komplexe Zahlen - D-MATH

Mathematik I D - BIOL/D-CHAB
Prof. E. W. Farkas
Komplexe Zahlen – Addendum
Pierre-François Rodrı́guez
ETH Zurich
December 15, 2014
Wiederholung: Darstellungsformen
1. Cartesische Darstellung:
z = a + ib,
a, b ∈ R,
i 2 = −1.
- a =: Re(z): Realteil von z
- b =: Im(z): Imaginärteil von z.
Graphische Darstellung in komplexer (Gauss’scher) Zahlenebene:
Wiederholung: Darstellungsformen
2. Polardarstellung:
z = r (cos(φ) + i sin(φ)),
r > 0, φ ∈ [0, 2π).
- r = |z|: Betrag von z
- φ = arg (z): Argument von z.
Transformationsregeln:
Cartesische Darstellung ←→ Polardarstellung
a
= cos(φ)
r
b
= sin(φ)
r
Bemerkung: Durch Quadrieren und Addieren der beiden
Gleichungen folgt
p
r = a2 + b 2 .
(1)
Beispiel 1
Stellen Sie folgende Mengen in der komplexen Zahlenebene
(b) {z ∈
C; |z| ≤ 3, π ≤ arg z ≤
Lösung:
3π
2 }.
C dar:
Beispiel 2
Stellen Sie folgende Mengen in der komplexen Zahlenebene
(d) {z ∈
C; |z| ≤ 2, Im z ≥ 1}.
Lösung:
C dar:
Beispiel 3
Stellen Sie folgende Mengen in der komplexen Zahlenebene
(c) {z ∈
C; 2 ≤ |z| ≤
4, − π3
≤ arg z ≤
− π6 }
=M
Lösung:
Bemerkung: M = {z ∈
C; 2 ≤ |z| ≤ 4, 5π3 ≤ arg z ≤ 11π6 }.
C dar:
Komplexe Zahlen: Addition
In Cartesischer Darstellung: sei z1 = a + ib, z2 = c + id
z1 + z2 := (a + c) + i (b + d)
→ geometrische Interpretation: Vektoraddition!
Komplexe Zahlen: Multiplikation I
In Cartesischer Darstellung: sei z1 = a + ib, z2 = c + id
z1 · z2 = (a + ib) · (c + id )
= ac + aid + ibc + (ib)(id )
| {z }
=i 2 bd=−bd
= (ac − bd) + i (ad + bc)
→ geometrische Interpretation: ???
Komplexe Zahlen: Multiplikation II
In Polardarstellung:
sei z1 = r1 (cos(φ1 ) + i sin(φ1 )), z2 = r2 (cos(φ2 ) + i sin(φ2 ))
z1 · z2 = r1 (cos(φ1 ) + i sin(φ1 )) · r2 (cos(φ2 ) + i sin(φ2 ))
h
= r1 r2 cos(φ1 ) cos(φ2 ) − sin(φ1 ) sin(φ2 )
i
+ i cos(φ1 ) sin(φ2 ) + sin(φ1 ) cos(φ2 )
= r1 r2 cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )
(verwende Additionstheoreme im letzten Schritt).
Also
|z1 · z2 | = r1 · r2 = |z1 | · |z2 |
arg(z1 · z2 ) = φ1 + φ2 = arg(z1 ) + arg(z2 )
→ geometrische Interpretation: Drehstreckung!
Bemerkung: Polardarstellung oft besser geeignet als Cartesische
beim Multiplizieren von komplexen Zahlen (siehe Beispiele unten!)
Eulersche Formel
Es gilt:
cos(φ) + i sin(φ) = e i φ ,
für alle φ ∈ R.
(Erklärung folgt.) Dann: z1 = r1 e i φ1 , z2 = r2 e i φ2 , also
z1 · z2 = r1 e i φ1 · r2 e i φ2
(2)
= r1 r2 e (i φ1 +i φ2 )
= r1 r2 e i (φ1 +φ2 )
(2)
= r1 r2 cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 ) .
(2)
Eulersche Formel: Erklärung
Zu zeigen:
e i φ = cos(φ)+i sin(φ)
⇐⇒
1 = e −i φ (cos(φ)+i sin(φ)) =: f (φ)
Berechne Ableitung von f nach φ:
f ′ (φ) = −ie −i φ (cos(φ) + i sin(φ)) + e −i φ (− sin(φ) + i cos(φ))
= −ie −i φ cos(φ) + (−i )i e −i φ sin(φ) − e −i φ sin(φ) + ie −i φ cos(φ)
| {z }
=0
−i 2 =1
Also gilt
f (φ) = const.
Aber f (0) = e −i ·0 (cos(0) + i sin(0)) = 1, also
f (φ) = 1.
Eulersche Formel: Erklärung
Alternativ:
verwende Reihendarstellungen von exp, cos, sin (s. Serie 11,
Aufgabe 3).
Beispiel 1
Aufgabe
Finden Sie die Kartesische Darstellung von
1
3π 7
· 64 · cos( π6 ) + i sin( π6 ) .
z = 12 cos( 3π
14 ) + i 2 sin( 14 )
Lösung
z=
=
1
2
3π
14 + i
π
3π 7
i6
1 i 14
64e
e
2
cos
sin
3π
14
π
64 i 21π
14 + 6
= 7e
2
π
1
= 2 cos 3π
2 + 6 + i sin
√ = 14 1 − i 3
7
64 cos
3π
2
π
6
+
π
6
+ i sin
π
6
Beispiel 2
Aufgabe
Schreiben Sie die folgenden Zahlen z in der Form x + iy :
(b) z = (1 − i )−8
Naiv:
1 8 1
1 + i 8 1 + i 8
=
=
·
(1 − i )−8 =
1−i
1−i 1+i
2
1
= 8 (1 + i ) · · · (1 + i ) = ...
{z
}
2 |
8 Mal!
ausmultiplizieren :-)
Lösung (Strategie)
◮
◮
◮
1. Polardarstellung von w = 1 − i finden
2. Daraus Polardarstellung von z bestimmen
3. Polardarstellung von z in Cartesische Darstellung
transformieren.
Lösung: Teil 1
w = 1 − i (=a + bi mit a = 1 und b = −1).
w = re i φ . r =? φ =?
p
√
r = a2 + b 2 = 2.
φ bestimmen aus Transformationsregeln (1):
1
√ = cos φ
2
1
− √ = sin φ
2
=⇒ φ =
7π
4
(siehe Skizze). Also
w=
√
2e i
7π
4
.
Lösung: Teil 2 und 3
Polardarstellung von z = (1 − i )−8 bestimmen:
z = (1 − i )−8 = w −8
1 7π −8
= 2 2 ei 4
= 2−4 ·
−4
=2
e| i (−14π)
{z }
=cos(−14π)+i sin(−14π)=1+i ·0=1
Insgesamt:
z = x + iy mit x = 2−4 =
1
und y = 0.
16
Beispiel 3
Aufgabe
Schreiben Sie die folgenden Zahlen z in der Form x + iy :
√
(c) z = ( 3 + i )6 (1 − i )
Lösung
√
3 + i = re i φ =⇒
r =2
cos φ =
Also
√
3
2
, sin φ =
√
1
2
⇒
π
3 + i = 2e i 6
φ = π6 .
Lösung (Forts.)
z=
√
3+i
6
π 6
1−i
1 − i = 2e i 6
= 26 (e i π )(1 − i )
= 26 cos π + i sin π 1 − i
= 64 −1 + i .
Insgesamt: z = x + iy mit x = −64, y = 64.
Beispiel 4
Aufgabe
Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen z in der Form
z = x + iy mit x, y ∈ . Berechnen Sie auch |z| und arg (z).
(a) z =
in
R
mit n ∈ N.
Lösung
i (= 0 + 1 · i ) = re i φ =⇒
r =1
cos φ = 0 , sin φ =
1
Also i = e i π/2 (intuitiv klar, Skizze!).
⇒
φ = π2 .
Lösung (Forts.)
Damit gilt
π
z = i n = ei 2
n
= ei
nπ
2
= cos
nπ 2
+ i sin
Also:
nπ .
2
nπ
.
2
Kartesische Darstellung: es genügt, die Fälle n=0,1,2,3 zu
betrachten!

1,
n = 0,



i
,
n = 1,
zn =
−1,
n = 2,



−i ,
n = 3.
|z| = 1,
arg(z) =
und allgemein

0,



i
,
zn =
−1,



−i ,
n = 0, 4, 8, . . .
n = 1, 5, 9, . . .
n = 2, 6, 10, . . .
n = 3, 7, 11, . . .
Frohe Weihnachten!