M I ¨ I /SWT - Fachbereich Mathematik

Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
E. Teufel / J. Spreer
Blatt 2
WS 2008/09
M I ̈ I/SWT
Aufgabe 5 (zum votieren)
Quantoren.
Schreibe folgende Aussagen mit Hilfe von
a) Für alle m ∈ M ⊆ N gibt es ein k ∈ M mit m < k.
b) Es existieren zwei verschiedene natürliche Zahlen m und n so dass
für alle Zahlen k ∈ N gilt: n − m ≤ k oder m − n ≤ k.
c) Welche Konsequenz hat die Aussage in a), falls 1 ∈ M? Wie sieht M
in diesem Fall aus?
Aufgabe 6 (schriftlich, 6 Punkte) Gegeben sei eine Menge X zusammen
mit drei Teilmengen A, B, C ⊆ X mit jeweils paarweise nichtleerem Schnitt.
B
A
C
X
a) Übertrage obige Zeichnung (je einmal pro Teilaufgabe) auf ein Blatt
und markiere jeweils folgende Mengen:
1. AC
2. B ∩ AC
3. (A ∩ C)C ∪ B
4. AC ∪ BC
5. (A ∩ B)C
6. A ∪ (B ∩ C)
b) Zeige die Mengengleichheit von 4. und 5.
c) Wie muss die Menge derjenigen Punkte geschrieben werden, die in
mindestens 2 der drei Mengen A, B und C liegen?
d) Zeige folgende Gleichheit mithilfe der Rechenregeln aus der Vorlesung
A ∪ (B ∩ CC ) = (((B ∪ A) ∩ (AC ∩ C)C ) ∩ B) ∪ (((CC ∪ A) ∩ (A ∪ B)) ∩ BC )
Aufgabe 7 (zum votieren)
Aussagen
Negiere die durch Quantoren gegebenen
a) ∀ > 0 ∃ δ > 0 : (|x − x0 | < δ ⇒ | f (x) − f (x0 )| < )
(Stetigkeit der Funktion f an der Stelle x0 )
b) ∀ > 0 ∃ n0 ∈ N : ∀n > n0 gilt |an − a| < (Konvergenz der Folge an gegen den Grenzwert a)
Aufgabe 8 (zum votieren)
Vereinfache folgenden logischen Ausdruck:
¬((¬A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)) ∧ ((C ∨ ¬B) ∧ (B ∨ C))
Aufgabe 9 (zum votieren) Mit R sei die Menge aller Paare von natürlichen
Zahlen (m, n) bezeichnet für die gilt: (m+n) ∈ 2N (also n+m ist eine gerade,
natürliche Zahl).
a) Handelt es sich bei R um eine Relation? Was muss hierfür überprüft
werden?
b) Beschreibe mathematisch alle Elemente aus N × N die nicht in R
liegen.
c) Ist R symmetrisch, ist R reflexiv, ist R transitiv (mit Beweis)?
d) Betrachte R̃ = {(m, n) ∈ N×N|m−n ∈ 2N}, ist R̃ symmetrisch, reflexiv,
transitiv (mit Beweis)?
Abgabe der schriftlichen und Besprechung der mündlichen Aufgaben am
Dienstag, den 28. Oktober in den Übungen.