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Plasmaphysik Übung 3 (Besprechung am 28.05.2010 um 13.15 Uhr)
Aufgabe 3.1 (Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung):
Es werde ein System von Teilchen der Masse und der homogenen Teilchendichte mit einer
Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung
%(
& ' )
& ' & *
"!$#
betrachtet.
3.1.1: Im Folgenden werden nicht die Geschwindigkeitskomponenten benötigt sondern nur der
+-, (
& ' .
& ' &
Betrag
. Man zeige, dass damit die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion
folgende Form annimmt:
&
/ 0132 4* & "!$# * 3.1.2: Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit 5 und diejenige Geschwindigkeit die mit
der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.
Hinweise: Bei der Berechnung der mittleren Geschwindigkeit verwende man die Formel
76
98;:=<?>*@
BA & GFI:DHCJ E K
FMLON für
L #QP
' PR
1S für natürliche Zahlen .
L ?
3.1.3: Welcher Anteil der Teilchen hat eine Geschwindigkeit
Dabei gilt für die Gammafunktion A
Hinweise: Die auftretenden bestimmten Integrale sind nicht analytisch lösbar, lassen sich je
doch auf die “error function”
XW=Y
7
1 U D< T 8
<?>V
zurückführen die standardmäßig in mathmatischen Tafeln dokumentiert ist.
Aufgabe 3.2 (Elektronenschall):
In dieser Aufgabe soll die Dispersionsbeziehung für den Elektronenschall abgeleitet werden
[Z\L]N _^ N ^ a`
(
,
,
).
b
3.2.1: Leiten Sie die Dispersionsrelation
& b
& ' d &Z &
cZ e
d Z , f =ghi Z ab.
mit der Schallgeschwindigkeit
Hinweise: Orientieren Sie sich an der Lösung zu Aufgabe 2.4. Das Gleichungssystem reduziert
sich wegen der Annahme über die Ionenmasse. In der Bewegungsgleichung beschreibt der Term
#kQjl m Z
die durch den Druckgradienten erzeugte Kraftdichte. Mit Hilfe der Adiabatengleichung
lnm Z
l Z
leite man folgenden Zusammenhang zwischen
und her:
lnm Z f [Z l
Z
wobei
f
der Adiabatenkoeffizient ist.
3.2.2: Berechnen Sie Phasen- und Gruppengeschwindigkeit.
Aufgabe 3.3 (Umfangsspannung im Tokamak):
Es wird die Konfiguration von Aufgabe 1.1 betrachtet, ein torusförmiges Plasma mit einem
kleinen Radius von 1 m und einem großen Radius op von 2.96 m. Wir betrachten ein reines
T
Wasserstoffplasma.
In 0-ter Näherung kann die Temperatur als Funktion des kleinen Radius
R *qPr#s_t $&wyx
betrachtet werden. Eine beliebte analytische Beschreibung ist
.
tvu
^
T
3.3.1: Leiten Sie eine Formel für die Umfangsspannung z
, die nötig ist um einen toroidalen
Gesamtstrom von 3 MA zu treiben, in Abängigkeit von und
:D{ | . Hinweise: Führen Sie die Rechnung für einen Zylinder der Länge on durch. Rechnen Sie
P‚
mit }~\€
und vernachlässigen Sie die Abhängigkeit des Coulomb-Logarithmus.
3.3.2: Berechnen Sie die Umfangsspannung für
keV und |
N0ƒ…„
.