5 - Digitale Schule Bayern

LK Mathematik
Stochastik
18
5.5 Die Ungleichung von Tschebyschew
Die Ungleichung von Tschebyschew liefert eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit,
mit der die Zufallsgröße X Werte außerhalb des Intervalls ] µ - c; µ + c[ annimmt.
(Quelle:Wikipedia)
Quelle:Wikipedia
P. L. Tschebyschow
(1821-1894)
Satz:
Sei X eine Zufallsgröße mit dem E(x)= Für c > 0 gilt:
Beweisidee:
P( |X - | ≥ c ) ≤
Var ( X )
c²
(FS, S. 109/13)
Gleichwertige Abschätzungen
Var ( X )
c²
P( |X - | ≥ c ) ≤
P( |X - | < c ) ≥ 1 ─

…um weniger als….
.... mindestens um....
Bemerkungen:
- Je größer c wird ist, desto geringer wird die WS
den Bereich außerhalb des Intervalls zu treffen.
- Die Abschätzung hängt nur von der Varianz ab.
- Die Abschätzung ist im allgemeinen sehr grob.
P( |X - | > c ) <
....
Var ( X )
c²
Var ( X )

c²
Var ( X )
c²
P( |X - | ≤ c ) > 1─
mehr als….
…..höchstens um….
Beispiele:
1. Fortsetzung des Beispiels aus 5.4: „Lateinschulaufgabe“
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen die Schaulaufgaben-Noten
der Lateinschulaufgabe
a) im Intervall [1,5 ; 5,5] , das heißt c = 2,
b) im Intervall [2,5 ; 4,5] , das heißt c = 1?
Vergleichen Sie die Abschätzungen nach Tschebyschew mit dem
exakten Wert.
P(X=x)
12/32
8/32
4/32
1
2
3
4
= E(X)
5
6
X=k
1
2
3
4
5
6
P(X = k)
1
30
4
30
10
30
10
30
4
30
1
30
2. Bedeutung der Standardabweichung 
Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft man mit einer beliebigen Zufallsgröße X in das Intervall
a) ] 
b) ] 
c) ] 
3. Abschätzung gegeben, Standardabweichung  gesucht
Bei der Produktion von Golfbällen schwankt der Balldurchmesser um den Erwartungswert 43,00 mm. Die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Durchmesser eines beliebig herausgegriffenen Balls weniger als 2,00 mm vom
Erwartungswert abweicht, soll mindestens 90 % betragen. Schätzen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschew
ab, wie groß die Standardabweichung hierfür höchstens sein darf. (vgl. Voll, S. 91/11; Abi 1993, IV)
www.mathematik.digitale-schule-bayern.de
© Maria Eirich, Andrea Schellmann
x
LK Mathematik
Stochastik
18
5.5 Die Ungleichung von Tschebyschew
Die Ungleichung von Tschebyschew liefert eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit,
mit der die Zufallsgröße X Werte außerhalb des Intervalls ] µ - c; µ + c[ annimmt.
- c
Satz:

Quelle:Wikipedia
P. L. Tschebyschow
(1821-1894)
+ c
Sei X eine Zufallsgröße mit dem E(x)= Für c > 0 gilt:
Beweisidee:
P( |X - | ≥ c ) ≤
Var ( X )
c²
(FS, S. 109/13)
Gleichwertige Abschätzungen
P( |X - | ≥ c ) ≤
Var ( X )
c²
Var ( X )
c²
P( |X - | < c ) ≥ 1 ─


.... mindestens um....
…um weniger als….
+
Bemerkungen:
- Je größer c wird ist, desto geringer wird die WS
den Bereich außerhalb des Intervalls zu treffen.
- Die Abschätzung hängt nur von der Varianz ab.
- Die Abschätzung ist im allgemeinen sehr grob.
P( |X - | > c ) <c
....
P( |X - | ≤ c ) > 1─
mehr als….
Beispiele:
1. Fortsetzung des Beispiels aus 5.4: „Lateinschulaufgabe“
Var ( X )

c²
Var ( X )
c²
…..höchstens um….
P(X=x)
c=1
12/30
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen die Schaulaufgaben-Noten
der Lateinschulaufgabe
8/30
a) im Intervall [1,5 ; 5,5] , das heißt c = 2,
b) im Intervall [2,5 ; 4,5] , das heißt c = 1?
4/30
Vergleichen Sie die Abschätzungen nach Tschebyschew mit dem
exakten Wert.
Abschätzung:
1
1,1833
 70,42 %
a) P(1,5 ≤ X ≤ 5,5 ) = P( |X – 3,5| ≤ 2 ) > 1 2²
1,1833
X=k
1
 - 0,1833
b) P( 2,5 ≤ X ≤ 4,5 ) = P( |X – 3,5| ≤ 1 ) > 1 1²
1
Exakter Wert:
P(X = k)
30
4 10 10 4
28




 93,3 %
a) P( |X – 3,5| ≤ 2 ) =
30 30 30 30 30
10 10 20



b) P( |X – 3,5| ≤ 1 ) =
66,7 %
30 30 30
Die Abschätzung liefert keine brauchbaren Ergebnisse mehr, wenn c² ≤ Var (X)
c=2
2
3
4
= E(X)
5
6
2
3
4
5
6
4
30
10
30
10
30
4
30
1
30
2. Bedeutung der Standardabweichung 
Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft man mit einer beliebigen Zufallsgröße X in das Intervall
²
a) ] 
P( |X - | <  ) ≥ 1 ─
=0%
²
²
b) ] 
P( |X - | < 2 ) ≥ 1 ─
= 75 %
2²
8
²
 88,8 %
c) ] 
P( |X - | < 3 ) ≥ 1 ─
=
3² 9
3. Abschätzung gegeben, Standardabweichung  gesucht
Bei der Produktion von Golfbällen schwankt der Balldurchmesser um den Erwartungswert 43,00 mm. Die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Durchmesser eines beliebig herausgegriffenen Balls weniger als 2,00 mm vom
Erwartungswert abweicht, soll mindestens 90 % betragen. Schätzen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschew
ab, wie groß die Standardabweichung hierfür höchstens sein darf. (vgl. Voll, S. 91/11; Abi 1993, IV)
www.mathematik.digitale-schule-bayern.de
© Maria Eirich, Andrea Schellmann
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