Mathematische Grundlagen der Stringtheorie und Supersymmetrie

Universität Duisburg-Essen
- Campus Duisburg Fakultät für Mathematik
Wolfgang Hümbs
Wintersemester 2009/2010
Mathematische Grundlagen der Stringtheorie und
Supersymmetrie
Klausur 1, 30.11.2009
Name:
Matrikelnummer:
Für jede Aufgabe kann man maximal zehn Punkte erhalten.
Aufgabe 1: Topologische Räume
Gegeben sei X = {a, b, c}.
(a) Verifizieren Sie, dass
B =
{a, b}, {b, c}
keine Basis für eine Topologie auf X sein kann.
(b) Überprüfen Sie, ob X mit
τ1 =
X, ∅, {a}, {b, c}
ein Hausdorff-Raum ist.
(c) Geben Sie eine Topologie τ2 auf X an, so dass jede Menge aus τ2 offen und abgeschlossen
ist.
Aufgabe 2: Algebraische Grundlagen
Verifizieren Sie das Monomorphiekriterium: Ein Gruppenhomomorphismus
%:G→H
ist genau dann injektiv, wenn
Kern% = {eG }
ist.
Aufgabe 3: Die Fundamentalgruppe
(a) Berechnen Sie die Fundamentalgruppe der Einheitssphäre
S 2 := (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1 .
Hinweis: Sie dürfen dabei alle bekannten Tatsachen aus der Topologie und Funktionentheorie benutzen.
Sie dürfen ohne Beweis die Fundamentalgruppe der Riemannschen Zahlenkugel benutzen.
(b) Geben Sie die Fundamentalgruppe des Einheitskreises
S 1 := (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 .
an.
(c) Geben Sie die Fundamentalgruppe von der Einpunktvereinigung des Einheitskreises
mit einem Geradenstück an.
(d) Beweisen oder widerlegen Sie: Der Einheitskreis und die Einpunktvereinigung aus Teil
(c) sind homöomorph.
(e) Sei X ein wegzusammenhängender topologischer Raum und x, y ∈ X. Begründen Sie,
warum die Fundamentalgruppe unabhängig vom Fußpunkt x bzw. y ist.
Aufgabe 4: Lineare Operatoren auf Hilberträumen
Wir benötigen zuerst folgende Definition: Ein beschränkter Operator auf einem Hilbertraum
H heißt unitär, wenn T ∗ T = T T ∗ = id auf H gilt.
(a) Zeigen Sie: Ein Operator T ist unitär genau dann, wenn er invertierbar ist und
T −1 = T ∗
gilt.
(b) Sei H der Hilbertraum aller Folgen komplexer Zahlen x = (. . . , xn−1 , x0 , x1 , . . .), so dass
X∞
kxk2 =
|xn |2 < ∞
n=−∞
gilt. Das Skalarprodukt sei definiert durch
X∞
hx, yi =
n=−∞
xn ȳn .
Zeigen Sie, dass der Operator T mit
(T x)n = xn−1
ein unitärer Operator ist.
Aufgabe 5: Das Tensorprodukt
Seien P und Q Projektionsmatrizen, d. h. es gilt P 2 = P und Q2 = Q, und E sei die
entsprechende Einheitsmatrix.
(a) Zeigen Sie (P ⊗ Q)2 = P ⊗ Q
2
(b) Zeigen Sie P ⊗ (E − P ) = P ⊗ (E − P )
(c) Berechnen Sie (Q ⊗ Q)(P ⊗ P ) für QP = 0.
Gegeben seien die Vektoren
1
0
u1 =
,
u2 =
,
0
1
1
v1 = √
2
1
1
,
1
v2 = √
2
1
−1
.
(d) Konstruieren Sie aus u1 und u2 bzgl. des Tensorprodukts die Standardbasis des R4 .
(e) Konstruieren Sie aus
i) u1 und u2
ii) v1 und v2
die (2 × 2)-Einheitsmatrix.
Aufgabe 6: Nichtrelativistische Strings
(a) Geben Sie die Wellengleichung für einen nichtrelativistischen String an.
(b) Zeigen Sie, dass
r
y(t, x) = sin t · cos
µ0
x
T0
der Wellengleichung genügt.
(c) Überprüfen Sie, ob y(t, x) aus (b) kompatibel mit den Neumann- bzw. DirichletRandbedingungen ist.
(d) Beweisen oder widerlegen Sie: Ein String kann niemals mit der (Kreis-)Frequenz von 1
Hz schwingen.
Aufgabe 7: Kategorientheorie
Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement.
Überprüfen sie, ob Mat(R) eine Kategorie bildet. Objekte sollen die natürlichen Zahlen sein.
Die Morphismen Mor(m, n) sind die Mengen der (n × m)-Matrizen über R.
Aufgabe 8: Mannigfaltigkeiten
Betrachten Sie die offenen Teilmengen U und V des Einheitskreises
S 1 := (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 ⊂ R2 ,
die gegeben sind durch
und
U = (cos α, sin α) | α ∈]0, 2π[
V = (cos α, sin α) | α ∈] − π, π[ .
Zeigen Sie, dass
A :=
(U, ϕ), (V, ψ)
mit
ϕ : U → R, ϕ(cos α, sin α) = α für α ∈]0, 2π[
ψ : V → R, ψ(cos α, sin α) = α für α ∈] − π, π[
ein Atlas auf S 1 ist.
Aufgabe 9:
Die drei fundamentalen Naturkonstanten G, c und ~ sind gegeben durch
3
◦ Gravitationskonstante G = 6.67 · 10−11 kgms2
◦ Lichtgeschwindigkeit c = 3 · 108 ms
◦ Plancksches Wirkungsquantum ~ =
h
2π
= 1.06 · 10−34 kg sm
2
Im Planckschen System, welches eine fundamentale Rolle in der Stringtheorie spielt, lauten
diese Konstanten
◦ G=
lp3
mp t2p
◦ c=
lp
tp
◦ ~=
mp lp2
,
tp
wobei lp die Planck-Länge, tp die Planck-Zeit und mp die Planck-Masse bedeutet. Drücken
Sie jeweils lp , tp und mp durch G, c und ~ aus und berechnen Sie diese Größen im cgs-System,
also in Zentimeter [cm], Sekunden [s] und Gramm [g].
Aufgabe 10:
Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Korrigieren Sie gegebenenfalls
die Aussagen.
(a) Ein σ-Modell ist eine Feldtheorie, in der das klassische Feld eine Abbildung
Φ:X→M
von einer Raumzeit X in einen beliebigen topologischen Raum ist. Gewöhnlich ist M
jedoch eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.
(b) Der wichtigste dimensionslose Parameter in der Stringtheorie ist die String-Kopplungskonstante gs , die die Intensität der Wechselwirkung zwischen Strings misst.
(c) Supersymmetrie bedeutet, dass eine Theorie Bosonen und Fermionen beinhaltet und es
Symmetrien gibt, die diese ineinander umwandeln.
Kreuzen Sie jeweils die richtige Antwort an:
(d) Die bosonische Stringtheorie ist nicht realistisch, weil
sie 26 Raumdimensionen erfordert.
sie keine Calabi-Yau-Kompaktifizierung erlaubt.
sie keine Fermionen beinhaltet und daher keine Materie beschreiben kann.
(e) In der Stringtheorie wird der Teilchenzerfall erklärt durch:
Ein String spaltet sich in mehrere Tochterstrings auf.
den Quantentunneleffekt.
Noch ist keine Erklärung gefunden.
(f) Ergänzen Sie die folgenden Sätze:
Das Graviton ist ein Spin. . . -Partikel.
Materie besteht aus Spin. . . -Fermionen, z. B. Elektronen.