Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte

WS 15/16
Mathematik 1 : Thema 4.1
Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte
Wichtige Begriffsbildungen, darunter die reellen Zahlen R, Exponentialfunktion und Logarithmus sowie Stetigkeit, Ableitung und Integral von Funktionen sind definiert (bzw. definierbar) mit Hilfe von Zahlenfolgen und deren
Grenzwerte. Systematische Rechenverfahren (Algorithmen) oder Schätzverfahren (�Statistik) werden u.a. danach bewertet, ob und wie sie konvergieren.
Zahlenfolge
Eine eindeutige Aufzählung von Zahlen ai , fortlaufend numme(kurz: Folge)
riert/indiziert mit i ∈ N (oder i ∈ N0 )
Allgemeine Schreibweise: ai , i ∈ N,
unendliche Folgen
ai , i = 1, . . . , n,
endliche Folgen
Eindeutige Aufzählung:
– Angabe eines Bildungsgesetzes von ai für jeden Index i
– direkte Aufzählung (nur bei endlichen Folgen)
Bsp. ai := 2i − 1, i ∈ N, die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen
ck := 0, k ∈ N, die konstante Folge von Nullen
dn := f (an ), n ∈ N, eine Folge von Funktionswerten (wobei an , n ∈ N,
eine Zahlenfolge ist und f eine fest gewählte Funktion)
Spezielle Bildungsgesetze
Arithmetische Folge
konstante absolute Änderung = d
Keine abs. Änderung: d = 0
(d ∈ R fix)
Startwert a0 bzw. a1 , Bildungsgesetz: ai+1 = ai + d
Äquivalent: ai = a1 + (i − 1) · d
bzw . ai = a0 + i · d
i∈N
i ∈ N0
Geometrische Folge
konstante relative Änderung = q − 1 �= 0 Keine rel. Änderung: q = 1
Startwert (a0 bzw. a1 ) �= 0, Bildungsgesetz: ai+1 = ai · q (q ∈ R�=0 fix)
Äquivalent: ai = a1 · q i−1
i∈N
bzw . ai = a0 · q i
i ∈ N0
Der Beginn der Nummerierung wird meist von der Fragestellung abgeleitet,
z.B. davon, ob Zeitperioden 1, . . . , n im Vordergrund stehen oder die hierzu
gehörigen Zeitpunkte 0, 1, . . . , n.
Bsp. K0 fix, d = − 17 K0 , arithmetisches Folgeglied a5 = K0 − 57 K0 = 27 K0
a1 �= 0 fix, q = 67 , geometrisches Folgeglied a5 = a1 · ( 76 )4 (≈ 54% · a1 )
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Mathematik 1 : Thema 4.1
Zeitabhängige ökonomische Betrachtungen: Zahlenfolgen.
Grundlegende Abschreibungsmethoden und elementare Zinsformeln basieren
auf laufenden Summen“ arithmetischer oder geometrischer Folgen:
”
41
Endliche Summe (einer Folge)
Aufsummieren der ersten n Folgeglieder einer vorgegebenen Zahlenfolge (ai , i ∈ N) bzw. (ai , i ∈ N0 ) liefert die zugehörige Folge
der endlichen Summen
�
�n
s1,n := n
a
,
n
∈
N
bzw.
s
:=
0,n
i=1 i
i=0 ai , n ∈ N0
Die Summe s1,n wird auch n-te Partialsumme der Folge (ai , i ∈ N) genannt
(bzw. s0,n die n-te Partialsumme der Folge (ai , i ∈ N0 ))
und für i ≥ 1 : ai = Kapitalertrag im Jahr i,
Bsp. a0 = Startkapital,
�n
s1,n := i=1 ai = Kapitalertrag von n Jahren (n ∈ N)
�n
s0,n := i=0 ai = Kapitalstand nach n Jahren (n ∈ N0 )
Manche (endliche) Summen können formelmäßig“ ausgedrückt werden:
”
beachte: s0,n = a0 + s1,n
42 Einige Summenformeln
�n
1
Summe der ersten n natürlichen Zahlen
i=1 j = 2 (n + 1)n
Endliche arithmetische Summe
Gegeben: a1 , ai+1 := ai + d für i ∈ N, d ∈ R fix
Endliche Summen (n ∈ N): s1,n = na1 + 12 n(n − 1)d = n2 (a1 + an )
Endliche geometrische Summe
Gegeben: a1 , ai+1 := ai · q für i ∈ N, q �= 1 fix
n
1
−
q
Endliche Summen (n ∈ N): s1,n = a1 (1 + q + . . . + q n−1 ) = a1
1−q
siehe auch Grundlagen Nrn. 21–22
Bsp. 1
�n
a1 + (j − 1)d = na1 + d j=0 j = na1 + 12 n(n − 1)d
�n 2 i 2 1−(2/3)n
n
i=1 ( 3 ) = 3 1−(2/3) = 2(1 − (2/3) )
n
�n 2i−1
1−(2/3)n
1 1−(2/3)
2i−1
=
=
vergleiche:
= ( 23 )i · 2·31 4
i=1 3i+4
35 1−(2/3)
34
3i+4
n
�n 2i−1
�n 2i−1
1/2
3/2−(2/3)n
20−1
1 1−(2/3)
=
=
=
+
+
i=0 3i+4
i=1 3i+4
30+4
34
35 1−(2/3)
34
=
n+1
�n 2i−1
1−(2/3)n+1
1 1−(2/3)
1 �n
2 i
oder
=
i=0 3i+4 = 2·34
i=0 ( 3 ) = 2·34 1−(2/3)
2·33
�24
�24
�8
25·24
9·8
j=9 j =
j=1 j −
j=1 j = 2 − 2 = 264
j=1
Bsp. 2 a)
b)
c)
d)
�n−1
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Nullfolge / Konvergenz an −→ 0
Schranken C > 0
n→∞
Wenn es zu jeder vorgegebenen Schranke c (maximale Abweichung) eine
Nummer nc gibt, ab der jedes Folgeglied |an | ≤ C erfüllt, so heißt
(an , n ∈ N) eine Nullfolge und die Zahl 0 Grenzwert/Limes dieser Folge.
Der kritische Index nC darf abhängig von der Schranke C gewählt werden.
Schreibweise lim an = 0 oder an −→ 0 oder (an → 0 für n → ∞)
n→∞
☞
44
n→∞
lim an = 0
n→∞
•
•
für an := |p|n , n ∈ N, wenn p ∈ R fix, |p| < 1
für an := (1/n)r , n ∈ N, wenn r ∈ Q fix, r > 0
Konvergente Folge / Konvergenz an −→ a ∈ R
n→∞
Wenn es zu einer Folge (an , n ∈ N) eine Zahl a ∈ R gibt, mit der die
betraglichen Abweichungen |an − a|, n ∈ N, eine Nullfolge bilden, so
heißt die Folge konvergent und die Zahl a Grenzwert/Limes dieser Folge.
Schreibweise lim an = a oder an −→ a oder (an → a für n → ∞)
n→∞
☞
n→∞
an −→ a
n→∞
:⇔
mit a ∈ R
|an − a| −→ 0
n→∞
Jede Folge an , n ∈ N, hat entweder keinen oder einen (eindeutigen) Grenzwert.
�n
n+1 n
Die Eulersche Zahl e, lim
i=0 1/(i!) = e = lim ( n ) ≈ 2.71828, ist
n→∞
n→∞
Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen, aber selbst nicht rational.
Gilt a = lim an , so macht die Sprechweise a ≈ an für genügend große n
n→∞
Sinn und es können — nach Vorgabe einer benötigten Genauigkeit C —
Folgeglieder an mit n ≥ nC für Hilfsüberlegungen verwendet werden.
Je nach Folge drastische Unterschiede im benötigten nC (Rechenaufwand!!):
�n 1
�n 1
−3
Bsp. |e − i=0 i! | ≤ 10 für n ≥ 6, e ≈ i=0 i! für n ≥ 6
n
−3 für n ≥ 1359, aber |e − ( n+1 )n | > 10−3 für n < 1359
|e − ( n+1
n ) | ≤ 10
n
Grenzwerte endlicher Summen (Reihen)
�
Wenn eine endliche Summenfolge sm,n = ni=m ai (Anfang m fix) konvergiert, so wird sie auch konvergente Reihe genannt und der Grenzwert
lim sm,n ∈ R geschrieben als
n→∞ �
�n
∞
Reihenwert (Grenzwert) ∈ R
i=m ai := lim
i=m ai
n→∞
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☞
Geometrische Reihe
�∞ 2i−1
Bsp. 3 a)
i=m 3i+4 =?
∞
�
xi =
i=0
1
1−x
für x ∈ R fix mit |x| < 1
Methode statt weiterer Formeln
2i−1
3i+4
(i+1)−1
2
3i+4
·
3i+1+4
2i−1
1. x bestimmen: ai =
ai+1
ai
x=
=
=
2
3
also konstant mit |x| < 1
Falls x nicht konstant oder falls |x| ≥ 1: Abbruch
m−1
2. am bestimmen: am = 23m+4
∞
∞
�
�
3. Da x konst. mit |x| < 1, ist
ai = am
xi = a m
i=m
b)
45
Lösung:
�∞ 2i−1
i=1 3i+4
�∞
2i−1
i=m 3i+4
=
1
20
35 1−(2/3)
=
2m−1
3m+4
=
1
34
·
1
1−(2/3)
i=0
=
2m−1
3m+3
1
1−x
vgl. auch Bsp. 2b)
(Uneigentlicher) Grenzwert an −→ ∞ bzw. an −→ − ∞
n→∞
n→∞
an −→ +∞ :⇔ an > 0 ab einer Nummer n0 und (1/an ) −→ 0
n→∞
n→∞
an −→ −∞ :⇔ an < 0 ab einer Nummer n0 und (1/an ) −→ 0
n→∞
☞
n→∞
lim an = ∞
n→∞
•
für an := |q|n , n ∈ N, wenn q ∈ R fix, |q| > 1
für an := nr , n ∈ N, wenn r ∈ Q fix, r > 0
�∞
�∞
α
(1/j)
=
∞;
j=1 (1/j) ∈ R (konvergent) für α ∈ R fix, α > 1
j=1
46
•
Vergleichskriterien für Folgen (insbes. Summenfolgen)
Grenzwertbildung ist monoton wachsend
Falls für alle n ≥ n0 der Vergleich an ≤ bn richtig ist und falls
lim an = a, lim bn = b, dann folgt: a ≤ b
n→∞
n→∞
Einschachtelung
Falls für alle n ≥ n0 der Vergleich an ≤ dn ≤ bn stimmt und
lim an = d = lim bn (gleicher Grenzwert d), dann folgt dn −→ d
n→∞
n→∞
n→∞
Bsp. Aus 0 ≤ dn ≤ n−1/2 für alle n > 100 folgt dn −→ 0,
Aus
n1/2
n→∞
≤ dn für alle n > 100 folgt dn −→ ∞.
n→∞
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Die beteiligten Folgen können auch konstant sein
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Rechenregeln für Folgen
Für konvergente Folgen an −→ a, bn −→ b, cn −→ c gilt:
n→∞
•
n→∞
n→∞
wenn die Grenzwerte a, b, c ∈ R, c �= 0 sind:
an ± bn −→ a ± b
n→∞
an · bn −→ a · b
n→∞
an
a
−→
cn n→∞ c
wenn c = 0 oder uneigentliche Grenzwerte ±∞ beteiligt sind:
! Die Rechenausdrücke ∞ − ∞, 0 · ∞, . 0. . , ∞
∞ sind nicht definiert
� entsprechende Folgen an /cn bzw. an − bn genauer untersuchen �
•
▼
ansonsten kann der sich ergebende Grenzwert aus den folgenden
Rechenregeln erschlossen werden:
−(−∞) := ∞
∞ + ∞ := ∞
d + ∞ := ∞ für d ∈ R
∞ · ∞ := ∞
d · ∞ := ∞ für d > 0
d/∞ := 0 für d ∈ R
∞/d := ∞ für d > 0
Bsp. 4 (Bei Quotienten mit Potenzen von n passendes) Hilfsmittel zum Umformen von an /bn , wenn an −→ ∞ und bn −→ ∞:
n→∞
n→∞
Division durch die höchste Nennerpotenz (die > 0, weil lim bn = ∞)
n→∞
n−1
0−0
n−1 − n−2
a)
=
=0
−→
2n2 + 1
2 + n−2 n→∞ 2 + 0
2
2−0+0
2 − 4n−1/2 + 5n−3/2
2n3/2 − 4n + 5
=
b)
=
−→
3
3n3/2 + 2n1/2 − 3
3 + 2n−1 − 3n−3/2 n→∞ 3 + 0 − 0
3n5/3 − n1/2 + 1
3·∞−0+0
3n1/6 − n−1 + n−3/2
=
=∞
−→
c)
n3/2 + 2n − 3
1 + 2n−1/2 − 3n−3/2 n→∞ 1 + 0 − 0
Bsp. 5 Für α, β > 0 fix: nα · n−β −→ ∞ · 0 ? Nicht definiert, aber
n→∞
�
0 falls α < β
nα · n−β = nα−β −→
1 falls α = β
n→∞
∞ falls α > β
√
√
Bsp. 6
n + 1 − n −→ ∞ − ∞ ? Nicht definiert, aber
n→∞
√
√
1
(n + 1) − n
=0
n+1− n= √
√ −→
n + 1 + n n→∞ ∞ + ∞
Bsp. 7 n/ ln(n) −→ ∞/∞ ? Nicht definiert, aber n/ ln(n) −→ ∞ � Mathe II
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