Tabellenbuch für Metallbautechnik

TMB 001-004 Titel 2014_TMB 2011 24.06.14 08:19 Seite 1
E U R O PA - F A C H B U C H R E I H E
für Metallberufe
Tabellenbuch für
Metallbautechnik
Herausgegeben von Armin Steinmüller
Autoren:
M. Fehrmann
Dr. E. Ignatowitz
D. Köhler
F. Köhler
G. Lämmlin
H.-J. Pahl
A. Steinmüller
A. Weingartner
8. verbesserte Auflage
Europa-Nr.: 16011
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
TMB 001-004 Titel 2014_TMB 2011 24.06.14 08:19 Seite 2
Autoren
Fehrmann, Michael
Ignatowitz, Eckhard
Köhler, Dagmar
Köhler, Frank
Lämmlin, Gerhard
Pahl, Hans-Joachim
Steinmüller, Armin
Weingartner, Alfred
Dipl.-Ing. (FH), Studienrat
Dr.-Ing., Studienrat
Dipl.-Ing.-Päd.
Dipl.-Ing.-Päd.
Dipl.-Ing.; Studiendirektor
Oberstudienrat
Dipl.-Ing.
Studiendirektor i. R.
Waiblingen
Waldbronn
Dresden
Dresden
Neustadt/Weinstraße
Hamburg
Hamburg
München
Für die Mitarbeit an der 1. bis 5. Auflage dieses Buches dankt der Arbeitskreis
Herrn Jürgen Hohenstein und Herrn Werner Röhrer;
für die Mitarbeit an der 1. bis 6. Auflage Herrn Gunter Mahr.
Lektorat und Leitung des Arbeitskreises:
Steinmüller, Armin; Dipl.-Ing., Verlagslektor, Hamburg
Bildbearbeitung:
Zeichenbüro des Verlages Europa-Lehrmittel, Ostfildern
Die Angaben in diesem Tabellenbuch beziehen sich auf die neuesten Ausgaben der Normblätter und
sonstiger amtlicher Regelwerke. Es sind jedoch nur auf das Wesentliche beschränkte ausgewählte Teile
der Originale. Verbindlich für die Anwendung sind nur die Original-Normblätter mit dem neuesten
Ausgabedatum des DIN (Deutsches Institut für Normung e.V.) selbst. Sie können durch die Beuth
Verlag GmbH, Burggrafenstr. 6, 10787 Berlin, bezogen werden.
Auch andere Inhalte, die auf Verordnungen, Regelwerken oder Herstellervorgaben unterschiedlicher
Herkunft basieren, dürfen nur an Hand der jeweils neuesten Ausgabe der Originalfassung angewendet
werden. In diesem Nachschlagewerk stehen in der Regel nur Auszüge aus den oft umfangreichen Unterlagen.
Das vorliegende Werk wurde mit aller gebotenen Sorgfalt erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren,
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Satz- und Druckfehler keine Haftung.
In diesem Buch wiedergegebene Namen und Bezeichnungen dürfen nicht als frei zur allgemeinen Benutzung im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung betrachtet werden. Bei der Entstehung dieses Buches wurde auf eventuelle Urheberrechte Dritter Rücksicht genommen. Sollten
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8. Auflage 2014
Druck 5 4 3 2 1
Alle Drucke dieser Auflage sind im Unterricht nebeneinander einsetzbar, da sie bis auf die korrigierten
Druckfehler und kleine Normänderungen unverändert sind.
ISBN 978-3-8085-1609-6
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Satz: rkt, 42799 Leichlingen, www.rktypo.com
Druck: B.O.S.S Druck und Medien GmbH, 47574 Goch
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Vorwort
Während der letzten Jahrzehnte hat sich die Berufsgruppe der Metallbauer und Konstruktionsmechaniker zusammen mit den Stahl- und
Metallbauunternehmen stark entwickelt – sowohl auf Grund neuer
Tendenzen in der Architektur als auch wegen erhöhter Anforderungen
beim Wärmeschutz von Gebäuden als Beitrag zum Klimaschutz. Die für
diese Berufe herausgegebene Fachbuchreihe des Verlages EUROPALEHRMITTEL besitzt mit diesem Tabellenbuch eine für Unterricht und
Praxis notwendige aktuelle Basis an Daten und Fakten. Es ist aber auch
unabhängig vom Schulunterricht als Nachschlagewerk geeignet.
In erster Linie ist diese Tabellen- und Formelsammlung für die Berufsausbildung der Metallbauer und Konstruktionsmechaniker bestimmt.
Um den vielfältigen Anforderungen der beruflichen Weiterbildung Rechnung zu tragen, wurden darüber hinaus Informationen aufgenommen,
die für den Unterricht in Meisterschulen und Fachschulen Bedeutung
haben. Außerdem enthält dieses Nachschlagewerk für Studierende der
Architektur und des Bauwesens viele wichtige Angaben und kann ein
hilfreicher Wegweiser zu anderen Quellen mit weitergehenden Detailinformationen sein.
Der Inhalt des Buches gliedert sich in die nebenstehend aufgeführten
acht Themenbereiche. Die Vielfalt der in diesem Buch dargebotenen
Informationen bedingt, dass hin und wieder Inhalte einer Überschrift
zugeordnet werden, die möglicherweise auch an anderer Stelle stehen
könnten.
3
Mathematische
Grundlagen
M
Naturwissenschaftlichtechnische Grundlagen
N
Arbeitsplanung
Technische Kommunikation
Arbeitssicherheit
Umweltschutz
A
W
Jeder der 8 Hauptteile enthält Formeln, Tabellen, Definitionen und in
manchen Fällen auch knappe Erläuterungen. In den Tabellen sind
wesentliche Inhalte von DIN-Normen, Regeln der Behörden und Berufsgenossenschaften, Stoffwerte und Firmenangaben zu speziellen Verfahren und Konstruktionslösungen zu finden.
Werkstoffe
Zum schnellen Aufsuchen bestimmter Sachverhalte dienen die umfangreichen Teil-Inhaltsverzeichnisse sowie ein Sachwortverzeichnis mit englischer Übersetzung. Inhaltlich ähnliche Seiten wurden nach denselben
grafischen Prinzipien benutzerfreundlich gestaltet. Bei Normteilen,
Werkstoffen, vielen Bauteilen sowie bei Kurzangaben in Zeichnungen
wird jeweils ein Bezeichnungsbeispiel aufgeführt. Zu Beginn eines entsprechenden Sachteils findet sich außerdem häufig eine Erläuterung
zum Aufbau der Bezeichnungsbeispiele.
Bauteile
Befestigungsmittel
Verbindungsmittel
B
Die jetzt vorliegende 8. Auflage entspricht in der Abfolge von Seiten und
Themen der vorherigen. Alle Normangaben wurden überprüft und, falls
notwendig, aktualisiert.
Fertigungstechnik
F
Konstruktionselemente
und Bauteile
K
Steuerungs- und
Regelungstechnik,
NC-Technik
S
Der Umfang des gesamten Fachgebietes und die Vielfalt der Informationen aus den in permanenter Weiterentwicklung befindlichen einzelnen Sachgebieten des Metall- und Stahlbaus zwang uns im Interesse
einer überschaubaren Seitenzahl dazu, manche von einzelnen Lesern
gewünschte Sachverhalte nicht zu berücksichtigen.
Wir danken unseren Lesern für ihre Zuschriften und hoffen auch weiterhin auf ihre Meinungsäußerungen. Ebenso sind wir stets dankbar für
Fehlerhinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge, die wir Sie
bitten, an [email protected] zu schicken.
Sommer 2014
Autoren und Verlag
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4
Inhaltsübersicht
M Technische Mathematik
M
N
A
N
B
F
Naturwissenschaftlichtechnische Grundlagen
S
30
34
36
37
51
59
61
76
B
79
Grundlagen der Technischen Kommunikation . . . 80
Grundlagen des Technischen Zeichnens . . . . . . . . 81
Geometrische Grundkonstruktionen . . . . . . . . . . . 96
Maßeintragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Grenzmaße und Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Oberflächenbeschaffenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Wärmebehandlungsangaben . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Schweißzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Metall- und Stahlbauzeichnungen . . . . . . . . . . . . 132
Rohrleitungsdarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Bauzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Gesundheit und Sicherheit am Arbeitsplatz . . . . 150
Gefahrstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
159
Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Werkstoffnummern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungssystem für Stähle . . . . . . . . . . . . . .
Stahlsorten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Harte Schneidstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stahlbleche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Warmgewalzte Stahlprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bauteile und Erzeugnisse aus Stahl . . . . . . . . . . .
Flächen- und längenbezogene Massen . . . . . . . .
Nichteisenmetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kunststoffe und Kunststofferzeugnisse . . . . . . . .
Schmierstoffe und Hydrauliköle . . . . . . . . . . . . . .
Korrosionsschutz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wärmebehandlung der Stähle . . . . . . . . . . . . . . .
Werkstoffprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RAL-Farbregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
162
164
169
173
174
177
188
194
196
198
204
207
209
220
223
227
Bauteile, Befestigungsmittel,
Verbindungsmittel
229
Gewinde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Schrauben, Eigenschaften und Belastungen . . . . 235
Schraubenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Muttern und Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Bolzen, Splinte, Kerbstifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Niete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Befestigungselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Montagetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Anschlagmittel, Handzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . 284
F
Fertigungstechnik
291
Biegetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schmieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mechanisches und thermisches Trennen . . . . . . .
Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spanende Fertigungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . .
Schweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Löten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K
Arbeitsplanung –Technische
Kommunikation – Arbeitssicherheit – Umweltschutz
W Werkstoffe
K
29
Kräfte und Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbeit, Leistung, Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Druck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statik, Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einwirkungen auf Tragwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bauphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
W
5
Formelzeichen, mathematische Zeichen . . . . . . . . . 6
Einheiten, Umwandlungstabellen. . . . . . . . . . . . . . . 7
Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Volumen, Oberflächen, Masse. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Längenbezogene und flächenbezogene Masse. . . 27
Schwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Konstruktionselemente
und Bauteile
347
Schlösser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Türöffneranlage, Schließanlagen . . . . . . . . . . . . .
Türen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bänder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Treppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geländer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verglasungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fugendichtstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sonnenschutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stahlbau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metallbauelemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rohrrahmenprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Instandhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S
Steuerungs- und Regelungstechnik, CNC-Technik
348
354
357
366
368
377
387
397
402
419
421
423
442
444
452
453
Grundbegriffe der Steuerungs- und
Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltalgebra und elektrotechnische
Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schutzmaßnahmen gegen gefährliche
Körperströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logische Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GRAFCET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionsdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pneumatik und Hydraulik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steuerung von Werkzeugmaschinen. . . . . . . . . . .
Datenverarbeitung und Internet . . . . . . . . . . . . . .
Normen und Regeln
292
302
303
306
311
318
338
340
341
454
455
459
460
464
466
467
476
485
487
Sachwortverzeichnis
490
Quellenverzeichnis
500
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 5
M
Technische Mathematik
Allgemeine Grundlagen
6
Formelzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einheiten im Messwesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umrechnung von Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
9
Mathematische Grundlagen
10
Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorzeichenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klammerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzieren – Radizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umformen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umstellen von Formeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schlussrechnung – Dreisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mischungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
11
12
13
13
14
14
Winkel
15
Winkelarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zehnerpotenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelsumme im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelfunktionen in rechtwinkligen Dreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelfunktionen im schiefwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen des Sinus- und Kosinussatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
15
15
16
16
16
Längen
17
Gestreckte Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Rohlängen von Schmiede- und Presstücken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Teilung von Längen, Randabstände. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Flächen
18
Gradlinig begrenzte einfache Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lehrsatz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lehrsatz des Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichseitiges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regelmäßiges und unregelmäßiges Vieleck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreis – Kreisring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisringausschnitt – Kreisausschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisabschnitt – Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammengesetzte Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
19
19
19
19
20
20
21
21
22
22
Volumen – Oberflächen
23
Würfel – Vierkantprisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zylinder – Hohlzylinder –Torus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pyramide – Pyramidenstumpf – Kegel – Kegelstumpf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kugel – Kugelabschnitt – Kugelausschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächen und Volumen nach der Guldin’schen Regel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
24
25
25
Volumen – Masse
26
Volumen von Werkstücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Masse von Werkstücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Längenbezogene und flächenbezogene Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Schwerpunkte
5
M
N
A
W
B
F
K
28
Linienschwerpunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Flächenschwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Erläuterungen zu den folgenden 7 Teilinhaltsverzeichnissen:
Um eine optimale Übersichtlichkeit und schnelles Auffinden zu erreichen, wurden manchmal Überschriften
verkürzt, zusammengefasst oder auch anders formuliert als auf den jeweiligen Seiten. Dabei bleiben die inhaltlichen Aussagen aber stets gewahrt.
S
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 6
6
Allgemeine Grundlagen
Formelzeichen
M
N
Formelzeichen
Bedeutung
Länge, Fläche, Volumen, Winkel
§
Länge
b
Breite
h
Höhe, Tiefe
r, R
Radius, Halbmesser
d, D Durchmesser
s
Weglänge, Kurvenlänge
¬
Wellenlänge
A, S Fläche,
Querschnittsfläche
V
Volumen
å, ∫, © ebener Winkel
„
Raumwinkel
t
T
f, ~
n
∑
v, u
a
g
å
qv, V
p
dB(A)
c
Lp
LN
Û
N
1)
Zeit, Dauer
Periodendauer
Frequenz
Drehzahl,
Umdrehungsfrequenz
Winkelgeschwindigkeit
Geschwindigkeit
Beschleunigung
örtliche Fallbeschleunigung
Winkelbeschleunigung
Volumenstrom
F
S
2)
nicht in DIN 1304; siehe Seite 169 ff.
3)
Bedeutung
Wärme
thermodynamische
Temperatur3)
Temperaturdifferenz3)
Celsius-Temperatur3)
Längenausdehnungskoeffizient
Volumenausdehnungskoeffizient
Wärme, Wärmemenge
Wärmeleitfähigkeit
Wärmeübergangskoeffizient3)
Wärmedurchgangskoeffizient3)
Wärmestrom3)
Temperaturleitfähigkeit
Wärmekapazität
spez. Wärmekapazität
spezifischer Heizwert
Elektrizität
Ladung, Elektrizitätsmenge
Spannung
Kapazität
Permittivität
Stromstärke
Induktivität
Permeabilität
Widerstand
spezifischer Widerstand
elektrische Leitfähigkeit
Blindwiderstand
Scheinwiderstand
Phasenverschiebungswinkel
Windungszahl
Abweichungen von DIN 1304 s.S. 61 bis 71
Mathematische Zeichen
Math.
Zeichen
K
Schalldruck
Schallpegel1)
Schallgeschwindigkeit
Schalldruckpegel
Lautstärkepegel
Schallintensität
Lautheit
nicht in DIN 1304; siehe Seite 72
Bedeutung
Mechanik
Masse
T, ı
längenbezogene Masse
flächenbezogene Masse
¤T, ¤t,
¤«
Dichte
Trägheitsmoment,
t, «
åî, å
Massenmoment
2. Grades
F
Kraft
åV, ©
FG, G Gewichtskraft
M
Drehmoment
Q
T
Torsionsmoment
¬
Mb
Biegemoment
å
p
Druck
pabs
absoluter Druck
k
pamb Atmosphärendruck
pe
Überdruck
Ï, Q
a
‚
Normalspannung
C
†
Schubspannung
A
Bruchdehnung2)
c
™
Dehnung, rel. Längenänd.
Hu
E
Elastizitätsmodul
G
Schubmodul
Reibungszahl
μ, f
Q
W
Widerstandsmoment
Û
Flächenmoment
U
2. Grades
C
W, E Arbeit, Energie
™
Wp, Ep potenzielle Energie
Û
Wk, Ek kinetische Energie
L
P
Leistung
μ
ª
Wirkungsgrad
R
®
Licht, elektromagnet. Strahlung
©, Δ
Ev
Beleuchtungsstärke
X
f
Brennweite
Z
n
Brechzahl
ƒ
Ûe
Strahlstärke
Qe, W Strahlungsenergie
N
Akustik
B
Formelzeichen
m
m’
m”
®
J
Zeit
A
W
vgl. DIN 1304-1 (1994-03)
Formelzeichen
$
≠
...
=
=
def
<
à
>
á
+
–
·
–, /, :
Í
~
Sprechweise
ungefähr gleich
entspricht
und so weiter bis
gleich
ungleich
ist definitionsgemäß
gleich
kleiner
kleiner gleich
größer
größer gleich
plus
minus
mal, multipliziert mit
durch, geteilt durch, zu
Summe
proportional
Math.
Zeichen
π
ax
y
y
n
|x|
∞
k
||
DD
Dd
S
䉭
¯
¤x
Sprechweise
Math.
Zeichen
pi (Kreiszahl = 3,14159...)
ln
log
a hoch x, x-te Potenz von a
lg
Quadratwurzel aus
sin
n-te Wurzel aus
cos
Betrag von x
tan
unendlich
cot
senkrecht auf
arcsin
ist parallel zu
%
gleichsinnig parallel
‰
gegensinnig parallel
(), [ ], { }
Winkel
Dreieck
AB
kongruent zu
AB
a’, a”
Delta x
(Differenz zweier Werte)
a1, a2
៣
Sprechweise
natürlicher Logarithmus
Logarithmus (allgemein)
dekadischer Logarithmus
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
Arcussinus
Prozent, vom Hundert
Promille, vom Tausend
runde, eckige, geschweifte
Klammer auf und zu
Strecke AB
Bogen AB
a Strich, a zwei Strich
a eins, a zwei
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 7
Allgemeine Grundlagen
7
Einheiten im Messwesen
Die Einheiten im Messwesen sind im Internationalen Einheitensystem (SI = Systeme International) festgelegt.
Es baut auf den sieben Basiseinheiten (Grundeinheiten) auf, von denen weitere Einheiten abgeleitet werden.
➞ vgl. DIN 1301-1 (2002-10), -2 (1978-02), -3 (1979-10)
Basisgrößen und Basiseinheiten
Basiseinheit
Länge
Meter
Einheitenzeichen
m
Masse
Kilogramm
kg
s
kg
Basisgröße
M
A
K
mo
l
m
cd
Zeit
Sekunde
s
elektrische Stromstärke
Ampere
A
Temperatur
Kelvin
K
Stoffmenge
Mol
mol
Lichtstärke
Candela
cd
N
Größen und Einheiten
Größe
Formelzeichen
Einheit
Name
Zeichen
Beziehung
Bemerkung
A
Länge, Fläche, Volumen, Winkel
Länge
Fläche
Volumen
ebener
Winkel
(Winkel)
§
A, S
V
Meter
m
Quadratmeter m2
Ar
Hektar
a
ha
Kubikmeter
m3
Liter
î, L
å, ∫, ©... Radiant
rad
1m
= 10 dm = 100 cm
= 1000 mm
1 mm = 1000 µm
1 km = 1000 m
1 inch = 1 Zoll = 25,4 mm
1 m2 = 10 000 cm2
= 1 000 000 mm2
1a
= 100 m2
1 ha = 100 a = 10 000 m2
100 ha= 1 km2
Zeichen S nur für Querschnittsflächen
1 m3 = 1000 dm3
= 1 000 000 cm3
1î
= 1L = 1 dm3 =
= 10 dî = 0,001 m3
1 mî = 1 cm3
1 rad = 1 m/m = 57,2957...°
= 180°/π
π
1°
= rad = 60’
180
Grad
°
Minute
’
1’
= 1°/60 = 60’’
Sekunde
’’
1’’
= 1’/60 = 1°/3600
Sekunde
Minute
Stunde
Tag
Jahr
s
min
h
d
a
1 min = 60 s
1h
= 60 min = 3600 s
1d
= 24 h
1 durch
Sekunde
1 durch
Minute
1/s
1/s = 60/min = 60 min–1
In der Luft- und Seefahrt gilt:
1 internationale Seemeile = 1852 m
Ar und Hektar nur für Flächen von
Grundstücken
Meist für Flüssigkeiten und Gase
1 rad ist der Winkel, der aus einem
um den Scheitelpunkt geschlagenen
Kreis mit 1 m Radius einen Bogen von
1 m Länge schneidet.
Bei techn. Berechnungen z.B. nicht
å = 33° 17’ 27,6’’, sondern besser
å = 33,291° verwenden.
Zeit
Zeit,
Zeitspanne,
Dauer
t
Drehzahl,
Umdrehungsfrequenz
n
Geschwindigkeit
v
Beschleunigung
a, g
3 h bedeutet eine Zeitspanne (3 Std.)
3h bedeutet einen Zeitpunkt (3 Uhr).
Werden Zeitpunkte in gemischter
Form, z.B. 3h24m10s geschrieben, so
kann das Zeichen min auf m verkürzt
werden.
Meter durch
1 m/s = 60 m/min
Sekunde m/s
= 3,6 km/h
Meter durch
1m
m/min 1 m/min = Minute
60 s
Kilometer
1m
100 0 m
d. Stunde km/h
1 km/h = = 3,6 s
3 60 0 s
Geschwindigkeit bei der Seefahrt in
Knoten (kn).
1 kn = 1,852 km/h
Meter durch
Sekunde
m/s2
hoch zwei
Formelzeichen g nur für Fallbeschleunigung.
g = 9,81 m/s2
1 m/s
1 m/s = 1s
B
F
K
1
1/min 1/min = 1 min–1 = 60 s
2
W
Mile per hour = 1 mile/h = 1 mph
1 mph = 1,60934 km/h
S
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 8
8
Allgemeine Grundlagen
➔ vgl. DIN 1301-1 (2002-10), -2 (1978-02), -3 (1979-10)
Einheiten im Messwesen
Größen und Einheiten (Fortsetzung)
M
Größe
Einheit
Formelzeichen
Name
Beziehung
Zeichen
Bemerkung
Mechanik
Masse
N
A
W
kg
g
Mg
t
1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg
1t
= 1000 kg = 1 Mg
0,2 g = 1 Kt
Gewicht im Sinne eines Wägeergebnisses oder eines Wägestückes
ist eine Größe von der Art der
Masse (Einheit kg).
Masse für Edelsteine in Karat (Kt).
m’
Kilogramm
durch Meter
kg/m
1 kg/m = 1 g/mm
Die längenbezogene Masse wird
z.B. zur Berechnung der Masse
(Gewicht) von Stabwerkstoffen,
Profilen und Rohren verwendet.
flächenbezogene
Masse
m’’
Kilogramm
durch Meter
hoch zwei
kg/m2
1 kg/m2 = 0,1 g/cm2
Die flächenbezogene Masse wird
z.B. zur Berechnung der Masse von
Blechen verwendet.
Dichte
®
Kilogramm
durch Meter
hoch drei
kg/m3
1000 kg/m3 =
=
=
=
=
Die Dichte ist eine vom Ort
unabhängige Größe.
Trägheitsmoment,
Massenmoment
2. Grades
J
Kilogramm
mal Meter
hoch zwei
kg · m2
Kraft
F
Drehmoment
Biegemoment
Torsionsmoment
Druck
mechanische
Spannung
Flächenmoment
2. Grades
F
Kilogramm
Gramm
Megagramm
Tonne
längenbezogene
Masse
Gewichtskraft
B
m
Newton
N
FG, G
M
Mb
T
p
‚, †
Û
Newton
mal Meter
Pascal
1 t/m3
1 kg/dm3
1 g/cm3
1 g/mî
1 mg/mm3
früher: Massenträgheitsmoment
1N
kg · m
J
= 1 = 1 s2
m
3
1 MN = 10 kN = 1 000 000 N
Die Kraft 1 N bewirkt bei der Masse
1 kg in 1 s eine Geschwindigkeitsänderung von 1 m/s.
1 Pa = 1 N/m2 = 0,01 mbar
1 bar = 100 000 N/m2
= 10 N/cm2 = 105 Pa
1 mbar = 1 hPa
1 N/mm2 = 10 bar = 1 MN/m2
= 1 MPa
1 bar
= 0,1 N/mm2
Unter Druck versteht man die Kraft
je Flächeneinheit.
pe – Überdruck
pabs – absoluter Druck
patm – atmosphärischer Druck
1 m4 = 100 000 000 cm4
früher: Flächenträgheitsmoment
Joule für jede Energieart, kW · h
bevorzugt für elektrische Energie
N·m
Pa
2
Newton
durch Meter
hoch zwei
N/m
Meter hoch vier
Zentimeter hoch
vier
m4
cm4
Energie, Arbeit
Wärmemenge
E, W
Joule
J
1 J = 1 N · m = 1W · s
= 1 kg · m2/s2
Leistung
Wärmestrom
P, Ï
Watt
W
1 W = 1 J/s = 1 N · m/s
= 1 V · A = 1 m2 · kg/s3
Elektrizität und Magnetismus
K
Elektrische
Stromstärke
Elektr. Spannung
Elektr. Widerstand
Û
U
R
Ampere
Volt
Ohm
spez. Widerstand
®
Ohm mal Meter
„·m
©, Δ
Siemens durch
Meter
S/m
Leitfähigkeit
S
A
V
„
Frequenz
f
Hertz
Hz
Elektr. Arbeit
W
Joule
J
1 V = 1 W/1 A = 1 J/C
1 „ = 1 V/1 A
10–6 „ · m = 1 „ · mm2/m
1 „ · mm2
® = in Δ
m
m
1
Δ = in ® „ · mm2
1
1 Hz = ; 1000 Hz = 1 kHz
s
1 J = 1W · s = 1 N · m
1 kW · h = 3,6 MJ
1 W · h = 3,6 kJ
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 9
Allgemeine Grundlagen
9
Umrechnung von Maßeinheiten
Längeneinheiten
1 µm
Umrechnungszahl 10
· 1000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
: 1000
1 mm
· 10
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
: 10
1 cm
· 10
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
: 10
· 10
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
: 10
1 dm
· 1000
· 100
1 cm2
: 100
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
· 100
1 dm2
: 100
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 m2
: 100
: 10 000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 km2
: 100
N
Umrechnungszahl 1000
1 cm3
· 1000
1 µî
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 ha
· 1000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
: 1000
1 dm3
· 100
· 1000
1 mî
: 1000
· 1000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
: 1000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1î
: 1000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
· 109
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 m3
1 km3
: 109
ⴑⴑⴑ䊳
ⴑⴑⴑⴑⴑ
1 mm3
· 100
· 10 000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
Volumeneinheiten
· 1000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
: 1000
M
Umrechnungszahl 100
· 100
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 km
: 1000
Flächeneinheiten
1 mm2
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1m
· 10
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
ⴑ
1 hî
A
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
ⴑ
ⴑⴑ
: 100
: 10
Masseeinheiten
· 106
1 µg
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
· 1000
1g
: 106
· 100
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 kg
: 1000
· 106
· 10
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 dt
: 100
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1t
1 Mt
: 106
: 10
W
Krafteinheiten
· 1000
· 1000
1 µN
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 mN
: 1000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
· 1000
1N
: 1000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
· 1000
1 kN
: 1000
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 MN
=
N
1 2
mm
: 1000
Druckeinheiten
N
1 2
m
· 1000
=
1 Pa
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
· 1000
1 kPa
: 1000
1. Beispiel: 4 m2 = ? cm2
1
1
1 m2 · · = 1 cm2
100 100
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳
䊴ⴑ
ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ
1 MPa
: 1000
B
2. Beispiel: 3400 mm3 = ? dm3
1 dm3
1 mm3 · 1000 · 1000 = 1 dm3 ⇒ 1 mm3 = 1000 · 1000
34 00 · 1 dm3
⇒ 3400 mm2 = = 3400 · 10–6 dm3
10 00 · 1000
= 0,0034 dm3
⇒ 1 m2 = 100 · 100 cm2
⇒ 4 m2 = 4 · 100 · 100 cm2 = 4 · 104 cm2
F
Vorsätze zur Bezeichnung von dezimalen Teilen und Vielfachen der Einheiten
Vorsatz
Milli
Zenti
Dezi
Kilo
Mega
Giga
Vorsatzzeichen
Piko
P
Nano Mikro
N
µ
m
c
d
Deka Hekto
da
h
k
M
G
T
Zehnerpotenz
10–12
10–9
10–6
10–3
10–2
10–1
101
102
103
106
109
1012
Teile (z.B. 1 µm = 10–6 m = 0,000 001 m)
Tera
Vielfache (z.B. 1 kN = 103 N = 1000 N)
Besondere Längeneinheiten
Besondere Flächeneinheiten
Besondere Volumeneinheiten
1 Zoll (”)
1 cm
1 inch
1 USmile
1 km 2
1 ha
1a
1 Morgen
1 hî
1 barrel
1 gallone
1î
= 2,54 cm
= 0,394 Zoll (”)
= 1 Zoll
= 1609 m
= 100 ha
= 100 a
= 100 m2
= 25 a
K
= 100 î
= 1,59 hî
= 4,55 î
= 1 dm3
S
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 10
10
Mathematische Grundlagen
Bruchrechnung
M
N
A
W
Regel
Gleichnamige Brüche werden addiert oder
subtrahiert, indem man die Zähler addiert
oder subtrahiert und die Nenner unverändert lässt.
Zahlenbeispiel
Algebraisches Beispiel
5+2–1
= 5 + 2 – 1 = 8 8 8
8
6
3
= = 8 4
5–3+7
= 5 – 3 + 7 = a a a
a
9
= a
1 2 3
+ – =
2 3 4
Hauptnenner = 12
a c
+ =
b d
1·6 2·4 3·3
= + – 2·6 3·4 4·3
= 6 + 8 – 9
12 12 12
6+8–9= 5
=
12
12
·d c·b
=a
+ b·d b·d
a·d+c·b
=
b·d
Ein Bruch wird mit einem anderen multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
3 2 3·2 6
· = = 5 7 5 · 7 35
a c a·c
· = b d b·d
Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch
dividiert, indem man den Dividenden (Bruch
im Zähler) mit dem Kehrwert des Divisors
(Bruch im Nenner) multipliziert.
3
4 =3·5
= 3 : 3 = 4 5 3 4·3
5
= 5 = 1 1
4
4
a
b
a·d
= a : c = = b d c
b·c
d
Haben zwei Faktoren gleiche Vorzeichen, so
wird das Produkt positiv.
2 · 5 = 10
(– 2) · (– 5) = 10
a · x = ax
(– a) · (– x) = ax
Haben zwei Faktoren unterschiedliche
Vorzeichen, so wird das Produkt negativ.
3 · (– 8) = – 24
(– 3) · 8 = – 24
a · (– x) = – ax
(– a) · x = – ax
Haben Zähler und Nenner bzw. Dividend
und Divisor gleiche Vorzeichen, so ist der
Bruch bzw. der Quotient positiv.
15 = 15 : 3 = 5
–
3
– 15 = (– 15) : (– 3) = 5
–3
– a = a
b b
–a=a
–b b
Haben Zähler und Nenner bzw. Dividend
und Divisor unterschiedliche Vorzeichen, so
ist der Bruch bzw. der Quotient negativ.
15
= 15 : (– 3) = – 5
–3
– 15
= (– 15) : 3 = – 5
3
a
a
= – –b
b
–a
a
= – b
b
Punktrechnungen (· und :) müssen vor
Strichrechnungen (+ und –) ausgeführt werden.
8 · 4 – 18 · 3 = 32 – 54
= – 22
16 + 20 – 18 = 4 + 4 – 6
4
5
3
=2
= 8a · b – c · 3d
= 4 ab – 3 cd
= 16 + (9 – 5)
= a + (b – c)
= 16 + 9 – 5
=a+b–c
Bei ungleichnamigen Brüchen muss zuerst
der Hauptnenner gebildet werden, um sie
addieren bzw. subtrahieren zu können. Der
Hauptnenner ist der kleinste gemeinsame
Nenner, in dem die Nenner aller Brüche
ganzzahlig enthalten sind. Die Brüche werden durch Erweitern auf den Hauptnenner
gebracht.
Hauptnenner = b · d
Vorzeichenregeln
B
F
K
Klammerrechnung
Klammern, vor denen ein Pluszeichen steht,
können weggelassen werden. Die Vorzeichen der Glieder bleiben dann unverändert.
S
Klammern, vor denen ein Minuszeichen
steht, können nur aufgelöst (weggelassen)
werden, wenn alle Summanden (Glieder in
der Klammer) entgegengesetzte Vorzeichen
erhalten.
= 20
= 16 – (9 – 5)
= a – (b – c)
= 16 – 9 + 5
=a–b+c
= 12
Fortsetzung auf Seite 11
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 11
Mathematische Grundlagen
11
Klammerrechnung (Fortsetzung)
Regel
Ein Klammerausdruck wird mit einem
Faktor multipliziert, indem man jedes
Glied der Klammer mit dem Faktor multipliziert.
Ein Klammerausdruck wird mit einem
Klammerausdruck multipliziert, indem
man jedes Glied der einen Klammer mit
jedem Glied der anderen Klammer multipliziert.
Ein Klammerausdruck wird durch einen
Wert (Zahl, Buchstabe, Klammerausdruck) dividiert, indem man jedes Glied
in der Klammer durch diesen Wert dividiert.
Ein Bruchstrich fasst Ausdrücke in gleicher Weise zusammen wie eine Klammer.
Bei gemischten Punkt- und Strichrechnungen mit Klammerausdrücken müssen zuerst die Klammern aufgelöst und
danach die Punkt- und dann die Strichrechnung ausgeführt werden.
Zahlenbeispiel
Algebraisches Beispiel
= 7 · (4 + 5)
=a · (b + c)
= 7 · 4 + 7 · 5 = 63
= ab + ac
= (3 + 5) · (10 – 7)
M
= (a + b) · (c – d)
= 3 · 10 + 3 · (–7)
+ 5 · 10 + 5 · (–7)
= ac – ad + bc – bd
= 30 – 21 + 50 – 35 = 24
= (16 – 4) : 4
N
= (a + b) : c = a : c + b : c
= 16 : 4 – 4 : 4
=4–1=3
a–b=a –1
=
b
b
3+4
= (3 + 4) : 2
2
a+b
h
· h = (a + b) · 2
2
= 8 · (3 – 2) + 4 · (16 · 5)
= a · (3 x – 5 x) – b · (12 y – 2 y)
= 8 · 1 + 4 · 11
= a · (– 2 x) – b · 10 y
= 8 + 44 = 52
= – 2 ax – 10 by
32 · 33 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3
= 35
oder
x4 · x2 = x · x · x · x · x · x
= x6
oder
32 · 33 = 3(2+3) = 35
x4 · x2 = x(4 + 2) = x6
43 4 · 4 · 4
2 = = 4
4
4·4
oder
43 : 42 = 4(3 – 2) = 41 = 4
m2
1
m·m
3 = = = m–1
m m·m·m m
A
W
Potenzieren
Potenzen mit gleicher Basis werden
multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten
subtrahiert und die Basis beibehält.
oder
m2 : m3 = m(2 – 3) = m–1 = 1
m
Werden Potenzen mit einem Faktor multipliziert, so muss zuerst die Potenz berechnet werden.
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung.
6 · 103 = 6 · 1000
= 6000
a · 102 = a · 100 = 100 a
7 · 10–2 = 7 · 1 = 0,07
100
b · 10–1 = b · 1 = 0,1 b
10
Jede Potenz mit dem Exponenten Null
hat den Wert 1.
1 04
4 = 10(4 – 4) = 100 = 1
10
(m + n)0 = 1
Radizieren
Ist der Radikand ein Produkt, so kann
die Wurzel entweder aus dem Produkt
oder aus jedem einzelnen Faktor gezogen werden.
y
9 · 16 = y
144 = 12
oder
Ist der Radikand eine Summe oder eine
Differenz, so kann nur aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen werden.
y
9 + 16 = y
25 = 5
Eine Wurzel kann als Potenz geschrieben werden.
3
B
F
K
3
3
3
3
3
ya
· y
· b = ya
b
y
9 · 16 = y
9 · y
16 = 3 · 4 = 12
y
52 – 42 = y
25 – 1
6 = y
9=3
y
27 =
1
27 3
1
3
3 · =3
=
3
33
= 31 = 3
ya
– b = y(
a – b)
ya
=
1
a2
S
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 12
12
Mathematische Grundlagen
Umformen von Gleichungen
M
Gleichheitsgrundsatz
Beide Seiten einer Gleichung können vertauscht werden.
Die beiden Seiten einer Gleichung sind mit dem Gleichgewicht einer
Waage vergleichbar.
=
N
17 + x = 11 + x
11 + x = 17
11 + x
17
48 · y = 6 · y
6 · y = 48
Anwendung des Kommutativgesetztes
Veränderungsoperationen
Die Veränderungen müssen so erfolgen, dass das Gleichgewicht erhalten bleibt.
Auf beiden Seiten der Gleichung müssen die gleichen Rechenoperationen ausgeführt werden.
Auf beiden Seiten das Gleiche addieren oder subtrahieren.
A
6
x
–11
=
–11
Auf beiden Seiten mit dem Gleichen multiplizieren oder durch das
Gleiche dividieren.
Grundregel
Beim Seitentausch einer Größe ändert sich das Operationszeichen.
11
W
x
y
17
Die gesuchte Größe soll auf der linken Seite der Gleichung isoliert
werden. Nach der Seitenwechselregel folgt:
aus + wird – aus – wird +
aus · wird : aus : wird ·
48
Regel
B
F
K
Zahlenbeispiel
6 · y = 48
48
6·y ==8
6
Algebraisches Beispiel
Durch Addition der gleichen Zahl oder
Größe auf beiden Seiten steht die gesuchte Größe allein auf der linken Seite.
y–5
=9
y – 5 + 5= 9 + 5
y = 14
y–c
=d
y – c + c= d + c
y =d+c
Durch Subtraktion der gleichen Zahl
oder Größe auf beiden Seiten steht die
gesuchte Größe allein auf der linken
Seite.
x+7
= 18
x + 7 – 7= 18 – 7
x = 11
x+a
=b
x+a–a=b–a
x =b–a
Durch Division durch die gleiche Zahl
oder Größe auf beiden Seiten steht die
gesuchte Größe allein auf der linken
Seite.
6 · x = 23
6 · x 23
= 6
6
23 = 3 5
x =
6
6
a·x =b
a·x b
= a
a
x = b
a
Durch Multiplikation mit der gleichen
Zahl oder Größe auf beiden Seiten steht
die gesuchte Größe allein auf der linken
Seite.
y
= 7
3
y·3
= 7 · 3
3
y = 21
y
= d
c
y·c =d·c
c
y =d·c
Durch Potenzieren auf beiden Seiten
steht die gesuchte Größe allein auf der
linken Seite.
S
11 + x = 17 – 11
11 + x = 17 – 11
11 + x = 6 – 11
Durch Radizieren auf beiden Seiten steht
die gesuchte Größe allein auf der linken
Seite.
yx = 4
@yx #
2
= 42
x = 16
x2 = 36
yx
2 = y
36
x =±6
yx = a + b
@yx #
2
= (a + b)2
x = a2 + 2 ab + b2
x2 = a + b
yx
2 = ya
+b
x = ± ya
+b
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 13
Mathematische Grundlagen
13
Umstellen von Formeln
Wenn die zu ermittelnde Größe in einer Formel nicht allein
auf einer Seite steht, dann ist es erforderlich die Formel umzustellen. Hier kommen die gleichen Regeln zur Anwendung
wie beim Umformen von Gleichungen.
Demnach gilt für alle Schritte der Umstellung:
m
· v2
Wk = 2
Linke
Formelseite
Veränderung auf der
linken Formelseite
Rechte
Formelseite
M
Veränderung auf der
rechten Formelseite
=
N
Beispiel: Formel umstellen nach v
Handlungsschritte
Lösungsschritte
1 Multiplikation mit 2 auf beiden Seiten
2 Kürzen von 2 auf der rechten Formelseite
3 Beide Seiten durch m dividieren
4 Kürzen von m auf der rechten Formelseite
5 Formelseiten vertauschen
6 Beide Formelseiten radizieren
m · v2
Wk = 2
�2 · m · v 2
2 · Wk = �2
2 · Wk m · v 2
= m
m
2 · Wk m
· v2
�
= m
m
�
2·W
v 2 = k
m
2·W
y
v 2 = ak
m
⎥ ·2
⎥ :m
A
⎥ y
2·W
⇒ v = ak
m
W
Prozentrechnung
Gw · Ps
Pw = 100 %
Ps Prozentsatz, Prozent
Pw Prozentwert
Gw Grundwert
Bei der Prozentrechnung werden anteilige Größen vom Ganzen berechnet.
B
Prozentsatz
Der Prozentsatz gibt den Teil des Grundwertes in Hunderstel an.
x%
z. B.
75
vom Ganzen v 75 %
100
⎥
1
vom Ganzen v 1 %
100
Grundwert
Der Grundwert ist der Wert einer Größe, von dem die Prozente zu berechnen sind.
10 0 %
Der Grundwert ist immer eine Größe.
(Größe = Zahlenwert · Einheit ), z. B. 500 cm2
reiner Grundwert = 100 %
vermehrter Grundwert = 100 % + Prozentsatz
verminderter Grundert = 100 % – Prozentsatz
Prozentwert
Der Prozentwert ist der Betrag der Größe des Grundwertes, den die Prozente des Grundwertes ergeben.
Prozentsatz
Grundwert
Prozentwert
z. B.
von
v
75 %
500 cm2
375 cm2
Teil
Beispiel: Werkstückrohling 250 kg (Grundwert); Abbrand 2 % (Prozentsatz); Abbrand in kg = ? (Prozentwert)
Gw · Ps 250 kg · 2 %
Pw = = = 5 kg
100 %
100 %
F
K
S
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 14
14
Mathematische Grundlagen
Schlussrechnung, Mischungsrechnung
Dreisatz für direkt proportionale Verhältnisse
M
Stück
Beispiel:
80
...
1 Satz:
Vorgabe
40
2. Satz:
Berechnung der Einheit: Durch Dividieren
60 Rohrkrümmer wiegen 330 kg
330 kg
1 Rohrkrümmer wiegt 60
20
0
N
60 Rohrkrümmer wiegen 330 kg. Wie groß ist die Masse von
35 Rohrkrümmern?
0
100
200
300 kg
Gewicht
Berechnung der Mehrheit: Durch Multiplizieren
3. Satz:
330 kg · 35
35 Rohrkrümmer wiegen = 192,5 kg
60
Dreisatz für indirekt proportionale Verhältnisse
Beispiel:
A
Stunden
200
h
150
100
3 Arbeiter erledigen einen Auftrag in 170 Stunden. Wie viele
Stunden benötigen 12 Arbeiter für den gleichen Auftrag?
1 Satz:
Vorgabe
2. Satz:
Berechnung der Einheit: Durch Dividieren
50
3 Arbeiter benötigen 170 Stunden
1 Arbeiter benötigt 3 · 170 h
0
0
W
2
4
6 8 10 ... 14
Arbeiter
Berechnung der Mehrheit: Durch Multiplizieren
3. Satz:
3 · 170 h
12 Arbeiter benötigen = 42,5 h
12
Dreisatz mit mehrgliedrigen Verhältnissen
1. Dreisatz: 5 Maschinen fertigen 660 Werkstücke in 24 Tagen
1 Maschine fertigt 660 Werkstücke in 24 · 5 Tagen
Beispiel:
B
660 Werkstücke werden durch 5
Maschinen in 24 Tagen hergestellt.
In welcher Zeit können 312 Werkstücke gleicher Art von 9 Maschinen angefertigt werden?
F
24 · 5
9 Maschinen fertigen 660 Werkstücke in Tagen
9
24 · 5
2. Dreisatz: 9 Maschinen fertigen 660 Werkstücke in Tagen
9
24 · 5
9 Maschinen fertigen 1 Werkstück in Tagen
9 · 6 60
24 · 5 · 312
9 Maschinen fertigen 312 Werkstücke in 9 · 660
= 6,3 Tagen
Mischungsrechnung
m1, m2
T1, T2
c1, c2
m1; T1; c1
m2;T2; c2
K
S
TM
Teilmassen
Temperatur der Mischung
Temperaturen der
c 1 · m 1 · T 1 + c 2 · m 2 · T2
Teilmassen in K
TM = c1 · m 1 + c 2 · m 2
spez. Wärmekapazitäten1) der Teilmassen
Temperatur der Mischung
Beispiel:
Ein Stahlbehälter mit m1 = 6 kg und T1 = 293 K wird mit m2 = 24 î Wasser
von T2 = 318 K vollständig gefüllt. Welche Temperatur TM stellt sich ein?
c 1 · m 1 · T 1 + c 2 · m 2 · T2
TM = =
c1 · m 1 + c 2 · m 2
m1 + m2
TM
kJ
kJ
0,49 · 6 kg · 293 K + 4,18 · 24 kg · 318 K
kg · K
kg · K
= = 317,29 K
kJ
kJ
≠ 44,29 °C
0,49 · 6 kg + 4,18 · 24 kg
kg · K
kg · K
1)
Spezifische Wärmekapazität Seite 160 und Seite 161
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 15
Winkel, Strahlensatz
15
Winkelarten
Nebenwinkel
Stufenwinkel
Nebenwinkel
ergänzen sich
zu 180°.
180°
Stufenwinkel
sind gleich groß.
b
b
a
a
å + ∫ = 180°
M
å=∫
N
Scheitelwinkel
Wechselwinkel
Scheitelwinkel
sind gleich groß.
b
Wechselwinkel
sind gleich groß.
a
d
d
∫=∂
å=∂
A
Winkelsumme im Dreieck
g
a
a
d
b
In jedem Dreieck ist die Summe der
Innenwinkel gleich 180°.
å + ∫ + © = 180°
Im rechtwinkligen Dreieck ist © = 90°,
die Winkel å und ∫ ergänzen sich
zu 90°.
å + ∫ + ∂ = 180°
B
Strahlensatz
c1
C1
C
a
a1
c
A
B
b
B1
Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen
geschnitten,
bilden
die
Abschnitte der Parallelen und die
zugehörigen Strahlenabschnitte
gleiche Verhältnisse.
W
a b c
= = a1 b1 c1
a a1
= b b1
b b1
= c c1
F
b1
Zehnerpotenzen
Schreibweise als
Schreibweise als
Zehnerpotenz
EinheitenVorsatz
1 000 000
106
Mega (M)
100 000
105
–
10 000
104
0,01
10–2
Centi (c)
1 000
103
Kilo (k)
0,001
10–3
Milli (c)
100
102
Hekto (h)
0,000 1
10–4
–
10
1
10
Deka (da)
0,000 01
10–5
–
1
100
–
0,000 001
10–6
Mikro (µ)
Ziffer
–
Ziffer
Zehnerpotenz
EinheitenVorsatz
1
100
–
0,1
10–1
Deci (d)
K
S
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 16
16
Winkel
Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
Bezeichnungen im
rechtwinkligen Dreieck
M
Sinus
Gegenkathete
= Hypotenuse
a
sin å = c
b
sin ∫ = c
Kosinus
Ankathete
= Hypotenuse
b
cos å = c
a
cos ∫ = c
Tangens
Gegenkathete
= Ankathete
a
tan å = b
b
tan ∫ = a
Ankathete
Kotangens = Gegenkathete
b
cot å = a
a
cot ∫ = b
c Hypotenuse
N
c Hypotenuse
A
a
Gegenkathete
von a
a
b Ankathete von a
b
Anwendung für
å
∫
Bezeichnungen der
Seitenverhältnisse
a Ankathete
von b
b Gegenkathete von b
Funktionswerte für ausgewählte Winkel
0°
W
B
30 °
45 °
1
/2 · ;2 = 0,7071
/2 = 0,5000
1
/2 · ;3 = 0,8660
1
sin
0
cos
1
1
tan
0
1
cot
∞
60 °
90 °
/2 · ;3 = 0,8660
1
1
;3 = 1,7321
1
270 °
360 °
1
0
–1
0
1
/2 = 0,5000
0
–1
0
1
;3 = 1,7321
∞
0
∞
0
/3 · ;3 = 0,5774
0
∞
0
∞
/2 · ;2 = 0,7071
/3 · ;3 = 0,5774
180 °
1
Winkelfunktionen im schiefwinkligen Dreieck
Sinussatz
C
a : b : c = sin å : sin ∫ : sin ©
c
a
b
= = sin ©
sin å
sin ∫
g
a
b
F
Kosinussatz
a
A
b
2
a = b + c 2 – 2 b · c · cos å
B
c
2
b 2 = c 2 + a 2 – 2 c · a · cos ∫
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a · b · cos ©
K
S
Anwendungen des Sinus- und Kosinussatzes
Seitenberechnung
Winkelberechnung
Flächenberechnung
c · sin å
b · sin å
a= = sin ∫
sin ©
a · sin ©
a · sin ∫
sin å = = b
c
b +c –a
cos å = 2·b·c
a · b · sin ©
A= 2
c · sin ∫
a · sin ∫
b= = sin å
sin ©
b · sin ©
b · sin å
sin ∫ = = a
c
a2 + c2 – b2
cos ∫ = 2·a·c
b · c · sin å
A= 2
b · sin ©
a · sin ©
c= = sin å
sin ∫
a · sin ∫
c · sin å
sin © = = a
b
a2 + b2 – c2
cos © = 2·a·b
a · c · sin ∫
A= 2
2
2
2
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 17
Längen
17
Gestreckte Längen
D Außendurchmesser
d
Innendurchmesser
dm mittlerer Durchmesser
s
Dicke
§
gestreckte Länge
§1, §2 Teillänge
L
zusammengesetzte Länge
Siehe auch Seite 293 ff.
Kreisringausschnitt
s
ö
a
d
dm
D
Beispiel:
Zusammengesetzte Länge
s
D
dm
d
ö2
Zusammengesetzte Länge (Bild links)
D = 360 mm; s = 5 mm; å = 270°;
§2 = 70 mm; dm = ?; L = ?
dm = D – s = 360 mm – 5 mm = 355 mm
π · dm · å
L = §1 + §2 = + §2
360°
a
π · 355 mm · 270°
= + 70 mm = 906,45 mm
360°
ö1
Gestreckte Länge beim
Kreisring
§ = π · dm
M
Gestreckte Länge beim
Kreisringausschnitt
π · dm · å
§ = 360°
Mittlerer Durchmesser
N
dm = D – s
dm = d + s
Zusammengesetzte
Längen
L = §1 + §2 + …
A
Rohlängen von Schmiede- und Pressstücken
Beim Umformen ohne Abbrand ist das Volumen des Rohteiles
gleich dem Volumen des Fertigteiles. Tritt Abbrand oder eine Gratbildung auf, so wird dies durch einen Zuschlag zum Volumen des
Fertigteiles berücksichtigt.
Volumen ohne Abbrand
V1
A1
V1 Volumen des Rohteiles
V2 Volumen des Fertigteiles
q Zuschlagsfaktor für Abbrand oder
Gratverluste
A1 Querschnittsfläche des Rohteiles
A2 Querschnittsfläche des Fertigteiles
§1 Ausgangslänge der Zugabe
§2 Länge des angeschmiedeten Teiles
Siehe auch Seite 302.
A2
V2
Abbrand
Beispiel:
V1 = V2
Volumen mit Abbrand
V1 = V2 + q · V2
V1 = V2 · (1 + q)
A1 · §1 = A2 · §2 · (1 + q)
Wie groß muss die Ausgangslänge §1 der Schmiedezugabe sein, wenn an einem Flachstahl 50 mm x 30 mm ein
zylindrischer Zapfen mit d = 24 mm und §2 = 60 mm abgesetzt werden soll?
Der Verlust durch Abbrand beträgt 10%.
V1 = V2 · (1 + q)
A1 · §1 = A2 · §2 · (1 + q)
Randabstand = Teilung
p
a
p
p
b
ö
Randabstand = Teilung
p
p
p
F
p
§
n
p
a, b
Gesamtlänge
Anzahl der Bohrungen, Sägeschnitte
Teilung
Randabstand
Teilung
§ – (a + b)
p = n–1
Beispiel: § = 1950 mm; a = 100 mm;
b = 50 mm; n = 25 Bohrungen;
§ = p (n – 1) + (a + b)
p = ?
§ – (a + b)
1950 mm – 150 mm = 75 mm
p = = n–1
25 – 1
§
n
p
z
Gesamtlänge
Anzahl der Bohrungen, Sägeschnitte, …
Teilung
Anzahl der Teile
Beispiel: § = 2 m; n = 24 Bohrungen; p = ?
ö
B
π · (24 mm)2 · 60 mm · (1 + 0,1)
A2 · §2 · (1 + q)
§1 = = = 20 mm
4 · 50 mm · 30 mm
A1
Teilung von Längen, Randabstände
p
W
§
n+1
200 cm
24 + 1
p = = = 80 mm
K
Teilung
§
p = n+1
Anzahl der Teile
z=n+1
S
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 18
18
Flächen
Geradlinig begrenzte einfache Flächen
Quadrat
A Fläche
§ Seitenlänge
e
M
ö
Fläche
A = §2
Eckenmaß
e = y
2·§
Raute (Rhombus)
A Fläche
§ Seitenlänge
b
ö
A
Eckenmaß
Beispiel:
§ = 14 mm; A = ?; e = ?
A = §2 = (14 mm)2 = 196 mm2
e = y2
· § = y2
· 14 mm = 19,8 mm
ö
N
e
ö
b Breite
Fläche
A=§·b
Beispiel:
§ = 9 mm; b = 8,5 mm; A = ?
A = § · b = 9 mm · 8,5 mm = 76,5 mm2
Rechteck
A Fläche
§ Länge
b
e
W
b Breite
e Eckenmaß
Beispiel:
§ = 12 mm; b = 11 mm; A = ?; e = ?
A = § · b = 12 mm · 11 mm = 132 mm2
2 m)
e = y
§2 + b2 = ym)
(12 m
+ (11 m2
ö
Fläche
A=§·b
Eckenmaß
e = y
§2 + b2
= ym
265 m2 = 16,28 mm
Parallelogramm (Rhomboid)
A Fläche
§
b
B
ö
b Breite
Fläche
Länge
A=§·b
Beispiel:
§ = 36 mm; b = 15 mm; A = ?
A = § · b = 36 mm · 15 mm = 540 mm2
Trapez
F
A Fläche
§1 große Länge
§2 kleine Länge
b
ö2
öm
K
§m mittlere Länge
b Breite
Beispiel:
§1 = 23 mm; §2 = 20 mm;
A = ?
b = 17 mm;
§1 + §2
23 mm + 20 mm
A = · b = · 17 mm
2
2
= 365,5 mm2
ö1
Fläche
§1 + §2
A=
·b
2
Mittlere Länge
§1 + §2
§m = 2
Dreieck
b
A Fläche
§ Seitenlänge
S
ö
b Breite
Beispiel:
§1 = 62 mm; b = 29 mm;
Fläche
§ ·
b
A=
2
A = ?
§·b
62 mm · 29 mm
A = = = 899 mm2
2
2
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 19
Flächen
19
Lehrsatz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe der
beiden Kathetenquadrate.
C
a2
b2
b
a Kathete
b Kathete
c
a
A
Hypothenusenquadrat
c2 = a2 + b2
c Hypotenuse
Hypothenuse
1. Beispiel:
c = 35 mm; a = 21 mm; b = ?
B
c = y
a 2 + b 2
b = y
c2 – a2 = y
(35 m
m)2 – (21 m
m)2 = 28 mm
c2
M
2. Beispiel:
a = 9 mm; b = 12 mm;
Katheten
a = y
c 2 – b2
c=?
N
b = y
c 2 – a2
c = y
a2 + b2 = y
(9 mm
)2 + (1
2 mm
)2 = 15 mm
Lehrsatz des Euklid (Kathetensatz)
Das Quadrat über einer Kathete ist flächengleich einem Rechteck aus der Hypotenuse
und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
a2
b2
q
p
Beispiel:
Ein Rechteck mit c = 6 cm und p = 3 cm soll
in ein flächengleiches Quadrat verwandelt
werden. Wie groß ist die Quadratseite a ?
c
c ·p
c ·q
Kathetenquadrat
b2 = c · q
a, b Kathete
p, q Hypotenusenabschnitt
c
Hypotenuse
a
b
A
Kathetenquadrat
a2 = c · p
W
a2 = c · p
a = yc
· p = y
6 cm · 3 cm = 4,24 cm
Höhensatz
h2
h
h Höhe
q
p, q Hypotenusenabschnitt
Beispiel:
Rechtwinkliges Dreieck
p = 6 cm; q = 2 cm; h = ?
p
p ·q
B
Das Quadrat über der Höhe h ist flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten p und q.
p
Höhenquadrat
h2 = p · q
F
h2 = p · q
h = yp
· q = y
6 cm · 2 cm = y
12 cm2 = 3,46 cm
Gleichseitiges Dreieck
d
h
60°
ö
2
ö
D
A
h
d
D
§
Fläche
Höhe
Inkreisdurchmesser
Umkreisdurchmesser
Seitenlänge
Beispiel:
§ = 42 cm;
A = ?; h = ?
Umkreisdurchmesser
D = 2 · y
3·§=2·d
3
Fläche
A = 1 · y
3 · §2
4
Inkreisdurchmesser
Dreieckshöhe
d = 1 · y
3 · § = D
3
2
h = 1 · y
3·§
2
A = 1 · y
3 · §2
4
= 1 · y
3 · (42 mm)2 = 763,9 mm2
4
K
S
TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 20
20
Flächen
Regelmäßiges Vieleck
A
§
D
d
n
å
∫
M
ö
Inkreisdurchmesser
d = y
D2 – §2
Umkreisdurchmesser
D = y
d2 + §2
Beispiel:
Sechseck mit D = 80 mm
§ = ?; d = ?; A = ?
180° = 80 mm · sin 180°
§ = D · sin d
n
dn
n
6
= 40 mm
a
N
Fläche
Seitenlänge
Umkreisdurchmesser
Inkreisdurchmesser
Eckenzahl
Mittelpunktswinkel
Eckenwinkel
D
d
b
d = y
D 2 –
§2 = y
6 400 mm2 –
1 600
mm2
Vielecksfläche
n·§·d
A = 4
Seitenlänge
180°
§ = D · sin n
Mittelpunktswinkel
360°
å=
n
Eckenwinkel
= 69,282 mm
A
n · § · d = 6 · 40 mm · 69,282 mm
A = 4
4
= 4 156,92 mm2
∫ = 180° – å
Unregelmäßiges Vieleck
A
Gesamtfläche
A1, A2 Teilfläche
W
b2
ö2
A2
B
b1
A1
ö1
§1, §2
Länge
b1, b2 Breite
Beispiel:
§1 = 80 mm; §2 = 80 mm;
b2 = 30 mm
A1 = ?; A2 = ?; A = ?
Gesamtfläche
A = A1 + A2 + …
b1 = 40 mm;
§1 · b1 80 mm · 40 mm
A1 = = = 1 600 mm2
2
2
§2 · b2 80 mm · 30 mm
A2 = = = 1 200 mm2
2
2
A = A1 + A2 = 1600 mm2 + 1200 mm2 = 2800 mm2
Kreis
A
U
d
F
Beispiel:
d = 60 mm;
d
Fläche
Fläche
Umfang
Durchmesser
π·d
A=
2
4
A = ?; U = ?
Umfang
π · d2 = π · (60 mm)2 = 2 827 mm2
A =
4
4
U=π·d
U = π · d = π · 60 mm = 188,5 mm
K
Kreisring
b
D
d
A
dm
D
d
Fläche
b
mittlerer Durchmesser
Außendurchmesser
Innendurchmesser
Breite
Beispiel: D = 160 mm; d = 125 mm; A = ?
S
dm
A = π · (D2 – d2)
4
= π · (1602 mm2 – 1252 mm2) = 7 834 mm2
4
Fläche
A = π · dm · b
A = π · (D2 – d2)
4