Vorlesung “Logik” Wintersemester 2015/16 Universität Duisburg

Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Vorlesung “Logik”
Wintersemester 2015/16
Universität Duisburg-Essen
Barbara König
Übungsleitung: Dennis Nolte, Dr. Harsh Beohar
Barbara König
Logik
1
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Universum
Motivation: Um die Erfüllbarkeit/Unerfüllbarkeit einer
prädikatenlogischen Formel zu testen, müsste man ungeheuer viele
Strukturen durchprobieren.
Wir zeigen im folgenden, dass es reicht nur ganz bestimmte
Strukturen, sogenannte Herbrand-Strukturen—benannt nach dem
Logiker Jacques Herbrand—zu testen.
Diese können immer noch ein unendlich großes Universum haben
und unendlich viele sein, sind aber dennoch wesentlich
überschaubarer.
Darauf aufbauend kann dann ein automatisches Verfahren
entwickelt werden, das mit Hilfe von Resolution die Unerfüllbarkeit
einer prädikatenlogischen Formel überprüft.
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Logik
183
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Universum
Definition (Herbrand-Universum)
Das Herbrand-Universum D(F ) einer geschlossenen Formel F in
Skolemform ist die Menge aller variablenfreie Terme, die aus den
Bestandteilen von F gebildet werden können. Falls in F keine
Konstante vorkommt, wählen wir zunächst eine beliebige
Konstante, zum Beispiel a, und bilden dann die variablenfreien
Terme.
D(F ) wird wie folgt induktiv definiert:
1
Alle in F vorkommenden Konstanten sind in D(F ). Falls F
keine Konstante enthält, so ist a in D(F ).
2
Für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und
Terme t1 , . . . , tn in D(F ) ist der Term f (t1 , . . . , tn ) in D(F ).
Barbara König
Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Universum
Beispiel: Bestimmen Sie die Herbrand-Universen zu folgenden
Formeln
F1 = ∀x P(f (x), g (a))
F2 = ∀x∀y Q(h(x, y ))
F3 = ∀x P(x)
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Strukturen
Definition (Herbrand-Struktur)
Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende
Struktur A = (UA , IA ) eine Herbrand-Struktur für F , falls
folgendes gilt:
1
UA = D(F ),
2
für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und
t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) ist f A (t1 , t2 , . . . , tn ) = f (t1 , t2 , . . . , tn ).
Idee: Jeder variablenfreie Term t wird “durch sich selbst”
interpretiert, d.h., A(t) = t. (Vermischung von Syntax und
Semantik.)
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Strukturen
Für eine Herbrand-Struktur A vereinfacht sich das
Überführungslemma:
Lemma (Überführungslemma für Herbrand-Strukturen)
Sei A eine Herbrand-Struktur. Dann gilt für jede Formel F , jede
Variable x und jeden variablenfreien Term t:
A(F [x/t]) = A[x/t] (F ).
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Der fundamentale Satz der Prädikatenlogik
Satz
Sei F eine Aussage in Skolemform. F ist genau dann erfüllbar,
wenn F ein Herbrand-Modell besitzt.
Idee: Man muss zeigen, dass eine erfüllbare Aussage F in
Skolemform ein Herbrand-Modell besitzt.
Da F erfüllbar ist, hat F ein (beliebiges) Modell A. Um ein
Herbrand-Modell B für F zu erhalten, werden die Prädikatsymbole
wie folgt interpretiert: für ein n-stelliges Prädikatsymbol P und
t1 , . . . , tn ∈ D(F ) gilt
(t1 , . . . , tn ) ∈ P B genau dann, wenn (A(t1 ), . . . , A(tn )) ∈ P A .
(Wenn eine Konstante a ∈ D(F ) nicht in F vorkommt, dann wählt
man eine beliebige Interpretation aA .)
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Der fundamentale Satz der Prädikatenlogik
Beispiel zum vorherigen Satz: Gegeben sei die Formel
F = ∀x P(x, f (x))
Aufgaben:
Bestimmen Sie ein beliebiges Modell A von F .
Anschließend definieren Sie ein Herbrand-Modell B von F ,
dessen Relation P B analog zu P A definiert ist. (So wie im
Beweis zum vorherigen Satz beschrieben.)
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Expansion
Definition (Herbrand-Expansion)
Sei F = ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn F ∗ eine Aussage in Skolemform. Dann ist
E (F ), die Herbrand-Expansion von F , definiert als
E (F ) = {F ∗ [y1 /t1 ][y2 /t2 ] . . . [yn /tn ] | t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F )}
Die Formeln in E (F ) entstehen also, indem die Terme in D(F ),
dem Herbrand-Universum von F , in jeder möglichen Weise für die
Variablen in F ∗ substituiert werden.
Bemerkung: Da das Herbrand-Universum D(F ) abzählbar ist, ist
auch die Menge E (F ) abzählbar.
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Expansion
Wiederholung: Abzählbarkeit
Definition (Abzählbarkeit)
Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung
f : N0 → M gibt. Das heißt es gibt eine (nicht notwendigerweise
konstruktive) Aufzählung f (0), f (1), f (2), . . . aller Elemente von
M, in der jedes Element von M mindestens einmal vorkommt.
Bemerkungen:
Beispiele für abzählbare Mengen sind N0 , Q (die Menge der
rationalen Zahlen bzw. Brüche) und die Menge aller Terme,
die aus einer endlichen Menge von Funktionssymbolen
gebildet werden. (Daher: ein Herbrand-Universum D(F ) ist
immer abzählbar.)
Die Menge R der reellen Zahlen ist nicht abzählbar.
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Expansion
Beispiel: Bestimme die Herbrand-Expansion der Formel
∀x∀y ∀z P(x, f (y ), g (z, x)).
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Expansion
Idee: Behandle die Formeln in der Herbrand-Expansion wie
aussagenlogische Formeln. D.h., betrachte jedes auftauchende
Prädikat P(t1 , . . . , tn ) wie eine atomare Formel A.
Beispiel:
E (F ) = {F1 , F2 , . . . }.
Sei beispielsweise
F1 = (P(f (a), f (b)) ∨ Q(g (a, b)) ∨ P(a, b)) ∧ P(f (a), f (b)) .
{z
} | {z } | {z }
|
{z
}
|
A
B
C
A
Dies entspricht (A ∨ B ∨ C ) ∧ A.
Eine Formel in der Herbrand-Expansion ist erfüllbar, genau dann,
wenn sie im aussagenlogischen Sinne erfüllbar ist.
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Satz von Gödel-Herbrand-Skolem
Satz (Gödel-Herbrand-Skolem)
Für jede Aussage F in Skolemform gilt: F ist erfüllbar genau dann,
wenn die Formelmenge E (F ) (im aussagenlogischen Sinn) erfüllbar
ist.
Beweis: Es genügt zu zeigen, dass F ein Herbrand-Modell besitzt
genau dann, wenn E (F ) erfüllbar ist.
Die Formel F habe die Form ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn F ∗ . Mit Hilfe des
Überführungslemmas kann man zeigen:
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Logik
194
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Satz von Gödel-Herbrand-Skolem
A ist ein Herbrand-Modell für F
gdw. für alle t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) gilt:
A[y1 /t1 ][y2 /t2 ]...[yn /tn ] (F ∗ ) = 1
gdw. für alle t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) gilt:
A(F ∗ [y1 /t1 ][y2 /t2 ] . . . [yn /tn ]) = 1
gdw. für alle G ∈ E (F ) gilt A(G ) = 1
gdw. A ist ein Modell für E (F )
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Satz von Herbrand
Satz (Herbrand)
Eine Aussage F in Skolemform ist unerfüllbar genau dann, wenn es
eine endliche Teilmenge von E (F ) gibt, die (im aussagenlogischen
Sinn) unerfüllbar ist.
Beweis: Ummittelbare Folge des Satzes von
Gödel-Herbrand-Skolem und des Endlichkeitssatzes.
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Logik
Endlichkeitssatz
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Aussagenlogik
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei
{F1 , F2 , F3 , . . . } eine Aufzählung von E (F ).
Algorithmus von Gilmore
Eingabe: F
n := 0;
repeat
n := n + 1;
until (F1 ∧ F2 ∧ . . . ∧ Fn ) ist unerfüllbar;
Gib “unerfüllbar” aus und stoppe.
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Bemerkungen zum Algorithmus von Gilmore:
Man wählt eine beliebige unendliche Aufzählung F1 , F2 , F3 , . . .
aller Formeln in E (F ).
Dabei muss nur darauf geachtet werden, dass jede Formel
irgendwann in dieser Aufzählung vorkommt. Das ist möglich,
da E (F ) abzählbar ist.
Es dürfen Formeln mehrfach vorkommen. Das ist insbesondere
immer dann so, wenn E (F ) endlich ist.
Wenn alle Formeln in einer endlichen Menge E (F )
abgearbeitet sind, dann kann der Algorithmus auch stoppen
und “erfüllbar” ausgeben.
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Beispiel: Zeigen Sie mit Hilfe des Algorithmus von Gilmore, dass
folgende Formeln
F = ∀x∀y (¬P(f (f (x))) ∧ P(f (y )))
G = ∀x (P(f (x)) ∧ ¬P(x))
unerfüllbar sind.
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Logik
199
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Aus dem Satz von Herbrand folgt:
Falls die Formel F unerfüllbar ist, so stoppt der Algorithmus
von Gilmore nach endlicher Zeit und gibt unerfüllbar aus.
Falls der Algorithmus von Gilmore unerfüllbar ausgibt, so ist F
tatsächlich unerfüllbar.
Wenn F jedoch erfüllbar ist, so gibt es keine Garantie dafür, dass
der Algorithmus jemals terminiert.
Es kann auch gezeigt werden, dass es tatsächlich keinen
Algorithmus gibt, der das Unerfüllbarkeitsproblem der
Prädikatenlogik löst und immer mit der korrekten Antwort
(unerfüllbar bzw. erfüllbar) terminiert.
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Logik
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Semi-Entscheidbarkeit (informell)
Sei M ⊆ X eine Menge (auch Sprache oder Problem genannt). Die
Menge M heißt semi-entscheidbar, wenn es einen Algorithmus A
gibt, der
ein Element x ∈ X als Eingabe nimmt und
genau dann, wenn x ∈ M gilt, terminiert und “x ist in M
enthalten” zurückgibt.
Der Algorithmus A muss jedoch nicht terminieren, wenn x 6∈ M
gilt. Falls A auch in diesem Fall terminiert und “x ist nicht in M
enthalten” zurückgibt, so heißt M entscheidbar.
Bemerkung: die Begriffe Entscheidbarkeit und
Semi-Entscheidbarkeit werden detailliert in der Vorlesung
“Berechenbarkeit und Komplexität” besprochen.
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Logik
201
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semi-Entscheidbarkeitssätze
Satz (Semi-Entscheidbarkeit)
Folgende Probleme sind semi-entscheidbar, jedoch nicht
entscheidbar:
(a) Das Unerfüllbarkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln.
(b) Das Gültigkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln.
(c) Das Folgerungsproblem für prädikatenlogische Formeln.
(d) Das Äquivalenzproblem für prädikatenlogische Formeln.
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Logik
202
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semi-Entscheidbarkeitssätze
Beweis:
(a) Das Problem ist nicht entscheidbar (ohne Beweis). Der
Algorithmus von Gilmore kann es jedoch “semi-entscheiden”.
(b) F gültig gdw. ¬F unerfüllbar.
(c) F |= G gdw. F → G gültig.
(d) F ≡ G gdw. F ↔ G gültig.
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203
Aussagenlogik
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Resolution in der Prädikatenlogik
Der Algorithmus von Gilmore funktioniert zwar, ist in der Praxis
aber unbrauchbar, weil er zuviele Formeln erzeugt und nicht
zielgerichtet arbeitet.
Daher ist unser Programm der nächsten Stunden:
Wie sieht Resolution in der Prädikatenlogik aus?
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Logik
204
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Wiederholung: Resolution in der Aussagenlogik
Resolutionsschritt:
{L01 , . . . , L0m , ¬A}
{L1 , . . . , Ln , A}
{L1 , . . . , Ln , L01 , . . . , L0m }
Mini-Beispiel:
{¬A, B}
{A}
{¬B}
{B}
Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann, wenn die leere
Klausel abgeleitet werden kann.
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Logik
205
Aussagenlogik
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Anpassung des Algorithmus von Gilmore
Algorithmus von Gilmore:
Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei
{F1 , F2 , F3 , . . . , } eine Aufzählung von E (F ).
Eingabe: F
n := 0;
repeat n := n + 1;
until (F1 ∧ F2 ∧ . . . ∧ Fn ) ist unerfüllbar;
(dies kann mit Mitteln der Aussagenlogik,
beispielsweise Wahrheitstafeln, getestet werden)
Gib “unerfüllbar” aus und stoppe.
“Mittel der Aussagenlogik”
Unerfüllbarkeitstest
wir verwenden Resolution für den
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Logik
206
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Definition von Res(M) (Wiederholung)
Definition
Sei M eine Klauselmenge. Dann ist Res(M) definiert als
Res(M) = M ∪ {R | R ist Resolvent zweier Klauseln in M}.
Außerdem setzen wir:
Res 0 (M) = M
Res n+1 (M) = Res(Res n (M))
für n ≥ 0
und schließlich sei
Res ∗ (M) =
[
Res n (M).
n≥0
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Logik
207
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionsalgorithmus
Sei F1 , F2 , . . . weiterhin die Aufzählung der Herbrand-Expansion.
Grundresolutionsalgorithmus
Eingabe: eine Aussage F in Klauselform
i := 0;
M := ∅;
repeat
i := i + 1; M := M ∪ Fi ; M := Res∗ (M)
until ∈ M
Gib “unerfüllbar” aus und stoppe.
Warum der Name Grundresolution? Im Gegensatz zu späteren
Verfahren werden Terme ohne Variable (= Grundterme)
substituiert, um die Formeln der Herbrand-Expansion zu erhalten.
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Logik
208
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionssatz
Aus dem Grundresolutionsalgorithmus ergibt sich folgender Satz:
Grundresolutionssatz
Eine Aussage in Klauselform F = ∀y1 . . . ∀yk F ∗ mit der Matrix F ∗
in KNF ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine Folge von
Klauseln K1 , . . . , Kn gibt mit der Eigenschaft:
Kn ist die leere Klausel
Für i = 1, . . . , n gilt:
entweder ist Ki eine Grundinstanz einer Klausel K ∈ F ∗ ,
d.h. Ki = K [y1 /t1 ] . . . [yk /tk ] mit ti ∈ D(F )
oder Ki ist (aussagenlogischer) Resolvent zweier
Grundinstanzen Ka , Kb mit a < i und b < i
Weglassen von Klauseln und Resolutionsschritten, die nicht zur
Herleitung der leeren Klausel beitragen.
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Logik
209
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionsalgorithmus
Beispiel: Zeigen Sie mit Hilfe von Grundresolution, dass folgende
Formel in Klauselform unerfüllbar ist.
{{P(f (x)), Q(x)}, {¬P(f (g (y )))}, {¬Q(g (f (a)))}}
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Logik
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Herbrandtheorie und Resolution
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Motivation: Prädikatenlogische Resolution
Bei der Grundresolution kann man unnötigerweise in Sackgassen
laufen.
Beispiel:
{¬P(f (g (y )))}
{P(f (x)), Q(x)}
{¬Q(g (f (a)))}
[y /a]
[x/g (a)]
{Q(g (a))}
?
Besser wäre gewesen, die Variable x durch g (f (a)) anstatt durch
g (a) zu ersetzen. Aber woher kann man das vorher wissen?
Barbara König
Logik
211
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Herbrandtheorie und Resolution
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Motivation: Prädikatenlogische Resolution
Idee: Variablen nur noch so weit “wie nötig” durch Terme ersetzen.
Statt Grundtermen Terme mit Variablen verwenden.
{P(f (x)), Q(x)}
{¬P(f (g (y )))}
{¬Q(g (f (a)))}
[]
[x/g (y )]
{Q(g (y ))}
[]
[y /f (a)]
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212
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Wiederholung: Substitutionen
Eine Substitution sub ist eine Abbildung von Variablen auf Terme.
F sub: Anwendung der Substitution sub auf die Formel F
t sub: Anwendung der Substitution sub auf den Term t
Eine Substitution kann auch als Folge von Ersetzungen beschrieben
werden:
[x/f (z)] [y /g (a, z)] [z/h(w )]
entspricht folgender entflochtener Substitution:
[x/f (h(w )), y /g (a, h(w )), z/h(w )].
Ersetzungen werden von links nach rechts durchgeführt!
Verknüpfung von Substitutionen: sub 1 sub 2 (zuerst wird sub 1
angewandt, anschließend sub 2 ).
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213
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
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Unifikator/Allgemeinster Unifikator
Definition (Unifikation)
Gegeben sei eine Menge L = {L1 , . . . , Lk } von Literalen. Eine
Substitution sub heißt Unifikator von L, falls
L1 sub = L2 sub = · · · = Lk sub
Das ist gleichbedeutend mit |Lsub| = 1, wobei
Lsub = {L1 sub, . . . , Lk sub}.
Ein Unifikator sub von L heißt allgemeinster Unifikator von L, falls
für jeden Unifikator sub 0 von L gilt, dass es eine Substitution s gibt
mit sub 0 = sub s.
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214
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Prädikatenlogik
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Herbrandtheorie und Resolution
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Unifikator/Allgemeinster Unifikator
Beispiele: Bestimmen Sie die allgemeinsten Unifikatoren folgender
Mengen (falls sie existieren):
{P(x), P(f (y ))}
{P(x), Q(y )}
{Q(x, f (x)), Q(y , g (y ))}
{P(x), P(f (x))}
{Q(x, f (y )), Q(g (z), f (x))}
{Q(x, f (y )), Q(g (y ), f (x))}
{Q(x, f (y )), Q(f (y ), z), Q(z, f (x))}
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikator/Allgemeinster Unifikator
Bemerkungen:
Eine Menge von Literalen kann mehrere allgemeinste
Unifikatoren haben.
Beispielsweise sind sowohl [y /f (x)] als auch [x/z][y /f (z)]
allgemeinste Unifikatoren von {P(f (x)), P(y )}.
Alle allgemeinsten Unifikatoren kann man jedoch durch
einfache Variablenumbenennung ineinander umformen.
Eine Menge L von (mehr als zwei) Literalen kann unter
Umständen nicht unifizierbar sein, auch wenn alle Paare von
Literalen unifizierbar sind.
Beispiel: {Q(x, f (y )), Q(f (y ), z), Q(z, f (x))}
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216
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikationsalgorithmus
Unifikationsalgorithmus
Eingabe: eine Literalmenge L 6= ∅
sub := []; (leere Substitution)
while |Lsub| > 1 do
Suche die erste Position, an der sich zwei Literale L1 , L2
aus Lsub unterscheiden
if keines der beiden Zeichen ist eine Variable
then stoppe mit “nicht unifizierbar”
else Sei x die Variable und t der Term im anderen Literal
(möglicherweise auch eine Variable)
if x kommt in t vor
then stoppe mit “nicht unifizierbar”
else sub := sub [x/t]
Ausgabe: sub
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217
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikationsalgorithmus
Beispiel: Wende den Unifikationsalgorithmus auf folgende
Literalmenge an
L = {¬P(f (z, g (a, y )), h(z)), ¬P(f (f (u, v ), w ), h(f (a, b)))}
Bemerkung: hier sind a, b Konstanten und y , z, u, v , w Variablen
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218
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Korrektheit des Unifikationsalgorithmus
Satz (Korrektheit des Unifikationsalgorithmus)
Der Unifikationsalgorithmus terminiert immer und gibt bei
Eingabe einer nicht-unifizierbaren Literalmenge “nicht
unifizierbar” aus.
Wenn eine Menge L von Literalen unifizierbar ist, dann findet
der Unifikationsalgorithmus immer den allgemeinsten
Unifikator von L.
Das bedeutet unter anderem auch, dass jede unifizierbare Menge
von Literalen einen allgemeinsten Unifikator hat (Unifikationssatz
von Robinson).
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Logik
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Aussagenlogik
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Prädikatenlogische Resolution
Definition (Prädikatenlogischer Resolvent)
Eine Klausel R heißt prädikatenlogischer Resolvent zweier Klauseln
K1 , K2 , wenn folgendes gilt:
Es gibt Substitutionen s1 , s2 , die Variablenumbenennungen
sind, so dass K1 s1 und K2 s2 keine gemeinsamen Variablen
enthalten.
Es gibt Literale L1 , . . . , Lm aus K1 s1 und Literale L01 , . . . , L0n
aus K2 s2 , so dass L = {L1 , . . . , Ln , L01 , . . . , L0n } unifizierbar ist.
Sei sub der allgemeinste Unifikator von L.
(L bezeichnet das negierte Literal L.)
Es gilt
R = ((K1 s1 − {L1 , . . . , Lm }) ∪ (K2 s2 − {L01 , . . . , L0n }))sub.
Barbara König
Logik
220
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Prädikatenlogische Resolution
Schreibweise:
Zu resolvierende Literale unterstreichen und
Substitutionen angeben
Beispiel:
{P(x), P(f (y )), Q(x, y )}
{¬P(f (g (x)))}
s1 = []
sub = [x/f (g (z)), y /g (z)]
s2 =[x/z]
{Q(f (g (z)), g (z))}
Hinweis: Es gibt noch zwei weitere Möglichkeiten, einen
prädikatenlogischen Resolutionsschritt mit diesen Klauseln
auszuführen.
Barbara König
Logik
221
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe
Sind diese Klauseln resolvierbar?
Wieviele mögliche Resolventen gibt es?
K1
{P(x), Q(x, y )}
{Q(g (x)), R(f (x))}
{P(x), P(f (x))}
K2
{¬P(f (x))}
{¬Q(f (x))}
{¬P(y ), Q(y , z)}
Barbara König
Logik
Möglichkeiten
222
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Prädikatenlogische Resolution
Beispiel: Leiten Sie aus folgender Klauselmenge die leere Klausel
her (diesmal mit prädikatenlogischer Resolution anstatt
Grundresolution).
{{P(f (x)), Q(x)}, {¬P(f (g (y )))}, {¬Q(g (f (a)))}}
Barbara König
Logik
223
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Korrektheit und Vollständigkeit
Zwei Fragen:
Wenn man mit prädikatenlogischer Resolution aus einer
Formel F die leere Klausel ableiten kann, ist F dann
unerfüllbar? (Korrektheit)
Kann man für eine unerfüllbare Formel F immer durch
prädikatenlogische Resolution die leere Klausel herleiten?
(Vollständigkeit)
Obiges ist zwar bereits für die Grundresolution bekannt, aber noch
nicht für die prädikatenlogische Resolution.
Barbara König
Logik
224
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Lifting-Lemma
Lifting-Lemma
Seien K1 , K2 zwei
prädikatenlogische Klauseln und
seien K10 , K20 zwei Grundinstanzen
hiervon, die aussagenlogisch
resolvierbar sind und den
Resolventen R 0 ergeben.
Dann gibt es einen
prädikatenlogischen Resolventen R
von K1 , K2 , so dass R 0 eine
Grundinstanz von R ist.
Barbara König
Logik
K1
K2
K10
R
K20
R0
—: Resolution
→: Substitution
225
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiel zum Lifting-Lemma
{¬P(f (g (y )))}
{P(f (x)), Q(x)}
[x/g (a)]
{P(f (g (a))), Q(g (a))}
{Q(g (y ))}
[y /a]
{¬P(f (g (a)))}
[y /a]
{Q(g (a))}
Barbara König
Logik
226
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Resolutionssatz
Resolutionssatz der Prädikatenlogik
Sei F eine Aussage in Skolemform mit einer Matrix F ∗ in KNF.
Dann gilt: F ist unerfüllbar genau dann, wenn ∈ Res ∗ (F ∗ ).
(Dabei bezeichnet Res die Bildung aller möglichen
prädikatenlogischen Resolventen.)
Für den Beweis des Resolutionssatzes benötigen wir noch den
Begriff des Allabschlusses . . .
Barbara König
Logik
227
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Resolutionssatz
Für eine Formel H mit freien Variablen x1 , . . . , xn bezeichnen wir
mit
∀H = ∀x1 ∀x2 . . . ∀xn H
ihren Allabschluss.
Sei F eine Aussage in Skolemform und sei F ∗ deren Matrix in
KNF, so gilt:
^
F ≡ ∀F ∗ ≡
∀K
K ∈F ∗
Beispiel:
F ∗ = P(x, y ) ∧ ¬Q(y , x)
F
≡ ∀x∀y (P(x, y ) ∧ ¬Q(y , x)) ≡ ∀x∀yP(x, y ) ∧ ∀x∀y (¬Q(y , x))
Barbara König
Logik
228
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Resolutionssatz
Beweisskizze (Resolutionssatz):
Korrektheit: Falls R ein Resolvent von Klauseln K1 , K2 ist,
dann kann man zeigen, dass ∀K1 ∧ ∀K2 |= ∀R.
Die weitere Argumentation ist analog zur Aussagenlogik: die
leere Klausel (eine unerfüllbare Formel) folgt aus F , damit ist
F selbst unerfüllbar.
Vollständigkeit: Wenn F unerfüllbar ist, dann gibt es einen
Grundresolutionsbeweis, bei dem die leere Klausel abgeleitet
wird. Mit Hilfe des Lifting-Lemmas kann dieser Beweis als
prädikatenlogischer Resolutionsbeweis “nachgebaut” werden,
wobei ebenfalls die leere Klausel entsteht.
Barbara König
Logik
229
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Verfeinerung der Resolution (Ausblick)
Probleme bei der prädikatenlogischen Resolution:
Zu viele Wahlmöglichkeiten
Immer noch zu viele Sackgassen
Kombinatorische Explosion des Suchraums
Lösungsansätze:
Strategien und Heuristiken: Verbieten bestimmter
Resolutionsschritte, Suchraum wird dadurch eingeschränkt
Vorsicht: Die Vollständigkeit darf dadurch nicht verloren gehen!
Barbara König
Logik
230
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Ist die Klauselmenge
{{P(f (x))}, {¬P(f (x)), Q(f (x), x)}, {¬Q(f (a), f (f (a)))},
{¬P(x), Q(x, f (x))}}
unerfüllbar?
Barbara König
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231
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Wir betrachten folgende Klauselmenge (Beispiel aus dem Buch von
Schöning):
F
= {{¬P(x), Q(x), R(x, f (x))}, {¬P(x), Q(x), S(f (x))}, {T (a)},
{P(a)}, {¬R(a, x), T (x)}, {¬T (x), ¬Q(x)}, {¬T (x), ¬S(x)}}
und zeigen ihre Unerfüllbarkeit mit Hilfe des
Resolutionstheorembeweisers otter (siehe auch die Vorstellung
von otter im Kapitel “Aussagenlogik”).
Barbara König
Logik
232
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Wir betrachten folgende prädikatenlogische Formel:
F = ∀x(P(x) → P(f (x)))
Ist diese Formel gültig, erfüllbar oder unerfüllbar?
Was passiert, wenn sie als Eingabe für einen
Resolutionstheorembeweiser (wie beispielsweise otter)
verwendet wird?
Diese Formel ist erfüllbar: otter leitet immer neue Klauseln ab
und terminiert nicht.
Barbara König
Logik
233
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Das Affe-Banane-Problem (Teil 1)
(A1) Ein Tier, das Arme hat und nahe bei einem Ding ist,
kann das Ding erreichen.
(A2) Ein Tier auf einem hohen Gegenstand, der unter den
Bananen steht, ist nahe bei den Bananen.
(A3) Wenn ein Tier in einem Raum einen Gegenstand zu
einem Ding schiebt, die beide im Raum sind, dann ist
das Ding nahe am Boden oder der Gegenstand ist
unter dem Ding.
(A4) Wenn ein Tier einen Gegenstand ersteigt, ist es auf
dem Gegenstand.
(A5) Der Affe ist ein Tier, das Arme hat.
Barbara König
Logik
234
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Das Affe-Banane-Problem (Teil 2)
(A6) Der Stuhl ist ein hoher Gegenstand.
(A7) Die Bananen sind ein Ding.
(A8) Der Affe, die Bananen und der Stuhl sind im Raum.
(A9) Der Affe kann den Stuhl unter die Bananen schieben.
(A10) Die Bananen sind nicht nahe am Boden.
(A11) Der Affe kann den Stuhl ersteigen.
(S?) Kann der Affe die Bananen erreichen?
Barbara König
Logik
235
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Schema für die Lösung solcher Probleme:
Seien A1 , . . . , An die Axiome oder Voraussetzungen und
S die Schlussfolgerung.
Um zu zeigen, dass
A1 ∧ · · · ∧ An → S
gültig ist, zeigen wir, dass
A1 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬S
unerfüllbar ist.
Barbara König
Logik
236
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Anwendungen
Anwendungen der prädikatenlogischen Resolution
Theorembeweiser: Beweis von Sätzen aus der Mathematik
Verifikation: Beweis der Korrektheit von Programmen
Schlussfolgerung in Expertensystemen
Planungssysteme
Logik-Programmierung (PROLOG)
siehe nächstes Kapitel
Bemerkung: Neben Resolution gibt es noch weitere Methoden, die
Unerfüllbarkeit prädikatenlogischer Formeln zu zeigen,
beispielsweise mit Hilfe von Tableau-Beweisen.
Barbara König
Logik
237