Formelsammlung Mathematik für Wirtschaft und - Europa

Formelsammlung Mathematik
für Wirtschaft und Technik
Wolfgang Gohout
Dorothea Reimer
3., überarbeitete und erweiterte Auflage
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 55248
Professor Dr. rer. nat. Dr. rer. pol. Wolfgang Gohout
Professor für Operations Research, Statistik und Mathematik
Studiendekan Wirtschaftsingenieurwesen an der Hochschule Pforzheim
Dr. Dorothea Reimer
Akademische Oberrätin im Bereich Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler der
Professur für Statistik und Ökonometrie an der Justus-Liebig-Universität Gießen
3., überarbeitete und erweiterte Auflage 2005
Druck 5 4 3
ISBN 978-3-8085-5524-8
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb
der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
c 2013 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald
Druck: Media-Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn
Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
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Symbole und Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
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Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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Analysis einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
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Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
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Analysis mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
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Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
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Vorwort zur 1. Auflage
Gewiss, es gibt schon viele Formelsammlungen. Dennoch unterscheiden sie sich zum
Teil erheblich in Umfang und Tiefe, Aufbau, Schwerpunkten, Stoffauswahl und Notation. Die vorliegende Sammlung ist in diesen Punkten abgestimmt auf die Veranstaltungen, welche die Autorin an den Fachbereichen Wirtschaftswissenschaften der
Justus–Liebig–Universität in Gießen sowie an der Philipps–Universität in Marburg
und der Autor im Hochschulbereich Technik der Fachhochschule Pforzheim durchführen. Sie wird als Ergänzung zur Vorlesung sowie zur Lektüre eines oder — besser
— mehrerer Lehrbücher empfohlen und kann während der Klausur, aber hoffentlich
auch während des weiteren Studiums und Berufslebens nützliche Hilfestellung leisten.
Nach den Grundlagen der Mathematik — wie Aussagenlogik, Mengenlehre, Arithmetik und Kombinatorik — wird die Analysis von Funktionen einer Variablen behandelt.
Vor der Analysis von Funktionen mehrerer Variablen wird jedoch — dem Aufbau der
Vorlesungen und dem Bedarf an Notation und Kenntnissen entsprechend — die lineare Algebra vorgestellt, sodass die kompakte Vektor–Matrix–Schreibweise verwendet
werden kann. Obwohl der Reihenfolge der Bereiche in einer Formelsammlung bei
weitem nicht die Bedeutung zukommt wie in einem Lehrbuch, wurde hier dennoch
der Versuch eines sukzessiven Aufbaus unternommen. Auf Gebiete, die über die einführende Mathematikvorlesung hinausgehen, haben die Autoren jedoch bewusst verzichtet. Nur wenige Themen sind spezifisch wirtschaftlich oder spezifisch technisch
ausgerichtet. Insbesondere für Wirtschaftsingenieure sind diese Bereiche natürlich unverzichtbar.
Für die Anregung zu der Entstehung der Formelsammlung wollen wir unserem gemeinsamen akademischen Lehrer, Professor Dr. Horst Rinne, herzlich danken. Weiterhin gebührt unser Dank auch unseren ehemaligen Studentischen Hilfskräften für
die Erfassung des Textes: Frau Sandra Thomae sowie den Herren Matthias Bünding,
Thorsten Lauterbach, Robert Nitschke, Andreas Oest, Heiko Opfer, Markus Spory
und Karsten Volck. Für Fehler sind selbstredend die Autoren verantwortlich. Entsprechende Hinweise werden — auch im Namen nachfolgender Studentengenerationen —
dankbar entgegengenommen.
Vorwort zur 2. Auflage
Die zweite Auflage dieser mathematischen Formelsammlung gab uns die Gelegenheit, Fehler auszumerzen und einige Erweiterungen im Bereich der Differenzen- und
Differentialrechnungen einzubringen. Diese Erweiterungen sind von mehreren Lesern
und Dozenten nachgefragt worden. Dafür und auch für die zahlreichen Verbesserungsvorschläge wollen wir uns bei unseren Lesern herzlich bedanken und sie weiterhin zu
konstruktiver Kritik ermuntern. Unser Dank gilt aber auch dem Verlag Harri Deutsch
für die gute Zusammenarbeit.
Vorwort zur 3. Auflage
Eine dritte Auflage unserer Formelsammlung ist dank der großen Nachfrage erforderlich geworden. Wir haben sie für einige Erweiterungen genutzt, wie etwa Formeln der
ebenen Geometrie, die wir bisher als propädeutisches Wissen ausgeklammert beziehungsweise vorausgesetzt hatten. Sie sind jedoch von so elementarer Bedeutung, dass
wir sie nun aufnehmen wollten. Weiterhin haben wir die Partialbruchzerlegung als
grundlegendes Verfahren zur Integration gebrochen–rationaler Funktionen aufgenommen. Außerdem haben wir die Gelegenheit genutzt, auf ein moderneres, dem Verlagsprogramm angepasstes Layout umzustellen. Für die große Unterstützung seitens des
Verlags möchten wir uns besonders bei Herrn Horn bedanken. Auch für Anregungen
und Verbesserungsvorschläge unserer Leser möchten wir uns ganz herzlich bedanken
und weiterhin zu künftigen Reaktionen und Kritiken ermuntern.
Wolfgang Gohout
[email protected]
Dorothea Reimer
[email protected]
Inhaltsverzeichnis
Symbole und Abkürzungen
Mathematische Logik . . . .
Mengenlehre . . . . . . . .
Arithmetik und Algebra . . .
Kombinatorik . . . . . . . .
Relationen . . . . . . . . . .
Funktionen einer Variablen .
Folgen und Reihen . . . . .
Analysis einer Variablen . .
Lineare Algebra . . . . . . .
Analysis mehrerer Variablen
Griechisches Alphabet . . .
Konstanten . . . . . . . . .
Zahlwörter . . . . . . . . . .
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Mathematische Logik . . . . . . . . . .
Aussagen und Wahrheitswerte . . . . .
Aussageformen . . . . . . . . . . . . .
Aussagefunktionen, Wahrheitstafeln . .
Quantoren und Prädikatenlogik . . . . .
Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . .
Elemente und Mengen . . . . . . . . .
Teilmengen und Potenzmenge . . . . .
Mengenoperationen . . . . . . . . . . .
Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen der Arithmetik und Algebra
Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . .
Aufbau der Zahlenbereiche . . . . . . .
Wichtige Konstanten . . . . . . . . . .
Summen- und Produktoperator . . . . .
Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren
Vorzeichen und Betrag einer Zahl . . .
Ganzer Teil und Reste einer Zahl . . . .
Rechnen mit Null und Unendlich . . . .
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Mathematische Grundlagen
1.1
1.2
1.3
1
1
2
4
5
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8
8
10
11
12
13
13
15
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19
20
22
24
24
26
34
34
39
41
42
43
iv
Inhaltsverzeichnis
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximative Nullstellenbestimmung . . .
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . .
Permutationen, Fakultäten . . . . . . . . .
Beta-Funktion und Gamma-Funktion . . . .
Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . .
Binomial- und Polynomialkoeffizienten . .
Relationen, Ordnungen, Abbildungen . . .
Kartesisches Produkt und Relation . . . . .
Eigenschaften zweistelliger Relationen . . .
Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung .
Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen einer Variablen . . . . . . . . .
Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften von Funktionen . . . . . . .
Transformationen . . . . . . . . . . . . . .
Algebraische Funktionen . . . . . . . . . .
Transzendente Funktionen . . . . . . . . .
Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . .
Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . .
Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . .
Rekursive Folgen . . . . . . . . . . . . . .
Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz
Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . .
Arithmetische Reihe . . . . . . . . . . . .
Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . .
Weitere spezielle Reihen . . . . . . . . . .
Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . .
Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . .
Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .
Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . .
Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . .
Kurs- und Rentabilitätsrechnung . . . . . .
Grundlagen der ebenen Geometrie . . . . .
Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . .
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v
Inhaltsverzeichnis
2
Analysis einer Variablen
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lokale Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Globale Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzen- und Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . .
Erste Ableitungen einiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unbestimmte Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steigung, Krümmung, Extrema und Wendepunkte . . . . . . . . .
Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regeln zur Herleitung weiterer Stammfunktionen . . . . . . . . .
Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechteckformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sehnentrapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S IMPSON-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Monte Carlo-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . .
Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . .
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . .
Differentialgleichungen erster Ordnung mit getrennten Variablen .
Spezielle substituierbare Differentialgleichungen erster Ordnung .
Totale Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B ERNOULLI-Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
R ICCATI-Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . .
Spezielle substituierbare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
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157
157
158
160
vi
3
Inhaltsverzeichnis
Lineare Algebra
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
Basis eines Vektorraums . . . . . . . . . . . . . .
Skalarprodukt und Metrik . . . . . . . . . . . . . .
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplikation mit einem Skalar . . . . . . . . . .
Operationen zwischen Matrizen . . . . . . . . . .
K RONECKER-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare Matrizenoperationen . . . . . . . . . .
Quadratische Form . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ähnliche Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kongruente Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . .
Bedingte Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . . .
Matrizenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung zwei- und dreireihiger Determinanten .
Entwicklungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Umkehrmatrix . . . . . . . . . . .
Berechnung der allgemeinen Umkehrmatrix . . . .
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösung mittels der Inversen . . . . . . . . . . . . .
C RAMER-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G AUSS-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J ORDAN-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeilenoperationsverfahren . . . . . . . . . . . . .
Approximative Lösung . . . . . . . . . . . . . . .
Das Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . .
Charakteristische Gleichung . . . . . . . . . . . .
Eigenwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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168
170
170
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180
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182
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188
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189
191
191
191
194
196
198
198
198
199
199
vii
Inhaltsverzeichnis
4
Analysis mehrerer Variablen
4.1
4.2
4.3
4.4
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . .
Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . .
Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linearität und Homogenität . . . . . . . . . .
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . .
Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . .
Partielles und totales Differential . . . . . . .
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partielle Elastizitäten . . . . . . . . . . . . .
Vektorielles Differenzieren . . . . . . . . . .
Anwendungen der Differentialrechnung . . .
Extremwerte bei zwei Variablen . . . . . . .
Extremwerte bei mehr als zwei Variablen . .
Extremwerte unter Nebenbedingungen . . . .
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . .
Integrale von Funktionen zweier Variablen . .
Integrale von Funktionen mehrerer Variablen
Satz von F UBINI . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle Doppel- und Dreifachintegrale . . .
Stichwortverzeichnis
201
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201
201
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203
205
206
207
207
209
210
210
211
214
214
215
216
217
217
218
219
220
223
Symbole und Abkürzungen
Mathematische Logik
w
f
¬
∧
∨
⇒
⇔
≡
V
∀,
W
∃,
∃!
A(x1 , . . ., xn )
:⇔
Wahrheitswert „wahr“
Wahrheitswert „falsch“
Negation „nicht“
Konjunktion „und“
Disjunktion „oder“
Implikation „wenn . . ., dann . . .“
Äquivalenz „. . . genau dann, wenn . . .“
logische Gleichwertigkeit
Allquantor „Für alle . . .“
Existenzquantor „Es gibt ein . . .“
Eindeutiger Existenzquantor „Es gibt genau ein . . .“
n-stellige Aussagenform
. . . definitionsgemäß äquivalent zu . . .
Mengenlehre
∈
6
∈
=
{,
:=
Ω
∅,
⊂,
6⊂,
$
⊃,
}
{}
⊆
6⊆
⊇
Element von . . .
nicht Element von . . .
Gleichheit von Mengen
Mengenklammern
. . . ist definitionsgemäß gleich . . .
Grundmenge aller betrachteten Objekte
leere Menge
Teilmenge von . . .
nicht Teilmenge von . . .
echte Teilmenge von . . .
Obermenge von . . .
2
P(.)
#, n(.), |.|
∪
∩
\
△
A, Ac
Symbole und Abkürzungen
Potenzmenge von . . .
Anzahl der Elemente von . . .
Vereinigung
Durchschnitt
logische Differenz
symmetrische Differenz
Komplement von A
Arithmetik und Algebra
=
≈
6
=
>
≧, ≥
<
≦, ≤
+
−
·
:, /, —
N
N0
n′
Z
Z+
Z−
Z+0
Z−0
|·|
Q
i−1
Q+
Q−
Gleichheit
ungefähr gleich
Ungleichheit
größer als
größer oder gleich
kleiner als
kleiner oder gleich
Addition „plus“ oder Vorzeichen „plus“
Subtraktion „minus“ oder Vorzeichen „minus“
Multiplikation „mal“
Division „geteilt durch“
Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . .
N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}
Nachfolger von n (n′ = n + 1)
Menge der ganzen Zahlen 0, ±1, ±2, . . .
N = {1, 2, 3, . . .}
{−1, −2, −3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .}
Z− ∪ {0} = {0, −1, −2, . . .}
(absoluter) Betrag einer Zahl
Menge der rationalen Zahlen (Brüche)
Kehrwert von i, 1/i
positive Rationalzahlen, {p ∈ Q : p > 0}
negative Rationalzahlen, {p ∈ Q : p < 0}
Arithmetik und Algebra
Q+0
Q−0
±
R
R+
R−
R+0
R−0
Q+ ∪ {0}
Q− ∪ {0}
plus bzw. minus
Menge der reellen Zahlen
Menge der positiven reellen Zahlen, {r ∈ R : r > 0}
Menge der negativen reellen Zahlen, {r ∈ R : r < 0}
R+ ∪ {0}
R− ∪ {0}
Potenz „m hoch n“
mn
√
n
x
Wurzel „n-te Wurzel aus x“
sup M
Supremum von M
inf M
Infimum von M
C
Menge der komplexen Zahlen
i
imaginäre Einheit, i2 = −1
iR
Menge der imaginären Zahlen
z
zu z konjugiert komplexe Zahl
(r, φ )
Polarkoordinaten-Darstellung einer komplexen Zahl
arctan
Arcustangens
sin
Sinus
cos
Kosinus
π
lim
e
γ
Kreiszahl, L UDOLFsche Zahl, π ≈ 3,14159
∑
Summenoperator
∏
exp(·)
Produktoperator
loga c
Logarithmus von c zur Basis a ∈ R+ \{1}
lg x
Limes, Grenzwert
E ULERsche Zahl, e ≈ 2,71828
E ULERsche Konstante, γ ≈ 0,5772
Exponentialfunktion
dekadischer Logarithmus, Zehnerlogarithmus
ln x
natürlicher Logarithmus, Logarithmus zur Basis e
ld x
binärer Logarithmus, Zweierlogarithmus
sign(x)
Signum, Vorzeichen von x
[x]G
G AUSS -Klammer, größte ganze Zahl kleiner/gleich x
fix(x)
ganzer Teil von x (ohne Nachkommastelle)
3
4
a ≡ b mod m
a 6≡ b mod m
mod(a, m)
m|a
m∤a
a
n
∞
pn (x)
p≡0
p(x1 , x2 , . . ., xk )
D
[a, b]
(a, b], ]a, b]
[a, b), [a, b[
(a, b), ]a, b[
f ′ (x)
f ′′ (x)
max f (x)
[a,b]
min A
max A
Rb
a
Symbole und Abkürzungen
a ist kongruent b modulo m, d. h. a und b lassen bei Division durch
m denselben Rest
a ist nicht kongruent b modulo m
ganzzahliger Rest der Division von a durch m
m ist Teiler von a
m ist nicht Teiler von a
Binomialkoeffizient „a über n“
unendlich
Polynom vom Grad n
p ist identisch null, p(x) = 0 für alle x ∈ R
Polynom in den Variablen x1 , x2 , . . ., xk
Diskriminante einer Gleichung
abgeschlossenes Intervall von a bis b
linksoffenes Intervall von a bis b
rechtsoffenes Intervall von a bis b
offenes Intervall von a bis b
erste Ableitung der Funktion f (x)
zweite Ableitung der Funktion f (x)
Maximum der Funktion f (x) im Intervall [a, b]
Minimum der Menge A
Maximun der Menge A
bestimmtes Integral
Kombinatorik
Φn (·)
P(n)
n!
P(n; n1 , n2 , . . ., nk )
n
n1 , n2 , . . ., nk
B(·, ·)
Γ(·)
B p (·, ·)
Permutation einer n-elementigen Menge
Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung
n-Fakultät, n! = 1 · 2 · . . . · n
Anzahl der Permutationen mit Wiederholung
Polynomialkoeffizient
Beta-Funktion
Gamma-Funktion
unvollständige Beta-Funktion
5
Relationen
I p (·, ·)
n
, cnj
j
a
n
γ (·, ·)
Beta-Verteilungsfunktion
Binomialkoeffizient, n, j ∈ N0 [4mm]
allgemeiner Binomialkoeffizient, a ∈ R, n ∈ N0
unvollständige Gamma-Funktion
Komplement der unvollständigen Gamma-Funktion
Γ(·, ·)
Gamma-Verteilungsfunktion
P(·, ·)
γ ⋆ (a, x)
x−a · P(a, x)
V (N, n)
Anzahl der Variationen ohne Wiederholung
V ⋆ (N, n)
Anzahl der Variationen mit Wiederholung
K(N, n)
Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung
K ⋆ (N, n)
Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung
min(·, ·)
Minimum zweier Zahlen
Relationen
(a, b)
geordnetes Paar
(a1 , a2 , . . ., an )
n-Tupel

M1 × M2 × . . . × Mn 
n
bzw.
× Mi
i=1
Mn
aRb
Vb R
Nb R
V
W

kartesisches Produkt, Kreuzprodukt, Produktmenge
n-faches Produkt von M, M n = M × M × · · · × M
a steht in Relation R zu b, (a, b) ∈ R
Vorbereich der Relation R
Nachbereich der Relation R
Nullrelation, leere Menge
Allrelation
R−1
Umkehrrelation
a≃b
a äquivalent b
6
Symbole und Abkürzungen
K
Klasseneinteilung, Zerlegung
[a]
Klasse des Repräsentanten a
M/R
Faktormenge, Quotient von M nach R
(M, R)
geordnete Menge, falls R Halbordnung auf M
≤, ⊑, ⊆
kleiner oder gleich (im Sinne einer reflexiven Ordnung)
R|A
Teilordnung von R in A
max A
größtes Element, Maximum von A
sup A
obere Grenze, Supremum von A
min A
kleinstes Element, Minimum von A
inf A
untere Grenze, Infimum von A
K(A)
Bild von A unter der Korrespondenz K
K −1 (B)
Urbild von B unter der Korrespondenz K
D(K)
W(K)
Definitionsbereich der Korrespondenz K
f :M→N
Abbildung f von M in N
G( f )
Graph von f , {(x, f (x)) : x ∈ D( f )}
<, ❁, ⊂
kleiner (im Sinne einer irreflexiven Ordnung)
Wertebereich der Korrespondenz K
x 7→ f (x)
Abbildungsvorschrift: x wird auf f (x) abgebildet
f ≡z
f ist identisch gleich z, ∀x : f (x) = z
1A (·)
Indikatorfunktion der Menge A
idA (·)
identische Abbildung der Menge A
f |A
Einschränkung von f auf die Menge A
(an )n∈A
Zahlenfolge
g◦ f
Verknüpfung der Abbildungen f und g
f −1 (y)
Umkehrabbildung von f an der Stelle y
f (A)
Bild von A unter der Abbildung f
f −1 (B)
Urbild von B unter der Abbildung f
|·|
Mächtigkeit, Kardinalzahl
≦, ≤
Kleiner/Gleich-Relation für Kardinalzahlen
<
Kleiner-Relation für Kardinalzahlen
ℵ
Aleph, Symbol für transfinite Kardinalzahlen
7
Funktionen einer Variablen
Funktionen einer Variablen
f (x)
Funktionswert an der Stelle x
Uδ (x)
δ -Umgebung von x; (x − δ , x + δ ) ⊂ R
pn (x)
Polynom in der Variablen x
limx↓0 , limx→0+
rechtsseitiger Grenzwert (bei Null)
limx↑0 , limx→0−
linksseitiger Grenzwert (bei Null)
sinh(·)
hyperbolischer Sinus
cosh(·)
hyperbolischer Kosinus
tanh(·)
hyperbolischer Tangens
coth(·)
hyperbolischer Kotangens
arsinh(·)
Areasinus, sinh−1
arcosh(·)
Areakosinus, cosh−1
artanh(·)
Areatangens, tanh−1
arcoth(·)
Areakotangens, coth−1


Sinus





Kosinus



Tangens 
Trigonometrische Funktionen
Kotangens 





Sekans




Kosekans
sin(·)
cos(·)
tan(·)
cot(·)
sec(·)
cosec(·)
∞
∑ ...
unendliche Reihe
i=0
arcsin(·)
Arcussinus, sin−1
arccos(·)
Arcuskosinus, cos−1
arctan(·)
Arcustangens, tan−1
arccot(·)
Arcuskotangens, cot−1
arcsec(·)
Arcussekans, sec−1
arccosec(·)
Arcuskosekans, cosec−1





















Zyklometrische Funktion
8
Symbole und Abkürzungen
Folgen und Reihen
an
allgemeines Folgenglied
(an )
Folge
∆
Vorwärtsdifferenzenoperator
k-te Differenzenfolge
(∆k an )n
an → c bzw.
lim an = c
)
c ist Grenzwert der Folge (an )
an → ∞ bzw.
lim an = ∞
)
(an ) wächst über alle Grenzen
n→∞
n→∞
n
n-te Partialsumme, ∑ ai
sn
i=1
∞
Wert der Reihe (sn ), manchmal auch für die Reihe selbst verwendet
∑ an
n=1
(an ) ∗ (bn )
Faltung der Folgen (an ) und (bn )
Analysis einer Variablen
lim f (x)
Grenzwert (Limes) von f (x) für x → x0
f (x) −−−−→ y0
y0 ist Grenzwert von f (x) für x → x0
lim, lim
linksseitiger Grenzwert bei x0
lim, lim
rechtsseitiger Grenzwert bei x0
lim , lim
Grenzwert für x → ∞ bzw. x → −∞
o(g(x))
O(g(x))
∆y ∆x klein o von g(x)
groß O von g(x)
x→x0
x→x0
x↑x0 x→x−
0
x↓x0 x→x+
0
x→∞ x→−∞
x, x0
)
Differenzenquotient
L ANDAU -Symbole
f (x) − f (x0 )
mit y = f (x)
x − x0
9
Analysis einer Variablen
d f (x) dx x=x0
df
(x0 )
dx
f ′ (x0 )
dy dx x=x0
y′x=x0















d 2 f (x)
dx2
d n f (x)
f (n) (x),
dxn
f ′′ (x),
Differentialquotient lim














0 ∞
0, ∞,
0 · ∞,
∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 00
∞
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
zweite Ableitung von f (x)
n-te Ableitung von f (x)
)
unbestimmte Ausdrücke
Funktionenreihe
∑ fi (x)
i=1
∞
∑ ai (x − x0 )i
Potenzreihe
ρ
Konvergenzradius
i=0
lim sup bn , lim bn
n→∞
n→∞
∑
f (i) (x0 )
i!
i=0
(x − x0 )i
Rb
a
R∞
unbestimmtes Integral von f (x)
f (x) dx
bestimmtes Integral von f (x) in [a, b]
f (x) dx
f (x) dx
a
Rb
−∞
R∞
−∞
f (x) dx













f (x) dx 

R( f )
TAYLOR -Reihe von f (x) um x0
Punktelastizität von y im Punkt x
η (y|x)
R
n→∞
Restglied der TAYLOR -Entwicklung
Rn (x)
∞
limes superior, lim sup{bk : k ≥ n}
uneigentliche Integrale
Restglied bei der Quadratur von f
10
Symbole und Abkürzungen
Lineare Algebra
~a,~b, . . .
~a′ ,~b′ , . . .
~0
~1
~e j
Ln
s(~a,~b), <~a,~b >, ~a′~b
d(~a,~b)
Spaltenvektoren
transponierte Vektoren, Zeilenvektoren
Nullvektor
Einservektor
j-ter Einheitsvektor
Vektorraum der Vektoren der Länge n
Skalarprodukt von ~a und ~b
Metrik, Abstand zwischen ~a und ~b
Rn
n-dimensionaler reeller E UKLIDischer Raum,
Rn := {~x :~x ′ = (x1 , . . ., xn ), xi ∈ R}
Betrag, Norm von ~a
(kleinerer) Winkel zwischen ~a und ~b
|~a|
∢(~a,~b)
~a ⊥ ~b
~A, ~A(m,n)
~0(m,n)
~1(m,n)
~E(n,n)
~A′
~A + ~B
~A − ~B
~A~B
~An
P(~A)
~x ′~A~x
~A−1
~A−
~Ac
⊗
sp(~A)
rg(~A)
det (~A), |~A|
#(i1 , . . ., in )
~a senkrecht ~b
Matrix mit m Zeilen und n Spalten
m×n-Nullmatrix
m×n-Einsermatrix
n×n-Einheitsmatrix
transponierte Matrix
Summe zweier Matrizen
Differenz zweier Matrizen
Produkt zweier Matrizen
n-te Potenz einer Matrix
Matrizenpolynom in ~A
quadratische Form der Matrix ~A
Umkehrmatrix, Inverse von ~A
allgemeine Umkehrmatrix, Pseudoinverse von ~A
bedingte Umkehrmatrix, conditional inverse von ~A
K RONECKER -Produkt
Spur der Matrix ~A
Rang der Matrix ~A
Determinante der Matrix ~A
Anzahl der Inversionen der Permutation (i1 , . . ., in )