Physik II Inhaltsverzeichnis 1 Magnetostatik
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1 Magnetostatik Physik II D. Pescia 1.1 Der elektrische Strom Christian Schluchter, [email protected] 23. Januar 2008 Definitionen stationärer Strom Js ~Js = Inhaltsverzeichnis 1 2 3 σ Magnetostatik 1.1 Der elektrische Strom . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Die Gesetze der Magnetostatik . . . . . . . . . . . 1.3 Die Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Elektrostatik und Magnetostatik in der Materie . 1.4.1 polarisierbares Medium (Elektrostatik) . . 1.4.2 magnetisierbares Medium (Magnetostatik) 1.4.3 Feldverhalten an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrodynamik 2.1 Farradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Wellen und Wellenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Herleitung der Wellengleichungen im Vakuum 2.3.2 Lösung der Wellengleichungen . . . . . . . . . 2.3.3 wichtigste Konsequenzen . . . . . . . . . . . . 2.4 Energie des EM-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ und B ~ für ebene Wellen 2.5 Zusammenhänge zwischen E . . . . . . . . . . . . . . . . Ze 3.4.3 Wasserstoffatom: V(~r) = − 4π . . . . . . . . . . r| 0 |~ Eindimensionale Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . Erwartungswert, Matrixmechanik . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Erwartungswert eines Operators bezüglich eines Zustandes |ψ > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronenkonfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 9 9 9 9 3.7 3.8 Driftgeschwindigkeit vD mittlere Geschwindigkeit, mit welcher die Ladungen im Draht ”driften”, definiert durch Js = qρvD Bem: |vD | = 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 2 σ ist eine Proportionalitätskonstante 1 1 1 2 2 2 2 3 Quantenmechanik 3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Hermizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Die Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Erwartungswert und Heisenbergsche Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Eigenfunktionen, Eigenwerte, Operatoren . . . . . . . . 3.3.1 Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Lösungen der SG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Kommutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Verschiedene Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Homogenes Potential: V(~r) = V0 . . . . . . . . . . 3.4.2 Harmonischer Oszillator: V(~r) = 12 mω2 x2 . . . . 3.5 3.6 ρq2 τ ~ E m |{z} 10 5 Eigenwertproblem 11 ≈ 2 · 10−3 ms Diese Leistung wird in Form von Joulescher Wärme an den Draht abgegeben. Wird sie genügend erhöht, beginnt der Draht Licht (Strahlung) zu emittieren. Kontinuitätsgleichung ∂ρ ~ · ~j = 0 +∇ ∂t Ladungserhaltung, Kirchhoffsche Knotenregel 1.2 Die Gesetze der Magnetostatik ~ B−Feld einer beliebigen stationären Stromverteilung ~ r) = B(~ µ0 4π Kopplungskonstante µ0 = 9 9 10 Aufgaben Typische vD im Kupferdraht (ρ = 6 · 1022 1 2 , A = 1mm2 , I = 30A) : cm Die Driftgeschwindigkeit ist konstant, weil die von der Quelle ausgeübte elektrische Kraft völlig von einer entgegengerichteten Reibungskraft neutralisiert wird. Dies führt zur Dissipation der elektrischen Energie, die von der Quelle geliefert wird. Die elektrische Leistung, die geleistet wird von der Quelle um eine totale Ladung ρqAl von a nach b zu transportieren ist: Z tb ρqAl L= · Evdrift dt = I2 R = ∆UI tb − ta ta 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 4 js ρq Z V0 1 0 c2 0 ~j(~r0 ) × ~r − ~r dV 0 0 |~r − ~r |3 Vs = 4π · 10−7 Am Magnetische Monopole (1. Gesetz der Magnetostatik) Z ~ =0 ~ ·B ~=0 ⇔ ~ dA ∇ B Bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen (Monopole) gibt. ⇒ Feldlinien sind immer geschlossen! 1 Falls nur Beträge gefragt: Ampersches Gesetz 2 FZ = m vr (Kreisbahn) FL = qvB I ~ ×B ~ = µ0 · ~je ∇ ⇔ FZ = FL ~ = µ0 · Ie ~ · ds B → 2 m vr = qvB → v q = mB r |{z} q ω = mB ω C ~ um eine geschlossene Kurve C ist proporDie Zirkulation von B tional zum von C eingeschlossenen Strom Ie . 1.4 Elektrostatik und Magnetostatik in der Materie Bsp: Feld eines unendlich langen geradlinigen Drahtes Z2π → 1.4.1 polarisierbares Medium (Elektrostatik) µ0 I Brdϕ = µ0 I ⇔ B = 2πr ~ div E 0 = = = Aufgabe 2.2: Zylindrischer Draht ρTot 0 1 0 (ρext 1 0 (ρext − ρp ) ~ − div P) die im Material vorhandenen Dipole so aus, dass sie ein entgegengesetztes E-Feld verursachen. H ~ d~L = µ0 Ie = BL B r>R: r<R: I(r) = I0 → → I(r) = jπr2 = µ0 Ie = B · 2πr µ 0 I0 B = 2πr I0 πR2 · πr2 = 2 I0 r 2 R Bsp: Feld einer unendlich langen Spule Z Liegt ein E-Feld vor, richten sich → B= µ0 I0 r 2πR2 ~ ~ = 0 div (E ~ + P ) = ρext div D 0 ) ~ = 0 E ~+P ~ = E ~ D = 0 (1 + χe ) ~ := 0 χe E ~ P ~ = µ It ot ~ i · dl B 0 C ~ i | · l = µ0 nlI ⇔ |B ~ i | = µ0 nI |B Aufgabe 2.1: Unendlich ausgedehnte Platte 1.4.2 magnetisierbares Medium (Magnetostatik) ~ rot B R Γ ~ d~L = µ0 Ie = 2aB B Q σLδz I = t = σA t = t = σLv → = µ0 ~jTot = µ0 (~jext + ~jM ) ~ = µ0 (~jext + rot M) µ 0 Ie µ µ B = 2L = 2L0 σLv = 20 σv Liegt ein B-Feld vor, richten sich die im Material vorhandenen magnetischen Dipole“ so aus, ” dass sie das vorhandene B-Feld verstärken. 1.3 Die Lorentzkraft Lorentzkraft ~L = F Z ~j × BdV ~ ~ = q~ v×B ~ = rot H ~tot = qE ~ + q~ ~ totale Kraft im elektromagnetischen Feld: F v×B 1 ~ − µ0 M) ~ = ~jext rot (B µ0 −1 ~ ~ = 1B ~ ~ H µ0 − M = µ B 1 ~ ~ M := χm B Richtung: µ0 I+ rechte Hand I− linke Hand → → Daumen: Zeigefinger: Mittelfinger: I+ B F Daumen: Zeigefinger: Mittelfinger: I− B F 1 1 = (1 − χm ) µ µ0 Bsp Magnetisierte Platte Unendlich ausgedehnte Platte in x − y-Ebene mit Dicke d. Magnetisierung links (x < − d2 ) ~ = (0, 0, −M), rechts (x > d ) M ~ = (0, 0, M). Der Übergang erfolge innerhalb der Breite d. M 2 Bsp: Zyklotronfrequenz ~ = (0, 0, Bz > Geg: Elektron mit Masse m und Ladung −e bewegt sich im homogenen Magnetfeld B 0) mit der Geschwindigkeit ~ v = (vx , v y , 0). Bewegungsgleichungen Stärke und Lage der effektiven Stromdiche, erzeugt durch die Magnetisierung i h ~ ×M ~ = ~j : Die Magnetisierung in der Platte, d.h. für z ∈ − d , d , ist gegeben durch Benutze ∇ ef f 2 2 mẍ = mv̇x = −ev y Bz m ÿ = mv̇ y = evx Bz −M 2 Mz (x) = Mx d M Beweis, dass Trajektorie Kreisbahn Löse die zweite Gleichung nach vx auf und setze in die erste Gleichung ein: v̈ y = − e2 B 2 zv y m2 z (DGL eines harmonischen Oszillators mit ω = eB m ) , x < − d2 , − d2 ≤ x ≤ d2 , x > 2d Damit kann die Rotation berechnet werden: 0 ∂x ∂ ~j ~ 0 ef f = ∇ × M = y × Mz (x) ∂z 2 0 = − 2M d 0 2M = − ~e y =: j~e y d h i im Übergangsbereich (x, z ∈ − d2 , f racd2 ), ~je f f = ~0 sonst. ~ B-Feld für |~r| >> d unter Annahme eines kreisförmigen Stromquerschnitts Für r >> d können wir vernachlässigen, dass der Stromquerschnitt quadratisch ist und der eingeschlossen Strom ist Iin = jd2 . Wir erhalten Z2π 2πrB(r) = ~ · ~eϕ rdϕ = B(r) I Es fliesst nur Strom, wenn sich der Fluss durch die Drahtschleife ändert. Dies ist nur bei Ein- und Austritt der Fall. Aufgrund der konstanten Geschwindigkeit ist dort die Flussänderung und somit der induzierte Strom konstant. ~ = I = jd2 ~ · dl B in maximaler Strom ∂φ Kr 0 Situation beim Eintritt: Induzierte Spannung: Uind = − ∂t = − Mit Ohm’s Gesetz: Iind = − avB R Damit ist das B-Feld in Zylinderkoordinaten (mit Symmetrieachse entlang y) gegeben durch ~ r, ϕ) = − 1 µ0 |j|d2~eϕ B(y, 2πr ∂(Bavt) ∂t = −avB 2.1.1 Anwendungen Erzeugung von Wechselstrom φB durch eine rotierende Leiterschleife S beträgt 1.4.3 Feldverhalten an Grenzflächen φB = SB cos ϕ ~ ist stetig an Grenzflächen. Die Normalkomponente von B ~ ist unstetig an Grenzflächen. Die Tangentialkomponente von B ϕ = ωt Wechselspannung: 2 Elektrodynamik EMK = Uind = − 2.1 Farradaysches Induktionsgesetz ∂ φB = SBω sin ωt ∂t Transformatoren dφ induktiver Spannungsabfall an der Primärwicklung: U1 = −N1 dtB1 dφ induzierte Spannung an der Sekundärwicklung: U2 = −N2 dtB2 Da φB1 und φB2 durch Magnetfeld mal Fläche des Eisenkerns bestimmt gilt φB1 = φB2 und somit U1 N1 = U2 N2 Definitionen elektromotorische Kraft EMK I EMK=˙ C ~ · d~l = Uind E Selbstinduktion Fliesst in einer Spule der Länge l mit n Windungen pro Längeneinheit ein Strom I(t), dann entsteht in der Spule ein Magnetfeld µ0 nI, welches einen Fluss φB = nlSB = µ0 n2 lI verursacht. ˙ − L dI Die induzierte Gegenspannung ist dann EMK = −µ0 Sn2 l dI dt = dt und beeinflusst wiederum I(t). Ist die Spule mit magnetischem Material gefüllt, dann ist Lm = L(1 + χ). DGL für RL Schwingkreis mit U(0) = U0 für I(t) : RI = U0 − L dI dt magnetischer Fluss φB durch die Fläche SC Z ~ ~ · dS B φB = SC U0 −R L t) R (1 − e Aufgabe 3.2: Spule mit Metallring mit Lösung I(t) = Biot-Savart Gesetz ~ Stromdichte ~j erzeugt Magnetfeld B Lenz’sche Regel Die induzierte EMK erzeugt einen Induktionsstrom der stets so gerichtet ist, dass er den ihn erzeugenden Vorgang zu hemmen versucht. ~ = I(t)Nµ0 (pro Meter) Magnetfeld in der Spule: B(t) Farradaysches Gesetz oder Induktionsgesetz ~=− rot E ~ ∂B ∂t Uind Bem: I ⇔ ~ =−∂ ~ dl E ∂t Z H ~ = − ∂ φ = ∂ BA ~ · dl Induziertes E-Feld im Ring: Ring E ∂t B ∂t E(R, t)2πR = πR2 NI0 µ0 ω sin(ωt) ~ ~ dA B ⇒ E(R, t) = RNωI0 µ0 2 sin(ωt) h|E(R, t)|2 it = hsin2 (ωt)i ∂ ∂ = − φB = − (B⊥ · A) ∂t ∂t RNωI0 µ0 2 2 = (RNωI0 µ0 )2 8 Aufgabe 3.5: Hall-Effekt ~ = 0 aus der Elektrostatik. Verallgemeinerung von rot E Bsp Induktion Quadratische Drahtschleife mit Widerstand R und Seitenlänge a wird mit Geschwindigkeit v durch dazu senkrechtes, begrenztes Magnet~ gezogen. feld B Hallspannung UH Lorentzkraft: Linke-Hand-Regel: Teilchen werden in positive x-Richtung abgelenkt. Zur Kompensation wird E-Feld in positive x−Richtung benötigt. Zur Berechnung des E-Feldes: Ampère-Schleife entlang einer zur x-Richtung parallelen Kante: R ~ = Ea ~ ds E UH = Γ FE muss FL kompensieren: |FE | = Eq = |FL | = qvB I Zur Berechnung von v: j = qnv → I = jac = qnvac ⇔ v = qnac IB E = vB = qnac Verlauf des Stromes in Abhängigkeit des Weges IB UH = Ea = qnc 3 2.2 Maxwellgleichungen 2.3 Wellen und Wellenmechanik ~ = µ0 ~j mit der Kontinuitätsgleichung ∂ ρ = Da das Ampère-Gesetz rot B ∂t ~ zur 4. MG −div ~j im Widerspruch steht, wird der Korrekurterm 12 ∂ E 2.3.1 Herleitung der Wellengleichungen im Vakuum c ∂t hinzugefügt. ~+P ~ = E ~ ~ = 0 E D ~ := 0 χe E ~ P −1 ~ ~ ~ ~ = 1B H µ0 − M = µ B ~ := 1 χm B ~ M µ0 Rotation auf 4. Gleichung (der MG im Vakuum) ergibt: ~ × (∇ ~ × B) ~ × E) ~ = 12 ∂ (∇ ~ ∇ c ∂t ~ ~ ~ ∇ ~ · B) ~ ~ − ∇2 B ~ = 0 − ∆B ~ linke Seite: ∇ × (∇ × B) = ∇( 1 ∂ ∂~ 1 ∂ ~ ~ rechte Seite: 2 (∇ × E) = 2 (− B) ) = 0 (1 + χe ) c ∂t liefert Wellengleichung 1 1 (1 − χm ) = µ µ0 ∂V ~ = ~ · dF D # ∂t ~− ∆B ~ 1 ∂2 B =0 c2 ∂t2 ~− ∆E ~ 1 ∂2 E =0 c2 ∂t2 analog mit 3. MG: vollständige Maxwellgleichungen im polarisierbaren und magnetisierbaren Medium ~ ·D ~ = ρext ∇ ~ ~ ∇·B=0 ~ ×E ~ ~=−∂B ∇ ∂t ~ ×H ~ = ~jext + ∇ c ∂t (Gauss) (keine mag. Monopole) (Faraday) (Ampère) ∂ ~ D ∂t 2.3.2 Lösung der Wellengleichungen ρdV Durch den Ansatz der ebenen Wellen V ~ =0 ~ · dF B ∂V H ! ~ =−∂ ~ ~ · dl ~ · dF E B ∂t F ∂F H ! ! ~ = ~ ~ + ∂ ~j · dF ~ · dF ~ · dl D H ∂t ∂F Ebene Wellen ~=E ~ 0 ei(~k·~r−ωt) E ~=B ~ 0 ei(~k0 ·~r−ω0 t) B F F ergibt sich durch Einsetzen in die Wellengleichungen die Dispersionsrelationen ω = ±c|~k| ω0 = ±c|~k0 | MG nur mit freien Ladungen und Strömen (weder ρpol noch ~jm vorhanden) ~ ·E ~= ρ ∇ 0 ~ ~ ∇·B=0 ~ ×E ~=−∂B ~ ∇ ∂t ~ ~ ~ ∇ × B = µ0 J + Einsetzen in die Faraday Gleichung ergibt ~ 0 )ei(~k·~r−ωt) = iω0 B ~ 0 ei(~k0 ·~r−ω0 t) i(~k × E da dies für alle Raum-Zeit-Punkte gültig sein muss fordern wir 1 ∂ ~ E c2 ∂t ω = ω0 ~k = ~k0 Q ~ =φ ~ · dF E ˙ E = EA = e 0 ∗ ~ =φ ~ · dF B ˙ B = BA = 0 ∗ H ∂ ~ =U ~ = − ∂ φB = − ∂ (B⊥ · A) ~ · dl ~ · dF E ˙ ind= EL = − ∂t B ∂t ∗ H ! ! ∂t 1 ∂ ~ ~ ~ = µ0 Ie + 1 ∂ φE ~ ~ ~ dF B · dl = BL = µ0 jdF + c2 ∂t E c2 ∂t Schliesslich erhalten wir: Ein Fundamentallösungssystem der MG für das freie Feld besteht aus monochromatischen Wellen, welche die Frequenzen ω = ±c|~k| ~0, B ~ 0 , ~k bilden ein orthogonales Rechtssystem. besitzen. Die Vektoren E ~ ~ 0 sind durch die Gleichung |E ~ 0 | = c|B ~0| die Beträge von E0 und B verknüpft. Wellenlänge λ = 2π ~ ∗ F F = µ0 Ie + 1 ∂ (E c2 ∂t ⊥ · A) |k| Periode τ = 2π ω Dispersionsrelation liefert λ = τc *: bei geeigneter Wahl der Gaussbox, bzw. Ampèreschleife Bsp: Wellengleichungen im polarisierbaren Medium Mit Hilfe der MG in polarisierbaren Medien ohne externe Ladungen und Ströme erhalten wir als Wellengleichung (Rotation auf 3. bzw. 4. MG): MG in Abwesenheit von Ladungen und Strömen (im Vakuum) ~ ·E ~=0 ∇ ~ ~ ∇·B=0 ~ ×E ~=−∂B ~ ∇ ∂t ~ ×B ~ = 12 ∂ E ~ ∇ ~ − µ ∆E ∂2 ~ E=0 ∂t2 Wir wissen, dass µ der Kehrwert der Ausbreitungsgeschwindigkeit im Quadrat sein muss: c ∂t µ = 4 µ0 0 (1 + χe ) 1 1 1 + χe = = 2 1 − χm v2 µ0 0 = 1 c 1 − χm c2 2.3.3 wichtigste Konsequenzen ~ = µ0 ~j + 1 ∂ E ~ = µ0 σE ~+ 1 ∂E ~ Ampère-Gesetz: rot B c2 ∂t c2 ∂t ~ zu erhalten (B ~ < ∞). ~ = 0 um einen physikalischen Werte für B Da σ = ∞ muss gelten E ~ = (µ0 σ + 1 ∂ )E ~ gilt ebenfalls B ~=0 Wegen rot B • elektromagnetische Felder propagieren wie Wellen mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit c c2 ∂t Wellenffeld im Halbraum x ≤ 0 Ansatz: ~ = E0 ei~k~r + E0 e−i~k~r e−iωt~e y E ~ = 1 kE0 ei~k~r + kE0 e−i~k~r e−iωt~ez B ω • endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit verunmöglicht instantane Fernwirkung zwischen zwei geladenen Teilchen im Abstand r. Die Wirkung ist gegenüber der Ursache um die Laufzeit cr verzögert. Bestimmung der Koeffizienten E, E0 : • Die Existenz von EM-Wellen führt dazu, dass Energie durch diese Wellen übertragen wird. 2.4 Energie des EM-Feldes H ~ = − ∂ φ ⇒ EL = AB ~=−∂B ~⇒ ~ · dl Ampère-Schleife um Grenzgebiet: rot E E ∂A ∂t ∂t B Nun ziehen wir die Ampère-Schleife zusammen (A → 0) ⇒ E|x=0 L = (E0 + E0 )e−iωt = 0 ⇔ E0 = −E0 Energieerhaltung: ∂ ∂t Z dV V Z 1 ~ 0 c2 E ~ ~×B ~ ~ 2 + 0 c2 B ~2 = − − dV ~jE ds 0 E 2 |{z} | {z } | {z } V ∂V ~ Energiestromdichte S Energiedichte U ~ = E0 e−iωt 2i sin(kx)~e y E ~ = k E0 e−iωt 2 cos(kx)~ez B ω Leistung ~ = 2E0 sin(kx) sin(ωt)~e y <{E} ~ = 2 E0 cos(kx) cos(ωt)~ez <{B} Die Energie (Energiedichte · Fläche) kann abnehmen durch Abstrahlung (Energiestromdichte · Fläche) oder durch Umsetzen von Leistung an den Teilchen (Leistung). c 3 Quantenmechanik Energiedichte des Feldes 3.1 Grundbegriffe 1 ~2 ~2) U=˙ (0 E + 0 c2 B 2 3.1.1 Skalarprodukt Eigenschaften h~a, ~bi = h~b, ~ai∗ h~a, c~bi = ch~a, ~bi = hc∗~a, ~bi P h~a, ~bi := i a∗i bi Energiestromdichte des Feldes (Poynting-Vektor) ~= ~ × B) ~ S ˙ 0 c2 (E bei Funktionen P hψ(x), ξ(x)i ' i ψ(xi )∗ ξ(xi )δxi → Z∞ ∂V ψ∗ (x)ξ(x)dx hψ(x), ξ(x)i = Aufgabe 3.4: Energiedichte und Energiestromdichte ~ = E0 sin(kz − ωt)~ex ~ = B0 sin(kz − ωt)~e y E B mittlere Energiedichte ~ B|i ~ t hUit = 21 0 E0 2 = 0 ch|E|| mittlerer Energiestrom ~ t = chuit hSi Energieaustrahlung ~ = E~ex und B ~ = B~e y wird aus keinem Volumen Energie ausgestrahlt, Für homogene Felder E H R ~ , 0, da Sd ~ F ~ ~ · SdV ~= ∇ obwohl S =0 −∞ bei periodischen Funktionen: L Z2 ψ∗ (x)ξ(x)dx hψ(x), ξ(x)i = V − L2 ~ = −0 c2 EB~e y , ∇ ~=0 ~ ·S wegen S ~ und B ~ für 2.5 Zusammenhänge zwischen E ebene Wellen 3.1.2 Hermizität Dolch-Operator ~&B ~ für ebene Wellen Zusammenhänge zw. E ~ = 1 ~k × E ~ = 1 kE · ~ex 1 ~ B ~ ω ω |B| = |E| 2 2 c c ~ ~ =− k×B ~ = − kB · ~ez c E ω ω < ~a, A~b >=< A†~a, ~b > bei Standardskalarprodukt → A† = (A∗ )T A = A† De f. Aufgabe 4.2: Ebene Wellen Der Raum wird bei x = 0 aufgeteilt, für x < 0 ist Vakuum, für x > 0 gilt σ = ∞. Lösungen der Maxwellgleichungen im Vakuum sind ebene Wellen: herm. hu, Avi = hA† u, vi = hAu, vi Eigenschaften ~ 0 · ei(~k·~r−ωt) E ~ 0 · ei(~k·~r−ωt) B • EW: immer reell • EV: bilden VONS (vollständig orthonormiertes System) Wellenfeld im Halbraum x ≥ 0 5 VONS → {~ vi } : EV ⇒ h~ vi , ~ v j i = δij 3.3.1 Korrespondenzprinzip ∀i, j x p Aufgabe Zeige, dass A hermitesch: hu, Avi = hAu, vi R R R u∗ (x)(Av(x))dx = ... = (Au(x))∗ v(x)dx = (Au∗ (x))v(x)dx E= L Bsp: Wann ist p̂ hermitesch? ~ p̂ = −i~∇ zu zeigen: < f, p̂g >=< p̂ f, g > ~ f · g) = ∇ ~ f · g + f ∇g ~ mit: ∇( R R R R ~ f ∗ )(i~g) dx =< ~ ~ ~ f ∗ )(i~g) dx = (−i~ f ∗ g)|∞ + (∇ f ∗ (−i~∇g) dx = ∇(−i~ f ∗ g) dx + (∇ −∞ part. Int. | {z } x̂ p̂ : : x ~ −i~∇ → → Ĥ L̂ = x̂ × p̂ : : ~ i~∂t = − 2m ∆ ~ ×~ i~∇ x Schrödingergleichung SG für freie Teilchen 1. Postulat: Die De-Broglie Wellenfunktion Jedem Teilchen mit Masse m wird eine komplexe Wellenfunktion zugeordnet: u(x, t) = Aei(kx−ωt) k2 2m ~2 ∆ψ = Eψ 2m − 3.2 Die Postulate ω=~ 2 3.3.2 Schrödingergleichung f,g → 0 x→∞ ~ f, i~g >=< −i~∇ ~ f, g >=< p̂ f, g > ∇ p2 2m → → SG für gebundene Teilchen (Teilchen im Potential) E= p2 +V 2m ~ : Planksches Wirkungsquantum − → Ĥ = − ~2 ∆ + V(~r) 2m ! ~2 ∆ + V(~r) ψ = Eψ 2m Nich zu verwechseln mit Frequenz für Licht: ω = ck 2. Postulat (Born): Die Statistische Deutung der Wellenfunktion R R∆ Ω |u(x,t)|2 dx| |u(x,t)|2 dx 3.3.3 Lösungen der SG ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung der Koordina- ten des Teilchens einen Wert im Intervall ∆ des Konfigurationsraumes Ω zu finden. R u(x, t) wird so normiert, dass Ω |u(x, t)|2 dx = 1. Daher sind nur normierbare Wellenfunktionen relevant. u(x, t) ist nach dieser Deutung eine Wahrscheinlichkeitsamplitude. i) freie SG ~ 2 ∂2 − 2m ψ(x) = Eψ(x) , ∂x2 √ ψ = eikx , k= √ 2mE ~ 2mE x ~ ~2 k 2 Energie E = 2m , ψ = ei i) homogenes Potential: V(x) = V0 = const. √ 2 2 2m(E−V0 ) ~ ∂ iqx , − 2m + V ψ = Eψ , ψ = e q = 0 ~ ∂x2 Bsp: freies Teilchen mit Masse m √ Für Normierung beschränkt man das Teilchen in einem Kasten der Länge L und fordert peri- Energie E = odische Randbedingungen: u(x, t) = u(x + L, t); Ω = [− L2 , L2 ] ~2 q 2 2m + V0 , 2m(E−V0 ) x ~ ψ = ei ⇒ Mögliche k-Werte des Systems: k = 2πn L , n = 0, ±1, ±2, ... normierte Wellenfunktion: uk (x, t) = √1 ei(kn−ωt) L Definitionen 3. Postulat: Superpositionsprinzip Supperposition der Wellenfunktionen (nicht deren Quadrate) ist erlaubt. Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, y, z, t)=ψ ˙ ∗·ψ 3.2.1 Erwartungswert und Heisenbergsche Unschärferelation Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(x, y, z, t)=˙ − statistischer Mittelwert oder Erwartungswert einer Funktion der Kordinate eines Teilchens im Zustand u(x, t) R h f (x, t)iu(x,t) =˙ Ω Zusammenhang (Kontinuitätsgleichung) f (x)|u(x, t)|2 dx R Ω i~ ∗ ~ ~ · ψ∗ · ψ ψ ·∇·ψ−∇ 2m ∂ρ ~ · ~j = 0 +∇ ∂t |u(x, t)|2 dx Mehr dazu siehe Kap. 3.7.3 Reflexionskoeffizient R := jr je Transmissionskoeffizient T := jt je Heisenbergsche Unschärferelation ∆x(2∆p) = 4π~ Von besonderer Bedeutung sind stationäre Zustände der Schrödingergleichung. Stationäre Zustände sind definiert als Wellenfunktionen mit zeitunabhängiger Wahrscheinlichkeitsdichte |u(x, t)|2 . Einsetzen des Ansatzes u = e− 3.3 Eigenfunktionen, Eigenwerte, Operatoren i~ 6 ∂u = Eu ∂t ⇔ iEt ~ u(x) in die Schrödingergleichung ergibt − ! ~2 ∆ + V(x) u(x) = Eu(x) 2m E muss Eigenwert des Hamiltonoperators Ĥ sein und u(x) die zugehörige Eigenfunktion. Der Eigenwert mit der niedrigsten Energie ist der Grundzustand des Systems, die höher liegenden EW sind die angeregten Zustände. Beweis Da [A, B] = 0, gilt ABu = BAu = λBu. Bu ist also ein Eigenzustand von A zum Eigenwert λ und liegt somit im gleichen Eigenraum wie u. D.h. es gibt ein µ, so dass Bu = µu. u ist somit Eigenzustand zu beiden Operatoren. Hamiltonoperator kommutiert mit Paritätsoperator falls Ĥ(x) = Ĥ(−x) = P̂Ĥ(x)P̂† 3.3.4 Operatoren HP = PH [Ĥ, P̂] = 0 | {z } ⇒ Hilbertraum Lineare Vektorräume mit Skalarprodukt und VONS heissen Hilberträume. sie kommutieren ψ(x) = ψ(−x) ψ(x) = −ψ(−x) Lösungen müssen erfüllen: Die Eigenfunktionen un eines Operators T̂ sind die Lösungen der Eigenwertgleichung T̂un = En un . ) → ψ g (x) = . . . ψu (x)) . . . 3.3.6 Quantisierung Die Gesamtheit aller Eigenwerte eines Operators wird als dessen Spektrum bezeichnet. Falls T̂ hermitesch ist, gilt: Teilchen im Würfel DG: L f = E f + Satz Sei Ln ein n-dimensionaler Hilbertraum und T̂ ein hermitescher Operator auf Ln . Dann hat T̂ genau n Eigenwerte, mit unterschiedlichem Wert E1 , ..., Em , m ≤ n. Alle Eigenwerte Ei sind reell. (Wegen RB: diskretes System (Würfel) mögliche Vektoren ~k ~ ψ = Aeikx x eik y y eikz z = Aeik~r kx L = nx · 2π k y L = n y · 2π ψ(0) = ψ(L) → kz L = nz · 2π Ansatz.: RB: (un , T̂um ) − (T̂un , um ) = 0 = (Em − E∗m )(un , um ) ~k = 2π ~n , n ∈ Z i ~n L zugehörige normierte Eigenfunktionen R2π R2π R2π ~ ~ ! ! hψ∗ (~ x), ψ(~ x)i = 1 ⇔ Ae−ik~x Aeik~x dxdydz = A2 L3 = 1 ⇒ A = √1 und n = m, folgt En = E∗n .) L3 0 0 0 mögliche Energieeigenwerte ~2 ~ 2 i~k~ ~2~k2 ~2 ∆Aei~k~ x = E ψ(~ x = E ψ(~ Ĥψ(~ x) = En ψ(~ x) ⇔ − 2m n x) ⇔ − 2m (ik) Ae n x) ⇔ 2m = En 2~k2 2 2 2 2 En = ~2m = 2~2 π n2x + n2y + n2z = 2~2 π · l mit l ∈ N L m L m Da ni ∈ Z sind nur bestimmte Energiewerte möglich, die Energie ist quantisiert. Operatoren Hamiltonoperator Ĥ 3.4 Verschiedene Potentiale " 2 # ~ Ĥ = − ∆ + V(x) 2m i~ Ĥψ(r) = Eψ(r) ∂ i~k~r−iωt ~ e = Eeik~r−iωt ∂t √ ~ p̂ = −i~∇ EF: EW: ~ i~k~r−iωt −i~∇e = ψ(x) = Aeiqx + Be−iqx E= i~k~r−iωt ~ ~~keik~r−iωt−~pe 2m(E−V0 ) ~ q= + V0 EF: Hermite-Polynome: P̂ψ(x) = ψ(−x) ψn (x) = P̂2 ψ(x) = ψ(x) ⇒ P̂2 = 1 ⇒ P̂ = P̂−1 = P̂† EW: P̂ψ(x) = λψ(x) , P̂2 ψ(x) = λ2 ψ(x) = ψ(x) 1 12 · e 2 − x2 2x 0 √ 2n ·n!·x0 π 2 Hn (x) = (−1)n ex ⇒ λ2 = 1 ⇒ λ = ±1 EV: ~2 2 2m q , Harmonischer Oszillator: V(~r) = 12 mω2 x2 3.4.2 Paritätsoperator P̂ ~2 ∆ + V(~r) 2m Homogenes Potential: V(~r) = V0 3.4.1 Impulsoperator p̂ Ĥ = − dn −x2 dxn e , · Hn x x0 x0 = q ~ ωm P̂ψ g (x) = ψ g (−x) = ψ g (x) P̂ψu (x) = ψu (−x) = −ψu (x) 3.3.5 Kommutator falls spiegelsymetrisch → Hamiltonoperator kommutiert mit Parität EW: En = ~ω(n + 12 ) ab = ba ⇒ ab − ba = 0 ⇒ [a, b] = 0 AB , BA ⇒ AB − BA , 0 ⇒ [A, B] , 0 [A, B] = 0 ⇒ A, B haben gemeinsame EV [P̂, Ĥ] = 0 ⇒ P̂, Ĥ haben (ausschliesslich) gemeinsame EV Bsp: einseitiger, harmonischer Oszillator 7 q q 3) Stetigkeit: ψ − 2 A = ψ − 2 B 2 Reflexionskoeffizient R = |r| Transmissionskoeffizient T ∼ |t|2 In Zone B ist V0 > E → q ist negativ → ψ = eiqx → e−βx fällt exponentiell. Danach in Zone C wieder Oszillieren, einfach mit kleinerer Amplitude. ∞ , x<0 1 mω2 x2 , x>0 2 Lösung der rechten Seite: Hermitpolynome für gesamte Lösung RB: ψ(x = 0) = 0 und somit kommen nur die ungeraden Hermitpolynome in Frage: ( V(x) = EV: ψ2n+1 3.4.3 Aufgabe: Potentialstufe EW: E2n+1 2 Ze Wasserstoffatom: V(~r) = − 4π |~r| 0 ~2 ∆ + V(x) ψ(x) = Eψ(x) − 2m √ ik(x−x0 ) + re−ik(x−x0 ) k = 2mE A e √~ 2) ψ(x) = 2m(E−V0 ) t · eiq(x−x0 ) q= B ~ Beachte: (x − x0 ) da sonst Stetigkeit nicht funktioniert. 3) Stetigkeit: ψ, ψ0 x=x0 : 1 + r = t , ik(1 − r) = iqt Z : Anzahl positive Ladungen (Atomkerne) e : Elementarladung EF: ψn (r, ϑ, ϕ) = u(ρ) ρ 1) SG: · Ylm (ϑ, ϕ) mZ2 e4 2(4π0 )2 ~2 1 EW: En = − , n=N+l+1 n2 N: Abbruchstelle der Summe im Radialteil l: Orbital n : Schale ⇒ , |k−q|2 |k+q|2 2k t = k+q q q 2 T = k |t|2 = k 4k 2 |k+q| Für welche Energien ist R = 1? R=1 ⇔ 4) R = |r|2 = , q rein imaginär! ~j = ~k (1 − |r|2 ) = j0 − jr A m ~jB = ~q |t|2 m 3.5 Eindimensionale Probleme j R := jr = |r|2 Zur Bestimmung der stationären Zustände eines Teilchens mit Masse m in einem äusseren Potentialfeld müssen wir EW und Eigenzustände des Energieoperators (Hamiltonoperators) berechnen. (E − V(~r))Ψ(~r) = 0 lösen. (lin, DGl 2. Ordnung) d.h. ∆ + 2m ~2 RB auf Flächen σ mit endlichen Potentialsprüngen sind Stetigkeit von ~ auf σ. Ψ und ∇Ψ e j q T := jt = k |t|2 e 3.6 Drehimpulsoperator karthesische Koordinaten ~ = i~∇ ~ × ~r ~L = ~r × ~ p , L̂ = r̂ × p̂ = ~r × (−i~∇) Aufgabe: Teilchen im Kasten mit undurchlässigen Wänden Masse m im Potentialtopf L L V(x) = ∞ für ≤ x ≤ − 2 2 V(x) = 0 für − k−q r = k+q Kugelkoordinaten x → r sin(ϑ) cos(ϕ) y → r sin(ϑ) sin(ϕ) z → r cos(ϑ) L L ≤x≤ 2 2 2 Löse DGl [ d 2 + k2 ]Ψ(x) = 0 im Gebiet − L2 ≤ x ≤ L2 mit k2 = 2m2 E. dx ~h allg. Lösung: Ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx) Weil das Problem spiegelsymmetrisch ist, kommutiert der Hamiltonoperator mit dem Paritätsoperator und die Eigenfunktionen sind entweder gerade oder ungerade. Dies bestimmt uns den folgenden Satz von Lösungen Ψ g (x) = A cos(kx) Ψu (x) = B sin(kx) RB: Ψ(± L2 ) = 0 Ψ g L2 = A cos(k g L2 ) = 0 ⇒ k g = Ψu L2 = A sin(ku L2 ) = 0 ⇒ ku = Lösungen sollen mit R L L R2 −L 2 Ψ∗ (x)Ψ(x)dx = A2 2 −L 2 L R2 −L 2 nπ , n ungerade L nπ , n gerade L Drehimpulsoperatoren Lz = −i~ Ψ∗ Ψdx = 1 normiert werden. ! cos2 (k g x)dx = A2 L2 = 1 ⇒ A = q 2 L analog: B = q 2 L L̂2 = −~2 Eigenfunktionen und Eigenwerte q 2 2 nπ 2 EW: E g = π ~ 2 n2 , n ungerade Ψ g (x) = L cos( L x) = 0, n ungerade 2mL q 2 2 2 nπ Ψu (x) = EW: Eu = π ~ 2 n2 , n gerade L sin( L x) = 0, n gerade ∂ ∂ϕ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 (sin ϑ ) + 2 sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ2 ! 2mL [L̂z , L̂2 ] = 0) ⇒ L̂z und L̂2 haben (ausschliesslich) gemeinsame EF λ = ~m L̂2 ψ = βψ Ylm (ϑ, ϕ) |m| 6 l β = ~2 l(l + 1) L̂z ψ = λψ L̂z Ylm (ϑ, ϕ) = ~mYlm (ϑ, ϕ) L̂2 Ylm (ϑ, ϕ) = ~2 l(l + 1)Ylm (ϑ, ϕ) Aufgabe 7.3: Potenzialbarriere (Tunneleffekt) Aufgabe: EF und EW zu den Impulsoperatoren Finde EF/EW zu L̂zqund L̂2 Nur Methode wichtig, zu umfangreich für Prüfung. ~2 ∂2 + V(x) ψ = Eψ 1) SG: − 2m ∂x2 √ 1 · eikx + re−ikx k = 2mE A √~ 2m(E−V0 ) 2) ψ(x) = Ceiqx + De−iqx q= B ~ t · eikx C 3 sin θeiϕ Geg: Y11 (θ, ϕ) = − 8π Lösung Ylm sind definiert als EF zu L̂z und L̂2 mit EW ( 8 m~ ~2 l(l + 1) für L̂z für L̂2 Notation: < ϕn (x), ψ(x) > = < ϕn |ψ > Beweis für L̂z und Y11 : r q q 3 ∂ − ∂ iϕ 3 3 iϕ = i~ − L̂z Y11 = −i~ ∂ϕ sin ϑ eiϕ 8π sin ϑ e 8π sin ϑ ∂ϕ e = ~ 8π | {z } A: Matrix vi , u: Vektoren ~i ~i → (A~ A~ vi = u vi ) 1 = u |{z} |{z} Y11 ~i > <~ vj, u Basis A Beispiel für L̂2 und Y11 : ⇒ ~i bezüglich ~ j-te Koordinate von u vj L̂2 Y11 = ~2 1 · (1 + 1)Y11 = 2~2 Y11 <~ v j , A~ vi > = AV~ei | {z } 3.6.1 Kugelflächenfunktionen → (Ai j )V < v1 , Avi > < v , Av > 2 i i-te Spalte: < v3 , Avi > .. . Basiswechsel: i j-te Komponente von A bezüglich neuer Basis V: [Aij ]v =< v j , Avi > alles was wichtig ist, Rest zum Verständnis :-) [Ĥnm ]|ϕ> =< ϕm |Hϕn > 3.7.3 Erwartungswert eines Operators bezüglich eines Zustandes |ψ > Ĥ|ϕn > = EN |ϕn > = En ~ v P n P vn |ψ > = wn |ϕn > = wn ~ n n 3.7 Erwartungswert, Matrixmechanik Erwartungswert eines Operators bez. eines Zustandes R P P ψ∗ (x) Ĥψ(x) dx < i wi vi , H j w j v j > < ψ, Hψ > R = = < H >ψ := < ψ|ψ > ... ψ∗ ψdx 3.7.1 Vektoren Ĥ hermitesch → EV von Ĥ bilden ein VONS |ϕn > (= ϕ(x)) Notation für EV von Ĥ: < ϕm , ϕn >= δmn Summe aus EV |ψ >= mit: = z }| { X P wn |ϕn > = < ϕn |ψ > |ϕn > n n P < ϕm |ψ >= wn < ϕm |ϕn >= wm < P i wi vi , P j wjEjvj > ... P = ij w∗i w j E j < vi , v j > ... P Ei |wi |2 = Pi 2 i |wi | Ei : EW des Zustandes ~ vi |wi |2 : Wahrscheinlichkeit des Zustandes ~ vi n < ϕ1 |ψ > < ϕ |ψ > X 2 |ψ >= < ϕn |ψ > |ϕn >= < ϕ3 |ψ > n .. . Erwartungswert = P EW (Eigenwert)·(W’keit des EW) Gesamtw’keit Satz Der Erwartungswert eines hermiteschen Operators ist reell. = Wahrscheinlichkeit dass |ψ > im Zustand |ϕn > < ϕn |ψ > = n-te Koord. v. |ψ > bzgl. des Basisvektors |ψn > = Projektion von |ψ > auf |ϕn > Bsp: Messreihe Ŝ, ψ: ~2 (−1, −1, 1, 1, 1, 1, −1, 1, 1, 1, −1, 1) Ŝϕ+ = + 2~ ϕ+ < S >ϕ = − ~2 · , 22 12 Ŝϕ− = − ~2 ϕ− √ 2 + ~2 · 128 → ψ= √ 2 ϕ− + 8 ϕ+ |{z} |{z} wi 3.7.2 Basiswechsel Anschaulich: wi 3.8 Elektronenkonfigurationen s:l=0 p:l=1 d:l=2 1s, 2s, 2p, 3 |{z} f :l=3 s |{z} Hauptquantenzahl Orbitalquantenzahl l) In der untenstehenden Tabelle sind die Energieniveaus nach ihrer Energie geordnet. Zuerst bestimmen wir die möglichen Besetzungen der einzelnen Zustände. Für einen Bahndrehimpuls l gibt es 2l + 1 mögliche z-Werte. Zu jedem dieser z-Werte gibt es zwei mögliche Werte für die z-Komponente des Spins. Also gibt es zu einem Bahndrehimpuls l → 2(2l + 1) verschiedene ~ v= < ex , v > < ey , v > ! ~ v0 = < e0x , v > < e0y , v > ! Zustände. Wegen dem Pauli-Prinzip kann jeder Zustand nur einmal von einem Elektron besetzt werden. Anschliessend füllen wir nacheinander die Zustände mit den tiefsten Energien auf. 9 < ϕ |H|ϕ > = E −A 0 ... −A 0 1 1 < ϕ2 |H|ϕ1 > = −A E0 −A 0 < ϕ |H|ϕ > = 0 −A E0 0 3 1 0 0 −A 0 · C ~ . . . . . . . . . −A 0 0 ... 0 ~ = Ei · 1C Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron in einem bestimmten Zustand: 1 2 |ci | = n = const. (Symmetrie) |ci |2 = |ci+1 |2 → ci+1 = ci eika ⇒ c j = √1 eika j =< ϕ j |ψ > , j ∈ Z n P P ika j < ϕ j |ψ > |ϕ j > = √1 e |ϕ j > |ψ > = √1 N N RB: 2π · n ψ(0) = ψ(Na) ⇒ kNa = 2π ⇒ k = Na En = E0 − 2A cos(kn )a) Bemerkung: Orthonormieren: |ϕn > 3.8.1 Beispiele , < ϕn |ϕm >= δnm Bemerkung: zeitabhängige Schrödingergleichung H+ -Ion ∂ ψ(t) Ĥψ(t) = i~ ∂t ⇒ i ψ(t) = e ~ Ĥ · tψ(0) Ĥ|ψ > = E|ψ > → Ansatz: |ψ > = CA |ϕA > +CB |ϕB > wobei |ϕA >, |ϕB > nicht EV von Ĥ, aber vielleicht |ψ > → gehe in Basis {|ϕA >, |ϕB >} → ~e1 , ~e2 ! ! CA CA Ĥ|ψ > = E|ψ >→ [Ĥ]ϕ = E · [1]ϕ CB CB ! ! < ϕA |HϕA > < ϕA |HϕB > CA < ϕB |HϕA > < ϕB |HϕB > CB ! ! < ϕA |ϕA > < ϕA |ϕB > CA =E < ϕB |ϕA > < ϕB |ϕB > CB ! ! ! ! HAA HAB CA 1 S CA =E ⇒ S 1 HBA HBB CB CB ! ! HAA − E HAB − ES CA ⇒ =0 HBA − ES HBB − E CB Eigenwertproblem für E: EV: |ψ > und EW: E Bemerkung: wenn Problem spiegelsymmetrisch → kommutiert mit Parität → gerade oder ungerade Funktion → diagonalisieren fällt weg allgemeine Aufgabenstellung: ! . geg.: Ĥ = (. . . ), ψ = . . ges.: exakte Energie, stationiärer Zustand Ĥ ψ = E ψ |{z} |{z} stationärer Zust. = ˆ EV → exakte Energie = ˆ EW Matrix diagonalisieren HN -Molekül 4 Aufgaben Aufgabe: 1) finde SG 2) finde EV, EW 8 mögliche Zustände: |ϕn > ↔ ~en P Wellenfunktion von Elektron: |ψ > = wn |ϕn > Ĥ |ϕn > / |ϕn > A: Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron zum nächsten Atom überspringt |ϕi > : Wahrscheinlichkeit, dass Elektron bei i |ϕi+1 > : Wahrscheinlichkeit, dass Elektron bei i + 1 < φi+1 |H|ϕi > =< ϕi+1 |A|ϕi+1 > = A · 1 < ϕi+1 |H|ϕi > = 0 < ϕi |H|ϕi > = E0 C1 C1 C2 C2 Ĥ|ψ > = E|ψ > → [H]ϕ . = Ei [1]ϕ . . . . . C8 C8 1. Ladung in homogenem, statischem Magnetfeld ~ = (0, 0, B). Geg: Ladung q, eingebettet in homogenem, statischem Magnetfeld B t=0:~ x0 , ~ v0 a) Zeige vz ist konstant b) Zeige Ek in ist konstant Lösung vx 0 v y ~L = q~ ~ = q v y × 0 = qB −vx a) Lorentzkraft: F v×B B vz 0 Es wirkt also entlang z-Achse keine Kraft → z-Komp. bleibt erhalten. b) In statischem Magnetfeld hat q keine potentielle Energie. → Ekin = Etot ∂ E ∂ 1 v2 = 1 m2~ ~L · ~ Betrachte Änderung der Energie, d.h. die Leistung: P = ∂t v~a = F v= kin = ∂t 2 m~ 2 v y vx qB −vx · v y = qB(v y vx − vx v y + 0 · vz ) = 0 0 vz 10 2. Elektron auf Kreisbahn in homogenem Magnetfeld Geg: Elektron (q, m) auf kreisförmiger Schleife in x − y-Ebene mit Radius R. ~ = B0 t~ez wird eingeschaltet t = 0:homogenes Magnetfeld B(t) Felder von Elektron erzeugt und Maxwell’scher Verschiebungsstrom wird vernachlässigt. a) Bewegungsgleichung b) deren Lösung ~ = B0 sin(Ωt)~ez c) dasselbe für B Lösung Definitionen Eigenvektor, Eigenwert Ein Vektor e , 0, für den mit einem geeigneten λ ∈ R gilt Ae = λe, heisst ein Eigenvektor der Abbildung A; die betreffende Zahl λ ist der zugehörige Eigenwert von A. Eigenvektoren ändern durch die Multiplikation mit der zugehörigen Matrix a) magnetisches Wechselfeld induziert zeitabhängige elektrische Felder, aus Symmetrie- ihre Wirkungslinie nicht. gründen tangential zur kreisförmigen Schleife. → E-Feld kann die Bewegung des Elektrons beschleunigen oder abbremsen. R H ~ ~ S ~ r = − d Bd Faraday-Gesetz: Ed~ λ0 ist EW zu EV v dt d πR2 B(t) = −πR2 B0 (t) = −B πR2 ⇔ 2πRE(R) = − dt 0 ~ r) = E(R)~eϕ ⇔ E(R) = − R B0 und in Zyl.koord: E(~ ⇔ f (v) = λ0 · v ⇔ det( f − λ0 Id ) = 0 2 einzige zeitlich veränderliche Koord. ist ϕ. ¨ = qE(~ ~ r) ⇒ mRϕ̈ = −q R B0 ⇒ ϕ̈ = − q B0 BGL: m~r 2 2m q − 2m B0 b) zweimalige Integration: ϕ̈(t) = ⇒ϕ= ~ = B0 sin(Ωt)~ez im Faraday-Gesetz: c) B(t) q − 4m B0 t2 Berechnung der EV zu EW: ⇒ (A − λ0 Id )v = 0 + αt + β geometrische Vielfachheit Anzahl der frei wählbaren Parameter eines EV. α − β 1 −1 β Beispiel: u = = α 0 + β 1 α 1 0 → geom.Vielfachheit 2 2πRE(R) = −πR2 B0 (t) = −πR2 B0 Ω cos(Ωt) ⇔ E(R) = − R2 B0 Ω cos(Ωt) ⇔ mRϕ̈ = −q R2 B0 Ω cos(Ωt) q ⇔ ϕ̈ = − 2m B0 Ω cos(Ωt) Eigenraum Der Eigenraum Eλ zum EW λ enthält sämtliche EV zum EW λ. Eλ := {x ∈ V|Ax = λx} q B ⇔ ϕ = − 2m Ω0 cos(Ωt) + αt + β 3. NH3 -Molekül Geg: NH3 -Molekül mit zwei Konfigurationen mit jeweils Energie E0 Matrixelement (ψ1 |H|ψ2 ) = (ψ2 |H|ψ1 ) = −A sei endlich. Ges:) EW und EF Lösung " # " # 1 0 Wähle für Zustand ψ1 die Darstellung und für ψ2 . 0 1 " # E0 −A Hamilton-Operator −A E " # 0 E0 − E −A EW: det = 0 ⇒ EI = E0 + A, EII = E0 − A −A E0 − E # #" " ψI1 E0 − EI −A = 0 ⇒ ψI1 = E A ψI2 = −ψI2 EF: ψI2 −A E0 − EI 0 −EI " # Normierung 1 1 √ ⇒ ψI = −1 2 " #" # E0 − EII −A ψII1 = 0 ⇒ ψII1 = ψII2 −A E0 − EII ψII2 " # Normierung 1 1 ⇒ ψII = √ 1 2 Merke : Alternative chp Berechnung 2 × 2-Matrix pA (λ) = λ2 − tr(A)λ + det(A) 3 × 3-Matrix pA (λ) = λ3 − tr(A)λ2 + (det(A1 ) + det(A2 ) + det(A3 ))λ − det(A) 4. Operator Rπ Geg: QM Operator Rπ eine Rotation um Winkel π um die z-Achse beschreibend: Rπ ψ(x, y, z) = ψ(−x, −y, z) a) Zeige: Rπ ist hermitesch b) Finde alle möglichen EW von Rπ c) Geg: f (x, y, z). Konstruiere daraus eine Eigenfunktion zu jedem möglichen EW von Rπ d) Wir bestimmen die dem Operator Rπ entsprechende Messgrösse in den folgenden Zuständen: i) Y11 ∝ x + iy ii) Y10 ∝ 1 = R∞ R∞ R∞ • Jeder Vektor e , 0 ist EV zum EW 0. Ist kern A = {0}(d.h. A ist regulär), so ist 0 kein EW von A. • Die Summe der Diagonaleinträge (die Spur) jeder Matrix ist gleich der Summe der EW. • Wenn Eigenvektoren die Spalten von einer Matrix T sind, bildet T Vektoren in der neuen Basis auf Vektoren in der alten Basis ab. iii) Y1−1 ∝ x − iy Welche Messwerte erhalten wir? Lösung a) Zeige (ϕ, Rπ ψ) = (Rπ ϕ, ψ) (ϕ, Rπ ψ) Merke • Nullvektor ist nie ein EV, Null kann aber ein EW sein. • Bei einer Diagonalmatrix sind EW gerade die Diagonalelemente −→ det ist Produkt der EW ϕ∗ (x, y, z)ψ(−x, −y, z)dxdydz −∞ −∞ −∞ ∞ −∞ −∞ x0 =−x R R R = ϕ∗ (−x0 , −y0 , z)ψ(x0 , y0 , z)dx0 dy0 dz(−1)2 y0 =−y −∞ ∞ ∞ R∞ R∞ R∞ = ϕ∗ (−x, −y, z)ψ(x, y, z)dxdydz = (Rπ ϕ, ψ) −∞ −∞ −∞ b) Sei ψλ (x, y, z) eine EF von Rπ zum EW λ. Wende rπ zweimal auf ψλ an: Rπ (rπ ψλ (x, y, z)) = Rπ (λψλ (x, y, z)) = λ2 ψλ (x, y, z) Andererseits: Rπ (Rπ ψλ (x, y, z)) = Rπ ψλ (−x, −y, z) = ψλ (x, y, z) Also λ2 = 1 ⇒ λ = ±1 c) Aus beliebiger Funktion f (x, y, z) können wir durch Linearkombination EF gewinnen: ψ+ = f (x, y, z) + f (−x, −y, z) mit Rπ ψ+ = ψ+ ψ− = f (x, y, z) − f (−x, −y, z) mit Rπ ψ− = −ψ− d) Wir wenden Rπ auf die einzelnen Funktionen an und erkennen, dass es sich bei diesen Funktionen um EF handelt. Wir messen also jeweils den entsprechenden EW: i)Rπ Y11 ∝ −x − iy = −(x + iy) ∝ −Y11 ⇒ λ = −1 Satz A reell, symmetrisch, dann gilt: • A ist diagonalisierbar • Es gibt eine orthonormale Eigenbasis zu A • Es gibt eine orthogonale Matrix T, sodass T−1 AT = TT AT diagonal ist. In der Diagonalen stehen die EW von A, Spalten von T sind normierte EV von A. • EV von versch. EW stehen senkrecht aufeinander ii)Rπ Y10 ∝ 1 ∝ Y10 ⇒ λ = 1 iii)Rπ Y1−1 ∝ −x + iy = −(x − iy) ∝ Y1−1 ⇒ λ = −1 Satz Zu verschiedenen EW gehörende EV sind linear unabhängig. 5 Eigenwertproblem 11
