Bestimmung von Gleichgewichtslagen Unterlagen zum Praktikum

STME
Bestimmung von Gleichgewichtslagen
WS 2009/10
Projektbeschreibung
Im Rahmen dieses einführenden Projektes werden die Gleichgewichtslagen eines ebenen 2-Massen-Systems untersucht. Die Analyse führt auf eine transzendente Gleichung, die mittels MATLAB numerisch gelöst wird.
a) Erstellen Sie einen Freischnitt des skizzierten Systems und formulieren Sie die
Gleichgewichtsbedingung für den Winkel ϕ.
b) Leiten Sie die in Teil a) ermittelte Gleichgewichtsbedingung mit Hilfe des Prinzips
der virtuellen Arbeit her.
c) Ermitteln Sie die Lösung(en) der in Teil a) bzw. b) hergeleiteten Gleichung mit
MATLAB.
d) Stellen Sie das Ergebnis graphisch dar.
Hinweis: Die Eigengewichte der beiden Stäbe sind zu vernachlässigen.
Gegebene Parameter:
ℓ1
2
m1
h
= ,
=1,
=2
ℓ2
5 ℓ1
m2
bc
h
ℓ1
ϕ
bc
ℓ2
m1
bc
bc
m2
Stichworte
statisches Gleichgewicht, Freischnitt, Prinzip der virtuellen Arbeit, numerische Lösung
nichtlinearer Gleichungen
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
1/5
STME
Bestimmung von Gleichgewichtslagen
WS 2009/10
Lösungshinweise
zu Teil a)
zur Geometrie
A
bc
Bbc
ℓ1
ϕ
β
ℓ2
H = ℓ2 cos β = h + ℓ1 sin ϕ
H
h
C
bc
Freischnitt
p
ℓ22 − (h + ℓ1 sin ϕ)2
FBy
FBx
bc
FBx
ϕ
bc
FBy
m1 g
FAx
bc
β
FAy
bc
m2 g
FCy
Kräfte- und Momentenbilanz für Stab 1:
FAx − FBx = 0
FAy − FBy − m1 g = 0
FBx ℓ1 sin ϕ − FBy ℓ1 cos ϕ − m1 gℓ1 cos ϕ = 0
Kräfte- und Momentenbilanz für Stab 2:
FBx − m2 g = 0
FBy + FCy = 0
−FBx ℓ2 cos β − FBy
q
ℓ22 − (h + ℓ1 sin ϕ)2 = 0
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
2/5
STME
Bestimmung von Gleichgewichtslagen
WS 2009/10
Lösungshinweise (Forts.)
zu Teil a) (Forts.)
Substitution des Ausdrucks ℓ2 cos β = h + ℓ1 sin ϕ und Kombination der beiden
Momentengleichungen, so dass die Kraft FBy eliminiert wird, liefert die Gleichung
q
(m1 gℓ1 cos ϕ − FBx ℓ1 sin ϕ) ℓ22 − (h + ℓ1 sin ϕ)2 − FBx (h + ℓ1 sin ϕ)ℓ1 cos ϕ = 0 .
Nach Substitution der Kraft FBx = m2 g erhält man schließlich die transzendente
Gleichung (→ Gleichung, die sich nur in impliziter Form darstellen lässt, so dass
Lösungen nur numerisch oder graphisch, nicht jedoch analytisch ermittelt werden
können)


h


+ sin ϕ


m2 

ℓ1
1−
=0.
tan ϕ + s 2
2
m1 
ℓ2
h


+ sin ϕ
−
ℓ1
ℓ1
zu Teil b)
Das System hat einen Freiheitsgrad, d.h. die Konfiguration ist durch Angabe einer
Koordinate (→ Winkel ϕ) eindeutig bestimmt.
A
bc
ℓ1
ϕ
y
x
Bbc
F~B
rB =
ℓ1 cos ϕ
h + ℓ1 sin ϕ
rC =
ℓ1 cos ϕ +
ℓ2
F~C
C
bc
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
p
ℓ22 − (h + ℓ1 sin ϕ)2
0
3/5
STME
Bestimmung von Gleichgewichtslagen
WS 2009/10
Lösungshinweise (Forts.)
zu Teil b) (Forts.)
Für die virtuelle Verdrehung δϕ werden zunächst die entsprechenden virtuellen Verschiebungen in den Punkten B und C bestimmt:
δr B
δr C
∂r B
δϕ =
=
∂ϕ

−ℓ1 sin ϕ
ℓ1 cos ϕ
δϕ

(h + ℓ1 sin ϕ)ℓ1 cos ϕ
−ℓ1 sin ϕ − p 2
∂r C
δϕ = 
=
ℓ2 − (h + ℓ1 sin ϕ)2  δϕ
∂ϕ
0
Vektoren der eingeprägten Kräfte (bzgl. der Punkte B und C):
0
−m2 g
FB =
und F C =
−m1 g
0
Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit,
δW = F TB δr B + F TC δr C
(
=
(h + ℓ1 sin ϕ)ℓ1 cos ϕ
−m1 gℓ1 cos ϕ − m2 g −ℓ1 sin ϕ − p 2
ℓ2 − (h + ℓ1 sin ϕ)2
{z
|
=0
liefert die bereits in Teil a) hergeleitete transzendente Gleichung.
!)
δϕ = 0 ,
}
zu Teil c)
MATLAB-Funktion: fzero → Ermittlung einer Nullstelle einer nichtlinearen algebraischen Gleichung
Es ist empfehlenswert, die Funktionsgleichung für den relevanten Wertebereich zu
plotten, um einerseits die Anzahl der Nullstellen (=Gleichgewichtslagen) festzustellen, andererseits aber auch, um Anfangswerte abzuschätzen, für die der numerische
Algorithmus Lösungen findet.
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
4/5
STME
Bestimmung von Gleichgewichtslagen
WS 2009/10
Lösungshinweise (Forts.)
zu Teil c) (Forts.)
Für die in der Aufgabenstellung gegebenen Parameter erhält man schließlich die Winkel ϕ = {46.35◦ , 242.92◦ }. Achtung: Die Winkel ϕ = 90◦ und ϕ = 270◦ sind keine
Lösungen der transzendenten Gleichung, da die Division durch Null nicht definiert ist
und die entsprechenden Winkel ausgeschlossen werden müssen.
2
1.5
1
f (ϕ)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
50
100
150
200
250
300
350
ϕ [◦ ]
zu Teil d)
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
5/5