Zusammenfassung - Thermodynamik I

Zusammenfassung - Thermodynamik I
Timothy Habermacher, Ismail Morgenegg auf Basis von S. Liechti
1 Allgemeines
1.4 Zustandsgrässen
Variable
1.1 Begriffe
1.5.3 Druck
Beschreibung
p
Druck
• Amorph ⇒ Zähflüssiger Feststoff (Glas)
T
Temperatur
• Latente Energie ⇒ Energie z. Phasenumwandlung
V
Volumen
m
Masse
n
Stoffmenge
h
Entropie
Begriffe
• Thermische Dichtefluktuation ⇒ t. Dichteschwankung
1.2 System
Systemgrenzen setzen, dann klassifizieren:
• Massenstrom vorhanden ⇒ offenes System
⇒ Enthalpie h.
• kein Wärmeaustausch ⇒ isoliert. ⇒ adiabat
⇒ Q̇ = 0
• chemisch homogen: gleiche Stoffe oder verschiedene
gasfärmige. (z.B. Luft)
[K]
p = lim
A→A0
FN
A
in
h
kJ
kg·K
1.6.1 Die wichtigsten Einheiten
1[bar] = 105 [Pa]
2
1[J] = [Nm] = [Ws] = [ kgm
] = [m3 Pa]
s2
1.5.1 Dichte
Intensive Zustandsgrässe, ortsabhängig:
V →V 0
m
V
h
in
kg
m3
1.6.2 Si-Präfixe
i
1.5.2 spezifisches Volumen
Intensive Zustandsgrässe:
v=
1
V̇
A·w
=
=
in
ρ
ṁ
ṁ
m3
kg
V =v·m
molar:
M
v=
= v · M in
ρ
und p = ρ · g · h
1.6 Einheiten
1[N] = [ kgs2m ]
N
1[MPa] = [ mm
2]
1[atm] = 101.325[kpa]
Wasser: 1[l] = 0.001[m3 ]
1.5 Definitionen
i
[kg]
Intensive Zustandsgrässen ändern ihre Werte nicht
bei Systemteilung.
Extensive Zustandsgrässen sind an die Stoffmenge gebunden. (Grossbuchstabe)
ρ = lim
N
m2
[kmol]
• physikalisch homogen: alle Stoffe in gleicher Phase.
1.3 Vorzeichenkonvention
N
m2
Intensive Zustandsgrässe, ortsabhängig:
[m3 ]
• kein Massenstrom ⇒ geschlossenes System
⇒ Innere Energie u.
• Wärmeaustausch vorhanden ⇒ nicht isoliert
⇒ diatherm.
Einheit
m3
kmol
1
Name
Symbol
Wert
Giga
G
109
M ega
M
106
Kilo
K
103
Hekto
h
102
Dezi
d
10−1
Zenti
c
10−2
M illi
m
10−3
M ikro
µ
10−6
N ano
n
10−9
P ico
p
10−12
Achtung: Für x < 0 und x > 1 befindet man sich ausserhalb des Zweiphasengebiets → kein x.Links von der Kurve
ist die subcooled area, rechts davon die superheated.
1.7 Temperaturskalen
p·v =R·T
p·V =m·R·T
mit T in Kelvin und
Celsius: TC = TK − 273.15
Fahrenheit: TF = 1.8 · TC + 32
Rankine: TR = 1.8 · TC
Im offenen System:
hi = hf i + x ·
(hgi − hf i )
{z
|
hf g
i
}
in Tab. A-3
1.8 Lineare Interpolation
E=
R = 8.314
R=
J
kJ
= 0.008314
molK
molK
R
J ∗ 1000
mit M mol. Masse. und R in
M
kgK
h
Rair = 286.9864
2.1.3 Diagramme
F −D
(B − A) + D
C−A
Eine Fläche im p-v-Diagramm [?] entspricht der Arbeit. Bei
einem Zustand in der grün schraffierten Fläche spricht man
von Nassdampf. Rechts davon befindet man sich im überhitzten Zustand, links davon im unterkühlten.
2 Kompressible Substanzen
i
J
kJ
= 0.28699
kgK
kgK
m
=n
M
2.2.3 Polytrope Zustandsänderung für ideales Gas
n: Polytropenkoeffizient
κ: Isentropenkoeffizient
n
p · v = const und p · V n = const
2.1 Wasser
Im Allgemeinen:
2.1.1 Vorgehen
p2
=
p1
Achtung: Bei compressed liquid water und vernünftigen
Drücken wegen Inkompressibilität Daten aus den Tabellen
A-2 und A-3 nehmen!
Achtung: Wenn kein Ideales Gas, dann existiert Dom!
2.2 Modell idealer Gase
Im Zweiphasengebiet spricht man von saturated water.
Man definiert den Dampfgehalt
v − vf
u − uf
s − sf
h − hf
mg
=
=
=
=
mf + mg
vg − vf
ug − uf
sg − sf
hg − hf
mf = (1 − x) · m
mg = x · m
Massenanteil des Flüssigen an der Gesamtmasse:
xf =
vg − v
vg − vf
v1
v2
n
Isobar
p = const
p · v 0 = const
n=0
Isotherm
T = const
R · T = p · v = c.
n=1
Isochor
v = const
v1
v2
1
p2 n
Isentrop
p · v κ = c.
n=κ=
adiabat
p·V
T
isenthalp
h = const
=1=
p1
cP
cV
n=∞
n=κ
= const
2.2.1 Allgemeines
2.1.2 Zwei-Phasen-Gebiet
x=
2.2.4 Polytropes Temperaturverhältnis
Z
∆U = m ·
cV (T ) · dT
= m · (cV2 T2 − cV1 T1 )
T2
=
T1
p2
p1
n−1
n
=
v1
v2
n−1
2.3 Reales Gas
2.2.2 Ideales Gasgesetz
Das ideale Gasgesetz ist da zur Berechnung von Zuständen, nicht zur Berechnung von Prozessen!
p · V = Z(T, p) · R · T
Z(T, p) = T =
p·V =n·R·T
2
p·v
R·T
=
p·V
R·T
Realgasfaktor
3 Der 1. Hauptsatz
3.1 Energie eines Systems
3.1.1 Geschlossene Systeme
3.3 Arbeit W
3.5 Innere Energie
Ein System leistet Arbeit an seiner Umgebung, wenn der
alleinige Effekt der Wechselwirkung auf alles ausserhalb die
Hebung eines Gewichtes sein kännte.
W > 0: System leistet Arbeit, d.h. abgeführte W.
W < 0: Umgebung leistet Arbeit, d.h. zugeführte W.
Für ideale Gase gilt: innere Energie U ist nur eine F kt(T )!
Systemmasse konstant!
V2
Z
∆E = ∆KE + ∆P E + ∆U
Z
p · Adx =
F dx in [J]
V1
1
(m2 · v22 − m1 · v12 )
2
∆P E = ∆(m · g · z)
Z
Z
dE
= Q̇ − Ẇ
dt
Q > 0: Dem System zugeführte Wärme.
Q < 0: Vom System abgeführte Wärme.
1
· (p2 · V2 − p1 · V1 )
p(V ) · dV =
1−n
W12 =
für ideales Gas, n ungleich 1:
Z
Beachte: dass die Gleichung natürlich auch aus Summe geschrieben werden kann!
Achtung: Wenn mit [KJ] gerechnet wird, muss auch die
Geschwindigkeit [m/s] · 103 angepasst werden!
dE
= Q̇ − ẆS + ṁin ·
dt
hin +
2
vin
2
cv (T2 −T1 )
=
|{z}
für cv =const.
Ideales Gas: cv (T ) =
∂u
∂T
cp (T ) =
v
perfektes Gas: cv (T ) = const.
∂h
∂T
p
cp (T ) = const.
cv = cp − R
kg
s
WKP = QKP = Qzu − Qab
m3
s
3.4 Polytrope Zustandsänderung
n: Polytropenkoeffizient Polytropenbeziehung:
n−1
p·
T ·p
R·T
p
1−n
n
p(V ) =
3.2 Klassifizierung von Prozessen
• Stationärer Prozess ↔
= konst.
i
dm
dt
=0↔
dE
dt
(∆E = 0)
Bei Kreisprozessen gilt:
Volumenstrom:
3.7 Kreisprozesse
W12 = mw12 (v)
T ·v
h
R(T2 − T1 )
1−n
+ g · zin
v2
hout + out + g · zout
2
A · vgeschw.
ṁ = ρ · A · v =
v
p(V ) · dV =
W12 =
Massenstrom:
A · vgeschw. = ṁ · v
cv (T )dT
T1
siehe cp in A-19 und A-20
3.1.2 Offene Systeme
−ṁout ·
T2
3.6 Spezifische Wärmekapazität
Fuer n ungleich 1:
Z
Z
du =
c
V2
2
·dV = c ln(V )V
)
V1 = c ln(
V
V1
V1
bzw.
u2
cv siehe A20
V2
p(V )·dV =
∆U = Q − W = m · (u2 − u1 ) = U2 − U1
∆E = Q − W
Z
∆u = u2 −u1 =
u1
∆KE =
W12 =
u
u siehe A-23 und folgende
M
du = cv (T )dT
u=
Z
p · dV =
W12 =
∆U = m2 · u2 − m1 · u1
n=
=0
n
X
Q=
X
W
geschlossenes System ⇒ cV
offenes System ⇒ cP Table A-20
Q12 = m · (u2 − u1 ) + m · p · (v2 − v1 ) = m · (h2 − h1 )
= konst.
3.7.1 Isochorer Prozess
= konst.
W = 0,
const
Vn
ln( pp2 )
v1 = v2 ,
Q12 = ∆U = m · (u2 − u1 ) in [kJ]
3.7.2 Isothermer Prozess
1
1
ln( V
)
V
∆U = 0,
2
3
p1 · V1 = p2 · V2 ,
W12 = Q12
Prozess
3.7.3 Isentroper Prozess
1→2
Q=
Beschreibung
Q12 = W12 > 0
isotherme Expansion
w12 = R · T1 · ln pp1
Q12 = 0
2
2→3
isentrope Expansion
Q23 = 0
w23 = −cV · (T3 − T2 )
W23 > 0
3.7.4 Isobarer Prozess
3→4
w34 = R · T3 · ln
W12 = m · p · (v2 − v1 ) = p · (V2 − V1 ) = m · R · (T2 − T1 )
4→1
Beachte: für das Ideale Gas kann pv = RT geschrieben
werden
Total
Q34 = W34 < 0
isotherme Kompression
p3
p2
isentrope Kompression
Q41 = 0
w41 = −cV · (T1 − T4 )
W41 < 0
wges = R · (T1 − T3 ) ·
ln pp1
2
>0
4 Der 2. Hauptsatz
Clausius: Wärme kann nicht von selbst (spontan) von einem Körper mit tieferer Temperatur auf einen Körper mit
höherer Temperatur übertragen werden.
Kelvin-Planck: Es ist unmöglich eine Maschine zu bauen, welche in einem thermischen Kreisprozess kontinuierlich
Arbeit an die Umgebung abgibt und dabei nur in Kontakt
mit einem einzigen Wärmereservoir steht, aus welchem es
diese Wärme bezieht.
4.3 Beispiel Arbeitsprozess
4.1 Reversibilität
Alle in der Natur auftretenden Prozesse sind grundsätzlich
irreversibel.
Reversibler Prozess: Serz = 0
Irreversible Expansion:
• Uhrzeigersinn: Wärme-Kraft-Prozess
→ Wtot > 0 (wir gewinnen Arbeit)
4.4 Wirkungsgrad
Wirr = η · Wrev
• Gegen-UZS: Wärmepumpen-Prozess
⇒ Wtot < 0 (wir müssen Arbeit leisten)
Irreversible Kompression:
Wirr =
1
· Wrev
η
Z
W =
Z
p · dV
Q=
T dS
4.2 Carnot-Kreisprozess
Idealisierter, reversibler Kreisprozess zwischen zwei Temperaturniveaus T1 und T2 .
du = T · ds − p · dV
dh = T · ds + v · dp
4
4.4.1 Wirkungsgrad Carnot / reversible KreisProzesse
Nach dem 2. Hauptsatz gilt der Carnot-Wirkungsgrad auch
für jeden beliebigen anderen reversiblen Kreisprozess zwischen zwei Wärmereservoiren und stellt das theoretische
Maximum dar, welches ein Kreisprozess erreichen kann. Siehe für maximale Leistungszahl bei Wärmepumpe und
Kältemasch.
ηC = 1 −
TCold
|QC |
TH − TC
=1−
=
THot
QH
TH
Für reversible Prozesse gilt:
η=
Tkalt
Qkalt
=
Qheiss
Theiss
Wmin,ref
Wreal
=
Wmax,ref
Wreal
4.7 Ts- Diagramm
4.5 isentroper Prozess
4.4.2 (thermischer) Wirkungsgrad Kreisprozess
ηth
|Qout |
Wnetto
TC
=
=1−
=1−
Qzugeführt
|Qin |
TH
Prozess bei konstanter Entropie (∆S = 0) . Es darf keine
Wärme übertragen werden und der Prozess muss reversibel
sein → adiabatischer reversibler Prozess
Beachte: Qc > 0 und QH > 0 (Vorzeichen wurde schon
beachtet)
P V κ = const
dS = 0
P 1−κ T κ = const
κ :=
p2 = p1 ·
4.4.3 Leistungszahl Kältemaschine
T1
T2
cp
cv
κ
1−κ
4.8 Entropie
¨
Leistungszahl (Chiffre of Performance=COP):
K =
V2 = V1 ·
QC
QC
Q̇C
=
=
WKP
QH − WC
Q̇H − Q̇C
T1
T2
In Worten: Die Entropieänderung ist die zugeführte Wärme
durch die Temperatur des Behälters. S = S(T , p)
1
κ−1
für das Ideale Gas:
Für reversiblen Kreisprozess (Carnot rückwärts):
max =
4.6 Enthalpie
TC
TH − TC
QH,out
Q̇H
Qout
=
= Kältem +1 =
Wcycle
Qout − Win
Q̇H − Q̇C
Verdampfungsenthalpie wird benätigt, um ein Fluid in den
gasförmigen Zustand überzuführen:
du
∆S =
=
T
h(T ) nur von der Temperatur T abhängig!
Wenn adiabat:
cv (T ) =
h1 − h2
=
h1 − h2s
du
dT
=
v22 /2
Wenn
2
(v2,max /2)
adiabat: =
h(T, p) = u(T ) + pv → h2 − h1 =
h2 − h1
h2s − h1
/ Pumpe,s
ZT2
c(T )
dT
T
T1
c(T )dT + v(p2 − p1 )
∆s = sout − sin = c · ln
für c=const: h2 − h1 = c(T2 − T1 ) + v(p2 − p1 )
Z
ηKompressor,s
p2
)
P1
h
T2
T1
i
Berechnung der Identropen Enthalpie: (Es gilt s1 = s2,s )
und v1 ≈ v2
(mit v = Geschwindigkeit)
h2s − h1
=
h2 − h1
}
mit c=const (z.B. bei Wasser, durchschnitts Temp nehmen T-A19, int.):
ZT2
T1
v22 /2
2
(v2 /2)rev
1
· si 0 (Ti ) und n = V ·p in [mol] Dabei
wobei: si 0 (Ti ) = M
R·T
ist Ti die abs. Temp. an der Systemgrenze, wo die Wärme
∆Q übertragen wird.
für das ideale Gas gilt:
TH
TH − TC
Ws12
=
(Ws12 )rev
p2
p1
Wenn inkompressibel folgt aus Tds:
4.4.5 Wirkungsgrad Isentrop
ηDüse,s =
{z
ideales Gas
hf g = hg − hf
für inkompressible Fluide cv = cp = c(T )
ηTurbine,s
∆S = n(s0 (T2 ) − s0 (T1 ) − R · ln(
h=u+p·v
Für reversiblen Kreisprozess (Carnot rückwärts):
max =
∆Q
= m · s02 (T2 ) − s01 (T1 ) − R · ln
T
|
H =U +p·V
H
=u+p·v
h=
m
4.4.4 Wirkungsgrad Wärmepumpe
W =
∆S =
h2,s − h1 =
Z
dh =
Z
(T ds + vdp) =
5
vdp
Prozessart
Entropie
Kreisprizess
∆SKP = 0
Bei stationären Prozessen:
4.8.1 Entropiebilanz (geschlossenes System)
S2 −S1 −
X Qi
i
TG
= Serz ≥ 0
TG : Temp an Systemgrenze
In Worten: Serz gibt an, wieviel Wärme flöten ging, ohne
Arbeit zu verrichten.
Serz = S2 − S1 −
Z2 δQ
T
= Serz,
12
+ Serz,
23 + ...
Tabelle A-2 (T) , A-3 (p)
subcooled water
Tabelle A-5; s(T, p) ≈ sf (T )
s(x, T ) = sf + x · (sg − sf )
Ti
4.8.4 Tds-Gleichungen
Prozessart
erzeugte Entropie
Reversibel
Serz = 0
Stationär
Serz = −
P Qi
Serz = −
P Qi
Verbindet Entropie mit U;p,v
T · dS = dU + p · dV = δQ
| {z }
Ti
i
δW
T · dS = dH − V · dp
Ti
i
Abgeschlossen
Tabelle A-4
X Qi
i
Kreisprozess
s=
saturated water
Nassdampf
Momentane Produktionsrate:
Ṡerz = ṁ · (s2 − s1 ) −
4.8.3 Entropie einer reinen einfachen Substanz
superheated vapor
Erzeugte Entropie kann addiert werden:
Kreisprozess
4.8.6 Kondensator / Verflüssiger
Gebiet
1
Serz,
da gilt ṁin
X Q̇i
+ ṁ · (sout − sin )
Ti
= ṁout gilt.
Ṡerz = −
Serz = ∆S
4.8.5 Turbine
4.8.7 Wärmetauscher
4.8.2 Entropiebilanz (offenes System)
Vorgehen:
1. Ersten HS aufstellen.
2. Jeden Wärmestrom SQ , Arbeitsstrom mit dissipativem Anteil Wdiss und Massenstrom ṁ dem zugehärigen Entropiestrom Ṡ zuordnen.
3. Entropiebilanz aufstellen.
Ṡerz =
X
dS X Q̇i X
−
+
ṁout · sout −
ṁin · sin
dt
Ti
i
differentiell:
Ṡerz
d
=
dt
Z
Z
ρ · sdV +
V
A
˙ · dA
~q
+
T
Z
A
~
ρ · s · (~v · dA)
Der Prozess von 2 nach 2s erfolgt isobar
Leistung der reversiblen Turbine:
W = ṁ(h1 − h2 ) + Q̇
wobei
6
Q̇ = T0 (s2 − s1 )
4.8.10 Boiler / Kühler
4.8.8 Düse / Diffusor
0 = Q̇B + ṁ · (h1 − h2 )
ηD,s =
1 2
w
2 2
1 2
w
2 2,max
=
h2 − h1
h2,s − h1
4.8.11 Drossel
w: Geschwindigkeit.
4.8.9 Kompressor / Pumpe
ηK,s =
h2,s − h1
Ẇrev
=
h2 − h1
Ẇ
7
Achtung: Auf Vorzeichen Achten!
Für Turbine / Pumpe:
4.9 Exergie
ε=
Energie setzt sich aus Exergie und Anergie zusammen:
Exergie: Maximaler Anteil, der mittels eines Prozesses
in Ar- beit umgewandelt werden kann, wenn das System
bis zum vollständigen Gleichgewicht mit der Umgebung
betrieben wird.
Anergie: Anteil, der nach dem Erreichen des Gleichgewichtes zurückbleibt.
Ein System im Gleichgewicht besitzt nur noch Anergie. Es
befindet sich in einem thermodynamischen toten Zustand
→ Entropie ist maximal
4.9.2 Offenes System
∆Ėx = ṁ · [h2 − h1 − T0 (s − s0 ) + KE + PE]
Ẇ0,Nutz
T0 · Serz + Ẇ0,Nutz
Verhältnis exergetischer / energetischer Wirkungsgrad:
1 − T T0
ε
Nutz
=
η
1 − T T0
4.9.3 Exergieverlust
Quelle
Ex,verl = T0 · Serz
5 Anhang
4.9.4 Verlust der Arbeitsfähigkeit
ẆVerl = Ẇrev − Ẇ0 = Ėx,rev − Ėx = Ėx,Verl
4.9.1 Geschlossenes System
Ex = U − U0 + p0 · (V − V0 ) − T0 · (S − S0 ) + KE + PE
Z
4.9.5 Exergie einer Wärme
Exergiebilanz:
∆Ex = Ex,2 − Ex,1 = −T0 · Serz
|
{z
Ex,Q =
}
abgeschl. Systeme
Z2 1−
1
Exergieänderung:
∆Ex = U2 −U1 +p0 ·(V2 −V1 )−T0 ·(S2 −S1 )+
Z2 |
T0
T
{z
ηC
{z
Ex,Q
vdp
δQ − [W − p0 (V2 − V1 )] − T0 · Serz
|
{z
Ex,W
n=1
für Polytrope, n 6= 1
Z
Z
= −n ·
vdp
δQ
T
pdv
}
n6=1
4.9.6 Exergetischer Wirkungsgrad
ε=
1
|
Z
=−
n=1
δQ
Beachte Das Integral
1
∆Ex =
vdp
T0
1−
TG
R
für Polytrope, n = 1
Absolute Exergie:
Z2 5.1 Ausführung des Integrals
genutzter Exergiestrom
=
zugeführter Exergiestrom
1−
1−
} | {z }
Ex,verl
=
}
8
T0
TNutz
T0
TQuelle
R
pdv ist bei der Arbeit zu finden.
· Q̇Quelle
T0 · Serz + Ėx,Nutz
pdv
n=1
· Q̇Nutz
Ėx,Nutz
Literatur
[1] http://elearning.zhaw.ch/