Druck: Kraft pro Fläche - www2.mpip
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Kapitel 5 Druck F Druck: Kraft pro Fläche A Kolbendruck P: Druck F: Kraft A: Fläche πΉ π= π΄ Einheit: [P] = 1 π π2 = 1ππ = 10−5 πππ 1 bar ≈ Atmosphärendruck - Der Druck im Kolben ist an allen Stellen mit derselben Höhe gleich - Druck ist unabhängig von der Form des Kolbens Druckarbeit π = πΉ β ππ = π β π΄ β ππ = π β ππ (Volumenzunahme) π = −π β ππ, d.h π < 0 bei Volumenabnahme πΉ π= π΄ Kapitel 5 Druck Kompressibilität:κ Drucksteigerung um ππ bewirkt Volumenabnahme um - ππ F A ππ = −κ π ππ 1 ππ κ=− π ππ Beachte: Volumen bleibt trotzdem nahezu konstant Beachte: Kompressibilität ist temperaturabhängig Der Kehrwert des Kompressibilität ist das Kompressionsmodul Mit Drucksteigerung verbundene Arbeit (Gas: langsame Kompression) π2 π2 1 π=− π ππ = π κ π ππ = κ π π22 − π12 2 π1 π1 Angenommen wurde, dass sich das Volumen nur minimal ändert. Nur dann darf man V vors Integral ziehen. Kapitel 5 Druck Schweredruck (Druck einer Flüssigkeitssäule) A h Auf dem Gefäßboden ausgeübter Druck π= πΉ π΄ = ππ π΄ = ρπ΄βπ π΄ =πρβ ρ: Dichte π: Erdbeschleunigung A: Querschnittsfläche Schweredruck ist unabhängig vom Volumen der Flüssigkeit - alleinig bestimmt über die Höhe der Flüssigkeitssäule, h ist < β mit π = 0π Höhe Höhe ist > β Schweredruck wird genutzt für besonders genaue Einstellung niedriger Drücke. Kapitel 5 Druck Kommunizierende Röhren Druck ist überall gleich und unabhängig von der Form. π = πρβ Höhenunterschied, falls ρ1 < ρ2 ! π1 = πρ1 β1 = πρ2 β2 = π2 da π1 = π2 ρ1 β1 ρ2 β2 ρ1 β2 = ρ2 β1 H2O: HG => ρ1 :ρ2 = 1:13.6 Anmerkung: h1, h2 einfach messbar ο falls ρ1 bekannt ist, lässt sich ρ2 bestimmen. Voraussetzung : Flüssigkeiten sind nicht mischbar kommunizierende Röhren Kapitel 5 Druck Auftrieb: πΉπ ππ ππ βh Gegenstand ist in Flüssigkeit getaucht. Auf dem Boden lastet zusätzlich die Gewichtskraft des Gegenstands. Der Flüssigkeitsdruck an der Unterseite des Körpers ist größer als Druck an Oberseite. Nach oben weisende Auftriebskraft ist betragsmäßig gleich der nach unten gerichteten Gewichtskraft.) Grundfläche: πΉπ΅ππππ = πρ βπ΅ππππ A = πρ β2 A Auftrieb: Deckfläche: πΉππππ = πρ βππππ A = πρ β1 A πΉπ = πΉπ΅ππππ − πΉππππ = πρ β2 A - πρ β1 A = πρ β2 − β1 π΄ = πρββπ΄ = πρ V ο Auftrieb: Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge (Anmerkung: bei schiefen Körpern heben sich die Kräfte auf die Seitenflächen auf.) Kapitel 5 Beispiel: Druck (zu zeigen: ρ ändert sich mit der Höhe) π0 = 1.013 β 105 ππ Luftdruck ρ0 = 1.29 kg/ π3 Auf der Höhe des Meerespiegels gilt: g = 10 π/ π 2 mit: π0 = ππ0 β => Berechnung der Höhe der Luftsäule, Hypothese.: P0= gρ0β ππππ‘ πππππππππ ο π»= π0 πρ0 = 1.013β105 ππ 10 π π −2 1.29 ππ π−3 ≈8β π= π Höhe ist < π» 0 Höhe ist > π» ππ π π 3 10 π2 −2 π 2 π3 πππ = 8ππ ο Der Mount Everest würde ins Luftleere ragen, da für Höhen oberhalb H gelten würde: π = 0. ο Dies kann nicht sein!! Das bedeutet, eine Annahme muss falsch sein! Die Dichte ändert sich mit dem Druck! Eine Beziehung zwischen Dichte und Druck liefert Boyle Mariotte. Kapitel 5 Beispiel: Luftdruck Auf der Höhe des Meerespiegels gilt: mit: π0 = ππ0 β π Höhe ist < π» 0 Höhe ist > π» => Berechnung der Höhe der Luftsäule, mit π = ο π»= π0 πρ0 ≈ 8ππ ο Gleichung P = π ρ β gilt nur für kleine Höhen- und Druckänderungen (dh, dP) Ziel: Herleitung der allgemeinen Formel Druckabnahme mit zunehmender Höhe ππ πβ dπ = −πρ πβ Mit Boyle Mariotte: ππ = π0 π0 = ππππ π‘ => π P ρ = π π0 ρ0 ο³ π ρ = π0 ρ0 => ρ = ρ0 π π0 = −πρ = −π ρ0 π π0 π β = π0 π −πρ0 β/π0 π β = π0 π −β/π» Bislang war die Flüssigkeit oder das Gas in Ruhe. Was ändert sich wenn sich die Flüssigkeit oder das Gas bewegt? Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung Blutkreislauf besteht aus Arterien, Venen und Kapillaren -Verzweigtes Netzwerk - Durchmesser variiert erheblich => unterschiedliche Strömungsgeschwindigkeit Frage: => Was bestimmt die Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit? Wasser, Honig, Ketchup Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung A1 v1 A2 Bernoullische Gleichung • Ideale inkompressible Flüssigkeit (=> Volumen bleibt konstant! Druckerhöhung bewirkt Geschwindigkeitszunahme und keine Volumenabnahme) • keine Reibung mit der Wand (=> keine Änderung der Geschwindigkeit infolge von Reibung) • laminare Strömung => Moleküle bewegen sich entlang der Stromlinien (Pfeile); vertikaler Abstand zwischen benachbarten Pfeilen ist ein Maß der Geschwindigkeit, geringer Abstand => hohe Geschwindigkeit Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung Arbeit W (Energie) um Blut zu befördern A1 ππ΄ v1 πΉ π =πΉβπ = π΄ z.B.: A2 π΄ π = ππ π = ππ΄ππ‘ππππ π + ππ΄πππ‘π π A: Querschnittfläche s: Strecke V: Volumen P: Druck Anmerkung: Bernoulli Gleichung beschreibt Bewegung von Gasen oder Flüssigkeit in Röhren unter Vernachlässigung der Wandreibung (später) Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung v2 A1 A2 v1 π 2 = π£2 βπ‘ π 1 = π£1 βπ‘ βπ1 = π 1π΄1 = π£1 βπ‘ π΄1 βπ2 = π 2π΄2 = π£2 βπ‘π΄2 Flüssigkeitkeitsvolumen βπ1 , das in βπ‘ durch Querschnittsfläche π΄1 fließt Flüssigkeitkeitsvolumen βπ2 , das in βπ‘ durch Querschnittsfläche π΄2 fließt Gleiche Flüssigkeitsmengen: => βπ1 = βπ1 βπ ⇒ πΌπ£ = π£π΄ = βπ‘ ο³ π£1 βπ‘ π΄1 = π£2 βπ‘ π΄2 ο³ π£1 π΄1 = π£2 π΄2 Volumenstrom (bzw. Massenstrom, falls Dichte = konst.) Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung Das Blut fließt in einer Schlagader mit einem Radius von 1.0 cm mit einer Geschwindigkeit Von v=0.3m/s. Wie groß ist der Volumenstrom? (Vernachlässigung der Wandreibung) Lösung: πΌπ£ = π΄ π£ = ππ 2 π£ = π(0.01π)2 β 0.3π/π = 9.4 × 10-5 m3 / s Dies entspricht 94 Milliliter pro Sekunde. Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung Das Blut fließt von einer großen Arterie mit dem Radius 0.3 cm, in der die Strömungsgeschwindigketi v=10cm/s beträgt, in eine Ader, deren Radius aufgrund von Ablagerungen auf den Gefäßwänden (Arteriosklerose) auf 0.2 cm verengt ist. Wie schnell fließt das Blut im Bereich der Verengung? Lösung: πΌπ£ = π΄1 π£1 = ππ12 π£1 = π(0.3 β 10−2 ππ)2 β 0.1π/π = 2.8 × 10-6 m3 / s πΌπ£ = π΄2 π£2 πΌπ£ ο π£2 = π΄2 π£2 = 2.8 × 10−6 m3 π −1 /ππ22 = π(0.3 β 10−2 ππ)2 β 0.1π/π = 0.23 m/s = 23 cm/s Beachte: dies gilt nur falls die Reibung an den Gefäßwänden vernachlässigt werden kann. Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung Bernoullische Gleichung Ideale Flüssigkeit, keine Reibung “Energieerhaltung” (Arbeit und kinetische Energie) A1 v1 A2 v2 1 ππ + ππ£ 2 = ππππ π‘. 2 1 1 2 π1 π + ππ£1 = π2 π + ππ£22 2 2 1 ππ + πππ£ 2 = ππππ π‘. 2 1 1 2 π1 π + πππ£1 = π2 π + πππ£22 2 2 1 2 π + ππ£ = π0 2 1 2 1 2 π1 + ρπ£1 = π2 + ρπ£2 2 2 Geschwindigkeitszunahme bewirkt Druckabnahme D. Vollmer Kapitel 5 Viskosität: Bernoulli Bernoulli-Gleichung Druckabfall Konsequenz von Bernoulli P2 P1 P1 1 2 π + ρπ£ = ππππ π‘. 2 Luft π£1 π£2 π£2 π£1 Druckdifferenz Unterdruck (Sog) Druck sinkt, um die erforderliche Energie zu liefern, um die Zunahme der kinetischen Energie zu ermöglichen. ο Wasserstrahlpumpe ο Sturm: v ist hoch => P klein (Unterdruck) => Hausdächer werden abgehoben Druckabfall Kapitel 5 Zur Übung 8) Um die Druckdifferenz von derzeit Δp1 = 5 bar zu senken, soll eine Wasserleitung mit einem Innendurchmesser von d1 = 12 mm gegen eine Rohrleitung mit einem Innendurchmesser von d2 = 15 mm ausgetauscht werden. Wie hoch ist die zu erwartende Druckdifferenz Δp2 der neuen Leitung, wenn der Volumenstrom unverändert bleiben soll? Lösung: οp2 = 2,048 bar Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung Bernoullische Gleichung Strömung entlang der Horizontalen: 1 2 1 2 => π2 + ρπ£2 = π1 + ρπ£1 2 2 v1 v1 Anmerkung: Bislang haben wir den Schweredruck vernachlässigt. Falls er vorhanden ist (senkrechte Säule), dann muss er dazu addiert werden. v2 In Anwesenheit von Schweredruck: ππ −> ππ + πππβ v2 1 2 oder π + π πβ + 2 ρπ£ = ππππ π‘ Geschwindigkeitszunahme bewirkt Druckabnahme gilt unverändert! h Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung (für Interessierte) πP A1 v1 A2 v2 Bernoulli’sche Gleichung (Energieerhaltung) (ausführliche Herleitung) πππππ πππβπ‘π πππππ πππβπ‘π ππ·ππ’ππ + ππππ + ππΊπππππ = ππππ π‘. = ππ·ππ’ππ + ππππ + ππΊπππβπ‘π 1 1 2 πΉπ 1 + π1π£1 + π1πβ1 = πΉπ 2 + ππ£22 + ππβ2 2 2 πΉ 1 πΉ 1 2 π΄1π 1 + ρπ1π£1 + ρπ1πβ1 = π΄2π + ρπ2π£22 + ρπ2πβ2 π΄1 2 π΄2 2 1 1 2 π1π + ρππ£1 + ρππβ1 = π2π + ρππ£22 + ρππβ2 2 2 1 2 β1 β2 π1=π2 1 2 π1 + ρπ£12 + ρπβ1 = π2 + ρπ£22 + ρπβ2 (dies ist die allgemeine Gleichung) 1 2 π + ρπ£ 2 + ρπβ = konst. Geschwindigkeitszunahme => Druckabnahme Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung Flüssigkeit in Ruhe, π£1 = π£2 = 0 v1 1 2 1 2 π1 + π πβ1 + ρπ£1 = π2 + π πβ2 + ρπ£2 2 2 π1 + π πβ1 = π2 + π πβ2 v2 ⇒ π1 −π2 = π πβ2 − π πβ1 = π πββ ⇒ βπ = π πββ (Schweredruck) => Für Flüssigkeiten in Ruhe wird die Bernoulli-Gleichung zur Gleichung für den Schweredruck Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung Beispiel: Spritze beim Arzt (Reibung der Flüssigkeit an der Wand der Spritze sei vernachlässigbar) πΉ π = ≈ 20 πππ π΄ Arzt drückt mit F ≈ 20 N Kolbenfläche A≈1 cm2 Einheiten: 1Pa = 1 N/m2 1N = 1 kg m s-2 1 2 1 2 π1 + ρπ£1 = π2 + ρπ£2 2 2 π= 1 ρπ£ 2 2 => π£= ρ: Dichte Wasser 1g/cm3 mit π = π1 , π£1 = 0 (bzw. klein) und π2 = 0 (bzw. klein), π£2 = π£ 2π π ≈ 6 π/π (Weltrekord im Sprint: v= 10 m/s) v: Geschwindigkeit Im Folgenden diskutieren wir den Einfluss von Reibung (Viskosität) 1. Definition von Viskosität 2. Einfluss der Viskosität auf die Strömung einer Flüssigkeit in einer Kapillare Kapitel 5 Viskosität Wasserfluss: bewegte Flüssigkeit Kraft Kohäsion Adhäsion Substrat (z.B. Kapillare, ebene Fläche) Wasserfluss verursacht durch: Gravitation & externer Druck Kohäsionskraft: Bindungskräfte zwischen Atomen sowie zwischen Molekülen innerhalb eines Stoffes Adhäsionskraft: Bindungskräfte zwischen Atomen sowie zwischen Molekülen unterschiedlicher Stoffe Kapitel 5 Viskosität Wasserfluss x2, v2 > v1 Kraft x1, v1 > v0 x0, v0 = 0 Substrat (z.B. Kapillare, ebene Fläche) Moleküle müssen sich bewegen => Bindungen müssen gebrochen und neue gebildet werden => Geschwindigkeit der Flüssigkeit nimmt mit Abstand zur Wand zu Kapitel 5 Viskosität Kraft Substrat (beweglich, z.B. Plättchen) Fläche A Wasser x2, v2 > v1 x1, v1 > v0 x0, v0 = 0 Substrat (fest) F~A Kraft nimmt “linear” mit der Plattengröße zu Kapitel 5 Viskosität Kraft Substrat (beweglich, z.B. Plättchen) Fläche A Wasser x2, v2 > v1 x x1, v1 > v0 x0, v0 = 0 Substrat (fest) Kraft nimmt mit zunehmenden Plattenabstand ab Kapitel 5 Viskosität Kraft, Geschwindigkeit Substrat (beweglich, z.B. Plättchen) Fläche A Wasser x2, v2 > v1 x x1, v1 > v0 x0, v0 = 0 Substrat (fest) Kraft nimmt mit Plattengeschwindigkeit zu Kapitel 5 Viskosität v v Kraft x Flüssigkeit x: Dicke der Flüssigkeitsschicht v: Geschwindigkeit A: Fläche F: Kraft Substrat (fest) ο¨: Viskosität Beachte: (Maß der inneren Reibung) Abb.:7.28 gilt nur für dünne Flüssigkeitsfilme Kapitel 5 Viskosität Vereinfachte Darstellung Kraft Substrat (beweglich) Geschwindigkeit Fläche A x Substrat (fest) Länge der Pfeile: Maß für Geschwindigkeit ο¨: Viskosität Kapitel 5 Viskosität Viskosität: Einheit 1 Pa = 1N/m2 Pa: Pascal Viskosität Wasser: ca. 1*10-3Pa s = 1 mPa s Viskosität Blut: ca. 5*10-3Pa s = 5 mPa s Kapitel 5 Viskosität v Kraft Flüssigkeit x In einigen Systemen (z.B. Ketchup, Blut) gilt F ~ v/x nicht, sondern nur Substrat (fest) τ: Schubspannung Grund: Ketchup enthält lange Moleküle, die verschlaufen (Polymernetzwerk). Falls so ein verschluftes Netzwerk anfängt zu fließen, ordnen sich die Moleküle um, so dass sie besser aneinander vorbei fließen können. Kapitel 5 Viskosität Kraft: F τ: Schubspannung Fläche: A x Grund: πΉ = η π΄π£ π₯ gilt i.a. nur für geringe Geschwindigkeitsänderungen und kleine Änderungen der Dicke der Flüssigkeit. π΄π£ πΉ= η π₯ ⇒ Δπ£ πΉ = ηπ΄ Δπ₯ (lineare Änderung der Geschwindigkeit für kleine Ortsänderung) Kapitel 5 Viskosität Viskosität sinkt mit zunehmender Temperatur => Arrhenius-Gesetz Fläche η = η0 β π Konstante πΈ +π π΄βπ π΅ η0 : Materialkonstante EA: Aktivierungsenergie (Maß für benötigte Energie um Bindungen zu brechen, Platzwechsel) kB: Boltzmann-Konstante T: Temperatur in Kelvin ηπ»20 20°πΆ = 1 β 10−3 ππ π ηπ»20 60°πΆ = 0.65 β 10−ππ π Kapitel 5 Zur Übung 5) Bei einem Experiment zur Messung der Viskosität einer Flüssigkeit wurde der Zahlenwert π1 =1,6×10S3 Pa·s bei der Temperatur T1 = 300 K gefunden. Wie groß ist die Viskosität bei der Temperatur T2 = 330 K? (Aktivierungsenergie EA = 5,0×10S20 J; kB = 1,381×10S23 J/K) SS2010 Lösung: π2 = 5,34×10-4 Pa s Kapitel 5 Zur Übung 4) Eine Kühlflüssigkeit hat bei 0°C eine Viskosität von π = 2,3 *10-3 Pa·s. Welchen Betrag hat die Viskosität bei -25°C? (Aktivierungsenergie EA = 4,8 *10-20 J; kB = 1,381*10-23 J/K) SS2011 Lösung: π2 = 8,3 * 10-3 Pa s Kapitel 5 Viskositätsbestimmung Kugel-Fall Viskosimeter - Wichtige Methode zur Viskositätsbestimmung - Wird auch verwendet zur Bestimmung der Größe von Molekülen, Proteinen,… Kapitel 5 Viskositätsbestimmung Sedimentation Stokes-Reibung Idee: F = π΄π£ π₯ π’ππ π΄ = 4ππ 2 Faktor 6: genaue Rechnung Auftriebskraft r mit ρK: Dichte: Gegenstand ρFl: Dichte Flüssigkeit ο¨ v Glycerin-Wasser Kapitel 5 Viskositätsbestimmung Sedimentation r • Viskositätsbestimmung • Bestimmung des Teilchenradius • Erhöhung von g (Zentrifuge) => z.B. Auftrennung von Proteinen nach Molekulargewicht ( => 106 ) Glycerin-Wasser Kapitel 5 Viskositätsbestimmung r Geschwindigkeit Sedimentation v Anmerkung: Zunächst nimmt die Geschwindigkeit zu. Nach => einer gewissen Zeit ist sie jedoch konstant. Dies gilt auch für fallende Regentropfen oder beim Fallschirmspringen (vergl. Kapitel 2 Mechanik). In Kap. 2 hatten wir Reibung vernachlässigt. Glycerin-Wasser Kapitel 5 Strömung Konsequenzen von Reibung auf Strömung in Kapillare rote Linien: Stromlinien (gebildet aus vielen Geschwindigkeitsvektoren) Pfeile: Richtung der Strömung Abstand der Stromlinien: Maß für die Geschwindigkeit großer Abstand => Flüssigkeit fließt langsam enger Abstand => Flüssigkeit fließt schnell ο Geschwindigkeit ändert sich beim Umfließen eines Gegenstandes ο Eine zeitlich konstante Geschwindigkeit nennt man stationäre Strömung http://www.mathlab.de/mathematik/seminare/stroemungsmechanik/zylinder.jpg Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung Strömungsprofil in Kapillare v=0 Kraft v = max laminare Strömung v=0 Länge der Pfeile: Maß für Geschwindigkeit kurzer Pfeil: langsamer Fluss langer Pfeil: schneller Fluss http://www.youtube.com/watch?v=o11NDvrZMNs ab 1.2 min Kapitel 5 Viskosität Strömungsprofil in Kapillare v=0 laminare Strömung Kraft v=0 βπ πΌπ£ = βπ‘ Im allgemeinen: ππ πΌπ£ = π = ππ‘ πΌπ£ : Volumenstromstärke V: transportiertes Volumen Blutkreislauf: πΌπ£ ≈ 10-4 m3/s Blutstromstärke: πΌπ£ ≈ 6l/min Kapitel 5 Viskosität Strömungsprofil in Kapillare (geringer Durchmesser) Wandreibung ist wichtig! (Flüssigkeitsmoleküle haften an der Wand auf Grund von Adhäsionskräften) r laminare Strömung Hagen-Poiseuille Reibung Wandfläche Geschwindigkeitszunahme Wandabstand π π 4 (π1 − π2 ) π π4 πΌπ£ = = βπ 8ηπ 8ηπ Länge Kapillare Zähigkeit (Viskosität) Idee der Herleitung von Hagen Poiseuille (für Interessierte) Reibungskraft an der Mantelfläche (x=r) π1 R r r Druckkraft auf die Deckfläche (Schweredruck) πΉπ = ππ 2 (π1 − π2 ) π2 Nach gewisser Zeit (stationärer Zustand) sind beide Kräfte gleich, d.h. Geschwindigkeitsprofil ändert sich nicht mehr. ππ£ 2π π π π = π π 2 (π1 − π2 ) ππ ππ£ π1 − π2 = π ππ 2ππ π1 − π2 2 π£ π = π 4ππ Fortsetzung R π1 − π2 2 π£ π = π 4ππ r Ziel: Die transportierte Menge Flüssigkeit pro Zeiteinheit berechnen, d.h. πΌπ£ = π r Idee: Man betrachte viele “ineinander geschachtelte” Hohlzylinder mit Dicke Durch den Hohlzylinder zwischen r und r + dr fließt der Volumenstrom πΌπ£ 0 π ππ = π 2πππ£ π ππ = 0 0 π1 − π2 3 π ππ 4ππ π π4 πΌπ£ = βπ 8πl Kapitel 5 Viskosität Strömungsprofil in Kapillare laminare Strömung Hagen-Poiseuille π π4 πΌπ£ = βπ 8πl => Wärme βπ πΌπ£ = π R: Strömungswiderstand Beispiel: Ziel: konstante Körpertemperatur => Bei Kälte ziehen sich die Blutgefäße ein wenig zusammen Kapitel 5 Viskosität Druckabfall: Reibung entlang der Wände bewirkt Druckabfall ΔP Δs Bernoullische Gleichung Ideale Flüssigkeit, keine Reibung “Energieerhaltung” 1 2 π + ρπ£ = ππππ π‘. 2 P1 P2 P ο£ P1 π£1 π£2 π£2 π£1 Beachte: in der Realität kann Reibung nie vollständig vernachlässigt werden. Hier wird nur angenommen, dass der Beitrag klein ist im Vergleich zu dem auf Grund der Änderung des Duchmessers. In der „Realität“ ändert sich P1 und damit die Höhe des Flüssigkeitsstands in den Säulen nach Hagen Poiseuille. Hagen-Poiseuille r Reibung Wandfläche laminare Strömung Geschwindigkeitszunahme Wandabstand π π4 πΌπ£ = βπ 8ηπ Zähigkeit (Viskosität) Länge Kapillare ΔP Kapitel 5 Zur Übung 15) In 300 s fließen durch ein 30 m langes Rohr (Durchmesser d = 3 cm) 60 000 l Petroleum bei einem Druckgefälle von 2 bar. Welche Viskosität besitzt das Petroleum? Lösung: π = 6,63 10-4 Pa s Kapitel 5 Zur Übung 16) Ein Schwimmbecken wurde mit einem Schlauch mit einer Länge von 11 m und einem Durchmesser von 1,8 cm mit Wasser gefüllt. Die Druckdifferenz betrug 0,6·105 Pa. Wie viel Zeit wurde benötigt, um das Becken mit 80 m3 Wasser zu füllen? (Viskosität von Wasser: π = 1·10-3 Pas) WS2010/2011 Lösung: οt = 5692 s Kapitel 5 Zur Übung 9) Durch eine Leitung mit einem Innenradius r1 = 15 mm fließen in 1 Minute 810 Liter einer Flüssigkeit. Durch eine zweite, gleichlange Leitung mit einem Radius von r2 = 5 mm fließen bei der gleichen Druckdifferenz οp in 1 Minute 10 Liter derselben Flüssigkeit. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Flüssigkeit das Hagen-Poiseuille-Gesetz erfüllt. WS2008/2009 Lösung: Erfüllt Kapitel 5 Anmerkung: Turbulenz Flüssigkeit bewgte sich in „Schichten“ mit unterschiedlicher Geschwindigkeit Laminare Strömung wird turbulent falls 2πρπ£ π π = η r Beispiel: - Blut - Luftzug vorm Heizkörper π π : Reynolds-Zahl Übergang laminar -> turbulent ca. für π π ≈ 2000 http://www.youtube.com/watch?v=6rPL-QkUFf8&feature=related Kapitel 5 Viskosität http://www.youtube.com/watch?v=OO2LPnOYfDg&NR=1 Simulation des Flusses von Blutzellen http://www.youtube.com/watch?v=m8-5D1Sqflc&NR=1 (Verengung einer Kapillare, vereinzelte Blutzellen) Kapitel 5 Zur Übung 16) Welche Aussagen sind korrekt? (Pro richtiger Antwort 0,25 Punkte, pro falscher Antwort 0,25 Punkte Abzug, minimal erreichbare Punktzahl 0. Aufmerksam lesen! Richtige Antworten ankreuzen) a) Wenn eine Flüssigkeit eine Festkörperoberfläche benetzt, gilt: [ ] die Kohäsionskräfte sind größer als die Adhäsionskräfte. [ X ] die Adhäsionskräfte sind größer als die Kohäsionskräfte. b) Die laminare Strömung einer Flüssigkeit zeichnet sich durch folgende Eigenschaft aus: [ X ] die Flüssigkeitsteilchen strömen in Schichten. [ ] die Flüssigkeitsteilchen bewegen sich ungeordnet und bilden Wirbel. c) Die Aktivierungsenergie im Arrhenius-Gesetz beschreibt [ X ] den Platzwechsel von Flüssigkeitsteilchen. [ ] die Adhäsion von Flüssigkeitsteilchen. d) Wird ein Rohr auf das doppelte verlängert, so fließt bei gleicher Druckdifferenz zwischen den Rohrenden [ ] ein sechzehntel des vorherigen Flüssigkeitsvolumens pro Zeit [ X ] halb so viel Flüssigkeitsvolumen pro Zeit SS2011 Oberflächenspannung Die Viskosität beschreibt Eigenschaften von Teilchen oder Molekülen im Volumen und in der Nähe von Oberflächen. Die Oberflächenspannung beschreibt Wechselwirkungen von Teilchen oder Molekülen in der Oberfläche. Kapitel 5 Oberflächenspannung Oberflächenspannung: Wo tritt sie auf? • Wieso schwimmen Gegenstände auf Wasser? • Wieso sind Wassertropfen rund? • Wieso kann ich atmen? 56 Kapitel 5 Oberflächenspannung Unterschiede Volumen ο³ Oberfläche (Grenzfläche) Im Volumen hebt sich die Summe der Kohäsionskräfte auf. Luft Wasser Grenzfläche: Kraft um Molekül vom Volumen zur Oberfläche zu bringen Beachte: Energie = Kraft mal Weg (hier: Abstand) Kapitel 5 Oberflächenspannung Unterschiede Volumen ο³ Oberfläche (Grenzfläche) Im Volumen sind die Wechselwirkungsenergien zwischen den Atomen /Molekülen gleich. Luft W W W Wasser W W W W W W W W W W W W Grenzfläche: positionsabhängige Wechselwirkungsenergien Beachte: Energie = Kraft mal Weg (hier: Abstand) 58 Kapitel 5 Oberflächenspannung Volumen = konst. Oberflächenzunahme ο³ = spezifische Oberflächenenergie οWOberfl. = Energiezunahme οA = Oberflächenzunahme ο³: Maß für benötigte Arbeit um neue Oberfläche zu schaffen => minimale Oberfläche (rund) 59 Kapitel 5 Oberflächenspannung Flüssigkeitslamelle b Δs s Einheit: 1 J = 1 Nm In der Literatur werden die folgenden Begriffe verwendet (die Bedeutungn ist gleich): • spezifische Oberflächenenergie oder Oberflächenspannung oder Grenzflächenspannung Kapitel 5 Oberflächenspannung Flüssigkeitslamelle zwei Lamellen (von Auge nicht sichtbar) b Δs ΔA = 2βbβΔs da ΔWOb. = σβΔA s ΔWOb. = 2βbβσβΔs mit ΔWpot = FβΔs ΔWArbeit = ΔWOb. FβΔs = 2βbβσβΔs F = 2βbβσ Kraft um Bügel in Position zu halten 61 Bügel Kapitel 5 Oberflächenspannung Flüssigkeitslamelle b Δs s Kraft um den Bügel in Position zu halten ist const. 62 Bügel Kapitel 5 Oberflächenspannung ο³: Energiezunahme pro Oberflächenzunahme hängt von Flüssigkeit ab spez. Oberflächenspannung: ο³ [10-3J/m2] oder [10-3N/m] Flüssigkeit/Luft Öle 18 – 25 Ethanol 22.5 Aceton 23.3 Silikon ~ 25 Wachs ~ 30 Ethylenglykol 48.4 Glycerin 63.4 Wasser (80°C) 62.6 ο³ ist Temperatur- Wasser (20°C) 72.8 abhängig Quecksilber 476 Beachte: 63 Kapitel 5 Oberflächenspannung Kapillare Steighöhe (Arbeit gegen Erdanziehungskraft) Glaskapillare: Wasser-Glas Kontakt ist energetisch vorteilhaft im Vergleich zum Wasser-Luft Kontakt. Glas probiert Kontaktfläche zur Luft zu minimieren Δh h 2r Flüssigkeit: Wasser, Blut,... (Abnahme Glas-Luft Grenzfläche durch Benetzung mit Wasser) π = ππ 2 β h : Steighöhe Δh : Steighöhenänderung g: Erdbeschleunigung V: Volumen ρ: Dichte der Flüssigkeit R: Radius Kapillare 64 Kapillare Kapitel 5 Oberflächenspannung Kapillare Steighöhe h 2r Beispiel: ρ = 1 g/cm3 g = 10 m/s2 r = 1mm Kapillaren Kapitel 5 Oberflächenspannung Work Arbeit um Wasser zu transportieren: W = m*g*h h=120m h=2m W(1L) = mgh = 1 kg 10 ms-2 2m = 20 J Durchschnittlicher Baum W(1L) = 1200 J 800 L/Tag* * Campbell, Biologie Kapitel 5 Oberflächenspannung Kapillarkräfte 2ο³ hο½ ο²gr 2 β 70 β 10−3 ππ−1 β= 1πππ−3 10ππ −2 π 1.4 β 10−5 2 = π π 1 μm < r(Tracheiden) < 400 μm* • r = 100 μm h = 0.14 m • r = 1 μm h = 14 m => Maximale Steighöhe: ca. 15 m *Strasburger, Lehrbuch der Botanik Kapitel 5 Oberflächenspannung Blätter Zweige Wurzeln Versorgung der Spitze eines Baums mit Wasser erfolgt über andere Mechanismen Kapillarkräfte sind hinreichend um einen ca. 15 m hohen Baum mit Wasser zu versorgen. Kapitel 5 Zur Übung 4) Welchen Innenradius r müsste eine Kapillare haben, damit Ethanol aufgrund der Kapillarwirkung 5 m hoch aufsteigt? (Ethanol = 0.02255 N/m; Ethanol = 0,79 g/cm3; Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s²) SS2010 Lösung: r= 1,16 μm Kapitel 5 Zur Übung 2) In einer Kapillare wird eine Steighöhe von 5,7 cm beobachtet. Die aufsteigende Flüssigkeit besitzt eine Dichte von 1,25 g/cm3 und eine Oberflächenspannung von 0,07 N/m. Wie groß muss dementsprechend der Durchmesser der Kapillare sein? (g = 9,81 m/s2) SS2010 Lösung: d = 0.4 mm Kapitel 5 Zur Übung 13) Die Oberflächenspannung einer unbekannten Flüssigkeit soll über die Steighöhe (h = 3,6 cm) in einer Kapillare mit einem Durchmesser von 0,3 mm bestimmt werden. Das zuvor ermittelte Masse von 100 ml dieser Flüssigkeit ergab 80 g. Welchen Wert hat die Oberflächenspannung? (g = 9,81 m/s²) WS2009/2010 Lösung: ο³ = 0,021 N/m Kapitel 5 Zur Übung 10) In einer Kapillare mit dem Innendurchmesser d = 0,6 mm steigt Chloroform 1,25 cm hoch (vollständige Benetzung). Welche Dichte von Chloroform kann man auf Basis dieser Beobachtung errechnen? (ο³Chloro = 27,1×10-3 N/m; Erdbeschleunigung g =9,81 m/s2) WS2008/2009 Lösung: ο² = 1,47 g/cm3 Kapitel 5 Oberflächenspannung Moleküle auf einer Oberfläche sind sehr mobil Bislang Grenzfläche Flüssigkeit (Wasser) – Luft Im allgemeinen gibt es 3 Grenzflächen (MD: Molekulardynamik Simulation) Wassertropfen (1981 Wassermoleküle) Silizium Substrat ο±: Kontaktwinkel Beachte: Von Auge hat man den Eindruck, dass die Wasser-Luft Grenzfläche sehr ruhig (statisch) ist. In Wirklichkeit bewegen sich die Moleküle stark. Trotzdem sind die Kohäsionskräfte in Wasser hoch. =>In niedermolekularen Flüssigkeiten mit geringen Kohäsionskräften bewegen sich die Moleküle noch mehr. http://www.ks.uiuc.edu/Research/silica/MOVIE/hydrophobic02.mpg Kapitel 5 Oberflächenspannung Wassertropfen (1981 Moleküle) Substrat σS : Festkörper- Luft σS L: Festkörper- Flüssigkeit σL: Flüssigkeit – Luft ο±: 3 Grenzflächen (Jede Grenzfläche hat eine bestimmte Oberflächenspannung) Kontaktwinkel Adhäsionskraft: Kräfte zwischen Flüssigkeit - Festkörper Sie bestimmen z.B. wie gut Blut, Bakterien, …. auf Oberflächen haften => Biofilme, Verschluss der Kapillaren bei Herz-Lungenmaschinen) Kapitel 5 Oberflächenspannung Wie hängt ο± von σ ab? Luft Youngsche Gleichung Festkörper (solid) Hydrophile Oberfläche (z.B. Pflanzenschutzmittel Θ -> 0) Hydrophobe Oberfläche (z.B. Teflon Θ = 90 … 120°) Kapitel 5 Oberflächenspannung Wie hängt ο± von σ ab? Luft Youngsche Gleichung Festkörper (solid) Hydrophile Oberfläche (z.B. Pflanzenschutzmittel Θ -> 0) Hydrophobe Oberfläche (z.B. Teflon Θ = 90 … 120°) Kapitel 4 Lotuseffekt Veränderung des Benetzungsverhaltens durch Strukturierung der Oberfläche => Mehr Kontaktfläche Lotusblatt 77 Kapitel 5 Laplace Druck (für Interessierte) Laplace Druck Druck in einer Blase R R2 < R 1 => ΔP2 > ΔP1 Eine Blase wächst, andere verschwindet 2 Blasen Kapitel 5 Oberflächenspannung Laplace Druck 1 => R1 ΔP1 Druck in einer Blase 2 < 2 R ΔP2 Eine Blase wächst, andere verschwindet (Vorgang wird auch Ostwald Reifung genannt) 2 Blasen Kapitel 5 Reduzierung der Oberflächenspannung O HO O hydrophile Kopfgruppe O hydrophober “Schwanz” Phosphorlipid 80 Kapitel 5 Reduzierung der Oberflächenspannung Mizellbildung Luft Luft Tensidkonzentration 81 Kapitel 5 Kritische Mizellbildungskonzentration O HO O O Konzentration (mM) 82 Kapitel 5 Kritische Mizellbildungskonzentration O HO O O cmc: 7.5 mM cmc: critical micelle concentration Konzentration (mM) 83 Kapitel 5 Emulsionen Emulsionen Wasser in Öl Dispersion z.B. “Butter”, “fettige” Hautcreme Öl in Wasser Dispersion z.B. Milch, “weiche” Hautcreme Welche Struktur gebildet wird, ist abhängig von der “bevorzugten Krümmung” der Tensidmonolage Kapitel 5 Emulsionen Membranen Lamellare Phase Modellmembran für Zellen Die physikalische Beschreibung von Membranen und Tensidstrukturen ist nahezu identisch. 85
