Welchen Gewinn kann man bei Glücksspielen erwarten? – Den
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IV Daten und Zufall • Beitrag 14 Erwartungswert kennenlernen 1 von 32 Welchen Gewinn kann man bei Glücksspielen erwarten? – Den Erwartungswert kennenlernen Von Alessandro Totaro, Stuttgart Illustriert von Oliver Wetterauer, Stuttgart t h c i s n a r o V Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Glücksspiel zu gewinnen? Welchen Gewinn kann man langfristig erwarten? – Hier lernen Ihre Schülerinnen und Schüler den Erwartungswert kennen und können die Fragen dann spielerisch beantworten! Klasse 9/10 Dauer 6 Stunden Inhalt Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ziehen mit oder ohne Zurücklegen, Baumdiagramm, Erwartungswert Kompetenzen mathematische Probleme lösen (K2); mathematisch modellieren (K3); mit den symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) Ihr Plus differenziertes Übungsmaterial mit spielerischen Übungen und Tippkarten 33 RAAbits Realschule Mathematik November 2016 2 von 32 Erwartungswert kennenlernen Daten und Zufall • Beitrag 14 IV Didaktisch-methodische Hinweise Das Themenfeld Daten und Zufall ist ein zentrales Element der Abschlussprüfung und die Berechnung des Erwartungswerts ist eine Teilkompetenz. Die Voraussetzung, um den Erwartungswert berechnen zu können, sind die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der Umgang mit der Wahrscheinlichkeit bereitet jedoch vielen Schülerinnen und Schülern große Schwierigkeiten und ist bis zur Klassenstufe 10 eine wichtige Grundfertigkeit. Es ist von großer Bedeutung, dass die Lernenden die unterschiedlichen Grundaufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ziehen mit und ohne Zurücklegen, unterscheiden und berechnen können. Somit steigt diese Unterrichtseinheit mit einer Wiederholung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ein. Worum geht es inhaltlich? Mit dieser Übungseinheit festigen die Schülerinnen und Schüler ihre Fertigkeiten und Fähigkeiten im Umgang mit dem Erwartungswert. Dazu wiederholen und üben sie die Grundaufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit und ohne Zurücklegen, und beachten die Folgen für die Produktregel. Gleichzeitig benötigen die Lernenden auch die Summenregel in verschiedenen Aufgaben, da die angegebenen Ereignisse mehrere Ergebnisse umfassen. t h c Die Übersetzung zwischen innermathematischer und außermathematischer Welt ist eine wichtige Fähigkeit, die hier gefördert wird. Das mathematische Modellieren mithilfe von Wahrscheinlichkeiten und des Erwartungswerts kann dazu beitragen, ein konkretes Problem, wie zum Beispiel die Gewinnberechnung bei einem Schulfest, vorzunehmen. i s n Wie ist die Übungseinheit aufgebaut? In der Stunde 1 geht es darum, die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu wiederholen. Das motivierende Spiel Memory (M 1) gibt den Lernenden die Möglichkeit, alle Begriffe, die für das spätere Rechnen der Aufgaben nötig sind, aufzufrischen. Außerdem eignet sich das Arbeitsblatt zum Ziehen mit Zurücklegen (M 2), um die erste Grundaufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu trainieren. a r o In der Stunde 2 wiederholen die Schülerinnen und Schüler die zweite Grundaufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Anhand des Partnerarbeitsblattes zum Ziehen ohne Zurücklegen (M 3) üben sie, mittels einer Tandemarbeit diesen Themenbereich zu erschließen. V In den Stunden 3 und 4 verknüpfen die Lernenden das Thema Wahrscheinlichkeit mit dem Thema Erwartungswert. Die Folie zur Einführung des Erwartungswerts (M 4) dient dazu, wichtige Grundlagen aufzubauen. So verstehen die Lernenden, wie sie effektiv und zielorientiert vorgehen, um den Erwartungswert zu berechnen. Das anwendungsorientierte Arbeitsblatt (M 5) motiviert die Lernenden, den zu erwartenden Gewinn bei einer Tombola zu berechnen. Auch mit dem schülerorientierten Arbeitsblatt (M 6) üben die Schülerinnen und Schüler die Berechnung des Erwartungswerts. Dabei lernen sie das Tiroler Roulette kennen und bestimmen den zu erwartenden Gewinn. In den Stunden 5 und 6 treffen die Lernenden auf komplexere Alltagsaufgaben aus ihrer Lebenswelt. Bei der Analyse eines Fußballwettspiels (M 7) und eines Verkaufsstandes beim Sommerfest (M 8) wenden sie ihre Kenntnisse in Bezug auf den Erwartungswert an. M 8 ist in drei Niveaustufen unterteilt. Dadurch erhalten die Lernenden die Chance, auf ihrem Niveau zu üben. Dies kann sich positiv auf die Einstellung zum Fach Mathematik auswirken. Die heutigen Klassen bestehen häuig aus heterogenen Lerngruppen, sodass differenzierte Arbeitsblätter von enormer Bedeutung sind, um einen effektiven Lernzuwachs zu gewährleisten. Schließlich trainieren die Lernenden mit dem anwendungsorientierten Arbeitsblatt (M 9) die Überprüfung von Zufallsexperimenten. Sie lernen, wie man feststellt, ob ein Spiel „fair“ ist. Je nach Aufgabenstellung stellen die Schülerinnen und Schüler einen anderen Bezug zur Realität her und lernen verschiedene Aspekte zur Bedeutung kennen. 33 RAAbits Realschule Mathematik November 2016 4 von 32 Erwartungswert kennenlernen IV Daten und Zufall • Beitrag 14 Auf einen Blick Stunde 1/2 Wahrscheinlichkeitsrechnung – Grundfertigkeiten wiederholen M 1 (Bv) Finde passende Paare! – Memory zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeit M 2 (Ab) Bist du it in der Wahrscheinlichkeitsrechnung? – Ziehen mit Zurücklegen M 3 (Pa) Gemeinsam sind wir stark! – Ziehen ohne Zurücklegen + Loesungen_M3.doc Stunde 3/4 Erwartungswert – einführen und verstehen M 4 (Fo) Können sich die Erwartungen erfüllen? – Glücksspiele auf dem Jahrmarkt M 5 (Ab) Welchen Gewinn kannst du erwarten? – Tombola M 6 (Ab) Für wen lohnen sich diese Gewinnspiele? – Tiroler Roulette und Glücksrad Stunde 5/6 Erwartungswert – Fertigkeiten und Fähigkeiten anwenden M 7 (Ab) Tippst du auf die deutsche Nationalmannschaft? – Fußballwettspiel M 8 (Ab) Unser Verkaufsstand auf dem Sommerfest – was werden die Klassen einnehmen? M 9 (Ab) Sind diese Spiele fair? – Analyse von Glücksspielen Lernerfolgskontrolle M 10 (Lk) i s n Fit für den Test? – Gemischte Aufgaben rund um die Wahrscheinlichkeit Zusatzmaterial M 11 t h c a r o (Bv) Tippkarten zum Thema Wahrscheinlichkeit Ab: Arbeitsblatt; Bv: Bastelvorlage; Fo: Folie; Lk: Lernerfolgskontrolle; Pa: Partnerarbeitsblatt V Minimalplan Ihre Zeit ist knapp? Dann planen Sie die Unterrichtseinheit für 3 Stunden als Stationenarbeit. Folgende Materialien eignen sich dafür: Station 1: Gemeinsam sind wir stark! – Ziehen ohne Zurücklegen M 3 Station 2: Können sich die Erwartungen erfüllen? – Glücksspiele auf dem Jahrmarkt M 4 Station 3: Welchen Gewinn kannst du erwarten? – Tombola M 5 Station 4: Unser Verkaufsstand auf dem Sommerfest – was werden die Klassen einnehmen? M 8 Die Lösungen zu den Materialien inden Sie ab Seite 22. 33 RAAbits Realschule Mathematik November 2016 6 von 32 M2 Erwartungswert kennenlernen Daten und Zufall • Beitrag 14 IV Bist du fit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung? – Ziehen mit Zurücklegen Kennst du dich noch aus? Hier wiederholst du die Grundfertigkeiten beim Ziehen mit Zurücklegen. Aufgabe 1 In einer Urne befinden sich vier rote (R), zwei blaue (B) und eine grüne (G) Kugel. Du ziehst zwei Kugeln mit Zurücklegen. a) Erstelle das zugehörige Baumdiagramm. b) Schreibe die Wahrscheinlichkeiten an die Äste. c) Gib die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an: A Du ziehst zwei blaue Kugeln. blau B Du ziehst zwei gleichfarbige Kugeln. rot C Du ziehst mindestens eine grüne Kugel. t h c grün D Du ziehst höchstens einmal eine rote Kugel. Aufgabe 2 i s n Du drehst das Glücksrad rechts zweimal. a) Erstelle das zugehörige Baumdiagramm. b) Schreibe die Wahrscheinlichkeiten an die Äste. a r o c) Gib die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an: A Du drehst beide Male einen Hauptgewinn. B Du gewinnst mindestens einen Kleingewinn. V C Du verlierst beide Male. Aufgabe 3 Du ziehst aus einer Urne zwei Kugeln mit Zurücklegen. a) Ergänze das Baumdiagramm sinnvoll. 5 8 blau blau gelb gelb blau gelb b) Wie wahrscheinlich ist es, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen? 17 c) Zu welchem Ereignis passt die Wahrscheinlichkeit ? 32 33 RAAbits Realschule Mathematik November 2016 10 von 32 Erwartungswert kennenlernen M4 Daten und Zufall • Beitrag 14 IV Können sich die Erwartungen erfüllen? – Glücksspiele auf dem Jahrmarkt t h c i s n a r o V Die Glückswürfel Ereignis Einnahme Auszahlung Bilanz (B) Wahrscheinlichkeit (P) Einnahme Auszahlung Bilanz (B) Wahrscheinlichkeit (P) Gewinn kein Gewinn Das Glücksrad Ereignis grünes Feld blaues Feld rotes Feld Aufgaben 1. Berechne jeweils den Erwartungswert aus Sicht des Verkäufers. 2. Sind die Spiele fair? 33 RAAbits Realschule Mathematik November 2016 Erwartungswert kennenlernen 22 von 32 Daten und Zufall • Beitrag 14 IV Lösungen Lösung (M 1) Memory zur Wahrscheinlichkeit P(A) Dies ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A. Dies ist das Gegenereignis von A. A Baumdiagramm Es hilft, um alle möglichen Kombinationen zu veranschaulichen. Erwartungswert Er gibt an, wie viel Gewinn man langfristig pro Spiel erzielt. Faires Spiel Dies gilt, wenn der Erwartungswert Null ergibt. Ziehen ohne Zurücklegen Man zieht eine Kugel und legt sie nicht zurück. Ereignis Es beschreibt das Ergebnis eines Zufallsexperiments. Einstuiges Zufallsexperiment Dieses liegt vor, wenn man z. B. eine Kugel aus einer Urne zieht. Zweistuiges Zufallsexperiment A Dies ist das Ereignis A. i s n Bilanz Dies ist die Differenz aus Einnahmen und Ausgaben. Ziehen mit Zurücklegen Man zieht eine Kugel und legt diese wieder zurück. a r o Lösung (M 2) Ziehen mit Zurücklegen Aufgabe 1 a) und b) V t h c Dieses liegt vor, wenn man z. B. zwei Kugeln aus einer Urne zieht. 1 7 2 7 grün (g) 4 7 blau (b) rot (r) 1 7 2 7 4 7 1 7 2 7 4 7 grün (g) blau (b) rot (r) grün (g) blau (b) rot (r) 2 2 4 2 2 4 c) A: (b, b) daher: P ( A ) = ⋅ 7 7 = 49 4 4 ⋅ 7 7 4 1 2 1 1 4 1 2 1 1 + ⋅ + ⋅ + ⋅ grün (g) blau (b) 4 7 rot (r) 2 2 1 1 3 + ⋅ 7 7 + ⋅ 7 7 = 7 C: (r, g), (b, g), (g, r), (g, b), (g, g) daher: ⋅ 2 7 ≈ 0,08 = 8 % → P ( A ) = 8 % B: (r, r), (b, b), (g, g) daher: P (B) = P (C ) = 1 7 + ⋅ = 1 ≈ 0, 43 = 43 % → P (B) = 43 % ≈ 0,02 = 2 % → P (C) = 2 % 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 49 D: (höchstens einmal rot); Zu diesem Ereignis gehört das Gegenereignis D : (zweimal rot). 4 4 16 16 33 Es gilt P D = ⋅ = = 1 − = ≈ 0,67 und somit folgt: P(D) = 67% → (D) = 67 % P 7 7 49 49 49 ( ) 33 RAAbits Realschule Mathematik November 2016 24 von 32 Erwartungswert kennenlernen Lösung (M 4) Daten und Zufall • Beitrag 14 IV Erwartungswert kennenlernen Glückswürfel a) Um die Tabelle auszufüllen, muss man zuerst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, zwei Sechsen oder zwei Fünfen nacheinander zu würfeln. 1 1 1 1 1 1 A: (5, 5), (6, 6) somit ist P ( A ) = ⋅ + ⋅ = → P (A) = 6 6 6 6 18 18 Fülle nun die Tabelle aus: Ereignis Einnahme Auszahlung Bilanz (B) Wahrscheinlichkeit (W) Gewinn +3,00 € -20,00 € -17,00 € 1 18 kein Gewinn +3,00 € -0,00 € +3,00 € 17 18 Berechnung des Erwartungswerts: t h c E = P1 ⋅ B1 + P2 ⋅ B2 1 17 E= ⋅ ( −17,00 € ) + ⋅ ( +3,00 € ) = − 0,94 € + 2,83 € → E = 1,89 € 18 18 Antwort: Der Verkäufer macht langfristig pro Spiel einen Gewinn von 1,89 €. i s n b) Antwort: Das Spiel ist nicht fair, weil der Erwartungswert nicht Null ist. Glücksrad a) Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeiten für die drei Felder auf dem Glücksrad. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf dem Viertel Kreis stehen bleibt, auch gleich einem Viertel, also 0,25. a r o Für die Tabelle folgt: V Ereignis Einnahme Auszahlung Bilanz (B) Wahrscheinlichkeit (W) grünes Feld +2,00 € -5,00 € -3,00 € 0,25 blaues Feld +2,00 € -7,00 € -5,00 € 0,25 rotes Feld +2,00 € -0,00 € +2,00 € 0,50 Berechnung des Erwartungswerts: E = P1 ⋅ B1 + P2 ⋅ B2 + P3 ⋅ B3 E = 0,25 ∙ (-3,00 €) + 0,25 ∙ (-5,00 €) + 0,50 ∙ (+2,00 €) = -0,75 € − 1,25 € + 1,00 € E = -1,00 € Antwort: Der Verkäufer macht langfristig pro Spiel einen Verlust von 1,00 €. b) Antwort: Das Spiel ist nicht fair, weil der Erwartungswert nicht Null ist. 33 RAAbits Realschule Mathematik November 2016
