Aufgabe 3.1 (Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung): Es werde ei

Plasmaphysik Übung 3 (Besprechung am 08.12.2011 um 8.15 Uhr)
Aufgabe 3.1 (Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung):
Es werde ein System von Teilchen der Masse m und der homogenen Teilchendichte n 0 mit einer
Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung
m(vx2 + vy2 + vz2 )
m 3
2
f (vx , vy , vz ) = n0 (
) · exp(−
)
2πkT
2kT
betrachtet.
3.1.1: Im Folgenden
werden nicht die Geschwindigkeitskomponenten ben ötigt sondern nur der
q
2
Betrag v = vx + vy2 + vz2 . Man zeige, dass damit die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion
folgende Form annimmt:
g(v) = 4πn0 (
mv 2
m 3 2
) 2 v exp(−
)
2πkT
2kT
3.1.2: Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit v̄ und diejenige Geschwindigkeit v 0 die mit
der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.
Hinweise: Bei der Berechnung der mittleren Geschwindigkeit verwende man die Formel
Z∞
2
xn e−ax =
0
Γ( n+1
)
2
2a
n+1
2
für
a > 0, n > −1
Dabei gilt für die Gammafunktion Γ(n + 1) = n! für natürliche Zahlen n.
3.1.3: Welcher Anteil der Teilchen hat eine Geschwindigkeit v > v 0 ?
Hinweise: Die auftretenden bestimmten Integrale sind nicht analytisch l ösbar, lassen sich jedoch auf die “error function”
x
2 Z −u2
erf (x) = √
e
du
π
0
zurückführen die standardmäßig in mathmatischen Tafeln dokumentiert ist.
Aufgabe 3.2 (Elektronenschall):
In dieser Aufgabe soll die Dispersionsbeziehung für den Elektronenschall abgeleitet werden
(Te > 0, Ti = 0, mi = ∞).
3.2.1: Leiten Sie die Dispersionsrelation
2
ω 2 = ωpe
+ c2e k 2
q
mit der Schallgeschwindigkeit ce = γkB T /me ab.
Hinweise: Orientieren Sie sich an der Lösung zu Aufgabe 2.4. Das Gleichungssystem reduziert
sich wegen der Annahme über die Ionenmasse. In der Bewegungsgleichung beschreibt der Term
~ e die durch den Druckgradienten erzeugte Kraftdichte. Mit Hilfe der Adiabatengleichung
−∇p
leite man folgenden Zusammenhang zwischen ∇pe und ∇ne her:
∇pe = γkTe ∇ne
wobei γ der Adiabatenkoeffizient ist.
3.2.2: Berechnen Sie Phasen- und Gruppengeschwindigkeit.
Aufgabe 3.3 (Umfangsspannung im Tokamak):
Es wird die Konfiguration von Aufgabe 1.1 betrachtet, ein torusf örmiges Plasma mit einem
kleinen Radius r0 von 1 m und einem großen Radius R0 von 2.96 m. Wir betrachten ein reines
Wasserstoffplasma. In 0-ter Näherung kann die Temperatur als Funktion des kleinen Radius
betrachtet werden. Eine beliebte analytische Beschreibung ist T (r) = T 0 · (1 − ( rr0 )2 )µ .
3.3.1: Leiten Sie eine Formel für die Umfangsspannung Uind , die nötig ist um einen toroidalen
Gesamtstrom von 3 MA zu treiben, in Abängigkeit von T0 und µ.
Hinweise: Führen Sie die Rechnung für einen Zylinder der Länge 2πR0 durch. Rechnen Sie
mit ln Λ = 16 und vernachlässigen Sie die T, n Abhängigkeit des Coulomb-Logarithmus.
3.3.2: Berechnen Sie die Umfangsspannung für T0 = 2 keV und µ = 0.5.