3.1. ELEKTROSTATIK 59 Im Folgenden leiten wir eine alternative

59
3.1. ELEKTROSTATIK
Im Folgenden leiten wir eine alternative Form der Energie des elektrostatischen Feldes über das Potential her.
Hierfür verwenden wir wieder:
E = −∇ϕ
Also:
1
WE =
8π
Z
E ◦ Ed3 r
V
1
=−
8π
Z
E ◦ ∇ϕd3 r
V
Um dies weiter umzuschreiben, betrachte:
∇(ϕ · E) = ∇ϕ ◦ E + ϕ · ∇E
∇(ϕ · E) − ϕ · ∇E = E ◦ ∇ϕ
Setzt man dies ein, so erhält man:
1
WE = −
8π
Z
1
∇(ϕ · E)d r +
8π
3
V
Z
ϕ · div(E)d3 r
V
Jetzt benutzen wir noch die erste Maxwell-Gleichung und wenden den Satz von Gauß auf das erste Integral an:
Z
Z
1
1
WE = −
ϕ · EdA +
ϕ · 4πρd3 r
8π
8π
V
∂V
Aus den Randbedingungen folgt:
lim
Z
V →∞
∂V
ϕ · EdA = 0
Die Energie des elektrostatischen Feldes im gesamten Raum lässt sich schreiben als:
Z
1
WE =
ϕ(r) · ρ(r)d3 r
2
(3.39)
R3
3.1.7.1
Diskussion:
WE ist die Hälfte der Potentiellen Energie einer Ladungsverteilung ρ(r) im Potential ϕ(r). Jetzt stellt sich die
Frage nach dem Grund für den Faktor 12 . Die Antwort ist, dass ϕ kein äußeres Potential ist, sondern durch
ρ(r) selbst erzeugt wird. Der Faktor 21 verhindert Doppelzählungen. Schauen wir uns dies am Beispiel von N
Punktladungen an:
ρ(r) =
N
X
i=1
ϕ(r) =
qi δ(r − ri )
N
X
i=1
qi
|r − ri |
Es folgt für WE :
WE =
Z
R3
=
N
N
X
qj
1X
qi δ(r − ri )
2 i=1
|r
−
rj |
j=1
N
1 X qi qj
2 i,j=1 |ri − rj |
60
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Hier wird also jedes Paar zweimal gezählt und dies wird durch den Faktor 21 korrigiert. Es gibt allerdings noch
ein Problem. Die sogenannten Selbstwechselwirkung i = j ist unphysikalisch und existiert daher nicht. Das
Resultat für N Punktladungen ist also:
N
1 X q i · qj
2 i,j=1 |ri − rj |
WE =
(3.40)
i6=j
3.1.7.2
Beispiel:
Wir betrachten das Beispiel einer kontinuierlichen Ladungsverteilung, nämlich einer geladenen Kugelschale mit
Radius R und der Gesamtladung Q = 4πσR2 . Für die Ladungsdichte galt:
ρ(r) = σδ(r − R)
Außerdem haben wir in einer Übungsaufgabe Feld und Potential dieser Ladungsverteilung berechnet:
(
0,
r≤R
E(r) = Q
r,
r>R
3
r
ϕ(r) = Q
(
1
R,
1
r,
r≤R
r>R
Wir verwenden nun beide oben beschriebenen Wege um die Gesamtenergie des Feldes zu berechnen.
Z
1
|E|2 d3 r
WE =
8π
=
4π
8π
V
Z∞
Q2
1
· r2 dr
r4
R
1 Q2
=
2 R
Der zweite Weg ergibt:
1
WE =
2
Z
ρ(r) · ϕ(r)d3 r
V
1
= σ4π
2
Z∞
ϕ(r)δ(r − R) · r2 dr
R
2πQ 2 Q
R
=
4πR2
R
2
1Q
=
2 R
3.1.8
Ladungen im externen elektrostatischen Feld
Bisher haben wir Felder betrachtet, die von den Ladungen selbst erzeugt wurden. Jetzt betrachten wir den
anderen wichtigen Fall das ein externes Feld (ϕext ,E ext ) anliegt. Wir untersuchen die Wirkung von ϕext auf
diese Ladungen (Energie, Kraft, Drehmoment). Hierbei nehmen wir an, dass es keine Rückwirkungen auf das
externe Feld/Potential gibt.
3.1.8.1
Energie von Ladungen im externen Potential
Da das Potential nicht von den Ladungen selbst erzeugt wird haben wir keine Doppelzählungen (keinen Faktor
1
2 ) und die Energie nimmt folgende Form an:
W =
N
X
i=1
qϕext (ri )
61
3.1. ELEKTROSTATIK
Dann nimmt die Energie für die allgemeine Verteilung ρ(r) die Form
Z
W = ρ(r)ϕext (r)d3 r
(3.41)
an. Nun betrachten wir den wichtigen Fall, dass das externe Potential schwach veränderlich über die Ausdehnung
der Ladungsdichte ist. Sei R der Ladungsschwerpunkt der Ladungsdichte. Dann können wir eine Taylorentwicklung von ϕext (r) um r = R durchführen:
Abbildung 3.12: Ladungsdichte mit Schwerpunkt R
Die Taylorentwicklung bis zum linearen Glied um R ist:
ϕext (r) = ϕext (R) + ∇ϕext (r)
= ϕext (R) −
3
X
i=1
r=R
r′ + ...
(r − R)i · Eext,i (R) + ...
wobei r′ = r − R ist. Dies setzen wir ein in 3.41 ein:
Z
W = ρ(r)ϕext (r)d3 r
V
=
Z
ρ(r)ϕext (R)d3 r −
V
Z
ρ(r)E ext (R)(r − R)d3 r + ...
V
Vergleicht man dies mit 3.32 und 3.33 so erhält man:
W (R) = Q · ϕext (R) − E ext (R) ◦ P + ...
(3.42)
,wobei P das Dipolmoment bezüglich eines Koordinatensystems mit Ursprung bei R ist. Dies kann man am
Beispiel zweier Dipole nachvollziehen. Der erste Dipol erzeugt ein für den anderen Dipol externes Feld gemäß:
E ext =
3r · (p1 ◦ r) − p1 r2
r5
Für die Energie ist dann:
Wdd = −p2 ◦ E ext
3r · (p1 ◦ r) − p1 r2
= −p2 ◦
r5
1 2
= 5 r · p1 ◦ p2 − 3 · (p2 ◦ r) · (p1 ◦ r)
r
Mit n =
r
r
wird die Energie zweier Dipole zu
Wdd =
p1 ◦ p2 − 3 · (n ◦ p1 ) · (n ◦ p2 )
r3
(3.43)
62
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Für die obigen Überlegungen gilt folgende Skizze, wobei α =<
) (p1 , p2 ) ist.
p1 α
p2
r
0
Abbildung 3.13: Skizze zur Energie zweier Dipole
Die minimale potentielle Energie, also die stabile Position stellt sich für α = 0 und p1 ||p2 ||n ein:
p1
p2
r
Wmin = − 2pr13·p2
Abbildung 3.14: Stabile Position zweier Dipole
3.1.8.2
Kraft auf Ladungen im externen Feld
Für eine Kraft gilt:
F = − grad W
Betrachten wir Gleichung 3.42 für den Fall eines Koordinatensystems bei R = 0 so erhält man:
Hierbei ist
F = Q · E ext (0) + (P · ∇)E ext (r)
r=0
+ ...
(3.44)
F L = Q · E ext
die Lorentzkraft, die das externe Feld ausübt und
F D = (P · ∇)E ext
die Kraft auf den Dipol im externen Feld.
3.1.8.3
Drehmoment auf Ladungen im externen Feld
Für Punktladungen gilt:
M=
N
X
i=1
ri × F i
Wenn F die Lorentzkraft des externen Feldes ist gilt:
M=
N
X
i=1
M=
qi ri × E ext
N
X
i=1
pi × E ext
Hierzu kommen noch Terme höherer Ordnung der Taylorentwicklung (∇E ext usw.)
(3.45)
63
3.2. MAGNETOSTATIK
3.2
3.2.1
Magnetostatik
Grundgleichungen der Magnetostatik
Wir schon zuvor entkoppeln B und E für zeitunabhängige Prozesse. Die relevanten Maxwell-Gleichungen für
dieses Teilgebiet sind:
div B = 0
(3.46)
und
rot B =
4π
j
c
(3.47)
Man kann dies mit B = rot A und der Coulombeichung(div A = 0) schreiben als:
∆A = −
4π
j
c
(3.48)
Mit dieser festgelegten Eichungen sind die Gleichungen für B und A bis auf Konstanten äquivalent. Die Bewegungsgleichungen für A ist die Lösung der vektoriellen Poissongleichung (3 skalare Poissongleichungen):


 
∆Ax
jx
4π
∆Ay  = −
 jy 
c
∆Az
jz
(3.49)
Die allgemeine Lösung bekommt man durch die Analogie zur Lösung von ∆ϕ = −4πρ.
Die allgemeine Lösung der Poissongleichung für A ist gegeben durch:
Z
j(r′ ) 3 ′
1
d r
A(r) =
c
|r − r′ |
(3.50)
Dies gilt für:
lim j = lim ∇i j = 0
|r|→∞
|r|→∞
(3.51)
Ist die obige Randbedingung nicht erfüllt so gibt es Zusatzterme. Dies bedeutet, dass es in unserem Fall nur
räumlich begrenzte Stromdichten gibt. Ebenso gilt obige Lösung nur in der Abwesenheit anderer Körper, also
nur im Vakuum. Nun ist B aus der Lösung des Vektorpotentials zu finden:
B(r) = rot A(r)
Z
j(r) 3 ′
1
=
d r
∇r ×
c
|r − r′ |
Wir führen die folgende Nebenrechnung durch:
∇r
1
1
=−
(r − r′ )
|r − r′ |
|r − r′ |3
Wir tauschen nun den Vorfaktor im Kreuzprodukt und erhalten folgendes Gesetz.
Das Magnetfeld B(r) für eine beliebige Stromverteilung j(r) ergibt sich gemäß des Biot-Savart-Gesetzes:
1
B(r) =
c
Z
j(r′ ) ×
r − r′ 3 ′
d r
|r − r′ |3
(3.52)
64
3.2.1.1
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Spezialfall dünner Ströme
Äquivalent zum Modell der Punktladung für die Ladungsdichte besprechen wir nun das Modell des Linienstroms
für die Stromdichte. Als Linienstrom definieren wir einen dünnen Strom entlang einer Kontur L.
Abbildung 3.15: Modell des Linienstroms I entlang L
Da wir für die Magnetostatik analog vorgehen möchten macht es Sinn sich noch einmal das Modell in der
Elektrostatik in Erinnerung zu rufen.
Abbildung 3.16: Ladungsdichte für punktförmiges Modell
Für die Gesamtladung galt:
Q=
Z
M
X
ρd3 r ≈
∆Qi
i=1
Die Ladungsdichte ging mit dieser Überlegung in
ρ(r) =
lim
M
X
∆Vi →0
M →∞ i=1
Q=const
qi δ(r − ri )
über. Analog Zerlegen wir nun einen Strom I in eine Überlagerung von Strömen Ii entlang der Konturen Li
I=
Z
j(r)df ≈
Dies ist wieder exakt für M → ∞ und I = const.
M
X
i=1
j i ∆f i =
M
X
i=1
Ii
65
3.2. MAGNETOSTATIK
Abbildung 3.17: Stromdichte für linienförmiges Modell
Die Kontur L parametrisieren wir mit der Kurve γ gemäß
γ : s 7→ R3
mit s ∈ [smin , smax ] ⊂ R. Die Parametrisierung γ muss je nach Problemstellung geschickt gewählt werden. In
den Gleichungen 3.52 und 3.50 treten vektorielle Kurvenintegrale auf. Allerdings muss man vorsichtig sein mit
dem Begriff Kurvenintegral. In der Mathematik gibt es Kurvenintegral erster und zweiter Art und beide liefern
skalare Größen. Im zweiten Fall wäre dies zum Beispiel das Integral, welches die Arbeit liefert. Hier treten
auch Integrale auf die vektorwertige Größen liefern. Dies ist dann so zu verstehen, dass das Integral in jede
Komponente mit hereinzuziehen ist. Welche Variante verwendet wird ist aus dem Zusammenhang klar. In den
Gleichungen 3.50 und 3.52 erkennt man, dass wir folgendes Integral zu lösen haben:
Z
Z
Z
j(r′ )d3 r′ = df j(γ(s))γ ′ (s)ds
γ
Hier haben wir aus dem Volumenintegral ein Flächenintegral gemacht. Der Vektor γ ′ (s) steht für jeden Parameter s senkrecht auf der Kontur L.
Abbildung 3.18: Kurve γ für den Linienstrom
Für die Stromdichte eines Linienstroms Ii gilt:
j(r) ∝
(
I 6= 0,
0,
r∈L
r∈
/L
66
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Man könnte also die Proportionalität j(r) ∝ δ(r − γ(s)) annehmen und wie folgt definieren.
Die Stromdichte eines Linienstroms entlang L parametrisiert durch γ ist gegeben durch:
sZ
max
δ(r − γ(s))γ ′ (s)ds
j(r) = I
(3.53)
smin
Wir testen nun ob diese Definition konsistent ist indem wir folgendes berechnen:
Z
Z
j(r)df = I
γ ′ (s)ds
Z
δ(r − γ(s))df = I
,da man immer eine Parametrisierung nach Bogenlänge (γ ′ = 1) für jede Kurve γ finden kann. Dies bestätigt,
dass obige Definition sinnvoll war. Nun bleibt noch A und B für einen Linienstrom zu bestimmen. Hierzu setzen
wir 3.53 in Gleichung 3.50 ein:
Z
I
A(r) =
c
A(r) =
I
c
1
d r
|r − r′ |
3 ′
V
sZ
max
smin
Z
δ(r′ − γ(s))γ ′ (s)ds
γ
1
γ ′ (s)ds
|r − γ(s)|
(3.54)
Analog erhält man das magnetische Feld aus Gleichung 3.52:
I
B(r) =
c
B(r) =
I
c
Z
3 ′
d r
sZ
max
smin
Z
dsδ(r′ − γ(s)) ×
γ
γ ′ (s) × (r − γ(s))
ds
|r − γ(s)|3
r − r′
|r − r′ |3
(3.55)
Durch direkte Rechnung kann
B = rot A
gezeigt werden.
3.2.2
Anwendungen und Lösungsverfahren
Sei j(r) gegeben. Wir suchen nun für bestimmte Fälle das Vektorpotential und das Magnetfeld im gesamten
Raum.
3.2.2.1
Beispiel 1: Langer gerader Leiter
Wir legen den Leiter parallel zu z-Achse. Also gilt:
j(r) = j eˆz
Wir wählen Zylinderkoordinaten (êρ , êϕ , êz ). Diese bilden ein orthonormales Dreibein und es gilt folgender
Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten:
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
z=z
ρ = x2 + y 2
67
3.2. MAGNETOSTATIK
y
êϕ êρ
r
I
ϕ
x
Abbildung 3.19: Skizze zur Wahl der Koordinaten beim geraden Leiter
Wir diskutieren nun drei verschiedene Wege.
3.2.2.2
Beispiel 1: Magnetfeld aus der Maxwell-Gleichung finden
Die vierte Maxwell-Gleichung in Integralform lautet:
Z
Z
rot Bdf =
F (L)
4π
jdf =
c
I
Bdr
L
F (L)
Also Kontur L wählen wir den Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius ρ. Aufgrund der Zylindersymmetrie und
der dritten Maxwell-Gleichung ist das Magnetfeld tangential an dieser Kontur und es gilt:
B = B · êϕ ||dr
Auch ist B unabhängig von ϕ und damit konstant auf der Kontur. Mit diesen Vorbetrachtungen kann man sich
die Parametrisierung sparen und schreiben:
I
Bdr = B(ρ) · 2πρ
L
Nun verbleibt es noch die folgende Gleichung zu lösen:
2πρB(ρ) =
Z
4π
jdf
c
F (L)
4π
I
c
2I 1
⇒ B(ρ) =
·
c ρ
=
Um dies mit einer Richtung zu versehen machen wir eine Vorüberlegung:
êz × r = êz × (z · êz + ρ · êρ ) = êz × ρ · êρ = ρêϕ
Also können wir schreiben:
2I
êϕ
cρ
2
B(r) = 2 (I · êz ) × r
cρ
B(r) =
3.2.2.3
Beispiel 1: Finde zunächst das Vektorpotential
Mit Formel 3.50 gilt für das allgemeine Vektorpotential:
Z
j(r′ ) 3 ′
1
A(r) =
d r
c
|r − r′ |
(3.56)
68
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
In unserem Fall gilt
j(r) = j · êz
Wir legen den langen Leiter so entland der z-Achse, dass er symmetrisch um den Nullpunkt liegt. Die jeweiligen
Endpunkte haben die Koordinaten (0, 0, l) und (0, 0, −l). Die Parametrisierung wählen wir demnach zu:
 
0
3
γ : [−l, l] 7→ R : s 7→ 0
s
Es ist also
γ ′ (s) = 1 · êz
Es kann wieder aufgrund der Zylindersymmetrie keine ϕ-Abhängigkeit geben. Wie bereits zuvor teilen wir das
Volumenintegral auf:
Z
Z
1
1
A(ρ, z) =
df j(γ(s))γ ′ (s)
ds
c
|r − γ(s)|
γ
1
= · êz
c
I
=
c
Zl
Z
Zl
jdf
−l
1
p
−l
ρ2
1
p
ρ2
+ (z − s)2
+ (z − s)2
ds
ds
Hierbei haben wir benutzt, dass I und damit auch j konstant auf der Kontur γ(s) ist. Dieses Integral berechnet
sich zu:
q

ρ 2
I  1 + l + 1
(3.57)
A(ρ, z) = ln q
2
c
1 + ρl − 1
Betrachtet man nun den Fall des sehr langen Leiters (l >> ρ), so liefert eine Taylorentwicklung:
!
2 "
2 + 12 · ρl
I
A(r) ≈ ln
ρ 2
1
c
2 · l
!
"
4
I
= ln
+1
ρ 2
c
l
l2
I
≈ ln 4 · 2
c
ρ
Dies divergiert für l → ∞, was daran liegt, dass die Formel für A hier nicht gilt, weil die Randbedingungen
nicht erfüllt sind.
3.2.2.4
Beispiel 1: Magnetfeld aus Linienströmen berechnen
Das Biot-Savart-Gesetz für Linienströme war:
I
B(r) =
c
sZ
max
smin
γ ′ (s) × (r − γ(s))
ds
|r − γ(s)|3
Wir wählen die Parametrisierung wie im Verfahren zuvor und erhalten:
B(r) =
I
c
Zl
−l
=
êz × (r − s · êz )
p
3 ds
ρ2 + (z − s)2
I
· êz × r
c
Zl
−l
1
p
ρ2
+ (z − s)2
3 ds
69
3.2. MAGNETOSTATIK
Wir verwenden folgendes Integral:
Z
dx
(a2
+
=
3
x2 ) 2
1
x
√
2
2
a
a + x2
Damit können wir das vorige Integral auswerten.
$l
#
I
s
p
B(r) = · êz × r
c
ρ2 ρ2 + (z − s)2 −l
$
#
I
1
1
l
= · êz × r 2 p
−p
c
ρ
ρ2 + (z − l)2
ρ2 + (z + l)2
Zieht man l wieder in die Klammer und betrachtet den Grenzübergang mit l >> ρ so folgt das oben bereits
erhaltene Ergebnis:
B=
2I
êz × r
cρ2
Diese Lösung ist für alle Längen l möglich. Wie auch in der Elektrostatik kann man hier alternativ auch über die
Greenfunktion oder die Fourier-Transformation vorgehen. Dies wollen wir hier aber nicht tun. Wir behandeln
noch ein Beispiel.
3.2.2.5
Beispiel 2: kreisförmiger dünner Leiter
Wir betrachten nun einen kreisförmigen dünnen Leiter mit einem Radius R, der von einem Strom I durchflossen
wird. Wir wählen Zylinderkoordinaten und legen das System so, dass die Leiterschleife in der x,y-Ebene liegt.
y
L
I
−R
R
x
ϕ
r(ρ, ϕ, z)
z
Abbildung 3.20: Skizze eines kreisförmigen Leiters
Die Formel des Vektorpotentials war gegeben durch:
I
A(r) =
c
sZ
max
smin
1
γ ′ (s)ds
|r − γ(s)|
Die Kurve γ welche die Kontur L parametrisiert definieren wir zu:


R cos t
γ : [0, 2π] → R3 ; t 7→  R sin t 
0
mit:
γ ′ (t) =
−R sin t
R cos t
70
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Der Vektor r ist in Zylinderkoordinaten gegeben mit:


ρ cos ϕ
r =  ρ sin ϕ 
z
, wobei r2 = ρ2 + z 2 gilt. Hiermit ergibt sich für das Vektorpotential:


Z2π −R sin t
I
1
 R cos t  

A(r) =
ρ cos ϕ − R cos t dt
c
0
0
 ρ sin ϕ − R sin t 
z
Betrachte nun zunächst den Teil |r − γ(t)|:
p
|r − γ(t)| = (ρ cos ϕ − R cos t)2 + (ρ sin ϕ − R sin t)2 + z 2
p
= ρ2 + R2 − 2ρR(cos t cos ϕ + sin ϕ sin t) + z 2
p
= ρ2 + R2 + z 2 − 2ρR cos(ϕ − t)
Setzt man dieses Ergebnis in das Vektorpotential ein, betrachtet nur die Ax (r) Komponente und erweitert mit
1
r , so erhält man:
Sei nun x =
R
r
IR
Ax (r) = −
êx
rc
Z2π
IR
=−
êx
rc
Z2π
0
0
sin t
p
q
ρ2
+
z2
R2
+
− 2ρR cos(ϕ − t) ·
sin t
R2
r2
1+
2ρ
r
−
·
1
r
dt
dt
R
r
cos(ϕ − t)
und betrachte den Fall x ≪ 1, also r ≫ R:
Ax (r) = −
IR
êx
rc
Z2π
0
sin t
q
x2
1+
−
2ρ
r
dt
· x cos(ϕ − t)
Wir führen also eine Taylorreihenentwicklung für die Funktion f zum Entwicklungspunkt 0 durch mit:
f (x) = q
1
1 + x2 −
2ρ
r x cos(ϕ
− t)
f (0) = 1
− 23
2ρ
2ρ
1
2
2x −
cos(ϕ − t) · 1 + x − x cos(ϕ − t)
f (x) = −
2
r
r
ρ
′
f (0) = cos(ϕ − t)
r
′
Also gilt mit x =
R
r
nun wieder:
IR
Ax (r) ≈ −
êx
cr
=−
=−
Ax (r) =
Z2π
0
IR h
êx
cr
ρR
sin t 1 + 2 cos(ϕ − t)
r
Z2π
sin tdt +
0
|
ρIR2
êx
cr3
0
{z
=0
Z2π
0
|
Z2π
}
i
ρR
cos(ϕ − t) sin tdt
2
r
cos(ϕ − t) sin tdt
{z
=π
IR2 ρ
· π(− sin ϕ)êx
cr3
}
71
3.2. MAGNETOSTATIK
analog folgen
Ay (r) =
IR2 ρ
· π(cos ϕ)êy
cr3
und
Az (r) = 0
Mit der Definition des Einheitsvektors entlang des Polarwinkels (êϕ = − sin ϕêx + cos ϕêy )erhält man:
IR2 ρ
πêϕ
cr3
A(r) =
Das heißt A ist parallel zur Richtung der Stromdichte. Führt man die folgende Größe ein
m=
πIR2
êz
c
(3.58)
die nur von den geometrischen Eigenschaften des Leiters abhängt, so folgt:
A(r) =
m×r
r3
(3.59)
Dies testen wir einmal:
ρêϕ = êz × êρ = êz × (r − zêz ) = êz × r
Diese Definition ist ein Spezialfall der Materialgröße magnetisches Dipolmoment. Gleichung 3.58 stellt also
das magnetische Dipolmoment eines kreisförmigen Stromes dar. Vergleicht man dieses mit dem Dipolmoment
der Elektrostatik so fällt eine gewissen Analogie auf:
p◦r
r3
m×r
A(r) =
r3
ϕD (r) =
3.2.3
Magnetostatische Multipolentwicklung
Genau wie in der Elektrostatik betrachten wir die Wirkung (das B-Feld) einer Stromverteilung auf Objekte in
großem Abstand. Wir wählen den Parameter α also wieder zu:
α :=
L
|r|
wobei L die Ausdehnung der Verteilung ist.
Abbildung 3.21: Skizze zur magnetischen Multipolentwicklung
Wir erwarten dann, dass das Vektorpotential und damit auch das Magnetfeld in dieser Entfernung unabhängig
von Details der Stromverteilung j ist. Die Stromverteilung j(r) erzeugt am Ort r folgendes Vektorpotential:
1
A(r) =
c
Z
V
j(r′ ) 3 ′
d r
|r − r′ |