Mathematischer Vorkurs - komet 337

Mathematischer Vorkurs
Mathematischer Vorkurs
Peter van Dongen
Institut für Physik
Johannes Gutenberg-Universität, Mainz
Vorlesung im SS 2010
Mathematischer Vorkurs
Inhaltsverzeichnis Mathematischer Vorkurs“
”
Merkblatt Vorkurs
Merkblatt Vorkurs
1. Zahlen
1
2. Folgen und Reihen
2
3. Vektoren, Matrizen, Determinanten
3
4. Funktionen & ihre Ableitungen
4
5. Funktionen mehrerer Veränderlicher
5
6. Integration & Integrale
6
7. Differentialgleichungen
7
Anhang: Hintergrundinformation, einige Beweise
Anhang
Mathematischer Vorkurs
Merkblatt
Allgemeines über die Vorlesung
Allgemeine Information
Dozent?
I Name: Peter G.J. van Dongen
I Zimmer: 03-123 (Physikgebäude)
I Tel.: (39)25609
I E-Mail: [email protected]
Sekretariat: Elvira Helf, Tel.: (39)25171, Zimmer 03-128
Mathematischer Vorkurs!
I Zeit und Ort: täglich 9.00 - 12.00 Uhr, HS 20
I Zielgruppe? angehende . . .
I
I
I
I
I
I
Physiker (Bach. Sc. & Bach. Sc. Ed.)
Meteorologen (Bach. Sc.)
Chemiker (Bach. Sc. & Bach. Sc. Ed.)
Biologen (Bach. Sc. & Bach. Sc. Ed.)
Geowissenschaftler (Bach. Sc.)
& ein paar Mathematiker/Informatiker (Bach. Sc. & Bach. Sc. Ed.)
Mathematischer Vorkurs
Merkblatt
Zweck des Vorkurses
Zweck des Vorkurses
Warum sind Sie hier?
1. Mathematik ist wichtig!
2. Mathematik macht Spaß!
3. Schulbedingte Unterschiede bei den Mathematikkenntnissen!
Extreme Heterogenität!
I
I
I
I
Rheinland-Pfalz ↔ Hessen ↔ Rest der Welt
Unterschiedliche Schulen, Lehrer, Wahlpflichtfächer, . . .
Unterschiedliche Kursniveaus: Grundkurs ↔ Leistungskurs
Unterschiedliche individuelle Aspekte: Talente, Interessen, . . .
4. Lücke zwischen Schulwissen und Universität
5. Daher Ziele des Vorkurses?
Wissensunterschiede ausgleichen & Lücken schließen
I ein paar Ausblicke bieten
( Ergänzungen“)
”
Anforderungen der Anfängervorlesungen! (zumindest in Physik)
I wesentliche Ideen des Vorkurses werden effektiv vorausgesetzt
I
6.
( Matheschock“)
”
Mathematischer Vorkurs
Merkblatt
Zum Herunterladen:
Handout & Übungsblätter
Wie erhalten Sie Ihre Übungsblätter & Ihr Handout“?
”
Hilfreich bei Vorlesung & Übung:
I Die Übungsblätter . . .
I
I
I
Downloads!
werden nicht nur in der Vorlesung verteilt,
sondern können auch heruntergeladen werden!
Außerdem können Sie ein Handout“ herunterladen!
”
Tipp:
Lieber mitdenken als mitschreiben!
Herunterladen des Handouts und der Übungsblätter?
http://komet337.physik.uni-mainz.de/Group/
Benutzername: theo, Passwort: istgut!
(An der JOGU selbst nicht benötigt!)
Mathematischer Vorkurs
Merkblatt
Organisation der Übung
Organisation der Übung
FAQs:
1. In welcher Übungsgruppe sind Sie?
I
I
I
I
I
I
I
Einteilung der Übungsgruppen erfolgt am Ende der ersten Vorlesung
Die HiWis kommen (etwa um 12 Uhr) zu HS 20
Sie gehen (evtl. zusammen mit Gleichgesinnten) zu einem der HiWis
Unsere Randbedingung: alle Übungsgruppen etwa gleich groß
Der HiWi zeigt Ihnen noch vor dem Mittagessen Ihren Übungsraum
Dort treffen Sie sich nach dem Mittagessen für die erste Übung
Ihre erste Übung fängt um 14 Uhr (oder evtl. 13 Uhr) an
Mathematischer Vorkurs
Merkblatt
Organisation der Übung
Organisation der Übung
FAQs:
1. In welcher Übungsgruppe sind Sie?
(. . .)
2. Was ist der typische Ablauf einer Übung?
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Die Übung dauert typischerweise von 14-17 Uhr (bzw. 13-16 Uhr)
In Übungen werden Übungsblätter gerechnet
Diese Übungsblätter erhalten Sie in der Vorlesung oder als Download
Es gibt ein Übungsblatt pro Kapitel (nicht z.B.: pro Tag)
Unser Rat: arbeiten Sie in der Übung mit Gleichgesinnten zusammen
Sie brauchen auf keinen Fall alle Übungsaufgaben zu lösen!
Die Übungsaufgaben haben unterschiedliche Schwierigkeitsgrade
Bearbeiten Sie die Aufgaben, womit Sie gut zurechtkommen
Die Übungsaufgaben werden vom HiWi zwar nicht korrigiert,
. . . aber Sie sollten den HiWi löchern, wenn Sie nicht weiterkommen,
. . . bis Sie Ihre“ Aufgaben im Wesentlichen verstanden haben
”
Mathematischer Vorkurs
Merkblatt
Organisation der Übung
Organisation der Übung
FAQs:
1. In welcher Übungsgruppe sind Sie?
(. . .)
2. Was ist der typische Ablauf einer Übung?
(. . .)
3. Was ist anders in der ersten Übung? (also heute!)
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Sie werden zwar mit dem ersten Übungsblatt anfangen können,
. . . aber vorher machen wir einen Eingangstest (A. Neiser)
Keine Bange: Dieser Test ist grundsätzlich anonym
Unser Ziel ist, Sie (als Gruppe) besser kennen zu lernen,
. . . um den Vorkurs besser auf Sie abzustimmen
. . . und ihn künftig noch besser zu machen!
Daher gibt es später (in der letzten Woche) auch einen Ausgangstest
Die Ein- und Ausgangsergebnisse werden miteinander verglichen,
. . . und liefern somit Information über die Effektivität des Vorkurses
Ein- und Ausgangsergebnisse werden in der Vorlesung diskutiert
Mathematischer Vorkurs
Merkblatt
Übungsleitung
Ihre Ansprechpartner
Übungsleitung: Tobias Gottwald (KOMET 337)
I Institut für Physik, Zimmer 03-426
I Tel.: (39)22465; Fax: (39)20954
I E-Mail: [email protected]
Übungsgruppenleiter(innen): (mit Übungsraum, Emailadresse)
1. Benedikt Kloss
2. Peter Merkel
(SR A, [email protected])
(SR C, [email protected])
3. Beate Mußhoff
(SR D, [email protected])
4. Andreas Neiser
(SR E, [email protected])
5. Charalampos Papadopoulos
6. Sebastian Rothe
(SR F, [email protected])
(SR K, [email protected])
7. Antonia Statt
(Minkowski-Raum, [email protected])
8. Tobias Weber
(Newton-Raum, [email protected])
9. Elisa Will
(Galilei-Raum, elisa− [email protected])
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Merkblatt
Vorlesungsinhalte
Vorlesungsinhalte
Die verschiedenen Kapitel der Vorlesung . . .
1. Zahlen
2. Folgen und Reihen
3. Vektoren, Matrizen, Determinanten
4. Funktionen & ihre Ableitungen
5. Funktionen mehrerer Veränderlicher
6. Integration & Integrale
7. Differentialgleichungen
Mathematischer Vorkurs
Merkblatt
Literatur
Empfehlenswerte Literatur I
H. J. Korsch
Mathematik-Vorkurs
Binomi Verlag (Barsinghausen, 2008)
K. Hefft
Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik
http://www.thphys.uni-heidelberg.de/ hefft/vk1/
Universität Heidelberg (Heidelberg, 2008)
M. Kallenrode
Rechenmethoden der Physik: Mathematischer
Begleiter zur Experimentalphysik
Springer Verlag (Berlin, 2005)
Mathematischer Vorkurs
Merkblatt
Literatur
Empfehlenswerte Literatur II
H. J. Korsch
Mathematische Ergänzungen zur Einführung
in die Physik
Binomi Verlag (Barsinghausen, 2008)
F. Ayres, E. Mendelson
Schaum’s Outline of Calculus
Mcgraw-Hill (New York, 1999)
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz
Mathematik fuer Physik 1-3
Springer Verlag (Berlin, 2007)
Mathematischer Vorkurs
Kapitel 1: Zahlen
Inhaltsverzeichnis
I
I
I
1.1 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion
1.2 Reelle Zahlen
1.3 Komplexe Zahlen
1.1
Mathematischer Vorkurs
1.1 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion
Natürliche Zahlen
1.1 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion
Definition: N ≡ {1, 2, 3, . . . } , N0 ≡ {0, 1, 2, 3, . . . }
Fundamentale Eigenschaft:
U⊂N
,
Konsequenz:
P(1) wahr
Beispiele:
1∈U
,
(Notation: ⊂ bedeutet Teilmenge“)
”
m ∈ U ⇒ (m + 1) ∈ U
vollständige Induktion“ ,
”
⇔
U=N
U ≡ {n ∈ N | P(n) wahr}
P(m) wahr ⇒ P(m + 1) wahr
,
⇔ P(n) wahr (∀ n ∈ N)
(Beweis mit vollständiger Induktion)
I 1 + 2 + ··· + n =
P(1) wahr :
1=
1
n(n
2
1
·1·
2
+ 1) ,
denn:
(1 + 1)
,
P(m) :
1 + 2 + · · · + m = 21 m(m + 1)
Falls P(m) wahr ⇒ 1 + 2 + · · · + (m + 1) = ( 12 m + 1)(m + 1) = 12 (m + 1)(m + 2)
Also: P(m) wahr ⇒ P(m + 1) wahr!
I Analog:
Daher:
P(n) wahr (∀ n ∈ N)
12 + 22 + · · · + n2 = 16 n(n + 1)(2n + 1)
Peano-Axiome
Mathematischer Vorkurs
1.1 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion
Vollständige Induktion
Vollständige Induktion - weitere Beispiele
1. Binomischer Satz:
(1 + x)0 = 1
[ bekannt mindestens seit Euklid, Pingala, Halayudha, . . . ]
(1 + x)1 = 1 + x
,
(1 + x)3 = 1 + 3x + 3x 2 + x 3
n
P(n) :
(1 + x) =
(1 + x)4 = 1 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4
,
n Å ã
X
n
k
(1 + x)2 = 1 + 2x + x 2
,
xk
( Vermutung )
k=0
Beweis mit vollständiger Induktion:
P(m) wahr ⇒ P(m+1) wahr
[ und P(1) − P(4) ]
P(0) wahr
Å
ã
m+1
k
wegen
Å ã Å
=
Beweis dieser Pascal’schen Regel“:
Ӌ
Å ã Å
m!
m!
m
m
+
=
+
k
k −1
k!(m − k)!
(k − 1)!(m + 1 − k)!
(m + 1)!
=
k!(m + 1 − k)!
Fazit:
m+1−k
k
+
m+1
m+1
Å
=
ã
m
m
+
k
k −1
ã
m+1
·1=
k
Å
ã
m+1
k
P(n) wahr (∀ n ∈ N0 )
Mathematischer Vorkurs
1.1 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion
Beispiele vollständiger Induktion
Vollständige Induktion - weitere Beispiele
[ f (n) ≡ n-te Ableitung von f ]
2. Produktregel beim Differenzieren:
(fg )(0) = fg
(fg )(1) = f 0 g + fg 0
,
,
(fg )(2) = f 00 g + 2f 0 g 0 + fg 00
(fg )(3) = f (3) g + 3f (2) g (1) + 3f (1) g (2) + fg (3)
(fg )(4) = f (4) g + 4f (3) g (1) + 6f (2) g (2) + 4f (1) g (3) + fg (4)
P(n) :
(fg )
(n)
=
n Å ã
X
n
k
f (n−k) g (k)
( Vermutung )
k=0
Beweis mit vollständiger Induktion:
P(m) wahr ⇒ P(m+1) wahr
Fazit:
P(0) wahr
Å
wegen
[ und P(1) − P(4) ]
ã
m+1
k
Å ã Å
=
P(n) wahr (∀ n ∈ N0 )
Beispiele:
(xe −x )(n) = x(−1)n e −x + n(−1)n−1 e −x = (−1)n (x − n)e −x
(n)
x 2 sin(x)
= x 2 sin(x) − 2nx cos(x) − n(n − 1) sin(x)
ã
m
m
+
k
k −1
(n = 4k)
Mathematischer Vorkurs
1.1 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion
Beispiele vollständiger Induktion
Vollständige Induktion - weitere Beispiele
3. Fibonacci-Zahlen Fn = 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·
(F
= Fn+1 + Fn )
ï n+2
ò
n
n
(x+ ) − (x− )
Euler, Daniel Bernoulli,
P(n) :
Fn =
de Moivre (1730), Binet
x+ − x−
mit:
√
x± ≡ 12 ± 21 5 , (x± )2 − x± − 1 = 0
[ x+ =
b goldener Schnitt“ ]
”
Vollständige Induktion:
[ Fazit:
P(n) wahr (∀ n ∈ N) ]
P(1) wahr:
(x+ − x− )/(x+ − x− ) = 1
P(2) wahr:
2
(x+2 − x−
)/(x+ − x− ) = x+ + x− = 1
P(m) & P(m + 1) wahr ⇒ P(m + 2) wahr
da
(x± )2 − x± − 1 = 0
Berechnung:
Fm+1 + Fm =
=
(x+ )m − (x− )m
(x+ )m+1 − (x− )m+1
+
x+ − x−
x+ − x−
(x+ )m (x+ + 1) − (x− )m (x− + 1)
(x+ )m+2 − (x− )m+2
=
= Fm+2
x+ − x−
x+ − x−
Mathematischer Vorkurs
1.1 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion
Fibonacci-Zahlen
Leonardo Pisano Bogollo (c. 1170 - c. 1250), Fibonacci
Geometrische Darstellung der Fibonacci-Zahlen:
2
3
Fibonacci-Zahlen:
Fn = 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·
Fn+1
→ x+
Fn
(n → ∞)
mit:
√
x+ = 12 + 12 5
1 1
8
5
Fn+2 = Fn+1 + Fn
' 1, 618034
( goldener Schnitt“)
”
Fibonacci-Zahlen als Verzweigungsprozeß:
Modell für:
I Vermehrung von:
I Kaninchenpaaren
I Bienen
I Wachstum von:
I Bäumen
I Pflanzen (· · · )
0
1
2
3
4
5
6 Zeit
Fibonacci (c. 1170 - 1250)
Mathematischer Vorkurs
1.2 Reelle Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen
1.2 Reelle Zahlen
Ganze Zahlen:
Z = (−N) ∪ {0} ∪ N = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
Rationale Zahlen:
[ Beispiele:
¶m
©
m, n ∈ Z ; n 6= 0
Q=
1
7
−
0
1
5
13
− 7]
n
Reelle Zahlen:
[ Beispiele:
1, 41421 · · ·
n
X
x=
Ç
gm (10)m
2=
√
2, π, e 6=
m
n
⇒
2n2 = m2
⇒
Mehrdeutigkeit:
m
n
m, n, gm ∈ Z
å
0 ≤ gm ≤ 9
m=−∞
√
2, 71828 · · · ]
x = gn gn−1 gn−2 · · · g0 , g−1 g−2 · · ·
I Allgemeine Form:
I Beispiele:
3, 14159 · · ·
(o.B.d.A.: m, n ∈ N teilerfremd) ,
⇒
m = 2m̄ (m̄ ∈ N)
n = 2n̄ (n̄ ∈ N)
⇒
0, 999 · · · = 1, 000 . . .
⇒
n2 = 2m̄2
(m, n) nicht teilerfremd
(usw.)
Mathematischer Vorkurs
1.2 Reelle Zahlen
Geometrische Darstellung der reellen Zahlen
Geometrische Darstellung der reellen Zahlen
Reelle Zahlen im Intervall 0 ≤ x ≤ 1 :
x = 0 , g−1 g−2 g−3 g−4 g−5 g−6 · · ·
0
1
0 , g−1 g−3 g−5 · · ·
0 , g−2 g−4 g−6 · · ·
Ç
denn:
0 , g−1 g−4 · · ·
0 , g−2 g−5 · · ·
0 , g−3 g−6 · · ·
å
Mathematischer Vorkurs
1.3 Komplexe Zahlen
Definitionen und Eigenschaften
1.3 Komplexe Zahlen
Motivation:
lineare Gleichung :
0 = a0 + a1 z (a0,1 ∈ R)
⇒
Unlösbarkeit“ mancher
”
quadratischer Gleichungen
mindestens bekannt seit:
z = −a0 /a1 ∈ R
quadratische Gleichung :
0 = a0 + a1 z + a2 z 2
(a0,1,2 ∈ R)
⇒
(?!?)
Beispiel :
0 = 1 + z2
z 2 = −1
⇔
⇒
(?!?)
Definition der Größe i :
i 2 ≡ −1
Komplexe
(i heißt imaginäre Einheit“)
”
Zahlen: (u, v = Real-/Imaginärteil)
( u, v ∈ R ; z ∈ C )
z = u + vi
(Weiter)entwicklung der komplexen Zahlen:
Abū ‘Abdallāh Muh.ammad
ibn Mūsā al-Khwārizmı̄
(c. 780 - c. 850)
Gerolamo Cardano (1501 - 1576),
René Descartes, Leonhard Euler, Caspar Wessel,
Augustin Louis Cauchy, Carl Friedrich Gauß
Mathematischer Vorkurs
1.3 Komplexe Zahlen
Definitionen und Eigenschaften
Komplexe Zahlen
Definition der Größe i :
i 2 ≡ −1
Komplexe Zahlen:
z = u + vi
(i heißt imaginäre Einheit“)
”
(u, v = Real-/Imaginärteil)
( u, v ∈ R ; z ∈ C ) ; u = Re(z) , v = Im(z)
Eigenschaften:
I Addition:
Im(z)
z1 + z2 = (u1 + v1 i) + (u2 + v2 i)
z2 = u2 + v2 i
≡ (u1 + u2 ) + (v1 + v2 )i
I Multiplikation:
z1 z2 = (u1 + v1 i)(u2 + v2 i)
z1 + z2
0
≡ (u1 u2 − v1 v2 ) + (u1 v2 + v1 u2 )i
I Inversion:
1
1
u − vi
=
≡ 2
z
u + vi
u + v2
Notationen:
Re(z)
z1 = u1 + v1 i
0 + 0i ≡ 0
,
,
(u1 + v1 i)(u2 − v2 i)
z1
u1 + v1 i
1
=
≡ z1 =
z2
u2 + v2 i
z2
(u2 )2 + (v2 )2
u + 0i ≡ u
,
0 + vi = vi
Mathematischer Vorkurs
1.3 Komplexe Zahlen
Allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung
Quadratische Gleichung & Polardarstellung
[ D ≡ (a1 )2 − 4a0 a2 , Diskriminante“]
”
 Ä
√ äÄ
√ ä
a
+
D
a
−
D
1
1
 a2 z + 2a
z + 2a2
(D ≥ 0)
2
Quadratische Gleichung:
Ä
 a2 z +
0 = a0 + a1 z + a2 z 2 =
(a0,1,2 ∈ R)
®
Lösungen:
z± =
1
2a2
1
2a2
√
a1 +i −D
2a2
äÄ
√ D
√
−a1 ± i −D
−a1 ±
z+
√
a1 −i −D
2a2
ä
(D ≤ 0)
(D ≥ 0)
(D ≤ 0)
Polardarstellung von z = u + vi :
u = ρ cos(ϕ)
v = ρ sin(ϕ)
™
Å
!
z = ρ [cos(ϕ) + i sin(ϕ)] = ρe iϕ
⇒
Notation/Nomenklatur:
( |z| ≡
ρ = |z| ≥ 0
√
EulerFormel
ã
u 2 + v 2 ⇒ |e iϕ | = 1 )
( Betrag“)
”
( Argument“ : −π < ϕ ≤ π)
”
ϕ = arg(z)
Mathematischer Vorkurs
1.3 Komplexe Zahlen
Die Polardarstellung
Die Polardarstellung
Polardarstellung™von z = u + vi :
u = ρ cos(ϕ)
v = ρ sin(ϕ)
!
z = ρ [cos(ϕ) + i sin(ϕ)] = ρe iϕ
⇒
Warum gilt cos(ϕ) + i sin(ϕ) = e iϕ ?
Definiere:
f (ϕ) ≡ cos(ϕ) + i sin(ϕ)
,
|e iϕ | = 1
[ f 0 (ϕ) = λf (ϕ) ⇒ f (ϕ) = f (0)e λϕ ]
[ mit f (0) = 1 ]
⇒
f 0 (ϕ) = − sin(ϕ) + i cos(ϕ) = i[cos(ϕ) + i sin(ϕ)] = if (ϕ)
⇒
f (ϕ) = f (0)e iϕ = e iϕ
Umkehrung der Polardarstellung:
ρ=
Im(z)
p
cos(ϕ) = u/
u2 + v 2
p
sin(ϕ) = v /
u2 + v 2
ρ sin(ϕ)
p
u2 + v 2
Multiplikation/Division in der Polardarstellung:
z1 z2 = (ρ1 e iϕ1 )(ρ2 e iϕ2 ) = (ρ1 ρ2 )e i(ϕ1 +ϕ2 )
z1
ρ1 e iϕ1
ρ1
=
= e i(ϕ1 −ϕ2 )
iϕ
z2
ρ2 e 2
ρ2
0
ρ
ϕ
u + vi
ρ cos(ϕ)
Re(z)
Mathematischer Vorkurs
1.3 Komplexe Zahlen
Die Polardarstellung
Polardarstellung
Multiplikation/Division in der Polardarstellung:
z1 z2 = (ρ1 e
iϕ1
)(ρ2 e
iϕ2
) = (ρ1 ρ2 )e
i(ϕ1 +ϕ2 )
,
Im(z)
z1
ρ1 e iϕ1
ρ1
=
= e i(ϕ1 −ϕ2 )
iϕ
z2
ρ2 e 2
ρ2
Im(z)
2
2
z1 z2
ρ1 ρ2
1.5
z1
ρ1
1.5
ϕ1
ϕ1 + ϕ2
1
ρ2
.5
1
z2
ϕ2 ρ1 z1
ρ2
.5
z2
ϕ2
ϕ1
Re(z)
0
.5
1
1.5
2
0
2.5
.5
z1 /z2
ρ1 /ρ2
ϕ1 − ϕ2
1
1.5
Re(z)
2
2.5
Rechenregeln:
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |
|z1 |
z1 =
|z2 |
z2
,
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
,
arg
z1
z2
= arg(z1 ) − arg(z2 )
(mod 2π)
(mod 2π)
Mathematischer Vorkurs
1.3 Komplexe Zahlen
De Moivres Formel
De Moivres Formel
Polardarstellung von z™= u + vi :
u = ρ cos(ϕ)
v = ρ sin(ϕ)
⇒
!
z = ρ [cos(ϕ) + i sin(ϕ)] = ρe iϕ
Daher speziell:
(Abraham de Moivre, 1707 & 1722; Euler 1749)
!
[cos(ϕ) + i sin(ϕ)]n = e inϕ = cos(nϕ) + i sin(nϕ)
Beispiele:
cos(2ϕ) + i sin(2ϕ) = [cos(ϕ) + i sin(ϕ)]2
Im(z)
e 3iϕ
= cos2 (ϕ) − sin2 (ϕ) + i [2 cos(ϕ) sin(ϕ)]
cos(3ϕ) + i sin(3ϕ) = [cos(ϕ) + i sin(ϕ)]3
= cos3 (ϕ) − 3 cos(ϕ) sin2 (ϕ)
2ϕ
e 4iϕ
Daher:
cos(3ϕ) = cos3 (ϕ) − 3 cos(ϕ) sin2 (ϕ)
usw.
ϕ
0
e 5iϕ
cos(2ϕ) = cos2 (ϕ) − sin2 (ϕ)
sin(2ϕ) = 2 cos(ϕ) sin(ϕ)
4ϕ
cos(5ϕ)
+ i 3 cos2 (ϕ) sin(ϕ) − sin3 (ϕ)
sin(3ϕ) = 3 cos2 (ϕ) sin(ϕ) − sin3 (ϕ)
e iϕ
sin(ϕ)
e 2iϕ
cos(ϕ)
sin(5ϕ)
Re(z)
Mathematischer Vorkurs
1.3 Komplexe Zahlen
Komplexe Konjugation
Im(z)
Komplexe Konjugation
ρ
Komplexe Konjugation:
z = u + vi
ϕ
∗
z = u + vi ⇒ z ≡ u − vi
∗ ∗
(z ) = (u − vi)∗ = u + vi = z
Re(z)
0
−ϕ
ρ
Rechenregeln:
(z1 + z2 )∗ = z1∗ + z2∗
,
(z1 z2 )∗ = z1∗ z2∗
z ∗ = u − vi
(z1 /z2 )∗ = z1∗ /z2∗
,
Beispiele:
I Betragsquadrat/Inverse:
zz ∗ = |z|2
I Lösungen der quadratischen Gleichung:
®
z± =
1
2a2
1
2a2
√ D
√
−a1 ± i −D
−a1 ±
,
z −1 = z ∗ /|z|2
(D ≥ 0)
⇒
z± ∈ R
(D ≤ 0)
⇒
∗
z+ = z−
Dreiecksungleichung:
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
|z1 + z2 | = (z1 + z2 )(z1 + z2 )∗
,
Beweis:
2
Im(z)
z1 + z2
= |z1 |2 + (z1 z2∗ + z2 z1∗ ) + |z2 |2
= |z1 |2 + 2Re(z1 z2∗ ) + |z2 |2
2
≤ |z1 | + |z2 |
z2
0
Re(z)
z1
Mathematischer Vorkurs
Kapitel 2: Folgen und Reihen
Inhaltsverzeichnis
I
I
I
2.1 Folgen
2.2 Reihen
2.3 Rekursion
2.1
Mathematischer Vorkurs
2.1 Folgen
Definition einer Folge“ und Nomenklatur
”
2.1 Folgen: Wo gehen sie hin?
Was ist ein Folge?
(oder auch Zahlenfolge“)
”
(an ) = (a1 , a2 , a3 , · · · , aN )
(1 ≤ n ≤ N)
= (a1 , a2 , a3 , · · · )
(∀n ∈ N)
Für uns am interessantesten:
Warum interessant?
(endliche Folge)
(unendliche Folge)
unendliche Folgen (a1 , a2 , a3 , · · · )
z.B. Zeitreihen!
(Temperatur, Wirtschaftsdaten, Mondpositionen, Populationsgrößen, . . .)
Nomenklatur:
an+1 ≥ an (steigend)
I monotone Folgen:
I streng monotone Folgen:
I beschränkte Folgen:
I konstante Folgen:
I Nullfolgen:
bzw.
an+1 < an
an ≤ a sup < ∞
bzw.
an ≥ a inf > −∞
an+1 = an
an → 0
an+1 ≤ an (fallend)
an+1 > an
an 6= 0
I alternierende Folgen:
bzw.
mit
an+1 /an < 0
(∀n ∈ N)
(∀n ∈ N)
(n → ∞)
Mathematischer Vorkurs
2.1 Folgen
Beispiele von Folgen
Folgen: Wo gehen sie hin?
Folgen:
(an ) = (a1 , a2 , a3 , · · · , aN )
= (a1 , a2 , a3 , · · · )
(1 ≤ n ≤ N)
(endliche Folge)
(∀n ∈ N)
(unendliche Folge)
Beispiele:
1. (n) = (1, 2, 3, 4, · · · )
(streng monoton steigend, unbeschränkt)
2. (n3 ) = (1, 8, 27, 64, · · · )
(streng monoton steigend, unbeschränkt)
3. ((−1)n−1 n2 ) = (1, −4, 9, −16, · · · )
4. (n−1 ) = (1, 21 , 13 , 14 , · · · )
(alternierend, unbeschränkt)
(streng monoton fallend, beschränkt, Nullfolge)
1
, · · · ) (alternierend, beschränkt, Nullfolge)
5. ((−1)n−1 n−2 ) = (1, − 14 , 19 , − 16
6. ((−1)n−1
n
)
n+1
= ( 12 , − 32 , 34 , − 45 , 65 , − 67 , · · · )
(alternierend, beschränkt)
7. ( n+1
) = (2, 32 , 43 , 54 , 65 , 67 , · · · )
n
(streng monoton fallend, beschränkt)
8. (Pn ) = (2, 3, 5, 7, 11, 13, · · · )
(streng monoton steigend, unbeschränkt)
9. (Fn ) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · · )
(monoton steigend, unbeschränkt)
Mathematischer Vorkurs
2.1 Folgen
Grenzwertregeln und Beispiele
Folgen: Wo gehen sie hin?
Beispiele:
1
5. ((−1)n−1 n−2 ) = (1, − 14 , 19 , − 16
, · · · ) (alternierend, beschränkt, Nullfolge)
6. ((−1)n−1
7. ( n+1
)=
n
n
) = ( 12 , − 32 , 34 , − 45 , 65 , − 67 , · · · ) (alternierend, beschränkt)
n+1
(2, 32 , 43 , 54 , 65 , 67 , · · · ) (streng monoton fallend, beschränkt)
8. (Pn ) = (2, 3, 5, 7, 11, 13, · · · )
(streng monoton steigend, unbeschränkt)
Wo gehen sie hin?
[Lat.: vergo ' (sich) neigen, tendieren]
I Beispiele 5 und 7 konvergieren“
(gegen die Werte 0 bzw. 1)
”
I Beispiel 8 divergiert“ (gegen den Wert +∞)
”
I Beispiel 6 konvergiert“ nicht
”
Nomenklatur/Notationen:
I (an ) konvergiert gegen a ∈ R
⇔
(an − a) ist Nullfolge
I Zahl a heißt Grenzwert“ der Folge (an )
I Notationen:
”
lim an = a
an → a
oder
n→∞
(n → ∞)
Mathematischer Vorkurs
2.1 Folgen
Grenzwertregeln und Beispiele
Folgen: Wo gehen sie hin?
Nomenklatur/Notationen:
I (an ) konvergiert gegen a ∈ R ⇔ (an − a) ist Nullfolge
I Zahl a heißt Grenzwert“ der Folge (an )
”
I Notationen:
lim an = a
an → a
oder
n→∞
(n → ∞)
Grenzwertregeln:
Falls
lim an = a
und
n→∞
lim bn = b
. . . dann gilt:
[1.]
lim (an + bn ) = a + b
lim (an − bn ) = a − b
bzw.
n→∞
[2.]
(−∞ < a, b < ∞)
n→∞
n→∞
lim (an bn ) = ab
n→∞
[3.]
lim (an /bn ) = a/b
[ falls
n→∞
Vorsicht!
bn 6= 0 (∀n ∈ N)
und
b 6= 0 ]
. . . falls
a±b =∞−∞
,
ab = 0 · ∞
,
a
∞
=±
b
∞
,
a
0
=
b
0
Mathematischer Vorkurs
2.1 Folgen
Grenzwertregeln und Beispiele
Folgen: Wo gehen sie hin?
Vorsicht!
. . . falls
a±b =∞−∞
,
ab = 0 · ∞
,
∞
a
=±
b
∞
a
0
=
b
0
,
Beispiele:
[1.]
[2.]
[3.]
2
n2
+
n→∞
3
n
4
n2
lim
1
n
+
2
n2
+
n→∞
3
n2
4
n3
lim
1
n2
+
2
n3
+
n→∞
3
n
4
n2
1
n
0
n→∞
=
0
lim
0
n→∞
=
0
lim
0
n→∞
=
0
lim
6=
1
n
lim
n→∞ 3
n
6=
6=
+
+
2
n2
4
n2
1
n
lim
n→∞ 32
n
+
1
n2
lim
n→∞ 3
n
+
2
n2
+ n43
+
2
n
4
n
1+
= lim
n→∞ 3 +
2
n3
4
n2
3+
2
n
4
n
1+
2
n
n 1+
= lim
n→∞
= lim
n 3+
n→∞
1
3
=
4
n
=
=
∞
=∞
3
1
=0
∞
√
n2 + 3
p
√
2 +3
n
1 + 3/n2
∞
n
1
n→∞
=
6= lim
= lim
=
n→∞ 2n + 7
n→∞ n (2 + 7/n)
∞
lim (2n + 7)
2
lim
[4.]
+
lim
n→∞
Mathematischer Vorkurs
2.1 Folgen
Die Euler’sche Zahl als Grenzwert einer Folge
Die Euler’sche Zahl und Bernoullis Zinseszinsrechnung
Die Euler’sche Zahl als Grenzwert einer Folge:
(en ) = (e1 , e2 , e3 , . . .)
Interpretation:
mit
en ≡ 1 +
1 n
n
[ Jakob Bernoulli
⇒
lim en = e ' 2, 71828 · · ·
n→∞
(1655 - 1705) ]
Zahle am 1. Januar ein Startkapital K0 auf der Bank ein
Es gilt eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz p = 100% pro Jahr
Wie groß ist Ihr Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?
Zinseszinsformel:
(hier: p = 100% = 1)
Kapital nach n Verzinsungen während
1
n
Jahres:
Kn = K0 (1 + p/n)n
n = 1 ⇒ K1 = K0 (1 + 1)1 = 2K0
I Bei halbjährlichem Zuschlag: n = 2 ⇒ K2 = K0 (1 + 1 )2 = 2, 25K0
2
1
I Bei täglichem Zuschlag: n = 365 ⇒ K365 = K0 (1 +
)365 ' 2, 715 K0
365
I Bei momentaner Verzinsung: n → ∞ ⇒ K∞ = K0 lim en = e K0
I Bei jährlichem Zuschlag:
n→∞
Mathematischer Vorkurs
2.2 Reihen
Definition einer Reihe“
”
2.2 Reihen
Betrachte irgendeine Folge:
(an ) = (a1 , a2 , a3 , . . .)
Addiere Folgenglieder:
a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3
,
···
a1 + a2 + · · · + an
,
,
···
n
Sn ≡ a1 + a2 + · · · + an =
Definiere:
P
ak ⇒ neue Folge (Sn ) heißt Reihe!
k=1
(Sn ) = (S1 , S2 , S3 , . . .) = (a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , · · · )
Umgekehrt:
⇒
(Sn ) gegeben
Beispiel 1:
(an = Sn − Sn−1 )
auch (an ) bekannt!
[ Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) ]
!
S = 81297 + 81495 + 81693 + · · · + 100899 = 9109800
!
= 8109900 + 198(1 + 2 + 3 + · · · + 100) = 8109900 + 198S100 = 8109900 + 198 · 5050
Berechnung von S100 :
[ Fazit:
S100 =
1+
2+
1
2
S100 =
· 100 · 101 = 5050 ]
3 + · · · + 98 + 99 + 100
S100 = 100 + 99 + 98 + · · · +
3+
2+
1
2S100 = 101 + 101 + 101 + · · · + 101 + 101 + 101 = 100 · 101
daher:
Mathematischer Vorkurs
2.2 Reihen
Beispiele von Reihen
Reihen - Beispiele
Resultat:
S100 = 1 + 2 + 3 + · · · + 100 =
1
2
· 100 · 101 = 5050
Allgemeiner:
[ Fazit:
n
X
k ≡ Sn =
k=1
Sn =
1 +
2 + · · · + (n − 1) +
n + (n − 1) + · · · +
n
1
2Sn = (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1)
daher:
Beispiel 2:
(geometrische Reihe)
n
X
k=0
daher:
ak ≡
∞
X
[ Fazit:
−aSn =
−a − a2 − · · · − an−1 − an − an+1
· · · + 0 − an+1 = 1 − an+1
(1 − a)Sn = 1 + 0 + 0 + · · ·
(konvergiert falls |a| < 1)
ak = 1 + a + a2 + a3 + · · · = lim Sn = lim
n→∞
k=0
Sn = (1 − an+1 )/(1 − a) ]
Sn = 1 + a + a2 + · · · + an−1 + an
Grenzwert vieler Terme in der Summe?
S∞ ≡
2 +
Sn = 12 n(n + 1) ]
n→∞
1 − an+1
1
=
1−a
1−a
Mathematischer Vorkurs
2.2 Reihen
Beispiele von Reihen
Reihen - Beispielen
Resultate: Sn =
P
k
a =
k=0
1−an+1
1−a
bzw.
S∞ =
∞
P
ak =
k=0
1
1−a
(falls |a| < 1)
Numerische Beispiele:
∞
X
1 k
2
1
=
1−
k=0
1
2
Beispiel 3:
=2
,
(1 + x) =
9 k
10
=
k=0
1
1−
9
10
= 10
∞
X
,
− 21
k
=
k=0
1
1+
1
2
=
2
3
(binomische Formel)
n
n
∞
X
X n
X
k=0
k=0
n
xk =
k
ak
mit
ak ≡
n
xk
k
(Beispiel einer Reihe!)
n
n(n − 1) 2
n(n − 1)(n − 2) 3
x+
x +
x + ···
1!
2!
3!
n
n!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n
∈ N (1 ≤ k ≤ n)
=
=
k
=0
(k > n)
k!(n − k)!
k!
=1+
Binomialkoeffizienten:
Mögliche Verallgemeinerung:
(konvergiert falls |x| < 1 , nicht für |x| > 1 !)
α(α − 1) 2
α(α − 1)(α − 2) 3
α
(1 + x)α = 1 + x +
x +
x + ···
1
2!
3!
1
(1 + x)−1 = 1 − x + x 2 − x 3 + · · · [also z.B. nicht: − 1 = 1+(−2)
= 1 + 2 + 4 + ···]
Mathematischer Vorkurs
2.3 Rekursion
Was ist Rekursion?
2.3 Rekursion
Häufig wird eine Folge (an ) = (a1 , a2 , a3 , · · · ) rekursiv definiert: an = f (n, an−1 )
Beispiele:
[1.]
(a1 gegeben)
an = an−1 + 1 = an−2 + 2 = an−3 + 3 = · · · = a1 + (n − 1)
(linear)
[2.]
an = λan−1 = λ2 an−2 = λ3 an−3 = · · · = λn−1 a1
(exponentiell)
[3.]
an = nan−1 = n(n − 1)an−2 = · · · = n(n − 1) · · · 3 · 2a1 = n! a1
(faktoriell)
[4.]
an = (an−1 )2 = (an−2 )4 = (an−3 )8 = · · · = (a1 )2
n−1
(superschnell)
Eine Reihe (Sn ) = (S1 , S2 , S3 , · · · ) ist immer rekursiv definiert:
n
Sn =
X
(an gegeben)
n−1
ak =
k=1
X
ak + an = Sn−1 + an
(Rekursion!)
k=1
Beispiel:
Sn = Sn−1 + 1
,
S1 = 1
Sn = Sn−1 + n − (n − 1)
⇒
(s. oben:)
Sn = n
⇒
Definiere:
Sn0 ≡ Sn − n
0
0
Sn0 = Sn − n = Sn−1 − (n − 1) = Sn−1
= Sn−2
= · · · = S10 = S1 − 1 = 0
Mathematischer Vorkurs
2.3 Rekursion
Beispiele von Rekursionsbeziehungen
Rekursion - weitere Beispiele
Beispiel 1:
a1 (ξ) =
[ Wiederholtes Wurzelziehen: (an ) = (a1 , a2 , a3 , · · · ) ]
»
p
α+ξ
,
a2 (ξ) =
s
an (ξ) =
α+
α+
…
α+
p
α+ξ
,
a3 (ξ) =
»
q
α+
α+
α + ······ +
Rekursionsbeziehung:
an+1 (ξ) =
p
α + an (ξ)
p
α+
α+ξ
α+ξ
(α > 0 fest)
g (x) = x
Verhalten für n → ∞ ?
Ansatz:
p
α+
√
f (x) = α + x
(α = 1.0)
a0 (ξ) ≡ ξ
,
»
q
an → a∞ < ∞
√
a∞ = α + a∞
(n → ∞)
0 = (a∞ )2 − a∞ − α
»
1
2
a∞ =
+
1
4
x
−α
+α
ξ = .5
a∞ =
1
2
ξ=3
√
+ 12 5
Mathematischer Vorkurs
2.3 Rekursion
Die Fibonacci-Zahlen und die binomische Formel
Rekursion - weitere Beispiele
Beispiel 2:
Fibonacci-Zahlen Fn = 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·
Rekursionsbeziehung:
Fn+2 = Fn+1 + Fn , F1 = F2 = 1
Analytische Form der Lösung:
√
(x+ )n − (x− )n
Fn =
mit x± ≡ 12 ± 21 5 , (x± )2 − x± − 1 = 0
x+ − x−
√
Daher für n → ∞:
Fn+1 /Fn → x+ = 12 + 21 5
( goldener Schnitt“)
”
Beispiel 3:
(binomische Formel)
(1 + x)n =
mit
n X
n
k
xk
k=0
n+1
k
=
n
k
n
+
k −1
n
→ Rekursionsbeziehung für ak,n ≡
:
k
ak,n+1 = ak,n + ak−1,n
ß
1
(k = 0)
0
(k > 0)
Tabelle heißt Pascal’sches Dreieck“
”
ak,0 =
6
1
6
15
20
15
6
1
5
1
5
10
10
5
1
0
4
1
4
6
4
1
0
0
3
1
3
3
1
0
0
0
2
1
2
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
n
k
Mathematischer Vorkurs
Kapitel 3: Vektoren, Matrizen &
Determinanten
Inhaltsverzeichnis
I 3.1 Einführung und Motivation
I 3.2 Vektoren und Vektorräume
I 3.3 Das Skalarprodukt
I 3.4 Das Vektor- oder Kreuzprodukt
I 3.5 Das Spatprodukt
I 3.6 Einfache lineare Gleichungssysteme
I 3.7 Ausblick:
reelle n × n -Matrizen
I 3.8 Die Drehgruppe, ein Kompendium
3.1
Mathematischer Vorkurs
3.1 Einführung und Motivation
Der Ortsraum der Mechanik als Vektorraum
3.1 Einführung und Motivation
Å
Ç å
ã
Koordinaten
x1 , x2 , x3
Vektoren: x =
bilden
x1
x2
x3
∈ R3
Addition von Vektoren:
(∀ x, x0 ∈ R3 )(∃! x + x0 ∈ R3 )
Multiplikation mit α ∈ R:
(∀ x ∈ R3 , α ∈ R)(∃! αx ∈ R3 )
Skalarprodukt zweier Vektoren:
(x, x0 ) ≡ x1 x10 + x2 x20 + x3 x30 = x · x0
→ euklidische
Metrik:
p
|x − x0 | ≡
(x − x0 , x − x0 ) =
p
(x1 − x10 )2 + (x2 − x20 )2 + (x3 − x30 )2
Fazit: Ortsraum der Physik = 3-dimensionaler euklidischer Vektorraum
(Euklidischer Vektorraum = reeller Vektorraum + reelles Skalarprodukt)
Mathematischer Vorkurs
3.2 Vektoren und Vektorräume
Die (plausiblen) Eigenschaften eines Vektorraums
3.2 Vektoren und Vektorräume
ß
Axiome des
reellen Vektorraums
linearen Raums
™
:
∀a, b, c ∈ V , ∀α, β ∈ R
∃! a + b ∈ V
∃! αa ∈ V
a + (b + c) = (a + b) + c
1a = a
a+b=b+a
(βα)a = β(αa)
(∃x ∈ V ) (a + x = b)
α(a + b) = αa + αb
(α + β)a = αa + βa
Geometrische Interpretation:
Abgeschlossenheit des Vektorraums
a
a+b
O
b
Mathematischer Vorkurs
3.3 Das Skalarprodukt
Axiome und Eigenschaften des Skalarprodukts
Das Skalarprodukt (a, b)
Axiome des reellen Skalarprodukts:
(a + b, c) = (a, c) + (b, c)
∀a, b, c ∈ V , ∀α ∈ R
(αa, b) = α(a, b)
(a, b) = (b, a)
(∀a 6= 0) [ (a, a) > 0 ]
p
Definition der Länge eines Vektors:
|a| ≥ 0
|a| ≡ (a, a)
|a| = 0 ⇔ a = 0
|αa| = |α| |a|
|a + b| ≤ |a| + |b|
Zerlegung des Vektors b:
b = bk + b⊥
;
bk ≡
Schwarz’sche Ungleichung:
(für festes a)
(b, a)
a
(a, a)
,
[mit (a, b⊥ ) = 0]
(b, a)
b⊥ = b − bk = b −
a
(a, a)
|(a, b)| ≤ |a| |b|
2
(b,
a)
(a, b)2
(a, b)2
|(a, b)|2
2
2
2
0 ≤ |b⊥ | = b −
a = |b| − 2
+
= |b| −
(a, a) |a|2
|a|2
|a|2
Beweis der Dreiecksungleichung:
|a + b| ≤ |a| + |b|
(|a| + |b|)2 − |a + b|2 = 2[|a| |b| − (a, b)] ≥ 2[|a| |b| − |(a, b)|] ≥ 0
Mathematischer Vorkurs
3.3 Das Skalarprodukt
Geometrische Interpretation
Das Skalarprodukt (a, b)
Geometrische Interpretation:
I bk ist die Projektion von b auf a :
bk =
(b, a)
a
a = bk
= bk â
(a, a)
|a|
bk ≡
mit
(b, a)
|a|
⇒
|bk |2 = bk2
I des Skalarprodukts:
[ für festes a ; (a, b⊥ ) = 0 ]
bk
(a, b) = |a| bk = |a| |b|
= |a| |b| cos(ϕ) , ϕ ≡ ∠(a, b)
|b|
Konsequenz: (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2|a| |b| cos(ϕ) (Kosinussatz)
I der Schwarz’schen Ungleichung:
a+b
|(a, b)|
1≥
= | cos(ϕ)|
|a| |b|
I der Dreiecksungleichung:
|a + b| ≤ |a| + |b|
b⊥
b
b
ϕ
O
a
bk
Kraft×Weg
=
= |Fk | |v| = |(F, v)|
Anwendung: z.B. Leistung = Arbeit
Zeit
Zeit
Mathematischer Vorkurs
3.3 Das Skalarprodukt
Der Ortsraum der Physik . . . etwas allgemeiner
Der Ortsraum der Physik . . . etwas allgemeiner
Ortsraum = euklidischer Vektorraum E 3
E 3 enthält:
I einen Ursprung O
I Ortsvektoren:
X
I ein reelles Skalarprodukt (ξ, η)
I eine Metrik
ξ−η
ξ
ê3
ê2
Y
η
O
OX = ξ , OY = η , · · ·
|ξ − η| = (ξ − η, ξ − η)1/2 ≥ 0
Möglichkeit, keine Notwendigkeit:
ê1
I Wähle ê1 , ê2 , ê3 mit (êl , êm ) = δlm
I Definiere: ξ ≡ x1 ê1 + x2 ê2 + x3 ê3
η ≡ y1 ê1 + y2 ê2 + y3 ê3
Ç å
Ortsraum E
3
I Koordinaten:
x=
x1
x2
x3
∈ R3
I (ξ, η) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ≡ x · y
Mathematischer Vorkurs
3.4 Das Vektor- oder Kreuzprodukt
Definition & physikalische Anwendungen
Das Vektorprodukt (d = 3)
Definition des Vektorprodukts:
a × b ≡ |a| |b| sin(ϕ)û
(nur für d = 3)
(0 ≤ ϕ ≤ π)
a×b
mit:
I |û| = 1
,
û ⊥ a
,
û ⊥ b
I (a, b, û) Rechtssystem
Spezialfall:
a × (λa) = 0
û
[sin(ϕ) = 0]
Wichtige Anwendungen:
O
(Ausblick)
I der Drehimpuls L = x × p
b
ϕ
a
I das Drehmoment N = x × F
I die Lorentz-Kraft FLor = q(E + ẋ × B)
Mathematischer Vorkurs
3.4 Das Vektor- oder Kreuzprodukt
Geometrische Bedeutung
Das Vektorprodukt
Definition des Vektorprodukts:
(nur für d = 3)
a × b ≡ |a| |b| sin(ϕ)û
Geometrische Bedeutung:
Å
|a × b| =
Fläche des Parallelogramms,
aufgespannt durch a & b
(0 ≤ ϕ ≤ π)
ã
denn:
b + λa
b
|a × b| = |a| |b| sin(ϕ) = |a| |b⊥ |
Å
=
Fläche des Parallelogramms,
aufgespannt durch a & b
ã
Konsequenz: (∀λ ∈ R)
a × b + a × (λa) = a × (b + λa) = a × b
λa
b⊥
ϕ
O
a
Mathematischer Vorkurs
3.4 Das Vektor- oder Kreuzprodukt
Eigenschaften des Vektorprodukts
Das Vektorprodukt
Vektorprodukt:
a × b ≡ |a| |b| sin(ϕ)û
Eigenschaften des Vektorprodukts:
(0 ≤ ϕ ≤ π)
I a × b = −b × a
(Antikommutativität: a × a = 0)
I a × (b + c) = a × b + a × c
(Distributivität)
I (λa) × b = λ(a × b)
a × (λb) = λ(a × b)
,
I a 6= 0 , b 6= 0 : a × b = 0 ⇔
I Vektorprodukte von Basisvektoren:
,
,
,
êi × êj =
X
Zusammenfassend:
mit
[(Bi)linearität]
⇔
sin(ϕ) = 0
ê1 × ê2 = ê3
ê2 × ê3 = ê1
ê3 × ê1 = ê2
Distributivität
akb
ê2 × ê1 = −ê3
ê3 × ê2 = −ê1
ê1 × ê3 = −ê2
(i, j ∈ {1, 2, 3})
εijk êk
k=1,2,3
ε123 = 1 = ε231 = ε312
ε132 = −1 = ε321 = ε213
εijj = 0 (i, j ∈ {1, 2, 3})
εiii = 0 (i ∈ {1, 2, 3})
Daher:
P
P
P
(a × b)i = (a × b) · êi =
a
ê
×
b
ê
· êi = jk εijk aj bk
j j j
k k k
Mathematischer Vorkurs
3.4 Das Vektor- oder Kreuzprodukt
Das Vektorprodukt und der Sinussatz
Das Vektorprodukt und der Sinussatz
Eigenschaften des Vektorprodukts:
(Fortsetzung)
I Komponentendarstellung des Vektorprodukts:
a×b =
X
i
(a×b)i êi =
X
εijk aj bk êi =
ijk
(a × b)i =
a2 b3 − a3 b2
a3 b1 − a1 b3
a1 b2 − a2 b1
P
!
jk
εijk aj bk
a2 b3 − a3 b2
−(a1 b3 − a3 b1 )
a1 b2 − a2 b1
!
=
Vektorprodukt → einfache Herleitung des Sinussatzes:
a × (b + λa) = a × b
Daher:
(∀λ ∈ R)
a × c = a × (c − a) = a × b = (c − b) × b = c × b
Konsequenz:
(Sinussatz)
α
|a × c| = |a × b| = |c × b|
a+b=c
|a| |c| sin(β) = |a| |b| sin(γ) = |c| |b| sin(α)
sin(β)
sin(γ)
sin(α)
=
=
|b|
|c|
|a|
b
γ
β
O
a
Mathematischer Vorkurs
3.4 Das Vektor- oder Kreuzprodukt
Das Vektorprodukt und 2 × 2-Determinanten
Das Vektorprodukt und 2 × 2-Determinanten
Komponentendarstellung des Vektorprodukts:
a×b=
X
a2 b3 − a3 b2
a3 b1 − a1 b3
a1 b2 − a2 b1
εijk aj bk êi =
ijk
a2 b3 − a3 b2
−(a1 b3 − a3 b1 )
a1 b2 − a2 b1
!
!
=
= (a2 b3 − a3 b2 )ê1 − (a1 b3 − a3 b1 )ê2 + (a1 b2 − a2 b1 )ê3
Å
a2
!
= det
a3
b2
b3
ã
Å
a1
ê1 − det
a3
b1
b3
ã
Å
a1
ê2 + det
a2
ï
Wähle:
a=
Ç å
a1
a2
0
,
Geometrische Bedeutung:
Å
det a1
a2
=
Å
b1
b2
0
b=
,
ã
ê3
Å
a1
z.B. von det
a2
Bedeutung einer 2 × 2-Determinante?
Ç å
b1
b2
a
det 1
a2
b1
b2
b1
b2
ãò
ê3 = a × b
(a, b in ê1 -ê2 -Ebene)
ã
b1 = |a × b|
b2 Fläche des Parallelogramms,
aufgespannt durch a & b
b1
b2
ã
a1
a2
O
Mathematischer Vorkurs
3.4 Das Vektor- oder Kreuzprodukt
Das Vektorprodukt und 2 × 2-Determinanten
Eigenschaften einer 2 × 2-Determinante
Definition einer 2 × 2-Determinante:
Å
ã
det
a1
a2
b1
b2
= a1 b2 − a2 b1
Eigenschaften der 2 × 2-Determinante:
I Antisymmetrisch unter Vertauschung von Spalten:
Å
a1
det
a2
b1
b2
ã
Å
b1
= a1 b2 − a2 b1 = −(b1 a2 − b2 a1 ) = −det
b2
I Antisymmetrisch unter Vertauschung von Zeilen:
Å
a1
det
a2
I Linear:
Å
b1
b2
ã
a2
= a1 b2 − a2 b1 = −(a2 b1 − a1 b2 ) = −det
a1
(genauer: bilinear)
λa1 + µā1
det
λa2 + µā2
Å
b1
b2
ã
Å
a1
= · · · · · · = λ det
a2
Å
a
I Für linear abhängige Vektoren: det 1
a2
λa1
λa2
ã
b1
b2
ã
Å
ā1
+ µ det
ā2
a1
a2
b2
b1
ã
ã
b1
b2
ã
= a1 (λa2 ) − a2 (λa1 ) = 0
Mathematischer Vorkurs
3.5 Das Spatprodukt
Definition & geometrische Bedeutung
Das Spatprodukt
Ç
Definition des Spatprodukts s(a, b, c) :
ï
s ≡ a·(b × c)
Å
b2
≡ (a1 ê1 + a2 ê2 + a3 ê3 )· det
b3
Å
b2
= a1 det
b3
c2
c3
ã
Å
b1
− a2 det
b3
c2
c3
c1
c3
ã
ã
Å
b1
ê1 − det
b3
Å
+ a3 det
Anwendungen:
Festkörperphysik,
Elektrodynamik, . . .
c1
c3
ã
Å
Å
≡
. . . denn:
orientiertes Volumen des
Parallelepipeds a, b, c
b1
b2
ã
ak
a⊥
[ mit |a· û| = a⊥ ]
a
û
|Vol(a, b, c)| = |a· û| |b × c|
c
O
= |a·(b × c)| = |s|
b
Mathematischer Vorkurs
3.5 Das Spatprodukt
Das Spatprodukt und 3 × 3-Determinanten
Das Spatprodukt und 3 × 3-Determinanten
Spatprodukt s(a, b, c) :
a1
s = a·(b × c) = det a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
!
= Vol(a, b, c)
Eigenschaften des Spatprodukts:
I Zyklische Vertauschbarkeit:
ak
a·(b × c) = b·(c × a) = c·(a × b)
a⊥
I Äquivalenz:
a·(b × c) = 0 ⇔ a, b, c koplanar
û
O
Eigenschaften der 3 × 3-Determinante:
I Antisymmetrisch unter Vertauschung von Spalten
I Antisymmetrisch unter Vertauschung von Zeilen
I (Tri)linearität
I Für linear abhängige Vektoren:
det(· · · ) = 0
ã ò
b1 c1
ê2 + det
ê3
b2 c2
!
ã
a1 b1 c1
c1
= det a2 b2 c2
c2
a3 b3 c3
Geometrische Bedeutung:
s = a·(b × c) = Vol(a, b, c)
å
a
c
b
Mathematischer Vorkurs
3.6 Einfache lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme in 1 & 2 Variablen
3.6 Einfache lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichung für eine einzelne Variable:
⇒
a11 x1 = b1
(falls a11 6= 0)
x1 = b1 /a11
Zwei lineare Gleichungen für zwei Variable:
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
o
x
A 1
x2
=
b1
b2
x1
x2
⇒ Lösung:
Geschicktere Notation:
a11
a21
x1
x2
⇒
a12
a22
= (a11 a22 − a12 a21 )
≡A
b1
b2
=A
a22 b1 − a12 b2
−a21 b1 + a11 b2
a11 a22 − a12 a21 ≡ det(A)
,
−1
Achtung:
−1
−1
,
A
1
=
det(A)
−a12
a11
a22
−a21
[ Daher kompakte Notation:
A = (a1 , a2 ) ]
I Gleichungssystem nur dann lösbar, falls det(A) 6= 0 !
a
a12
11
I Geometrische Interpretation: a1 ≡
und a2 ≡
nicht parallel!
a21
a22
Å
ã
Å ã
−1
damit:
A
b1
b2
ï Å ãò
−1
=A
x1
A
x2
1 0
≡ 11
0 1
ãÅ ã Å ã
0
x1
x1
=
1
x2
x2
!
A−1 A = AA−1 =
Wesentliche Eigenschaft der Inversen A−1 :
Å ã
−1
= (A
x1
A)
x2
!
=
Å
1
0
Mathematischer Vorkurs
3.6 Einfache lineare Gleichungssysteme
Matrixmultiplikation
Matrixmultiplikation
Zwei lineare
Gleichungen
für zwei
Variable:
a11 x1 + a12 x2
x
b1
a11 a12
=A 1 =
, A≡
a21 x1 + a22 x2
x2
b
a21 a22
2
y1
x1
Weitere Annahme:
linear von
abhängig!
x2
y2 x1
b11 y1 + b12 y2
b11 b12
y1
y1
b11
=
=
≡B
, B≡
x2
b21 y1 + b22 y2
b21 b22
y2
y2
b21
b12
b22
Definition des Matrixproduktes AB :
(AB)
=
!
y1
y2
x
≡A 1
x2
h i
=A B
y1
y2
=A
a11 (b11 y1 + b12 y2 ) + a12 (b21 y1 + b22 y2 )
a21 (b11 y1 + b12 y2 ) + a22 (b21 y1 + b22 y2 )
=
Resultat für Matrixprodukt AB :
AB =
a11 b11 + a12 b21
a21 b11 + a22 b21
a11 b12 + a12 b22
a21 b12 + a22 b22
b11 y1 + b12 y2
b21 y1 + b22 y2
h
gilt für alle
a11 b11 + a12 b21
a21 b11 + a22 b21
1
3
2
4
5
7
6
8
=
y1
y2
a11 b12 + a12 b22
a21 b12 + a22 b22
(i, j = 1, 2)
,
!
(AB)ij = ai1 b1j +ai2 b2j =
X
k=1,2
Beispiel: i
1·5+2·7
3·5+4·7
1·6+2·8
3·6+4·8
=
19
43
22
50
aik bkj
y1
y2
Mathematischer Vorkurs
3.6 Einfache lineare Gleichungssysteme
Die Inverse Matrix
Die Inverse Matrix
Resultat für Matrixprodukt
AB :
a11 b11 + a12 b21
a21 b11 + a22 b21
AB =
(i, j = 1, 2)
a11 b12 + a12 b22
a21 b12 + a22 b22
,
A=
a11
a21
a12
a22
1
=
det(A)
−1
,
A
−a12
a11
a22
−a21
1
A A=
det(A)
1
AA−1 =
det(A)
−1
a22
−a21
a11
a21
−a12
a11
a12
a22
a12
a22
−a12
a11
a11
a21
a22
−a21
[a11 a22 − a12 a21 = det(A)]
1
=
det(A)
1
=
det(A)
det(A)
0
0
det(A)
det(A)
0
0
det(A)
Beispiel einer inversen Matrix A−1 :
A=
1
3
2
4
,
A
Bedeutung der Spalten einer Matrix:
A=
a11
a21
a12
a22
1
⇒ A
0
=
a11
a21
=
=
1
0
0
1
1
0
0
1
[det(A) = 1 · 4 − 2 · 3 = −2]
1
=
det(A)
−1
!
A−1 A = AA−1 = 11
,
Berechnung der Produkte A−1 A und AA−1 :
aik bkj
k=1,2
Die Inverse Matrix A−1 :
X
(AB)ij =
−2
1
4
−3
=
−2
1
− 12
3
2
(Matrix = lineare Abbildung!)
0
, A
1
=
a12
a22
λ
, A
µ
a
a
= λ 11 +µ 12
a21
a22
Mathematischer Vorkurs
3.6 Einfache lineare Gleichungssysteme
Die Inverse Matrix
Spezialfall der 2 × 2-Matrix: Drehungen
[ det(A) = a11 a22 − a12 a21 = cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) = 1 ]
Drehungen als Spezialfall:
A=
cos(ϕ)
sin(ϕ)
− sin(ϕ)
cos(ϕ)
−1
, A
1
=
det(A)
cos(ϕ)
− sin(ϕ)
sin(ϕ)
cos(ϕ)
=
A(ϕ) =
cos(ϕ)
− sin(ϕ)
sin(ϕ)
cos(ϕ)
x2
Kurzgefaßt:
cos(ϕ)
sin(ϕ)
− sin(ϕ)
cos(ϕ)
,
ê2
A−1 (ϕ) = A(−ϕ)
Aê1
sin(ϕ)
In Worten:
Aê2
Die Inverse einer Drehung
ist . . . eine Rückdrehung
0
Drei lineare Gleichungen für drei Variable:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
´
Kompakte Notation:
A = (a1 , a2 , a3 )
Ç
⇔
a11
a21
a31
ϕ
a12
a22
a32
a13
a23
a33
åÇ å
x1
x2
x3
Ç å
=
b1
b2
b3
(ai = i-ter Spaltenvektor von A)
ê1
cos(ϕ)
(Lösung?)
⇔ Ax = b
x1
Mathematischer Vorkurs
3.6 Einfache lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme in 3 Variablen
Einfache lineare Gleichungssysteme
Drei lineare Gleichungen für drei Variable: [Notation: A = (a1 , a2 , a3 )]
Ç
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
Ç å
åÇ å
x1
x2
x3
b1
b2
b3
=
⇔
b = Ax = (a1 , a2 , a3 )x = a1 x1 +a2 x2 +a3 x3
[ Spatprodukt: (a1 × a2 ) · a3 = det(a1 , a2 , a3 ) = det(A) ]
Lösungsmethode:
(b × a2 ) · a3 = [(a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) × a2 ] · a3
!
= x1 (a1 × a2 ) · a3 + x3 (a3 × a2 ) · a3 = x1 (a1 × a2 ) · a3 = x1 det(A)
(b × a3 ) · a1 = [(a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) × a3 ] · a1
!
= x1 (a1 × a3 ) · a1 + x2 (a2 × a3 ) · a1 = x2 (a2 × a3 ) · a1 = x2 det(A)
(b × a1 ) · a2 = [(a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) × a1 ] · a2
!
= x2 (a2 × a1 ) · a2 + x3 (a3 × a1 ) · a2 = x3 (a3 × a1 ) · a2 = x3 det(A)
Daher Lösung:
Ç å
Ç
å
Ç
å
x=
x1
x2
x3
=
(b × a2 ) · a3
(b × a3 ) · a1
(b × a1 ) · a2
1
det(A)
=
det(b, a2 , a3 )
det(a1 , b, a3 )
det(a1 , a2 , b)
1
det(A)
I Gleichungssystem nur dann lösbar, falls det(A) 6= 0 !
I Geometrische Interpretation: a1 , a2 , a2 linear unabhängig!
Mathematischer Vorkurs
3.6 Einfache lineare Gleichungssysteme
Die Inverse einer 3 × 3-Matrix
Einfache lineare Gleichungssysteme
Drei lineare Gleichungen für drei Variable:
Ç
Ax =
a11
a21
a31
Lösung:
a12
a22
a32
a13
a23
a33
åÇ å
Ç å
x=
x1
x2
x3
Ç
1
=
det(A)
Notation:
Ç
aj ≡
x1
x2
x3
a1j
a2j
a3j
Ç å
b1
b2
b3
=
⇔
=b
(b × a2 ) · a3
(b × a3 ) · a1
(b × a1 ) · a2
x = A−1 b
å
Ç
1
=
det(A)
å
(a2 × a3 ) · b
(a3 × a1 ) · b
(a1 × a2 ) · b
[ Spaltenvektoren aj , Zeilenvektoren αi
Ñ
å
αT
1
αT
2
αT
3
, (a1 , a2 , a3 ) = A =
é
Ç å
, αi ≡
ai1
ai2
ai3
Ç
å
(a2 × a3 ) · b
(a3 × a1 ) · b
(a1 × a2 ) · b
,
−1
A
1
=
det(A)
(i, j = 1, 2, 3) ]
, αT
i = (ai1 ai2 ai3 )
Ein Vergleich liefert für die inverse Matrix A−1 : Ñ
1
A−1 b =
det(A)
[det(A) 6= 0]
Drehungen
é
T
(a2 × a3 )
(a3 × a1 )T
(a1 × a2 )T
Mathematischer Vorkurs
3.8 Die Drehgruppe, ein Kompendium
Die Definition einer Drehung“
”
3.8 Die Drehgruppe, ein Kompendium
Definition:
det(R) = 1
R T R = 113×3 ≡
,
In Worten:
Drehung =
1
0
0
!
0
1
0
lineare homogene
orthogonale Transformation
mit der Determinante Eins
0
0
1
!
Parametrisierung von Drehungen:
I Drehung definiert durch Drehwinkel α ≡ |α| und Drehrichtung α̂ ≡ α/α
I Drehrichtung α̂ durch zwei Winkel festgelegt:
α̂ =
cos(ϕ) sin(ϑ)
sin(ϕ) sin(ϑ)
cos(ϑ)
I Daher insgesamt:
!
,
0≤ϑ≤π
[Korrespondenz:
,
0 ≤ ϕ < 2π
(α, ϑ, ϕ) ↔ (−α, π − ϑ, ϕ ± π)]
Drehvektor α = αα̂ mit −π < α ≤ π durch drei Winkel (α, ϑ, ϕ) bestimmt
Mathematischer Vorkurs
3.8 Die Drehgruppe, ein Kompendium
Parametrisierung von Drehungen
Parametrisierung von Drehungen
Identität:
α̂
(s. Übung)
x = α̂(α̂ · x) − α̂ × (α̂ × x)
α̂·x
™
Å
α̂ =
cos(ϕ) sin(ϑ)
sin(ϕ) sin(ϑ)
cos(ϑ)
ã
|α̂×x|
|α̂×x|
α
x
Drehung von x um Winkel α um α̂-Richtung:
R(α)x
R(α)x = α̂(α̂·x)−α̂×(α̂×x) cos(α)+(α̂×x) sin(α)
ψ
α̂×x
|α̂×x|
0
α
|α̂×x| sin(α)
|α̂×x| cos(α)
−
α̂×(α̂×x)
|α̂×x|
Parametrisierung von Drehungen
[ mit (a × b)i = εijk aj bk ]
Matrixdarstellung von R(α) möglich: (s. Übung)
Rij (α) = δij cos(α)+α̂i α̂j [1−cos(α)]−εijk α̂k sin(α)
Einfaches Beispiel:
Rotation um Winkel α um x3 -Achse:
Ç
R(αê3 ) =
cos(α)
sin(α)
0
− sin(α)
cos(α)
0
0
0
1
å
Kapitel 4
Mathematischer Vorkurs
Kapitel 4: Reellwertige Funktionen
Inhaltsverzeichnis
I
I
I
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen
4.3 Asymptotisches Verhalten
4.1
Mathematischer Vorkurs
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
Funktionen und Umkehrfunktionen
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
Eine
(reellwertige)
Funktion
(reeller Variabler)
ist . . .:
. . . eine Abbildung von reellen Zahlen auf reelle Zahlen
f (x)
h
f : R → R, oder
f : D → W (D, W ⊂ R)
i
f −1 (y )
y =x
xmax
ymax
x =y
xmax
x
xmin
xmin
ymin
ymin
Umkehrfunktion von f :
(g ◦f )(x) ≡ g (f (x)) = x
y
ymax
[ mit f (x) ≡ y , g (y ) = x ]
⇔
g = f −1
⇔
(f ◦g )(y ) ≡ f (g (y )) = y
Mathematischer Vorkurs
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
Elementare Beispiele
Funktionen - elementare Beispiele
Eine
(reellwertige)
Funktion
(reeller Variabler)
ist . . .:
. . . eine Abbildung von reellen Zahlen auf reelle Zahlen
h
f : R → R, oder
f : D → W (D, W ⊂ R)
i
f −1 (y )
f (x)
y =x
3.0
2.5
f (x) =
2.5
1 3
x
12
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
f −1 (y ) =
.5
Umkehrfunktion von f :
⇔
12y
y
1 1.5 2 2.5 3 3.5
(g ◦f )(x) ≡ g (f (x)) = x
√
3
0.5
x
.5
x =y
3.0
g =f
−1
1 1.5 2 2.5 3 3.5
[ mit f (x) ≡ y , g (y ) = x ]
⇔ (f ◦g )(y ) ≡ f (g (y )) = y
Mathematischer Vorkurs
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
Definitions- und Wertebereiche
Definitions- und Wertebereiche
Eine
(reellwertige)
Funktion
(reeller Variabler)
ist:
eine Abbildung von reellen Zahlen auf reelle Zahlen
D
W
f −1 (y ) = x
(−∞, ∞)
(−∞, ∞)
y 1/(2n+1)
(n ∈ N)
[0, ∞)
[0, ∞)
y 1/(2n)
(α ∈ R+ )
[0, ∞)
[0, ∞)
y 1/α
(−∞, ∞)
(0, ∞)
ln(y )
[−1, 1]
arcsin(y )
[−1, 1]
arccos(y )
2
(−∞, ∞)
arctan(y )
(0, π)
(−∞, ∞)
arccot(y )
f (x) ≡ y
x 2n+1
x 2n
xα
[f : D → W (D, W ⊂ R)]
(n ∈ N0 )
ex
sin(x)
cos(x)
tan(x)
cotan(x)
− π2 ,
π
2
[0, π]
− π2 ,
π
Mathematischer Vorkurs
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
Ableitungen von Funktionen
Ableitungen von Funktionen
Ableitung einer Funktion f :
f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + · · ·
(h → 0)
f 0 (a) ≡ lim
,
h→0
0
f (x)
f (x)
3.0
3.0
f (a + h)
f (x) =
2.5
1 3
x
12
2.5
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
f 0 (x) = 41 x 2
1.0
f (a)
0.5
f (a)
h
0
.5
0.5
x
0.0
1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
1
(a) = lim
h→0 h
ï
x
0.0
0
Ableitung von 1/f :
1
f
f (a + h) − f (a)
h
1
1
−
f (a + h)
f (a)
.5
1 1.5 2 2.5 3 3.5
↑
ò
= lim
h→0
1
h
[f (a) − f (a + h)]
f 0 (a)
=−
f (a + h)f (a)
f (a)2
Mathematischer Vorkurs
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
Beispiele von Ableitungen und Umkehrfunktionen
Beispiele von Ableitungen und Umkehrfunktionen
x
f (x) ≡ y
f 0 (x)
f −1 (y ) = x
x
1
y
n
(n ∈ N0 )
Å
xα
α∈R
x >0
nx
n−1
√
n y = y 1/n
ã
Å
n=
6 0
y ≥0
αx α−1
y 1/α (α 6= 0)
e λx
λe λx
λ−1 ln(y )
ln(x)
1/x
ey
sin(x)
cos(x)
arcsin(y )
cos(x)
− sin(x)
arccos(y )
tan(x)
1/[cos(x)]2
arctan(y )
cotan(x)
−1/[sin(x)]2
arccot(y )
ã
Mathematischer Vorkurs
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
Eigenschaften von Ableitungen
Eigenschaften von Ableitungen
Ableitung einer Funktion:
f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + · · ·
(h → 0)
,
f 0 (a) ≡ lim
h→0
Berechnung der Ableitung:
f (a + h) − f (a)
h
(f + g )0 = f 0 + g 0
(αf )0 = αf 0 (α ∈ R)
I eines Produktes:
(fg )0 = f 0 g + fg 0 (Produktregel) , denn
I einer Summe:
I eines Vielfaches:
(fg )0 (a) = lim
h→0
[f (a + h) − f (a)]g (a + h) + f (a)[g (a + h) − g (a)]
= (f 0 g +fg 0 )(a)
h
I eines Quotienten:
(f /g )0 = f
1
g
0
= f 0 g1 + f
1
g
0
= f 0 /g − fg 0 /g 2
I einer Verkettung:
⇒ (g ◦f )0 (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x)
(g ◦f )(x) ≡ g (f (x))
. . . denn:
(Kettenregel)
1
1
[(g ◦f )(x + h) − (g ◦f )(x)] = lim [g (f (x + h)) − g (f (x))]
h→0 h
h→0 h
−1
0
= lim h
g (f (x) + hf (x)) − g (f (x))
(g ◦f )0 (x) = lim
h→0
= lim h−1
g (f (x)) + hg 0 (f (x))f 0 (x) − g (f (x))
= g 0 (f (x))f 0 (x)
h→0
Mathematischer Vorkurs
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
Anwendungen der Produkt- und der Kettenregel
Anwendungen der Produkt- und der Kettenregel
(fg )0 = f 0 g + fg 0
Beispiel: f (x) = x 2™+ 3x , g (x) = sin(x) , (fg )(x) = (x 2 + 3x) sin(x)
f 0 (x) = 2x + 3
⇒ (fg )0 (x) = (2x + 3) sin(x) + (x 2 + 3x) cos(x)
0
g (x) = cos(x)
Produktregel:
Kettenregel:
[insbesondere für (g ◦f )(x) = x]
(g ◦f ) (x) = g (f (x)) f 0 (x) ; (g ◦f )(x) = x ⇒
0
0
g 0 (f (x)) =
1
0 (x)
f
Beispiele:
I f (x) = x 2 + 3x , g (y ) = sin(y ) , (g ◦f )(x) = sin(x 2 + 3x)
™
f 0 (x) = 2x + 3
⇒ (g ◦f )0 (x) = (2x + 3) cos(x 2 + 3x)
0
g (y ) = cos(y )
g (y ) = arcsin(y ) , (g ◦f )(x) = x
− π2 < x < π2
1
1
1
1
g 0 (f (x)) = 0
=
= p
, g 0 (y ) = p
f (x)
cos(x)
1 − [f (x)]2
1 − y2
I Analog: f (x) = cos(x) , g (y ) = arccos(y ) ⇒ g 0 (y ) = − √ 1
I f (x) = sin(x) ,
I Analog:
f (x) = tan(x)
,
g (y ) = arctan(y )
⇒
g 0 (y ) =
1−y 2
1
1+y 2
Mathematischer Vorkurs
4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung
Kurvendiskussion
Kurvendiskussion
Einfachster Fall:
f 0 (x) = 0
f 0 (x) = 0
Allgemeiner:
f (m) (x) = 0
f (m) (x) = 0
(Annahme: f hinreichend oft differenzierbar in x)
Für f 00 (x) 6= 0 gilt
∧ f 00 (x) > 0
⇔
f 00 (x) < 0
∧
f hat Minimum in x
⇔
f hat Maximum in x
Für f (2n) (x) 6= 0 gilt
(∀m < 2n) ∧ f (2n) (x) > 0
⇔
f hat Minimum in x
f (2n) (x) < 0
⇔
f hat Maximum in x
∧
(∀m < 2n)
Bedeutung eines Wendepunktes“?
”
f (x)
Wendepunkt“ ≡ Maximum oder
”
Minimum von f 0 in x
Max
Beispiel:
x
Wendepunkt
f (x) = cos(x) für x =
π
2
Ein Spezialfall des Wendepunktes ist:
der Sattelpunkt“ ≡ Wendepunkt
”
mit f 0 (x) = 0
Min
Beispiel:
f (x) = 13 x 3 für x = 0
Mathematischer Vorkurs
4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen
Beziehung zwischen Exponentialfunktion & Logarithmus
4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen
Definition/Eigenschaften des Logarithmus:
Z
ß
y
ln(y ) ≡
1
1
dx
x
mit
Details
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
ln(aβ ) = β ln(a)
Definition/Eigenschaften der Exponentialfunktion:
ß
exp(z)
exp ≡ ln−1 , z = ln(exp(z)) =
Z
1
dx
x
mit
ln(e) ≡ 1
,
exp(ab) = [exp(a)]b = [exp(b)]a
ß
1
Definition:
exp(a + b) = exp(a) exp(b)
e = exp(1)
⇒
e a+b = e a e b
e ab = (e a )b = e b
a
Ableitungen:
ln0 (y ) =
1
y
⇒ exp0 (ln(y )) =
Notation: (e z )0 = e z
⇒
1
= y = exp (ln(y ))
ln (y )
0
⇒
f (z) = e z Lösung von f 0 = f
exp0 = exp
Mathematischer Vorkurs
4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen
Beziehung zwischen Exponentialfunktion & Logarithmus
Exponentialfunktionen & Logarithmen
Verallgemeinerung von exp = ln−1 :
exp = (a log)−1
x
exp(x) ≡ ax = e ln(a) = e x ln(a)
(ax )0 = ln(a) e x ln(a) = ln(a)ax
I Konsequenz: f (x) = ax Lösung von f 0 = ln(a)f
I Inverse von a exp(x) :
I Definiere:
I Ableitung:
a
a
ln[a exp(x)]
x ln(a)
=
=x
ln(a)
ln(a)
⇒
1
ln
ln(a)
log ≡ (a exp)−1 =
a
Alternative Definition von e: Betrachte f (x) = e x mit f 0 (x) = e x ⇒
ex − 1
1 = f (0) = lim
x→0
x
0
Konsequenz:
1/x
⇒
e = lim (1 + x)
= lim
x→0
n→∞
1
1
1 = lim
ln (1 + x) = lim n ln 1 +
x→0 x
n→∞
n
Verallgemeinerung:
e a = lim (1 + x)a/x = lim
x→0
n→∞
Ä
1+
a än
n
1
1+
n
,
n
Ä
a = lim n ln 1 +
n→∞
aä
n
Mathematischer Vorkurs
4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen
(Inverse) Hyperbolische Funktionen
(Inverse) Hyperbolische Funktionen
Hyperbolische“ Funktionen:
”
cosh(x) ≡ 12 (e x + e −x )
,
cosh0 = sinh
sinh(x) ≡ 12 (e x − e −x )
,
sinh0 = cosh
sinh(x)
e x − e −x
= x
cosh(x)
e + e −x
,
tanh0 =
tanh(x) ≡
Inverse hyperbolische Funktionen:
−1
arcosh ≡ cosh
arsinh ≡ sinh−1
−1
artanh ≡ tanh
,
Ä
arcosh(y ) = ln y +
Ä
1
(cosh)2
p
p
y2
−1
ä
y2 + 1
,
arsinh(y ) = ln y +
,
1
1+y
artanh(y ) = ln
2
1−y
ä
Übung
Mathematischer Vorkurs
4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen
(Inverse) Hyperbolische Funktionen
Warum hyperbolicus“? Warum area“?
” x2
”
x2
a
t
x1
x1
a
0
a
a
0
Kreisgleichung: (x1 )2 + (x2 )2 = a2
Parameterdarstellung:
x1 = a cos(t) , x2 = a sin(t)
t = arccos(x1 /a) = arcsin(x2 /a)
mit: cos2 (t) + sin2 (t) = 1
Hyperbelgleichung: (x1 )2 − (x2 )2 = a2
Parameterdarstellung des rechten Astes:
x1 = a cosh(t) , x2 = a sinh(t)
t = arcosh(x1 /a) = arsinh(x2 /a)
mit: cosh2 (t) − sinh2 (t) = 1
Geometrische Interpretation von t:
I t = Winkel = 1 × Bogenlänge
a
I 1 a2 t = überstrichene Fläche
2
Geometrische Interpretation von t:
I t 6= Winkel, 1 × Bogenlänge
a
I 1 a2 t = überstrichene Fläche F !
2
2
F/a =
1
2
Z
t
0
0
sinh(t) cosh(t)− d[cosh(t )] sinh(t ) =
Z
t
!
sinh(2t)− dt 0 sinh2 (t 0 ) = 12 t
1
4
0
0
Mathematischer Vorkurs
4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen
(Inverse) Trigonometrische Funktionen
(Inverse) Trigonometrische Funktionen
Exponentialfunktion e xi :
xi 2
xi
xi ∗
|e | = e (e ) = lim
n→∞
2 n
Å
= lim
n→∞
x
1+ 2
n
ã
i 2 ≡ −1
,
e xi ≡ lim
1+
n→∞
xi
1+
n
n xi
1−
n
n
ï
1 2
= lim exp
n ln
n
n→∞
= lim
Å
n→∞
x2
1+ 2
n
xi
1+
n
h
ãò
xi
n
n
mit:
xi
1−
n
in
Å
= lim exp
n→∞
x2
n
ã
Trigonometrische Funktionen:
cos(x) ≡ 12 (e xi + e −xi ) = Re(e xi ) = cosh(xi)
− e −xi ) = Im(e xi ) =
sin(x) ≡
1
(e xi
2i
tan(x) ≡
sin(x)
e xi − e −xi
=
=
cos(x)
i(e xi + e −xi )
1
i
1
i
,
cos0 = − sin
sinh(xi)
,
sin0 = cos
tanh(xi)
,
tan0 =
Inverse trigonometrische Funktionen:
−1
,
arccos(y ) =
arcsin ≡ sin−1
,
arcsin(y ) =
arctan ≡ tan−1
,
arccos ≡ cos
1
i
1
i
Ä
ln y + i
Ä
p
p
1−
y2
ä
ä
1
(cos)2
= 1i arcosh(y )
ln yi + 1 − y 2 = 1i arsinh(yi)
1 + yi
arctan(y ) = 2i1 ln
= 1i artanh(yi)
1 − yi
=1
Mathematischer Vorkurs
4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen
Beispiele von Ableitungen
Beispiele von Ableitungen
f 0 (x)
f (x)
2
ln x +
ex
√
2xe x
x2 + 1
2
1
(x 2 + 1)− 2
ln[tan(x)]
2/ sin(2x)
xx
[1 + ln(x)] x x
x ln(x) − x
ln(x)
arcsin(x 2 )
2x/(1 − x 4 ) 2
arctan(e x )
e x /(1 + e 2x )
asin(x)
asin(x) ln(a) cos(x)
1
Mathematischer Vorkurs
4.3 Asymptotisches Verhalten
Notationen
4.3 Asymptotisches Verhalten - Notationen & Beispiele
Notation
f (x) ∼ g (x)
Bedeutung
(x → a)
f (x)
g
x→a (x)
lim gf (x)
x→a (x)
lim
f (x) = o(g (x))
(x → a)
f (x) = O(g (x))
(x → a)
(Spezialfall: a = ∞)
|f (x)| ≤ M |g (x)|
=1
=0
(M > 0, x → a)
(Spezialfall: a = ∞)
Beispiele:
Beweis?
x 2 + 3x + 2 ∼ x 2
a
(x → ∞)
x
(x → ∞ , a ∈ R)
a
(x → ∞ , a > 0)
x = o(e )
ln(x) = o(x )
ln(x) = o(x −a )
(x ↓ 0 , a > 0)
ln(1 + x) ∼ x
(x → 0)
ex − 1 ∼ x
(x → 0)
Mathematischer Vorkurs
4.3 Asymptotisches Verhalten
Beispiele
Asymptotisches Verhalten - weitere Beispiele
Notation
f (x) ∼ g (x)
Bedeutung
f (x)
g
x→a (x)
lim gf (x)
x→a (x)
(x → a)
lim
f (x) = o(g (x))
(x → a)
f (x) = O(g (x))
(x → a)
=1
=0
|f (x)| ≤ M |g (x)|
(Spezialfall: a = ∞)
(M > 0, x → a)
(Spezialfall: a = ∞)
Weitere Beispiele:
sin(x) ∼ x
(x → 0)
1 − cos(x) ∼ 12 x 2
√
√
1 + x − x ∼ 2√1 x
1
x sin
x
1
x sin
x
(x → ∞)
= O(1)
(x → ∞)
= O(x)
(x ↓ 0)
f (a + x) = f (a) + f 0 (a)x + o(x)
⇒
f differenzierbar in a
(x → 0)
(x → 0)
Mathematischer Vorkurs
4.3 Asymptotisches Verhalten
Die Taylor-Formel
Verallgemeinerung: die Taylor-Formel
f differenzierbar in a
⇒
f (a + x) = f (a) + f 0 (a)x + o(x)
Verallgemeinerung:
f (a + x) = f (a) + f 0 (a)
= f (a) + f 0 (a)
=
n
X
m=0
Vermutung:
f
(m)
∃ ξ ∈ [a, a + x] mit
(x → 0)
(Taylor-Formel)
x
x2
xn
x n+1
+ f 00 (a) + . . . + f (n) (a) + f (n+1) (ξ)
1!
2!
n!
(n + 1)!
x
x2
xn
+ f 00 (a) + · · · + f (n) (a) + O(x n+1 )
1!
2!
n!
xm
(a)
+ O(x n+1 )
m!
Existenz einer Taylor-Reihe
f (a + x) =
∞
X
m=0
f
(m)
xm
(a)
m!
(x → 0)
(möglicherweise xc = ∞)
(0 ≤ |x| < xc )
Mathematischer Vorkurs
4.3 Asymptotisches Verhalten
Anwendungen der Taylor-Formel
Anwendungen der Taylor-Formel (a = 0, x → 0)
Beispiele:
x
e =
Exponentialfunktion, Logarithmus, . . .
n
X
xm
+ O(x
m!
n+1
)
,
ln(1 + x) =
m=0
n
n
X
(−1)m−1
m=1
X
1
=
(−1)m x m + O(x n+1 )
1+x
,
arctan(x) =
m=0
n
sin(x) =
X (−1)m x 2m+1
(2m + 1)!
n
X
(−1)m x 2m+1
+ O(x 2n+3 )
2m + 1
m=0
n
+ O(x
2n+3
)
m=0
n
(1 + x)α =
xm
+ O(x n+1 )
m
,
X (−1)m x 2m
cos(x) =
(2m)!
+ O(x 2n+2 )
m=0
X α
m
x m + O(x n+1 )
mit
α
m
=
α(α − 1)(α − 2) . . . (α − m + 1)
m!
m=0
1/2
(1 + x)
=1+
1
x
2
−
1 2
x
8
+ ··· +
1
2
n
n
x + O(x
n+1
)
1
2
mit
n
=
(−1)n−1 (2n − 3)!!
2n n!
Mathematischer Vorkurs
4.3 Asymptotisches Verhalten
Anwendungen der Taylor-Formel
Grenzwerte von Quotienten
Für Taylor-Reihen
mit
n
fi (a) = 0
fi 0 (a) 6= 0
o
ß
bzw.
fi
(k)
(a) = 0 (0 ≤ k ≤ n − 1)
(n)
fi (a) 6= 0
™
:
f10 (a)(x − a) + 12 f100 (a)(x − a)2 + . . .
f10 (a)
f10 (x)
f1 (x)
lim
= lim 0
=
=
lim
f20 (a)
x→a f2 (x)
x→a f (a)(x − a) + 1 f 00 (a)(x − a)2 + . . .
x→a f20 (x)
2
2 2
f1 (x)
lim
= lim
x→a f2 (x)
x→a
1 (n)
f (a)(x
n! 1
1 (n)
f (a)(x
n! 2
− a)n +
− a)n +
(n+1)
1
f
(a)(x
(n+1)! 1
(n+1)
1
f
(a)(x
(n+1)! 2
− a)n+1 + . . .
(n)
=
− a)n+1 + . . .
f1 (a)
(n)
f2 (a)
Allgemeiner:
I für fi (x) ∼ Ai |x − a|αi
(x → a , αi ∈ R)
f1 (x)
A1 |x − a|α1
A1
lim
= lim
= lim
|x − a|α1 −α2 =
α
x→a f2 (x)
x→a A2 |x − a| 2
x→a A2
I für fi (x) ∼ Ai x αi
(x → ∞ , αi ∈ R)
f1 (x)
A1 x α1
A1 α1 −α2
lim
= lim
=
lim
x
=
x→∞ f2 (x)
x→∞ A2 x α2
x→∞ A2
Mathematisches Pendant:
®
®
0
A1 /A2
∞
0
A1 /A2
∞
die Regeln von l’Hôpital“
”
(α1 > α2 )
(α1 = α2 )
(α1 < α2 )
(α1 < α2 )
(α1 = α2 )
(α1 > α2 )
Mathematischer Vorkurs
Kapitel 5: Funktionen mehrerer
Veränderlicher
Inhaltsverzeichnis
I
I
5.1 Funktionen mehrerer Variabler
5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
5.1
Mathematischer Vorkurs
5.1 Funktionen mehrerer Variabler
Partielle Ableitungen
5.1 Reellwertige Funktionen reeller Variabler
Funktionen einer einzigen Variablen:
ß
f : D→W
Verallgemeinerung:
f : D→W
mit
D⊂R
W ⊂R
Funktionen mehrerer Variabler:
ß
mit
D ⊂ Rm
W ⊂ Rn
Beispiele:
f (x1 , x2 ) = (x1 )2 e x1 x2
Partielle Ableitung:
lim
h→0
(Definitionsbereich)
(Wertebereich)
,
(Definitionsbereich)
(Wertebereich)
2
2
2
f (x1 , x2 , x3 ) = e −(x1 +x2 +x3 )
[ mit (x1 , x2 , . . . , xm ) ≡ x ]
f (x1 + h, x2 , . . . xm ) − f (x)
∂f
=
(x) = (∂x1 f )(x) = (∂1 f )(x) = fx1 (x) = . . .
h
∂x1
Analog:
lim
h→0
f (x1 , x2 + h, x3 , . . . , xm ) − f (x)
∂f
=
(x) = (∂x2 f )(x) = (∂2 f )(x) = fx2 (x)
h
∂x2
Mathematischer Vorkurs
5.1 Funktionen mehrerer Variabler
Höhere partielle Ableitungen
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitung:
lim
h→0
[ mit (x1 , x2 , . . . , xm ) ≡ x ]
f (x1 + h, x2 , . . . xm ) − f (x)
∂f
=
(x) = (∂x1 f )(x) = (∂1 f )(x) = fx1 (x)
h
∂x1
Höhere Ableitungen:
(∂x1 f )(x1 , x2 + h, x3 , . . . , xm ) − (∂x1 f )(x)
∂2f
(x) = (∂x2 ∂x1 f )(x)
lim
=
h→0
h
∂x2 ∂x1
[ für f (x1 , x2 ) = (x1 )2 e x1 x2 ]
Beispiele:
(∂x1 f )(x) = (2x1 + x12 x2 )e x1 x2
,
(∂x2 f )(x) = x13 e x1 x2
(∂x21 f )(x) = (2 + 4x1 x2 + x12 x22 )e x1 x2
(∂x22 f )(x) = x14 e x1 x2
,
(∂x1 ∂x2 f )(x) = (3x12 + x13 x2 )e x1 x2 = (∂x2 ∂x1 f )(x) = (∂x21 x2 f )(x) = fx1 x2 (x)
Produktregel:
∂x1 (fg ) = (∂x1 f )g + f (∂x1 g ) , etc.
Kettenregel: f : Rm → R , g : R → R
(g ◦f )(x) ≡ g (f (x))
Beweis
[∂x1 (g ◦f )] (x) = g 0 (f (x))(∂x1 f )(x)
⇒
Mathematischer Vorkurs
5.1 Funktionen mehrerer Variabler
Produkt- und Kettenregel - Beispiele
Produkt- und Kettenregel - Beispiele
Produktregel:
∂x1 (fg ) = (∂x1 f )g + f (∂x1 g ) , etc.
Beispiel:
f (x1 , x2 ) = x1 cos(x2 ) , g( x1 , x2 ) = x1 sin(x2 )
⇒
∂x2 (fg ) = (∂x2 f )g + f (∂x2 g ) = −[x1 sin(x2 )]2 + [x1 cos(x2 )]2 = x12 cos(2x2 )
Kettenregel:
f : Rm → R
(g ◦f )(x) ≡ g (f (x))
Beispiel:
g (f ) = e −f
2
⇒
mit
,
g :R→R
,
x = (x1 , x2 , . . . , xm )
[∂x1 (g ◦f )] (x) = g 0 (f (x))(∂x1 f )(x)
f (x) = |x| =
p
x12 + · · · + xm2 ⇒ g = e −x
2
2 x1
2x1
[∂x1 (g ◦f )] (x) = g 0 (f )(∂x1 f ) = (−2fe −f ) p
= (−2fe −f )
f
2 x12 + · · · + xm2
−f 2
= −2x1 e
= −2x1 g
!
∂x1
∂
..
[∂x2 (g ◦f )] (x) = · · · = −2x2 g
kurz:
≡
.
..
∂x
∂xm
.. (usw.)
..
∂
[∂xm (g ◦f )] (x) = · · · = −2xm g
daher hier:
(g ◦f ) = −2xg
∂x
2
Mathematischer Vorkurs
5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Der Nabla-Operator
5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Vektorfunktion in R3 hat die Form:
f1 (x1 , x2 , x3 )
f2 (x1 , x2 , x3 )
f3 (x1 , x2 , x3 )
f(x) =
f1 (x)
f2 (x)
f3 (x)
!
=
!
mit
x ∈ R3
und
f : R3 → R3
Ableitungen in R3 :
∂x1 fk
∂x2 fk
∂x3 fk
!
(x) =
∂fk
(x) = (∇fk )(x)
∂x
,
∇≡
∂/∂x1
∂/∂x2
∂/∂x3
!
(k = 1, 2, 3)
Nomenklatur:
I ∇fk heißt der Gradient von fk
I ∇ wird als Nabla-Operator bezeichnet
Rechenregeln für ∇-Operator:
[∇(f + g )] (x) = (∇f )(x) + (∇g )(x)
[∇(fg )] (x) = (g ∇f )(x) + (f ∇g )(x)
[∇(g ◦f )] (x) = g 0 (f (x))(∇f )(x)
Mathematischer Vorkurs
5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Die Divergenz
Gradient und Divergenz
Beispiele:
1. (∇r ) (x) =
∂r /∂x1
∂r /∂x2
∂r /∂x3
!
=
x1 /r
x2 /r
x3 /r
!
mit r (x) ≡ |x| = (x12 + x22 + x32 )1/2
= x/r = x̂
2. [∇(g ◦r )] (x) = g 0 (r )(∇r )(x) = g 0 (r )x/r = g 0 (r )x̂
3. Spezialfall: (∇r ν )(x) = νr ν−1 x̂
4. Skalarprodukt des ∇-Operators mit Vektorfeld f:
( Divergenz“ von f)
”
X ∂fl
∂f1
∂f2
∂f3
(∇ · f)(x) =
(x) +
(x) +
(x) =
(x)
∂x1
∂x2
∂x3
∂xl
3
l=1
Rechenregeln für Divergenz:
[∇ · (f + g)] (x) = (∇ · f)(x) + (∇ · g)(x)
[∇ · (λf)] (x) = (∇λ)(x) · f(x) + λ(∇ · f)(x)
[∇ · (f × g)] (x) =
3
X
j,k,l=1
Å
ã
3
X
∂
∂fk
∂gl
εjkl
(fk gl ) =
εjkl
gl + fk
∂xj
∂xj
∂xj
j,k,l=1
= g(x) · (∇ × f)(x) − f(x) · (∇ × g)(x)
Mathematischer Vorkurs
5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Die Rotation
Die Rotation
Nomenklatur:
Explizite Form:
∇ × g heißt die Rotation von g
(∇ × g)i = εijk ∂xj gk
∂x2 g3 − ∂x3 g2
∂x3 g1 − ∂x1 g3
∂x1 g2 − ∂x2 g1
∇×g =
∂2 g3 − ∂3 g2
∂3 g1 − ∂1 g3
∂1 g2 − ∂2 g1
!
=
bzw.
(Summationskonvention)
!
(zyklisch!)
Rechenregeln für Rotation:
[∇ × (f + g)] (x) = (∇ × f)(x) + (∇ × g)(x)
[∇ × (λf)] (x) = λ(x)(∇ × f)(x) + (∇λ)(x) × f(x)
[∇ × (f × g)] (x) = [(g · ∇)f + f(∇ · g) − g(∇ · f) − (f · ∇)g] (x)
denn . . .
(mit der Summationskonvention)
[∇ × (f × g)]i = εijk ∂j εklm (fl gm ) = (δil δjm − δim δjl )∂j (fl gm )
= ∂j (fi gj ) − ∂j (fj gi ) = gj ∂j fi + fi ∂j gj − fj ∂j gi − gi ∂j fj
= (g · ∇)fi + fi (∇ · g) − (f · ∇)gi − gi (∇ · f)
Mathematischer Vorkurs
5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Divergenz & Rotation - Beispiele
Divergenz & Rotation - Beispiele
Beispiele:
1. ∇ · x = ∂j xj =
mit r (x) = (x12 + x22 + x32 )1/2 ,
∂xj
j=1 ∂xj
P3
=
∂x1
∂x1
+
∂x2
∂x2
2. (∇ × x)i = εijk ∂j xk = εijk δjk =! 0
+
∂x3
∂x3
⇒
ρ = (x12 + x22 )1/2
=3
∇×x=0
3. ∇ · (r x) = (∇r ) · x + r (∇ · x) = 1r x · x + 3r = 4r
4. ∇ × (r x) = r (∇ × x) + (∇r ) × x = 0 + 1r x × x = 0
Ç
5.
∇×
ñ
6.
å
−x2
x1
0
∇ × ρν
Ç
=
Ç
−∂3 x1
∂3 (−x2 )
∂1 x1 − ∂2 (−x2 )
åô
−x2
x1
0
Ç
= ρν ∇ ×
å
Ç å
=
0
0
2
Ç å Ç
å
−x2
x1
0
= 2ê3
+ νρν−2
x1
x2
0
×
å
−x2
x1
0
= (2 + ν)ρν ê3
Mathematischer Vorkurs
5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Kombinationen von Gradient, Divergenz, Rotation
Kombinationen von Gradient, Divergenz, Rotation
Wichtige Beispiele:
1. [∇ × (∇λ)]i = (εijk ∂j ∂k )λ =! 0
⇒
∇×∇=0
2. ∇ · (∇ × f) = εijk ∂i ∂j fk =! 0
3. ∇ · (∇λ) = ∂i ∂i λ =
P
3
∂2
i=1 ∂x 2
i
λ = ∆λ
,
∆≡
∂2
i=1 ∂x 2
i
P3
4. ”Doppelte Rotation“:
[∇ × (∇ × f)]i = εijk ∂j εklm ∂l fm = (δil δjm − δim δjl )∂j ∂l fm
= ∂j (∂i fj − ∂j fi )
Nomenklatur:
⇒
∇ × (∇ × f) = ∇(∇ · f) − ∆f
∆ heißt Laplace-Operator
Rechenregeln für Laplace-Operator:
[∆(λ + µ)] (x) = (∆λ)(x) + (∆µ)(x)
∆(λµ) = ∇ · (λ∇µ + µ∇λ) = λ∆µ + µ∆λ + 2(∇λ) · (∇µ)
∆(f · g) = ∆(fi gi ) = ∇ · (fi ∇gi + gi ∇fi ) = fi ∆gi + gi ∆fi + 2(∇fi ) · (∇gi )
Mathematischer Vorkurs
5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen Raum
Der Laplace-Operator
Laplace-Operator - Beispiele
Rechenregeln für Laplace-Operator:
[∆(λ + µ)] (x) = (∆λ)(x) + (∆µ)(x)
∆(λµ) = ∇ · (λ∇µ + µ∇λ) = λ∆µ + µ∆λ + 2(∇λ) · (∇µ)
∆(f · g) = ∆(fi gi ) = ∇ · (fi ∇gi + gi ∇fi ) = fi ∆gi + gi ∆fi + 2(∇fi ) · (∇gi )
Beispiele:
mit r (x) = (x12 + x22 + x32 )1/2
,
ρ(x) = (x12 + x22 )1/2
∆r ν = ∇ · (νr ν−2 x) = ν (∇r ν−2 ) · x + r ν−2 (∇ · x)
= ν (ν − 2)r ν−4 x · x + 3r ν−2 = ν(ν + 1)r ν−2
∆
1 !
=0
r
r 6= 0
für
"
∆ρν = ∇ · νρν−2
x1
x2
0
ρν − 1
∆ ln(ρ) = lim ∆
ν→0
ν
!#
= ν (ν − 2)ρν−4 ρ2 + 2ρν−2 = ν 2 ρν−2
= lim
ν→0
1
!
∆ρν = lim νρν−2 = 0
ν→0
ν
für
ρ 6= 0
Mathematischer Vorkurs
Kapitel 6: Integration & Integrale
Inhaltsverzeichnis
I
I
I
6.1 Integration & Integrale
6.2 Zweidimensionale Integrale
6.3 Dreidimensionale Integrale
6.1
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Unbestimmte und bestimmte Integrale
6.1 Integration & Integrale
Unbestimmtes Integral F (x) :
0
F (x) = f (x)
⇒
ß
F heißt
Stammfunktion
unbestimmtes Integral
™
von f
Bemerkungen:
I Stammfunktion nicht eindeutig:
Fa (x) ≡ F (x) + a
I Notation:
(a ∈ R)
Z
{Fa | a ∈ R} =
Bestimmtes Integral: Z
d
F
dx a
⇒
= F0 = f
Z
dx f (x)
bzw.
dx f (x) = F + a
x2
dx f (x) ≡ F (x2 ) − F (x1 )
Bemerkungen:
I
R x1
I
R x12
x
x1
x1
dx f (x) = F (x1 ) − F (x1 ) = 0
dx f (x) = F (x2 ) − F (x1 ) = − [F (x1 ) − F (x2 )] = −
I Geometrische Interpretation: Fläche unter Kurve f (x)
R x1
x2
dx f (x)
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Zur geometrischen Interpretation der Integration
Zur geometrischen Interpretation der Integration
Fundamentalsatz der Analysis:
Z
x2
dx f (x) ≡ F (x2 ) − F (x1 )
,
x1
Beweis:
1
lim
h↓0 h
ñZ
x2 +h
Z
x2
dx f (x) −
x1
ô
dx f (x)
x1
Z
d
dx2
1
= lim
h↓0 h
Z
x2
dx f (x) = f (x2 )
x1
x2 +h
dx f (x) = lim
h↓0
x2
h f (x2 )
= f (x2 )
h
f (x)
x0
x1
x2 x2 + h
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Beispiele unbestimmter Integrale
Beispiele unbestimmter Integrale
R
dx f (x)
2
f (x)
2xe x
2
ex + a
√
ln x + x 2 + 1 + a
(x 2 + 1)− 2
ln[tan(x)] + a
2/ sin(2x)
xx + a
[1 + ln(x)] x x
x ln(x) − x + a
ln(x)
arcsin(x 2 ) + a
2x/(1 − x 4 ) 2
arctan(e x ) + a
e x /(1 + e 2x )
asin(x) + ā
asin(x) ln(a) cos(x)
1
1
x
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Beispiele unbestimmter Integrale
Beispiele unbestimmter Integrale
Weitere Beispiele:
Z
dx
1
= ln(|x|) + a
x
Z
1
dx √
= arcsin(x) + a
1 − x2
Z
p
1
2
= ln x + x − 1 + a
dx √
x2 − 1
Z
dx tan(x) = − ln |cos(x)| + a
Z
1
= ln tan( 12 x) + a
sin(x)
dx
Z
dx e 3x = 13 e 3x + a
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Riemann-Summen & numerische Integration
Riemann-Summen
Riemann-Summe: Wähle {xk , xk∗ } mit a ≡ x0 < x1 < x2 < · · · < xN ≡ b
SR ≡
N
X
(xk − xk−1 )f (xk∗ )
xk∗ ∈ [xk−1 , xk ]
,
k=1
Betrachte Limes: N → ∞ mit limN→∞ maxk (xk − xk−1 ) = 0 ⇒
lim
N
X
N→∞
(xk − xk−1 )f
(xk∗ )
Z
dx f (x)
=
a
k=1
b
Riemann-Unter/Obersumme
,
falls Limes existiert
Nomenklatur: Funktion f heißt
Riemann-integrierbar
falls Limes N → ∞ existiert
f (x)
Beispiel: Limes existiert für alle
kontinuierlichen Funktionen f
Spezialfall: (Mittelpunktsformel)
b−a
N
∗
1
xk ≡ 2 (xk + xk−1 ) ≡ xk− 1
xk ≡ a + kε , ε ≡
a = x0
xk−1 xk
xN = b
x
2
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Riemann-Summen & numerische Integration
Die Mittelpunktsformel
Wahl der {xk , xk∗ } in der Riemann-Summe:
b−a
N
xk ≡ a + kε , ε ≡
xk∗ ≡ 12 (xk + xk−1 ) = a + (k − 12 )ε ≡ xk− 1
,
2
Mittelpunktsformel:
b
Z
dx f (x) −
N
X
2
a
f 0 (b) − f 0 (a)
(N → ∞, ε ↓ 0)
k=1
(mit x ≡ xk− 1 + y )
denn:
N
xk
k=1
xk−1
X Z
f (x)
1 2
ε
24
εf (xk− 1 ) ∼
dx
î
ó
2
N Z
X
f (x) − f (xk− 1 ) =
2
2
=
2
dy
− 12 ε
k=1
∼
1ε
2
N Z
X
1
3
dy
− 12 ε
k=1
(xk− 1 , f (xk− 1 ))
1ε
2
N
X
3
1
ε
2
î
î
ó
f (xk− 1 + y ) − f (xk− 1 )
2
2
0
f (xk− 1 )y +
2
00
1 00
f (xk− 1 )y 2
2
2
1 2
ε
24
f (xk− 1 ) =
2
k=1
xk−1
x
xk
εf 00 (xk− 1 )
2
k=1
b
Z
∼
N
X
+ ...
ó
dx f 00 (x) =
1 2
ε
24
1 2
ε
24
f 0 (b) − f 0 (a)
a
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Einfache Anwendung: die Stirling-Formel
Einfache Anwendung: die Stirling-Formel
√
n! ∼ nn e −n 2πn
Stirling-Formel:
Ç
(n → ∞)
I Abschätzung mit Hilfe der Mittelpunktsformel:
ln(n!) =
n
X
n+
Z
ln(j) ∼
j=1
1
2
1
2
n+ 1
2
dj ln(j) = [ j ln(j) − j ] 1
Fehler ∼“
”
→ Konstante
für n → ∞
å
2
1
= (n + 12 ) ln(n + 12 ) − n + Konstante ⇒ n! ∝ nn+ 2 e −n
I Vergleich mit exakten Ergebnissen:
(n → ∞)
√
[ definiere: S(n) ≡ nn e −n 2πn ]
n!/[S(n)(1 +
1
)]
12n
n
n!/S(n)
1
1,08443755
1,00101928
5
1,01678399
1,0001154
10
1,00836536
1,00003176
50
1,00166803
1,00000136
100
1,00083368
1,00000035
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Einfache Anwendung: die Stirling-Formel
Die Trapezformel
Die Trapezformel:
b
Z
dx f (x) −
a
N
X
1 2
ε 21 [f (xk−1 ) + f (xk )] ∼ − 12
ε f 0 (b) − f 0 (a)
(ε ↓ 0)
k=1
Herleitung:
N
XZ
(mit x ≡ xk−1 + y )
xk
dx
f (x) −
1
2
!
[f (xk−1 ) + f (xk )]
=
N Z
X
− 12
xk−1
k=1
∼
ε
XZ
= − 12
f (x)
− 12
dy y (ε − y )f 00 (xk−1 + y )
k=1
N
0
X
00
Z
=
xk−1
0
N
X
Z
00
εf (xk−1 ) ∼
1 2
− 12
ε
b
dx f 00 (x)
a
k=1
0
x
xk
ε
dy y (ε − y )
f (xk−1 )
k=1
1 2
− 12
ε
dx (x−xk−1 )(xk −x)f 00 (x)
xk−1
k=1
N
xk
1
= − 12
ε f (b) − f 0 (a)
2
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Die Substitutionsregel
Die Substitutionsregel
Kettenregel der Differentiation:
(G ◦f )0 (x) = G 0 (f (x)) f 0 (x) = g (f (x)) f 0 (x)
Konsequenz für Integration:
Z
(Substitutionsregel)
y
Z
dη g (η) = G (y ) = (G ◦f )(x) =
f (x) = e x = y
Beispiel 1:
Z
x
eξ
dξ
=
1 + eξ
Beispiel 2:
Z
dη
1−
,
Z
η2
=
=
dξ g (f (ξ)) f 0 (ξ)
x
ξ
ξ 0
Z
dξ g (e )(e ) =
,
1
1+y
ex
g (y ) =
p
p
1 − y2
Z
2
[ f (x) = y ]
1
= ln(1 + e x ) + a
1+η
dη
x
dξ
Z
x
g (y ) =
f (x) = sin(x) = y
y
p
Z
[G 0 (y ) ≡ g (y )]
1 − sin (ξ) cos(ξ) =
,
Df ⊂ − π2 ,
π
2
x
dξ cos2 (ξ)
x
dξ
= 12 x +
1
2
1
2
[1 + cos(2ξ)] = 21 x +
sin(x) cos(x) + a =
1
2
1
4
sin(2x) + a
arcsin(y ) + 12 y
p
1 − y2 + a
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Die Substitutionsregel
Die Substitutionsregel
®
Beispiel 3:
Z
x
dξ p
ξ
1−
ξ2
f (x) = 1 − x 2
g (y ) = − 2√1 y
= − 12
=
x
Z
dξ
Integral:
(1 − ξ 2 )0
p
1−
− 12
1
dη √
η
√ y
= − η +a
p
=−
Alternativ:
Z
x
dξ p
dη
p
R
dη
p
η = cos(ξ)
R
dη
p
η = sinh(ξ)
1 − x2 + a
R
1 − η2
η2 + 1
dη √ 1
η = sin(ξ)
dη √ 12
η = cosh(ξ)
dη √ 12
η = sinh(ξ)
1−η 2
x
Z
=−
1 − ξ2
=−
d p
dξ
1 − ξ2
dξ
R
x
1 − ξ2 R
p
p
=−
−1
η2
(direkte Integration)
ξ
1
= sec(ξ)
η = cos(ξ)
oder: η = cosh(ξ)
R
ξ2
y
Z
Substitution:
η −1
η +1
Weitere Substitutionsbeispiele
1 − x2 + a
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Partielle Integration
Partielle Integration
Produktregel der Differentiation:
(fg )0 = f 0 g + fg 0
Konsequenz:
⇒
fg 0 = (fg )0 − f 0 g
(partielle Integration)
Z
Z
0
dx f (x)g (x) = f (x)g (x) −
unbestimmtes Integral:
Z
bestimmtes Integral:
b
b
dx f (x)g 0 (x) = f (x)g (x)a −
a
Beispiel 1:
Z
dx
Z
dx
p
p
f (x) =
1−
x2
√
Z
b
dx f 0 (x)g (x)
a
1 − x2
,
g (x) = x
Z
=x
p
1−
x2
=x
p
1−
x2
1 − x 2 = 12 x
dx f 0 (x)g (x)
p
(−x 2 )
− dx √
1 − x2
Z
p
−
1 − x2 +
dx
1
2
1−
x2
Z
+
arcsin(x) + a
1
dx √
1 − x2
⇒
Mathematischer Vorkurs
6.1 Integration & Integrale
Partielle Integration
Partielle Integration
Beispiel 2:
f (x) = arcsin(x)
,
g (x) = x
Z
Z
x
dx √
1 − x2
dx arcsin(x) = x arcsin(x) −
= x arcsin(x) +
Beispiel 3:
f (x) = ln(x)
,
Z
dx ln(x) = x ln(x) −
In ≡
Z
R
1
x = x ln(x) − x + a
x
dx
dx (x n /n!)e −x
f (x) = x m /m!
;
xn d
xn
dx
(−e −x ) = − e −x +
n! dx
n!
In =
1 − x2 + a
g (x) = x
Z
Beispiel 4:
p
Z
,
g (x) = −e −x
x n−1 −x
e
(n − 1)!
dx
n
n
m=1
m=0
X x m −x
X x m −x
x n −x
= In−1 − e = . . . = I0 −
e =−
e +a
n!
m!
m!
Mathematischer Vorkurs
6.2 Zweidimensionale Integrale
Riemann-Summen
6.2 Zweidimensionale Integrale
x2
Berechnung zweidimensionaler Integrale:
ß
I Betrachte
endliches
abgeschlossenes
™
Gebiet G ⊂ R2
G
I Betrachte Funktion f (x1 , x2 ) , stetig auf G
x1
ß
I Definiere:
f (x1 , x2 ) falls (x1 , x2 ) ∈ G
0
sonst
I Ausdehnung des Integrationsbereichs:
fG (x1 , x2 ) =
ZZ
ZZ
dx1 dx2 f (x1 , x2 ) =
dx1 dx2 fG (x1 , x2 )
R2
G
Zweidimensionale Integrale
als Riemann-Summe“
”
Integrationsreihenfolge beliebig:
Z
ïZ
∞
dx1
−∞
ò
∞
dx2 fG (x1 , x2 )
−∞
[ falls f (x1 , x2 ) stetig im Gebiet G ]
!
=
Z
ïZ
∞
dx2
−∞
Aber Vorsicht, falls f (x1 , x2 ) nicht stetig ist!
ò
∞
dx1 fG (x1 , x2 )
−∞
Mathematischer Vorkurs
6.2 Zweidimensionale Integrale
Zweidimensionale Integrale - Beispiele
Zweidimensionale Integrale - Beispiele
Beispiel 1:
f (x1 , x2 ) = 1
G = (x1 , x2 ) 2 ≤ x1 ≤ 3 , (x1 )2 ≤ x2 ≤ (x1 )3
,
Zweidimensionales Integral:
ZZ
3
Z
dx1 dx2 =
dx1
G
(x1 )2
2
2
p
1 − (x1 )2
x1 ≡ sin(ϕ) , cos2 (ϕ) =
1−(x1 )2
Z
dx1
dx1 dx2 f (x1 , x2 ) =
G
√
Z1
ZZ
2
G = (x1 , x2 ) | (x1 )2 + (x2 )2 ≤ 1 , x2 ≥ 0
,
Zweidimensionales Integral:
dx2 x2
−1
1
2
dx1 (x1 )3 − (x1 )2
3
3
4
3
1
1
= 4 (x1 ) − 3 (x1 ) = 16 41 − 6 13 = 9 11
12
f (x1 , x2 ) = x2
=
3
Z
dx2 =
2
Beispiel 2:
p
1 − (x1 )2 =
dϕ cos4 (ϕ) =
1
8
1
2
[1 + cos(2ϕ)]
Z1
dx1 1 − (x1 )2
1
2
3/2
−1
0
π/2
Z
(x1 )3
Z
Z
−π/2
π/2
dϕ [1 + cos(2ϕ)]2 = 18 (π + 0 + 21 π) =
−π/2
3π
16
Mathematischer Vorkurs
6.2 Zweidimensionale Integrale
Die Integrationsreihenfolge
Zweidimensionale Integrale - die Integrationsreihenfolge
Integrationsreihenfolge beliebig:
Z
ïZ
∞
dx1
Z
−∞
∞
ïZ
ò
1
Z
dx1
0
Z
0
0
1
0
dx2 x1−2
0
Z
1
Z
⇒
0
1
Z
f (x2 , x1 ) = −f (x1 , x2 )
å
1
+
Z
dx2 x2−2
1
dx1 (−1) = −1
=
x1
1
0
Z
dx1 f (x2 , x1 ) = −
dx2
0
x1
Wähle Gebiet G = [0, 1]2 mit
x1
dx1 −
dx1 f (x1 , x2 ) = −
dx2
0
Ç Z
1
Z
dx2 f (x1 , x2 ) =
Z
−x1−2
(x2 )−2
(0 < x1 < x2 < 1)
−2
− (x1 )
(0 < x2 < x1 < 1)
0
(sonst)
1
0
1
G
−∞
Daher:
Z
x2−2
dx1 fG (x1 , x2 )
Vorsicht, falls f (x1 , x2 ) nicht stetig ist:
f (x1 , x2 ) =
x2
1
∞
dx2
−∞
(
[ falls f (x1 , x2 ) stetig im Gebiet G ]
dx2 fG (x1 , x2 )
−∞
!
=
ò
∞
1
Z
dx1
0
1
dx2 f (x1 , x2 ) = +1
0
Mathematischer Vorkurs
6.2 Zweidimensionale Integrale
Polarkoordinaten
Zweidimensionale Integrale - Polarkoordinaten
Polarkoordinaten:
(x1 , x2 ) ≡ (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ))
f¯G (ρ, ϕ) ≡ fG (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ))
,
Zweidimensionales Integral in Polarkoordinaten:
ZZ
∞
Z
dx1 dx2 f (x1 , x2 ) =
2π
Z
dϕ ρf¯G (ρ, ϕ)
dρ
G
0
0
x2
Beispiel 1:
dϕ
G = R2
ρdϕ
Zweidimensionales Integral:
dρ
∞
Z
2π
Z
dϕ ρf¯G (ρ, ϕ) =
dρ
ϕ
0
0
ÅZ
x1
0
f¯G = e −ρ sin2 (ϕ)
,
∞
=
|x| = ρ + dρ
dρ ρe
−ρ
ãïZ
ò
2π
2
dϕ sin (ϕ)
0
=π
0
|x| = ρ
Mathematischer Vorkurs
6.2 Zweidimensionale Integrale
Polarkoordinaten - Beispiele
Zweidimensionale Integrale - Polarkoordinaten
Beispiel 2:
G = R2
fG (x1 , x2 ) = e −[(x1 )
,
Zweidimensionales Integral:
ÅZ
∞
dx e
−x 2
ã2
ÅZ
∞
=
dx1 e
−∞
−x12
2
+(x2 )2 ]
ãÅZ
∞
dx2 e
∞
Z
dx1 dx2 fG (x1 , x2 ) =
∞
=
Fazit:
√
π=
Z
∞
dx e
−∞
Allgemeine Definition:
Z
dρ
0
dρ
2π
dx1 dx2 e −[(x1 )
2
dϕ ρ e −ρ = π
2π
dϕ ρf¯G (ρ, ϕ)
0
Z
0
−x 2
ZZ
=
Z
0
Z
ã
−x22
2
−∞
−∞
ZZ
=
f¯G (ρ, ϕ) = e −ρ
,
∞
dy e −y = π
0
Z
=2
0
Γ(z) ≡
∞
e −y
dy √ =
2 y
R∞
0
Z
∞
0
dy y z−1 e −y
1
dy y − 2 e −y = Γ
1
2
2
+(x2 )2 ]
Mathematischer Vorkurs
6.3 Dreidimensionale Integrale
Riemann-Summen
6.3 Dreidimensionale Integrale
Gebiet G ⊂ R3
I Betrachte:
ß
I Definiere:
fG (x) =
,
Funktion f (x)
,
x ≡ (x1 , x2 , x3 )
falls x ∈ G
sonst
f (x)
0
I Ausdehnung des Integrationsbereichs:
ZZZ
ZZZ
dx f (x) =
dx fG (x)
R3
G
I Integrationsreihenfolge beliebig, falls f (x) stetig im Gebiet G
Beispiel: f (x) = 1 , G = {x | x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x1 + x2 + x3 ≤ 1}
Z
dx1
0
1−x1 −x2
1−x1
Z1
dx2
dx3 =
0
1−x1
Z1
Z
=
0
Z
1
2
dx1 (1 − x1 )2 − 12 (1 − x1 )2
dx2 (1 − x1 − x2 ) =
dx1
0
0
Z1
Z
0
1
dx1 (1 − x1 )2 =
0
1
2
1
Z
0
1
dx1 (x1 )2 = 16 (x1 )3 =
0
1
6
Mathematischer Vorkurs
6.3 Dreidimensionale Integrale
Kugelkoordinaten
Dreidimensionale Integrale - Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten:
x ≡ (r cos(ϕ) sin(ϑ), r sin(ϕ) sin(ϑ), r cos(ϑ))
f¯G (r , ϕ, ϑ) ≡ fG (r cos(ϕ) sin(ϑ), r sin(ϕ) sin(ϑ), r cos(ϑ))
Dreidimensionales Integral in Kugelkoordinaten:
ZZZ
Z
dx f (x) =
G
∞
Z
dr
0
x3
π
Z
2π
dϑ
0
r
ϑ
dr
Z
dΩ r 2 f¯G (r , Ω)
0
dr
dϑ
Einfachere Notation:
( Raumwinkel“)
”
(ϑ, ϕ) ≡ Ω
x2
x1
∞
dx → r 2 sin(ϑ)dr dϑ dϕ
0
ϕ
Z
Volumenelement:
r dϑ
r sin(ϑ)
dϕ r sin(ϑ)f¯G (r , ϑ, ϕ) =
0
dϕ
r sin(ϑ)dϕ
r cos(ϑ)
2
sin(ϑ)dϑdϕ ≡ dΩ
Mathematischer Vorkurs
6.3 Dreidimensionale Integrale
Integrale mit sphärischer Symmetrie
Dreidimensionale Integrale mit sphärischer Symmetrie
Spezialfall:
f¯G (r , ϕ, ϑ) = f¯G (r )
G = {x | r1 ≤ |x| ≤ r2 }
,
Dreidimensionales Integral:
ZZZ
∞
Z
dx f (x) =
Z
dr
G
dΩ
0
Å
R
Interpretation:
dΩ =
∞
r 2 f¯G (r )
dr
dΩ
Z
∞
= 4π
Fläche einer Kugel mit Radius Eins
im dreidimensionalen Raum
dr r 2 f¯G (r )
0
ã
≡ S3 (1)
[ mit S3 (r ) = r 2 S3 (1) = 4πr 2 ]
Z
π
Z
dΩ =
2π
Z
π
dϕ sin(ϑ) = 2π [− cos(ϑ)] = 4π
dϑ
0
Beispiel:
f (x) = 1
=
ãZ
0
Berechnung von S3 (1) :
S3 (1) =
ÅZ
r 2 f¯G (r )
0
0
G = x | (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 ≤ 1
,
Dreidimensionales Integral:
ZZZ
1
Z
2
dx f (x) = 4π
G
dr r = 4π
1 3
r
3
0
1 4π
=
0
3
Mathematischer Vorkurs
6.3 Dreidimensionale Integrale
Zylinderkoordinaten
Dreidimensionale Integrale - Zylinderkoordinaten
Analog: Zylinderkoordinaten
x ≡ (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), x3 )
f¯G (ρ, ϕ, x3 ) ≡ fG (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), x3 )
Dreidimensionales Integral in Zylinderkoordinaten:
Z
Z
dx fG (x) =
∞
x3
2π
Z
dϕ
dρ
0
x2
Z
0
∞
dx3 ρf¯G (ρ, ϕ, x3 )
−∞
x⊥ ≡ (x1 , x2 )
dϕ
Definition:
ρdϕ
Volumenelement:
dx → ρdρ dϕ dx3
dρ
Beispiel:
ϕ
f (x) = µ (x1 )2 + (x2 )2
(0, 0, x30 )
x1
|x⊥ | = ρ + dρ
|x⊥ | = ρ
G = {x | 0 ≤ x3 ≤ H ,
0 ≤ (x1 )2 + (x2 )2 ≤ R 2
Mathematischer Vorkurs
6.3 Dreidimensionale Integrale
Zylinderkoordinaten
Dreidimensionale Integrale - Zylinderkoordinaten
Analog: Zylinderkoordinaten
x ≡ (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), x3 )
f¯G (ρ, ϕ, x3 ) ≡ fG (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), x3 )
Dreidimensionales Integral in Zylinderkoordinaten:
Z
∞
Z
dx fG (x) =
Z
2π
Z
dϕ
dρ
dx3 ρf¯G (ρ, ϕ, x3 )
−∞
0
0
∞
Beispiel:
f (x) = µ (x1 )2 + (x2 )2
G = x | 0 ≤ x3 ≤ H , 0 ≤ (x1 )2 + (x2 )2 ≤ R 2
,
Integral in Zylinderkoordinaten:
Z
Z
dx fG (x) = µ
H
Z
dx3
0
R
Z
dρ
0
2π
3
dϕ ρ = 2πµH
0
1 4
ρ
4
R 1
= 2 πµHR 4
0
Physikalische Interpretation von 12 πµHR 4 = 12 MR 2 mit M ≡ πµHR 2 :
Trägheitsmoment bzgl. der ê3 -Achse eines homogenen Zylinders
mit der Höhe H, dem Radius R, der Massendichte µ und der Masse M
Mathematischer Vorkurs
Kapitel 7: Differentialgleichungen
Inhaltsverzeichnis
I
I
I
7.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
7.2 Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
7.3 Allgemeine Lösungsverfahren
7.1
Mathematischer Vorkurs
7.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Allgemeine Form & erste Beispiele
7.1 Gewöhnliche“ Differentialgleichungen
”
Gewöhnliche Differentialgleichungen . . .
I . . . der ersten Ordnung:
I . . . der zweiten Ordnung:
I . . . der n-ten Ordnung:
f (x, y (x), y 0 (x)) = 0
f (x, y (x), y 0 (x), y 00 (x)) = 0
f (x, y (x), y 0 (x), . . . , y (n) (x)) = 0
Achtung: Z.B. y 0 (x) = y (y (x)) ist keine Differentialgleichung!
Beispiele gewöhnlicher Differentialgleichungen:
x=
b t , ∆t → 0 , y (0) ≡ y0 > 0 , λ > 0
1. Wachstumsprozess:
y (t + ∆t) − y (t) = λy (t)∆t
,
λy (t) =
y (t + ∆t) − y (t)
∼ y 0 (t)
∆t
Lösung:
λ=
1 dy
d
=
ln(y )
y dt
dt
⇒
ln[y (t)] = λt + ln(y0 )
analog, mit λ < 0
2. Zerfallsprozess:
,
y (t) = y0 e λt
,
Lösung y (t) = y0 e −|λ|t
Mathematischer Vorkurs
7.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Allgemeine Form & erste Beispiele
Die logistische Differentialgleichung
3. Logistische Gleichung:
(< frz. logis = Lebensraum)
dN
N
= λN 1 −
dt
Nmax
(0 ≤ N ≤ Nmax )
Notation:
x=
b t ; N/Nmax ≡ y , y (0) ≡ y0 ; λ > 0
Zu lösen:
dy
= λy (1 − y ) , y (0) = y0
dt
(0 ≤ y ≤ 1)
Pierre François Verhulst
(1804 - 1849)
Lösungsmethode für die logistischen Gleichung:
1
dy
λ=
=
y (1 − y ) dt
1
1
+
y
1−y
Daher Lösung:
y0
y
!
e λt
= e λ(t+t0 ) =
1 − y0
1−y
dy
d
d
y
=
[ln(y )−ln(1−y )] =
ln
dt
dt
dt
1−y
⇒
y (t) =
1+
1
− 1)e −λt
(y0−1
Mathematischer Vorkurs
7.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Allgemeine Form & erste Beispiele
Die logistische Differentialgleichung
3. Logistische Gleichung:
(Fortsetzung)
dy
= λy (1 − y ) , y (0) = y0
dt
(0 ≤ y ≤ 1)
Daher Lösung:
y (t) =
y (t)
1+
Nmax
1
, N(t) =
−1
−λt
1 + (y0 − 1)e −λt
− 1)e
(y0−1
Pierre François Verhulst
(1804 - 1849)
(y0 = 0.01)
1.0
0.8
0.6
Nomenklatur:
0.4
Sigmoidfunktion“
”
0.2
0.0
0.0
λt
1.0 2.0
3.0
4.0 5.0
6.0
7.0 8.0
9.0 10.0
Mathematischer Vorkurs
7.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Harmonische Schwingung
Gewöhnliche Differentialgleichungen
4. Harmonische Schwingung:
my 00 = −λy
Lösungsmethode:
,
x=
b t ; y (0) ≡ y0 ; y 0 (0) ≡ y00 , λ > 0
y 00 + ω 2 y = 0
0 = y 0 y 00 + ω 2 yy 0 =
d
dt
;
1
2
ω≡
p
(y 0 )2 + 12 ω 2 y 2
λ/m
Erste Integration:
1
(y 0 )2
2
p
+ 12 ω 2 y 2 = 0 ≡ 12 (y00 )2 + 12 ω 2 (y0 )2 , y 0 = ± 20 − ω 2 y 2
√
2
Substitution y ≡ ω 0 z →
dy /dt
1 dz/dt
1 d
±1= p
= √
=
arcsin(z)
ω 1 − z2
ω dt
20 − ω 2 y 2
± (ωt + ϕ0) = arcsin(z) ⇒
Lösung:
Zweite Integration:
√
√
√
2
2
2
y (t) = ω 0 z(t) = ± ω 0 sin(ωt + ϕ0) ≡ ω 0 sin(ωt + ϕ̄0)
√
2
√
= ω 0 [sin(ωt) cos(ϕ̄0) + cos(ωt) sin(ϕ̄0)]
®
2
0
y0 = ω 0 sin(ϕ̄0)
y0
= y0 cos(ωt) +
sin(ωt)
mit
√
ω
y00 = 20 cos(ϕ̄0)
Mathematischer Vorkurs
7.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Bewegung in allgemeinen Potentialen
Gewöhnliche Differentialgleichungen
5. Verallgemeinerung: x =
b t ; y (0) ≡ y0 ; y 0 (0) ≡ y00
dv
dv 0
d 1 0 2
(y ) + v (y )
y 00 = − (y ) ⇒ 0 = y 0 y 00 +
y =
2
dy
dy
dt
Erste Integration:
1
(y 0 )2
2
+ v (y ) = 0
,
dy /dt
Daher:
p
y0 = ±
2 [0 − v (y )]
Zy
1
d
±1= p
=
dt
2 [0 − v (y )]
Zweite Integration:
Z
dx p
2 [0 − v (x)]
y (t)
1
dx p
2 [0 − v (x)]
±t =
y0
y (t)
implizit bekannt!
(z.B. V (x) = − GµM
x
Anwendung, Ausblick:
v (x) =
⇒
1
Vf (x)
µ
,
Vf (x) = V (x) +
im Kepler-Problem)
L2
2µx 2
,
x = |x|
Mathematischer Vorkurs
7.2 Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
Der freie Fall
7.2 Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
Typische Differentialgleichung der Mechanik:
mẍ(t) = F(t, x(t), ẋ(t))
(2. Newton’sches Gesetz)
Nomenklatur: Differentialgleichung heißt ”autonom“, falls
Ç
Beispiele:
1. Gleichförmige, geradlinige Bewegung:
2
mẍ = m
d
dt 2
2. Der freie Fall:
x1
x2
x3
!
=0
,
Lösung:
= 0 gilt
3 ungekoppelte
autonome Dgln.
2. Ordnung
x(t) = x(0) + ẋ(0)t
(g = −g ê3 )
0
0
1
!
mẍ = mg = −mg ê3 = −mg
Lösung: x(t) = x(0) + ẋ(0)t − 12 gt 2 ê3
∂F
∂t
å
Mathematischer Vorkurs
7.2 Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
Reibung in Flüssigkeiten
Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
3. Reibung (in Flüssigkeiten):
FR ∝ −ẋ
mẍ = −R ẋ
(R = Reibungskonstante)
Lösungsmethode:
ẋ ≡ v
Komponentenweise:
v̇i = −
R
vi
m
⇒
⇒
v̇ = −
R
v
m
(=
b Zerfallsprozess)
vi (t) = vi (0)e −Rt/m
⇒
Daher Lösung:
Z
x(t) − x(0) =
Å
4. Reibung
t
0
Z
0
dt v(t ) = v(0)
0
t
dt e
0
in Gasen, allgemein bei
höheren Geschwindigkeiten
mv̇ = mẍ = −Rv 2 v̂
0
−Rt 0 /m
v(t) = v(0)e −Rt/m
Ä
ä
m
−Rt/m
= ẋ(0) 1 − e
R
ã
FR ∝ −|v|2 v̂
:
(v ≡ ẋ , v ≡ |v|)
Mathematischer Vorkurs
7.2 Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
Reibung in Gasen
Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
4. Reibung (in Gasen):
mv̇ = mẍ = −Rv 2 v̂
E (t) ≡ 12 mv 2 (t) erfüllt die Differentialgleichung
3/2
d 1
2E
dE
2
2
3
=
mv = mv · v̇ = −Rv v · v̂ = −Rv = −R
⇒
2
dt
dt
m
√
√
2 2
d
1
1
2R
−3/2
−1/2
R = −E
Ė =
(2E
) ⇒ p
= p
+ 3/2 t
3/2
dt
m
m
E (t)
E (0)
2
1
Lösung für v (t):
E = 2 mv
→
√
√
√
v (0)
2
2
2R
√
= √
+ 3/2 t ⇒ v (t) =
1 + Rv (0)t/m
m
m v (t)
m v (0)
Lösungsmethode:
Wähle o.B.d.A.: v(0) = v (0)ê3 ⇒ v1 (0) = v2 (0) = 0 , v3 (0) = v (0)
d
R
R
v̇i =
(v · êi ) = − v (v · êi ) = − vvi , vi (0) = v (0)δi3
dt
m
m
Lösung:
R
v̇i
d
vi (t) = 0 ∨ − v =
=
ln |vi |
m
vi
dt
Integration:
î Rt
ó
0
0
R
vi (t) = 0 ∨ |vi (t)| = |vi (0)| exp − m
dt
v
(t
)
0
Mathematischer Vorkurs
7.2 Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
Fall mit Reibung
Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
mv̇ = mẍ = −Rv 2 v̂
4. Reibung (in Gasen):
vi (t) = 0
∨
î
R
R t
|vi (t)| = |vi (0)| exp − m
Lösung:
v 1 (t) = 0
,
v 2 (t) = 0
,
0
,
dt 0 v (t 0 )
v 3 (t) =
ó
Integration:
, v (t) =
v (0)
1 + Rv (0)t/m
v (0)
!
= v (t)
1 + Rv (0)t/m
5. Fall mit Reibung:
FR ∝ −v
mẍ = mg − R ẋ ,
mv̇ = −mg ê3 − Rv
x1,2 (t) wie in Beispiel 3 und
Ä
ä
˙v̄3 = v̇3 = − R v3 − g = − R v3 + mg ≡ − R v̄3
m
m
R
m
Daher:
(wie in Beispiel 3)
î
mg
mg ó −Rt/m
v3 (t) +
= v̄3 (t) = v̄3 (0) e −Rt/m = v3 (0) +
e
R
R
Fazit:
mg î
mg ó −Rt/m
v3 (t) = −
+ v3 (0) +
e
R
R
Integration →
mg
mî
mg ó
x3 (t) = x3 (0) −
t+
v3 (0) +
(1 − e −Rt/m )
R
R
R
Lösung:
Mathematischer Vorkurs
7.2 Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
Der schwingende Aufzug“
”
Weitere Differentialgleichungen der Mechanik
6. Der schwingende Aufzug“:
”
mẍ = −mg (t)ê3 − R ẋ
Lösungsmethode für x1,2 (t) :
Lösungsmethode für x3 (t):
− g (t) = v̇3 +
=e
R
v
m 3
−Rt/m
,
2πt
T
g (t) = g0 + A sin
wie in Beispiel 3
v̇3 (t) = −g (t) −
Ä
= e −Rt/m e Rt/m v̇3 +
d Ä Rt/m ä
e
v3
dt
R
m
R
v (t)
m 3
e Rt/m v3
⇒
ä
(e Rt/m = integrierender Faktor“)
”
Daher:
d Ä Rt/m ä
e
v3 = −g (t) e Rt/m
dt
Lösung:
î
Z
v3 (t) = v3 (0)−
t
0
0
dt g (t ) e
0
⇒
e
Rt/m
Z
v3 = v3 (0) −
t
dt 0 g (t 0 ) e Rt
0
/m
0
Rt 0 /m
ó
e
−Rt/m
Z
,
x3 (t) = x3 (0)+
0
t
dt 0 v3 (t 0 )
Mathematischer Vorkurs
7.3 Allgemeine Lösungsverfahren
Die allgemeine lineare Gleichung & integrierende Faktoren
7.3 Allgemeine Lösungsverfahren
- die allgemeine lineare Gleichung
Motivation: (der ”schwingende Aufzug“)
mẍ = −mg (t)ê3 − R ẋ
Lösung:
,
(e Rt/m = integrierender Faktor“)
Z t”
ó
î
0
v3 (t) = v3 (0) −
0
dt g (t ) e
0
Rt /m
e
2πt
T
g (t) = g0 + A sin
−Rt/m
Z
,
t
x3 (t) = x3 (0) +
0
dt 0 v3 (t 0 )
0
Allgemeines Muster:
(allgemeine lineare Gleichung, wichtig!)
Z
t
du
dt 0 a(t 0 ) ⇒ Lösung:
= −a(t)u + b(t) , A(t) ≡
dt
0
h
i
î
ó
du
−A(t)
A(t) du
A(t)
−A(t) d
A(t)
b(t) =
e
+ a(t)u = e
+ a(t) e u = e
e u
dt
dt ò
dt
Z
ï
t
−A(t)
0
dt 0 e A(t ) b(t 0 )
(e A(t) = integrierender Faktor“)
”
0
Spezialfall:
(homogene lineare Gleichung, auch wichtig!)
du
du
d î A(t) ó
= −a(t)u ⇒ 0 =
+ a(t)u = · · · = e −A(t)
e u
dt
dt
dt
u(t) = e
⇒
u(0) +
e A(t) u(t) = Konstant = u(0)
u(t) = u(0)e −A(t)
⇒
Mathematischer Vorkurs
7.3 Allgemeine Lösungsverfahren
Die allgemeine lineare Gleichung & integrierende Faktoren
Die allgemeine lineare Gleichung - Beispiele
, A(t) = ln(1 + t 2 ) ]
î
ó
du
du
2t
−A(t) d
A(t)
u
⇒
0
=
=−
+
a(t)u
=
·
·
·
=
e
e
u
dt
1 + t2
dt
dt
2
u(0)
⇒ e A(t) u(t) = u(0) ⇒ u(t) = u(0)e −A(t) = u(0)e − ln(1+t ) =
1 + t2
2
Beispiel 2:
[ lineare Gleichung: a(t) = b(t) = t , A(t) = 21 t ]
î 12 ó
du
du
− 12 t 2 d
= −tu + t ⇒ t = b(t) =
+ a(t)u = · · · = e
e 2t u
dt
dt
Z
ï
òdt
Beispiel 1: [ homogene lineare Gleichung: a(t) =
u(t) = e
− 12 t 2
t
u(0) +
0
0
dt t e
1 t 02
2
=e
− 12 t 2
î
2t
1+t 2
u(0) + (e
1 t2
2
− 1)
ó
0
− 21 t 2
= 1 + [u(0) − 1] e
Alternative methode? Definiere: ū ≡ u − 1 ⇒
1 2
d ū
du
=
= −tu + t = −t(u − 1) = −t ū ⇒ ū(t) = ū(0)e − 2 t
dt
dt
Beispiel 3: [ lineare Gleichung: a(t) = 2 , b(t) = e −t , A(t) = 2t ]
du
d
d
= −2u + e −t ⇒ e −t = b(t) = · · · = e −2t
e 2t u ,
e 2t u = e t
dt
dt
dt
2t
t
−2t
−t
⇒ e u(t) = u(0) + (e − 1) , u(t) = [u(0) − 1]e
+e
Mathematischer Vorkurs
7.3 Allgemeine Lösungsverfahren
Lösung durch Variablentrennung
Lösung durch Variablentrennung
Allgemeine Form einer trennbaren“ Differentialgleichung:
” dy
f (x)
0
dx
Lösungsmethode:
Lösung:
=y =−
dy ! d
0 = f (x) + g (y )
=
dx
dx
Z
ïZ
g (y )
dx f (x) +
dy g (y ) = k
Beispiel 1:
dy
y
x −1
= y 0 = − = − −1 ,
dx
x
y
d
d
0=
(ln |x| + ln |y |) =
(ln |xy |) ⇒
dx
dx
dy
= y 0 = 2x(1 + y 2 )
dx
d 2
[x − arctan(y )] = 0
dx
dy g (y )
Z
dx f (x) +
Beispiel 2:
ò
Z
⇒
1
1 dy
+
=0
x
y dx
ln |xy | = k
2x −
,
,
⇒
y=
1 dy
=0
1 + y 2 dx
x 2 − arctan(y ) = k
⇒
λ
x
⇒
y = tan(x 2 − k)
Beispiel 3: Das Lotka-Volterra-Modell!
Lotka-Volterra-Modell
Mathematischer Vorkurs
7.3 Allgemeine Lösungsverfahren
Lösung einer homogenen Differentialgleichung
Lösung einer homogenen Differentialgleichung
Allgemeine Form: y 0 = −G yx
Lösung: y 0 = (xz)0 = z + xz 0 ⇒
dz/dx
1
+
=0
x
z + G (z)
⇒
⇒
definiere z ≡
y
x
0 = y 0 + G = z + xz 0 + G (z)
Z
ln |x| +
dz
1
=k
z + G (z)
,
⇒
y = xz
Beispiel: y 0 = tan(α + ϕ)
⇒
[mit x = ρ cos(ϕ) und y = ρ sin(ϕ)]
tan(ϕ) + tα
tα + y /x
y 0 = tan(α + ϕ) =
=
= −G yx
, tα ≡ tan(α)
1 − tα tan(ϕ)
1 − tα y /x
⇒ G (z) = −(tα + z)/(1 − tα z) mit
Definiere z = yx
Z
Z
1
1 − tα z
1
dz
= − dz
= − arctan(z) +
2
z + G (z)
tα (1 + z )
tα
ln |x| −
Lösung für z(x):
Polarkoordinaten:
z=
y
x
1
tα
arctan(z) +
= tan(ϕ)
,
1
2
ln(1 + z 2 ) + a
ln(1 + z 2 ) = k
x = ρ cos(ϕ)
1
ϕ = k , ρ = ρ0 e ϕ/tα
tα
Form der Integralkurven: logarithmische Spirale!
ln(ρ) −
1
2
⇒
(ρ0 ≡ e k )
Mathematischer Vorkurs
Anhang
Peano-Axiome der natürlichen Zahlen
Die Peano-Axiome der natürlichen Zahlen (1889)
1. ∃ 1 ∈ N
Es gibt eine natürliche Zahl 1
2. (∀m ∈ N)(∃! Nm ∈ N)
Jede natürliche Zahl m hat genau einen
Nachfolger Nm
3. (∀m ∈ N)(Nm 6= 1)
Es gibt keine natürliche Zahl mit 1 als
Nachfolger
4. (∀m, n ∈ N)(m 6= n ⇒ Nm 6= Nn )
Unterschiedliche natürliche Zahlen haben
unterschiedliche Nachfolger
U⊂N , 1∈U
5.
m ∈ U ⇒ Nm ∈ U
Induktionsaxiom“
”
™
⇔ U=N
Giuseppe Peano (1858 - 1932)
Mathematischer Vorkurs
Anhang
Distributivität des Vektorprodukts
Distributivität des Vektorprodukts
Vektorprodukt distributiv wegen:
!
a × (b + c) = a × (b⊥ + c⊥ ) = a × b⊥ + a × c⊥ = a × b + a × c
a
b⊥
a × c⊥
c⊥
b⊥ + c⊥
a × b⊥
a × (b⊥ + c⊥ )
Parallelogramme geometrisch ähnlich!
Mathematischer Vorkurs
Anhang
Details zu Logarithmen und Exponentialfunktionen
Details zu Logarithmen und Exponentialfunktionen
ß
Herleitung von
ab
Z
1
dx
=
x
ln(ab) =
ln(aβ ) =
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
ln(aβ ) = β ln(a)
Z1 aβ
1
=
x
dx
1
ß
Herleitung von
Z
a
1
dx
+
x
a
dy βy β−1
1
:
ab
Z
Z1 a
™
1
dx
=
x
Z
1
=β
yβ
(mit x ≡ ay )
a
Z
1
dx
+
x
1
a
b
Z
1
= ln(a) + ln(b)
y
dy
1
1
= β ln(a)
y
dy
1
™
exp(a + b) = exp(a) exp(b)
exp(ab) = [exp(a)]b = [exp(b)]a
(mit x ≡ y β )
Å
:
ß
mit
a ≡ ln(α)
b ≡ ln(β)
ã
exp(a + b) = exp [ln(α) + ln(β)] = exp [ln(αβ)] = αβ = exp(a) exp(b)
!
exp(αβ) = exp [β ln(a)] = exp ln(aβ ) = aβ = [exp(α)]β = [exp(β)]α [mit α ≡ ln(a)]
a
Herleitung von e a+b = e a e b und e ab = (e a )b = e b :
· · · folgt direkt aus
exp(a) = exp(1·a) = [exp(1)]a = e a
(∀a ∈ R)
Mathematischer Vorkurs
Anhang
Beispiele asymptotischen Verhaltens
Beispiele asymptotischen Verhaltens
Einige Identitäten (∀a > 0):
(1)
lim
x→∞
Zu (1):
xa
=0
ex
(2)
x→∞
ln(x)
=0
xa
f (x) ≡ e − x − 1 > f (0) = 0
⇒
ex > x + 1 > x
⇒
(2a)2a
ya
<
ey
ya
x↓0
wegen
e 2ax > x 2a
⇒
⇒
(∀x > 0)
⇒
[mit x ≡ ln(y ) und a ≡
lim
y →∞
[ln(y )]
y
ey >
f 0 (x) = e x − 1 > 0
y 2a
2a
(∀x, y > 0)
(2a)2a
ya
0 ≤ lim y ≤ lim
=0
y →∞ e
y →∞
ya
1
b
1/b
Zu (3):
lim x a ln(x) = 0
(3)
(mit x ≡ y /2a)
x
Zu (2):
lim
=0
⇒
lim
y →∞
in (1)]
ln(y )
=0
yb
[mit x ≡ y −1 in (2)]
ln(y −1 )
0 = lim
= − lim y a ln(y )
−a
y ↓0
y ↓0
y
(∀b > 0)
Mathematischer Vorkurs
Anhang
Herleitung der Kettenregel
Herleitung der Kettenregel“
”
Standardkettenregel:
f ∈R , x=x ∈R
(g ◦f )0 (x) = lim
=
1
h→0 h
lim 1
h→0 h
[(g ◦f )(x + h) − (g ◦f )(x)] = lim
1
h→0 h
= lim
1
h→0 h
g (f (x) + hf 0 (x)) − g (f (x))
[g (f (x + h)) − g (f (x))]
g (f (x)) + hg 0 (f (x))f 0 (x) − g (f (x))
= g 0 (f (x))f 0 (x)
[∂x1 (g ◦f )] (x) = g 0 (f (x))(∂x1 f )(x)
Verallgemeinerung (x ∈ Rm ):
x = (x1 , x2 , . . . xm ) = (x1 , x>1 ) mit x>1 ≡ (x2 , . . . xm )
f (x1 + h, x2 , . . . xm ) − f (x)
f (x1 + h, x>1 ) − f (x)
(∂x1 f )(x) = lim
= lim
h→0
h→0
h
h
[ f ∈ R , x = (x1 , x2 , . . . xm ) ∈ Rm ]
Herleitung der Kettenregel:
Partielle Ableitung:
1
h
h→0
[∂x1 (g ◦f )] (x) = lim
[(g ◦f )(x1 + h, x>1 ) − (g ◦f )(x)]
1
h
h→0
[g (f (x1 + h, x>1 )) − g (f (x))] = lim
1
h→0 h
= lim
= lim
1
h
h→0
[g (f (x) + h(∂x1 f )(x)) − g (f (x))]
g (f (x)) + hg 0 (f (x))(∂x1 f )(x) − g (f (x))
= g 0 (f (x))(∂x1 f )(x)
Mathematischer Vorkurs
Anhang
Das Lotka-Volterra-Modell
Das Lotka-Volterra-Modell für den Kampf um das Leben“
”
Räuber-Beute-Modell:
du1
= αu1 − au1 u2
dt
[A. J. Lotka (1925), V. Volterra (1926)]
du2
= −βu2 + bu1 u2
dt
,
(α, a, β, b > 0)
Gleichgewichtsbedingungen:
0=
du1
= u1 (α − au2 )
dt
,
0=
du2
= u2 (−β + bu1 )
dt
M
ögliche Gleichgewichtslösungen:
ß
u1 = 0 oder u2 = α/a
⇒
u2 = 0 oder u1 = β/b
Å ã
Resultat:
ui =
Notation:
0
0
u1 = 0
u2 = α/a
Å
und
us =
⇒ u1 6= β/b ⇒ u2 = 0
⇒ u2 =
6 0 ⇒ u1 = βb
β/b
α/a
ã
(Abweichung von der Gleichgewichtslösung)
Å ã
x1
x2
Å
=
u1 − β/b
u2 − α/a
ã
Mathematischer Vorkurs
Anhang
Das Lotka-Volterra-Modell
Das Lotka-Volterra-Modell
Bewegungsgleichungen für x1 (t) und x2 (t):
Å ã
x1
x2
Å
=
u1 − β/b
u2 − α/a
ã
⇒
ẋ1 = u̇1 = u1 (α − au2 ) = −ax2 (β/b + x1 )
ẋ2 = u̇2 = u2 (−β + bu1 ) = bx1 (α/a + x2 )
Differentialgleichung für x2 (x1 ):
dx2 /dt
bx1 (α/a + x2 ) ! dx2
=−
=
dx1 /dt
ax2 (β/b + x1 )
dx1
dx1
= −ax2 (x1 )(β/b + x1 )
dt
;
Lösung durch Variablentrennung:
[ mit f (y ) ≡ y − ln(1 + y ) ]
ï
ò
β/b
d î Ä a äó !
x2
dx2
x1
αf
x2
=a
= −b
= −b 1 −
dx1
α
α/a + x2 dx1
β/b + x1
β/b + x1
ñ
1
= −b 1 −
1 + βb x1
d
=−
dx1
ô
ß ï
d
=−
dx1
ß ï
Å
β
b
b x1 − ln 1 + x1
b
β
Å
b
b
β
x1 − ln 1 + x1
β
β
ãò™
ï
d
=−
βf
dx1
Å
ãò™
b
x1
β
ãò
Mathematischer Vorkurs
Anhang
Das Lotka-Volterra-Modell
Das Lotka-Volterra-Modell
Fazit:
[ mit f (y ) ≡ y − ln(1 + y ) ]
ï Ä
Å
ãò
a ä
d
b
αf
x2 + βf
x1
=0
dx1
α
β
Beispiel:
ï
1
2
ò
⇒
αf
α
x2 + βf
[ kleine Abweichungen x von us :
Ä a ä2
a2 2 b 2 2
1
x2 + x1 = 2 α
x2 + 12 β
α
β
α
Å
b
x1
β
ã2
Å
Äa ä
b
x1
β
ã
= konstant
f (y ) ∼ 21 y 2 (y → 0) ]
= konstant
Å
Populationszyklen!
ã