Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
11.6.2014
Bernhard Hanke
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Definition
Es seien C und D Kategorien. Ein (kovarianter) Funktor F : C → D
besteht aus zwei Abbildungen
F : ob C → ob D,
F : mor C → mor D,
so dass
dom F (f ) = F (dom f )
cod F (f ) = F (cod f )
für alle f ∈ mor C,
für alle A ∈ ob C,
F (1A ) = 1F (A)
F (g ◦ f ) = F (g ) ◦ F (f )
Bernhard Hanke
für alle g , f ∈ mor C mit cod f = dom g .
Die Sprache der Kategorientheorie
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Beispiel
I
Für die Kategorien Grp, AbGp, Rng , Top, ..., gibt es den
Vergissfunktor U in die Kategorie Set.
I
Sind G und H Gruppen, so ist ein Funktor G → H nichts anderes als
ein Gruppenhomomorphismus.
I
Der Potenzmengenfunktor P : Set → Set schickt eine Menge A zur
Menge P(A) aller Teilmengen von A.
Für f : A → B ist P(f )(X ) := f (X ) ⊂ B für alle X ⊂ A.
I
Sind P und Q partiell geordnete Mengen, so ist ein Funktor P → Q
nichts anderes als eine ordnungserhaltende Abbildung P → Q.
I
π0 definiert Funktoren Top → Set und HTop → Set.
π1 definiert Funktoren Top ∗ → Grp und HTop ∗ → Grp.
Das Fundamentalgruppoid π(X ) definiert einen Funktor Top → Gpd.
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Die Sprache der Kategorientheorie
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Definition
Es seien C und D Kategorien. Ein kontravarianter Funktor F : C → D
besteht aus zwei Abbildungen
F : ob C → ob D,
F : mor C → mor D,
so dass
dom F (f ) = F (cod f )
cod F (f ) = F (dom f )
für alle f ∈ mor C,
für alle A ∈ ob C,
F (1A ) = 1F (A)
F (g ◦ f ) = F (f ) ◦ F (g )
für alle g , f ∈ mor C mit cod f = dom g .
F dreht also Pfeile um.
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Die Sprache der Kategorientheorie
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Beispiel
Kontravariante Funktoren sind z.B.:
I
P ∗ : Set → Set mit P ∗ (A) = P(A) = für alle A ∈ ob Set,
aber P ∗ (f )(Y ) := f −1 (Y ) für f : A → B und für alle Y ⊂ B.
I
∗ : Vectk → Vectk (k ein Körper),
k-Vektorraum V ∈ ob Vectk wird abgebildet auf den dualen
Vektorraum V ∗ = homk (V , k),
lineare Abbildung f : V → W wird abgebildet auf
f ∗ : W ∗ → V ∗ , f ∗ (φ) := φ ◦ f für alle φ ∈ homk (V , k).
I
C von KompHaus in die Kategorie der kommutativen C ∗ -Algebren
mit Eins und ∗-Homomorphismen
ordnet einem Raum X die Algebra C (X ) der stetigen
komplexwertigen Funktionen X → C zu
und einer stetigen Abbildung f : X → Y den ∗-Homomorphismus
C (f ) : C (Y ) → C (X ), ϕ 7→ ϕ ◦ f .
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Die Sprache der Kategorientheorie
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Definition
Es seien F , G : C → D Funktoren. Eine natürliche Transformation
α : F → G ist eine Abbildung
ob C → mor D
A 7→ αA
so dass
α
I
A
F (A) −→
G (A) für alle A ∈ ob C
I
für jeden Morphismus A −
→ B in C das Diagramm
f
F (f )
F (A) −−−−→ F (B)




αA y
αB y
G (f )
G (A) −−−−→ G (B)
kommutiert.
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Die Sprache der Kategorientheorie
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Definition (Fortsetzung)
Ist H : C → D ein weiterer Funktor und β : G → H eine natürliche
Transformation, so ist auch die Komposition
β ◦ α : F → H,
(β ◦ α)A := βA ◦ αA
eine natürliche Transformation.
1F : F → F ,
(1F )A = 1F (A) : F (A) → F (A)
ist ebenfalls eine natürliche Transformation.
Wir erhalten eine Kategorie [C, D] der Funktoren C → D und der
natürlichen Transformationen zwischen ihnen.
Die Isomorphismen in dieser Kategorie nennen wir natürliche
Isomorphismen.
Eine natürliche Transformation α ist genau dann ein natürlicher
Isomorphismus, wenn alle αA Isomorphismen sind.
Bernhard Hanke
Die Sprache der Kategorientheorie
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Beispiel
I
Der kovariante Funktor ∗∗ : Vectk → Vectk ist definiert durch
V 7→ V ∗∗ ,
f 7→ f ∗∗ für f : V → W linear.
Es gibt eine natürliche Transformation α : 1Vectk → ∗∗ gegeben durch
α
V
V 7→ αV , V −−→
V ∗∗ , αV (v ) := Auswertung auf v .
Für endlichdimensionales V ist αV ein Isomorphismus.
α definiert einen Isomorphismus in [fdVectk , fdVectk ].
Bernhard Hanke
Die Sprache der Kategorientheorie
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Beispiel
I
Es sei LC die Kategorie der lokalkompakten Hausdorffräume,
deren Morphismen von X nach Y eigentliche stetige Abbildungen von
offenen Teilmengen von X nach Y sind.
Einpunktkompaktifizierung ist ein Funktor F : LC → KompHaus ∗ ,
Entfernung des Basispunktes ein Funktor G : KompHaus ∗ → LC.
Die Komposition G ◦ F ist natürlich isomorph zu 1LC und F ◦ G ist
natürlich isomorph zu 1KompHaus ∗ .
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Die Sprache der Kategorientheorie
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Überlagerungen
Definition
Es sei p : X → Y stetig und U ⊂ Y .
U wird durch p gleichmäßig überlagert, falls es einen diskreten Raum D
und einen Homöomorphismus φ : p −1 (U) ≈ U × D gibt, so dass
φ
p −1 (U) −−−−→ U × D
≈




py
πy
U
=
−−−−→
U
kommutiert.
p ist eine Überlagerung, falls jeder Punkt in Y eine Umgebung besitzt, die
durch p gleichmäßig überlagert wird.
Beispiel
R → S 1 , t 7→ e 2πit ist eine Überlagerung.
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Überlagerungen
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Es sei p : X → Y eine Überlagerung, Y zusammenhängend. Dann ist
y 7→ ](p −1 (y ))
konstant, da lokalkonstant.
Falls d = ](p −1 (y )) endlich ist, heißt p eine d-blättrige Überlagerung.
Ansonsten heißt p eine unendliche Überlagerung.
Proposition
Es sei p : X → Y eine Überlagerung, γ : [0, 1] → Y ein Weg und x ∈ X
mit p(x) = γ(0).
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Weg γ
e : [0, 1] → X mit γ
e(0) = x
und p ◦ γ
e = γ.
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Überlagerungen
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