Prof. Eckhard Liebscher Fachgruppe Mathematik Aufgabenserie 1

Prof. Eckhard Liebscher
Fachgruppe Mathematik
Aufgabenserie 1 zur Vorlesung ”Stochastik - Computergestützte Datenanalyse”
1.a) Von drei Ereignissen A; B und C ist bekannt, dass P (A) = 0:6; P (A [ B) =
0:8; P (A\B) = 0:1; P (C) = 0:3; P (A\B \C) = 0:04; P (A\C) = 0:1; P (B \C) = 0:2.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten P (B); P (B); P (A \ B); P (A [ B); P (A \
B); P (A \ B); P (A [ B [ C); P (A j B); P (B j A).
b) Weiter ist D ein Ereignis mit P (D) = 0:2, so dass A und D unvereinbar sind. Ermitteln
Sie P (A \ D); P (A [ D) und P (A \ D).
c) Das Ereignis E mit P (E) = 0:2 sei so gegeben, dass A und E unabhängig sind.
Bestimmen Sie P (A [ E); P (A j E); P (E j A) und P (A \ E).
2.
Beim Würfeln betrachten wir die Ereignisse A :"Augenzahl gleich 6",
B :"Augenzahl ungerade" und C :"Augenzahl größ
er als 2". Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
a) A [ B, b) A \ B, c) B [ C, d) B \ C, e) B \ C.
f) Wir würfeln dreimal hintereinander. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass bei
jedem Wurf das Ereignis B \ C eintritt?
3. In der Holger-Humbelbain-Klinik in Bad Blausich gibt es 3 Abteilungen: die
Chirurgie, die Neurologie und die Abteilung für innere Medizin. Es ist bekannt, dass
ein Patient mit Wahrscheinlichkeit 0.45 in die Chirurgie und mit Wahrscheinlichkeit 0.2
in die Neurologie eingewiesen wird. Die Hälfte der eingewiesenen Patienten sind Männer.
Mit Wahrscheinlichkeit 0.15 ist die eingelieferte Person weiblich und begibt sich in die
Chirurgie. Mit Wahrscheinlichkeit 0.1 ist die eingelieferte Person männlich und wird in
die Neurologie eingeliefert. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die eingelieferte
Person
a) weiblich ist und in die Neurologie eingeliefert wird,
b) weiblich ist und in die Abteilung für innere Medizin eingeliefert wird,
c) männlich ist oder in die Chirurgie eingeliefert wird,
d) weiblich ist und nicht in die Neurologie eingeliefert wird,
e) weiblich ist oder nicht in die Neurologie eingeliefert wird.
Es wird gerade eine männliche Person eingeliefert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird
sie
f) in die Chirurgie bzw. g) in die Neurologie eingeliefert?
4. Herr Kaiser verkauft drei Sorten A; B; C von speziellen Messgeräten der Firma
Vagenius. 40% der Kunden kaufen nach Kontaktaufnahme mit Herrn Kaiser erfahrungsgemäßein Gerät vom Typ A, 25 % ein Gerät vom Typ B und 75% eines vom Typ C.
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Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl ein Gerät Typ A als auch eines vom Typ B gekauft
wird beträgt 0.15. Die Gerätetypen A und C werden mit Wahrscheinlichkeit 0.35 gekauft.
10% der Kunden kaufen kein Gerät und 5% kaufen je ein Gerät der drei Typen. Jeder
Kunde kauft höchstens ein Gerät eines Typs. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass
der Kunde
a) ein Gerät vom Typ A oder B kauft?
b) ein Gerät vom Typ A oder C kauft?
c) mindestens ein Gerät kauft?
d) ein Gerät vom Typ A, aber keines vom Typ B kauft?
e) ein Gerät vom Typ C, aber keines der anderen beiden Typen kauft?
f) Geräte vom Typ A und vom Typ B kauft?
5. Sechs Jäger schieß
en gleichzeitig und unabhängig auf einen Hasen. Jeder Jäger
tre¤e mit der Wahrscheinlichkeit 13 . Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) jeder Jäger den Hasen tri¤t bzw.
b) der Hase getro¤en wird.
6. Der Fachmarkt expertikus verkauft Fernsehgeräte von 3 Herstellern. Eine Verkaufsanalyse zeigte, dass 20% der Kunden ein Gerät der Marke ”Philips”, 30% eines der
Marke ”Grundig” und 50% eines der Marke ”Sony” erwerben. Die Wahrscheinlichkeit,
dass in der Garantiezeit eine Reparatur erforderlich ist, beträgt für die genannten Marken
0:01; 0:03 bzw. 0:05. Es kommt gerade ein Kunde mit einer Reklamation ins Geschäft.
Wie großsind die Wahrscheinlichkeiten, dass es sich dabei um ein Gerät einer der Marken
handelt?
7. Eine bei einem Nutzer ankommende E-Mail stammt mit Wahrscheinlichkeit 0.5 von
einem Arbeitskollegen und ist dienstlicher Natur. Mit Wahrscheinlichkeit 0.3 ist der Absender dieser E-Mail ein guter Bekannter aus dem privaten Bereich und mit Wahrscheinlichkeit 0.2 ist der Absender ein Versandhaus. Bei einer dienstlichen E-Mail erwartet
der Absender mit Wahrscheinlichkeit 0.9 eine sofortige Reaktion. Es ist unmittelbar eine
Antwort-E-Mail zu schreiben. Eine solche Reaktion ist bei einer E-Mail eines Bekannten
mit Wahrscheinlichkeit 0.2 und bei einer E-Mail von einem Versandhaus mit Wahrscheinlichkeit 0.1 erforderlich.
a) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass die eintre¤ende E-Mail sofort zu beantworten
ist?
b) Eine ankommende E-Mail ist unmittelbar nach dem Eintre¤en zu beantworten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass diese E-Mail von einem Arbeitskollegen, einem
guten Bekannten bzw. von einem Versandhaus stammt.
8. Der Anteil an der Gesamtbevölkerung, der an einer bestimmten Infektion erkrankt,
ist 0.01. Ein Diagnoseverfahren für diese Infektion habe die Irrtumswahrscheinlichkeit 0.2
für ein positives Testergebnis, obwohl die Testperson nicht in…ziert war. Dieses Verfahren
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besitzt die Irrtumswahrscheinlichkeit 0.05 für ein negatives Testergebnis, obwohl die Testperson in…ziert war.
a) Mit welcher Wkt. ist das Testergebnis einer zufällig ausgewählten Person positiv?
b) Angenommen ein Test war positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Patient
auch tatsächlich in…ziert?
c) Angenommen, es wurden 10 Personen zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist wenigstens eines der 10 Testergebnisse positiv, wenn die Gesamtbevölkerung
sehr großist?
9. Für das folgende System gebe man eine Formel für die Momentanverfügbarkeit des
Systems in Abhängigkeit von den Verfügbarkeiten p1 ; : : : ; p5 der Elemente an.
10. Für das folgende System gebe man eine Formel für die Momentanverfügbarkeit
des Systems in Abhängigkeit von den Verfügbarkeiten p1 ; : : : ; p5 der Elemente an.
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