! s t) ) Aus Gleichung (18.4) wird fS (t) = f (t) 0T (t) = 1 [f (t) + 2f (t) cos ! s t + 2f (t) cos 2! s t + 2f (t) cos 3! s t + :::] (18.9) Ts Das Spektrum Fs (!) des abgestasteten Signals fS (t) ermitteln wir durch die Berechnung der Fouriertransformierten von fS (t): f (t) , F (!) (18.10) 1 [F (! ! s ) + F (! + ! s )] (18.11) 2 Transformieren wir nun die Terme von Gleichung (18.9) vom Zeitbereich in den Frequenzbereich, so erhalten wir: F (!); F (! 2! s )+F (! +2! s ); F (! 3! s )+F (! +3! s ); ::: f (t) cos ! s t , Fs (!) = Das Spektrum eines abgetasteten Signals setzt sich aus dem periodisch fortgesetzten Spektrum des Originalsignals zusammen, wobei die Periode der Abtastfrequenz entspricht. 1 1 X F (! Ts n= 1 n! s ) (18.12) Das Spektrum des abgetasteten Signals setzt sich periodisch im Abstand ! s fort. Abbildung 18.2 stellt diesen Zusammenhang gra…sch dar. (Die Bandbreite erstreckt sich von B bis +B beträgt also 2B. Da wir F (!) darstellen und ! = 2 f wird daraus 2 2B.) Das Spektrum F (!) des Orginalsignals f (t) ist im Spektrum des abgetasteten Signals fs (t) enthalten und kann aus Fs (!) durch » Herausschneiden« mit einem idealen Tiefpass…lter fehlerfrei wiederhergestellt werden. 18.3. MATHEMATISCHE DARSTELLUNG DES ABTASTVORGANGS 219 Abbildung 18.2: Periodisches Spektrum Abbildung 18.3: Überlappen von Spektren Aus Abbildung 18.2 kann man erkennen, dass die periodische Wiederholung des Spektrums im Abstand von ! s erfolgt. Je größ er ! s ist, desto weiter rücken die Spektren auseinander. Wird ! s aber kleiner, dann rücken die Spektren näher aneinander, wenn ! s = 2 2B, dann stoß en die Spektren aneinander. Ist ! s < 2 2B, dann überlappen die Spektren. Abbildung 18.3 stellt diesen Zusammenhang gra…sch dar. Wie man aus Abbildung 18.3 erkennen kann, lassen sich die Spektren für ! s > 2B leicht separieren, für ! s = 2B kann eine Trennung nur mit einem rechteckigen (idealen) Filter erfolgen. Derartige Filter lassen sich aber nicht realisieren. Für den Fall dass ! s < 2B lassen sich die Spektren nicht mehr trennen. Daraus folgt das Shannon’sche Abtasttheorem Satz 75 Ein kontinuierliches Signal s(t); das keine Frequenzkomponenten größ er als fmax enthält, kann exakt aus einer Folge von Proben s[n] = s(nTs ) rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz fs = 1=Ts größ er als 2 fmax ist. Das Abtasttheorem gilt nur für bandbegrenzte Signale, d.h. für Signale die sinusförmige Komponenten mit einer obersten Frequenz enthalten (fmax 6= 1). Sprachsignale Damit ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer Maximalfrequenz fmax nach der Abtastung fehlerfrei rekonstruiert werden kann, muss die Abtastfrequenz größ er 2 f max sein.. 220 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG Abbildung 18.4: Aliasing enthalten Frequenzkomponenten bis 4 kHz, Musiksignale Frequenzkomponenten bis 20 kHz. Die Abtastfrequenz von Audio-CDs beträgt 44.1 kHz, liegt also knapp über den erforderlichen 2 20 kHz. Die niedrigste Abtastfrequenz, um ein Signal fehlerfrei rekonstruieren zu können, wird Nyquist-Frequenz genannt. 18.4 Aliasing und Folding Aliasing und Folding tritt auf, wenn das Abtasttheorem verletzt wurde. Bei Verletzung des Abtasttheorems überlagen sich die abgetasteten Spektren und Spektralkomponenten des Nachbarspektrums werden in das » Nutzspektrum« verschoben. Wir zeigen die Verletzung des Abtasttheorems an zwei Beispielen: Bei Aliasing ist die Frequenz des falsch rekonstruierten Signals positiv. Die Abtastfrequenz war kleiner als die größ te Frequenzkomponente des Originalsignals. Beispiel 76 Ein sinusförmiges Signal der Frequenz f = 100 Hz werde mit fs = 90 Hz abgetastet. Das 100 Hz-Signal hat im Frequenzbereich Spektrallinien bei 100 Hz. Durch die Abtastung entstehen Spektrallinien der periodischen Fortsetzung (! n! s ) : 100; 190; 280; 370; ::; 10; 80; 170; ::: Es wird aber auch die negative Frequenz periodisch fortgesetzt: 100; 10; 80; 170; :::; 190; 280; 370: Wir sehen an diesem Beispiel, dass negative Frequenzkomponenten eine wichtige Rolle spielen. Das abgetastete Signal wird nun durch Filterung rekonstruiert, die Filterbandbreite beträgt fs =2 = 45 Hz. Innerhalb dieses Bandes » …ndet« das Filter das Aliassignal mit den Frequenzen 10 Hz, das abgetastete 100 Hz-Signal wird also falsch als 10 Hz-Signal rekonstruiert, da das Abtasttheorem verletzt wurde! Abbildung 18.4 stellt die Zusammenhänge gra…sch dar. Bei Folding ist die Frequenz des falsch rekonstruierten Signals negativ. Die Abtastfrequenz war zwar größ er als die größ te Frequenzkomponente des Originalsignals, jedoch nicht großgenug. Aliasing und Folding kann man bei rotierenden Rädern im Film beobachten. Beispiel 77 Als zweites Beispiel betrachten wir unser sinusförmiges 100 Hz-Signal, tasten es aber diesmal mit 110 Hz ab. Wir erhalten die Spektralkomponenten: 100; 210; 320; :::; 10; 120; sowie die Spektralkomponenten 100; 10; 120; 230; 340; :::; 210; 320; ::: Die Rekonstruktion des Orginalsignals aus dem abgetasten Signal durch Filterung mit fs =2 = 55 Hz liefert wie im vorigen Beispiel wieder die Signalkomponenten 10 Hz. Wir sehen aber, dass die Signalkomponenten im Vergleich zum vorherigen Beispiel gespiegelt sind! Diese Verletzung des Abtasttheorems nennt man Folding. Beispiel 78 Ein besonders einprägsames Beispiel für die Verletzung des Abtasttheorems tritt bei Filmen auf. Filme sind Folgen von Einzelbildern, die mit einer Rate von 25 Bildern/Sekunde aufgezeichnet werden. Das Auge kann die Einzelbilder nicht mehr au‡ösen und es entsteht der Eindruck von kontinuierlichen Bewegungen. In der Regel sind diese Bewegungen langsam gegen die Bildfrequenz, das Abtasttheorem wird eingehalten. Am 18.5. SIGNALREKONSTRUKTION 221 Abbildung 18.5: Folding Abbildung 18.6: Drehung eines Speichenrads Beispiel von Kutschenrädern kann man aber die Verletzung des Abtasttheorems deutlich beobachten: Eine Kutsche bewegt sich, man sieht aber, dass sich die Speichen der Kutsche nur ganz langsam in die Bewegungsrichtung der Kutsche drehen, während sich die Kutsche o¤ ensichtlich schneller bewegt. Es kann sogar der Fall eintreten, das sich die Kutsche vorwärts bewegt, während die Räder scheinbar stehen oder sich nach rückwärts drehen. Abbildung 18.6 liefert die Erklärung für dieses Phänomen. Wir betrachten die strichliert gezeichnete » Speiche« . Das Rad dreht sich und die Kamera nimmt 25 Bilder/Sekunde auf. Wenn sich die betrachtete Speiche zwischen zwei Bildern um einen geringen Winkel dreht, dann kann man im Film die korrekte Drehung des Rades beobachten (Abtasttheorem eingehalten). Das Rad kann sich aber viel schneller drehen und zwar, zwischen den Abtastungen mehrmals um die eigene Achse (Abtasttheorem verletzt). Wenn sich die Speiche mehrmals um die eigene Achse dreht und die Bilder aber immer dann genommen werden, wenn sich die Speiche genau n mal gedreht hat, dann steht das Rad scheinbar. Wenn sich die Speiche zwar mehrmals um die eigene Achse dreht, die Bilder aber immer dann genommen werden, wenn der Winkel der Speiche n2 + ist, dann dreht sich das Rad scheinbar langsamer. Wir beobachten den Aliasinge¤ ekt wie in unserem vorigem Beispiel, wo aus einem 100 Hz-Signal ein 10 Hz-Signal wurde. Aus einer Raddrehung von vielen Umdrehungen/Sekunde wird eine Raddrehung aus wenigen Umdrehungen/Sekunde. Schließ lich tritt noch der Fall auf, dass sich die Speiche mehrmals um die eigene Achse dreht, das Bild aber zu einem Zeitpunkt aufgenommen wird, wo die Speiche etwas vor der vollen Umdrehung steht n2 : In diesem Fall dreht sich das Rad scheinbar rückwärts – also mit negativer Frequenz – und wir beobachten den E¤ ekt des Foldings. 18.5 Signalrekonstruktion Abgetastete Signale nehmen an den Abtastpunkten Proben aus kontinuierlichen Signalen. Für die Wiederherstellung eines kontinuierlichen Signals müssen daher die » Lücken« Ein kontinuierliches Signal kann durch Interpolation zwischen den Abtastwerten aus einem diskreten Signal erzeugt werden. 222 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG Abbildung 18.7: Rekonstruktion mit Rechteckimpulsen Abbildung 18.8: Rekonstruktion mit Dreieckpulsen Ein kontinuierliches Signal kann aus einem diskreten Signal auch durch (analoge) Filterung erzeugt werden. zwischen den Abtastwerten interpoliert werden. Die einfachste Form der Interpolation erhält man, indem man den Abtastwert zwischen den Lücken konstant hält. Diese Form der Interpolation kann man auch darstellen, indem man sich das rekonstruierte Signal als eine Folge von gewichteten Rechteckimpulsen vorstellt. Abbildung 18.7 stellt den Zusammenhang gra…sch dar. Die Interpolation mit Rechteckimpulsen führt nur zu einer groben Annäherung an das ursprüngliche Signal. Durch dichteres Abtasten kann man eine bessere Anpassung erreichen, allerdings zum Preis einer höheren Datenmenge. Eine bessere Form der Interpolation ist die lineare Interpolation zwischen den Abtastpunkten. Die lineare Interpolation kann durch Überlagerung von gewichteten Dreieckimpulsen dargestellt werden, wie in Abbildung 18.8 gezeigt. Mit Hilfe von Rechteck- und Dreieckimpulsen stellen wir die Interpolation im Zeitbereich dar. Bei der mathematischen Darstellung des Abtastvorgangs in (18.12) und Abbildung 18.2 sehen wir, dass das Spektrum des abgetasteten Signals die periodische Fortsetzung des Spektrums des kontinuierlichen Signals ist. Die Rekonstruktion des kontinuierlichen Signals muss also fehlerfrei durch Filterung mit einem idealen Tiefpass-Filter möglich sein. Wir rekonstruieren das Signal also nicht durch Interpolation im Zeitbereich, sondern durch Filterung im Frequenzbereich, wie in Abbildung 18.9 dargestellt. Abbildung 18.9: Interpolation durch ideales Filter 18.5. SIGNALREKONSTRUKTION 223 H(ω) T h(t) 0 -2 πB 0 ω 2πB 1 0 -4/2B -3/2B -2/2B -1/2B 0 Zeit t 1/2B 2/2B 3/2B 4/2B Abbildung 18.10: Impulsantwort des idealen Filters Wir fragen uns nun, welcher Interpolation im Zeitbereich die ideale Filterung im Frequenzbereich entspricht und schicken dazu das abgestastete Signal durch ein ideales Filter. Ein ideales Tiefpass-Filter lässt im Durchlassbereich alle Frequenzen ungehindert durch, während es im Sperrbereich alle Frequenzen vollständig unterdrückt. Wir berechnen zunächst die Antwort des Filters auf einen Einheitsimpuls. Die Antwort des Filters auf die Impulsfolge fs (t) berechnen wir dann durch Überlagerung der Antworten auf die gewichteten, zeitlich versetzten Einheitsimpulse. Die Impulsantwort eines Filters erhält man durch inverse Fouriertransformation des Frequenzgangs H(!) ) h(t). Die Bandbreite des idealen Filters ergibt sich aus der Nyquist-Frequenz Fs = 2B, das Abtastintervall ist dann T = 1=2B. Der Frequenzgang des idealen Tiefpass…lters ist H(!) = T 0 j!j < 2 B j!j 2 B (18.13) Z 2 B 1 T ej!t d! = 2BT sinc (2 Bt) 2 2 B h(t) = sinc (2 Bt) da bei der Nyquistfrequnez 2BT = 1 h(t) = (18.14) (18.15) Wir tre¤en wieder auf die Si-Funktion. Während bei der Fouriertransformierten des Rechteckimpulses die Si-Funktion im Frequenzbereich auftritt, tritt bei der Fouriertranformierten des idealen Filters die Si-Funktion im Zeitbereich auf. Abbildung 18.10 zeigt Frequenzgang und Impulsantwort eines idealen Filters2 . Aus Abbildung 18.10 können wir sehen, dass h(t) = 0 bei allen Vielfachen der Nyquistn Abtastpunkte t = 2B Null ist, mit Ausnahme von t = 0. Da das ideale Filter das ursprüngliche, kontinuierliche Signal fehlerfrei herstellt, muss auch die Überlagerung der Impulsantworten des idealen Filters das Ausgangssignal fehlerfrei herstellen f (t) = X k f (kT )h(t kT ) = X f (kT )sinc (2 Bt k ) Die Impulsantwort des idealen Filters bekommt man durch inverse Fouriertransformation der Rechteckfunktion (die Systemfunktion eines idealen Filters ist ein Rechteck). (18.16) k Während die Rekonstruktion des Signal durch Rechteck- und Dreiecksimpulse nur eine ungenaue Wiedergewinnung des Signal ermöglichte, stellt die Rekonstruktion durch überlagerte und gewichtete sinc-Pulse das Signal fehlerfrei her. Abbildung 18.11 zeigt die Signalrekonstruktion (Wegen der besseren Übersichtlichkeit sind die Interpolationspulse nur für jeden zweiten Abtastpunkt gezeichnet.). 2 Wie wir sehen, ist die Impulsantwort eines idealen Filters nicht-kausal, d.h. das Filter antwortet bereits vor dem Anlegen des Impulses. Nichtkausale Filter sind nicht realisierbar! Die Filterung mit einem idealen Tiefpass entspricht mathematisch der Faltung mit der sincFunktion. 224 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG 1 f(t) 0.5 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 Zeit t Abbildung 18.11: Rekonstruktion durch sinc-Pulse Ein ideales Filter ist nicht-kausal und daher nicht realisierbar. 18.6 Filterung 18.6.1 Interpolations…lter Ideale (analoge) Tiefpass-Filter sind nicht-kausal und daher nicht realisierbar. Man kann zwar steil‡ankige analoge Filter mit hoher Dämpfung im Sperrbereich bauen, es ist aber nicht möglich Filter zu realisieren, die die Signale im gesamten Sperrbereich vollständig unterdrücken. Eine praktische Lösung dieses Problems wird dadurch gefunden, dass das Signal mit Abtastfrequenzen größ er als der Nyquist-Frequenz abgetastet wird. Damit entstehen Lücken im periodisch fortgesetzten Spektrum und die Anforderungen an die Flankensteilheit des Filters werden geringer. Man erreicht eine praktisch ausreichende Unterdrückung, aber nie die theoretische geforderte vollständige Ausblendung des Sperrbereichs. 18.6.2 Ein Signal, das gleichzeitig zeitbegrenzt und bandbegrenzt ist, gibt es nicht. Antialiasing Filter Eine weiteres Problem besteht darin, dass jedes praktische Signal von endlicher Länge ist. Wie wir von der Fouriertransformation wissen, hat ein Signal endlicher Länge ein unendlich breites Spektrum. Bemerkung 79 Ein Signal kann nicht gleichzeitig zeitbegrenzt und bandbegrenzt sein! Ist das Signal zeitbegrenzt, hat es also eine endliche Dauer, dann erstreckt sich das Spektrum von 1 bis 1 und ist daher nicht bandbegrenzt. Ist das Signal bandbegrenzt, dann muss sich das Signal über eine unendliche Dauer im Zeitbereich erstrecken, ist also nicht zeitbegrenzt. Antialiasing Filter begrenzen das Band von Signalen vor der Abtastung. Es geht daher immer um analoge Filter. Aus diesem Grund überlappen sich benachbarte Spektren, wie Abbildung 18.12 zeigt. Um das Problem der überlappenden Spektren praktisch in den Gri¤ zu bekommen setzt man (analoge) Antialiasing-Filter ein, die die Bandbreite begrenzen und damit die Überlappung verhindern. Die Antialiasing Filterung muss vor der Abtastung erfolgen, da ja erst die Abtastung das Spektrum periodisch fortsetzt. Abbildung 18.13 zeigt das Blockdiagramm eines digitalen Signalverarbeitungssystems. Das Interpolations…lter ist das (analoge) Tiefpass…lter nach dem DA/Wandler, das die Werte zwischen den Abtastpunkten im Zeitbereich interpoliert. Im Frequenzbereich entspricht diese Interpolation dem Herausschneiden des gewünschten Spektrums aus dem periodisch fortgesetzten Spektrum. 18.7. DIGITALISIERUNG 225 Abbildung 18.12: Überlappung benachbarter Spektren Abbildung 18.13: Blockdiagramm digitale Signalverarbeitung 18.7 Digitalisierung Nach der Abtastung haben die Abtastwerte noch immer kontinuierliche Werte. Erst durch die Umwandlung der kontinuierlichen Werte in diskrete Werte entstehen digitale (quantisierte) Signale. In praktischen Fällen geschieht das durch Analog-/Digital-Wandlung. Die Au‡ösung des Analog-/Digital-Wandlers wird nach Qualitätskriterien ausgewählt. Für Sprachsignale reicht eine Au‡ösung von 8 bit aus, bei Musiksignalen auf einer AudioCD beträgt die Au‡ösung 16 bit. Je geringer die Au‡ösung des A/D-Wandlers ist, desto stärker weicht das digitale Signal vom analogen Signal ab. Abbildung 18.14 zeigt das Fehlersignal für niedrigere und höhere Au‡ösung. Beim Abhören hört man einen » reinen« Ton, der von einem rauschartigen Störsignal überlagert ist, man spricht daher vom Quantisierungsrauschen. Je höher die Au‡ösung des A/DWandler desto geringer ist der zu hörende Rauschanteil. Das digitale Signal weicht vom kontinuierlichen, analogen Wert ab, wobei der dabei entstehende Fehler von der Au‡ösung des Wandlers abhängt. Die Amplitude des Quantisierungsfehler ist maximal , wobei = 21 LSB der Au‡ösung des A/D-Wandlers entspricht. Wir können zwar nichts über die Kurvenform des Fehlersignals sagen, sehr wohl aber über die Leistung, die im Fehlersignal steckt und die sich als Rauschen3 bemerkbar macht. Zur Abschätzung des durch die Quantisierung entstehenden Rauschens betrachten wir ein Signal s(t), in dem alle Signalamplituden gleich wahrscheinlich auftreten. Die mittlere Leistung des Fehlersignals ist dann e2ef f = 1 Z =2 s2 ds = =2 2 12 (18.17) Das Quantisierungsrauschen hat den E¤ektivwert von eef f = p 12 LSB = p 12 Bei der Digitalisierung wird die Amplitude der abgetasteten Signalwerte quatisiert. 0:29LSB (18.18) 3 Rauschsignale sind unregelmäß ige Signale die z.B. beim Geräusch eines Wasserfalls, beim Klatschen oder beim elektrischen Strom durch unregelmäß ige Teilchenbewegung auftreten. Die Di¤erenz zwischen dem ursprünglichen Signal und dem quantisierten Signal wird Quantisierungsrauschen genannt und hat die Amplitude maximal 1/2 LSB. 226 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG 1 f(t) f(t) 1 0 -1 0 -1 0 20 40 60 0 20 Zeit t 60 1 F(t) F(t) 1 0 -1 0 -1 0 20 40 60 0 Zeit t Fehler: ∆ = f(t) - F(t) x 10 0.5 5 0 0 ∆ ∆ 40 Zeit t -0.5 20 -10 40 60 Zeit t Fehler: ∆ = f(t) - F(t) -5 0 20 40 60 0 20 Zeit t 40 60 Zeit t Abbildung 18.14: Amplitudenquantisierung Bei einem 8-bit Wandler beträgt das e¤ektive Rauschen 0:29=256 oder 1=900 des Wertebereichs, bei 12 bit 0:29=4096 oder 1=14000 des Wertebereichs, bei 16 bit 0:29=65536 oder 1=226000 des Wertebereichs. Jedes analoge Signal enthält aus physikalischen Gründen bereits einen Rauschanteil, die Quantisierung erhöht diesen Rauschanteil in Abhängigkeit von der Au‡ösung des Wandlers! Diese Angaben gelten nur für gleichverteilte Quantisierungsfehler und z.B. nicht, wenn sich ein analoges Signal über einen langen Zeitabschnitt nur so gering ändert, dass der digitale Wert konstant bleibt. In derartigen Fällen äuß ert sich der Quantisierungsfehler nicht als Zufallsrauschen, sondern wie ein (störender) Begrenzungse¤ekt. Zur subjektiven Verbesserung eines derartigen digitalen Signals wird dem analogen Signal ein kleiner Rauschanteil (mit dem Amplitudenbereich von 2 LSB Spitze-Spitze) hinzugefügt, der bewirkt, dass das digitale Signal nicht konstant bleibt sondern zwischen den benachbarten Werten umschaltet. Dadurch wird der analoge Signalwert im Mittel genauer erreicht und das Signal mit dem hinzugefügten Rauschen wird bei Tonsignalen als natürlicher empfunden als der Begrenzungse¤ekt. Dieses Verfahren wird Dithering genannt und ist irreversibel. 18.8 Die DTFT ist die Fouriertransformation eines abgetasteten (zeitdiskreten) Signals. Das Spektrum ist dabei kontinuierlich und periodisch. Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) einer Folge x[n] ist de…niert X(ej! ) = 1 X x[n]e j!n (18.19) n=1 Man kann es sich auch als einen Spezialfall der kontinuierlichen Fouriertransformation vorstellen, wo die zu transformierende Funktion aus gewichteten Dirac-Impulsen bei n besteht und sonst überall Null ist. In der Polardarstellung X(ej! ) = X(ej! ) ej'(!) können wir '(!) durch '(!) + 2 k; k:::ganzzahlig ersetzen, ohne das sich X(ej! ) ändert. Da das Argument von X(ej! ) (die komplexe Exponentialfunktion ej! ) selber eine kontinuierliche periodische Funktion von ! ist, muss das Spektrum der DTFT auch kontinuierlich und periodisch fortgesetzt sein. Beispiel 80 Wir berechnen die DTFT von x[n] = 0:5n 1 [n] 18.9. ABTASTUNG IM FREQUENZBEREICH 227 2 1.5 1 0.5 -10 -5 0 Betrag 5 10 -5 0 Phase 5 10 1 0.5 0 -0.5 -1 -10 Abbildung 18.15: DTFT von x[n] = 0:5n 1 [n] und erhalten X(ej! ) 1 X = 0:5n e j!n n=0 = 1 = 1 X 0:5e j! n n=0 1 0:5e j! Abbildung 18.15 zeigt, dass das Betrags- und Phasenspektrum der abklingenden Sprungfunktion x[n] = 0:5n 1 [n]: Wir sehen, dass das Spektrum X(ej! ) einer Folge von Abtastwerten x[n] eine kontinuierliche Funktion ist, die mit Hilfe eines Digitalrechners nicht darstellbar ist, da man ja 1 viele Punkte für die Darstellung bräuchte. Wir können aber nur eine endliche Zahl von Punkten speichern, müssen daher das Spektrum im Frequenzbereich abtasten. 18.9 Abtastung im Frequenzbereich Bei der Abtastung im Zeitbereich haben wir gezeigt, dass ein bandbegrenztes Signal der Bandbreite B Hz aus den Abtastwerten wiederhergestellt werden kann, wenn die Abtastwerte mit einer Abtastfrequenz von Fs > 2B entnommen werden. Wir untersuchen nun den Abtastvorgang im Frequenzbereich. Während wir es beim Abtasttheorem im Zeitbereich mit bandbegrenzten Signalen zu tun hatten, haben wir es beim Abtasttheorem im Frequenzbereich mit zeitbegrenzten Signalen zu tun. Wir zeigen, dass das Spektrum F (!) eines zeitbegrenzten Signals der Länge aus den Abtastwerten von F (!), die mit einer Rate von R > Proben pro Hertz entnommen werden, rekonstruiert werden kann. Abbildung (18.16) gibt eine Übersicht über die Zusammenhänge4 . Z 1 Z F (!) = f (t)e j!t dt = f (t)e j!t dt (18.20) 1 0 Wir rekonstruieren nun fP (t), ein periodisches Signal, das aus f (t) durch periodische Fortsetzung im Abstand T0 gebildet wird. Periodische Signale werden durch eine FourierReihe dargestellt: fP (t) = 1 X k= 1 Dk ejk!0 t !0 = 2 T0 < T0 (18.21) 4 F (!) ist in der Regel eine komplexwertige Funktion, die hier der Einfachheit halber reell dargestellt wird. Um ein Spektrum im Rechner darstellen zu können, muss es ebenfalls abgetastet werden. 228 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG Abbildung 18.16: Abtastung im Frequenzbereich Dk = 1 T0 Z T0 f (t)e jk! 0 t dt = 0 1 T0 Z f (t)e jk! 0 t dt (18.22) 0 Setzen wir (18.20) in (18.22) ein, erhalten wir Dk = Durch die inverse Fouriertransformation eines abgetasteten Spektrums entsteht ein periodisches Zeitsignal. Das Spektrum eines zeitbegrenzten Signals, das mit einer genügend hohen Abtastrate abgetastet wird, lässt sich eindeutig wieder von den Abtastwerten rekonstruieren. (18.23) Dieses Ergebnis bedeutet, dass die Koe¢ zienten der Fourier-Reihe für fP (t) gleich den mit 1=T0 multiplizierten Abtastwerten des Spektrums F (!) im Abstand von ! 0 sind. Solange < T0 gibt es keine Überlappung und f (t) kann eindeutig aus fP (t) rekonstruiert werden. Das impliziert, dass auch F (!) aus seinen Abtastwerten rekonstruiert werden kann, wenn für die Abtastung die Bedingung F0 = (1=T0 ) ; T0 eingehalten wird (F0 ist dabei der Abstand zwischen zwei Abtastwerten auf der Frequenzachse). Wir können das kontinuierliche Spektrum F (!) aus den Abtastwerten von F (!) rekonstruieren, wenn die Proben in Abständen nicht größ er als F0 = 1= Hz entnommen werden. Die Abtastrate im Frequenzbereich ist also R= 1 F0 Abtastwerte/Hz. Ähnlich der Interpolation im Zeitbereich ergibt sich im Frequenzbereich der Zusammenhang F (!) = X n 18.10 Bei der DFT wird sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich nur mit endlich vielen diskreten Werten gerechnet. 1 F (k! 0 ) T0 F (k! 0 )sinc ! 2 k !0 = 2 (18.24) Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) Die DFT ist ursprünglich aus der Berechnung der Fourier-Koe¢ zienten und der FourierTransformation auf digitalen Rechnern entstanden und ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Signalverarbeitung. Signale liegen in der Regel nicht in Form von mathematischen Funktionen vor, die Fouriertransformation kann daher nur bei einfachen, idealisierten Signalen analytisch berechnet werden. Für praktische Signale muss die Berechnung des Spektrums numerisch erfolgen, es können daher sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich nur endlich viele diskrete Werte berechnet werden. Für die Berechnung der DFT gehen wir von zeitbegrenzten Signalen f (t) der Länge aus (Abbildung 18.17(a)). Zeitbegrenzte Signale haben ein Spektrum F (!) das nicht unendlich breit ist (Abbildung 18.17(b)). 18.10. DIE DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION (DFT) 229 Abbildung 18.17: Abtastung im Zeit- und Frequenzbereich Aus dem zeitbegrenzten Signal gewinnen wir das diskrete Signal fs (t) = f [n] durch Abtastung von f (t) im Abstand T = 1=Fs , wie in Abbildung 18.17(c) gezeigt. Durch die Abtastung wird das Spektrum periodisch mit der Periodendauer Fs = 1=T und wir erhalten das Spektrum Fs (!), wie man in Abbildung 18.17(d) sieht. Die Abtastung des Spektrums im Abstand F0 = (1=T0 ) nach Abbildung 18.17(f) führt zur periodischen Fortsetzung des abgetasteten Zeitsignals, mit der Periode T0 , wie Abbildung 18.17(e) dargestellt. Aus Abbildung 18.17 sehen wir, dass ein abgetastetes und periodisch wiederholtes Zeitsignal zu einem abgetasteten periodischen Spektrum führt. Bei der Berechnung der DFT haben wir es also immer mit periodischen Folgen zu tun, wobei wir die Werte immer nur für eine Periode berechnen müssen. (Weil wir wissen, dass sie sich weiter nur mehr wiederholen,). Bemerkung 81 Beachten Sie, dass es keine mit dem Computer berechenbare Fouriertransformation für endliche digitale Signale gibt. Ist das diskrete Signal zeitbegrenzt, dann entsteht ein kontinuierliches periodisches Spektrum (DTFT), das (vielleicht) analytisch berechnet werden kann, aber nicht in einem Rechner gespeichert werden kann. Das Spektrum kann nur durch Entnahme von Proben (aus einer Periode) gespeichert werden, was bewirkt, dass die Zeitfunktion periodisch fortgesetzt wird. Mit anderen Worten: Die DFT kennt nur periodische Zeitfunktionen und periodische Spektren! Aus Abbildung 18.17 …nden wir noch den wichtigen Zusammenhang, dass die Zahl 0 N0 der Proben pro Periode im Zeitbereich identisch mit N0 , der Zahl der Proben im Frequenzbereich pro Periode ist, da N0 = T0 T 0 N0 = Fs F0 (18.25) Da aber Fs = erhalten wir 1 T und F0 = 1 T0 (18.26) Die DFT rechnet nur mit periodischen Zeitsignalen und periodischen Spektren, obwohl man immer nur eine Periode betrachtet. 230 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG 0 T0 Fs = = N0 (18.27) T F0 Aus Abbildung 18.17(d,f) sehen wir, dass sich die Spektren durch die periodische Fortsetzung überlappen. Diese Überlappung kann durch Erhöhen der Abtastfrequenz Fs verringert, aber für zeitbegrenzte Signale f (t) nie vollständig eliminiert werden, da deren Spektrum F (!) unendlich breit ist. Hätten wir ein bandbegrenztes Signal, träte zwar keine Überlappung im Frequenzbereich auf, aber die periodische Fortsetzung im Zeitbereich durch die Abtastung im Frequenzbereich würde zu einer Überlappung im Zeitbereich führen. Die bei der numerischen Berechnung der direkten oder inversen Fouriertransformation auftretenden Fehler können wir durch Erhöhen der Abtastfrequenz zwar klein machen, sie lassen sich aber nie vollständig eliminieren! Für die diskrete Fouriertransformation erhalten wir die Transformationspaare N0 = Die Anzahl der Proben des Zeitsignals ist gleich der Anzahl der Proben des Spektrums. Die DFT weist einen Fehler auf, der sich durch Erhöhen der Abtastfrequenz verringern lässt, aber nie verschwinden kann. N0 1 1 X F [k]ejk f [n] = N0 0n (18.28) k=0 NX 0 1 F [k] = f [n]e jk 0n (18.29) n=0 2 (18.30) N0 In der Literatur ist häu…g eine kompaktere Schreibweise in Gebrauch, bei der man die Ähnlichkeit zu den anderen Fourieroperationen nicht mehr erkennen kann, aber die Symmetrie zwischen DFT und IDFT deutlich wird. = !o T = 0 f [n] N0 1 1 X F [k]w N0 = kn (18.31) k=0 F [k] NX 0 1 = f [n]wkn (18.32) 0 (18.33) n=0 w = e 2 jN Schreibt man die Transformationsbeziehungen in Matrixdarstellung an, so erhält man 2 6 6 6 6 6 4 | 3 2 F [N 1] {z } | F [0] F [1] F [2] .. . F 7 6 7 6 7 6 7=6 7 6 5 4 oder 1 1 1 .. . 1 w1 w2 .. . w(N 1 1 w2 w4 .. . 1) w2(N ::: ::: ::: .. . 1) {z ::: 32 1 w(N w2(N .. . w(N 1) 1) 1)(N 1) 7 7 7 7 7 5 6 6 6 6 6 4 }| W f [1] f [2] f [3] .. . 3 7 7 7 7 (18.34) 7 5 f [N 1] {z } f F=W f (18.35) und 2 6 6 6 6 6 4 3 f [1] f [2] f [3] .. . f [N 1] 2 7 6 7 1 6 6 7 6 7= 7 N6 5 4 1 1 1 .. . 1 1 w 1 w 2 .. . w (N 1 w 2 w 4 .. . 1) w 2(N ::: ::: ::: .. . 1) ::: 3 2 1 w w (N 1) 2(N 1) .. . w (N 1)(N 1) 7 7 7 7 7 5 6 6 6 6 6 4 F [0] F [1] F [2] .. . F [N 3 7 7 7 7 7 5 1] (18.36) 18.11. SYSTEME MIT UNTERSCHIEDLICHEN ABTASTRATEN (MULTIRATE FILTER)231 oder f =W 1 F= 1 W N (18.37) F Aus der Matrixdarstellung kann man die Symmetrie der Operationen erkennen. Bei der Berechnung der (I)DFT durch Matrixmultiplikation werden viele Rechenschritte mehrfach ausgeführt und die Zahl der (komplexen) Rechenoperationen ist N 2 . Durch Ausnützen der Symmetrie lässt sich der Rechenaufwand mit Hilfe der schnellen Fouriertransformation (FFT) auf N log N reduzieren. Es ist überraschend, dass die Rechenvorschrift für DFT und IDFT, abgesehen vom Vorzeichen und vom Skalierungsfaktor N , vollständig symmetrisch ist, obwohl den Transformationen sehr unterschiedliche Überlegungen zu Grunde liegen. Signale enthalten nach der Abtastung keine Zeitinformation, sondern sind lediglich Folgen von Zahlen. Auch im Frequenzbereich haben wir es daher lediglich mit Folgen von Zahlen zu tun und man stellt daher das Spektrum über der Zahlenfolge von 0 bis N=2 dar5 . In praktischen Anwendungen ist der Frequenzbereich bekannt, man wählt daher für die Darstellung eine » Frequenzachse« , die dem Problem angepasst ist, wobei folgende Darstellungen gebräuchlich sind 0 k N=2 0 f 0:5 0 ! 0 f fabtast =2 Die FFT ist ein e¢ zienter Algorithmus zur berechnung der DFT. (18.38) Welche Darstellung gewählt wurde, kann in der Regel dem Zusammenhang entnommen werden. 18.11 Systeme mit unterschiedlichen Abtastraten (Multirate Filter) Durch Verwendung unterschiedlicher Datenraten können die Vorteile analoger und digitaler Systeme kombiniert werden. Wir zeigen die Vorteile am Beispiel der Bearbeitung eines Sprachsignal der Bandbreite 100 Hz bis 3 kHz. Zur Bandbegrenzung setzen wir ein einfaches (und damit kostengünstiges, analoges) RC-Filter ein, tasten das Signal aber mit 64 kS/s ab (Oversampling). Das Spektrum des abgetasteten Signals erstreckt sich bis 32 kHz, das Band von 3 - 32 kHz ist aber bedeutungslos und kann daher mit einem digitalen Tiefpass…lter der Grenzfrequenz 3 kHz unterdrückt werden. Der höhere Aufwand durch das Oversampling und die Realisierung des digitalen Tiefpass…lters kann mit heutiger Technologie kostengünstiger verwirklicht werden als ein selektives analoges AntialiasingFilter. Schließ lich kann die Abtastfrequenz des digitalen Signals von 64 kS/s auf 8 kS/s reduziert werden, indem sieben von acht Abtastwerten entfernt werden. Dieser Vorgang wird Dezimation genannt. Diese Art der Signalverarbeitung (einfaches und billiges analoges RC-Filter, scharfes, aber dennoch einfach und günstig zu realisierendes, digitales Filter) erzielt die selben Ergebnisse wir ein scharfes aber aufwändiges Analog…lter. Unterschiedliche Abtastraten werden auch bei der Interpolation eingesetzt. In ein Datensignal werden Nullen eingefügt. Z.B. wird aus einem analogen 3 kHz Signal das mit 8 kS/s abgetastet wurde durch Einfügen von sieben Nullen nach jedem Abtastwert ein 64 kS/s-Signal. Dieses Signal enthält das 3 kHz Sprachsignal und periodische Fortsetzungen des Spektrums bis 32 kHz. Durch einfach zu realisierende digitale Filterung werden die Frequenzkomponenten über 3 kHz entfernt, durch D/A-Wandlung ein analoges Signal erzeugt, das mit einem einfachen analogen RC-Interpolations…lter geglättet wird. Durch Multirate-Filter können (teure) analoge Komponenten durch digitale Signalverarbeitung ersetzt werden. Darüber hinaus kann die Genauigkeit analoger Signalverarbeitung (1 %) bei digitaler Verarbeitung auf den Quantisierungsfehler verbessert werden. 5 Aus Symmetriegründen reicht die Darstellung von 0 bis N=2, obwohl N Punkte berechnet werden. Bei diesen Systemen werden die guten Eigenschaften von analogen und digitalen Filtern kombiniert. Eine höhere Abtastrate verringert die Anforderungen an Antialiasingund Interpolations…lter. Die hohe Abtastrate ist oft kostengünstiger zu realisieren als leistungsfähige analoge Filter. 232 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG 18.12 Zusammenfassung Fouriertransformationen Wir fassen die Transformationsbeziehungen zwischen Zeit- und Frequenzbereich zusammen. Abbildung 18.18 zeigt die zugehörigen Signalformen im Zeitbereich. Man nennt F (!) die (direkte) Fouriertransformation von f (t) und f (t) die inverse Fouriertransformation von F (!). Abbildung 18.18: Fourierreihe (FR), Fouriertransformation (FT), Zeitdiskrete FT (DTFT), Diskrete FT (DFT) Fourierreihe (FR) Kontinuierliche, periodische (unendliche) Zeitfunktion f (t) , (un)endlich breites Linienspektrum F [k]. f (t) = +1 X F [k]ejk!0 t (18.39) k= 1 1 F [k] = T ZT f (t)e jk! 0 t dt (18.40) 0 Fouriertransformation (FT) Aperiodische, kontinuierliche Zeitfunktion f (t) , unendliches kontinuierliches Spektrum F (!): Z1 1 f (t) = 2 F (!)ej!t d! (18.41) 1 Z1 F (!) = f (t)e j!t dt (18.42) 1 Zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT) Aperiodische, diskrete Zeitfunktion x[n] , periodisches kontinuierliches Spektrum X(ej! ). 1 x[n] = 2 Z X(ej! ) = X(ej! )ej!n d! 1 X x[n]e j!n (18.43) (18.44) n=1 Diskrete Fouriertransformation (DFT) Periodische, diskrete Zeitfunktion f [n] , diskretes, periodisches Spektrum F [k]: 18.13. ZUSAMMENFASSUNG f [n] = 233 N 1 1 X F [k]ejk!^ 0 n N ! ^ 0 = !T = k=0 F [k] = N X1 f [n]e jk! ^ 0n 2 N (18.45) (18.46) n=0 Die Transformationsbeziehungen stellen den Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbereich her und unterscheiden sich lediglich dadurch, dass bei kontinuierlichen Funktionen Integrale, bei diskreten Funktionen Summen auftreten. Bei der Zerlegung einer periodischen, kontinuierlichen Funktion ist die Annäherung nichtstetiger Funktionen zwar so genau, dass die Energiedi¤erenz zwischen Orginal- und Fouriersignal gegen Null geht, es tritt aber das Gibbs’sche Phänomen auf. Bei disketen Signalen ist die Fourierzerlegung exakt, d.h. es tritt keine Di¤erenz zwischen Orginalund Fourierfolge auf. Signale können periodisch oder aperiodisch, kontinuierlich oder diskret sein. Je nach Signaltyp verwenden wir die Fourierreihe (periodisch/kontinuierlich), die Fouriertransformation (aperiodisch/kontinuierlich), die Zeitdiskrete Fouriertransformation (aperiodisch/diskret) oder die Diskrete Fouriertransformation (periodisch/diskret). In allen Fällen sind die Aufbaufunktionen Sinusfunktionen bzw. -folgen, die sich von 1 bis 1 erstrecken. Kontinuierliche, aperiodische Signale brauchen unendlich viele Frequenzkomponenten zur Darstellung der Zeitfunktion. Es gibt keine Fourierdarstellung für diskrete Signale endlicher Länge. Man behilft sich dadurch, dass man das zeitbegrenzte Signal mit Nullen fortsetzt oder indem man die Zeitfunktion periodisch fortsetzt. Im Fall des Au¤üllens mit Nullen gelangt man zur DTFT, die zur Darstellung der Zeitfunktion eine unendliche Zahl von Sinuskomponenten benötigt, was bedeutet, dass es unmöglich ist, die DTFT mit einem Rechneralgorithmus zu berechnen. Die einzige Möglichkeit die uns zur Verfügung steht, ist die DFT, weil Rechner nur mit diskreten Signalen endlicher Länge, die periodisch fortgesetzt sind, rechnen können. 18.13 Zusammenfassung In unserer Umwelt treten in der Regel zeit- und amplituden-kontinuierliche Signale auf. Beispiele dafür sind Temperatur-, Druck-, akustische, ... Signale. Die Verarbeitung dieser Signale kann in » analoger« Form durch Messwertaufnehmer, Verstärker, analoge Filter, ... erfolgen. Analoge Systeme beruhen in ihrer Wirkungsweise auf Massen und elektrischen Ladungen und den zwischen ihnen wirksamen physikalischen Kräften. Die Beschreibung bzw. mathematische Modellierung derartiger Systeme erfolgt mit den bekannten Gesetzen der Physik. Beispiel 82 Wir betrachten die Schallplatte als Vertreter eines analogen Systems. Die Schallschwingungen eines Mikrofons werden in spiralförmigen, zum Mittelpunkt der Schallplatte verlaufenden Rillen gespeichert. Bei der Wiedergabe wird die Nadel des Tonabnehmers analog zur Schallamplitude bewegt. Diese mechanische Bewegung wird in ein elektrisches Signal umgewandelt, verstärkt und über Lausprecher wiedergegeben. Im Gegensatz zu analogen Systemen stehen digitale Systeme, die auf abstrakten Größ en – Zahlen – und der Manipulation dieser Zahlen beruhen. (Die Manipulation der Zahlen wird letztlich durch physikalische (analoge) Prozesse bewerkstelligt, die digital abstrahiert werden.) Analoge Systeme können großim Vergleich zu digitalen Systemen sein (Vinylschallplatte <=> MP3-Spieler) und mehr Energie verbrauchen. Analoge Systeme können schwer modi…ziert werden, um sie für andere Aufgaben einsetzbar zu machen. Analoge 234 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG Systeme sind auf Grund ihrer physikalischen Arbeitsweise anfällig für Fehler und Störungen. Dennoch ist der weit überwiegende Teil unserer Systeme analog. Wo es technologisch und wirtschaftlich möglich ist, werden digitale Systeme eingesetzt. Digitale Systeme sind aus dem Bedürfnis entstanden, analoge Systeme mit Digitalrechnern zu untersuchen und erst etwa 50 Jahre alt. Bei der numerischen Berechnung von analogen Systemen müssen auf Grund der Begrenzungen der Digitalrechner (Speichermöglichkeit und Zahlendarstellung) die Signale im Zeit- und im Amplitudenbereich quantisiert werden. Die Quantisierung im Amplitudenbereich wird nach Qualitätsgesichtspunkten durchgeführt, je feiner die Au‡ösung desto geringer ist die Abweichung vom Orginalsignal bzw. das Quantisierungsrauschen. Die Quantisierung im Zeitbereich muss so gewählt werden, dass das abgetastete Signal am Ende einer Verarbeitungskette wieder in ein analoges Signal umgewandelt werden kann. Die Abtastfrequenz wird durch das Abtasttheorem festgelegt und muss größ er als die doppelte maximale im Signal enthaltene Frequenzkomponente sein. Es lassen sich also nur bandbegrenzte Signale nach Abtastung rekonstruieren. Diese Bedingung tri¤t aber für alle technischen Signale zu. Die mathematische Darstellung von Signalen führt in eine abstrakte Welt mit Eigenschaften, die nicht immer leicht verständlich sind. Nur Signale unendlicher Dauer haben eine eindeutige Frequenz (Spektrallinie) Zeitbegrenzte Signale haben ein unendlich breites (kontinuierliches) Spektrum. Die Frequenz eines zeitbegrenzten Signals lässt sich nicht exakt bestimmen und ist » unscharf« . Durch die Abtastung im Zeitbereich (Darstellung auf Digitalrechnern) wird das Spektrum des abgetasteten Signals periodisch. Durch die Abtastung im Frequenzbereich (Darstellung auf Digitalrechnern) wird die Zeitfunktion periodisch. Mit anderen Worten: Auf Digitalrechnern lassen sich weder zeitbegrenzte noch bandbegrenzte Signale darstellen, sondern nur periodische Signale. Begrenzung in Zeit und Frequenz entsteht dadurch, dass man nur eine Periode betrachtet. Die digitale (numerische) Darstellung von analogen Signalen ist nur mit begrenzter Genauigkeit möglich. Die Genauigkeit kann aber so hoch gewählt werden, dass keine merkbare Abweichung des digitalen vom analogen Signals feststellbar ist. Kapitel 19 AD- und DA-Umsetzer Inhalt 19.1 Abtast-Halte-Glieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 19.2 AD-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 19.2.1 Parallelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 19.2.2 Wägeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 19.2.3 Zählverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 19.3 Digital-Analog-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 19.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Analog-Digital-Umsetzer (Analog to Digital Converter, ADC) erzeugen aus einer elektrischen Spannung eine Zahl, die zu dieser Spannung proportional ist. Umgekehrt erzeugen Digital-Analog-Umsetzer (Digital to Analog Converter, DAC) aus einer Zahl eine Ausgangsspannung, die zur Zahl proportional ist. ADCs und DACs werden heute als Komponenten geliefert oder sind Subsysteme von digitalen Signalprozessoren. Diese Komponenten sind monolithisch integrierte Bauelemente, die für ihre Funktion teilweise externe Bauelemente benötigen. Es gibt eine Vielzahl von ADCs und DACs, die für spezielle Aufgaben optimiert sind. Die folgende Darstellung gibt einen Überblick über die Funktionsweise und die wichtigsten heute erreichbaren technischen Daten. 19.1 AD- und DA- Umsetzer verwandeln elektrische Spannungen in Zahlen und Zahlen in elektrische Spannungen. Abtast-Halte-Glieder Wir werden noch sehen, dass die Abtastung von Signalen nach den Regeln des Abtasttheorems erfolgen muss. Zu jedem Abtastzeitpunkt muss eine analoge Probe des Signals genommen werden und in eine Zahl umgesetzt werden. Da sich Signale, bzw. die sie realisierenden elektrischen Spannungen, zeitlich ändern, muss der Abtastwert während der Wandlung gespeichert –gehalten –werden (Sample and Hold, SH). Die Speicherung muss analog erfolgen und die in Abbildung 19.1 gezeigte Prinzipschaltung erläutert die Funktionsweise. Abbildung 19.1: Abtast- und Halteschaltung 235 Abtast-Halte-Glieder (Sample and Hold) speichern den Momentenwert einer zeitlich veränderlichen Spannung. 236 KAPITEL 19. AD- UND DA-UMSETZER Abbildung 19.2: Blockdiagramm 2bit-Parallelwandler Der OP 1 und OP 2 haben hochohmige Eingänge und belasten daher weder die Eingangsspannungsquelle noch den Speicher(Halte)-Kondensator. Bei geschlossenem Schalter S folgt die Spannung an C der Eingangsspannung. Wird der Schalter geö¤net, dann bleibt die Ladung –und damit die Spannung –am Kondensator konstant, da der nachfolgende OP 2 den Kondensator wegen seines hochohmigen Eingangs nicht entlädt.1 . Der Schalter S wird als Halbleiterschalter realisiert, um eine hohe Schaltgeschwindigkeit zu erreichen. Die Au‡adezeit des Kondensators wird durch das Produkt aus dem Schalterwiderstand und der Kapazität tE RC bestimmt. Die Spannung am Kondensator 1 steigt exponentiell nach der Beziehung uc (t) = U (1 e RC t ) an. Damit uC auf 0:1 % genau ist, beträgt die Au‡adezeit tE = 6:9 RC. Für schnelle Einstellzeiten muss dieses Produkt möglichst klein sein. Da sich die Schalterwiderstände von Halbleiterschaltern im geschlossenen Zustand aus technologischen Gründen nicht beliebig klein machen lassen, muss für kleine Einstellzeiten C klein gemacht werden. Damit wird aber auch die gespeicherte Ladung klein und das nichtideale Verhalten von OP 2 wirkt sich stärker aus. Mit heutiger Technologie sind Einstellzeiten auf 0:1% unter 10 ns zu erreichen. 19.2 AD-Umsetzer Je nach erforderlicher Wandelzeit und Au‡ösung werden unterschiedliche Verfahren eingesetzt. 19.2.1 Beim (schnellen aber aufwendigen) Parallelverfahren wird die Eingangsspannung gleichzeitig mit jeder möglichen Ausgangsspannung verglichen. Parallelverfahren Mit Parallelverfahren können Umsetzfrequenzen von 10 1000 MHz bei Genauigkeiten von 4 10 bit erreicht werden. Bei Parallelverfahren wird die Eingangsspannung gleichzeitig mit mehreren abgestuften Referenzspannungen mit Hilfe von Komparatoren verglichen. Abbildung 19.2 zeigt den prinzipiellen Aufbau. Die Spannungsteilerkette R 2R 2R R bildet die Referenzspannungen Uref ( 61 ; 36 ; 56 ), die die Quantisierung der Eingangsspannung festlegen. Liegt z.B. eine Eingangsspannung Uref =3 an, dann werden die Ausgänge der Komparatoren K1 = 1; K2 = 0; K3 = 0 in den Speicherelementen gespeichert und im nachfolgenden Dekoder in die gewünschte Zahlendarstellung umgewandelt. In unserem Beispiel ist die Au‡ösung des Wandlers 2 bit. Der Aufwand des Parallelverfahrens ist sehr hoch, da man für eine N stu…ge Au‡ösung (dld(N )e bit) N 1 Komparatoren benötigt. 1 Praktische Operationsverstärker weichen vom idealen Verhalten ab, die vorgestellten Überlegungen erklären daher nur das prinzipielle Verhalten. 19.2. AD-UMSETZER 237 Abbildung 19.3: Blockdiagramm Wandler nach Zählverfahren 19.2.2 Wägeverfahren Das Wägeverfahren kommt mit nur einem Komparator aus, benötigt allerdings eine längere Wandelzeit, da Binärstellen nacheinander ermittelt werden. Abbildung 19.3 zeigt den prinzipiellen Aufbau der Schaltung. Die Funktionsweise der Schaltung ist wie folgt: Zum Messbeginn wird der Inhalt des Successive Approximation Registers auf Null gesetzt. Dann wird das höchste Bit im SAR auf Eins gesetzt. Über den DAC wird dieser Wert, der der halben Referenzspannung entspricht, an den Komparator gelegt und geprüft, ob die Eingangsspannung größ er als Uref =2 ist. Wenn ja, bleibt das höchste Bit gesetzt, wenn nein, wird es auf Null gesetzt. Im nächsten Schritt wird der Vorgang mit dem zweithöchsten Bit wiederholt. Der Vergleichsvorgang wird solange wiederholt, bis alle Bits durchlaufen sind.2 Der Umwandlungsvorgang wird also schrittweise, für jedes Bit ein Umwandlungsschritt, gemacht und dauert daher im Vergleich zum Parallelverfahren länger, benötigt aber nur einen Komparator. SAR-ADCs erreichen Umwandlungsfrequenzen bis zu 300 MHz bei Wortbreiten bis zu 8 bit. Bei höherer Au‡ösung ändern sich die Wandlungszeiten etwa proportional mit der Au‡ösung. 19.2.3 Beim Wägeverfahren wird eine binäre Suche nach dem Wert der Eingangsspannung durchgeführt. Zählverfahren ADCs auf Basis des Zählverfahren verlangen den geringsten Schaltungsaufwand von allen drei Verfahren, benötigen aber Umwandlungszeiten die zwischen 0:001 1 sek liegen und sind daher nur für langsam veränderliche Signale geeignet, erreichen aber eine hohe Au‡ösung. Abbildung 19.4 zeigt den prinzipiellen Schaltungsaufbau. Vor Beginn der Messung ist der Schalter S1 o¤en, der Schalter S2 geschlossen. Die Ausgangsspannung des OP , der als Integrator beschaltet ist, ist daher Null. Der Zähler ist auf Null gesetzt. Zu Beginn der Messung wird S1 an den Messeingang gelegt und die (positiv angenommene) Eingangsspannung wird integriert. Der Ausgang das OP wird negativ, der Komparatorausgang wird Eins und gibt über das & Glied den Takteingang an den Zähler. Der Zähler läuft t1 bis zum Überlauf. Wenn der Zähler überläuft wird S1 an die (negative) Referenzspannung gelegt, die integriert wird, wodurch die Ausgangsspannung Ui ansteigt. Die Integration der Referenzspannung ist nach t2 beendet, wenn Ui bis auf Null angestiegen ist, der Komparator auf Null geht und damit über das & Glied den Zähler stoppt. Der Zählerstand ist gleich der Zahl der Taktimpulse während t2 und damit proportional der Eingangsspannung, da 1 Ue t1 RC 1 Uref t2 = 0 RC (19.1) Ist die Dauer eines Zählimpulses gleich T , dann beträgt die Zeitdauer t1 = (Zmax +1)T , wobei Zmax die höchste Zahl des Zählers ist. Die Zeitdauer t2 = ZT , wobei Z die 2 Dieser Vorgang entspricht dem Wägen mit einer Gleichgewichtswaage und Meß gewichten, daher der Name Wägeverfahren. Algorithmisch gesehen entspricht dieses Verfahren der binären Suche. Beim Zählverfahren wird gemessen, wie groß das Integral der Eingangsspannung über ein …xes Zeitintervall ist. 238 KAPITEL 19. AD- UND DA-UMSETZER Abbildung 19.4: Blockdiagramm Dual-Slope-Wandler Zahl der Zählimpulse während der Integrationsphase der Referenzspannung ist. Setzen wir ein dann wird 1 1 Ue (Zmax + 1)T Uref ZT = 0 (19.2) RC RC Wir sehen, dass sich RC und T aus dieser Gleichung kürzt und dass wir den folgenden Zusammenhang erhalten Z= Ue (Zmax + 1) Uref (19.3) Wir sehen, dass in die Messung weder die Zeitkonstante RC, noch die Taktfrequenz 1=T eingehen. Es muss lediglich sichergestellt werden, dass die Taktfrequenz während der Messung konstant bleibt. Das lässt sich mit vergleichsweise einfachen Taktgeneratoren erreichen. Die Genauigkeit der Messung hängt allerdings von der Genauigkeit der Referenzspannung Uref ab. Mit diesem Verfahren lässt sich eine Au‡ösung von 18 bit bei einer Genauigkeit von 0:006 % und einer Wandlerfrequenz von einigen zehn Hz erreichen. 19.3 Der Parallel-DAWandler hat alle möglichen Ausgangsspannungen » vorbereitet« und wählt immer die gewünschte aus. Digital-Analog-Umsetzer Wie beim ADC gibt es auch beim DAC die drei Umsetzungsverfahren Parallel-, Wägeund Zähl-, wobei alle drei Verfahren darauf beruhen, die Ausgangspannung durch Spannungsteilung aus einer Referenzspannung zu bilden. Abbildung 19.5 zeigt den prinzipiellen Aufbau des Parallelverfahrens. Bei diesem Verfahren werden alle möglichen Ausgangspannungen mit Hilfe eines Spannungsteilers erzeugt. Durch einen Decoder3 wird derjenige Schalter geschlossen, der zur gewünschten Ausgangsspannung führt. Der Aufbau von Spannungsteilern nach dem Parallelverfahren ist auß erordentlich kritisch, da sehr viele Widerstände erforderlich sind, die exakt gleich großsind. Darüber hinaus ist die Anzahl der Schalter gleich der Zahl der gewünschten Ausgangsspannungen Zmax . Dieses Verfahren wird daher nur in Sonderfällen eingesetzt. 3 Der Decoder kann einfach durch einen Demultiplexer realisiert werden. 19.3. DIGITAL-ANALOG-UMSETZER 239 Abbildung 19.5: DA-Parallelwandler Abbildung 19.6: DA-Wandler nach dem Wägeverfahren Das Wägeverfahren ist in Abbildung 19.6 dargestellt und kommt mit ld(Zmax ) Schaltern aus. Die Ausgangspannung wird über binär gewichtete Widerstände aufsummiert, die Schalter Si werden entsprechend der Binärzahl geschlossen. Für 0001 ist der Schalter S0 geschlossen und wir erhalten durch den invertierenden Summierverstärker die Aus1 gangsspannung Ua = 16 Uref . Im allgemeinen Fall erhalten wir Ua = 1 2 1 1 + 0 4 1 1 + 0 8 1 1 0 16 1 0 Uref (19.4) Das einfachste und langsamste Umsetzungsverfahren ist das Zählverfahren, wie in Abbildung 19.7 dargestellt. Der Schalter S wird periodisch geö¤net und geschlossen. Das RC Glied integriert Abbildung 19.7: DA-Wandler nach dem Zählverfahren Beim Wägeverfahren entsteht die Ausgangsspannung als Summe von Teilspannungen, deren Größ e den einzelnen Binärstellen des Eingangsdatenworts entspricht. Beim Zählverfahren wird ein PWM-Signal erzeugt und durch einen Kondensator geglättet. 240 KAPITEL 19. AD- UND DA-UMSETZER (bildet den Mittelwert) der Eingangsspannung. Durch die Wahl des Tastverhältnisses des Schalters kann die gewünschte Ausgangspannung eingestellt werden. Diese Schaltung kann nur für einfache und langsame Anwendungen eingesetzt werden. In allen drei Umsetzungsvarianten ist die Stabilität der Referenzspannung bestimmend für die Genauigkeit der Ausgangsspannung. Durch nichtideales Verhalten der Schalter und OPVs können Abweichungen vom gewünschten monotonen Verhalten der DACs auftreten. Die dargestellten Widerstandsnetzwerke stellen Idealisierungen dar. In praktischen Schaltungen sind mit den Widerständen und Schaltern immer (unerwünschte) Kapazitäten verbunden, die das dynamische Verhalten von schnellen Umsetzern beein‡ussen, sodass es beim Umschalten von einer Zahl zur nächsten zu unerwünschten Störimpulsen kommen kann. 19.4 Zusammenfassung AD- und DA-Umsetzer bilden die Schnittstelle zwischen analoger und digitaler Welt. Die Umsetzverfahren werden nach der erforderlichen Umwandlungsgeschwindigkeit und Genauigkeit ausgewählt. Die schnellste Umsetzung ist mit aufwendigen und daher teuren Paralleverfahren möglich, mit denen man Umsetzungsfrequenzen bis zu einem GHz und Genauigkeiten bis zu 10 bit erreichen kann. Die parallelen Verfahren haben auch den höchsten Leistungsbedarf von allen Umwandlungsverfahren. Wenn die Umwandlungsgeschwindigkeit geringer sein kann, werden Wägeverfahren eingesetzt, die für Wandlungsfrequenzen von 10 kHz bis mehreren 10 MHz, bei Genauigkeiten von 8 16 bit verwendet werden. Die langsamsten aber genauesten Verfahren sind die Zählverfahren, mit denen Genauigkeiten bis zu 20 bit erzielt werden können und bei denen die Wandlerfrequenz zwischen 1 Hz 1 kHz liegt. ADCs und DACs werden überwiegend als monolitisch integrierte Bausteine angeboten, die teilweise mit externen Komponenten beschaltet werden müssen. Diskrete Schaltungen werden nur in Ausnahmefällen aufgebaut. Teil VII Anhänge 241 Anhang A Komplexe Zahlen Inhalt A.1 Darstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . A.2 Die Euler’schen Formeln . . . . . . . . . . . A.3 Rechenregeln für komplexe Zahlen . . . . . A.3.1 Regeln für kartesische Koordinaten . . . . . A.3.2 Regeln für Polarkoordinaten . . . . . . . . . A.4 Geometrische Betrachtung . . . . . . . . . . A.5 Achtung Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 246 248 248 249 250 253 254 Komplexe Zahlen treten in der Schule zum ersten Mal bei der Lösung von quadratischen Gleichungen auf. Wir nehmen die Gleichung x2 + 6x + 25 als Beispiel. Diesen Gleichungstyp können wir mit folgender Formel lösen: r p p 2 2 q (A.1) x + px + q = 0 ) x1;2 = 2 2 p p Für unsere Gleichung erhalten wir x1;2 = 3 9 25 = 3 16 und sehen, dass diese Gleichung keine Lösung im Reellen hat, da die Zahl unter der Wurzel negativ ist. Durch die Einführung der imaginären Einheit1 j= p 1 (A.2) wird der Zahlenbereich erweitert und wir …nden als Lösung die komplexen Zahlen x1;2 = 3 j4: In diesem Kapitel wird der Umgang mit komplexen Zahlen zusammenfassend dargestellt, insbesondere sehen wir, dass das Rechnen mit komplexen Zahlen den Regeln der Algebra folgt (Die imaginäre Einheit i wird wie eine Konstante behandelt.), die Euler’sche Formel eine Brücke zwischen der Welt der Algebra und der Welt der Geometrie bildet, die Zeigerdarstellung ein mächtiges Werkzeug liefert, um sinusförmige Signale darzustellen, die wiederum eine wichtige Rolle in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung spielen. Die Bezeichnung „komplexe Zahlen“ verleitet dazu, an komplizierte Zahlen zu denken. Komplexe Zahlen vereinfachen jedoch die Rechnung erheblich und der „imaginäre“ Anteil hilft wesentlich bei der Vorstellung und Darstellung elektrotechnischer Zusammenhänge. 1 In der Mathematik wird die imaginäre Einheit mit i abgekürzt. In der Elektrotechnik wird die imaginäre Einheit mit j abgekürzt, um Verwechslungen zu vermeiden, da i die Abkürzung für den Strom ist. 243 244 ANHANG A. KOMPLEXE ZAHLEN 3 2 Imaginäre Achse 4+j3 -2+j2 1 -3 0 2-j1 -1 -3-j2 -j2 -2 -2 0 2 Reelle Achse 4 Abbildung A.1: Zeiger in der komplexen Ebene A.1 Darstellung komplexer Zahlen Komplexe Zahlen sind aus reellen und imaginären Zahlen zusammengesetzt. Eine komplexe Zahl wird dargestellt als z(x; y) = x + jy = Refzg + j Imfzg (A.3) wobei x und y reelle Zahlen sind und Realteil und Imaginärteil von z heiß en. Anschaulich werden die komplexen Zahlen als Punkte der Ebene mit den Koordinaten x und y dargestellt. Diese Ebene wird komplexe oder Gauß ’sche Zahlenebene genannt. Die x-Achse stellt dabei die reellen Zahlen, die y-Achse die imaginären Zahlen dar. Eine komplexe Zahl wird in der Gauß ’schen Zahlenebene als Pfeil vom Koordinatenursprung zum Punkt mit den Koordinaten (x; y) in der komplexen Ebene dargestellt, wie Abbildung A.1 zeigt. Für diesen "Pfeil"wählen wir den Begri¤ Zeiger, ein Zeiger stellt eine komplexe Zahl in der Zahlenebene dar. In der Literatur wird bei der Darstellung komplexer Zahlen auch häu…g die Bezeichnung Vektor verwendet. Unter Vektoren versteht man in Physik und Elektrotechnik gerichtete Größ en wie Kräfte, Beschleunigungen oder Feldstärken. Komplexe Zahlen sind keine gerichteten Größ en, zur Unterscheidung von Vektoren wird daher der Begri¤ Zeiger verwendet. Neben der Darstellung komplexer Zahlen in kartesischen Koordinaten ist auch die Darstellung in Polarkoordinaten möglich, wie die Abbildung A.2 zeigt. In polarer Form ist ein Zeiger durch seine Länge r und seine Richtung (') de…niert. Die Richtung (der Winkel) kann entweder im Grad- oder im Bogenmaßangegeben werden. Beim Rechnen mit Winkeln, ist das Bogenmaßpraktischer, für die Vorstellung ist das Gradmaßanschaulicher, wir müssen daher oft vom Bogenmaßin das Gradmaßumgerechnen. Der Kreisumfang (gemessen in rad) beträgt 2 und entspricht dem Winkel von 360 , der Umrechnungsfaktor vom Bogen- in das Gradmaßbeträgt daher ' [rad] (360=2 ) = ' [rad] (180= ) ! ' [ ] : (A.4) Da das Rechnen in Bogenmaßeinfacher ist, die Vorstellung aber im Gradmaßeinfacher ist, wird häu…g der Umrechnungsfaktor beim Anschreiben von Winkeln explizit angeschrieben. Der Winkel von 45 erscheint dann als 45 180 im Bogenmaß . Für die Polardarstellung kann die Schreibweise z = r\' gewählt werden. Die Darstellung von Zeigern in kartesischen Koordinaten (Real- und Imaginärteil) und Polarkoordinaten (Betrag und Winkel) ist selbstverständlich äquivalent: 3 + j4 , 5\37 A.1. DARSTELLUNG KOMPLEXER ZAHLEN 245 90° 5 120° 60° 4 3 150° 30° 2 1 180° 0° 210° 330° 240° 300° 270° Abbildung A.2: Zeiger in Polardarstellung Beispiel 83 Zahlen = [4 + 3j,-2 + 2j,-3,-3 - 2j,-2j,2 - 1j]; abs(Zahlen) ) 5.0 2.8 3.0 3.6 2.0 2.2 Winkel = (180/pi)*angle(Zahlen) ) 37 135 180 -146 -90 -27 Welche Form der Darstellung verwendet wird, hängt von der Rechenaufgabe ab: Addition und Subtraktion lassen sich einfacher mit Real- und Imaginärteil berechnen, Multiplikation und Division einfacher mit Betrag und Winkel. Im Zuge einer Rechnung wechselt man daher immer wieder die Koordinatensysteme. Abbildung A.3 stellt die Zusammenhänge zwischen kartesischen und Polarkoordinaten graphisch dar x r = r cos '; y = r sin '; z = r cos ' + j (r sin ') p y Imaginärteil y = x2 + y 2 ; tan ' = = ; ' = arctan x Realteil x Abbildung A.3: Polar - kartesisch (A.5) 246 ANHANG A. KOMPLEXE ZAHLEN 3 -4+j3 Imaginäre Achse 2 1 0 -1 4-j3 -2 -3 -4 -2 0 2 4 Reelle Achse Abbildung A.4: Zeiger im 2. Quadranten Bemerkung 84 Bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ist Vorsicht geboten, da der Arcustangens nur zwischen 90 und +90 de…niert ist. Abbildung A.4 zeigt worauf geachtet werden muss. Bei der Berechnung des Winkels ' des Zeigers 4 + j3 erhalten wir ' = arctan(Im = Re) = arctan( 43 ) = 0:6435 rad = 36:87 . Wir sehen aber aus unserer Zeichnung, dass der Winkel zwischen 90 und 180 liegen muss! Das Argument des Arcustangens ist in unserem Beispiel negativ, da der Realteil negativ und der Imaginärteil positiv ist. Das Argument wäre aber auch dann negativ, wenn der Realteil positiv und der Imaginärteil negativ wäre. In Abbildung A.4 ist dieser Fall durch den punktierten Zeiger dargestellt. Da der arctan nur zwischen 90 und +90 de…niert ist, ist 0:6435 auch der Winkel des Zeigers 4 j3! Unser Zeiger liegt aber im zweiten Quadranten, der korrekte Winkel beträgt daher 0:6435 (180 36:87 ). Dieses Problem tritt immer auf, wenn Zeiger im zweiten oder dritten Quadranten liegen. Beim händischen Rechnen mit komplexen Zahlen kann man sich leicht verrechnen, Matlab stellt aber eine Reihe von Hilfsfunktionen zur Verfügung, die das Rechnen erleichtern. Matlab-Funktion Eigenschaft Beispiel real(z) Realteil von z real(3-4i) ) 3 imag(z) Imaginär von z imag(3-4i) ) -4 abs(z) Betrag von z abs(3-4i) ) 5 angle(z) Winkel von z angle(3-4i) ) -0.9273 conj(z) z konjugiert komplex conj(3-4i) ) 3+4i In der Matlab-Funktion angle() ist der Winkel von bis de…niert, das arctan Problem tritt daher nicht auf. A.2 Die Euler’schen Formeln Mit der Schreibweise z = r\' können Zeiger in Polarform dargestellt werden. Es gibt aber eine wesentlich elegantere und leistungsfähigere Form der Darstellung, die durch die Euler’sche Formel gegeben ist. ej' = cos ' + j sin ' (A.6) A.2. DIE EULER’SCHEN FORMELN 247 Abbildung A.5: Geometrische Interpretation der Euler’schen Formel Die Euler’sche Formel lässt sich durch Reihenentwicklung wie folgt beweisen2 ex = 1 + x + x2 x3 x4 x5 + + + + 2! 3! 4! 5! (A.7) Durch Einsetzen des Arguments j' erhalten wir ej' '2 2! '2 '4 + 2! {z 4! = 1 + j' = 1 | j cos ' +j sin ' sin ' = ' cos ' = '3 '4 '5 + +j + 3! 4! 5! 3 '5 ' + + j(' 3! {z 5! } | 1 ) } (A.8) '3 '5 + 3! 5! '2 '4 + 2! 4! Die obigen Zusammenhänge sind rein algebraisch hergeleitet, wir können aber die Euler’sche Formel (A.6) auch geometrisch interpretieren. Die Funktion ej' ist äquivalent mit der Polardarstellung 1\', stellt also einen Zeiger der Länge 1 und mit dem Winkel ' dar. Der Zeiger r\' ist also äquivalent mit rej' wie in Abbildung A.5 gezeigt. Bemerkung 85 Beachten Sie, dass der Beweis der Richtigkeit der Euler’schen Formel auf Basis der Algebra erbracht wurde! Die Zahlendarstellung in der komplexen Ebene liefert die geometrische Interpretation. Die Euler’sche Formel bildet eine Brücke zwischen der Welt der Algebra und der Welt der Geometrie! Formen wir die Euler’sche Formel um, dann gelangen wir nach einigen Zwischenschritten zu einer zweiten Form der Darstellung e ej' = cos ' + j sin ' j' = cos ' + ej' + e 2 j sin ' = j' = 2 cos ' 2 Bei ex = 1+x+ x +::: handelt es sich um eine Potenzreihe, die für alle x aus dem Konvergenzbereich 2! ( 1; 1) absolut und gleichmäß ig konvergiert. Deshalb darf man die Reihe umordnen und sie konvergiert gegen den gleichen Grenzwert. 248 ANHANG A. KOMPLEXE ZAHLEN Abbildung A.6: Rechts- und linksdrehende Zeiger Wie man leicht ausrechnen kan, lässt sich auch der Sinus durch ej' ausgedrücken. Zusammengefasst erhalten wir die inversen Euler’schen Formeln: cos ' = ej' + e 2 j' ; sin ' = ej' e 2j j' (A.9) Abbildung A.6 zeigt, dass der Kosinus durch die Zusammensetzung von zwei Zeigern (mit positivem und negativem Winkel ') gebildet wird. Aus den komplexwertigen Funktionen ej' und e j' entsteht die reellwertige Funktion cos('). Die Kreisfunktionen Sinus und Kosinus lassen sich wie folgt darstellen cos ' = Refej' g oder sin ' = Imfej' g der ej' + e j' 2 ej' e j' sin ' = 2i cos ' = Bemerkung 86 Die Darstellung der reellwertigen und anschaulichen Kreisfunktionen durch komplexwertige und wenig anschauliche Exponentialfunktionen mag zunächst verwirrend sein, bringt aber beträchtliche Vereinfachungen bei der Rechnung. Die Rechenregeln für den Umgang mit Zeigern können sowohl über die Algebra als auch über die Geometrie gefunden werden. Wir fassen zunächst die algebraischen Rechenregeln zusammen und geben dann eine geometrische Interpretation zur Erleichterung des Verständnisses. A.3 Rechenregeln für komplexe Zahlen Die Rechenregeln für die komplexen Zahlen folgen den Rechenregeln der Algebra, wobei lediglich zu beachten ist, dass die mit j gekennzeichneten Imaginärteile eigene Größ en darstellen und dass j 2 = 1. A.3.1 Regeln für kartesische Koordinaten Addition z1 + z2 = (x1 + jy1 ) + (x2 + jy2 ) = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 ) ( 2 + 3i) + (6 9i) = 4 6i (A.10) A.3. RECHENREGELN FÜR KOMPLEXE ZAHLEN 249 Subtraktion z1 ( 2 + 3i) z2 = (x1 + jy1 ) (6 9i) = (x2 + jy2 ) = (x1 x2 ) + j(y1 y2 ) (A.11) 8 + 12i Multiplikation z1 z2 = (x1 + jy1 ) (x2 + jy2 ) (A.12) 2 = x1 x2 + jx1 y2 + jy1 x2 + j y1 y2 = ( 2 + 3i) (6 (x1 x2 (A.13) y1 y2 ) + j(x1 y2 + y1 x2 ) 9i) = 15 + 36i Konjugiert komplexe Zahl 0 z1 = z1 = (x1 + jy1 ) = (x1 ( 2 + 3i) = 2 jy1 ) (A.14) 3i Division z1 z2 z1 z2 = = = = ( 2+3i) (6 9i) A.3.2 = (x1 + jy) (x2 + jy2 ) z1 z2 z1 z2 = 2 z2 z2 jz2 j (x1 + jy1 )(x2 jy2 ) x22 + y22 (x1 x2 + y1 y2 ) + j(x2 y1 x22 + y22 (A.15) (A.16) x1 y2 ) 1 3 Regeln für Polarkoordinaten Während Addition und Subtraktion in kartesischen Koordinaten einfach durch Addition bzw. Subtraktion der Real- und Imaginärteile durchgeführt werden, sind Multiplikation und Division in kartesischen Koordinaten unübersichtlich und können viel einfacher in Polarkoordinaten berechnet werden. Multiplikation z1 2ej30 z2 = r1 ej'1 r2 ej'2 = r1 r2 ej('1 +'2) (A.17) 3ej60 = 6ej90 = j6 Konjugiert komplexe Zahl z1 = r1 ej'1 2ej30 = 2e j30 = r1 e j'1 (A.18) 250 ANHANG A. KOMPLEXE ZAHLEN Abbildung A.7: Zeigeraddition Division z1 z2 = r1 ej'1 r1 = ej('1 j'2 r2 e r2 '2) (A.19) 2ej30 3ej60 = 32 e j30 Multiplikation und Division sind in Polarkoordinaten sehr einfach durchführbar, es müssen lediglich die Beträge multipliziert (dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert) werden. Die Addition und Division in Polarkoordinaten kann nur durch Umwandlung in kartesische Koordinaten, Durchführung von Addition bzw. Subtraktion und Rückumwandlung in Polarkoordinaten durchgeführt werden. Matlab arbeitet mit komplexen Zahlen, die Rechenoperationen Addition (+), Subtraktion ( ); Multiplikation ( ) und Division (=) gelten auch für komplexes Argument. Die Eingabe ist in kartesischer und Polardatstellung möglich, die Ausgabe erfolgt immer kartesisch und muss bei Bedarf umgerechnet werden. z1 = -2.0000 + 3.0000i 3*exp(i*45*pi/180) = 2.1213 + 2.1213i z2 = 6.0000 - 9.0000i [phi,r] = cart2pol(6,-9) z1+z2 = 4.0000 - 6.0000i r = 10.8167 phi = -0.9828 z1-z2 = -8.0000 + 12.0000i z1*z2 = 15.0000 + 36.0000i = 3.6056*exp(2.1588i)*10.8167*exp(-0.9828i) z1/z2 = -0.3333 A.4 Geometrische Betrachtung Abbildung A.7 zeigt die Addition der Zeiger z1 + z2 = z3 : z1 und z2 werden wie im Kräfteparallelogramm zum Zeiger z3 zusammengesetzt. Die Subtraktion von z1 z2 ist nichts anderes als z1 + ( z2 ): ( z2 ) ist der in die gegengesetzte Richtung zeigende Zeiger z2 . Die Abbildung A.8 stellt die Zeigersubtraktion graphisch dar. Die Multiplikation der Zeiger z1 z2 stellt man am besten über die Polarform dar: jz1 jej'1 jz2 jej'2 = jz1 jjz2 jej('1 +'2 ) : Abbildung A.9 stellt diesen Zusammenhang graphisch dar. Die Multiplikation mit der Zahl ej'2 bedeutet eine Drehung des Zeiger jz1 jej'1 um den Winkel '2 : Die Multiplikation einer Zahl mit j entspricht einer Drehung um 90 , da j = ej =2 : Auch die Division kann am besten über die Polarform dargestellt werden. z3 = z1 r1 = ej('1 z2 r2 '2 ) Abbildung A.10 stellt die Division graphisch dar. Ein interessanter Fall tritt auf, wenn z1 = r1 ej' und z2 = r2 ej('+90 ) also einen Winkel von 90 einschließ en. z3 = z1 =z2 wird dann j(r1 =r2 ): A.4. GEOMETRISCHE BETRACHTUNG Abbildung A.8: Subtraktion von Zeigern Abbildung A.9: Zeigermultiplikation Abbildung A.10: Zeigerdivision 251 252 ANHANG A. KOMPLEXE ZAHLEN Abbildung A.11: Potenzen der komplexen Zahl Abbildung A.12: Wurzeln von 1 Ganzzahlige Potenzen eine komplexen Zahl kann man einfach über die Polarform berechnen N z N = rej' = rN ejN ' Abbildung A.11 zeigt die Potenzen z 1 ; z 2 ; :::; z 10 ; für die Zahl z = 0:9ej30 : p Es fehlt noch die Wurzel einer (komplexen) Zahl. Als Beispiel betrachten wir 4 1. Vom Fundamentalsatz der Algebra wissen wir, dass das Polynom z 4 1 = 0 vier Wurzeln haben muss. Die Lösung 1 …nden wir leicht, auch die Lösung 1 ist nicht schwer zu bestimmen, etwas Nachdenken ist aber für die weiteren Lösungen j erforderlich. Allgemein gilt die Beziehung: p j2 n N 1=e N n = 0; 1; 2; :::; N 1 Das bedeutet, dass die Wurzeln gleichverteilt auf dem Einheitskreis liegen und dass der Winkel zwischen den Wurzeln ' = 2 =N beträgt. Abbildung A.12 stellt diesen Zusammenhang dar. p Im allgemeinen Fall ist aber nicht N 1 zu bilden, sondern die Wurzel einer beliebigen komplexen Zahl. Wir …nden hier folgenden Zusammenhang: z= p N rej' = p N ' rej( N + 2 n N ) n = 0; 1; 2; :::; N 1 Abb. A.13 zeigt ein Beispiel für eine Wurzel fünfter Ordnung, wobei der Betrag der Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird, mit 1 angenommen ist. Die Lösungen liegen daher auf dem Einheitskreis, die ërste"Wurzel liegt bei ej'=N , die weiteren Wurzeln sind um den Winkel 2 =N gedreht. Für p eine Zahl z mit Betrag 6= 1, wäre der Radius des Kreises auf dem die Wurzeln liegen N jzj. A.5. ACHTUNG PHASE 253 Abbildung A.13: Wurzel aus ej50 A.5 Achtung Phase Bei der Darstellung nach Betrag und Winkel treten paar Besonderheiten auf, die zu beachten sind. Bei der Berechnung der Winkelfunktionen wird normalerweise das Bogenmaßverwendet. Damit vermeidet man die umständliche Darstellung des Winkels im Gradmaß , die die Zahlenbasis 360 für Grad, 60 für Minuten und Sekunden und 10 für Bruchteile von Sekunden verwendet, z.B. 30 450 48:123400 . Dafür handelt man sich schwer vorstellbare Bogenwinkel für aus dem Gradmaßgut bekannte Winkel ein, z.B. 0:7854 = =4 = 45 . Daher wird die Umrechnung oft impizit angeschrieben, z.B. sin( =180): Wenn der Realteil Null ist und der Imaginärteil einen endlichen Wert hat, tritt bei aginärteil der Berechnung der Phase eine Division durch Null auf, da ' = arctan ImRealteil , was in der Berechnung entsprechend berücksichtigt werden muss. Wenn die Zahl rein imaginär ist, ist die Phase =2 bei positivem Imaginärteil und =2 bei negativem Imaginäteil. Der Arcustangens ist nur für 90 ' 90 de…niert. Für die komplexe Zahl 1+1i erhalten wir den Winkel ' = arctan 11 = 0:7854 [rad] = 45 . Für die komplexe Zahl 1 1i erhalten wir ebenfalls den Winkel ' = arctan( 11 ) = arctan(1) = 0:7854 [rad] = 45 , obwohl die korrekte Phase (Zahl liegt im dritten Quadranten) ' = 135 beträgt. Dieses Problem tritt immer auf, wenn die komplexe Zahl im zweiten oder dritten Quadranten liegt. Sind Real- und Imaginärteil negativ, dann muss vom berechneten Winkel 180 abgezogen werden, wenn der Realteil negativ ist und der Imaginärteil positiv ist, dann müssen 180 addiert werden. Die MATLABFunktion angle(H) liefert die Phase vorzeichenrichtig im Bogenmaß . Die Phase ist wegen der Periodizität der Sinusfunktion lediglich im Bereich von 0 ' 2 de…niert. Wenn sich ein Zeiger um ' + n 2 dreht, dann ist die Phase dennoch nur '. Dieser Sachverhalt führt dazu, das bei Darstellungen des Phasenverlaufs die Phase zwischen und liegt, man aber auf Grund des physikalsiceh Zusammenhangs weiß , dass die Phase ' + n 2 beträgt. Man wählt daher häu…g eine Darstellung, die die Phase streckt (unwrapping) und dadurch die Sprungstellen vermeidet. Abbildung A.14 zeigt die Darstellung der Phase zwischen 180 und die ünwraped"Darstellung. Beispiel 87 Als Ergebnis einer Berechnung erhalten wir die komplexen Werte H plot((180/pi)*angle(H)) 254 ANHANG A. KOMPLEXE ZAHLEN 100 0 -50 50 -100 -150 0 -200 -50 -250 -300 -100 -350 -150 0 200 400 -180° <= Phase <= 180° 600 -400 0 200 400 Phase "unwraped" 600 Abbildung A.14: Phasendarstellung xlabel(’-180 <= Phase <= 180 ’) subplot(1,2,2) plot(unwrap((180/pi)*angle(H))) xlabel(’Phase ünwraped“) und stellen dieselbe Phase dar.Durch Rundungsfehler in der Rechnung können Sprünge in der Phase auftreten, die zu Phasensprüngen zwischen benachbarten Punkten führen können. Wenn die Amplitude einer komplexen Zahl Null (oder sehr klein) ist, hat die Phase keine Bedeutung und kann sinnlose Werte annehmen. Der Betrag ist de…nionsgemäßeine positive Zahl. Dennoch läß t man gelegentlich einen » negativen« Betrag zu, um die Darstellung zu vereinfachen. Abbildung A.15 zeigt den Zusammenhang am Beispiel der Funktion sin(x)=x. A.6 Zusammenfassung Mit Hilfe der komplexen Darstellung lässt sich die –für Elektrotechnik und Signalverarbeitung sehr wichtige –Sinus(Kosinus)funktion in eine kompakte Form bringen, mit der man wesentlich besser rechnen kann als mit der reellen Darstellung. Durch geometische Interpretation der komplexen Zahlen gelangt man zur Zeigerdarstellung, mit der sich die Operationen mit komplexen Zahlen anschaulich erläutern lassen. Komplexe Zahlen können in kartesischer oder Polarform angeschrieben werden. Je nach Rechnung ist die eine oder die andere Form zweckmäß iger, im Zuge von umfangreicheren Berechnungen ist es daher häu…g nötig zwischen den Koordinatensystemen zu wechseln. Matlab kennt komplexe Zahlen und stellt Routinen zur Durchführung der Berechnung und Darstellung komplexer Zahlen zur Verfügung. A.6. ZUSAMMENFASSUNG 255 Betrag Sinc Function Realteil Sinc Function 1 1 0.8 0.5 0.6 0.4 0 0.2 -0.5 0 2 4 6 0 0 Imaginärteil Sinc Function 4 6 Phase Sinc Function 1 4 0.5 3 0 2 -0.5 -1 2 1 0 2 4 6 0 0 2 4 6 Abbildung A.15: » Negativer« Betrag erzeugt P hase = 0 256 ANHANG A. KOMPLEXE ZAHLEN Anhang B MATLAB Inhalt B.1 Der Workspace . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.1 Hilfe und Orientierung . . . . . . . . . . . . B.1.2 Bildschirmausgabe . . . . . . . . . . . . . . B.1.3 Namensgebung . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.4 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.5 Skalare, Vektoren, Matrizen . . . . . . . . . B.2 Elementare Operationen . . . . . . . . . . . B.3 Elementare komplexe Operationen . . . . . B.4 Graphiken in Matlab . . . . . . . . . . . . . B.5 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.1 Kommentare . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.2 Scripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.4 Kontrollstrukturen . . . . . . . . . . . . . . B.5.5 Ein- und Ausgabe . . . . . . . . . . . . . . B.6 Kontinuierliche LTI-Systeme . . . . . . . . . B.6.1 Approximation analoger Filter . . . . . . . B.7 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . B.7.1 Approximation digitaler Filter . . . . . . . B.8 Praktischer Filterentwurf . . . . . . . . . . . B.9 Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . B.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 258 258 258 258 258 260 260 260 261 261 261 261 261 262 262 263 263 264 264 264 265 Die bei der Untersuchung von kontinierlichen und diskreten linearen zeitunabhängigen Systemen verwendeten Konzepte und Operationen sind mit Handrechnung schwer beherrschbar. Mit MATLAB steht eine Arbeitsumgebung zur Verfügung, die die Mühen der Berechnung abnimmt und so den Blick für die Eigenschaften und das Verhalten von Systemen freihält und zum vertiefenden Experimentieren mit LTI-Systemen einlädt. MATLAB steht für MATrix LABoratory und ist eine Arbeitsumgebung für numerische Berechnungen und zur Visualisierung von Daten. MATLAB stellt eine umfangreiche Sammlung von Funktionen für mathematische, statistische und technische Berechnungen zur Verfügung. Toolboxen erweitern die Standard-MATLAB-Funktionen für spezielle Arbeitsgebiete wir Digitale Signalverarbeitung, Bildverarbeitung, Regelungstechnik, . . . Für die Untersuchung von kontinuierlichen LTI-Systemen verwenden wir die Control Systems Toolbox, für diskrete LTI-Systeme die Signal Processing Toolbox. Für spezielle Aufgaben bei der Untersuchung von digitalen Filtern steht als Erweiterung der Signal Processing Toolbox die Filter Design Toolbox zur Verfügung. Die folgenden Kapitel fassen die wichtigsten Befehle zusammen, ausführliche Dokumentation steht durch die Kommandozeilenfunktion help bzw. help fnname, bzw. über das Benützermenü Help (F1) zur Verfügung. 257 258 B.1 B.1.1 ANHANG B. MATLAB Der Workspace Hilfe und Orientierung help help topic demo who whos what clear diary »filename« save variable load variable.mat save varable A,B,C quit B.1.2 zeigt eine Liste von Programmen, die in der MATLAB-Umbebung installier zeigt Hilfeinformation zu MATLAB-Funktionen an startet ein Demo-Programm zu einer Vielzahl von MATLAB-Funktionen listet alle aktuellen Variablen listet alle aktuellen Variablen einschließ lich deren Dimensionen listet alle aktuellen MATLAB Dateien (Funktionen und Scripts) löscht alle Variablen im Workspace protokolliert eine MAT-LAB Sitzung diary on diary off speichert alle Variablen im File variable.mat speichert die Variablen A, B, C im File variable.mat beendet MATLAB Bildschirmausgabe Das Ergebnis wir standardmäß ig mit fünf signi…kanten Stellen ausgegeben und ist immer in der Variable ans gespeichert. Nach der Ausgabe wird am Bildschirm eine Leerzeile eingefügt. Wird eine Eingabezeile mit einem ; beendet, unterbleibt die Ausgabe auf den Bildschirm. format compact unterdrückt die Leerzeile format loose aufheben von compact format long e format short format short e format bank zwei Stellen nach dem Komma B.1.3 Namensgebung MATLAB unterscheidet zwischen Groß - und Kleinbuchstaben. B.1.4 Zahlen MATLAB rechnet grundsätzlich mit komplexen Zahlen. sqrt(-1) =) 0 + 1.0000i (3+4i)+(6-7i) =) 9.0000 - 3.0000i exp(0.5*pi*i) =) 0.0000 + 1.0000i exp(0.5*pi*1j) =) 0.0000 + 1.0000i Bei der Eingabe kann sowohl i als auch j als imaginäre Einheit gewählt werden. Die Ausgabe erfolgt immer mit i. Die Eingabe kann in Polarform (exponentieller Form) erfolgen, die Ausgabe ist immer in Real- und Imaginärteil. Bemerkung 88 Achtung bei der Verwendung von i oder j als Variable: i = 3 4+3*i =) 13 % i wurde auf 3 gesetzt! aber 4+3i =) 4.0000 + 3.0000i Wiederherstellen von i als imaginäre Einheit: i = sqrt(-1) Um Fehler zu vermeiden, Schreibweise 4 + 3*1i verwenden. B.1.5 Skalare, Vektoren, Matrizen MATLAB kennt intern nur Matrizen, ein Skalar ist eine 1x1 Matrix. Vektoren gibt es nur als einzeilige oder einspaltige Matrix, häu…g Zeilenvektor (1 N ) oder Spaltenvektor (N 1) genannt. Die Dimension kann mit size(N) abgefragt werden. B.1. DER WORKSPACE 259 A = 1 size(A) =) 1 1 B=[1 2 3] size(B) =) 1 3 Eingabe Zeilenvektoren zv = [2 4 -5 2.345 -9.1] oder zv = [2,4,6,1.23,0] Eingabe von Spaltenvektoren b = [2;4;6;1.23;0] % Elemente durch ; getrennt. Die Umwandlung von Zeilen- in Spaltenvektor erfolgt durch Transponieren. zv.’ =) 2.0000 4.0000 -5.0000 2.3450 -9.1000 Achtung: Es gibt zwei Formen von transpose: .’ ist das nichtkonjugierte transpose, ’ ist das konjugierte transpose. Eingabe von Matrizen Mat = [1 2 3;4 5 6;7 8 9] Vektor- und Matrix-Generatoren Vektor aus fortlaufenden Zahlen X = Anfang:Schrittweite:Ende X = 1:2:9 =) 1 3 5 7 9 aber X = 1:2:8 =) 1 3 5 7 Wenn keine Schrittweite angegeben ist, wird die Standardschrittweite »1« gesetzt. 5:10 =) 5 6 7 8 9 10 alpha = exp(i*[0:pi/4:2*pi]) % erzeugt Zeiger von Null bis 2*pi im Anstand von pi/4 alpha =) (1.0000),(0.7071 + 0.7071i),(0.0000 + 1.0000i),... Linspace(Anfang, Ende, Anzahl_Punkte) % erzeugt Anzahl_Punkte zwischen Anfang und Ende linspace(0, 5, 4) =) 0 1.6667 3.3333 5.0000 Nullmatrix = zeros(Zeilen,Spalten) ones(1,5) % erzeugt Zeilenvektor 1x5 mit den Elementen 1 Einheitsmatrix = eye(7) x=0:N; y=sin(2*pi*x/N); % erzeugt eine Sinusschwingung einer Periode mit N Punkten TestGleich = rand(1,8) % erzeugt Zeilenvektor aus gleichverteilten Zufallszahlen TestNormal = randn(4,7).% erzeugt Matrix aus normalverteilten Zufallszahlen Zusammenfügen von Arrays array = [array1,array2] % fügt array2 an array1 in Zeilenrichtung (Dimension 2) an Alternative cat(2, array1,array2) array = [array1;array2] % fügt array2 an array1 in Spaltenrichtung (Dimension 1) an Alternative cat(1, array1,array2) Die Array-Dimensionen müssen verträglich sein! 260 ANHANG B. MATLAB Indizierung von Arrays Die Indizierung erfolgt über entsprechende Indexstrukturen vec =[10 20 30 40 50 60]; ind=[1 3 5]; vec(ind) =) 10 30 50 mat(1:2,1:2) % indiziert 1. und 2. Zeile und 1. und 2. Spalte mat(:;1:2) % indiziert alle Zeilen und 1. und 2. Spalte mat(1:2,:) % indiziert 1. und 2. Zeile und alle Spalten mat(:) % erzeugt einen Spaltenvektor durch Aneinanderfügen der Spaltenvektoren der Matrix Ermittlung der Dimensionen von Arrays size(array) % liefert Zeilenvektor mit den Dimensionen des Arrays length(vec) % Länge des Vektors B.2 Elementare Operationen + - * / ^ % Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenz sqrt(N) % Berechnet Quadratwurzel von N, wenn N komplex, dann wird nur ein komplexes Ergebnis berechnet. Die elementaren Operationen sind immer Matrizenoperationen! mat*mat % ist eine Matrizenmultiplikation elementweise Operationen erfolgen über .-Operation: mat.*mat oder mat./mat sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x) % Winkelfunktionen B.3 Elementare komplexe Operationen real(z) imag(z) abs(z) angle(z) conj(z) oder z’ complex(a,b) [x,y] = pol2cart(phi,R) [phi,R] = cart2pol(x,y) B.4 Realteil von z Imaginärteil von z Betrag von z Phasenwinkel in rad konjugiert komplexe Zahl erzeugt komplexe Zahl aus Realteil a und Imaginärteil b erzeugt kartesische aus Polarkoordinaten erzeugt Polar- aus kartesischen Koordinaten Graphiken in Matlab figure(N) % dient zur Darstellung von Ergebnissen in mehreren Fenstern wenn figure(N) nicht verwendet wird, dann wird die Ausgabe immer in dasselbe Fenster geleitet. subplot(m,n,p) % dient zur Darstellung mehrere Ergebnisse im Fenster figure(N) m n ist die Fenstermatrix, p ist das Fenster in das die Darstellung gestellt wird. Die Nummerierung der Darstellungsfenster erfolgt zeilenweise. hold on % verhindert, dass ein neuer Plot den alten löscht; damit wird das Überlagern von Darstellungen möglich. hold off % ein neuer Plot löscht die vorherige Darstellung clf % löscht die Darstellung und erzeugt leeres Fenster plot(x,y,s) % zeichnet die Werte von y über x s ist eine Stringvariable die aus einem oder mehreren Elementen besteht und die Art der Darstellung festlegt. B.5. PROGRAMMIERUNG 261 . point solid o circle : dotted x x-mark -. dashdot + plus -- dashed * star s square d diamond v triangle down ^ triangle up < triangle left > triangle right p pentagram h hexagram plot(x,y,’y-’) % zeichnet eine gelbe durchgehende Linie stem(x,y) % zeichnet Datenreihe y an den von x gegebenen Punkten compass(x,y) % zeichnet Vektor mit den Komponenten x, y vom Koordinatenursprung in Polarkoordinaten compass(z) % zeichnet komplexe Zahl z in Polarkoordinaten title ’Titel’; xlabel ’x-Achse’; ylabel ’y-Achse’ y m c r g b w k B.5 B.5.1 yellow magenta cyan red green blue white black Programmierung Kommentare Kommentare beginnen mit % und können auch am Ende einer Programmzeile stehen B.5.2 Scripts Scripts haben keine Argumente sondern sind lediglich eine Sammlung von MATLABBefehlen. Sie werden über den Namen des Skipt-Files aufgerufen. B.5.3 Funktionen Funktionen müssen das Schlüsselwort function in der ersten Zeile enthalten. function erg = lvect(x,y) % Berechnet die Länge des Vektors mit den Koordinaten x,y % mit dem Pythagoräischen Lehrsatz erg = sqrt(x.^2+y.^2) Funktionen werden mit dem Funktionsnamen aufgerufen. B.5.4 Kontrollstrukturen MATLAB stellt die üblichen Kontrollstrukturen zu Verfügung for k=1:N Anweisungsblock end if Bedingung Anweisungsblock 1 elseif Bedingung Anweisungsblock 2 else Anweisungsblock 3 end while Bedingung Anweisungsblock end 262 B.5.5 ANHANG B. MATLAB Ein- und Ausgabe disp(’Eingabe der Werte’) x=input(’Zahl der Koeffizienten: ’) Darüber hinaus stellt MATLAB umfangreiche Bibliotheken für die Ober‡ächenprogrammierung zur Verfügung. B.6 Kontinuierliche LTI-Systeme LTI-Systeme werden im s-Bereich in Polynom- oder PN-Form dargestellt. F (s) = bm sm + bm 1 sm 1 + B(s) = A(s) an sn + an 1 sn 1 + F (s) = k (s (s + b1 s + b0 + a1 s + a0 1 ) (s 2 ) : : : (s m) 1 ) (s 2 ) : : : (s n) (B.1) (B.2) Die Systemfunktion wird in den MATLAB Workspace durch die Befehle F = tf([bm ,bm 1 ,: : : ,b1 ,b0 ],[an ,an 1 ,: : : ,a1 ,a0 ]) bzw. F = zpk([ 1 , 2 ´,: : : , m ],[ 1 , 2 ,: : : , n ],k) eingegeben und steht dann als sogenanntes LTI-Objekt zur Verfügung. Mit der Funktion get(F) können alle Eigenschaften des LTI-Objektes abgefragt, mit wert=F.eigenschaft{1} (z.B. F.num{1}) kann die gewünschte Eigenschaft abgefragt werden. Die Eigenschaft lässt sich umgekehrt mit set(F,’eigenschaft’,wert) setzen. impulse(F) berechnet die Impulsantwort und zeigt sie auf dem Schirm an [y,t] = impulse(F) berechnet die Impulsantwort und weist sie y und t zu step(F) berechnet die Sprungantwort und zeigt sie auf dem Schirm an lsim(F,x,t) berechnet Zeitanwort auf x(t) freqs(B,A) berechnet den Frequenzgang bode(F) berechnet Ampituden- und Phasengang von F [Z,P,k] = tf2zp(Zae,Nen) berechnet Pole, Nullstellen und k aus Polynomdarstellung1 [Zae,Nen] = zp2tf(Z,P,k) berechnet die Polynomdarstellung aus Polen und, Nullstellen P = pole(F) liefert die Pole von F Z = zero(F) liefert die Nullstellen von F k = dcgain(F) liefert F(0) pzmap(F) zeichnet PN-Diagramm [P,Z] = pzmap(F) berechnet Pole und Nullstellen von F [r,p,K] = residue(B,A) berechnet die Koe¢ zienten der Partialbruchzerlegung [B,A] = residue(r,p,K) wandelt Partialbruch- in Polynomdarstellung um r=roots(C) berechnet Nullstellen des Polynoms c1 xn + c2 xn 1 + + cn x + C=poly(r) berechnet Polynom- aus Nullstellendarstellung dB rechnet in Dezibel-Darstellung um F (s) = B(s) r1 r2 = + + A(s) s p1 s p2 + rn + K(s) s pn (B.3) Bemerkung 89 Die Funktion ltiview(F) bietet ein komfortables Interface zur Darstellung der Systemeigenschaften von F im Zeit- und Frequenzbereich. Die Auswahl erfolgt mit Hilfe der Menüfunktionen bzw. durch Rechtsclicken auf die leere Darstellungs‡äche. 1 tf2zp wird im s Bereich verwendet. Im z-Bereich und der Darstellung (b + b z 0 1 tf2zpk verwendet werden. 1 + b2 z 2) sollte B.7. DISKRETE SYSTEME B.6.1 263 Approximation analoger Filter Die folgenden Funktionen liefern die Approximationen für analoge Filter Rp : : : Welligkeit im Durchlassbereich, Rs : : : Welligkeit im Sperrbereich, N : : : Ordnung des Filters [Z,P,K] = buttap(N) liefert die PN-Koe¢ zienten für ein analoges Potenz…lter [Z,P,K] = cheb1ap(N,Rp) liefert die PN-Koe¢ zienten für ein analoges Tschebysche¤-Filter [Z,P,K] = ellipap(N,Rp,Rs) liefert die PN-Koe¢ zienten für ein analoges Cauer-Filter [Z,P,K] = besselapp(N) liefert die PN-Koe¢ zienten für ein analoges Bessel-Filter B.7 Diskrete Systeme Diskrete Systeme werden im z Bereich in Polynom- oder PN-Form dargestellt H(z) = b1 + b2 z 1 + B(z) = A(z) a1 + a2 z 1 + H(z) = a1 y[n] = b1 x[n] + b2 x[n B(z) (z =k A(z) (z 1] + q1 )(z p1 )(z + bm x[n m] + bm z + an z m l = q2 ) : : : (z p2 ) : : : (z a2 y[n Zae(z) N en(z) (B.4) qm ) pl ) (B.5) 1] an y[n l] (B.6) impz(B,A) berechnet die Impulsantwort und zeigt sie auf dem Schirm an [y,t] = impz(B,A) berechnet die Impulsantwort und weist sie y und t zu stepz(B,A) berechnet die Sprungantwort und zeigt sie auf dem Schirm an y = filter(B,A,x) berechnet Zeitanwort auf die Folge x[n] freqz(B,A) berechnet den Frequenzgang [Z,P,k] = tf2zpk(Zae,Nen) berechnet Pole, Nullstellen und k aus Polynomdarstellung2 [Zae,Nen] = zp2tf(Z,P,k) berechnet die Polynomdarstellung aus Polen und, Nullstellen zplane(B,A) zeichnet PN-Diagramm % B, A ... Zeilenvektor zplane(Z,P) zeichnet PN-Diagramm % Z, P ... Spaltenvektor [r,P,K] = residuez(B,A) berechnet die Koe¢ zienten für die Partialbruchzerlegung [B,A] = residue(r,P,K) wandelt Partialbruch- in Polynomdarstellung um C = conv(A, B) Faltet Vektor A und B, Polynommultiplikation [Q,R] = deconv(B,A) Ent-Faltung (B = conv(A,Q) + R), Polynomdivisoon w = fft(x) Diskrete Fouriertransformation der Folge x x = ifft(w) Inverse DFT von w Das Spektrum eines diskreten Signals ist periodisch fortgesetzt, die Funktion fft liefert die Werte von 0 bis 2 . Für die gra…schen Darstellung ist es oft anschaulicher das Spektrum von bis zu erstrecken, d. h. die Komponente der Frequenz Null in die Mitte des Spektrums zu verschieben. Diese Verschiebung kann mit der Funktion fftshift erreicht werden. Diskrete (und kontinuierliche) System werden häu…g als Hintereinanderschaltung von Subsystemen 2. Ordnung dargestellt. H(z) = g L Y Hk (z) = g k=1 wobei die second-order sections 2 b01 6 b02 6 sos = 6 . 4 .. b0L L Y b0 + b1 z a0 + a1 z k=1 1 1 + b2 z + a2 z 2 (B.7) 2 (sos) im Matrixform dargestellt werden 3 b11 b21 a01 a11 a21 b12 b22 a02 a12 a22 7 7 7 .. .. .. .. .. 5 . . . . . b1L b2L a0L a1L a2L 2 tf2zp wird im s Bereich verwendet. Im z-Bereich und der Darstellung (b + b z 0 1 tf2zpk verwendet werden. 1 + b2 z (B.8) 2) sollte 264 ANHANG B. MATLAB Zur Umrechnung stehen folgende [sos,g] = tf2sos(Zae,Nen) [Zae,Nen] = sos2tf(sos,g) [sos,g]=zp2sos(z,p,g) [z,p,g]=sos2zp(sos,g) Funktionen zur Verfügung wandelt Zähler- und Nennerpolynom in die SOS-Darstellung um wandelt SOS in Zähler- und Nennerpolynom um wandelt PN- in SOS-Darstellung um wandelt SOS- in PN-Darstellung um Bemerkung 90 Die Funktion fvtool(B,A) bietet ein komfortables Interface zur Darstellung der Systemeigenschaften von H(z) = B(z) A(z) im Zeit- und Frequenzbereich. Die Auswahl erfolgt mit Hilfe der Menüfunktion Analysis. B.7.1 Approximation digitaler Filter Die Parameter in den Funktionen haben folgende Bedeutung N : : : Ordnung des Filters, Wn : : : Grenzfrequenz normiert 0 < W n < 1; 1 entspricht der halben Abtastrate Wn = [W1 W2], liefert ein Bandpass…lter der Orndung 2N mit dem Durchlassbereich W1 < W < W2 ’type’: : : ’low’, ’high’, ’stop’liefern Tief-, Hoch- bzw. Bandpass-Filter. Beim Bandpass muss Wn = [W1 W2] sein und die Ordnung ist 2N Rp : : : Welligkeit im Durchlassbereich, Rs : : : Welligkeit im Sperrbereich FIR-Filter B = FIR1(N,Wn) berechnet die FIR-Koe¢ zienten eines Tiefpasses B = FIR1(N,Wn,’high’) berechnet die FIR-Koe¢ zienten eines Hochpasses B = FIR1(N,Wn,’fenster’) FIR-Koe¢ zienten eines Tiefpasses mit spezi…zierter Fensterfunktion Die Fensterfunktion beein‡usst den Frequenzgang des Filters. Je steiler der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich, desto geringer ist die Sperrdämpfung. Für Details siehe MATLAB Help > Search> Windows. Die Funktion wintool aus der Filter Design Toolbox visualisiert den Ein‡uss der Fensterfunktionen im Zeit- und Frequenzbereich. Die Standardeinstellung ist Hamming-Fenster. IIR-Filter Die folgenden Funktionen liefern die Approximationen für IIR Filter. [B,A] = butter(N,Wn) liefert digitalen Potenztiefpass [B,A] = cheby1(N,Rp,Wn,’high’) liefert digitalen Tschebysche¤-Hochpass [B,A] = ellip(N,Rp,Rs,Wn) liefert digitalen Cauer-Tiefpass B.8 Praktischer Filterentwurf Alle Filterfunktionen sind unter der MATLAB-Funktion fdatool (Filter Design & Analysis Tool) zusammengefasst. fdatool erlaubt die Auswahl des Filtertyps (Tief-, Hoch-, Bandpass, Bandsperre,...), der Methode (FIR- oder IIR-Filter) und der Optionen (z.B. Fenster bei FIR-Filtern), der Ordnung des Filters, der Frequenzspezi…kation, der maximalen Dämpfung im Durchlassbereich, der minimalen Dämpfung im Sperrbereich. An Analseverfahren können Amplituden- und Phasengang, Impuls- und Sprungantwort, PN-Darstellung, Filterkoe¢ zienten, ... durchgeführt werden. Für die Weiterverarbeitung kann eine Filterstruktur gefunden werden, die innerhalb von Simulink simuliert werden kann. Die Filterkoe¢ zienten können in den MATLABWorkspace zur weiteren Bearbeitung exportiert werden. Der Filterentwurf kann als CProgramm in ein DSP-Entwicklungssystem oder in ein FPGA-Board geladen werden. B.9 Signalverarbeitung sptool stellt eine Benützerober‡äche für Signalverarbeitungsaufgaben zur Verügung, die aus drei Fenstern besteht. B.10. ZUSAMMENFASSUNG 265 Im Fenster Signals können Eingangssignale, die vom MATLAB-Workspace oder von File importiert wurden angezeigt werden. Wenn entsprechende Audiounterstützung vorhanden sind, können die Signale auch abgespielt werden. Das Fenster Filters erlaubt die Anzeige und Änderung von Filtern. Die Filter können importiert oder über New selbst entworfen sein. Filter können auf Signale aus dem Signals-Menü angewandt werden und erzeugen dann ein Ausgangssignal, das im Fenster Signals gespeichert wird. Das Fenster Spectra erlaubt die Berechnung und Anzeige von Spektren von Signalen aus dem Fenster Signals. B.10 Zusammenfassung Matlab und die Control Systems Toolbox, Signal Processing Toolbox und Filter Design Toolbox enthalten zahlreiche Funktionen für Analyse und Design von kontinuierlichen und diskreten LTI-Systemen. Zusätzlich zur Online-Hilfe gibt es noch eine umfangreiche Dokumention im PDF-Format.
