1. Simulation zur ¨Uberprüfung der Tschebyscheff

Mathematische Methoden SoSe 06
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Üb 7, KW 25
Tschebyscheff-Ungleichung, stationärer Prozeß
Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk
Assistent: Dipl.-Ing. Uwe Herbrich
1. Simulation zur Überprüfung der Tschebyscheff -Ungleichung
In der Vorlesung wurde das “Gesetz”1 der großen Zahlen vorgestellt. Die Tschebyscheff-Ungleichung
1
P (|X− < x > | ≥ kσx ) ≤ 2
(1)
k
führte zu der Aussage, daß die “relative Häufigkeit eines Ereignisses in einer Stichprobe in Wahrscheinlichkeit gegen ihren Erwartungswert, das ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in der
Grundgesamtheit, konvergiert:”
für die Bernoulli-Verteilung ⇒ lim P (|h(m; N ) − p0 | ≥ ε) = 0,
N →∞
dabei ist h( · ; · ) die relative Häufigkeit und p0 die Wahrscheinlichkeit. Für das m−fache Eintreten oder Nichteintreten des Ereignisses in einer Stichprobe vom Umfang N wird die BernoulliVerteilung zugrunde gelegt. Prüfen Sie diese Aussage durch eine numerische Simulation.
2. Lineare stationäre Zufallsprozesse:
Übertragungsverhalten von Korrelationsfunktionen ↔ (Leistungs)-Spektren ≡ “Leistungs-”Dichten
Eine multidimensionale Verteilung eines stochastischen Prozesses x(t):
dn P (x(t1 ) = x1 , x(t2 ) = x2 . . . x(tN ) = xN )
= dx1 dx2 . . . dxN p (x1 , x2 . . . xN ; t1 , t2 . . . tN )
(2)
heißt Verteilung eines stationären Prozesses2 falls
p (x1 , x2 . . . xN ; t1 , t2 . . . tN )
= p (x1 , x2 . . . xN ; t1 + τ0 , t2 + τ0 . . . tN + τ0 ), ∀τ0
(τ0 = −t1 ) ⇒
= p (x1 , x2 . . . xN ; 0, t̃2 . . . t̃N )
mit t̃k = tk − t1
Für das N. statistische Moment gilt dann
RN
=
< x(t1 )x(t2 ) . . . x(tN ) >
Z
dx1 dx2 . . . dxN x1 x2 . . . xN p (x1 , x2 . . . xN ; t1 , t2 . . . tN )
:=
VxN
Stationarität ⇒
≡< x(0)x(t̃2 ) . . . x(t̃N ) >=: RN s {x(t)}.
Insbesondere gilt für den einfachen Erwartungswert
R1 {x(t)} ≡< x(t) > = < x(0) >
= konst.
1
eigentlich abgeleiteter Satz
vom stationärer Prozeß ist umgangssprachlich die Rede, jedoch ist in der Realität nicht der Prozeß stationär, sondern
dessen Verteilung.
2
Version 21. Juni 2006
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Tschebyscheff-Ungleichung, stationärer Prozeß
Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk
Assistent: Dipl.-Ing. Uwe Herbrich
und für die (Auto-)Korrelationsfunktion
R2 {x(t)} = < x(t1 )x(t2 ) >
= < x(0)x(τ ) >= R2s {x(t)} =: Rxx (τ ) = Rxx (−τ )
mit τ := t̃2 = t2 − t1 .
Gegeben ist folgendes eindimensionale, lineare System
mv̇ + rv = f (t).
(3)
Dabei sei f (t) ein stationärer Zufallsprozeß mit dem statistischen Mittelwert < f (t) >= 0 und
der Korrelationsfunktion < f (0)f (τ ) >= F02 T0 δ(τ ) ≡ SF 0 δ(τ ). Eine Erweiterung der Gleichung
(3) auf den dreidimensionalen Fall kann beispielsweise die Brownsche Bewegung eines Teilchens
beschreiben, welches sich in einem Medium vieler kleiner Teilchen bewegt, die für die Dämpfung und
das entsprechende Rauschen verantwortlich sind. Gleichungen dieser Form heißen auch LangevinGleichungen.
(a) Für die sogenannten “Leistungsspektren” oder “spektralen Leistungsdichten”3 SF F (ω) und
Svv (ω), das sind die Fourier-Transformierten der Korrelationsfunktionen der Kraft F (t) und
der Geschwindigkeit v(t)
Z ∞
1
RF F (τ ) =
dω SF F (ω)ejωτ
2π −∞
l
Z ∞
e
dτ RF F (τ )e−jωτ
SF F (ω) = RF F (ω) =
−∞
und entsprechend
Rvv (τ ) =
l
evv (ω) =
Svv (ω) = R
1
2π
Z
Z
∞
dω Svv (ω)ejωτ
−∞
∞
dτ Rvv (τ )e−jωτ ,
−∞
ermitteln Sie den Zusammenhang aus dem Übertragungsverhalten des Systems.
(b) Geben Sie den Erwartungswert < v 2 > an.
(c) HA: Bestimmen Sie die Konstante SF 0 so, daß m < v 2 > den durch den Gleichverteilungssatz
angegebenen Wert besitzt.
(d) HA: In der Literatur ist oft die Rede von der “einseitigen spektralen Leistungsdichte”, dabei
wird die Integration nur über der positiven Zeit-/Frequenzachse durchgeführt. Stellen Sie den
Zusammenhang zu der zuvor eingeführten “(zweiseitigen) spektralen Leistungsdichte” her und
erklären Sie, was die Ursache für diesen einfachen Zusammenhang ist.
Abgabe: 6. Juli 2006
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engl: power spectral density (PSD)
Version 21. Juni 2006